第05讲 完全平方公式（2大知识点+6大题型精讲+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学下册同步学与练（湘教版2024）

第05讲 完全平方公式 课程标准 学习目标 1.完全平方公式 2.添括号法则 1. 掌握完全平方公式以及完全平方公式的特点，完全平方公式的几何意义并能够熟练应用其解决问题。 2. 掌握添加括号的法则，能够熟练的运用。 3. 学会运用乘法公式进行计算和推理 知识点01 完全平方公式 1.完全平方公式 文字表述：两数和（或差）的平方，等于它们的 ，加（或减）它们的积的 倍。 式子表示： 2.完全平方公式的式子特点： ：一个二项式的平方，等于这个二项式的两项的 加上这两项的 。注意每一项都包含前面的符号。 巧记：首平方加尾平方，首位两倍放中央。 3.完全平方公式的几何背景： 图1中面积的整体表示为： 用各部分面积之和表示为： 所以 用同样的方法表示图2的面积即可得到： 。 4.完全平方和公式与完全平方差公式的转化： ， ∵ ∴ 【即学即练1】 下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【即学即练2】 运用完全平方公式计算： （1）632； （2）982； （3）700.12； （4）499.92． 知识点02 添括号法则 1. 添括号法则： 在条加括号时，若括号前面时正号，括到括号里面的每一项都 ，若括号前面是负号，则括到括号里面的每一项都要 。 【即学即练1】 计算题： （1）（a﹣2b﹣3c）2； （2）（x+2y﹣z）（x﹣2y﹣z）﹣（x+y﹣z）2． 题型01 利用完全平方公式计算 【典例1】下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】已知代数式的值与x的取值无关． (1)求a，b的值； (2)当为何值时有最小值？并求出最小值． 【变式2】计算： （1）（﹣5a+4b）2； （2）（2a﹣b）2； （3）（a﹣b）2； （4）（﹣mn+）2． 题型02 利用完全平方公式简便运算 【典例1】用简便方法计算： ． 【变式1】用简便方法计算： (1)； (2)． 【变式2】利用整式乘法公式计算下列各题： (1)； (2)． 【变式3】用简便方法计算： (1) (2) 题型03 利用完全平方公式变形求值 【典例1】已知，则 ． 【变式1】已知，，则 ． 【变式2】若，则的值为 ． 【变式3】已知，则＝ ． 题型04 根据完全平方式的特点求值 【典例1】已知是一个完全平方式，则的值是（   ） A． B． C． D． 【变式1】如果二次三项式是一个完全平方式，那么m的值是（   ） A． B．16 C．4 D． 【变式2】如果是一个完全平方式，则的值是（   ） A．1 B． C．1或 D．2或 【变式3】若是一个完全平方式，则m的值是 ． 【变式4】．如果是个完全平方式，那么的值是 ． 题型05 完全平方公式的几何意义 【典例1】我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数和形之间有着十分密切的联系，可见在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透． 如：在对乘法公式的探究学习中，我们根据图中图形的面积说明了完全平方公式：． (1)如图2，已知正方形和正方形，请用两种不同的方式表示正方形的面积． 方式一：________； 方式二：________； 由正方形的面积的两种不同表示方式可写出一个等式是________． (2)连接，，，，用含，的代数式表示四边形的面积是________． 【变式1】如图，某小区有一块长为米，宽为米的长方形地块．该长方形地块正中间是一个长为米的长方形，四个角是大小相同的正方形，该小区计划将阴影部分进行绿化，对四个角的正方形采用型绿化方案，对正中间的长方形采用型绿化方案． (1)用含的代数式表示采用型绿化方案的四个正方形的边长是_____米，采用型绿化方案的长方形的另一边长是______米； (2)已知采用型绿化方案比型绿化方案的面积大，求型绿化方案比型绿化方案的面积大了多少平方米？ 【变式2】通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式． 如图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线对折后用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形，请解答下列问题： (1)图2中阴影部分的正方形的边长是 ； (2)请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积： 方法1： ； 方法2： ； (3)观察图2，请你写出，，之间的等量关系是 ； (4)如图3，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，面积分别是和，若，两正方形的面积，求的面积． 题型06 平方差与完全平方公式的综合 【典例1】化简 ． 【变式1】计算： (1) (2) (3) 【变式2】计算： 【变式3】先化简，再求值： (1)，其中． (2)，其中，． 【变式4】先化简，再求值：，其中，． 【变式5】先化简，再求值：，其中． 一、单选题 1．若是完全平方式，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．若多项式是关于、的完全平方式，则的值为（   ） A．21 B．19 C．21或 D．或19 3．已知，则代数式的值可能是（    ） A． B． C． D． 4．若，则（　　） A． B．3 C．1 D．4 5．一个正方形的边长为，若边长增加3，则其面积增加了（   ） A．9 B． C． D． 6．已知整式是一个完全平方式，则符合M的整式有（   ）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．将完全相同的四张长方形纸片按如图所示的位置摆放，利用外围正方形，中间正方形和四个长方形面积之间的关系可以得到的等式是（   ） A． B． C． D． 8．以下是王双同学化简的解题过程： 原式    （第一步）     （第二步）     （第三步） 王双同学是从（   ）开始出现错误的． A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．无法确定 9．已知，那么代数式值是（   ） A．14 B．15 C．16 D．17 10．已知实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 11．如图，有三张边长分别为a，b，c的正方形纸片A，B，C，将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一长方形中．记图1中阴影部分周长为，面积为；图2中阴影部分周长为，面积为，若，则b与c满足的关系为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 12．已知，那么 ． 13．若，且，则 ． 14．如图中的四边形均为长方形或正方形，根据图形的面积关系，写出一个等式： ． 15．已知，，求 ． 16．如果是完全平方式，那么 ． 17．用4张长为宽为的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为的正方形，图中空白部分的面积为，阴影部分的面积为，．若，则 ． 18．4个数a、b、c、d排列，我们称之为二阶行列式，规定它的运算法则为，若，则 ． 19．已知x2=2y+5，y2=2x+5(x≠y)，则x3+2x2y2+y3的值为 ． 三、解答题 20．小陈网购了一批总长为米栅栏，准备在自己家后面的空地上围一个长比宽多2米的长方形场地养兔子，设长方形的长为，宽为． (1)求和的长；（结果用含的式子表示） (2)若用这批总长相同的栅栏围成一个正方形场地，请你判断所围的正方形场地与小陈所围的长方形场地哪个面积大？并说明理由． 21．已知，代数式． (1)化简代数式A； (2)若是一个完全平方式，求A的值． 22．（新情境）如图，将图①中的正方形（阴影部分）沿图中虚线用剪刀平均分成四块小正方形，然后拼成图②所示的大正方形． (1)用含的代数式表示图①，图②中阴影部分的面积； (2)根据（1）中得到的结果，我们可以验证一个等式：___________； (3)已知，求的值； (4)若，求的值． 23．计算： (1) (2) 24．已知，求下列各式的值： (1)； (2)． 25．先化简，再求值：，其中，． 26．设是关于的代数式，如果当时，代数式，则称A是“优美式”，例如：，当时，，故是“优美式”，根据约定，回答以下问题： (1)下列关于的代数式是“优美式”的有____________． ①；②；③． (2)设实数满足．问：关于的代数式是否为“优美式”？若是，请证明它；若不是，请说明理由． (3)已知关于的代数式是“优美式”且，求的值． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 完全平方公式 课程标准 学习目标 1.完全平方公式 2.添括号法则 1. 掌握完全平方公式以及完全平方公式的特点，完全平方公式的几何意义并能够熟练应用其解决问题。 2. 掌握添加括号的法则，能够熟练的运用。 3. 学会运用乘法公式进行计算和推理 知识点01 完全平方公式 1.完全平方公式 文字表述：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍。 式子表示： 2.完全平方公式的式子特点： ：一个二项式的平方，等于这个二项式的两项的 平方的和 加上这两项的 两倍 。注意每一项都包含前面的符号。 巧记：首平方加尾平方，首位两倍放中央。 3.完全平方公式的几何背景： 图1中面积的整体表示为： 用各部分面积之和表示为： 所以 用同样的方法表示图2的面积即可得到： 。 4.完全平方和公式与完全平方差公式的转化： ， ∵ ∴ 【即学即练1】 下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查合并同类项，单项式乘以多项式，积的乘方和幂的乘方，完全平方公式，根据相关知识把各项结果计算出来，再判断即可． 【详解】解：A. ，原选项计算错误，不符合题意； B. ，计算正确，此选项符合题意； C. ，原选项计算错误，不符合题意； D. ，原选项计算错误，不符合题意； 故选：B． 【即学即练2】 运用完全平方公式计算： （1）632； （2）982； （3）700.12； （4）499.92． 【分析】（1）根据已知得出（60+3）2，根据完全平方公式展开得出602+2×60×3+32，求出即可； （2）根据已知得出（100﹣2）2，根据完全平方公式展开得出1002﹣2×100×2+22，求出即可； （3）根据已知得出（700+0.1）2，根据完全平方公式展开得出7002+2×700×0.1+0.12，求出即可； （4）根据已知得出（500﹣0.1）2，根据完全平方公式展开得出5002﹣2×500×0.1+0.12，求出即可． 【解答】解：（1）632＝（60+3）2 ＝602+2×60×3+32 ＝3600+360+9 ＝3939； （2）982 ＝（100﹣2）2 ＝1002﹣2×100×2+22 ＝10000﹣400+4 ＝9604； （3）700.12 ＝（700+0.1）2 ＝7002+2×700×0.1+0.12 ＝490000+140+0.01 ＝490140.01； （4）499.92 ＝（500﹣0.1）2 ＝5002﹣2×500×0.1+0.12 ＝250000﹣100+0.01 ＝249900.01． 知识点02 添括号法则 1. 添括号法则： 在条加括号时，若括号前面时正号，括到括号里面的每一项都 不变号 ，若括号前面是负号，则括到括号里面的每一项都要 变号 。 【即学即练1】 计算题： （1）（a﹣2b﹣3c）2； （2）（x+2y﹣z）（x﹣2y﹣z）﹣（x+y﹣z）2． 【分析】（1）将a﹣2b看作一个整体＝[（a﹣2b）﹣3c]2，运用完全平方差公式，逐步展开去括号计算． （2）首先将（x+2y﹣z）（x﹣2y﹣z）看作[（x﹣z）+2y][（x﹣z）﹣2y]运用平方差公式，再运用完全平方式，对（x+y﹣z）2看作[（x﹣z）+y]2运用完全平方式，两式相减利用有理式的混合运算． 【解答】解：（1）原式＝（a﹣2b）2﹣2×（a﹣2b）×3c+9c2 ＝a2+4b2﹣4ab﹣6ac+12bc+9c2 ＝a2+4b2+9c2﹣4ab﹣6ac+12bc； （2）原式＝[（x﹣z）+2y][（x﹣z）﹣2y]﹣[（x﹣z）+y]2 ＝（x﹣z）2﹣4y2﹣（x﹣z）2﹣2（x﹣z）y﹣y2 ＝﹣5y2﹣2xy+2yz． 题型01 利用完全平方公式计算 【典例1】下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的运算，准确熟练地运用公式和法则进行计算是解题的关键． 根据完全平方公式，合并同类项，单项式除以单项式，幂的乘方与积的乘方法则进行计算，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、，故A不符合题意； B、与不能合并，故B不符合题意； C、，故C不符合题意； D、，故D符合题意； 故选：D． 【变式1】已知代数式的值与x的取值无关． (1)求a，b的值； (2)当为何值时有最小值？并求出最小值． 【答案】(1)，． (2)， 【分析】（1）根据整式的乘法运算以及加减运算法则进行化简，然后令含的项的系数为零即可求出答案． （2）先把原式整理，根据非负性得出结论，即可作答． 本题考查多项式乘多项式法则、非负性以及完全平方公式的变形运算，本题属于基础题型． 【详解】（1）解： ， 此代数式的值与的取值无关， ∴ ，． （2）解：，， ， 由于，， 故当，时， 即时， 此代数式有最小值为． 【变式2】计算： （1）（﹣5a+4b）2； （2）（2a﹣b）2； （3）（a﹣b）2； （4）（﹣mn+）2． 【分析】利用完全平方公式求解即可． 【解答】解：（1）（﹣5a+4b）2 ＝（﹣5a）2+2×（﹣5a）×4b+（4b）2 ＝25a2﹣40b+16b2， （2）（2a﹣b）2 ＝（2a）2﹣2×2a×（b）+（）2 ＝4a2﹣+， （3）（a﹣b）2 ＝﹣2×+ ＝， （4）（﹣mn+）2 ＝ ＝． 题型02 利用完全平方公式简便运算 【典例1】用简便方法计算： ． 【答案】3996001 【分析】本题考查完全平方公式，熟记完全平方公式并灵活运用是解答的关键．先把8写成的形式，再根据完全平方公式把整理成两数差的平方的形式，然后再把1999写成，根据完全平方公式展开进行计算． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式1】用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1)10201 (2)1 【分析】本题主要考查了完全平方公式和平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键． （1）利用完全平方公式进行计算即可； （2）利用平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． 【变式2】利用整式乘法公式计算下列各题： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)9975 【分析】本题考查完全平方公式和平方差公式，熟记乘法公式并灵活运用是解答的关键． （1）将原式化为，然后利用完全平方公式求解即可； （2）将原式化为，然后利用平方差公式求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式3】用简便方法计算： (1) (2) 【答案】(1)252004 (2)1 【分析】本题考查利用平方差公式和完全平方公式简便计算，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解题关键． （1）由，结合完全平方公式计算即可； （2）由，结合平方差公式计算即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解： ． 题型03 利用完全平方公式变形求值 【典例1】已知，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方公式和非负数的性质，利用完全平方公式整理得到两整式的平方和是解题的关键． 先利用完全平方公式把多项式整理成两个整式平方和的形式，再根据平方数非负数列式求解出的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：． 【变式1】已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 先根据完全平方公式将原式变形为，再将代入计算即可． 【详解】解：∵， ， ∵， ∴， 故答案为： ． 【变式2】若，则的值为 ． 【答案】13 【分析】本题考查利用完全平方公式变形计算，根据，进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为：13． 【变式3】已知，则＝ ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式的变形运算，先利用完全平方公式求出的值，进而即可求解，掌握完全平方公式的变形运算是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴负值舍去， 故答案为：． 题型04 根据完全平方式的特点求值 【典例1】已知是一个完全平方式，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查完全平方公式，由平方项确定出这两个数是解题的关键．先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定k的值． 【详解】∵， ∴， ∴， 故选D． 【变式1】如果二次三项式是一个完全平方式，那么m的值是（   ） A． B．16 C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查了求完全平方式中的字母系数，熟练掌握完全平方式的结构特征是解题的关键． 根据完全平方式的结构特征即可得出答案． 【详解】解：二次三项式是一个完全平方式， ∴， ∴， 故选：A． 【变式2】如果是一个完全平方式，则的值是（   ） A．1 B． C．1或 D．2或 【答案】C 【分析】本题主要考查了完全平方公式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键． 先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定的值． 【详解】解：∵， ∴， 解得， 故选：C． 【变式3】若是一个完全平方式，则m的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查完全平方式．根据完全平方式得出即可求出答案． 【详解】解： 是一个完全平方式， ∴， ∴， ， 故答案为：． 【变式4】．如果是个完全平方式，那么的值是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了完全平方公式的运用，掌握完全平方公式的变形计算是解题的关键． 根据完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：∵是个完全平方式， ∴， ∴或， 解得，或， 故答案为：或 ． 题型05 完全平方公式的几何意义 【典例1】我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数和形之间有着十分密切的联系，可见在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透． 如：在对乘法公式的探究学习中，我们根据图中图形的面积说明了完全平方公式：． (1)如图2，已知正方形和正方形，请用两种不同的方式表示正方形的面积． 方式一：________； 方式二：________； 由正方形的面积的两种不同表示方式可写出一个等式是________． (2)连接，，，，用含，的代数式表示四边形的面积是________． 【答案】(1)，， (2) 【分析】此题考查了完全平方公式的几何背景，能从整体和部分两个角度求出图形的面积是解题的关键． （1）图分别看成一个小正方形的面积和正方形的面积减去个长为宽为的长方形的面积，进而列出等式即可求得答案； （2）用四边形的面积为正方形的面积减去个底为高为的三角形形的面积，即可得解． 【详解】（1）解：图中正方形的边长为，面积为； 还可以表示为：正方形的面积减去个长为宽为的长方形的面积，即， ∴由正方形的面积的两种不同表示方式可写出一个等式是 故答案为：，，； （2）解：如图， 四边形的面积为正方形的面积减去个底为高为的三角形形的面积， ∴四边形的面积为， 故答案为． 【变式1】如图，某小区有一块长为米，宽为米的长方形地块．该长方形地块正中间是一个长为米的长方形，四个角是大小相同的正方形，该小区计划将阴影部分进行绿化，对四个角的正方形采用型绿化方案，对正中间的长方形采用型绿化方案． (1)用含的代数式表示采用型绿化方案的四个正方形的边长是_____米，采用型绿化方案的长方形的另一边长是______米； (2)已知采用型绿化方案比型绿化方案的面积大，求型绿化方案比型绿化方案的面积大了多少平方米？ 【答案】(1)，； (2)． 【分析】（）根据题意表示出、绿化方案的边长或另一边长即可； （）设型绿化方案的面积为，型绿化方案的面积为，分别计算，然后作差值计算即可； 本题考查了整式的加减，完全平方公式和平方差公式，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）采用绿化方案的四个正方形边长， 采用型绿化方案的长方形的另一边长是， 故答案为：，； （2）设型绿化方案的面积为，型绿化方案的面积为， ∴，， 则， 答：B型绿化方案比A型绿化方案的面积大了平方米． 【变式2】通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式． 如图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线对折后用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形，请解答下列问题： (1)图2中阴影部分的正方形的边长是 ； (2)请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积： 方法1： ； 方法2： ； (3)观察图2，请你写出，，之间的等量关系是 ； (4)如图3，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，面积分别是和，若，两正方形的面积，求的面积． 【答案】(1) (2)， (3) (4) 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是解决问题的前提，用代数式表示各个部分的面积是解决问题的关键． （1）由拼图可直接得出答案； （2）一方面阴影部分是边长为的正方形，可用面积公式列代数式，另一方面阴影部分可以看作从边长为的正方形面积中减去4个长为，宽为的长方形面积即可； （3）由（2）两种方法所表示的面积相等可得答案； （4）设设，，则，，，利用完全平方公式变形，计算即可． 【详解】（1）解：根据图形可得阴影部分的正方形的边长是， 故答案为：； （2）解：方法1：直接求阴影部分的面积，即阴影部分是边长为的正方形：； 方法2：间接求阴影部分的面积，即阴影部分可以看作从边长为的正方形面积中减去4个长为，宽为的长方形面积：； 故答案为：，； （3）解：由（2）可得：， 故答案为：； （4）解：设，，则，， ， ， ， ， 答：的面积为． 题型06 平方差与完全平方公式的综合 【典例1】化简 ． 【答案】 【分析】本题考查整式的混合运算．熟记乘法公式，混合运算顺序和计算法则，是解题关键． 先根据乘法公式计算，再合并同类项即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【变式1】计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，平方差公式以及完全平方公式计算即可． （1）根据多项式除以单项式计算即可． （2）按照平方差公式以及完全平方公式展开，然后合并同类项即可． （3）按照平方差公式展开计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： 【变式2】计算： 【答案】 【分析】本题考查整式的乘法，熟知平方差公式及整式乘法的运算法则是正确解决本题的关键． 先运用平方差公式及单项式乘多项式的法则计算，再合并同类项即可． 【详解】解：原式=  =． 【变式3】先化简，再求值： (1)，其中． (2)，其中，． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】本题考查了整式的混合运算和求值，解决本题的关键是根据乘法公式把各部分展开，然后再根据合并同类项的法则合并同类项，把字母的值代入化简后的代数式中计算求值． 首先根据完全平方公式和平方差公式把各部分展开，得到：原式，然后再根据合并同类项的法则合并同类项，可得：原式，把的值代入化简后的代数式计算求值； 首先根据完全平方公式和平方差公式把各部分展开，得到：原式，把括号里面的部分合并同类项，可得：原式，再根据多项式除以单项式的法则计算出结果，把，代入化简后的代数式计算求值． 【详解】（1）解： ， 当时， 原式； （2）解： ． 当，时， 原式． 【变式4】先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】此题考查了整式的化简求值．利用乘法公式和单项式乘以多项式法则展开，合并同类项得到化简结果，把字母的值代入求解即可． 【详解】解： 当，时， 原式 【变式5】先化简，再求值：，其中． 【答案】，12 【分析】本题考查了整式的化简求值；根据平方差公式与完全平方公式化简，然后合并同类项，再将代入求值，即可求解． 【详解】解：原式 ， 当时，原式 ． 一、单选题 1．若是完全平方式，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求完全平方式中的字母系数，熟练掌握完全平方式的结构特征是解题的关键． 这里首末两项是和的平方，那么中间项为加上或减去和的乘积的倍，据此求解即可． 【详解】解： 是完全平方式， ， ， 故选：C． 2．若多项式是关于、的完全平方式，则的值为（   ） A．21 B．19 C．21或 D．或19 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方式，先得出完全平方式为，再将其展开，则有，计算出k的值即可． 【详解】解：∵多项式是关于、的完全平方式， ∴， ∵， ∴， ∴或， 故选：C． 3．已知，则代数式的值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了通过对完全平方公式变形求值，先由，，得出，然后通过，求出即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴选项符合题意， 故选：． 4．若，则（　　） A． B．3 C．1 D．4 【答案】D 【分析】本题考查完全平方公式的应用，代数式求值等知识，熟练掌握完全平方公式的应用是解题关键．将式子配方成，根据平方的非负性可得可得x、y的值，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴，， ∴，， ∴． 故选：D． 5．一个正方形的边长为，若边长增加3，则其面积增加了（   ） A．9 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式，先由题意表示出增加后新正方形的边长，分别求出原正方形与新正方形的面积，相减即可得到增加的面积． 【详解】解：根据题意得：， ∴新正方形的面积增加了 故选：C． 6．已知整式是一个完全平方式，则符合M的整式有（   ）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方式．根据完全平方公式得到或，然后把等式右边展开，从而得到M的值． 【详解】解：∵整式是一个完全平方式， ∴或， 即或， ∴或． 则符合M的整式有3个， 故选：C． 7．将完全相同的四张长方形纸片按如图所示的位置摆放，利用外围正方形，中间正方形和四个长方形面积之间的关系可以得到的等式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，用代数式表示图形中各个部分的面积，根据面积之间的和差关系得出答案，熟练掌握掌握完全平方公式的结构特征并能灵活运用是解决此题的关键． 【详解】解：∵外围大正方形的边长为， ∴面积为， ∵中间小正方形的边长为， ∴面积为， ∵4个长方形的面积和为， ∴有， 故选：D． 8．以下是王双同学化简的解题过程： 原式    （第一步）     （第二步）     （第三步） 王双同学是从（   ）开始出现错误的． A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．无法确定 【答案】A 【分析】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．先根据完全平方公式和单项式乘多项式将式子展开，再去括号，最后合并同类项，即可判断． 【详解】解： （第一步）， （第二步）， （第三步）， 王双同学是从第一步开始出现错误的， 故选：A． 9．已知，那么代数式值是（   ） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】B 【分析】本题考查整式混合运算，已知式子的值求代数式的值．由已知得到，运用整式的混合运算法则对代数式化简变形，代入即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 故选：B 10．已知实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用整式的混合运算，结合实数满足，将化简为，再由配方法及平方非负性确定，最后由不等式的性质即可得到，从而确定答案． 【详解】解： ， 实数满足， ， ， ， ， ， 综上所述，， 则 ， 的最小值为， 故选：C． 【点睛】本题考查了配方法、完全平方公式、平方差公式及整式的混合运算，熟练掌握整式混合运算法则及配方法恒等变形是解决问题的关键． 11．如图，有三张边长分别为a，b，c的正方形纸片A，B，C，将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一长方形中．记图1中阴影部分周长为，面积为；图2中阴影部分周长为，面积为，若，则b与c满足的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式混合运算在面积中的应用，分别用含a，b，c的式子表示出，，，，代入进行运算，即可求解；能表示出各个量，正确进行整式运算是解题的关键． 【详解】解：由图可知，长方形的长为，宽为， ， ， ， ， ，， ， ， 解得，即， 故选：C． 二、填空题 12．已知，那么 ． 【答案】11 【分析】本题考查了完全平方公式变形应用，求代数式的值；由题设得，，由完全平方公式得，而，先代入，再代入即可求解． 【详解】解：∵，且， ∴，； ∵， 即， ∴， ． 故答案为：11． 13．若，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的乘法、完全平方公式，根据完全平方公式对目标式变形是解题的关键． 由题意可得出的值，然后把代数式变形成含有和的式子即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， 即． ∵， 将，代入， ∴． 故答案为：． 14．如图中的四边形均为长方形或正方形，根据图形的面积关系，写出一个等式： ． 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式，利用数形结合的思想是解题关键．根据大正方形的面积=较大正方形的面积+小正方形的面积+2个长方形的面积解答即可． 【详解】解：由图可知大正方形的边长为， ∴大正方形的面积为． 又∵大正方形的面积=较大正方形的面积+小正方形的面积+2个长方形的面积， ∴． 故答案为：． 15．已知，，求 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了同底数幂相乘，幂的乘方，通过对完全平方公式变形求值等知识点，熟练掌握幂的运算法则及完全平方公式是解题的关键． 由，可得，，然后将变形为，最后将，代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ， 故答案为：． 16．如果是完全平方式，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方公式，根据完全平方公式的特点即可求解，掌握完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴， ∴， 故答案为：． 17．用4张长为宽为的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为的正方形，图中空白部分的面积为，阴影部分的面积为，．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算的应用，平方的非负性，根据题意正确列式是解题关键．根据题意，先用含有a、b的代数式分别表示    、，再根据，得到，然后利用平方的非负性求解即可． 【详解】解：由题意可知，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为： 18．4个数a、b、c、d排列，我们称之为二阶行列式，规定它的运算法则为，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，涉及了平方差公式，多项式乘法，解一元一次方程等知识，正确弄清新定义的运算规则是解题的关键．按规定的运算可得关于x的方程，解方程即可求得答案． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， 解得：， 故答案为：． 19．已知x2=2y+5，y2=2x+5(x≠y)，则x3+2x2y2+y3的值为 ． 【答案】 【分析】首先根据题意得出且，从而进一步得出，由此进一步求出的值，最后再通过将所求式子分解为进一步计算即可. 【详解】∵，， ∴，， ∵，而， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了乘法公式的综合运用，熟练掌握相关公式及方法是解题关键. 三、解答题 20．小陈网购了一批总长为米栅栏，准备在自己家后面的空地上围一个长比宽多2米的长方形场地养兔子，设长方形的长为，宽为． (1)求和的长；（结果用含的式子表示） (2)若用这批总长相同的栅栏围成一个正方形场地，请你判断所围的正方形场地与小陈所围的长方形场地哪个面积大？并说明理由． 【答案】(1)， (2)所围的正方形场地比小陈所围的长方形场地面积大，理由见解析 【分析】本题主要考查了列代数式、整式运算等知识，理解题意，弄清数量关系是解题关键． （1）根据长比宽多2米，可知，结合栅栏总长为米以及长方形周长公式，即可确定答案； （2）首先根据正方形周长公式可得正方形的边长为米，易得正方形的面积为平方米，而长方形面积为平方米，由，即可获得答案． 【详解】（1）解：∵长方形的长为，宽为，长比宽多2米， ∴， ∵栅栏总长为米， ∴，解得， ∴； （2）所围的正方形场地比小陈所围的长方形场地面积大，理由如下： ∵所围的正方形周长为米， ∴正方形的边长为米， ∴正方形的面积为平方米， ∵小陈搭的长方形面积为平方米， ∴， 即， ∴所围的正方形场地比小陈所围的长方形场地面积大． 21．已知，代数式． (1)化简代数式A； (2)若是一个完全平方式，求A的值． 【答案】(1) (2)． 【分析】本题主要考查了乘法公式，熟练掌握完全平方公式，平方差公式，整式的加减，是解题关键． （1）根据完全平方公式，平方差公式，去括号，合并即得； （2）根据完全平方式特征，知，得，代入A即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解：是一个完全平方式， ， ， ． 22．（新情境）如图，将图①中的正方形（阴影部分）沿图中虚线用剪刀平均分成四块小正方形，然后拼成图②所示的大正方形． (1)用含的代数式表示图①，图②中阴影部分的面积； (2)根据（1）中得到的结果，我们可以验证一个等式：___________； (3)已知，求的值； (4)若，求的值． 【答案】(1)图①：；图②： (2) (3)7 (4)22 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何证明，完全平方公式的变形求值，解题的关键是熟练掌握完全平方公式． （1）根据正方形面积公式表示出图①中正方形的面积即可；用大正方形的面积减去两个长方形的面积得出答案即可； （2）根据两个图中阴影部分面积相等，即可得出答案； （3）根据完全平方公式，进行变形求值即可； （4）根据，，求出，根据，即可得出答案． 【详解】（1）解：图①中正方形的边长为，则面积为；图②中正方形的面积为：； （2）解：∵图中两个阴影部分的面积相等， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴． （4）解：∵，， ∴ ， ∵ ， ∴． 23．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）根据单项式乘以多项式运算法则，同底数幂乘法法则，去括号法则，合并同类项法则计算即可； （2）根据平方差公式即可求出答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题主要考查了整式的混合运算．熟练掌握单项式乘以多项式法则，同底数幂乘法的法则，平方差公式，去括号法则，合并同类项法则，是解题的关键． 24．已知，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)23 (2)21 【分析】本题主要考查完全平方公式． （1）根据完全平方公式得，将代入即可得解； （2）根据完全平方公式得，将代入即可得解． 【详解】（1）解：，， ∴ ； （2）解： ． 25．先化简，再求值：，其中，． 【答案】，5 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟记相关运算法则即可． 【详解】解：原式 ． 当，时， ． 26．设是关于的代数式，如果当时，代数式，则称A是“优美式”，例如：，当时，，故是“优美式”，根据约定，回答以下问题： (1)下列关于的代数式是“优美式”的有____________． ①；②；③． (2)设实数满足．问：关于的代数式是否为“优美式”？若是，请证明它；若不是，请说明理由． (3)已知关于的代数式是“优美式”且，求的值． 【答案】(1)② (2)是，说明见解析 (3) 【分析】本题主要考查代数式求值，解题的关键是掌握新定义及整式的相关运算． （1）根据新定义把代入计算即可得出答案； （2）对已知等式变形整理得出，据此得出，进一步求解即可； （3）根据新定义得出，结合知，即，代入得，据此可得答案． 【详解】（1）解：当时： ①； ②； ③． ∴②是优美式． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∴是“优美式”． （3）解：∵关于的代数式是“优美式”， ∴， ∴，可知， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$