第09讲 函数与平面直角坐标系（讲练）-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（湖南专用）

第三章 函数 第09讲 函数与平面直角坐标系（8~10分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 平面直角坐标系（高频考点） 考点二 坐标方法的简单应用（高频考点） 考点三 函数（高频考点） 04题型精研·考向洞悉 命题点一 点的坐标特征与变换 ►题型01 判断点所在的象限 ►题型02 由点到坐标轴的距离判断点的坐标 ►题型03 由点的坐标确定点到坐标轴的距离 ►题型04 由点在坐标系的位置确定点的坐标 ►题型05 由点在坐标系的位置确定坐标中未知数的值或取值范围 ►题型06 探索点的坐标规律 命题点二 坐标方法的简单应用 ►题型01 实际问题中用坐标表示位置 ►题型02 用方位角和距离确定物体位置 ►题型03平面直角坐标系中面积问题 命题点三 函数 ►题型01 函数的概念辨析 ►题型02 根据实际问题列函数解析式 ►题型03 求自变量的取值范围 ►题型04 求自变量的值或函数值 ►题型05 函数图象的识别 ►题型06 从函数图象中获取信息 ►题型07 动点问题的函数图象 05分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 01考情透视·目标导航 考点要求 新课标要求 考查频次 命题预测 平面直角坐标系 · 理解平面直角坐标系的有关概念，能画出平面直角坐标系. 10年6考 该专题内容是初中代数最重要的部分，是代数的基础，非常重要，年年都会考查，分值为10分左右.预计2024年各地中考还将出现，在选择、填空题中出现的可能性较大． 点的坐标 特征与变换 · 在给定的平面直角坐标系中，能根据坐标描出点的位置，由点的位置写出坐标. · 对给定的正方形，会选择合适的平面直角坐标系，写出它的顶点坐标，体会可以用坐标表达简单图形. · 在平面直角坐标系中，以坐标轴为对称轴，能写出一个已知顶点坐标的多边形的对称图形的顶点坐标，知道对应顶点坐标之间的关系. · 在平面直角坐标系中，能写出一个已知顶点坐标的多边形沿坐标轴方向平移一定距离后图形的顶点坐标，知道对应顶点坐标之间的关系. 10年5考 坐标方法的简单应用 · 在实际问题中，能建立适当的平面直角坐标系，描述物体的位置. · 在平面上，运用方位角和距离刻画两个物体的相对位置. 10年6考 函数 · 探索简单实例中的数量关系和变化规律，了解常量、变量的意义;了解函数的概念和表示法，能举出函数的实例; · 能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析; · 能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，会求函数值; · 能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系理解函数值的意义; · 结合对函数关系的分析，能对变量的变化情况进行初步讨论. 近10年连续考查 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 平面直角坐标系 （高频考点） 有序数对概念：有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作（a ，b）. 相关概念 具体内容 平面直角坐标系 定义 在平面内画两条互相垂直并且原点重合的数轴，这样就建立了平面直角坐标系. 两轴 水平的数轴叫做x轴或横轴，通常取 向右 方向为正方向； 竖直的数轴叫做y轴或纵轴，通常取 向上 方向为正方向.（见图一） 原点 两坐标轴交点为平面直角坐标系原点. 坐标平面 坐标系所在的平面叫做坐标平面. 象限 x轴和y轴把平面直角坐标系分成四部分，每个部分称为象限. 按逆时针顺序依次叫第一象限、第二象限、第三象限、第四象限.（见图一） 点的坐标 对于坐标轴内任意一点A，过点A分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上的对应 的数a、b分别叫做点A的横坐标和纵坐标，有序数对A(a，b)叫做点A的坐标，记作 A(a，b). （见图二） 点的坐标特征 点P(x，y)的位置 在象限内 第一象限 x＞0，y＞0 第二象限 x＜0，y＞0 第三象限 x＜0，y＜0 第四象限 x＞0，y＜0 坐标轴上 x轴 y=0  y轴 x=0  原点 x=y=0  在角平分线上 第一、三象限 x=y 第二、四象限 x= -y 在平行坐标轴的直线上 平行x轴 所有点的 纵 坐标相等 平行y轴 所有点的 横 坐标相等 点的坐标变化 　 变换方式 具体变换过程 变换后的坐标 点P(x，y) 平移变换 向左平移a个单位 （x-a，y） 向右平移a个单位 (x+a，y) 向上平移a个单位 (x，y+a) 向下平移a个单位 (x，y-a) 简单记为“点的平移右加左减，上加下减” 对称变换 关于x轴对称 (x，-y) 关于y轴对称 (-x，y) 关于原点对称 (-x，-y) 简单记为“关于谁对称谁不变，关于原点对称都改变” 关于x=m对称 (2m-x，y) 关于y=n对称 (x，2n-y) 旋转变换 绕原点顺时针旋转90° （y，-x） 绕原点顺时针旋转180° (-x，-y) 绕原点逆时针旋转90° （-y，x） 绕原点逆时针旋转180° (-x，-y) 点到坐标轴的距离 在平面直角坐标系中，已知点P， 则 1）点P到轴的距离为； 2）点P到轴的距离为； 3）点P到原点O的距离为P＝ . 坐标系内点与点之间的距离 点M（x1，y1）与点N（x2，y2）之间的直线距离（线段长度）： 若AB∥x轴，则的距离为； 若AB∥y轴，则的距离为； 1. 有序数对（a，b）与（b，a）顺序不同，含义也不同. 2. 坐标轴上的点不属于任何象限. 3. 坐标平面内点的坐标是有序实数对，当a≠b时，（a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标. 4. 坐标平面内的点可以用有序实数对来表示，反过来每一个有序实数对应着坐标平面内的一个点，即坐标平面内的点和有序实数对是一一对应的关系. 2）不等式两边加或减，乘或除以的数一定是同一个数或同一个式子． 3）不等式两边不能同时除以0，即0不能作除数或分母． 4） 运用不等式的性质进行不等式变形时,要特别注意性质2和性质3的区别,在乘(或除以)同一个数时,必须先弄清楚这个数是正数还是负数,如果是负数,不等号要改变方向. 5.原点既是x轴上的点，又是y 轴上的点. 6.点的横坐标或纵坐标为0，说明点在 y轴上或在x轴上. 7.已知点的坐标可以求出点到x 轴、y轴的距离，应注意取相应坐标的绝对值. 8.点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两方面： ①到x 轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关； ②距离都是非负数，而坐标可以是负数. 9.因为横轴向右为正，所以点向右平移时横坐标变大，向左平移时横坐标变小，同理向上平移时纵坐标变大，向下平移纵坐标变小. 1．（2023·广东湛江·模拟预测）在平面直角坐标系中，第四象限内有一点，它到x轴的距离为（　　） A．3 B． C．4 D． 2．在平面直角坐标系中，若点与点关于y轴对称，则点落在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（2024·河北·中考真题）平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点称为“和点”．将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度． 例：“和点”按上述规则连续平移3次后，到达点，其平移过程如下： 若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点，则点Q的坐标为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 考点二 坐标方法的简单应用（高频考点） 用坐标表示地理位置的方法 1）选择一个适当的参照点为原点建立直角坐标系，并确定x轴、y轴的正方向； 2）根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出长度单位； 3）坐标平面内画出这些点，并写出各点的坐标和各个地点的名称. 1．（2024·山东·模拟预测）若点关于坐标原点中心对称的点Q在第四象限，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·河北石家庄·二模）一艘海上搜救船在巡逻过程中发现点A处有一艘船发出求救信号，如图是搜救船上显示的雷达示意图，图上标注了以搜救船为中心的等距线（图中所示的同心圆，单位：海里）及角度，要让搜救船在第一时间抵达故障船所在的位置，应该将搜救船的航行方案调整为（　　）    A．向北偏西150°方向航行4海里 B．向南偏西120°方向航行3海里 C．向北偏西60°方向航行4海里 D．向东偏北150°方向航行3海里 3．（2023·山西晋城·校联考模拟预测）北斗七星是指大熊座的天枢、天璇、天玑、天权、玉衡、开阳、摇光七星，古人把这七星联系起来想象成为古代舀酒的斗形，故名北斗．爱好天文的小祺将自己观察到的北斗七星画在如图所示的网格上，建立适当的平面直角坐标系，若表示“摇光”的点的坐标为，表示“开阳”的点的坐标为，则表示“天权”的点（正好在网格点上）的坐标为 ．    考点三 函数 （高频考点） 一、函数的相关概念： 变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量. 常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量称为常量. 函数的定义：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数. 函数的取值范围：使函数有意义的自变量的全体取值，叫做自变量的取值范围. 确定函数取值范围的方法： 1）函数解析式为整式时，字母取值范围为全体实数； 2）函数解析式含有分式时，分式的分母不能为零； 3）函数解析式含有二次根式时，被开方数大于等于零； 4）函数解析式中含有指数为零的式子时，底数不能为零； 5）实际问题中函数取值范围要和实际情况相符合，使之有意义. 函数值概念：如果在自变量取值范围内给定一个值a，函数对应的值为b，那么b叫做当自变量取值为a时的函数值. 函数解析式：用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式. 函数图像上点的坐标与解析式之间的关系： 1）将点的坐标代入到解析式中，如解析式两边成立，则点在解析式上，反之，不在. 2）两个函数图形交点的坐标就是这两个解析式所组成的方程组的解. 二、函数的三种表示法及其优缺点 解析法：两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法. 列表法：把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法. 图像法：用图像表示函数关系的方法叫做图像法. 优点 缺点 解析法 准确反映整个变化过程中自变量与函数的关系 求对应值是要经过比较复杂的计算，而且实 际问题中有的函数值不一定能用解析式表示 列表法 自变量和与它对应的函数值数据一目了然 所列对应数值个数有限，不容易看出自变量 与函数值的对应关系，有局限性 图像法 形象的把自变量和函数值的关系表示出来 图像中只能得到近似的数量关系 1）常量和变量的区分：在某个变化过程中，该量的值是否发生变化。 2）函数概念的解读：①有两个变量。 ②一个变量的数值随另一个变量的数值变化而变化。 ③对于自变量每一个确定的值，函数有且只有一个值与之对应。 3）当已知函数解析式及自变量的值，欲求函数值时，实质就是求代数式的值. 4）当已知函数解析式，且给出函数值,，欲求相应的自变量的值时，实质就是解方程. 5）当给定函数值的一个取值范围，欲求相应的自变量的取值范围时，实质就是解不等式. 1．（2024·上海·模拟预测）下列关于函数说法错误的个数为（    ） （1）已知反比例函数的图像在第一象限，则k的取值范围是且； （2）单曲线不是反比例函数 （3）只要满足且自变量k为不为0的常数的函数，就是反比例函数 （4）抛物线的解析式由顶点坐标和开口方向决定 （5）直线是常值函数，常值函数不是函数 （6）直线不是函数 A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2024·广西·中考真题）激光测距仪L发出的激光束以的速度射向目标M，后测距仪L收到M反射回的激光束．则L到M的距离与时间的关系式为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·江西·中考真题）将常温中的温度计插入一杯的热水（恒温）中，温度计的读数与时间的关系用图象可近似表示为（    ） A． B． C． D． 04题型精研·考向洞悉 命题点一 点的坐标特征与变换 ►题型01 判断点所在的象限 1．（2023松阳县二模）在平面直角坐标系中，点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（2023·福建泉州·统考模拟预测）在平面直角坐标系中，点所在的象限是（    ）. A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ►题型02 由点到坐标轴的距离判断点的坐标 1．（2023·广东佛山·模拟预测）在平面直角坐标系中，点P在第一象限，坐标为，若点P到x轴的距离等于它到y轴的距离，则a的值为（   ） A．1 B． C．0 D．2 2．（2024·贵州铜仁·一模）点P在第三象限，且它到x轴、y轴的距离分别为4和3，则点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·江苏扬州·三模）在平面直角坐标系的第二象限内有一点A，点A到轴的距离为9，到轴的距离为6，则点A的坐标是（   ） A． B． C． D． ►题型03 由点的坐标确定点到坐标轴的距离 1．（2024·贵州遵义·三模）已知点为平面直角坐标系第一象限内的一个点，坐标为，且点到两个坐标轴的距离相等，则a的值为 ． 2．（2024·重庆·模拟预测）已知点，则点到原点的距离是 ． ►题型04 由点在坐标系的位置确定点的坐标 1.（2023福州一中一模）已知在平面直角坐标系中，矩形的三个顶点的坐标为，，，则第四个顶点的坐标为(　　) A． B． C．( D． 2.（2020·江苏连云港·中考真题）如图，将5个大小相同的正方形置于平面直角坐标系中，若顶点、的坐标分别为、，则顶点的坐标为 ． 3.（2023·山东临沂·统考二模）如图是棋盘的一部分，已知建立适当的平面直角坐标系后，棋盘中“相”的坐标是，“馬”的坐标是，则“帅”的坐标是 ．    ►题型05 由点在坐标系的位置确定坐标中未知数的或取值范围 1．（2024·广东东莞·一模）若点关于轴的对称点在第二象限，则的取值范围是 ． 2．（2024·湖南衡阳·二模）若点在第二象限，则x的取值范围是 ． 3．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）坐标系中， 点在第三象限， 则m的取值范围是 . 4．（2024·浙江·模拟预测）在平面直角坐标系中，若点不在第一象限，则的取值范围是 ． ►题型06 探索点的坐标规律 1．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形顶点M的坐标为，是等边三角形，点B坐标是，在正方形内部紧靠正方形的边（方向为）做无滑动滚动，第一次滚动后，点A的对应点记为，的坐标是；第二次滚动后，的对应点记为，的坐标是；第三次滚动后，的对应点记为，的坐标是；如此下去，……，则的坐标是 ． 2．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，已知，，，，，，，…，依此规律，则点的坐标为 ． 3．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，数学活动小组在用几何画板绘制几何图形时，发现了如“花朵”形的美丽图案，他们将等腰三角形OBC置于平面直角坐标系中，点O的坐标为，点B的坐标为，点C在第一象限，．将沿x轴正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与x轴重合，第一次滚动后，点O的对应点为，点C的对应点为，与的交点为，称点为第一个“花朵”的花心，点为第二个“花朵”的花心；……；按此规律，滚动2024次后停止滚动，则最后一个“花朵”的花心的坐标为 ． 命题点二 坐标方法的简单应用 ►题型01 实际问题中用坐标表示位置 1．（2024·四川·中考真题）如图，在一个平面区域内，一台雷达探测器测得在点A，B，C处有目标出现．按某种规则，点A，B的位置可以分别表示为，则点C的位置可以表示为 ． 2．（2023·贵州·中考真题）如图，是贵阳市城市轨道交通运营部分示意图，以喷水池为原点，分别以正东、正北方向为轴、轴的正方向建立平面直角坐标系，若贵阳北站的坐标是，则龙洞堡机场的坐标是 ．      3．（2024·贵州·模拟预测）“在生活的舞台上，我们都是不屈不挠的拳击手，面对无尽的挑战，挥洒汗水，拼搏向前！”今年的春节档《热辣滚烫》展现了角色坚韧不拔的精神面貌，小星、小红两人也观看了此电影．如图是利用平面直角坐标系画出的影院内分布图，若分别以正东、正北方向为轴、轴的正方向，建立平面直角坐标系，他们这样描述自己的座位：①小星：表示我座位的坐标为；②小红：在小星的座位向右走4个座位，再向上走2个座位，就可以找到我了，则表示小红座位的坐标为 ． 4．（2024·贵州·模拟预测）如图，小星从点出发，先向西走，再向南走到达点，如果点的位置用表示，那么表示的位置是点 ． ►题型02 用方位角和距离确定物体位晋 1．（2024·河北廊坊·一模）某位同学先向北偏东方向走，然后向南偏东方向走，她现在所站位置在起点的（    ）方向上 A．正北 B．正东 C．正西 D．正南 2．（2023·河北唐山·一模）如图，从地观测地，发现地在地的北偏东方向上，则从地观测地，可知地在地的（    ） A．北偏东方向上 B．南偏西方向上 C．北偏东方向上 D．南偏西方向上 ►题型03 平面直角坐标系中面积问题 1．（2023·天津河西·统考一模）如图，四边形为菱形，A，B两点的坐标分别是，，点C，D在坐标轴上，则菱形的面积等于（    ） A． B． C． D． 2．（2023定远县一模）三个顶点均在平面直角坐标系中网格的格点上，每一个小正方形的边长均为1．按下列要求画图（画图只能借助无刻度的直尺，用虚线表示画图过程，实线表示画图结果） (1)把沿直线翻折，画出翻折后的； (2)找出格点并画出直线，使直线将分成面积相等的两部分； (3)在轴上存在点，使的面积等于3，直接写出点的坐标． 命题点三 函数 ►题型01 函数的概念辨析 1．（2024·上海·模拟预测）下列关于函数的说法正确的是（   ） A．任何函数都与x轴有交点 B．一次函数，二次函数都与y轴有交点 C．反比例函数与y轴的交点为（0，0） D．原点不在坐标轴上 2．（2024·广东珠海·三模）下列命题是真命题的是（    ） A．是有理数 B．是负数 C．若，则 D．中，S，π，r均为变量 3．（2024·江苏扬州·一模）下列关于函数的图像与性质叙述正确的是（    ） ①该函数图像关于轴对称；②该函数图像关于轴对称；③该函数随着的增大而增大；④该函数的最小值为． A．①③ B．②④ C．③④ D．②③④ ►题型02 根据实际问题列函数解析式 1．（2024·海南·中考真题）设直角三角形中一个锐角为x度（），另一个锐角为y度，则y与x的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·甘肃·中考真题）如图1，“燕几”即宴几，是世界上最早的一套组合桌，由北宋进士黄伯思设计．全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等．七张桌面分开可组合成不同的图形．如图2给出了《燕几图》中名称为“回文”的桌面拼合方式，若设每张桌面的宽为x尺，长桌的长为y尺，则y与x的关系可以表示为（　　） A． B． C． D． 3．（2024·江苏常州·中考真题）若等腰三角形的周长是10，则底边长y与腰长x的函数表达式为 ． ►题型03 求自变量的取值范围 1．（2024·四川巴中·中考真题）函数自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·上海·中考真题）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）在函数中，自变量x的取值范围是 ． 4．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）在函数中，自变量的取值范围是 ． 5．（2024·四川内江·中考真题）在函数中，自变量的取值范围是 ； ►题型04 求自变星的值或函数值 1．（2024·山东东营·中考真题）在弹性限度内，弹簧的长度是所挂物体质量的一次函数．一根弹簧不挂物体时长12.5cm，当所挂物体的质量为2kg时，弹簧长13.5cm．当所挂物体的质量为5kg时，弹簧的长度为 cm， 2．（2024·湖北·中考真题）铁的密度约为，铁的质量与体积成正比例．一个体积为的铁块，它的质量为 ． 3．（2024·山西·中考真题）国际上常用的温标有华氏温标、摄氏温标和热力学温标．已知华氏温标与摄氏温标之间的函数关系为，热力学温标与摄氏温标之间的函数关系为．当热力学温度时，所对应的华氏温度为 ． ►题型05 函数图象的识别 1．（2024·四川凉山·中考真题）匀速地向如图所示的容器内注水，直到把容器注满．在注水过程中，容器内水面高度随时间变化的大致图象是（    ） A．B．C． D． 2．（2023·四川·中考真题）向高为10的容器（形状如图）中注水，注满为止，则水深h与注水量v的函数关系的大致图象是（　　）    A．B．C． D． 3．（2024·山东东营·模拟预测）周日，妈妈送张浩到离家的少年宫，用时20分钟．妈妈到了少年宫后直接返回家里，还是用了20分钟．张浩在少年宫玩了20分钟乒乓球，然后跑步回家，用了15分钟．如图中，正确描述张浩离家时间和离家距离关系的是（   ） A． B． C． D． 4．（2024·湖北武汉·模拟预测）下列不可能是函数图象的是（    ） A． B． C． D． ►题型06 从函数图象中获取信息 1．（2024·江苏徐州·中考真题）小明的速度与时间的函数关系如图所示，下列情境与之较为相符的是（    ） A．小明坐在门口，然后跑去看邻居家的小狗，随后坐着逗小狗玩 B．小明攀岩至高处，然后顺着杆子滑下来，随后躺在沙地上休息 C．小明跑去接电话，然后坐下来电话聊天，随后步行至另一个房间 D．小明步行去朋友家，敲门发现朋友不在家，随后步行回家 2．（2024·山东淄博·中考真题）某日，甲、乙两人相约在一条笔直的健身道路上锻炼．两人都从地匀速出发，甲健步走向地．途中偶遇一位朋友，驻足交流后，继续以原速步行前进；乙因故比甲晚出发，跑步到达地后立刻以原速返回，在返回途中与甲第二次相遇．下图表示甲、乙两人之间的距离与甲出发的时间之间的函数关系．(    ) 那么以下结论： ①甲、乙两人第一次相遇时，乙的锻炼用时为； ②甲出发时，甲、乙两人之间的距离达到最大值； ③甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后； ④，两地之间的距离是． 其中正确的结论有： A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 3．（2024·江苏南通·中考真题）甲、乙两人沿相同路线由A地到B地匀速前进，两地之间的路程为．两人前进路程s（单位：）与甲的前进时间t（单位：h）之间的对应关系如图所示．根据图象信息，下列说法正确的是（    ）    A．甲比乙晚出发1h B．乙全程共用2h C．乙比甲早到B地3h D．甲的速度是 4．（2024·江苏镇江·中考真题）甲、乙两车出发前油箱里都有40L油，油箱剩余油量（单位：L）关于行驶路程（单位：百公里）的函数图像分别如图所示，已知甲车每百公里平均耗油量比乙车每百公里平均耗油量少2L，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·山东潍坊·中考真题）中国中医科学院教授屠呦呦因其在青蒿素抗疟方面的研究获2015年诺贝尔生理学或医学奖．某科研小组用石油醚做溶剂进行提取青蒿素的实验，控制其他实验条件不变，分别研究提取时间和提取温度对青蒿素提取率的影响，其结果如图所示： 由图可知，最佳的提取时间和提取温度分别为（    ） A． B． C． D． ►题型07 动点问题的函数图象 1．（2024·四川广元·中考真题）如图①，在中，，点P从点A出发沿A→C→B以1的速度匀速运动至点B，图②是点P运动时，的面积随时间x（s）变化的函数图象，则该三角形的斜边的长为（    ） A．5 B．7 C． D． 2．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在等腰中，，，动点E，F同时从点A出发，分别沿射线和射线的方向匀速运动，且速度大小相同，当点E停止运动时，点F也随之停止运动，连接，以为边向下做正方形，设点E运动的路程为，正方形和等腰重合部分的面积为y，下列图像能反映y与x之间函数关系的是（    ） A．B．C． D． 3．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图1，矩形中，为其对角线，一动点从出发，沿着的路径行进，过点作，垂足为．设点的运动路程为，为，与的函数图象如图2，则的长为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·安徽·中考真题）如图，在中，，，，是边上的高．点E，F分别在边，上（不与端点重合），且．设，四边形的面积为y，则y关于x的函数图象为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·甘肃·中考真题）如图1，动点P从菱形的点A出发，沿边匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，的长为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到中点时，的长为（　　） A．2 B．3 C． D． 基础巩固 1．在平面直角坐标系中，点落在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知点关于轴的对称点在第一象限，则的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 3．将等腰直角和矩形按如图所示的方式组合放置，，，，现将组合图形绕点O逆时针旋转．则点E旋转后的坐标为（   ） A． B． C． D． 4．如图，把等腰直角三角板放在平面直角坐标系内，直角顶点的坐标为，顶点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 5．小明向大家介绍自己家的位置，下列表达最准确的是（   ） A．在学校的左边 B．在学校的西边 C．在学校西偏北处 D．在学校西偏北方向上，距学校 6．根据下列表述，能确定位置的是（） A．在人民路上 B．在南偏西 C．北纬，西经 D．距市中心处 7．小明在介绍郑州市管城回族区外国语学校位置时，相对准确的表述为（   ） A．公安小区家属院南100米 B．二里岗街以西 C．南五里堡地铁站东北方向 D．紫荆山路以东 8．如图，已知棋子“车”的坐标为，棋子“炮”的坐标为，则棋子“马”的坐标为（   ） A． B． C． D． 9．如图，中，，点在折线上运动，过点作的垂线，垂足为，设，，则关于的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 10．一辆快车从实验中学开往锦绣中学，一辆慢车从锦绣中学开往实验中学，两车同时出发，设快车离锦绣中学的距离为，慢车离锦绣中学的距离为，行驶时间为，两车之间的距离为．与x的函数关系图象如图1所示，s与x的函数关系图象如图2所示．则下列判断：①图1中；②当时，两车相遇；③当时，两车相距； ④当或时，两车相距．其中正确的有__________． A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 11．已知等腰三角形的周长为，若底边长为，一腰长为，则y与x之间的函数表达式正确的是（   ） A． B． C． D． 12．下列图象中，表示是的函数的是（　　） A． B． C． D． 13．甲骑自行车与乙骑摩托车沿相同路线由地到地行驶，两地之间的距离是千米．请结合图象判断下面四个结论，错误的是（　　） A．摩托车的速度是 B．自行车比摩托车早出发两小时 C． D． 14．如图，在中，，，，为的中点，是边上一个动点，连接，过点作，交边于点．设的长为，的面积为，，则与的函数图象大致为（   ） A． B． C． D． 15．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C的坐标分别为，．把横、纵坐标均为偶数的点称为偶点．若双曲线L：将矩形内（不包含边界）的偶点平均分布在其两侧，则k的整数值有 个． 16．如图，一动点从出发，沿所示方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹后的路径与长方形的边所夹锐角为，第1次碰到长方形边上的点的坐标为，则第2025次碰到长方形边上的点的坐标为 ． 17．如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换．若原来点的坐标是，则经过第次变换后，点的对应点的坐标为 ． 18．如图，在的正方形网格中有四个格点，，，，以其中一个点为原点，网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则原点可能是 ．    19．若点在轴上，则点在第 象限． 20．如图是嘉兴市部分景点位置示意图，若在正方形网格中建立适当的平面直角坐标系，使点A（烟雨楼）的坐标为，点B（子城）的坐标为，则点C（月河）的坐标为 ． 21．山西被称为“中国古代建筑宝库”．游戏《黑神话：悟空》让更多的人有了“跟着悟空游山西”了解古代建筑的强烈意愿．小明作为山西人也想为宣传山西助力，为了便于人们更清晰地了解这些宝贵文化遗产的位置，他用所学知识对部分古建的位置进行了表示，如图应县木塔的坐标为，悬空寺的坐标为(4，7)，则佛光寺的坐标为 ． 22．太原古县城始建于明洪武八年（1375年），城内历史建筑遗存众多，十字街格局清晰，沿袭了晋阳古城“城池凤翔余”的古老建筑格局，犹如一只头北尾南的凤凰，自古就有“凤凰城”的美誉．某旅行团在该地旅游时，导游将古县城内及附近的三个景点放在适当的平面直角坐标系中（如图），若关帝庙和太山寺两个景点的坐标分别为，，则棂星门的坐标为 ． 23．如图是一轰炸机群的飞行队形示意图，若在图上建立平面直角坐标系，使最后两架轰炸机分别位于点和点，则第一架轰炸机位于的点P的坐标是 ． 24．已知在直角坐标平面上的机器人接受指令“”后行动，结果为：在原地顺时针旋转后，再沿正面所对方向直线前行．若机器人的初始位置是在，正面所对方向是轴的负方向，则它完成一次指令后所在位置的坐标是 ． 25．已知函数，那么 ． 26．在函数中，自变量的取值范围是 ． 27．如图，在中，，，直线，E是上的动点（端点除外），射线交于点D．在射线上取一点P，使得，作，交射线于点Q．设，．当时， ；在点E运动的过程中，y关于x的函数表达式为 ． 28．货车和轿车分别沿同一路线从地出发去地，已知货车先出发分钟后，轿车才出发，当轿车追上货车分钟后，轿车发生故障，花了分钟修好车后，轿车按原来速度的继续前进，在整个行驶过程中，货车和轿车均保持各自的速度匀速前进，两车相距的路程（米）与货车出发的时间（分钟）之间的关系的部分图象如图所示，对于以下说法：货车的速度为米分； ；点的坐标为；图中的值是．其中正确的是 ． 29．如图1，在扇形中，点P从A点出发，沿运动至B点，再沿线段运动至O点．当点P运动到B点时，点Q从O点出发，沿方向运动（当点P到达O点时，P，Q同时停止运动）．已知，点P的速度为5个单位长度每秒，点Q的速度为4个单位长度每秒．P点到O点的距离d与运动时间t（秒）的关系如图2所示． （1）m的值为 ． （2）面积的最大值为 ． 30．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)作出关于轴对称的图形；（点A、、的对应点分别为点、、） (2)在（1）的条件下直接写出点、的坐标． 31．在方格中的位置如图所示． (1)请在方格纸上（小方格的边长为1）建立平面直角坐标系，使得A、B两点的坐标分别为，并写出C点的坐标； (2)作出关于x轴对称的，并写出点的坐标； (3)求的面积． 32．我县圆圆圈及附近的平面示意图如图所示，已知文化宫的坐标是，闽剧团艺术中心的坐标是 (1)根据上述条件建立平面直角坐标系； (2)若华港大厦的坐标为，请在图中用实心圆点标出华港大厦的位置． 33．甲、乙两机器人从地出发，沿相同路线前往地（到达后停止运动），图中，分别表示甲、乙两机器人前往目的地所走的路程，，(单位：）随甲出发的时间（单位：）变化的函数图象． (1)，两地的距离为_______； (2)求关于的函数解析式； (3)求乙机器人出发多长时间后追上甲，并求出此时机器人距离地的距离． 34．某水果生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种水果，如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度与时间之间的函数关系，其中线段表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段． 请根据图中信息解答下列问题： (1)这个恒温系统设定的恒定温度为多少； (2)求恒温系统关闭阶段的温度y与时间之间的函数关系式； (3)若大棚内的温度低于不利于新品种水果的生长，问这天内，相对有利于水果生长的时间共多少小时？ 能力提升 1．已知点，点B为x轴负半轴上一点，直线绕点A顺时针旋转交y轴于点C，当时，则点B坐标为（　　） A． B． C． D． 2．中山公园位于天安门西侧，原为辽、金时的兴国寺，元代改名万寿兴国寺．明成祖朱棣兴建北京宫殿时，按照“左祖右社”的制度，改建为社稷坛．这里是明、清皇帝祭祀土地神和五谷神的地方．1914年辟为中央公园．为纪念孙中山先生，1928年改名中山公园．如图是中山公园平面图，其中点是孙中山先生像，点是来今雨轩，点是中山堂．分别以水平向右、竖直向上的方向为轴、轴的正方向建立平面直角坐标系，下列对各景点位置描述：     若的坐标为，的坐标为，则的坐标约为： 若的坐标为，的坐标为，则的坐标约为； 若的坐标为，的坐标为，则的坐标约为； 若的坐标为，的坐标为，则的坐标约为． 其中正确的描述有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．甲、乙两人同时骑自行车分别从A，B两地出发到A，B两地之间的C地，且A，B，C三地在同一直线上．当乙到达C地时甲还未到达，乙在C地等了5分钟，接到甲的电话说他的自行车坏了需要工具修理，于是乙在C地拿了工具箱立即以原来倍的速度前往甲坏车处，乙与甲汇合后帮助甲花了10分钟修好自行车，然后两人以甲原来倍的速度骑行同时到达C地．甲、乙两人距C地的距离之和y（米）与甲所用时间x（分钟）之间的函数关系如图所示（乙接电话和找工具箱的时间忽略不计）．则以下说法错误的是（　　） A．甲原来的速度为150米/分钟，乙原来的速度为200米/分钟 B．甲坏车处距离C地2625米 C．A，C两地之间的距离为4125米 D．A，B两地之间的距离为6875米 4．甲、乙两车从地出发匀速驶向地，甲先出发1小时后，乙再沿相同路线出发，在整个行驶过程中，甲、乙两车之间的距离（km）与甲车行驶的时间（h）的函数关系如图所示，给出下列说法：①甲的速度为80km/h；②乙的速度为100km/h；③甲车从地到地，共用时14h；④两地相距1200km；⑤当甲车出发经过10h与13h，甲乙两车相距100km，其中说法正确的个数为（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 5．如图，在平面直角坐标系中，点A是轴正半轴上一个定点，点是轴正半轴上一个动点，以线段为边在轴右侧作等边三角形，以线段为边在上方作等边三角形，连接，随点的移动，下列说法中正确的是（ ） ①； ②； ③所在直线与轴所夹的锐角，度数始终不变； ④随点的向上移动，线段的值逐渐增大． A．①② B．①③ C．①③④ D．②③④ 6．今年国庆假期，小胡和小周去旅行，小胡骑自行车，小周开汽车，两人从甲地出发到乙地，如图表示两人离开甲地的路程（千米）与小胡离开甲地的时间（小时）之间的函数关系．小胡出发2小时后途经一集镇停下休息，然后以原速的前行后突然自行车发生故障，小胡立即打电话求助晚出发的小周，此时小周刚好开车行驶到该集镇．小周购买维修自行车的配件所花的时间与再按原速开车到自行车发生故障地所花时间刚好相等．到达故障地后花15分钟帮小胡修好自行车．之后小周开车以原速一直前行至乙地，小胡则骑自行车以的速度前行至乙地，结果小胡比小周晚到1小时6分钟．    (1)小胡到集镇前的速度是_________；小胡休息了________小时；小胡休息后至自行车发生故障时的骑车速度是_________，这段时间是_________小时． (2)小周开车的速度是多少？小胡比小周早出发多少小时？ (3)请你在图中画出修好自行车后小胡、小周行至乙地的过程中关于的函数图象．（提醒：所画的图象中关键点的坐标必须标出） 7．如图，在矩形中，，，点、、分别从点、、三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动，点、的速度均为，点的速度为，当点追上点（即点与点重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第秒时，的面积为 (1)当秒时，的值是多少？ (2)写出和之间的函数解析式，并指出自变量的取值范围； (3)若点在矩形的边上移动，当为何值时，以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形相似？请说明理由． 8．在平面直角坐标系中，P(1，4)，点A在坐标轴上，且S三角形PAO＝4，求点A的坐标． $$第三章 函数 第09讲 函数与平面直角坐标系（8~10分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 平面直角坐标系（高频考点） 考点二 坐标方法的简单应用（高频考点） 考点三 函数（高频考点） 04题型精研·考向洞悉 命题点一 点的坐标特征与变换 ►题型01 判断点所在的象限 ►题型02 由点到坐标轴的距离判断点的坐标 ►题型03 由点的坐标确定点到坐标轴的距离 ►题型04 由点在坐标系的位置确定点的坐标 ►题型05 由点在坐标系的位置确定坐标中未知数的值或取值范围 ►题型06 探索点的坐标规律 命题点二 坐标方法的简单应用 ►题型01 实际问题中用坐标表示位置 ►题型02 用方位角和距离确定物体位置 ►题型03平面直角坐标系中面积问题 命题点三 函数 ►题型01 函数的概念辨析 ►题型02 根据实际问题列函数解析式 ►题型03 求自变量的取值范围 ►题型04 求自变量的值或函数值 ►题型05 函数图象的识别 ►题型06 从函数图象中获取信息 ►题型07 动点问题的函数图象 05分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 01考情透视·目标导航 考点要求 新课标要求 考查频次 命题预测 平面直角坐标系 · 理解平面直角坐标系的有关概念，能画出平面直角坐标系. 10年6考 该专题内容是初中代数最重要的部分，是代数的基础，非常重要，年年都会考查，分值为10分左右.预计2024年各地中考还将出现，在选择、填空题中出现的可能性较大． 点的坐标 特征与变换 · 在给定的平面直角坐标系中，能根据坐标描出点的位置，由点的位置写出坐标. · 对给定的正方形，会选择合适的平面直角坐标系，写出它的顶点坐标，体会可以用坐标表达简单图形. · 在平面直角坐标系中，以坐标轴为对称轴，能写出一个已知顶点坐标的多边形的对称图形的顶点坐标，知道对应顶点坐标之间的关系. · 在平面直角坐标系中，能写出一个已知顶点坐标的多边形沿坐标轴方向平移一定距离后图形的顶点坐标，知道对应顶点坐标之间的关系. 10年5考 坐标方法的简单应用 · 在实际问题中，能建立适当的平面直角坐标系，描述物体的位置. · 在平面上，运用方位角和距离刻画两个物体的相对位置. 10年6考 函数 · 探索简单实例中的数量关系和变化规律，了解常量、变量的意义;了解函数的概念和表示法，能举出函数的实例; · 能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析; · 能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，会求函数值; · 能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系理解函数值的意义; · 结合对函数关系的分析，能对变量的变化情况进行初步讨论. 近10年连续考查 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 平面直角坐标系 （高频考点） 有序数对概念：有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作（a ，b）. 相关概念 具体内容 平面直角坐标系 定义 在平面内画两条互相垂直并且原点重合的数轴，这样就建立了平面直角坐标系. 两轴 水平的数轴叫做x轴或横轴，通常取 向右 方向为正方向； 竖直的数轴叫做y轴或纵轴，通常取 向上 方向为正方向.（见图一） 原点 两坐标轴交点为平面直角坐标系原点. 坐标平面 坐标系所在的平面叫做坐标平面. 象限 x轴和y轴把平面直角坐标系分成四部分，每个部分称为象限. 按逆时针顺序依次叫第一象限、第二象限、第三象限、第四象限.（见图一） 点的坐标 对于坐标轴内任意一点A，过点A分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上的对应 的数a、b分别叫做点A的横坐标和纵坐标，有序数对A(a，b)叫做点A的坐标，记作 A(a，b). （见图二） 点的坐标特征 点P(x，y)的位置 在象限内 第一象限 x＞0，y＞0 第二象限 x＜0，y＞0 第三象限 x＜0，y＜0 第四象限 x＞0，y＜0 坐标轴上 x轴 y=0  y轴 x=0  原点 x=y=0  在角平分线上 第一、三象限 x=y 第二、四象限 x= -y 在平行坐标轴的直线上 平行x轴 所有点的 纵 坐标相等 平行y轴 所有点的 横 坐标相等 点的坐标变化 　 变换方式 具体变换过程 变换后的坐标 点P(x，y) 平移变换 向左平移a个单位 （x-a，y） 向右平移a个单位 (x+a，y) 向上平移a个单位 (x，y+a) 向下平移a个单位 (x，y-a) 简单记为“点的平移右加左减，上加下减” 对称变换 关于x轴对称 (x，-y) 关于y轴对称 (-x，y) 关于原点对称 (-x，-y) 简单记为“关于谁对称谁不变，关于原点对称都改变” 关于x=m对称 (2m-x，y) 关于y=n对称 (x，2n-y) 旋转变换 绕原点顺时针旋转90° （y，-x） 绕原点顺时针旋转180° (-x，-y) 绕原点逆时针旋转90° （-y，x） 绕原点逆时针旋转180° (-x，-y) 点到坐标轴的距离 在平面直角坐标系中，已知点P， 则 1）点P到轴的距离为； 2）点P到轴的距离为； 3）点P到原点O的距离为P＝ . 坐标系内点与点之间的距离 点M（x1，y1）与点N（x2，y2）之间的直线距离（线段长度）： 若AB∥x轴，则的距离为； 若AB∥y轴，则的距离为； 1. 有序数对（a，b）与（b，a）顺序不同，含义也不同. 2. 坐标轴上的点不属于任何象限. 3. 坐标平面内点的坐标是有序实数对，当a≠b时，（a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标. 4. 坐标平面内的点可以用有序实数对来表示，反过来每一个有序实数对应着坐标平面内的一个点，即坐标平面内的点和有序实数对是一一对应的关系. 2）不等式两边加或减，乘或除以的数一定是同一个数或同一个式子． 3）不等式两边不能同时除以0，即0不能作除数或分母． 4） 运用不等式的性质进行不等式变形时,要特别注意性质2和性质3的区别,在乘(或除以)同一个数时,必须先弄清楚这个数是正数还是负数,如果是负数,不等号要改变方向. 5.原点既是x轴上的点，又是y 轴上的点. 6.点的横坐标或纵坐标为0，说明点在 y轴上或在x轴上. 7.已知点的坐标可以求出点到x 轴、y轴的距离，应注意取相应坐标的绝对值. 8.点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两方面： ①到x 轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关； ②距离都是非负数，而坐标可以是负数. 9.因为横轴向右为正，所以点向右平移时横坐标变大，向左平移时横坐标变小，同理向上平移时纵坐标变大，向下平移纵坐标变小. 1．（2023·广东湛江·模拟预测）在平面直角坐标系中，第四象限内有一点，它到x轴的距离为（　　） A．3 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】本题考查了点到坐标轴的距离，用到的知识点为点到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值，根据点到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值直接求解即可． 【详解】解：点到x轴的距离是：． 故选：C． 2．在平面直角坐标系中，若点与点关于y轴对称，则点落在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】直接利用关于y轴对称的性质得出的值，进而结合各象限内点的坐标特点得出答案． 【详解】∵点与点关于y轴对称， ∴， 解得：， 则点即在第二象限． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了关于y轴对称的点的坐标特征，正确得出的值是解题关键． 3．（2024·河北·中考真题）平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点称为“和点”．将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度． 例：“和点”按上述规则连续平移3次后，到达点，其平移过程如下： 若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点，则点Q的坐标为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了坐标内点的平移运动，熟练掌握知识点，利用反向运动理解是解决本题的关键． 先找出规律若“和点”横、纵坐标之和除以3所得的余数为0时，先向右平移1个单位，之后按照向上、向左，向上、向左不断重复的规律平移，按照的反向运动理解去分类讨论：①先向右1个单位，不符合题意；②先向下1个单位，再向右平移，当平移到第15次时，共计向下平移了8次，向右平移了7次，此时坐标为，那么最后一次若向右平移则为，若向左平移则为． 【详解】解：由点可知横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，继而向上平移1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为2，继而向左平移1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，又要向上平移1个单位，因此发现规律为若“和点”横、纵坐标之和除以3所得的余数为0时，先向右平移1个单位，之后按照向上、向左，向上、向左不断重复的规律平移， 若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点，则按照“和点”反向运动16次求点Q坐标理解，可以分为两种情况： ①先向右1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为0，应该是向右平移1个单位得到，故矛盾，不成立； ②先向下1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，则应该向上平移1个单位得到，故符合题意，那么点先向下平移，再向右平移，当平移到第15次时，共计向下平移了8次，向右平移了7次，此时坐标为，即，那么最后一次若向右平移则为，若向左平移则为， 故选：D． 考点二 坐标方法的简单应用（高频考点） 用坐标表示地理位置的方法 1）选择一个适当的参照点为原点建立直角坐标系，并确定x轴、y轴的正方向； 2）根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出长度单位； 3）坐标平面内画出这些点，并写出各点的坐标和各个地点的名称. 1．（2024·山东·模拟预测）若点关于坐标原点中心对称的点Q在第四象限，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特点和点的坐标，以及解不等式组，掌握两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点的对称点是是解题的关键．根据关于原点对称的点的坐标特点求出点Q的坐标，根据第四象限点的坐标特征列出不等式组，解不等式组即可． 【详解】解：由题知，点关于坐标原点中心对称的点Q的坐标为， 点Q在第四象限， ， 解得， 故选：D． 2．（2023·河北石家庄·二模）一艘海上搜救船在巡逻过程中发现点A处有一艘船发出求救信号，如图是搜救船上显示的雷达示意图，图上标注了以搜救船为中心的等距线（图中所示的同心圆，单位：海里）及角度，要让搜救船在第一时间抵达故障船所在的位置，应该将搜救船的航行方案调整为（　　）    A．向北偏西150°方向航行4海里 B．向南偏西120°方向航行3海里 C．向北偏西60°方向航行4海里 D．向东偏北150°方向航行3海里 【答案】C 【分析】根据方向角的定义：以正南或正北为基准，到目标所在线形成的小于的角，进行判断即可． 【详解】解：根据方向角的定义可知，搜救船的航行方案调整为向北偏西60°方向航行4海里， 故选：C． 【点睛】本题考查利用方向角确定位置．熟练掌握方向角的定义，是解题的关键． 3．（2023·山西晋城·校联考模拟预测）北斗七星是指大熊座的天枢、天璇、天玑、天权、玉衡、开阳、摇光七星，古人把这七星联系起来想象成为古代舀酒的斗形，故名北斗．爱好天文的小祺将自己观察到的北斗七星画在如图所示的网格上，建立适当的平面直角坐标系，若表示“摇光”的点的坐标为，表示“开阳”的点的坐标为，则表示“天权”的点（正好在网格点上）的坐标为 ．    【答案】 【分析】根据“摇光”的点的坐标与“开阳”的点的坐标先判断平面直角坐标系的原点，确定轴，轴，根据坐标系确定表示“天权”的点的坐标即可． 【详解】解：由表示“摇光”的点的坐标为与表示“开阳”的点的坐标为得：平面直角坐标系，如图：    可知：表示“天权”的点（正好在网格点上）的坐标为； 故答案为：． 【点睛】本题考查了利用坐标确定位置，解题的关键就是确定坐标原点和x、y轴的位置． 考点三 函数 （高频考点） 一、函数的相关概念： 变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量. 常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量称为常量. 函数的定义：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数. 函数的取值范围：使函数有意义的自变量的全体取值，叫做自变量的取值范围. 确定函数取值范围的方法： 1）函数解析式为整式时，字母取值范围为全体实数； 2）函数解析式含有分式时，分式的分母不能为零； 3）函数解析式含有二次根式时，被开方数大于等于零； 4）函数解析式中含有指数为零的式子时，底数不能为零； 5）实际问题中函数取值范围要和实际情况相符合，使之有意义. 函数值概念：如果在自变量取值范围内给定一个值a，函数对应的值为b，那么b叫做当自变量取值为a时的函数值. 函数解析式：用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式. 函数图像上点的坐标与解析式之间的关系： 1）将点的坐标代入到解析式中，如解析式两边成立，则点在解析式上，反之，不在. 2）两个函数图形交点的坐标就是这两个解析式所组成的方程组的解. 二、函数的三种表示法及其优缺点 解析法：两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法. 列表法：把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法. 图像法：用图像表示函数关系的方法叫做图像法. 优点 缺点 解析法 准确反映整个变化过程中自变量与函数的关系 求对应值是要经过比较复杂的计算，而且实 际问题中有的函数值不一定能用解析式表示 列表法 自变量和与它对应的函数值数据一目了然 所列对应数值个数有限，不容易看出自变量 与函数值的对应关系，有局限性 图像法 形象的把自变量和函数值的关系表示出来 图像中只能得到近似的数量关系 1）常量和变量的区分：在某个变化过程中，该量的值是否发生变化。 2）函数概念的解读：①有两个变量。 ②一个变量的数值随另一个变量的数值变化而变化。 ③对于自变量每一个确定的值，函数有且只有一个值与之对应。 3）当已知函数解析式及自变量的值，欲求函数值时，实质就是求代数式的值. 4）当已知函数解析式，且给出函数值,，欲求相应的自变量的值时，实质就是解方程. 5）当给定函数值的一个取值范围，欲求相应的自变量的取值范围时，实质就是解不等式. 1．（2024·上海·模拟预测）下列关于函数说法错误的个数为（    ） （1）已知反比例函数的图像在第一象限，则k的取值范围是且； （2）单曲线不是反比例函数 （3）只要满足且自变量k为不为0的常数的函数，就是反比例函数 （4）抛物线的解析式由顶点坐标和开口方向决定 （5）直线是常值函数，常值函数不是函数 （6）直线不是函数 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义、函数的定义、二次函数图像的性质等知识点，理解相关定义成为解题的关键． 根据反比例函数的定义、函数的定义、二次函数图像的性质逐个判断即可． 【详解】解：（1）已知反比例函数的图像在第一象限，则k的取值范围是且，说法正确； （2）单曲线不是反比例函数，说法错误； （3）只要满足且自变量k为不为0的常数的函数，就是反比例函数，说法正确； （4）抛物线的解析式由顶点坐标和开口方向决定，说法错误； （5）直线是常值函数，常值函数是函数，说法错误； （6）直线不是函数，说法错误． 综上，错误的有4个． 故选：D． 2．（2024·广西·中考真题）激光测距仪L发出的激光束以的速度射向目标M，后测距仪L收到M反射回的激光束．则L到M的距离与时间的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查列函数关系式，熟练掌握路程＝速度×时间是解题的关键．根据路程＝速度×时间列式即可． 【详解】解：， 故选：A． 3．（2024·江西·中考真题）将常温中的温度计插入一杯的热水（恒温）中，温度计的读数与时间的关系用图象可近似表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数图象，根据温度计上升到一定的温度后不变，可得答案；注意温度计的温度升高到时温度不变． 【详解】解：将常温中的温度计插入一杯（恒温）的热水中，注意温度计的温度升高到时温度不变，故C选项图象符合条件， 故选：C． 04题型精研·考向洞悉 命题点一 点的坐标特征与变换 ►题型01 判断点所在的象限 1．（2023松阳县二模）在平面直角坐标系中，点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据平面直角坐标系内各点的坐标特征即可解答． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点位于第四象限． 故答案为：D． 【点睛】本题主要考查了坐标系内各点的坐标特征，掌握第四象限内的点的横坐标大于零，纵坐标小于零是解答本题的关键． 2．（2023·福建泉州·统考模拟预测）在平面直角坐标系中，点所在的象限是（    ）. A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据平方数的非负性判断出点P的纵坐标是正数，再根据各象限内点的坐标特征解答． 【详解】∵ ∴ ∴点所在的象限是第二象限． 故选：B． 【点睛】此题考查各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解题关键． ►题型02 由点到坐标轴的距离判断点的坐标 1．（2023·广东佛山·模拟预测）在平面直角坐标系中，点P在第一象限，坐标为，若点P到x轴的距离等于它到y轴的距离，则a的值为（   ） A．1 B． C．0 D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查了点到坐标轴的距离，第一象限内的点的坐标特点，根据点到x轴的距离等于其纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于其横坐标的绝对值，结合第一象限内的点横纵坐标都互为相反数列出方程求解即可． 【详解】解：∵点P在第一象限，坐标为，且点P到x轴的距离等于它到y轴的距离， ∴， ∴， 故选：A． 2．（2024·贵州铜仁·一模）点P在第三象限，且它到x轴、y轴的距离分别为4和3，则点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了点的坐标．根据第三象限点的横坐标与纵坐标都是负数，点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，到轴的距离等于横坐标的绝对值解答． 【详解】解：点是第三象限内的点，且点到轴的距离是4，到轴的距离是3， 点的横坐标为，纵坐标为， 点的坐标是． 故选：C． 3．（2024·江苏扬州·三模）在平面直角坐标系的第二象限内有一点A，点A到轴的距离为9，到轴的距离为6，则点A的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内各象限内点的坐标的特征．设点A的坐标是，根据点M在第二象限内，可得，，再由点A到x轴的距离为9，到y轴的距离为6，可得，，即可求解． 【详解】解：设点A的坐标是， ∵点M在第二象限内， ∴，， ∵点A到x轴的距离为9，到y轴的距离为6， ∴，， ∴，， ∴点A的坐标是． 故选：B． ►题型03 由点的坐标确定点到坐标轴的距离 1．（2024·贵州遵义·三模）已知点为平面直角坐标系第一象限内的一个点，坐标为，且点到两个坐标轴的距离相等，则a的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了点的坐标特征，点到坐标轴的距离，根据第一象限的点的横纵坐标均为正数，且点到两个坐标轴的距离相等得出，求解即可得出答案． 【详解】解：∵点为平面直角坐标系第一象限内的一个点，坐标为，且点到两个坐标轴的距离相等， ∴， 解得：， 故答案为：． 2．（2024·重庆·模拟预测）已知点，则点到原点的距离是 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理及坐标与图形性质，理解点的坐标的几何意义是解题关键．根据点，利用勾股定理即可求出点P到原点的距离． 【详解】解：∵点P坐标为， ∴P到原点的距离为， 故答案：． ►题型04 由点在坐标系的位置确定点的坐标 1.（2023福州一中一模）已知在平面直角坐标系中，矩形的三个顶点的坐标为，，，则第四个顶点的坐标为(　　) A． B． C．( D． 【答案】B 【分析】根据题意描出点，结合矩形的定义即可求解． 【详解】解：如图所示，矩形的三个顶点的坐标为，，， ∴, 故选：B． 【点睛】本题考查了坐标与图形，矩形的等定义，数形结合是解题的关键． 2.（2020·江苏连云港·中考真题）如图，将5个大小相同的正方形置于平面直角坐标系中，若顶点、的坐标分别为、，则顶点的坐标为 ． 【答案】 【分析】先根据条件，算出每个正方形的边长，再根据坐标的变换计算出点A的坐标即可． 【详解】解：设正方形的边长为， 则由题设条件可知： 解得： 点A的横坐标为：，点A的纵坐标为： 故点A的坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系，根据图形和点的特征计算出点的坐标是解题的关键． 3.（2023·山东临沂·统考二模）如图是棋盘的一部分，已知建立适当的平面直角坐标系后，棋盘中“相”的坐标是，“馬”的坐标是，则“帅”的坐标是 ．    【答案】 【分析】先利用已知点坐标得出原点位置，进而确定“帅”的坐标即可． 【详解】解：由棋盘中“相”的坐标是，“馬”的坐标是， 则建立如图所示坐标系：    “帅”的坐标是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解答本题的关键． ►题型05 由点在坐标系的位置确定坐标中未知数的或取值范围 1．（2024·广东东莞·一模）若点关于轴的对称点在第二象限，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查点在平面直角系中的对称，求不等式的解集，掌握平面直角坐标系的特点，轴对称的性质是解题的关键． 根据点关于轴对称的点，横坐标变为相反数，纵坐标不变，再根据不等式的性质求解即可． 【详解】解：∵点关于轴的对称点在第二象限， ∴点， ∴且， 解得，， 故答案为：． 2．（2024·湖南衡阳·二模）若点在第二象限，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查象限内的坐标特征，以及求一元一次不等式组的解集，根据第二象限内横坐标小于零，纵坐标大于零，建立一元一次不等式组求解，即可解题． 【详解】解：点在第二象限， ， 解①得：， 解②得：， 则x的取值范围是， 故答案为：． 3．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）坐标系中， 点在第三象限， 则m的取值范围是 . 【答案】 【分析】本题考查了坐标系中象限中点的特征，以及解一元一次不等式组，熟练掌握知识点是解题的关键． 由题意得，，再解不等式组即可． 【详解】解：由题意得，， 解得，， 得，， 原不等式组的解集为：， 故答案为：． 4．（2024·浙江·模拟预测）在平面直角坐标系中，若点不在第一象限，则的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查的是象限点的坐标特征及解一元一次不等式组，熟知第一象限内点的坐标特点是解答此题的关键．根据第一象限的点的坐标，横坐标为正，纵坐标为正，可得出的范围． 【详解】解：当点在第一象限时得出不等式组为， 解得：， 所以点不在第一象限时的取值范围是或． 故答案为：或． ►题型06 探索点的坐标规律 1．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形顶点M的坐标为，是等边三角形，点B坐标是，在正方形内部紧靠正方形的边（方向为）做无滑动滚动，第一次滚动后，点A的对应点记为，的坐标是；第二次滚动后，的对应点记为，的坐标是；第三次滚动后，的对应点记为，的坐标是；如此下去，……，则的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标变化规律，正方形性质，等边三角形性质，根据三角形的运动方式，依次求出点A的对应点，，，的坐标，发现规律即可解决问题． 【详解】解：正方形顶点M的坐标为， , 是等边三角形，点B坐标是， 等边三角形高为， 由题知， 的坐标是； 的坐标是； 的坐标是； 继续滚动有，的坐标是； 的坐标是； 的坐标是； 的坐标是； 的坐标是； 的坐标是； 的坐标是； 的坐标是； 的坐标是； 的坐标是；不断循环，循环规律为以，，，，12个为一组， ， 的坐标与的坐标一样为， 故答案为：． 2．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，已知，，，，，，，…，依此规律，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了点坐标的规律探究．解题的关键在于根据题意推导出一般性规律．根据题意可知个点坐标的纵坐标为一个循环，的坐标为，据此可求得的坐标． 【详解】解：∵，，，，，，，…，， ∴可知个点坐标的纵坐标为一个循环，的坐标为， ∵， ∴的坐标为． ∴的坐标为 故答案为：． 3．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，数学活动小组在用几何画板绘制几何图形时，发现了如“花朵”形的美丽图案，他们将等腰三角形OBC置于平面直角坐标系中，点O的坐标为，点B的坐标为，点C在第一象限，．将沿x轴正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与x轴重合，第一次滚动后，点O的对应点为，点C的对应点为，与的交点为，称点为第一个“花朵”的花心，点为第二个“花朵”的花心；……；按此规律，滚动2024次后停止滚动，则最后一个“花朵”的花心的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，等腰直角的性质，点的坐标规律探索．连接，求得，，，分别得到，， ，，推导得到，滚动一次得到，滚动四次得到，滚动七次得到，由此得到滚动2024次后停止滚动，则，据此求解即可． 【详解】解：连接， 由题意得，，， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ， 同理， ， ， 滚动一次得到，滚动四次得到，滚动七次得到， ∴滚动2024次后停止滚动，则时，， 故答案为：． 命题点二 坐标方法的简单应用 ►题型01 实际问题中用坐标表示位置 1．（2024·四川·中考真题）如图，在一个平面区域内，一台雷达探测器测得在点A，B，C处有目标出现．按某种规则，点A，B的位置可以分别表示为，则点C的位置可以表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标确定位置，根据题意得到圆圈数表示有序数对的第一个数，度数表示有序数对的第二个数是解题关键．根据题意可得：圆圈数表示有序数对的第一个数，度数表示有序数对的第二个数，可得答案． 【详解】解：∵A，B的位置分别表示为． ∴目标C的位置表示为． 故答案为： 2．（2023·贵州·中考真题）如图，是贵阳市城市轨道交通运营部分示意图，以喷水池为原点，分别以正东、正北方向为轴、轴的正方向建立平面直角坐标系，若贵阳北站的坐标是，则龙洞堡机场的坐标是 ．      【答案】 【分析】根据题意，一个方格代表一个单位，在方格中数出洞堡机场与喷水池的水平距离和垂直距离，再根据洞堡机场在平面直角坐标系的第三象限即可求解． 【详解】解：如图，以喷水池为原点，分别以正东、正北方向为轴、轴的正方向建立平面直角坐标系， 若贵阳北站的坐标是， 方格中一个小格代表一个单位，         洞堡机场与喷水池的水平距离有9个单位长度，与喷水池的垂直距离有4个单位长度，且在平面直角坐标系的第三象限， 龙洞堡机场的坐标是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系点的坐标，掌握在平面直角坐标系中确定一个坐标需要找出距离坐标原点的水平距离和垂直距离是解题的关键． 3．（2024·贵州·模拟预测）“在生活的舞台上，我们都是不屈不挠的拳击手，面对无尽的挑战，挥洒汗水，拼搏向前！”今年的春节档《热辣滚烫》展现了角色坚韧不拔的精神面貌，小星、小红两人也观看了此电影．如图是利用平面直角坐标系画出的影院内分布图，若分别以正东、正北方向为轴、轴的正方向，建立平面直角坐标系，他们这样描述自己的座位：①小星：表示我座位的坐标为；②小红：在小星的座位向右走4个座位，再向上走2个座位，就可以找到我了，则表示小红座位的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标确定位置．根据小星座位的坐标为，建立平面直角坐标系，进而分别分析得出答案． 【详解】解：∵小星座位的坐标为， ∴建立平面直角坐标系如图， ∴小红座位的坐标为， 故答案为：． 4．（2024·贵州·模拟预测）如图，小星从点出发，先向西走，再向南走到达点，如果点的位置用表示，那么表示的位置是点 ． 【答案】B 【分析】本题考查坐标确定位置，根据点在平面直角坐标系中的确定方法解答即可． 【详解】解：∵点M的位置用表示，实际意义为从点O出发，先向西走，再向南走， ∴网格中一个小正方形边长为， ∴表示的位置实际意义为从点O出发，先向东走，再向北走，对应的是点B， 故答案为：B． ►题型02 用方位角和距离确定物体位晋 1．（2024·河北廊坊·一模）某位同学先向北偏东方向走，然后向南偏东方向走，她现在所站位置在起点的（    ）方向上 A．正北 B．正东 C．正西 D．正南 【答案】B 【分析】本题主要是考查根据方向和距离确定物体的位置，根据平面图上方向的辨别“上北下南，左西右东”，以该同学起点的位置为观测点向北偏东方向走，以此时所处的位置为观测点向南偏东方向走，以起点的位置为观测点，即可得出答案． 【详解】解：如图： ∴同学先向北偏东方向走，然后向南偏东方向走，她现在所站位置在起点的正东方向上， 故选：B． 2．（2023·河北唐山·一模）如图，从地观测地，发现地在地的北偏东方向上，则从地观测地，可知地在地的（    ） A．北偏东方向上 B．南偏西方向上 C．北偏东方向上 D．南偏西方向上 【答案】B 【分析】根据方位角定义找到基点结合上北下南左西右东及平行线性质即可得到答案 【详解】解：由题意可得， ，， ∴地在地的南偏西方向上， 故选B； 【点睛】本题主要考查方位角计算及平行线性质，解题的关键是掌握方位角在基点位置画出东南西北． ►题型03 平面直角坐标系中面积问题 1．（2023·天津河西·统考一模）如图，四边形为菱形，A，B两点的坐标分别是，，点C，D在坐标轴上，则菱形的面积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据菱形的对角线互相平分求算出的长度，再根据菱形面积等于对角线乘积的一半计算． 【详解】解：∵四边形为菱形，A，B两点的坐标分别是，， ∴ ∴ ∴菱形的面积=． 故选：C． 【点睛】本题考查菱形的性质以及坐标与图形的性质，掌握菱形的对角线互相平分以及菱形面积等于对角线乘积的一半是解题关键． 2．（2023定远县一模）三个顶点均在平面直角坐标系中网格的格点上，每一个小正方形的边长均为1．按下列要求画图（画图只能借助无刻度的直尺，用虚线表示画图过程，实线表示画图结果） (1)把沿直线翻折，画出翻折后的； (2)找出格点并画出直线，使直线将分成面积相等的两部分； (3)在轴上存在点，使的面积等于3，直接写出点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)或 【分析】（1）找到点关于的对称点，连接、即可； （2）过点作的平行线，取，作直线，由全等三角形的性质可知直线经过中点，将分成面积相等的两部分； （3）设交轴于点，点为轴上一点，则有，根据面积公式计算可得，结合点坐标确定点的坐标即可． 【详解】（1）解：如图，找到点关于的对称点，连接、即可； （2）如图，过点作的平行线，取，作直线，则直线将分成面积相等的两部分； （3）如图，设交轴于点，由图可知点， 设点到轴的距离为，点到轴的距离为，由图可知，， 则 ∵的面积等于3，即， 解得， ∴点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形、基本作图、轴对称、三角形面积等知识，熟练掌握基本作图方法及相关知识是解题关键． 命题点三 函数 ►题型01 函数的概念辨析 1．（2024·上海·模拟预测）下列关于函数的说法正确的是（   ） A．任何函数都与x轴有交点 B．一次函数，二次函数都与y轴有交点 C．反比例函数与y轴的交点为（0，0） D．原点不在坐标轴上 【答案】B 【分析】本题考查了正比例函数与一次函数，二次函数，反比例函数的定义，正确把握它们的区别与联系是解题的关键． 直接利用一次函数，二次函数，反比例函数的定义判断即可． 【详解】解：A、任何函数都不一定与x轴有交点，原说法不正确，故此选项不符合题意． B、一次函数，二次函数都与y轴有交点，原说法正确，故此选项符合题意． C、反比例函数与y轴不会有交点，原说法不正确，故此选项不符合题意． D、原点是坐标轴上的点，原说法不正确，故此选项不符合题意． 故选：B． 2．（2024·广东珠海·三模）下列命题是真命题的是（    ） A．是有理数 B．是负数 C．若，则 D．中，S，π，r均为变量 【答案】C 【分析】本题考查判断真假命题．根据有理数的定义，负数的定义，绝对值，常量与变量分别判断即可． 【详解】解：A．是无理数，故本选项的命题是假命题； B．有可能是负数，有可能是正数，也有可能是0，故本选项的命题是假命题； C．若，则，故本选项的命题是真命题； D．中，，均为变量，为常量，故本选项的命题是假命题． 故选：C 3．（2024·江苏扬州·一模）下列关于函数的图像与性质叙述正确的是（    ） ①该函数图像关于轴对称；②该函数图像关于轴对称；③该函数随着的增大而增大；④该函数的最小值为． A．①③ B．②④ C．③④ D．②③④ 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式的性质，解题个关键是熟知二次根式的性质，根据二次根式的性质即可求解． 【详解】该函数图象关于轴不对称，故①错误； 该函数图像关于轴不对称，故②错误； 该函数随着的增大而增大，故③正确； 该函数的最小值为，故④正确． 故选：C． ►题型02 根据实际问题列函数解析式 1．（2024·海南·中考真题）设直角三角形中一个锐角为x度（），另一个锐角为y度，则y与x的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了函数关系式．利用直角三角形的两锐角互余可得到y与x的关系式． 【详解】解：∵直角三角形中一个锐角的度数为x度，另一个锐角为y度， ∴． 故选：D． 2．（2024·甘肃·中考真题）如图1，“燕几”即宴几，是世界上最早的一套组合桌，由北宋进士黄伯思设计．全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等．七张桌面分开可组合成不同的图形．如图2给出了《燕几图》中名称为“回文”的桌面拼合方式，若设每张桌面的宽为x尺，长桌的长为y尺，则y与x的关系可以表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了列函数关系式，观察可知，小桌的长是小桌宽的两倍，则小桌的长是，再根据长桌的长等于小桌的长加上2倍的小桌的宽列出对应的函数关系式即可． 【详解】解：由题意可得，小桌的长是小桌宽的两倍，则小桌的长是， ∴， 故选：B． 3．（2024·江苏常州·中考真题）若等腰三角形的周长是10，则底边长y与腰长x的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查列函数解析式，根据三角形的周长等于三边之和，等腰三角形的两腰相等，列出函数关系式，即可． 【详解】解：由题意，得：； 故答案为：． ►题型03 求自变量的取值范围 1．（2024·四川巴中·中考真题）函数自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求函数自变量的取值范围、二次根式的定义，熟练掌握二次根式的有意义的条件是解题关键．根据二次根式的有意义的条件建立不等式求解即可解题． 【详解】解：由题知，， 解得， 故答案为：C． 2．（2024·上海·中考真题）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查求函数定义域，涉及分式有意义的条件：分式分母不为0，解不等式即可得到答案，熟练掌握求函数定义域的方法是解决问题的关键． 【详解】解：函数的定义域是，解得， 故选：D． 3．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）在函数中，自变量x的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查函数自变量取值范围，分别根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件列出不等式求解即可． 【详解】解：根据题意得，，且， 解得，， 故答案为：． 4．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）在函数中，自变量的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了求自变量的取值范围，根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件列出不等式组解答即可求解，掌握二次根式有意义的条件和分式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，， 解得且， 故答案为：且． 5．（2024·四川内江·中考真题）在函数中，自变量的取值范围是 ； 【答案】 【分析】本题考查函数的概念，根据分式成立的条件求解即可．熟练掌握分式的分母不等于零是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，， 故答案为：． ►题型04 求自变星的值或函数值 1．（2024·山东东营·中考真题）在弹性限度内，弹簧的长度是所挂物体质量的一次函数．一根弹簧不挂物体时长12.5cm，当所挂物体的质量为2kg时，弹簧长13.5cm．当所挂物体的质量为5kg时，弹簧的长度为 cm， 【答案】 【分析】本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式、由自变量求函数值的知识点，解答时求出函数的解析式是关键．设与的函数关系式为，由待定系数法求出解析式，并把代入解析式求出对应的值即可． 【详解】解：设与的函数关系式为， 由题意，得， 解得：， 故与之间的关系式为：， 当时，． 故答案为：． 2．（2024·湖北·中考真题）铁的密度约为，铁的质量与体积成正比例．一个体积为的铁块，它的质量为 ． 【答案】79 【分析】本题考查了正比例函数的应用．根据铁的质量与体积成正比例，列式计算即可求解． 【详解】解：∵铁的质量与体积成正比例， ∴m关于V的函数解析式为， 当时，， 故答案为：79． 3．（2024·山西·中考真题）国际上常用的温标有华氏温标、摄氏温标和热力学温标．已知华氏温标与摄氏温标之间的函数关系为，热力学温标与摄氏温标之间的函数关系为．当热力学温度时，所对应的华氏温度为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求函数值，正确理解题意是解题的关键． 直接把代入到中确定，再代入进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， ∴ 故答案为：． ►题型05 函数图象的识别 1．（2024·四川凉山·中考真题）匀速地向如图所示的容器内注水，直到把容器注满．在注水过程中，容器内水面高度随时间变化的大致图象是（    ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数图象，根据容器最下面圆柱底面积最小，中间圆柱底面积最大，最上面圆柱底面积最较大即可判断求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：由容器可知，最下面圆柱底面积最小，中间圆柱底面积最大，最上面圆柱底面积最较大，所以一开始水面高度上升的很快，然后很慢，最后又上升的更快点， 故选：． 2．（2023·四川·中考真题）向高为10的容器（形状如图）中注水，注满为止，则水深h与注水量v的函数关系的大致图象是（　　）    A．B．C． D． 【答案】D 【分析】从水瓶的构造形状上看，从底部到顶部的变化关系为：开始宽，逐渐细小，再变宽，再从函数的图象上看，选出答案． 【详解】解：从水瓶的构造形状上看，从底部到顶部的变化关系为：开始宽，逐渐细小，再变宽． 则注入的水量v随水深h的变化关系为：先慢再快，最后又变慢， 那么从函数的图象上看， C对应的图象变化为先快再慢，最后又变快，不符合； A、B对应的图象中间没有变化，只有D符合条件． 故选：D． 【点睛】本题主要考查函数的定义及函数的图象的关系，抓住变量之间的变化关系是解题的关键． 3．（2024·山东东营·模拟预测）周日，妈妈送张浩到离家的少年宫，用时20分钟．妈妈到了少年宫后直接返回家里，还是用了20分钟．张浩在少年宫玩了20分钟乒乓球，然后跑步回家，用了15分钟．如图中，正确描述张浩离家时间和离家距离关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数的图象，根据题意结合各个选项的图象分析即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵妈妈送张浩到离家的少年宫，用时20分钟，张浩在少年宫玩了20分钟乒乓球，然后跑步回家，用了15分钟， ∴正确描述张浩离家时间和离家距离关系的是 故选：C． 4．（2024·湖北武汉·模拟预测）下列不可能是函数图象的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象，根据的图象开口方向及与x轴的交点情况逐项判断即可． 【详解】 解：当的图象开口向上，与x轴只有一个交点时，图象可能是， 故A选项不合题意； 当的图象开口向下，与x轴有两个交点时，图象可能是， 故D选项不合题意； 当的图象开口向上，与x轴有两个交点时，图象可能是， 故C选项不合题意； 图象不可能是， 故选B． ►题型06 从函数图象中获取信息 1．（2024·江苏徐州·中考真题）小明的速度与时间的函数关系如图所示，下列情境与之较为相符的是（    ） A．小明坐在门口，然后跑去看邻居家的小狗，随后坐着逗小狗玩 B．小明攀岩至高处，然后顺着杆子滑下来，随后躺在沙地上休息 C．小明跑去接电话，然后坐下来电话聊天，随后步行至另一个房间 D．小明步行去朋友家，敲门发现朋友不在家，随后步行回家 【答案】C 【分析】本题考查了函数图象，读懂函数图象，从图象中获取必要的信息是解决本题的关键． 根据函数图象分析即可． 【详解】解：由图象可知速度先随时间的增大而增大，然后直接降为0，过段时间速度增大，然后匀速运动， 则小明跑去接电话，然后坐下来电话聊天，随后步行至另一个房间，符合题意． 故选：C． 2．（2024·山东淄博·中考真题）某日，甲、乙两人相约在一条笔直的健身道路上锻炼．两人都从地匀速出发，甲健步走向地．途中偶遇一位朋友，驻足交流后，继续以原速步行前进；乙因故比甲晚出发，跑步到达地后立刻以原速返回，在返回途中与甲第二次相遇．下图表示甲、乙两人之间的距离与甲出发的时间之间的函数关系．(    ) 那么以下结论： ①甲、乙两人第一次相遇时，乙的锻炼用时为； ②甲出发时，甲、乙两人之间的距离达到最大值； ③甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后； ④，两地之间的距离是． 其中正确的结论有： A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题考查了函数图象以及二元一次方程组的应用；①由乙比甲晚出发及当时第一次为，可得出乙出发时两人第一次相遇，进而可得出结论①正确；②观察函数图象，可得出当时，取得最大值，最大值为，进而可得出结论②正确；③设甲的速度为 ，乙的速度为，利用路程速度时间，可列出关于，的二元一次方程组，解之可得出，的之，将其代入中，可得出甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后，进而可得出结论③错误；④利用路程速度时间，即可求出，两地之间的距离是． 【详解】解：①乙比甲晚出发，且当时，， 乙出发时，两人第一次相遇， 既甲、乙两人第一次相遇时，乙的锻炼用时为，结论①正确； ②观察函数图象，可知：当时，取得最大值，最大值为， 甲出发时，甲、乙两人之间的距离达到最大值，结论②正确； ③设甲的速度为，乙的速度为， 根据题意得：， 解得：， ∴， 甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后，结论③错误； ④， ，两地之间的距离是，结论④正确． 综上所述，正确的结论有①②④． 故选：B． 3．（2024·江苏南通·中考真题）甲、乙两人沿相同路线由A地到B地匀速前进，两地之间的路程为．两人前进路程s（单位：）与甲的前进时间t（单位：h）之间的对应关系如图所示．根据图象信息，下列说法正确的是（    ）    A．甲比乙晚出发1h B．乙全程共用2h C．乙比甲早到B地3h D．甲的速度是 【答案】D 【分析】本题考查用函数图象表示变量之间的关系，从函数图形获取信息，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、乙比甲晚出发1h，原说法错误，不符合题意； B、乙全程共用，原说法错误，不符合题意； C、乙比甲早到B地，原说法错误，不符合题意； D、甲的速度是，原说法正确，符合题意； 故选D． 4．（2024·江苏镇江·中考真题）甲、乙两车出发前油箱里都有40L油，油箱剩余油量（单位：L）关于行驶路程（单位：百公里）的函数图像分别如图所示，已知甲车每百公里平均耗油量比乙车每百公里平均耗油量少2L，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查函数的图象，关键是由图象获取信息来解决问题． 由图象知甲、乙两车行驶百公里时，甲车耗油，乙车耗油，由题意即可得到答案． 【详解】解：由图象知：甲、乙两车行驶百公里时，甲车耗油，乙车耗油， 由题意得：． 故选：B． 5．（2024·山东潍坊·中考真题）中国中医科学院教授屠呦呦因其在青蒿素抗疟方面的研究获2015年诺贝尔生理学或医学奖．某科研小组用石油醚做溶剂进行提取青蒿素的实验，控制其他实验条件不变，分别研究提取时间和提取温度对青蒿素提取率的影响，其结果如图所示： 由图可知，最佳的提取时间和提取温度分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是实验数据的分析和解读，从图中获取信息是解题的关键．根据图像即可得到最佳时间和温度． 【详解】解：由图像可知，在时提取率最高， 时提取率最高， 故最佳的提取时间和提取温度分别为， 故选B． ►题型07 动点问题的函数图象 1．（2024·四川广元·中考真题）如图①，在中，，点P从点A出发沿A→C→B以1的速度匀速运动至点B，图②是点P运动时，的面积随时间x（s）变化的函数图象，则该三角形的斜边的长为（    ） A．5 B．7 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根据函数图象获取信息，完全平方公式，勾股定理， 由图象可知，面积最大值为6，此时当点P运动到点C，得到，由图象可知， 根据勾股定理，结合完全平方公式即可求解． 【详解】解：由图象可知，面积最大值为6 由题意可得，当点P运动到点C时，的面积最大， ∴，即， 由图象可知，当时，，此时点P运动到点B， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A 2．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在等腰中，，，动点E，F同时从点A出发，分别沿射线和射线的方向匀速运动，且速度大小相同，当点E停止运动时，点F也随之停止运动，连接，以为边向下做正方形，设点E运动的路程为，正方形和等腰重合部分的面积为y，下列图像能反映y与x之间函数关系的是（    ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】本题考查动态问题与函数图象，能够明确y与x分别表示的意义，并找到几何图形与函数图象之间的关系，以及对应点是解题的关键，根据题意并结合选项分析当与重合时，及当时图象的走势，和当时图象的走势即可得到答案． 【详解】解：当与重合时，设，由题可得： ∴，， 在中，由勾股定理可得：， ∴， ∴， ∴当时，， ∵， ∴图象为开口向上的抛物线的一部分， 当在下方时，设，由题可得： ∴，， ∵，, ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，， ∵， ∴图象为开口向下的抛物线的一部分， 综上所述：A正确， 故选：A． 3．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图1，矩形中，为其对角线，一动点从出发，沿着的路径行进，过点作，垂足为．设点的运动路程为，为，与的函数图象如图2，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，根据图象得出信息是解题的关键． 根据函数的图象与坐标的关系确定的长，再根据矩形性质及勾股定理列方程求解． 【详解】解：由图象得：，当时，，此时点P在边上， 设此时，则，， 在中，， 即：， 解得：， ， 故选：B． 4．（2024·安徽·中考真题）如图，在中，，，，是边上的高．点E，F分别在边，上（不与端点重合），且．设，四边形的面积为y，则y关于x的函数图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了函数图象的识别，相似三角形的判定以及性质，勾股定理的应用，过点E作于点H，由勾股定理求出，根据等面积法求出，先证明，由相似三角形的性质可得出，即可求出，再证明，由相似三角形的性质可得出，即可得出，根据，代入可得出一次函数的解析式，最后根据自变量的大小求出对应的函数值． 【详解】解：过点E作于点H，如下图： ∵，，， ∴， ∵是边上的高． ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴当时， ， 当时，． 故选：A． 5．（2024·甘肃·中考真题）如图1，动点P从菱形的点A出发，沿边匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，的长为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到中点时，的长为（　　） A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】结合图象，得到当时，，当点P运动到点B时，，根据菱形的性质，得，继而得到，当点P运动到中点时，的长为，解得即可． 本题考查了菱形的性质，图象信息题，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质是解题的关键． 【详解】结合图象，得到当时，， 当点P运动到点B时，， 根据菱形的性质，得， 故， 当点P运动到中点时，的长为， 故选C． 基础巩固 1．在平面直角坐标系中，点落在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】本题主要考查了判断点所在的象限，根据点A的横纵坐标都为负数即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴在平面直角坐标系中，点落在第三象限， 故选：C． 2．已知点关于轴的对称点在第一象限，则的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了点的坐标与轴对称，熟练掌握点的坐标与轴对称变换规律是解题关键．先判断出点在第二象限，再根据第二象限的点的横坐标小于0、纵坐标大于0建立不等式组，解不等式组即可得． 【详解】解：∵点关于轴的对称点在第一象限， ∴点在第二象限， ∴， 解得， 故选：D． 3．将等腰直角和矩形按如图所示的方式组合放置，，，，现将组合图形绕点O逆时针旋转．则点E旋转后的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查坐标与图形变换—旋转，先求出点坐标，连接，作出旋转后的线段，过点作轴，证明，进而求出的坐标即可． 【详解】解：∵为等腰直角三角形，四边形为矩形，，， ∴轴，， ∴， 连接，设旋转后点的对应点为，过点作轴， 则：，，， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选A． 4．如图，把等腰直角三角板放在平面直角坐标系内，直角顶点的坐标为，顶点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了坐标与图形、全等三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题关键．过点作轴于点，过点作轴于点，证明，结合全等三角形的性质可得，，进而可得，即可获得答案． 【详解】解：如下图，过点作轴于点，过点作轴于点， 则， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴，，， 由题意可知，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵点在第三象限， ∴． 故选：B． 5．小明向大家介绍自己家的位置，下列表达最准确的是（   ） A．在学校的左边 B．在学校的西边 C．在学校西偏北处 D．在学校西偏北方向上，距学校 【答案】D 【分析】本题考查位置的确定，解题的关键是掌握判断一个物体的方位，应包含参照物、方向、距离．根据方位的定义依次判断即可． 【详解】解：A、缺少距离，不准确，不符合题意； B、缺少距离，不准确，不符合题意； C、缺少距离，不准确，不符合题意； D、条件齐全，符合题意． 故选：D． 6．根据下列表述，能确定位置的是（） A．在人民路上 B．在南偏西 C．北纬，西经 D．距市中心处 【答案】C 【分析】本题考查了坐标确定位置；根据坐标的定义，确定位置需要两个数据，对各选项分析判断即可． 【详解】解：A．在人民路上，不能确定具体位置，故不符合题意； B．在南偏西，缺少距离，不能确定位置，故不符合题意； C．北纬，西经，能确定位置，故符合题意； D．距市中心处，缺少方向，不能确定位置，故不符合题意； 故选：C． 7．小明在介绍郑州市管城回族区外国语学校位置时，相对准确的表述为（   ） A．公安小区家属院南100米 B．二里岗街以西 C．南五里堡地铁站东北方向 D．紫荆山路以东 【答案】A 【分析】本题主要考查了坐标确定位置，根据坐标确定位置需要两个数据对各选项分析判断后利用排除法求解，理解位置的确定需要两个数据是解题的关键． 【详解】解：A．公安小区家属院南100米，能确定位置，符合题意； B．二里岗街以西，只有方向，没有距离，不能确定位置，不符合题意； C．南五里堡地铁站东北方向，只有方向，没有距离，不能确定位置，不符合题意； D．紫荆山路以东，只有方向，没有距离，不能确定位置，不符合题意； 故选：A． 8．如图，已知棋子“车”的坐标为，棋子“炮”的坐标为，则棋子“马”的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了坐标确定位置．直接利用已知点坐标建立平面直角坐标系，进而得出答案． 【详解】解：如图，建立坐标系如下： ∴棋子“马”的坐标为； 故选：D 9．如图，中，，点在折线上运动，过点作的垂线，垂足为，设，，则关于的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了动点与面积的关系，相似三角形的判定和性质，二次函数图象的性质，掌握动点运用的规律，相似三角形的判定和性质得到的值，正确计算三角形的面积，确定函数关系式，结合图形分析是解题的关键． 运用勾股定理，等面积法得到边上的高，根据点在折线上运动，分类讨论：当点在上时，，即；当点在上时，如图所示，，即；运用相似三角形的判定和性质可得的值，由三角形面积的公式可得关于的函数解析式，结合二次函数图象的性质判定即可求解； 【详解】解：在中，， ∴， 如图所示，过点作于点， ∵， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当点在上时，，即，， ∴， ∴图形是二次函数图象的一部分，开口向上，故A、B选项符合题意，C、D选项不符合题意； 当点在上时，如图所示，，即， ∵， ∴，且， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴图形是二次函数图象的一部分，开口向下，故A选项符合题意，B选项不符合题意； 故选：A ． 10．一辆快车从实验中学开往锦绣中学，一辆慢车从锦绣中学开往实验中学，两车同时出发，设快车离锦绣中学的距离为，慢车离锦绣中学的距离为，行驶时间为，两车之间的距离为．与x的函数关系图象如图1所示，s与x的函数关系图象如图2所示．则下列判断：①图1中；②当时，两车相遇；③当时，两车相距； ④当或时，两车相距．其中正确的有__________． A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】A 【分析】本题考查从函数图象获取信息，一元一次方程的实际应用，理解题意，看懂图象是解题关键．由图象可知两地相距300千米，且当时，快车到达终点，即可判断①；分别求出快车和慢车的速度，即可求出相遇时的时间，可判断②；求出时，两车的路程即可判断③；分两车相遇之前和当两车相遇之后，两种情况解答，即可判断④． 【详解】解：由题意可知锦绣中学与实验中学的距离为300千米，当时，快车到达实验中学， ∴，故①正确； 快车的速度为，慢车的速度为， 相遇时，即， 解得：，故②正确； 当时，快车行驶的路程为，慢车行驶的路程为， ∴两车相距，故③正确； 当两车相遇之前，相距，即， 解得：； 当两车相遇之后，相距，即， 解得：， ∴此时快车早已到达，故不合题意， ∴当时，两车相距，故④错误． 综上可知①②③正确． 故选A． 11．已知等腰三角形的周长为，若底边长为，一腰长为，则y与x之间的函数表达式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据实际问题列一次函数关系式，等腰三角形的性质及三角形三边关系；根据三角形周长的定义列出方程，再根据三角形三边的关系确定自变量的范围即可． 【详解】解：∵等腰三角形的周长为，若底边长为，一腰长为， ∴， ∴， ∵两边之和大于第三边， ∴， 解得． 故选：C． 12．下列图象中，表示是的函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了函数的概念，掌握函数的定义是解题的关键． 根据函数的定义：有两个变量x、y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值和它对应，那么y就是x的函数，据此判断即可． 【详解】解：A、给定x的一个值，y有两个值和它对应，故y不是x的函数，该选项不合题意； B、y是x的函数，该选项符合题意； C、给定x的一个值，y有两个值和它对应，故y不是x的函数，该选项不合题意； D、给定x的一个值，y有两个值和它对应，故y不是x的函数，该选项不合题意． 故选：B． 13．甲骑自行车与乙骑摩托车沿相同路线由地到地行驶，两地之间的距离是千米．请结合图象判断下面四个结论，错误的是（　　） A．摩托车的速度是 B．自行车比摩托车早出发两小时 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的应用，用待定系数法求出一次函数解析式，借助函数图象来求解是解答关键．从函数图象可求出摩托车的速度，可判断A；从函数图象可知自行车比摩托车早出发两小时来求解，可判断B；先求出摩托车的解析式和自行车的解析式，再求出它们的交点横坐标即可求解，可判断C、D． 【详解】解：A．由图象可知，摩托车的速度是，故此项不符合题意； B．由图像可知，自行车比摩托车早出发两小时，故此项不符合题意； C．设摩托车的解析式为， 将点和代入得， 解得， 设自行车的解析式为， 将点代入得， 所以自知行车的解析式为， 由题意可知，当摩托车与自行车相遇时：，解得： 则，故此项不符合题意； D．由上可知，故此项错误，符合题意． 故选：D． 14．如图，在中，，，，为的中点，是边上一个动点，连接，过点作，交边于点．设的长为，的面积为，，则与的函数图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出，则，，，过点作于，过点作于，延长到，使，连接，，则，，设，则，，，证和全等得，再利用勾股定理得，，再证，进而求得，，根据列出函数关系式，进而根据函数的解析式及题目中的选项即可得出答案． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得：， 为的中点， ， 又，， 过点作于，过点作于，延长到，使，连接，，如图： 在中，，， ， ， 设，则， 在中，， ， ， 在和中， ， ， ， 在中，，， 由勾股定理得：， 在中，，， 由勾股定理得：， ，， 为线段的垂直平分线， ， ， ， ， ，， ， 而， ， 即， 整理得：， ， ， 当时，，当时，，顶点坐标为， 该函数图象是抛物线，与轴交于点，顶点为，且过点， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了动点问题的函数图象，垂直平分线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，二次函数的图象与性质，勾股定理，解直角三角形，掌握以上知识点是解答本题的关键． 15．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C的坐标分别为，．把横、纵坐标均为偶数的点称为偶点．若双曲线L：将矩形内（不包含边界）的偶点平均分布在其两侧，则k的整数值有 个． 【答案】3 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象及性质、矩形的性质、坐标与图形等知识点，熟练掌握反比例函数的图象与性质、矩形的性质是解题的关键． 先得出点，然后根据偶点的定义可得偶点的坐标分别为、、、、、，再计算出双曲线L经过各偶点是的k值，然后根据偶点平均分布在其两侧，每侧各3个点，据此确定k的取值范围即可解答． 【详解】解：∵四边形是矩形，为，， ∴， ∴偶点的坐标分别为、、、、、， ∴矩形（不包含边界）内的偶点的个数为6， 当双曲线L经过点时，k的值为4， 双曲线L经过点、时，k的值为8， 双曲线L经过点时，k的值为16， 双曲线L经过点时，k的值为12， 双曲线L经过点时，k的值为24， ∵双曲线L将矩形（不包含边界）内的偶点平均分布在其两侧，每侧各3个点， ∴， ∴k的整数值为9，10，11， ∴k的整数值有3个． 故答案为：3． 16．如图，一动点从出发，沿所示方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹后的路径与长方形的边所夹锐角为，第1次碰到长方形边上的点的坐标为，则第2025次碰到长方形边上的点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标规律，根据图形得出图形变化规律：每碰撞6次回到始点，从而可以得出2025次碰到长方形边上的点的坐标，熟练掌握根据题意画出符合要求的图形，找出其中的规律是解决此题的关键．    【详解】解：根据题意，如图所示： 动点P从依次经过，，，，，， ∴根据图形观察可知，每碰撞6次回到始点， ∵， ∴第2025次碰到长方形边上的点的坐标为， 故答案为： ． 17．如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换．若原来点的坐标是，则经过第次变换后，点的对应点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质，点的坐标变换规律，观察图形可知每四次对称为一个循环组，依次循环，用除以，然后根据商和余数的情况确定出变换后的点所在的象限，解答即可． 【详解】解： 点第一次关于轴对称后在第三象限， 点第二次关于轴对称后在第四象限， 点第三次关于轴对称后在第一象限， 点第次关于轴对称后在第二象限， 即点回到原始位置， 所以，每四次对称为一个循环组依次循环， ， 经过第次变换后所得的点与第三次变换的位置相同，在第一象限，坐标为． 故答案为：． 18．如图，在的正方形网格中有四个格点，，，，以其中一个点为原点，网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则原点可能是 ．    【答案】点 【分析】本题考查平面直角坐标系的知识，解题的关键是根据题意，其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，根据平面直角坐标系的性质，找到坐标原点，即可． 【详解】解：其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称， 如图所示：点和点关于轴对称， ∴当原点为点时，其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称， 故答案为：点．    19．若点在轴上，则点在第 象限． 【答案】二 【分析】本题考查坐标轴和各象限上的点的坐标特点，解一元一次方程，熟练掌握各象限上的点的坐标特点是解题的关键． 根据y轴上的点的横坐标为0得到，求出，从而求出点B的坐标，进而判断出点B所在的象限． 【详解】解：∵点在轴上， ∴，解得， ∴，， ∴点B的坐标为，它在第二象限． 故答案为：二 20．如图是嘉兴市部分景点位置示意图，若在正方形网格中建立适当的平面直角坐标系，使点A（烟雨楼）的坐标为，点B（子城）的坐标为，则点C（月河）的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查利用坐标表示实际位置，根据已有点的坐标，确定原点的位置，画出坐标系，进行求解即可． 【详解】解：由题意，画出坐标系如图所示： 由图可知：点C（月河）的坐标为； 故答案为：． 21．山西被称为“中国古代建筑宝库”．游戏《黑神话：悟空》让更多的人有了“跟着悟空游山西”了解古代建筑的强烈意愿．小明作为山西人也想为宣传山西助力，为了便于人们更清晰地了解这些宝贵文化遗产的位置，他用所学知识对部分古建的位置进行了表示，如图应县木塔的坐标为，悬空寺的坐标为(4，7)，则佛光寺的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查直角坐标系，根据题意建立坐标系是解题的关键． 根据题意建立坐标系，由坐标系可得答案． 【详解】解∶由题意，建立平面直角坐标系如图： 可得佛光寺的坐标为， 故答案为∶． 22．太原古县城始建于明洪武八年（1375年），城内历史建筑遗存众多，十字街格局清晰，沿袭了晋阳古城“城池凤翔余”的古老建筑格局，犹如一只头北尾南的凤凰，自古就有“凤凰城”的美誉．某旅行团在该地旅游时，导游将古县城内及附近的三个景点放在适当的平面直角坐标系中（如图），若关帝庙和太山寺两个景点的坐标分别为，，则棂星门的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了用坐标表示点的位置，解题的关键是根据已知点的坐标建立平面直角坐标系．根据题意建立平面直角坐标系，再结合图形得出棂星门的坐标，即可解题． 【详解】解：太山寺的坐标为， 太山寺往下三格的水平线为轴，太山寺往左三格的竖线为轴， 如下图所示： 由图知，棂星门的坐标为， 故答案为：． 23．如图是一轰炸机群的飞行队形示意图，若在图上建立平面直角坐标系，使最后两架轰炸机分别位于点和点，则第一架轰炸机位于的点P的坐标是 ． 【答案】 【分析】此题考查坐标问题，关键是根据和点的坐标以建立坐标系．根据和点的坐标建立坐标系，根据坐标系解答即可． 【详解】解： 和点， 则建立如下图所示平面直角坐标系： 可得点的坐标为， 故答案为：． 24．已知在直角坐标平面上的机器人接受指令“”后行动，结果为：在原地顺时针旋转后，再沿正面所对方向直线前行．若机器人的初始位置是在，正面所对方向是轴的负方向，则它完成一次指令后所在位置的坐标是 ． 【答案】 【分析】此题考查了直角三角形的性质，勾股定理及坐标与图形，正确理解题意作出图形利用直角三角形的性质求值是解题的关键．根据题意画出图形，得出，，进而根据直角三角形的性质及勾股定理求出、即可． 【详解】解：如图，设机器人的初始位置是在，旋转后为，作轴，垂足为，过作于， 则，， ∴， ∴ ∴即．     故答案为： ． 25．已知函数，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了求函数值．将代入进行计算即可． 【详解】解：∵， ， 故答案为：． 26．在函数中，自变量的取值范围是 ． 【答案】且/且 【分析】本题主要考查了函数的自变量的取值范围及分式有意义的条件，根据分式的分母不为零和二次根式被开方数为非负数，即可确定自变量的取值范围，即可求解． 【详解】解：函数中，且， 解得：且， 故答案为：且． 27．如图，在中，，，直线，E是上的动点（端点除外），射线交于点D．在射线上取一点P，使得，作，交射线于点Q．设，．当时， ；在点E运动的过程中，y关于x的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行公理的推论，相似三角形的判定与性质，求函数解析式等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 由平行公理的推论可得，则，于是可得，代入数据即可求出；根据，可得，设，则，通过证明，得出，则，进而得出，结合，可得，代入各个数据，即可得出 y关于x的函数表达式． 【详解】 解：，， ， ， ， 即：， ， ， ， ， 即：， 整理，得：， 设， ， ， ， ， ， 即：， 整理，得：， ， ， ， 即：， 整理，得：， 故答案为：，． 28．货车和轿车分别沿同一路线从地出发去地，已知货车先出发分钟后，轿车才出发，当轿车追上货车分钟后，轿车发生故障，花了分钟修好车后，轿车按原来速度的继续前进，在整个行驶过程中，货车和轿车均保持各自的速度匀速前进，两车相距的路程（米）与货车出发的时间（分钟）之间的关系的部分图象如图所示，对于以下说法：货车的速度为米分； ；点的坐标为；图中的值是．其中正确的是 ． 【答案】①②③④ 【分析】本题考查一次函数图像与行程问题的应用，先设出货车的速度和轿车故障前的速度，再根据货车先出发分钟后轿车出发，桥车发生故障的时间和两车相遇的时间，根据路程速度时间列出方程组求解可判断①；利用待定系数法求与解析式可判断②，先求出点货车的时间，用轿车修车分钟段货车追上轿车时间乘以货车速度，求出点的坐标可判断③；求出轿车速度 米分，到时轿车追上货车两车相遇，列方程，解得 可判断④． 【详解】解：由图象可知，当时，轿车开始出发；当时，轿车开始发生故障，则分钟，即货车出发分钟时，轿车追上了货车， 设货车速度为米分，轿车故障前的速度为米分，根据题意， 得：， 解得：， 货车的速度为米分，轿车故障前的速度是米分，故①正确； ， 设解析式：过点与点，代入坐标得 解得 解析式： 点表示货车追上轿车，从到表示货车追及的距离是，货车所用速度为， 追及时间为分钟 点 段表示货车用 分钟行走的路程， 点的横坐标为分，纵坐标米， ，故③正确； 设解析式为，代入坐标得 解得 解析式为 与解析式中的相同， ，故②正确； 点表示轿车修好开始继续行驶时，轿车的速度变为原来的，即此时轿车的速度为： 米分， 到时轿车追上货车两车相遇， ， 解得 ， 即图中的值是；故④正确， 正确的结论有①②③④． 故答案为：①②③④． 29．如图1，在扇形中，点P从A点出发，沿运动至B点，再沿线段运动至O点．当点P运动到B点时，点Q从O点出发，沿方向运动（当点P到达O点时，P，Q同时停止运动）．已知，点P的速度为5个单位长度每秒，点Q的速度为4个单位长度每秒．P点到O点的距离d与运动时间t（秒）的关系如图2所示． （1）m的值为 ． （2）面积的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，列函数解析式是解题的关键． （1）由图象得扇形的半径为10，根据弧长公式求出的长即可求解； （2）根据二次函数的性质求解． 【详解】解：（1）由图象得：扇形的半径为10， ∴ ， ∴， 故答案为：； （2）设从点B处开始经过时，面积的面积为y， 则： ∴ ∵， ∵， ∴当时，y随x的增大而增大， ∴当时，y取最大值，为， 故答案为：． 30．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)作出关于轴对称的图形；（点A、、的对应点分别为点、、） (2)在（1）的条件下直接写出点、的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】本题主要考查了作图--轴对称变换、坐标与图形等知识点，根据轴对称正确作图是解题的关键． （1）先根据关于y轴对称的点坐标特征确定对应点，然后再顺次连接即可； （2）直接根据（1）作图读出坐标即可． 【详解】（1）．解：如图∶ 即为所求． （2）解：由（1）作图可得：，． 31．在方格中的位置如图所示． (1)请在方格纸上（小方格的边长为1）建立平面直角坐标系，使得A、B两点的坐标分别为，并写出C点的坐标； (2)作出关于x轴对称的，并写出点的坐标； (3)求的面积． 【答案】(1)作图见解析， (2)作图见解析， (3) 【分析】本题考查轴对称作图，掌握画图的方法和图形的特点是关键；会根据一个点的坐标得到坐标原点．（3）中求三角形的面积通常都是利用三角形所在的矩形的面积减去四周三角形的面积求解，此方法需要掌握． （1）根据点A的坐标可知坐标原点在点A左边两个单位，上边一个单位，再求出C的坐标即可； （2）找到与x轴对称的且到x轴的距离为1的，同法做其他点的对应点即可得到关于x轴对称的． （3）利用所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积进行计算求解． 【详解】（1）解：建立的平面直角坐标系如下所示： 其中C点的坐标为：； （2）解：如图所示，其中； （3）解：． 32．我县圆圆圈及附近的平面示意图如图所示，已知文化宫的坐标是，闽剧团艺术中心的坐标是 (1)根据上述条件建立平面直角坐标系； (2)若华港大厦的坐标为，请在图中用实心圆点标出华港大厦的位置． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了坐标方法的简单应用以及数对表示位置的方法，正确建立平面直角坐标系是解题的关键． （1）根据数对表示的位置，即可建立出平面直角坐标系． （2）根据数对表示的位置，第一个数字表示列，第二个数字表示行，即可标出华港大厦的位置． 【详解】（1）解：建立平面直角坐标系，如图， （2）解：华港大厦的位置如图． 33．甲、乙两机器人从地出发，沿相同路线前往地（到达后停止运动），图中，分别表示甲、乙两机器人前往目的地所走的路程，，(单位：）随甲出发的时间（单位：）变化的函数图象． (1)，两地的距离为_______； (2)求关于的函数解析式； (3)求乙机器人出发多长时间后追上甲，并求出此时机器人距离地的距离． 【答案】(1) (2) (3)乙机器人出发后追上甲；此时，机器人距离地米 【分析】本题考查了函数图象，一次函数的应用； （1）结合图象求解作答即可； （2）待定系数法求关于x的函数解析式； （3）设关于x的函数解析式为，将代入可求，则；令，可求，则 ， ，即可求解． 【详解】（1）解：由图象可知，A，B两地的距离为m， 故答案为：； （2）解：设关于x的函数解析式为， 将，代入得，， 解得，， ∴； （3）解：设关于x的函数解析式为， 将代入得，， 解得，， ∴； 令， 解得，， ∴（）， ∴乙机器人出发后追上甲； ∵（）， ∴此时它们与A地的距离为； 34．某水果生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种水果，如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度与时间之间的函数关系，其中线段表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段． 请根据图中信息解答下列问题： (1)这个恒温系统设定的恒定温度为多少； (2)求恒温系统关闭阶段的温度y与时间之间的函数关系式； (3)若大棚内的温度低于不利于新品种水果的生长，问这天内，相对有利于水果生长的时间共多少小时？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查待定系数法求正比例函数和反比例函数解析式，已知函数值求自变量值，有理数加减法等． （1）设直线的函数解析式为：，代入这个坐标，即可得到，再代入继而得到本题答案； （2）设关闭阶段的函数解析式为：，把代入得到即可得答案； （3）先求出当时，，再求出当时，，继而求出气温低于的总时间为：，继而得到本题答案． 【详解】（1）解：设直线的函数解析式为：，根据题意， 可得方程， ， 直线， 当时，， ∴恒定温度为：； （2）解：由（1）可知： 设关闭阶段的函数解析式为：， 根据题意，可得方程：， ， 函数解析式为：； （3）解：当时，， ， 当时，， ， 在20时～24时4小时之间是气温是低于的， 气温低于的总时间为：， 气温高于的适宜温度是：． 能力提升 1．已知点，点B为x轴负半轴上一点，直线绕点A顺时针旋转交y轴于点C，当时，则点B坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，坐标与图形变化旋转，勾股定理等知识，过点作轴的平行线，交轴于点，过点作轴的垂线，两条直线相交于点，过点作，交轴于点，证明，得，，再证明，得，设，则，利用勾股定理求出的值，即可解决问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 【详解】解：如图，过点作轴的平行线，交轴于点，过点作轴的垂线，两条直线相交于点，过点作，交轴于点， ，，轴， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ，即， ， 设，则， 在中，有，即， ， ， 故选：D． 2．中山公园位于天安门西侧，原为辽、金时的兴国寺，元代改名万寿兴国寺．明成祖朱棣兴建北京宫殿时，按照“左祖右社”的制度，改建为社稷坛．这里是明、清皇帝祭祀土地神和五谷神的地方．1914年辟为中央公园．为纪念孙中山先生，1928年改名中山公园．如图是中山公园平面图，其中点是孙中山先生像，点是来今雨轩，点是中山堂．分别以水平向右、竖直向上的方向为轴、轴的正方向建立平面直角坐标系，下列对各景点位置描述：     若的坐标为，的坐标为，则的坐标约为： 若的坐标为，的坐标为，则的坐标约为； 若的坐标为，的坐标为，则的坐标约为； 若的坐标为，的坐标为，则的坐标约为． 其中正确的描述有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】对于 ，每个格子距离为1，对于④，每个格子距离为2，再平移点即可得出结论． 【详解】解：点与点水平距离为6格，竖直距离为格， 点与点水平距离为2格，竖直距离为格， 对于，若，每个格子距离为1时，则的坐标为，故正确； 对于，若，每个格子距离为1时，则的坐标为，故正确； 对于，若，每个格子距离为2时，则的坐标约为；故错误； 对于，若，每个格子距离为2时，则的坐标约为．故正确． 一共有3个正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查坐标轴的识别问题，关键是以所给点，确定坐标轴，考虑间距问题，即可求解． 3．甲、乙两人同时骑自行车分别从A，B两地出发到A，B两地之间的C地，且A，B，C三地在同一直线上．当乙到达C地时甲还未到达，乙在C地等了5分钟，接到甲的电话说他的自行车坏了需要工具修理，于是乙在C地拿了工具箱立即以原来倍的速度前往甲坏车处，乙与甲汇合后帮助甲花了10分钟修好自行车，然后两人以甲原来倍的速度骑行同时到达C地．甲、乙两人距C地的距离之和y（米）与甲所用时间x（分钟）之间的函数关系如图所示（乙接电话和找工具箱的时间忽略不计）．则以下说法错误的是（　　） A．甲原来的速度为150米/分钟，乙原来的速度为200米/分钟 B．甲坏车处距离C地2625米 C．A，C两地之间的距离为4125米 D．A，B两地之间的距离为6875米 【答案】C 【分析】本题主要考查了函数的实际应用，熟练掌握函数图像的实际应用是解决本题的关键． 根据图像，分析出每段函数图像所代表的实际涵义，通过路程速度时间的等量关系进行求解即可． 【详解】解：甲车坏处距C地距离：米，故B不符合题意； 乙用原来倍的速度行驶这段路程需要时间为：分，因此乙用原来倍的速度为：米/分，乙原来速度为：米/分； 甲用原来倍的速度行驶这段路程需要时间为：分，因此甲用原来倍的速度为：米/分，甲原来速度为：米/分； 故A不符合题意； 设乙行至C地用时x分，则甲行至车坏处分， 由题意得：， 解得：， ∴A、B两地之间的距离为：米， 故D不符合题意； ∵车坏处距C地距离：米， ∴两地的距离为（米）， 故C错误，符合题意； 故选：C． 4．甲、乙两车从地出发匀速驶向地，甲先出发1小时后，乙再沿相同路线出发，在整个行驶过程中，甲、乙两车之间的距离（km）与甲车行驶的时间（h）的函数关系如图所示，给出下列说法：①甲的速度为80km/h；②乙的速度为100km/h；③甲车从地到地，共用时14h；④两地相距1200km；⑤当甲车出发经过10h与13h，甲乙两车相距100km，其中说法正确的个数为（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的应用，主要是以函数图象为背景，考查双动点条件下，两点距离与运动时间的函数关系，解答时既要注意图象变化趋势，又要关注动点的运动状态． 根据题意，两车距离为函数，由图象可知两车起始距离为80，从而得到乙车速度，根据图象变化规律和两车运动状态，得到相关未知量． 【详解】解：①根据乙出发前两人相距可得甲的速度为：，故①正确； ②∵， ∴， ∴，故②正确； ③ 乙车到达B地行驶的时间为：12（小时）， ∴A、B两地的距离为：， ∴(h)，故③错误； ④由③知，两地相距，故④正确； ⑤甲车出发经过时，甲乙两车相距：; 甲车出发经过时，甲乙两车相距：，故⑤错误， 所以，正确的说法有：①②④共③个， 故选：B． 5．如图，在平面直角坐标系中，点A是轴正半轴上一个定点，点是轴正半轴上一个动点，以线段为边在轴右侧作等边三角形，以线段为边在上方作等边三角形，连接，随点的移动，下列说法中正确的是（ ） ①； ②； ③所在直线与轴所夹的锐角，度数始终不变； ④随点的向上移动，线段的值逐渐增大． A．①② B．①③ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】根据可得，可判断正确；由，可得，可判断②错误；延长交x轴于E点，由，可得，由可得，进而可得，可判断③正确；由的长为定值，且可得的长也为定值，可判断④错误． 【详解】解： 和都是等边三角形， ，，， ， ， 故①正确； ，， ， 故②错误； 如图，延长交x轴于E点， ，， ， ， ， ， ∴所在直线与轴所夹的锐角，度数始终不变为． 故③正确； ∵点A是轴正半轴上一个定点， ∴的长为定值， ， ∴， ∴的长为定值， ∴随点的向上移动，线段的值不变， 故④错误． 综上，说法正确的为①③． 故选：B 【点睛】本题重点考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，证明是解题的关键． 6．今年国庆假期，小胡和小周去旅行，小胡骑自行车，小周开汽车，两人从甲地出发到乙地，如图表示两人离开甲地的路程（千米）与小胡离开甲地的时间（小时）之间的函数关系．小胡出发2小时后途经一集镇停下休息，然后以原速的前行后突然自行车发生故障，小胡立即打电话求助晚出发的小周，此时小周刚好开车行驶到该集镇．小周购买维修自行车的配件所花的时间与再按原速开车到自行车发生故障地所花时间刚好相等．到达故障地后花15分钟帮小胡修好自行车．之后小周开车以原速一直前行至乙地，小胡则骑自行车以的速度前行至乙地，结果小胡比小周晚到1小时6分钟．    (1)小胡到集镇前的速度是_________；小胡休息了________小时；小胡休息后至自行车发生故障时的骑车速度是_________，这段时间是_________小时． (2)小周开车的速度是多少？小胡比小周早出发多少小时？ (3)请你在图中画出修好自行车后小胡、小周行至乙地的过程中关于的函数图象．（提醒：所画的图象中关键点的坐标必须标出） 【答案】(1)，，， (2)小周开车的速度是；小胡离开甲地的时间比小周早出发小时小时 (3)见解析 【分析】本题考查了根据函数图象获取信息，一元一次方程的应用； （1）根据函数图象可得，小胡离开甲地的路程（千米）与小胡离开甲地的时间（小时）之间的函数关系是折线，进而根据函数图象分析即可求解； （2）先得出达故障地后花15分钟帮小胡修好自行车即函数图象段，所用时间为小时，而，则，进而根据函数图象的段表示，小周购买维修自行车的配件所花的时间与再按原速开车到自行车发生故障地所花时间刚好相等，得出所用时间，进而根据路程除以时间求得速度，再求得小周出发时的的值，即可求解； （3）根据题意设继续前行千米后到达乙地，列出一元一次方程，得出，进而求得各自所用时间，再补充函数图象，即可求解． 【详解】（1）解：根据函数图象可得，小胡离开甲地的路程（千米）与小胡离开甲地的时间（小时）之间的函数关系是折线， 小胡到集镇前的速度是 （线段段）， 小胡休息了小时（线段）； 然后以原速的前行后突然自行车发生故障（点）， 小胡休息后至自行车发生故障时的骑车速度是 ，这段时间是小时（段） 故答案为：，，，． （2）解：小胡自行车发生故障，立即打电话求助晚出发的小周，此时小周刚好开车行驶到该集镇， 从函数图象可得此时小胡离开甲地的时间为小时，即的横坐标为 到达故障地后花15分钟帮小胡修好自行车即函数图象段，，而，则 ∵小周购买维修自行车的配件所花的时间与再按原速开车到自行车发生故障地所花时间刚好相等． ∴ ，即小周购买维修自行车的配件所花的时间与再按原速开车到自行车发生故障地所花时间都是 ∴小周开车的速度是 ∴小周从甲地出发到集镇用时为小时， 则小胡出发时， ∴小胡离开甲地的时间比小周早出发小时小时 答：小周开车的速度是；小胡离开甲地的时间比小周早出发小时小时 （3）解：∵修好自行车之后小周开车以原速一直前行至乙地，小胡则骑自行车以的速度前行至乙地，结果小胡比小周晚到1小时6分钟， 设继续前行千米后到达乙地，则 解得：， 小胡则骑自行车需要的时间为小时，小周开车需要的时间为小时， 修好自行车后小胡、小周行至乙地的过程中关于的函数图象，如图所示，其中，    7．如图，在矩形中，，，点、、分别从点、、三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动，点、的速度均为，点的速度为，当点追上点（即点与点重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第秒时，的面积为 (1)当秒时，的值是多少？ (2)写出和之间的函数解析式，并指出自变量的取值范围； (3)若点在矩形的边上移动，当为何值时，以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形相似？请说明理由． 【答案】(1)24 (2) (3)为或，理由见解析 【分析】本题考查相似三角形综合应用，矩形的性质，函数关系式； （1）当秒时，，，，根据，，可得，，，，即可得； （2）分两种情况：①当在上，即时，；②当在上时，由解得，故此时，； （3）由，知以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形相似，只需或，当时，，得，当时，，得． 【详解】（1）解：当秒时，，，， 矩形中，，， ，，，， ， ， ， ， 的值是24； （2）解：①当在上，即时，如图： ，，， ，，， ； ②当在上时，由解得， 追上所用时间是， 此时， 如图： ，， ， ， 综上所述，； （3）解：如图： ， 以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形相似，只需或， 当时，， 解得， 当时，， 解得， 综上所述，当为或时，以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形相似． 8．在平面直角坐标系中，P(1，4)，点A在坐标轴上，且S三角形PAO＝4，求点A的坐标． 【答案】A(2，0)或(－2，0)或(0，8)或(0，－8) 【详解】试题分析：由于点A的坐标不能确定，故应分点A在x轴上和点在y轴上两种情况进行讨论． 试题解析：当点A在x轴上时，设A（x，0）， ∵S△PAO=4，A（1，4） ∴|x|×4=4，解得x=±2， ∴A（-2，0）或（2，0）； 当点A在y轴上时，设A（0，y）， ∵S△PAO=4，A（1，4） ∴|y|×1=4，解得x=±8， ∴A（-8，0）或（8，0）． 综上所述，A点坐标为（-2，0）或（2，0）或（-8，0）或（8，0）． 点睛：本题考查的是平面直角坐标系中的三角形的面积，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解． $$