第08讲 一元一次不等式（组）的解法及其应用（4考点+19题型）-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（广东专用）

第二章 方程（组）与不等式（组） 第08讲：一元一次不等式（组）的解法及其应用 （3~6分） ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 不等式及不等式的基本性质 考点二 一元一次不等式 考点三 一元一次不等式组 考点四 不等式（组）的实际应用 04题型精研·考向洞悉 命题点一 不等式及其性质 题型01 不等式的概念及意义 题型02 不等式的性质 命题点二 一元一次不等式 题型01 求一元一次不等式解集 题型02 一元一次不等式整数解问题 题型03 利用数轴表示一元一次不等式解 题型04 含绝对值的一元一次不等式 命题点三 一元一次不等式的应用 题型01 列一元一次不等式 题型02 用一元一次不等式解决实际问题 题型03 用一元一次不等式解决几何问题 命题点四 一元一次不等式组 题型01 解不等式组 题型02 求不等式组整数解 题型03 由一元一次不等式组的解集求参数 题型04 由不等式组的解集求参数 命题点五 不等式组的实际应用 题型01 利用一元一次不等式组 题型02 不等式组的经济问题 题型03 不等式组的方案问题 05分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 0 考点要求 新课标要求 考查频次 命题预测 不等式及不等式的基本性质 · 结合具体问题，了解不等式的意义，探索不等式的基本性质 10年8考 中考数学中，一元一次不等式(组) 的解法及应用题时有考察. 其中不等式性质、解一元一次不等式(组)，通常是以选择题或填空题的形式出现，难度不大.而不等式（组）相关的应用题常会和其它考点(如二元一次方程组、二次函数等) 结合考察，常以解答题形式出现，此时难度上升，需要小心应对.对于一元一次不等式（组）中含参数问题，难度偏大，但是考察几率并不大，为避免丢分，学生应在复习过程中扎实掌握． 一元一次不等式 · 能解数字系数的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集 近10年连续考查 一元一次不等式组 · 会用数轴确定两个一元一次不等式组成的不等式组的解集. 10年7考 不等式（组）的实际应用 · 能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式，解决简单的问题. 10年8考 考点一 不等式及不等式的基本性质 一、不等式的相关概念 不等式的定义：用不等号“＞”、“≥”、“＜”、“≤”或“≠”表示不等关系的式子，叫做不等式. 不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解. 不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集. 不等式的解集的表示方法：①用不等式表示；②用数轴表示. 解不等式的概念：求不等式的解集的过程，叫做解不等式. 二、不等式的性质 基本性质1 若a>b，则a±c > b±c 若a<b，则a±c < b±c 基本性质2 若a>b,c>0，则ac>bc（或） 基本性质3 若a>b,c<0，则ac<bc（或） ( 1 . 方程与不等式的区别 ：方程表示的是相等关系，不等式表示的是不等关系 . 2 . 常见的不等号有 ：≠， > ，≥， < ，≤五种 . 3 . 用数轴表示不等式的解集 ：大于向右，小于向左，有等号画实心圆点，无等号画空心圆点 . 4 . 不等式的解与不等式的解集的区别与联系： 1 ）不等式的解是指满足这个不等式的未知数的某个值 . 2 ）不等式的解集是指满足这个不等式的未知数的所有的值 . 3 ）不等式的所有解组成了这个不等式的解集，不等式的解集中包括这个不等式的每一个解 . 5 . 在列不等式时，要注意抓住问题中的一些关键词语，如：不小于，至少，大于、不高于、不低于等 . 同时要根据关键词准确地选用不等号．另外，对一些实际问题的分析还要注意结合实际． 6. 运用不等式的性质的注意事项： 1 ）不等式两边都要参与运算，并且是作同一种运算． 2 ）不等式两边加或减，乘或除以的数一定是同一个数或同一个式子． 3 ）等式两边 不能同时除以 0 ，即 0 不能作除数或分母． 4 ） 运用不等式的性质进行不等式变形时 , 要特别注意性质 2 和性质 3 的区别 , 在乘 ( 或除以 ) 同一个数时 , 必须先弄清楚这个数是正数还是负数 , 如果是负数 , 不等号要改变方向 . ) 考点二 一元一次不等式 一元一次不等式的概念:不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数并且未知数的最高次数是1，像这样的不等式叫一元一次不等式. 一元一次不等式的一般形式：或. 步骤 具体做法 依据 注意事项 去分母 在不等式两边都乘以各分母的最小公倍数 不等式性质2、3 1）不要漏乘不含分母的项； 2）当分母中含有小数时，先将小数化成整数，再去分母. 3）如果分子是多项式，去分母后要加括号. 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 分配律 去括号法则 1) 去括号时，括号前的数要乘括号内的每一项; 2) 括号前面是负数时,去掉括号后,括号内各项都要变号； 3）括号前面是正数时,去掉括号后,括号内各项都不变号. 移项 把含有未知数的项移到不等式左边，其它项都移到不等式右边 不等式性质1 1）移项时不要漏项; 2）将不等式中的项从一边移到另一边要变号.而在不等式同一边改变项的位置时不变号. 合并同类项 把不等式变为或的形式 合并同类项法则 1）不要漏项； 2）系数的符号处理要得当. 系数化为1 将不等式两边都除以未知数系数a，得到不等式的解 不等式性质2、3 1)不等式两边都除以未知数系数; 2)当系数为负数，不等号的方向发生改变. ( 1 . 一元 一次不等式满足的条件：① 不等式的左右两边都是 整式； ② 只含有一个未知数； ③ 未知数的最高次数是 1 . 2 . 进行“去分母”和“系数化为 1 ”时，要根据不等号两边同乘以（或除以）的数的正负，决定是否改变不等号的方向， 若不能确定该数的正负，则要分正、负两种情况讨论 ． 3 . 在解一元一次不等式时 , 上述的五个步骤不一定都能用到 , 并且也不一定按照自上而下的顺序 , 要根据不等式的形式灵活安排求解步骤 . ) 考点三 一元一次不等式组 一元一次不等式组的概念：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，组成一元一次不等式组． 一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集． 不等式组解集的确定有两种方法： 1）数轴法：在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集. 2）口诀法：大大取大，小小取小，大小、小大中间找，大大、小小取不了． 解一元一次不等式组的一般步骤： 1） 求出不等式组中各不等式的解集. 2） 将各不等式的解决在数轴上表示出来. 3） 在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集. ( 1. 在求不等式组的解集的过程中，通常是利用数轴来表示不等式组的解集的 . 2. 利用数轴表示不等式组解集时，要把几个不等式的解集都表示出来，不能仅画公共部分 . ) 考点四 不等式（组）的实际应用 一元一次不等式（组）的应用题的关键语句： 1）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系，因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． 2）对一些实际问题的分析还要注意结合实际.有些不等关系隐含于生活常识中,如小王用50元去买单价为6元的笔记本.设买x本，求x的取值范围时,其问题中就隐含着所花钱数不能超过50元.由此可得出不等式 6x≤50. 用一元一次不等式（组）解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 答：实际问题的答案. 命题点一 不等式及其性质 ►题型01 不等式的概念及意义 1、以下表达式：①；②；③；④；⑤．其中不等式有（  ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【提示】根据不等式的定义进行判断即可． 【详解】解：、、是不等式，和不是不等式， 即不等式有3个，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了不等式的定义，熟知用不等号连接的式子是不等式是解本题的关键． 2、（2020·河北·统考模拟预测）下面列出的不等式中，正确的是（    ） A．“不是负数”表示为 B．“不大于5”表示为 C．“与4的差是正数”表示为 D．“不等于4”表示为 【答案】C 【提示】根据题意列出不等式即可判断． 【详解】A、∵m不是负数， ∴m≥0，A选项错误； B、∵m不大于5， ∴m≤5，B选项错误； C、∵n与4的差是正数， ∴n−4＞0，C选项正确； D、∵n不等于4， ∴n＜4或n＞4，D选项错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了由题目信息抽象出一元一次不等式，逐一提示四个选项的正误是解题的关键． 3、（2023南宁市模拟）a是非负数的表达式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【提示】非负数就是正数和零，即大于等于零的数是非负数判断即可． 【详解】∵a是非负数， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了非负数，熟练掌握定义是解题的关键，易错点是忽略零而导致错误． 4、（2023·河北保定·统考二模）在四个数中，满足不等式的有（    ） A．－2 B．－3 C． D．1 【答案】B 【提示】根据各数的大小即可做出判断． 【详解】在四个数中，， 故满足不等式的有， 故选：B 【点睛】此题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式解集的定义是解题的关键． ►题型02 不等式的性质 4、（2023·湖南长沙·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考模拟预测）如果 ，那么下列不等式成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【提示】根据不等式的性质判断即可． 【详解】解：因为， 所以（不等式的两边同时乘同一个负数，不等号的方向改变）． 故选：A． 【点睛】本题考查不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时加上（或减去）同一个 数或同一个式子，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 5、（2023·湖南常德·统考模拟预测）已知，则下列不等式变形不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【提示】①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质进行提示即可． 【详解】解：A、，不等式的性质，，故A正确，不符合题意； B、，不等式的性质，，故B错误，符合题意； C、，不等式的性质，，故C正确，不符合题意； D、，不等式的性质，，故D正确，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了不等式的性质，解题关键是要注意不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变． 6、（2023·浙江嘉兴·统考二模）已知是实数，且，下列说法一定正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【提示】根据不等式的性质，逐项提示判断即可求解． 【详解】解：A. 若，，则，故该选项正确，符合题意；     B. 若，，则，故该选项不正确，不符合题意； C. 若，则不一定成立，例如，则，故该选项不正确，不符合题意；     D.同C选项，可得，若，则不一定成立，故该选项不正确，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．不等式的性质：不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 7、（2023·浙江杭州·杭州市丰潭中学校考三模）设，，为实数，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【提示】根据不等式的性质进行运算辨别即可． 【详解】解：若，不一定成立，即不一定成立， 故选项A不符合题意； 若，时，， 故选项B不符合题意； 若，时，则 ， 故选项C不符合题意； 若，则，故， 故选项D符合题意． 故选：D． 【点睛】此题考查了不等式性质的应用能力，关键是能根据不等式的变化正确选择对应的性质． 8、（2022·江苏镇江·统考中考真题）如图，数轴上的点A和点B分别在原点的左侧和右侧，点A、B对应的实数分别是a、b，下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【提示】依据点在数轴上的位置，不等式的性质，绝对值的意义，有理数大小的比较法则对每个选项进行逐一判断即可得出结论． 【详解】解：由题意得：a＜0＜b，且＜， ∴，∴A选项的结论不成立； ，∴B选项的结论不成立； ，∴C选项的结论不成立； ，∴D选项的结论成立． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了不等式的性质，有理数大小的比较法则，利用点在数轴上的位置确定出a，b的取值范围是解题的关键． 命题点二 一元一次不等式 ►题型01 求一元一次不等式解集 9．（2024·安徽·三模）解不等式： 【答案】 【分析】本题考查的知识点是解一元一次不等式，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式的相关运算． 根据解一元一次不等式的相关运算方法即可求解． 【详解】解：， ， ． 10．（2024·浙江·模拟预测）． 【答案】 【分析】此题考查了解一元一次不等式，按照去分母、去括号、移项、合并同类项，系数化1的步骤解不等式即可． 【详解】解： 去分母，得：，   去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：． 11．（2024·北京·模拟预测）解下列不等式： ，并求出满足不等式的非负整数解． 【答案】，． 【分析】本题考查了解一元一次不等式，根据解一元一次不等式的方法求解即可，解题的关键是掌握一元一次不等式的求解方法． 【详解】解： ， ∴不等式的非负整数解为． 12．（2024·陕西西安·模拟预测）解不等式，并将该不等式的解集在如图所示的数轴上表示出来． 【答案】，数轴见解析 【分析】本题考查了解一元一次不等式和在数轴上表示不等式的解集，注意在数轴上表示解集时，大于等于或小于等于用实心点，大于或小于用空心点．首先解不等式，求出不等式的解集，再在数轴上表示出不等式的解集即可． 【详解】解：去分母，得：， 解得， 把解集在数轴上表示出来，如图所示： ． ►题型02 一元一次不等式整数解问题 13．（2024·四川自贡·模拟预测）不等式的自然数解有（   ）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，先解出一元一次不等式，然后根据自然数的定义得出自然数解即可得出结果． 【详解】解：， 去分母得：， 移项合并同类项：， 所以， ∴不等式的自然数解有0，1，2共3个， 故选：C． 14．（2024·山东济南·模拟预测）已知不等式的正整数解有2个，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解，按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答． 【详解】解：， ， ， ∵不等式的正整数解有2个， ∴， ∴， 故选：D． 15．（2024·浙江温州·一模）已知关于x的不等式的负整数解只有, 则m的取值范围是 （     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求得不等式的解集，再利用数轴求解即可．本题考查了不等式的解集，根据解集求参数，熟练掌握不等式解集是解题的关键． 【详解】∵， ∴， ∵不等式的负整数解只有, ∴符合题意的m取值范围如图所示， ∴， 故选B． 16．（2023·福建漳州·一模）关于x的不等式恰有两个负整数解，则b的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先解不等式，然后根据条件即可确定b的值． 【详解】解：∵， ， ∵不等式恰有两个负整数解， ． 故选：B． 【点睛】本题考查不等式的整数解问题，解题的关键是利用数轴分析，其次解题时必须理解题意，属于基础题，中考常考题型． ►题型03 利用数轴表示一元一次不等式解 17（2024·湖南·模拟预测）不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．依次移项、合并同类项即可得出答案，也考查了在数轴上表示不等式的解集． 【详解】解∶∵， ∴， ∴， 在数轴上表示为∶ ， 故选∶A． 18．（2024·广东广州·模拟预测）已知实数，满足，则的取值范围可在数轴表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了绝对值的性质，算术平方根的性质，不等式的性质和在数轴上表示不等式的解集．得出是解题的关键． 根据题意得出且，求解即可； 【详解】解：∵实数，满足，， ∴且， ∴，， ∴， 在数轴表示为， 故选：A． 19．（2024·广东惠州·模拟预测）一个关于x的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图所示，则这个不等式组的解集是（   ）    A． B． C． 或 D． 【答案】D 【分析】本题考查在数轴上表示不等式的解集，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 根据题目中的数轴，可以写出该不等式组的解集． 【详解】解：由图可得， 该不等式组的解集为， 故选：D． 20．（2024·辽宁·模拟预测）若点在平面直角坐标系的第三象限内，则x的取值范围在数轴上可表示为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查点的坐标特征、解一元一次不等式组、在数轴上表示解集，根据点P在第三象限可得，再解不等式组，并在数轴上表示即可． 【详解】解：∵点在平面直角坐标系的第三象限内， ∴， 解①得：； 解②得：， ∴x的取值范围在数轴上可表示如图： 故选：C． ►题型04 含绝对值的一元一次不等式 21．（2020·四川自贡·中考真题）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”；数形结合是解决数学问题的重要思想方法.例如，代数式的几何意义是数轴上所对应的点与2所对应的点之间的距离；因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离．   ⑴. 发现问题：代数式的最小值是多少？ ⑵. 探究问题：如图，点分别表示的是 ，． ∵的几何意义是线段与的长度之和 ∴当点在线段上时，;当点点在点的左侧或点的右侧时 ∴的最小值是3． ⑶.解决问题： ①.的最小值是 ； ②.利用上述思想方法解不等式： ③.当为何值时，代数式的最小值是2． 【答案】①6；②或；③或 【分析】(3)①根据绝对值的几何意义可知，变成数轴上的点到-2的距离和到4的距离之和的最小值； ②根据题意画出相应的图形，确定出所求不等式的解集即可； ③根据原式的最小值为2，得到3左边和右边，且到3距离为2的点即可． 【详解】解：(3)①设A表示的数为4，B表示的数为-2，P表示的数为x， ∴表示数轴上的点P到4的距离，用线段PA表示， 表示数轴上的点P到-2的距离，用线段PB表示， ∴的几何意义表示为PA+PB，当P在线段AB上时取得最小值为AB， 且线段AB的长度为6， ∴的最小值为6. 故答案为：6. ②设A表示-3，B表示1，P表示x， ∴线段AB的长度为4，则， 的几何意义表示为PA+PB， ∴不等式的几何意义是PA+PB＞AB， ∴P不能在线段AB上，应该在A的左侧或者B的右侧， 即不等式的解集为或． 故答案为：或． ③设A表示-a，B表示3，P表示x， 则线段AB的长度为， 的几何意义表示为PA+PB，当P在线段AB上时PA+PB取得最小值， ∴ ∴或， 即或； 故答案为：或. 【点睛】此题考查了解一元一次不等式，数轴，绝对值，以及数学常识，掌握绝对值的几何意义，学会分类讨论是解决本题的关键． 22．（23-24安徽滁州）数学探究小组在学习了不等式知识后开展对绝对值不等式的解集的探究，首先对和进行探究： 根据绝对值的意义，将不等式的解集表示在数轴上（如图1），可得的解集是：；将不等式的解集表示在数轴上（如图2），可得的解集是：或．    根据以上探究，解答下列问题： (1)填空：不等式（）的解集为______，不等式（）的解集为______； (2)解不等式； (3)求不等式的解集． 【答案】(1)，或 (2)或 (3) 【分析】此题是一个阅读题目，首先通过阅读把握题目中解题规律和方法，然后利用这些方法解决所给出的题目，所以解题关键是正确理解阅读材料的解题方法，才能比较好的解决问题．此题是一个绝对值的问题，有点难以理解，要反复阅读，充分理解题意． （1）由于的解集是，的解集是或，根据它们即可确定和的解集； （2）把当做一个整体，首先利用（1）的结论可以求出的取值范围，然后就可以求出的取值范围； （3）先在数轴上找出的解，即可得出不等式的解集． 【详解】（1）根据题干规律可得，不等式（）的解集为； 不等式（）的解集为或； （2）由（1）得：由于， 所以或， 所以或， 所以的解集为或； （3）由绝对值的意义得方程的解就是求在数轴上到1和对应点的距离之和等于5的点对应的x的值， 因为数轴上1和对应点的距离为3， 所以满足方程的x对应的点在1的右边或的左边． 若x对应的点在1的右边，可得； 若x对应的点在的左边，可得； 所以方程的解为或， 所以不等式的解集为． 23．（22-23福建厦门）阅读理解： 例1．解方程，因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为，所以方程的解为． 例2．解不等式，在数轴上找出的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为或3，所以方程的解为或，因此不等式的解集为或．    参考阅读材料，解答下列问题： (1)方程的解为________ (2)解不等式：． (3)解不等式：． 【答案】(1)或 (2) (3)或 【分析】（1）利用在数轴上到对应的点的距离等于5的点对应的数为5或，求解即可； （2）先求出的解，再求的解集即可； （3）先在数轴上找出的解，即可得出不等式的解集． 【详解】（1）解：∵在数轴上到2对应的点的距离等于3的点对应的数为或5， ∴方程的解为：或， 故答案为：或． （2）解：在数轴上找出的解，如图：    ∵在数轴上到2对应的点的距离等于1的点对应的数为1或3， ∴方程的解为或， ∴不等式的解集为． （3）解：在数轴上找出的解， 由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到4和对应的点的距离之和等于8的点对应的的值， ∵在数轴上4和对应的点的距离为6， ∴满足方程的x对应的点在4的右边或的左边， 若x对应的点在4的右边，可得； 若x对应的点在的左边，可得， ∴方程的解是或， ∴不等式的解集为或． 【点睛】本题主要考查了绝对值，不等式，数轴上两点间的距离公式，解题的关键是理解表示在数轴上数与数对应的点之间的距离． 24．（22-23上海）阅读理解：表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离． 例1. 解方程，因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为，所以方程的解为； 例2. 解不等式，在数轴上找出的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为或3，所以方程的解为或，因此不等式的解集为或．    参考阅读材料，解答下列问题： (1)的解为____________； (2)找出所有符合条件的整数，使得，这样的整数是____________； (3)不等式的解集为____________． 【答案】(1)或 (2)，，，0，1，2 (3)或 【分析】（1）根据材料定义，理解为数轴上到3的距离为2的点即为表示的数，从而求解； （2）根据材料定义，理解为数轴上到2的距离与到的距离之和为5点即为表示的数，由此结合数轴求解即可； （3）在（2）的基础上，求出数轴上到2的距离与到的距离之和大于7的的范围即可． 【详解】（1）解：， 或， ∴或， 故答案为：或； （2）解：要使得， 即：数轴上到2的距离与到的距离之和为5， ∵数轴上和2之间的距离恰好为5， ∴， ∵为整数， ∴，，，0，1，2， 故答案为：，，，0，1，2； （3）解：要使得， 即：数轴上到2的距离与到的距离之和大于7， 首先在数轴上找出的解（如图），    由（2）可知数轴上和2之间的距离恰好为5， ∴要使得到2的距离与到的距离之和等于7，则或， ∴的解集为：或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查绝对值的几何意义，以及利用绝对值的几何意义解方程和不等式，熟练利用绝对值的几何意义和数轴分析是解题关键． 命题点三 一元一次不等式的应用 ►题型01 列一元一次不等式 25．（2024·广东阳江·二模）与6的和不大于0，用不等式表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式．根据“与6的和不大于0”，即可列出关于的一元一次不等式，此题得解． 【详解】解：根据题意得：． 故选：D． 26．（2022·广东河源·二模）如图，x和5分别是天平上两边的砝码的质量，则x的取值范围在数轴上可表示为（    ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】托盘天平是支点在中间的等臂杠杆，天平平衡时砝码的质量等于被测物体的质量，根据图示知被测物体的质量x小于砝码的质量，再在数轴上表示不等式即可． 【详解】解：根据图示知被测物体的质量x小于砝码的质量，即x＜5； 所以在数轴上表示如下： 故选D． 【点睛】本题考查了不等式的相关知识，在数轴上表示不等式的解集，利用“天平”的不平衡来得出不等关系，体现了“数形结合”的数学思想． 27．（2020·广东广州·二模）小丽计划节省部分零花钱购买一台学生平板电脑，她已存有元，并计划从本月起每月存钱元，直到她至少存有元，设个月后小丽至少有元，则可列出不等式为（ ） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据小丽每月存30元且存个月可知这段时间小丽共存元，由此根据题意进一步表示出个月后小丽所具有的零花钱，最后结合题意即可得出不等式. 【详解】∵小丽每月存30元，且存个月， ∴这段时间小丽共存元， ∵小丽至少要存有元， ∴可列不等式为：， 故选：D. 【点睛】本题主要考查了不等式的实际应用，熟练掌握相关方法是解题关键. 28．（2022·吉林·中考真题）与2的差不大于0，用不等式表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据差运算、不大于的定义列出不等式即可． 【详解】解：由题意，用不等式表示为， 故选：D． 【点睛】本题考查了列一元一次不等式，熟练掌握“不大于是指小于或等于”是解题关键． ►题型02 用一元一次不等式解决实际问题 29．（2023·广东佛山·一模）某环保知识竞赛一共有20道题，规定：答对一道题得5分，答错或不答一道题扣1分．在这次竞赛中，小明被评为优秀（85分或85分以上），则小明至少答对了______道题．（    ） A．17 B．18 C．19 D．16 【答案】B 【分析】设小明答对了x道题，则答错和不答的一共有道题，再根据答对一题得5分，答错或不答一道题扣1分列出不等式求解即可． 【详解】解：设小明答对了x道题，则答错和不答的一共有道题， 由题意得，， 解得， ∵x为正整数， ∴的最小值为18， ∴小明至少答对了18道题， 故选B． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的实际应用，正确理解题意找到不等关系是解题的关键． 30．（2024·广东惠州·模拟预测）某服装的进价为元，出售时标价为元，由于换季，商场准备打折销售，但要保证利润率不低于，那么该服装至多打（　　）折 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各个数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．设该服装打折销售，利用利润售价进价，结合要保证利润率不低于，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论． 【详解】解：设该服装打折销售， 根据题意得：， 解得：， 的最小值为，即该服装至多打折． 故选：C． 31．（2024·吉林长春·模拟预测）某高速公路工地需要实施爆破，操作人员点燃导火线后，要在炸药爆炸前跑到400米以外的安全区域．已知导火线的燃烧速度是厘米/秒，人跑步的速度是5米/秒．设导火线的长度为厘米，问导火线必须满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系式.根据题意可知：操作人员点燃导火线后，要在炸药爆炸前跑到400米以外的安全区域，列出不等式即可． 【详解】解：设导火线的长度为厘米， 根据题意得，， 故选：B． 32．（2024·辽宁·模拟预测）丹东九九草莓是一种品质优良、花朵大、果实颜色鲜艳且糖度高的草莓品种，广泛栽培于辽宁省的丹东市和周边地区．因其好看、好吃等特点，在市场上备受欢迎．某大型超市从生产基地花费4000元购进丹东九九草莓，运输过程中质量损失，超市计划销售这批草莓至少获得的利润（不计其他费用），售价至少定为多少？设售价定为x元/kg，根据题意，可列不等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出不等关系，列出不等式即可得到答案． 【详解】解：根据题意可得，这批草莓可卖元． 根据“这批草莓至少获得20%的利润”，得． 故选：B． ►题型03 用一元一次不等式解决几何问题 33．（2024·河北石家庄·一模）已知数轴上有，两点，点表示的数为，点表示的数为． (1)当时，求线段的长； (2)若点与点关于原点对称，求点表示的数； (3)若点在点的左侧，求的正整数值． 【答案】(1)； (2)点表示的数为； (3)的正整数值为，，． 【分析】本题考查数轴上两点之间的距离，一元一次方程，一元一次不等式，掌握数轴上点表示数的大小与位置关系，一元一次方程解法，一元一次不等式解法是解题关键． （1）根据，得到点表示的数和点表示的数，在利用两点间距离公式，即可解题； （2）根据点与点关于原点对称，表示的数为相反数，列式即可解得． （3）根据点在点的左侧，根据左侧的数小于右侧的数，列出不等式求解，即可解题． 【详解】（1）解：当时，点表示的数为， 点表示的数为， ； （2）解：点与点关于原点对称， ，解得， ， 点表示的数为； （3）解：若点在点的左侧， ， 解得， 的正整数值为，，． 34．（2023·河南新乡·三模）已知抛物线与轴交于、两点，点在点的左侧． (1)请求出抛物线对称轴和点A、B的坐标； (2)已知点、，且抛物线与线段只有一个公共点，请求出的取值范围． 【答案】(1)对称轴为直线，点， (2)或 【分析】（1）根据求抛物线的对称轴，令，解方程即可求出点A、B的坐标； （2）先计算出抛物线与直线的交点坐标，抛物线经过定点，，分和两种情况，根据抛物线与线段只有一个公共点，判断点与点的位置关系，进而列不等式即可求解． 【详解】（1）解：对称轴为直线， ， 当时，或， 点在点的左侧 点，． （2）解：当时，， ∴抛物线与直线的交点坐标为， 由（1）知，抛物线经过定点，， 分和两种情况讨论： 当时，抛物线开口向上， 当抛物线与线段只有一个公共点时，点在点下方或者点与点重合， ∴， 解得， ∴； 当时，抛物线开口向下， 当抛物线与线段只有一个公共点时，点在点下方， ∴， 解得， ∴； 综上所述，a的取值范围为或． 【点睛】本题考查求二次函数的对称轴，与x轴的交点坐标，抛物线上的点的坐标，以及根据图形求所含参数的取值问题，解题的关键是熟练掌握二次函数图象的性质和数形结合思想的运用． 35．（2022·河北邯郸·三模）如图，数轴上点O为原点，点A，B，C表示的数分别是，，． (1)________（用含m的代数式表示）； (2)若点B为线段的中点，求的长； (3)设，求当与的差不小于时整数x的最小值． 【答案】(1) (2) (3)整数x的最小值为25 【分析】（1）直接利用两点之间的距离公式进行计算即可； （2）点B为线段的中点，可得，再建立方程求解即可； （3）由，，，再利用当与的差不小于，建立不等式求解即可． 【详解】（1）解：∵点A，B表示的数分别是，， ∴； （2）∵点B为线段的中点， ∴， ∵，， 即， 解得． ∴B点表示的数为， ∴． （3）∵，，， 由题意得， 解得， ∴， ∴整数x的最小值为25． 【点睛】本题主要考查数轴上两点间的距离，列方程、不等式解决问题，考查学生的几何直观和运算能力． 36．（2023·河北衡水·模拟预测）如图，点A，B均在数轴上，点B在点A的右侧，点A对应的数字是，点B对应的数字是m． (1)若，求m的值； (2)将线段三等分，这两个等分点所对应数字从左到右依次是，，若，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据和点A表示的数即可求出m的值； （2）首先根据题意表示出，然后根据三等分点的特点表示出，最后利用求不等式即可． 【详解】（1）∵， ∴， 即m的值为； （2）∵， ∴， ∴， ∵， ∴，解得． 【点睛】此题综合考查了数轴的有关内容及一元一次不等式组的解法，解题的关键是掌握以上知识点 命题点四 一元一次不等式组 ►题型01 解不等式组 37．（2024·广东广州·模拟预测）解不等式组：． 【答案】 【分析】本题考查解不等式组，先求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分即为不等式组的解集． 【详解】解： 由①，得：； 由②，得：； ∴不等式组的解集为：． 38．（2024·广东中山·三模）解不等式组． 【答案】 【分析】本题考查求不等式组的解集，求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分即为不等式组的解集． 【详解】解： 解不等式，得 解不等式，得 不等式组的解集为 39．（2024·广东惠州·三模）解不等式组 ，并在数轴上表示它们的解集． 【答案】，数轴见解析 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示解集．熟练掌握解一元一次不等式组，在数轴上表示解集是解题的关键． 先分别计算两个不等式的解集，进而可得不等式组的解集，最后在数轴上表示解集即可． 【详解】解：， 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为． 在数轴上表示它们的解集如下： 40．（2024·广东揭阳·一模）解不等式组，并把解集表示在数轴上． 【答案】，图见解析 【分析】本题考查了解一元一次方程组、运用数轴表示不等式组的解集，先把每个不等式的解集解出来，再运用数轴表示不等式组的解集，即可作答． 【详解】解：解不等式①，得：， 解不等式②，得： ， 原不等式组的解集为， 其解集在数轴上表示如下： ►题型02 求不等式组整数解 41．（2024·广东·模拟预测）下列数值不是不等式组 的整数解的是（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了不等式组的解法及整数解的确定．先求出每个不等式的解集，再确定其公共解，得到不等式组的解集，最后求其整数解即可． 【详解】解：解不等式得， 解不等式得， ∴不等式组的解为：， ∴整数解为：， 不符合的整数为， 故选A． 42．（2023·广东潮州·二模）如果关于x的不等式组的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的整数对共有（　　） A．42对 B．36对 C．30对 D．11对 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解的应用，先求出不等式组的解集，根据已知得出关于、的不等式组，求出整数解即可，解此题的关键是求出、的值． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集是， ∵关关于x的不等式组的整数解仅为1，2，3， ∴，， ∵m、n为整数， ∴、2、3、4、5、6，、17、18、19、20， ， 所以适合这个不等式组的整数对共有30对， 故选：C． 43．（2023·广东东莞·二模）不等式组的整数解的个数是(     ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集，根据不等式组的解集确定整数解及其个数即可． 【详解】解：， 解①得， 解②得． 则不等式组的解集是：． 则整数解是2、3、4，共有3个． 故选C． 【点睛】此题考查的是一元一次不等式组的解法和一元一次不等式组的整数解，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 44．（2022·广东惠州·一模）不等式组的整数解的个数是（    ）． A．0个 B．2个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】求出不等式组的解集，根据解集即可确定不等式组的整数解的个数． 【详解】解第一个不等式得：； 解第二个不等式得：； ∴不等式组的解集为：， 所以不等式组的整数解为：−1，0，1，2，共4个整数解． 故选：D． 【点睛】本题考查了求不等式组的整数解，求出不等式组的解集是解题的关键． ►题型03 由一元一次不等式组的解集求参数 45．（2024·四川雅安·三模）若关于的不等式组的解集为，则的值为（   ） A． B． C．3 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了根据一元一次不等式组的解集确定参数，解一元一次不等式组；先求出不等式组的解集，再根据已知不等式组的解集与所求不等式组解集比较即可求得m与n的值，从而求出的值． 【详解】解： 解不等式得：； 解不等式得：； 则不等式组的解集为：； 由于不等式组的解集为， 所以， 则， 所以； 故选：A． 46．（2024·广东深圳·一模）已知不等式组的解集是，则的值为（    ） A． B．1 C．0 D．2024 【答案】B 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解题的关键．分别求出每个不等式的解集，根据不等式组的解集求出的值，再代入计算即可． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， 解集是， ， 解得， 则原式， 故选B． 47．（2023·广东深圳·模拟预测）如果关于x的不等式组的解集是，那么m的值为（　　） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】先根据不等式组的解集为得出关于m的方程，再求出m的值即可． 【详解】解：∵关于x的不等式组的解集是，且， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 48．（2022·广东·二模）已知不等式组，的解集为，则的值为（    ） A． B．2022 C．1 D． 【答案】C 【分析】解不等式得出x≥-a，x≤-b，由不等式组的解集得出-b=3，-a=2，解之求得a、b的值，代入计算可得． 【详解】解：由x+a≥0，得：x≥-a， 由x+b≤0，得：x≤-b， ∵解集是2≤x≤3， ∴-b=3，-a=2， 解得：a=-2，b=-3， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，能求出不等式（或组）的解集是解此题的关键． ►题型04 由不等式组的解集求参数 49．（2024·广东·二模）若一元一次不等式组的解集为，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式组的解集，解题关键是根据不等式组解集的确定方法，列出不等式，解不等式即可． 【详解】解：一元一次不等式组的解集为， 所以，， 解得，， 故选：D 50．（2024·云南昭通·模拟预测）若关于x的不等式组的解集是，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解集．熟练掌握一元一次不等式组的解集是解题的关键． 根据不等式组的解集结合题意求解即可． 【详解】解：， 解得，， ∵且不等式组的解集为， ∴， 故选：C． 51．（2024·广东湛江·一模）已知不等式组的解集为，则（  ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查不等式和有理数的乘方，解题的关键是先根据不等式求出，的值，再根据有理数的乘方进行运算，即可． 【详解】解不等式组， 解得：， ∵不等式的解集为：， ∴，， 解得：， ∴． 故选：A． 52．（2023·广东深圳·模拟预测）若关于的不等式组有解，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到，即可确定的取值范围． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 关于的不等式组有解， ， 故选：D． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 命题点五 不等式组的实际应用 ►题型01 利用一元一次不等式组 53．（23-24八年级下·广东深圳·期中）某双向六车道高速公路，分车道与分车型组合限速，其标牌版面如图所示，每个标牌上左侧数字代表该车道车型的最高通行车速（单位：），右侧数字代表该车道车型的最低通行车速（单位：）.王师傅驾驶一辆货车在该高速公路上依规行驶，车速为，则车速v的范围是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的定义．由王师傅驾驶的车辆是货车，可得出王师傅应走右侧两车道，结合右侧车道标牌上速度，即可得出车速的范围． 【详解】解：王师傅驾驶的车辆是货车， 王师傅应走右侧两车道， 车速的范围是． 故选：B． 54．（2024·浙江杭州·三模）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于，蛋白质的含量p应不少于．据此情境，可列不等式组为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了列不等式组，解题的关键是理解题意，根据酸奶中脂肪的含量f应不少于，蛋白质的含量p应不少于，列出不等式组即可． 【详解】解：∵脂肪的含量f应不少于，蛋白质的含量p应不少于， ∴， 故选：A． 55．（2023九年级·全国）将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有1个小朋友所分苹果不到8个．若小朋友的人数为x，则列式正确的是（    ） A．0≤5x＋12－8（x－1）＜8 B．0＜5x＋12－8（x－1）≤8 C．1≤5x＋12－8（x－1）＜8 D．1＜5x＋12－8（x－1）≤8 【答案】C 【解析】略 56．（21-22九年级下·河北石家庄）检测游泳池的水质，要求三次检验的pH的平均值不小于7.2，且不大于7.8．前两次检验，pH的读数分别是7.4，7.9，那么第三次检验的pH应该为多少才能合格？设第3次的pH为x，由题意可得（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据算术平均数的定义，并结合三次检验的pH的平均值不小于7.2，且不大于7.8可得，从而得出答案． 【详解】解：根据题意知， 故选：C． 【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元一次不等式组，解题的关键是掌握算术平均数的定义． ►题型02 不等式组的经济问题 57．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）某地脱贫攻坚，大力发展有机农业，种植了甲、乙两种蔬菜．某超市花430元可购进甲种蔬菜15千克和乙种蔬菜20千克；花212元可购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜8千克． (1)求该超市购进甲、乙两种蔬菜的单价分别为多少元？ (2)若该超市每天购进甲、乙两种蔬菜共计100千克（甲、乙两种蔬菜重量均为整数），且花费资金不少于1160元又不多于1200元，问该超市有多少种购进方案？ 【答案】(1)甲种蔬菜的单价为10元，乙种蔬菜的单价为14元 (2)共有11种方案 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，解题的关键是理解题意，找准等量关系． （1）设甲单价x元，乙单价y元，根据题意列出方程组计算即可； （2）设购进甲m千克，则购进乙千克，根据题意列出不等式组，求解即可． 【详解】（1）设甲单价x元，乙单价y元， 根据题意，得， 解得， ∴甲种蔬菜的单价为10元，乙种蔬菜的单价为14元； （2）设购进甲m千克，则购进乙千克， 由题意得：， 解得：， ∵是整数 ∴的值可以为50，51，52，53，54，55，56，57，58，59，60，共11种方案． 58．（24-25九年级上·黑龙江佳木斯）“华夏东极”佳木斯市是中国人口较少的民族之一——赫哲族最主要的聚居地，赫哲文化蜚声全国、源远流长，其中赫哲族特有文化——鱼皮画，成为省级非遗项目．为宣传赫哲文化，某文创店准备购进甲、乙两种鱼皮画，其中乙种鱼皮画的进价比甲种鱼皮画的进价少10元，已知甲种鱼皮画的售价为每件120元，乙种鱼皮画的售价为每件100元，若用2000元购进甲种鱼皮画的数量与用1800元购进乙种鱼皮画的数量相同． (1)求甲、乙两种鱼皮画每件的进价； (2)要使购进的甲、乙两种鱼皮画共300件的总利润不少于4000元，且不超过4100元，问该文创专卖店有几种进货方案； (3)文创店准备对甲种鱼皮画进行价格调整，甲种鱼皮画每星期可卖出40件，市场调查反映，如调整价格，甲种鱼皮画每降价1元，每星期可多卖出10件，乙种鱼皮画售价不变，若该专卖店一星期要购进甲、乙共200件鱼皮画且全部售出，如何给甲种鱼皮画定价才能使一星期总利润最大，此时甲、乙两种鱼皮画各卖出多少件？ 【答案】(1)甲、乙两种鱼皮画每件的进价分别为100元和90元 (2)11种 (3)甲种鱼皮画售出70件，乙种鱼皮画售出130件 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，分式方程的实际应用，一元一次不等式组的实际应用： （1）设乙种鱼皮画的进价为元，则甲种鱼皮画的进价为元，根据用2000元购进甲种鱼皮画的数量与用1800元购进乙种鱼皮画的数量相同列出方程求解即可； （2）设购进甲种鱼皮画件，则购进乙种鱼皮画件，根据总利润不少于4000元，且不超过4100元列出不等式组求解即可； （3）设甲种鱼皮画降了元，则每星期可多卖出10件，该文创专卖店一星期的总利润为元，列出w关于y的二次函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设乙种鱼皮画的进价为元，则甲种鱼皮画的进价为元， 由题意得，， ∴解得． 经检验，是原分式方程的解． ∴甲种鱼皮画的进价为（元）． 答：甲、乙两种鱼皮画每件的进价分别为100元和90元． （2）解：设购进甲种鱼皮画件，则购进乙种鱼皮画件， 由题意得，， 解得， 又∵为正整数， ∴该文创专卖店有11种进货方案； （3）解：设甲种鱼皮画降了元，则每星期可多卖出10件，该文创专卖店一星期的总利润为元， 则 ∵， 当时，有最大值．    ∴此时，甲种鱼皮画的售价为：（元），甲种鱼皮画售出：（件），乙种鱼皮画售出：（件）． 59．（24-25九年级上·江苏）某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价为30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价为40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．不妨设该种品牌玩具的实际销售单价为元，销售该品牌玩具获得的利润为元． (1)求出与之间的函数关系式； (2)若商场只获得了6000元的销售利润，求该玩具销售单价为多少元？ (3)若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于500件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)销售单价为90元 (3)最大利润是10000元 【分析】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，不等式组的应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质以及利用二次函数最值求解． （1）一件的利润为元，涨价后的销售量为元，根据一件的利润与销售数量的积，即可表示出函数关系式； （2）由所得函数关系式，求出当函数值为6000时，解一元二次方程即可求出自变量的值； （3）由题意解不等式组，可求得x的范围，再由二次函数的性质即可求得最大利润． 【详解】（1）解：由题意得：， 整理得：； 答：与之间的函数关系式为； （2）解：由题意得：， 整理，得：， 解得：（舍去）， 答：该玩具销售单价为90元； （3）解：由题意得：， 解得：； ∵，， ∴当时，函数取得最大值，且最大值为10000； 答：商场销售该品牌玩具获得的最大利润是10000元． ►题型03 不等式组的方案问题 68．（24-25九年级上·湖南益阳）扎染文化是我国传统文化的重要组成部分，扎染文化的发展带动了旅游相关产业的发展，电视剧《去有风的地方》的热映不仅推动了云南大理旅游业的热潮，也增进了人们对扎染文化的了解，云南大理某扎染坊购进甲、乙两种布料共100件，其中两种布料的成本价和销售价如表： 成本价（元/件） 销售价（元/件） 甲种布料 60 100 乙种布料 40 70 (1)设购进甲种布料x件，销售完甲、乙两种布料后获得的利润为W元，请写出W关于x的表达式 (2)若此次购进甲种布料的数量不超过乙种布料的数量的1.5倍，试问怎样进货方案才能使销售完甲、乙两种布料后获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)购进甲种布料60件，购进乙种布料40件才能使销售完甲、乙两种布料后获得的利润最大，最大利润是3600元 【分析】本题考查了一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，熟练掌握一次函数的性质是解题关键． （1）先求出购进乙种布料件，再根据利润（甲种布料的销售价甲种布料的成本价）甲种布料的销售量（乙种布料的销售价乙种布料的成本价）乙种布料的销售量即可得函数关系式；再根据两种布料的购进的数量均大于0求出的取值范围，由此即可得； （2）先求出的取值范围，再利用一次函数的增减性求解即可得． 【详解】（1）解：由题意可知，购进甲种布料件，购进乙种布料件， 则， ∵， ∴， 所以关于的表达式为． （2）解：∵此次购进甲种布料的数量不超过乙种布料的数量的倍， ∴， ∴， 由（1）可知，， 由一次函数的性质可知，在内，随的增大而增大， ∴当时，取得最大值，最大值为， 此时， 答：购进甲种布料60件，购进乙种布料40件才能使销售完甲、乙两种布料后获得的利润最大，最大利润是3600元． 69．（2024全国）某商场准备购进，两种书包，每个种书包比种书包的进价少元，用元购进种书包的个数是用元购进种书包个数的倍．请解答下列问题： (1)，两种书包每个进价各是多少元？ (2)若该商场购进种书包的个数比种书包的倍还多个，且种书包不少于个，购进，两种书包的总费用不超过元，则该商场有哪几种进货方案？ 【答案】(1)每个种书包的进价是元，每个种书包的进价是元 (2)该商场共有种进货方案： 方案：购进个种书包，个种书包； 方案：购进个种书包，个种书包； 方案：购进个种书包，个种书包． 【分析】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，解题的关键是找准等量关系列出分式方程，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设每个种书包的进价是元，则每个种书包的进价是元，利用数量总价单价，结合用元购进种书包的个数是用元购进种书包个数的倍，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出每个种书包的进价，再将其代入中，可得出每个种书包的进价； （2）设该商场购进个种书包，则购进个种书包，根据“购进种书包不少于个，且购进，两种书包的总费用不超过元”，可列出关于的一元一次不等式组，解不等式组可得出的取值范围，再结合为正整数，即可得出各进货方案． 【详解】（1）解：设每个种书包的进价是元，则每个种书包的进价是元， ， 解得：， 经检验，是分式方程的解，且符合题意， ， 答：每个种书包的进价是元，每个种书包的进价是元； （2）解：设该商场购进个种书包，则购进个种书包， 根据题意得：， 解得：， 又为正整数， 的值为、、， 当时，， 当时，， 当时，， 该商场共有种进货方案： 方案：购进个种书包，个种书包； 方案：购进个种书包，个种书包； 方案：购进个种书包，个种书包． 70．（24-25·浙江）某文具店准备用1000元购进甲、乙两种笔，甲种笔每支10元，乙种笔每支5元．考虑到顾客的需求，文具店购进的乙种笔的数量不少于甲种笔数量的6倍，且甲种笔不少于20支．设购进甲种笔支，购进乙种笔支． (1)写出关于的函数表达式． (2)通过列不等式求出该文具店共有几种进货方案． (3)若文具店销售每支甲种笔可获利润3元，销售每支乙种笔可获利润2元，在所有进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)该文具店共有6种进货方案； (3)当购买甲钢笔20支，乙钢笔160支时获利最大，最大利润为380元． 【分析】本题考查一元一次不等式组和一次函数的应用． （1）由购进甲种笔支，购进乙种笔支，总费用元，再建立关系式并整理即可； （2）由文具店购进的乙种笔的数量不少于甲种笔数量的6倍，且甲种笔不少于20支．再建立不等式组解题即可得到答案； （3）设利润为W元，可得，再利用一次函数的性质可得答案． 【详解】（1）解：设购进甲种笔支，购进乙种笔支， ∴， 解得：； （2）解：由题意可得：， 解得：． ∵x，y为整数， ∴20，21，22，23，24，25共六种方案． 经检验符合题意． ∴该文具店共有6种进货方案． （3）解：设利润为W元，则， ∵W随着x的增大而减小， ∴当时，W有最大值，最大值为（元）． 即当购买甲钢笔20支，乙钢笔160支时获利最大，最大利润为380元． 基础巩固 一、单选题 1．（2024·广东·模拟预测）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解不等式，解题的关键是掌握不等式的解法．根据不等式的性质解不等式即可． 【详解】解：， ， ， ， 故选：D． 2．（2024·广东·模拟预测）把不等式组中每个不等式的解集在同一条数轴上表示出来，正确的是（   ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了一元一次不等式组的解法．分别解出不等式组中每个不等式，再对比选项中数轴所表示的解的范围． 【详解】解：解不等式得； 解不等式得； ∴不等式组的解集为； 在同一条数轴上表示为； 故选：C． 3．（2024·广东清远·模拟预测）农户利用“立体大棚种植技术”把茄子和丝瓜进行混种．已知茄子齐苗后棚温在最适宜，播种丝瓜的最适宜温度是．农户在茄子齐苗后在同一大棚播种了丝瓜，这时应该把大棚温度设置在下列哪个范围最适宜（    ） A． B． C． D．以上 【答案】B 【分析】此题主要考查了解一元一次不等式组的应用，根据题意，设大棚温度为，则，再根据一元一次不等式组的方法，求出这时应该把大棚温度设置在下列哪个范围最适宜即可． 【详解】解：设大棚温度为， 则， 解得， ∴这时应该把大棚温度设置在最适宜． 故选：B． 4．（2024·广东珠海·一模）如图，天平右盘中的每个砝码的质量为10g，则物体M的质量的取值范围在数轴上可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一元一次不等式组的应用及不等式组的解集在数轴上的表示方法．通过看图得出具体的信息，从而得出物体M的质量m的取值范围． 【详解】解：∵由左图可知，由右图可知， ∴m的取值范围是：． 在数轴是表示为 故选：C． 5．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）已知点在第二象限，则a的取值范围是（    ） A．或 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查根据点所在的象限求参数的范围，根据点在第二象限的符号特征：，列出不等式组，求解即可． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴， ∴； 故选B． 6．（2023·浙江·中考真题）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对应的点在数轴上的位置，利用不等式的性质逐一判断即可． 【详解】解：由数轴得：，， 故选项A不符合题意； ∵，∴，故选项B不符合题意； ∵，，∴，故选项C不符合题意； ∵，，∴，故选项D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查的是实数与数轴，绝对值的概念，不等式的性质，掌握以上知识是解题的关键． 7．（2023·广东肇庆·二模）若关于的方程有实数根，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次方程根的判别式得到，解不等式即可． 【详解】关于的方程有实数根, 故选：D 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程根的个数之间的关系是解本题的关键． 8．（2023·广东广州·二模）定义运算“”为：当时，；当时，．例如：．若则的取值范围为（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】根据定义新运算的运算法则，结合不等式的性质即可求解． 【详解】解：当,即时，，即； 当，即时，，即，无解，舍去； 综上所示，， 故选：． 【点睛】本题主要考查定义新运算，不等式的综合，掌握定义新运算的运算法则，不等式的性质是解题的关键． 二、填空题 9．（2024·广东汕头·二模）不等式组的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的解法，正确求解是解答的关键．先分别求得每个不等式的解集，再求得它们的公共部分即可求解． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为， 故答案为：． 10．（2024·广东汕头·一模）一次生活常识竞赛，一共有25道题，答对一题得4分，不答得0分，答错一题扣1分，小明有2题没答，竞赛成绩要不低于83分，则小明至少要答对 道题． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，设小明答对道，根据“一共有25道题，答对一题得4分，不答得0分，答错一题扣1分，有2题没答，竞赛成绩要不低于83分”可得相应的一元一次不等式，解题的关键是读懂题意，列出不等式． 【详解】解：设小明答对道，根据题意得： 解得： ∴小明至少要答对道题． 故答案为：． 11．（2022·广东中山·二模）将点向左平移个单位长度，向上平移个单位长度，得到点，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先根据平移方式和平移前后点的坐标得到从而求出再由，得到，由此求解即可． 【详解】解：∵点向左平移个单位长度，向上平移个单位长度，得到点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化|—平移，解一元一次不等式组，解一元一次方程，解题的关键在于能够利用m表示出a、b． 三、解答题 12．（2024·广东深圳·模拟预测）为改善城市人居环境，某区域原来每天需要处理生活垃圾920吨，刚好被12个A型和10个B型预处置点位进行初筛、压缩等处理．已知一个A型点位比一个B型点位每天多处理7吨生活垃圾． (1)求每个B型点位每天处理生活垃圾的吨数； (2)由于垃圾分类要求提高，在每个点位每天将少处理8吨生活垃圾，同时由于市民环保意识增强，该区域每天需要处理的生活垃圾比原来少10吨．若该区域计划增设A型、B型点位共5个，试问至少需要增设几个A型点位才能当日处理完所有生活垃圾？ 【答案】(1)38吨 (2)3个 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用： （1）设每个B型点位每天处理生活垃圾吨，则每个A型点位每天处理生活垃圾吨，根据一共要处理920吨垃圾列出方程求解即可； （2）设需要增设个A型点位才能当日处理完所有生活垃圾，则提高后，每个A型点位每天处理生活垃圾（吨），个B型点位每天处理生活垃圾（吨），再根据一共处理的垃圾要不少于吨列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：设每个B型点位每天处理生活垃圾吨，则每个A型点位每天处理生活垃圾吨， 根据题意，得， 解得． 答：每个B型点位每天处理生活垃圾38吨． （2）解：设需要增设个A型点位才能当日处理完所有生活垃圾， 由（1）可知垃圾分类要求提高前，每个A型点位每天处理生活垃圾45吨，则垃圾分类要求提高后，每个A型点位每天处理生活垃圾（吨）； 垃圾分类要求提高前，每个B型点位每天处理生活垃圾38吨，则垃圾分类要求提高后，每个B型点位每天处理生活垃圾（吨）． 根据题意，得， 解得． 是正整数， 符合条件的的最小值为3． 答：至少需要增设3个A型点位才能当日处理完所有生活垃圾． 13．（2024·广东·模拟预测）某校因物理实验室需更新升级，现决定购买甲、乙两种型号的滑动变阻器．若购买甲种滑动变阻器用了1650元，购买乙种用了1000元，购买的甲种滑动变阻器的数量是乙种的1.5倍，甲种滑动变阻器单价比乙种单价贵5元． (1)求甲、乙两种滑动变阻器的单价分别为多少元． (2)该校拟计划再订购这两种滑动变阻器共100个，总费用不超过5200元，那么该校最多可以购买多少个甲种滑动变阻器? 【答案】(1)甲单价为55元，乙单价为50元 (2)40个 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用； （1）设乙种滑动变阻器的单价是x元，则甲种滑动变阻器的单价是元，乙种书的单价是元，根据“购买甲种滑动变阻器用了1650元，购买乙种用了1000元，购买的甲种滑动变阻器的数量是乙种的1.5倍”，可得出关于的分式方程，解之即可得出结论； （2）设购买甲种滑动变阻器m个，则购买乙种滑动变阻器个，利用总价单价数量，结合总费用不超过5200元，可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论． 【详解】（1）设乙种滑动变阻器的单价是x元， 根据题意得： 解得：． 经检验，是所列方程的根，且符合题意． ∴（元） 答：甲种滑动变阻器的单价是55元，乙种滑动变阻器的单价是50元． （2）设购买甲种滑动变阻器m个，则购买乙种滑动变阻器个． 根据题意得：． 解得：． 答：该校最多可以购买40个甲种滑动变阻器． 能力提升 一、单选题 1．（2023·广东梅州·一模）已知实数a，b满足，则有关x的不等式组的解集为（    ） A． B． C． D．无解 【答案】D 【分析】根据a，b满足的条件可推出a，b的值， 将其代入关于的不等式组中，按照一元一次不等式组取值范围口诀即可求出答案. 【详解】解： ，， ，. 有关x的不等式组转化为：， 解不等式组得：， 将不等式组的解集表示在数轴上，如图所示， 的解集为：无解. 故答案选：D. 【点睛】本题考查了一元一次不等式的解、完全平方公式和化简绝对值.解题的关键是否掌握完全平方公式以及是否熟悉不等式解集取值范围口诀：同大取大，同小取小，大大小小无解，大小小大取中间. 2．（2023·四川绵阳·二模）不等式组的所有整数解的和为9，则整数的值有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】先解不等式组，求出其解集（用a表示），再根据不等式组的所有整数解的和为9，得到不等式整数解，从而得出关于a的不等式组，再求解即可． 【详解】解：解等式组得 ， ∴， ∵不等式组的所有整数解的和为9， 当x的整数解为2，3，4时， ∴ ∵a为整数， ∴， 当x的整数解为-1，0，1，2，3，4时， ∴ ∵a为整数， ∴， ∴整数的值有2个， 故选：B． 【点睛】本题考查解不等式组，不等式组的整数解情况求参问题，熟练掌握解不等式组，确定不等式组解集的方法是解题的关键．根据不等式组的整数解得出关于a的不等式组是解题的难点． 3．（2022·广东珠海·一模）若不等式-1＞0的解都能使关于的不等式(m-2)＜2m-1成立，则m的取值范围是(     ) A．m＞1 B．1＜m≤2 C．0≤m≤1 D．-1≤m＜2 【答案】D 【分析】解不等式-1＞0，再求出的解集不等式(m-2)＜2m-1的解集，得出关于的不等式组，求出即可 【详解】解：-1＞0 不等式-1＞0的解都能使关于的不等式(m-2)＜2m-1成立， 且 即 解得 即 故选D 【点睛】本题考查了一元一次不等式组，不等式的性质，根据题意列出不等式组是解题的关键． 4．（2021·广东江门·一模）已知关于x的不等式组有三个整数解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先把不等式组标号，求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后根据整数解的个数确定的取值范围即可． 【详解】解： 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴不等式组的解集是， ∵不等式组有3个整数解， ∴整数解为－1、0，1 ∴-2≤＜－1． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）． 5．（2021·广东佛山·一模）若关于x的不等式组有且只有8个整数解，关于y的方程的解为非负数，则满足条件的整数a的值为（    ） A． B． C．或 D．或或 【答案】D 【分析】解不等式组，得到不等式组的解集，根据整数解的个数判断a的取值范围，解分式方程，用含有a的式子表示y，根据解的非负性求出a的取值范围，确定符合条件的整数a，相加即可． 【详解】解：不等式组， 解(1)得， 解(2)得， ∴不等式组的解集为； ∵不等式组有且只有8个整数解， ∴， 解得； 解分式方程得； ∵方程的解为非负数， ∴即； 综上可知：； ∵a是整数， ∴或或． 故选：D． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，分式方程，本题易错，易忽视分式方程有意义的条件． 二、填空题 6．（2024·广东阳江·一模）若关于的不等式组有个整数解，则的取值范围为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，先求出不等式组的解集，再根据不等式组有个整数解即可求出的取值范围，正确求出一元一次不等式组的解集是解题的关键． 【详解】解：， 解得，， 解得，， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组有个整数解， ∴， 故答案为：． 7．（2024·广东惠州·三模）已知关于的二元一次方程组的解满足，则满足条件的的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，解一元一次不等式等知识．熟练掌握加减消元法解二元一次方程组，解一元一次不等式是解题的关键． 加减消元法解二元一次方程组，进而可得，计算求解即可． 【详解】解：， 得，， 解得，， 将代入②得，， 解得，， ∴， 解得，． 故答案为：． 8．（2023·广东江门·一模）定义：如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的相伴方程．若方程、都是关于x的不等式组的相伴方程，则m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先求出两个方程的解，再解不等式组，根据题意可得且，即可解答． 【详解】解：解方程，得：， 解方程，得：， 由，得：， 由，得：， 均是不等式组的解， 且， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，解一元一次不等式组，理解题意，熟练解一元一次方程和一元一次不等式是解题的关键． 9．（2023·广东深圳·模拟预测）定义新运算“”，规定：，若关于x的不等式组的解集为，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先根据定义的新运算法则化简不等式组，然后解不等式组，最后根据解集为确定a的取值范围即可． 【详解】解：根据新定义关于x的不等式组可化为： 解不等式①可得： 解不等式①可得： 因为该不等式组的解集为 ∴，解得：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了新定义运算在不等式组中的应用，解题的关键是准确理解新定义的运算． 10．（2023·广东东莞·模拟预测）定义向下取整记号，其表示不超过实数的最大整数．已知，且，求得的值为 ． 【答案】4 【分析】根据题意可知或，再根据已知条件得到不等式组，求出，即可得到，由此即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了新定义的实数运算，解一元一次不等式组，正确理解题意得到是解题的关键． 三、解答题 11．（2024·河南商丘·三模）2024 年郑州市中招体育考试抽号流程为：第一次抽号确定素质类项目（从1 分钟跳绳、50米跑、掷实心球、立定跳远四项素质类项目中抽考1 项）；第二次抽号确定运动健康技能类统考项目（从篮球运球投篮、足球运球射门、排球垫球三项运动健康技能类中抽考1项）．某班为了备战中考体育，统一采购了一批跳绳和足球，已知跳绳与足球的总数量为50个（每种都购买），下面是经过调查，甲、乙两个商店的跳绳和足球售价信息及优惠方案： 商店 足球单价 跳绳单价 优惠方式 甲 所购商品按原价打八折 乙 足球原价，跳绳五折 (1)在调查过程中，由于粗心，将足球与跳绳的单价遗失了，只知道甲、乙两个商店的足球和跳绳的单价相同，如果按原价买根跳绳与个足球需要花元，花同样的钱还能按原价买根跳绳与个足球，求跳绳与足球的单价； (2)已知跳绳的数量不超过足球数量的一半，若跳绳与足球只能在同一家店购买，则在哪家店购买，该班所需总费用最低？求出这个最低总费用． 【答案】(1)跳绳的单价为元根，足球的单价为元个 (2)在甲家店购买，该班所需总费用最低，这个最低总费用为元 【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式和一次函数的应用，解题的关键是：（）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（）由总价单价数量，找出关于的函数关系式． （1）设跳绳的单价为元个，足球的单价为元条，根据“按原价买根跳绳与个足球需要花元，花同样的钱还能按原价买根跳绳与个足球”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买跳绳条，则购买足球（）个，根据总价单价数量，可得出关于的函数关系式，由跳绳的数量不超过足球数量的一半，可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，再利用一次函数的性质求出最值比较即可解决问题． 【详解】（1）解：设跳绳的单价为元根，足球的单价为元个，依题意，得： ， 解得：． 答：跳绳的单价为元根，足球的单价为元个． （2）设购买跳绳条，则购买足球（）个， ∵跳绳的数量不超过足球数量的一半， ∴ ∴ 设总费用为元，依题意，得：． ， ∵ ∴随的增大而减小， ∴当时，最小，为（元）， ， ∵ ∴随的增大而减小， ∴当时，最小，为（元） ∵， ∴在甲家店购买，该班所需总费用最低，这个最低总费用为元． 12．（2023·广东梅州·一模）若关于x，y的二元一次方程，若满足，． (1)求参数a的取值范围； (2)若y为一个直角三角形的一条直角边长，x为该直角三角形的斜边长，另一条直角边长为方程的一个根，试求该直角三角形的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，，，解得 ，解不等式组即可； （2）由题意知，，求出满足要求的值，然后代入，求解满足要求的值，进而可得的值，进而可求周长． 【详解】（1）解：， ①②可得，解得， ②①可得，解得， ， ， ∴不等式组的解集为， ∴a的取值范围为； （2）解：， 即或， 解得（舍去）或， ∵， ∴，整理得，即， 解得，（不合题意，舍去） ，， ∵， ∴该直角三角形周长为． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，解一元二次方程，解一元一次不等式组，勾股定理等知识．解题的关键在于理解题意并正确的列等式、不等式并正确运算． 13．（2024·山东临沂·二模）骑行电动自行车时佩戴安全头盔非常重要．某商店销售甲、乙两种不同型号的头盔，已知甲种型号头盔的单价比乙种型号头盔贵10元，且用120元购买的甲种型号头盔的数量与用90元购买的乙种型号头盔数量相同． (1)求甲、乙两种型号头盔的单价； (2)某企业计划购进甲、乙两种头盔共300个，若购买的甲种型号的头盔的数量不少于乙种型号的，为使购买头盔的总费用最小，那么应购买甲、乙两种型号头盔各多少个？最少费用为多少元？ 【答案】(1)甲、乙两种型号头盔的单价分别是40元、30元 (2)购买75个甲种头盔，225个乙种头盔时，总费用最少，最少费用为9750元 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的应用及一次函数的应用，关键是正确列出方程、不等式与函数关系式． （1）设乙种型号头盔的单价是x元，则甲种头盔的单价是元，根据等量关系开出分式方程即可求解； （2）设购买m个甲种头盔，根据不等关系列出关于m的一元一次不等式，求出m的取值范围；设该企业购买甲乙两种头盔共花费w元，根据总价、单价与数量的关系列出函数关系式，利用一次函数的性质即可求解最值． 【详解】（1）解：设乙种型号头盔的单价是x元，则甲种头盔的单价是元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 所以（元）； 答：甲、乙两种型号头盔的单价分别是40元、30元； （2）解：设购买m个甲种头盔，则购买个乙种头盔， 由题意得：， 解得：； 设该企业购买甲乙两种头盔共花费w元， 则， ，， 随m的增大而增大， 当时，w取得最小值，最小值为（元），此时（个）． 答：当购买75个甲种头盔，225个乙种头盔时，总费用最少，最少费用为9750元． 14．（2022·广东广州·二模）在平面直角坐标系中，点的坐标为（其中为常数），点与点关于轴对称．在实数范围内定义函数（其中为常数）的图象为． (1)当点在上时，则的值是 ； (2)求点在上时，求的值； (3)当最小值的取值范围是时，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)2 (2) (3)或 【分析】（1）直接代入求值即可； （2）求得点的坐标，分两种求得代入求值即可； （3）分两种情况：图形上最低点落在左侧函数部分的图象上，根据题意解不等式组即可，图形上最低点落在右侧部分的图象上时，解不等式组即可． 【详解】（1）解：把点代入，则， ； （2）解：点的坐标为（其中为常数），点与点关于轴对称， 点的坐标为， 当时，即时， 把点代入，则，解得（舍去）， 当时，即时， 把点代入，则，解得（负值舍去）， 综上，； （3）解：当图形上最低点落在函数的图象上时，则最低点坐标为， ， 解得：； 当图形上最低点落在函数的图象上时， 同理：， 的顶点， 当时，的点， ， 解得， 当时，为最低点， 当时，为最低点， 综上所述，的取值范围为：或． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，其中（3）要确定临界点的情况，进而求解． $$ 第二章 方程（组）与不等式（组） 第08讲：一元一次不等式（组）的解法及其应用 （3~6分） ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 不等式及不等式的基本性质 考点二 一元一次不等式 考点三 一元一次不等式组 考点四 不等式（组）的实际应用 04题型精研·考向洞悉 命题点一 不等式及其性质 题型01 不等式的概念及意义 题型02 不等式的性质 命题点二 一元一次不等式 题型01 求一元一次不等式解集 题型02 一元一次不等式整数解问题 题型03 利用数轴表示一元一次不等式解 题型04 含绝对值的一元一次不等式 命题点三 一元一次不等式的应用 题型01 列一元一次不等式 题型02 用一元一次不等式解决实际问题 题型03 用一元一次不等式解决几何问题 命题点四 一元一次不等式组 题型01 解不等式组 题型02 求不等式组整数解 题型03 由一元一次不等式组的解集求参数 题型04 由不等式组的解集求参数 命题点五 不等式组的实际应用 题型01 利用一元一次不等式组 题型02 不等式组的经济问题 题型03 不等式组的方案问题 05分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 0 考点要求 新课标要求 考查频次 命题预测 不等式及不等式的基本性质 · 结合具体问题，了解不等式的意义，探索不等式的基本性质 10年8考 中考数学中，一元一次不等式(组) 的解法及应用题时有考察. 其中不等式性质、解一元一次不等式(组)，通常是以选择题或填空题的形式出现，难度不大.而不等式（组）相关的应用题常会和其它考点(如二元一次方程组、二次函数等) 结合考察，常以解答题形式出现，此时难度上升，需要小心应对.对于一元一次不等式（组）中含参数问题，难度偏大，但是考察几率并不大，为避免丢分，学生应在复习过程中扎实掌握． 一元一次不等式 · 能解数字系数的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集 近10年连续考查 一元一次不等式组 · 会用数轴确定两个一元一次不等式组成的不等式组的解集. 10年7考 不等式（组）的实际应用 · 能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式，解决简单的问题. 10年8考 考点一 不等式及不等式的基本性质 一、不等式的相关概念 不等式的定义：用不等号“＞”、“≥”、“＜”、“≤”或“≠”表示不等关系的式子，叫做不等式. 不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解. 不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集. 不等式的解集的表示方法：①用不等式表示；②用数轴表示. 解不等式的概念：求不等式的解集的过程，叫做解不等式. 二、不等式的性质 基本性质1 若a>b，则a±c > b±c 若a<b，则a±c < b±c 基本性质2 若a>b,c>0，则ac>bc（或） 基本性质3 若a>b,c<0，则ac<bc（或） ( 1 . 方程与不等式的区别 ：方程表示的是相等关系，不等式表示的是不等关系 . 2 . 常见的不等号有 ：≠， > ，≥， < ，≤五种 . 3 . 用数轴表示不等式的解集 ：大于向右，小于向左，有等号画实心圆点，无等号画空心圆点 . 4 . 不等式的解与不等式的解集的区别与联系： 1 ）不等式的解是指满足这个不等式的未知数的某个值 . 2 ）不等式的解集是指满足这个不等式的未知数的所有的值 . 3 ）不等式的所有解组成了这个不等式的解集，不等式的解集中包括这个不等式的每一个解 . 5 . 在列不等式时，要注意抓住问题中的一些关键词语，如：不小于，至少，大于、不高于、不低于等 . 同时要根据关键词准确地选用不等号．另外，对一些实际问题的分析还要注意结合实际． 6. 运用不等式的性质的注意事项： 1 ）不等式两边都要参与运算，并且是作同一种运算． 2 ）不等式两边加或减，乘或除以的数一定是同一个数或同一个式子． 3 ）等式两边 不能同时除以 0 ，即 0 不能作除数或分母． 4 ） 运用不等式的性质进行不等式变形时 , 要特别注意性质 2 和性质 3 的区别 , 在乘 ( 或除以 ) 同一个数时 , 必须先弄清楚这个数是正数还是负数 , 如果是负数 , 不等号要改变方向 . ) 考点二 一元一次不等式 一元一次不等式的概念:不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数并且未知数的最高次数是1，像这样的不等式叫一元一次不等式. 一元一次不等式的一般形式：或. 步骤 具体做法 依据 注意事项 去分母 在不等式两边都乘以各分母的最小公倍数 不等式性质2、3 1）不要漏乘不含分母的项； 2）当分母中含有小数时，先将小数化成整数，再去分母. 3）如果分子是多项式，去分母后要加括号. 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 分配律 去括号法则 1) 去括号时，括号前的数要乘括号内的每一项; 2) 括号前面是负数时,去掉括号后,括号内各项都要变号； 3）括号前面是正数时,去掉括号后,括号内各项都不变号. 移项 把含有未知数的项移到不等式左边，其它项都移到不等式右边 不等式性质1 1）移项时不要漏项; 2）将不等式中的项从一边移到另一边要变号.而在不等式同一边改变项的位置时不变号. 合并同类项 把不等式变为或的形式 合并同类项法则 1）不要漏项； 2）系数的符号处理要得当. 系数化为1 将不等式两边都除以未知数系数a，得到不等式的解 不等式性质2、3 1)不等式两边都除以未知数系数; 2)当系数为负数，不等号的方向发生改变. ( 1 . 一元 一次不等式满足的条件：① 不等式的左右两边都是 整式； ② 只含有一个未知数； ③ 未知数的最高次数是 1 . 2 . 进行“去分母”和“系数化为 1 ”时，要根据不等号两边同乘以（或除以）的数的正负，决定是否改变不等号的方向， 若不能确定该数的正负，则要分正、负两种情况讨论 ． 3 . 在解一元一次不等式时 , 上述的五个步骤不一定都能用到 , 并且也不一定按照自上而下的顺序 , 要根据不等式的形式灵活安排求解步骤 . ) 考点三 一元一次不等式组 一元一次不等式组的概念：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，组成一元一次不等式组． 一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集． 不等式组解集的确定有两种方法： 1）数轴法：在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集. 2）口诀法：大大取大，小小取小，大小、小大中间找，大大、小小取不了． 解一元一次不等式组的一般步骤： 1） 求出不等式组中各不等式的解集. 2） 将各不等式的解决在数轴上表示出来. 3） 在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集. ( 1. 在求不等式组的解集的过程中，通常是利用数轴来表示不等式组的解集的 . 2. 利用数轴表示不等式组解集时，要把几个不等式的解集都表示出来，不能仅画公共部分 . ) 考点四 不等式（组）的实际应用 一元一次不等式（组）的应用题的关键语句： 1）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系，因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． 2）对一些实际问题的分析还要注意结合实际.有些不等关系隐含于生活常识中,如小王用50元去买单价为6元的笔记本.设买x本，求x的取值范围时,其问题中就隐含着所花钱数不能超过50元.由此可得出不等式 6x≤50. 用一元一次不等式（组）解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 答：实际问题的答案. 命题点一 不等式及其性质 ►题型01 不等式的概念及意义 1、以下表达式：①；②；③；④；⑤．其中不等式有（  ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2、（2020·河北·统考模拟预测）下面列出的不等式中，正确的是（    ） A．“不是负数”表示为 B．“不大于5”表示为 C．“与4的差是正数”表示为 D．“不等于4”表示为 3、（2023南宁市模拟）a是非负数的表达式是（    ） A． B． C． D． 4、（2023·河北保定·统考二模）在四个数中，满足不等式的有（    ） A．－2 B．－3 C． D．1 ►题型02 不等式的性质 4、（2023·湖南长沙·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考模拟预测）如果 ，那么下列不等式成立的是（　　） A． B． C． D． 5、（2023·湖南常德·统考模拟预测）已知，则下列不等式变形不正确的是（    ） A． B． C． D． 6、（2023·浙江嘉兴·统考二模）已知是实数，且，下列说法一定正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 7、（2023·浙江杭州·杭州市丰潭中学校考三模）设，，为实数，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 8、（2022·江苏镇江·统考中考真题）如图，数轴上的点A和点B分别在原点的左侧和右侧，点A、B对应的实数分别是a、b，下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 命题点二 一元一次不等式 ►题型01 求一元一次不等式解集 9．（2024·安徽·三模）解不等式： 10．（2024·浙江·模拟预测）． 11．（2024·北京·模拟预测）解下列不等式： ，并求出满足不等式的非负整数解． 12．（2024·陕西西安·模拟预测）解不等式，并将该不等式的解集在如图所示的数轴上表示出来． ►题型02 一元一次不等式整数解问题 13．（2024·四川自贡·模拟预测）不等式的自然数解有（   ）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 14．（2024·山东济南·模拟预测）已知不等式的正整数解有2个，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 15．（2024·浙江温州·一模）已知关于x的不等式的负整数解只有, 则m的取值范围是 （     ）． A． B． C． D． 16．（2023·福建漳州·一模）关于x的不等式恰有两个负整数解，则b的取值范围是（    ） A． B． C． D． ►题型03 利用数轴表示一元一次不等式解 17（2024·湖南·模拟预测）不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 18．（2024·广东广州·模拟预测）已知实数，满足，则的取值范围可在数轴表示为（   ） A． B． C． D． 19．（2024·广东惠州·模拟预测）一个关于x的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图所示，则这个不等式组的解集是（   ）    A． B． C． 或 D． 20．（2024·辽宁·模拟预测）若点在平面直角坐标系的第三象限内，则x的取值范围在数轴上可表示为（ ） A． B． C． D． ►题型04 含绝对值的一元一次不等式 21．（2020·四川自贡·中考真题）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”；数形结合是解决数学问题的重要思想方法.例如，代数式的几何意义是数轴上所对应的点与2所对应的点之间的距离；因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离．   ⑴. 发现问题：代数式的最小值是多少？ ⑵. 探究问题：如图，点分别表示的是 ，． ∵的几何意义是线段与的长度之和 ∴当点在线段上时，;当点点在点的左侧或点的右侧时 ∴的最小值是3． ⑶.解决问题： ①.的最小值是 ； ②.利用上述思想方法解不等式： ③.当为何值时，代数式的最小值是2． 22．（23-24安徽）数学探究小组在学习了不等式知识后开展对绝对值不等式的解集的探究，首先对和进行探究： 根据绝对值的意义，将不等式的解集表示在数轴上（如图1），可得的解集是：；将不等式的解集表示在数轴上（如图2），可得的解集是：或．    根据以上探究，解答下列问题： (1)填空：不等式（）的解集为______，不等式（）的解集为______； (2)解不等式； (3)求不等式的解集． 23．（22-23福建厦门）阅读理解： 例1．解方程，因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为，所以方程的解为． 例2．解不等式，在数轴上找出的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为或3，所以方程的解为或，因此不等式的解集为或．    参考阅读材料，解答下列问题： (1)方程的解为________ (2)解不等式：． (3)解不等式：． 24．（22-23上海）阅读理解：表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离． 例1. 解方程，因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为，所以方程的解为； 例2. 解不等式，在数轴上找出的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为或3，所以方程的解为或，因此不等式的解集为或．    参考阅读材料，解答下列问题： (1)的解为____________； (2)找出所有符合条件的整数，使得，这样的整数是____________； (3)不等式的解集为____________． 命题点三 一元一次不等式的应用 ►题型01 列一元一次不等式 25．（2024·广东阳江·二模）与6的和不大于0，用不等式表示为（   ） A． B． C． D． 26．（2022·广东河源·二模）如图，x和5分别是天平上两边的砝码的质量，则x的取值范围在数轴上可表示为（    ） A．B．C．D． 27．（2020·广东广州·二模）小丽计划节省部分零花钱购买一台学生平板电脑，她已存有元，并计划从本月起每月存钱元，直到她至少存有元，设个月后小丽至少有元，则可列出不等式为（ ） A．B． C． D． 28．（2022·吉林·中考真题）与2的差不大于0，用不等式表示为（    ） A． B． C． D． ►题型02 用一元一次不等式解决实际问题 29．（2023·广东佛山·一模）某环保知识竞赛一共有20道题，规定：答对一道题得5分，答错或不答一道题扣1分．在这次竞赛中，小明被评为优秀（85分或85分以上），则小明至少答对了______道题．（    ） A．17 B．18 C．19 D．16 30．（2024·广东惠州·模拟预测）某服装的进价为元，出售时标价为元，由于换季，商场准备打折销售，但要保证利润率不低于，那么该服装至多打（　　）折 A． B． C． D． 31．（2024·吉林长春·模拟预测）某高速公路工地需要实施爆破，操作人员点燃导火线后，要在炸药爆炸前跑到400米以外的安全区域．已知导火线的燃烧速度是厘米/秒，人跑步的速度是5米/秒．设导火线的长度为厘米，问导火线必须满足的条件是（    ） A． B． C． D． 32．（2024·辽宁·模拟预测）丹东九九草莓是一种品质优良、花朵大、果实颜色鲜艳且糖度高的草莓品种，广泛栽培于辽宁省的丹东市和周边地区．因其好看、好吃等特点，在市场上备受欢迎．某大型超市从生产基地花费4000元购进丹东九九草莓，运输过程中质量损失，超市计划销售这批草莓至少获得的利润（不计其他费用），售价至少定为多少？设售价定为x元/kg，根据题意，可列不等式为（    ） A． B． C． D． ►题型03 用一元一次不等式解决几何问题 33．（2024·河北石家庄·一模）已知数轴上有，两点，点表示的数为，点表示的数为． (1)当时，求线段的长； (2)若点与点关于原点对称，求点表示的数； (3)若点在点的左侧，求的正整数值． 34．（2023·河南新乡·三模）已知抛物线与轴交于、两点，点在点的左侧． (1)请求出抛物线对称轴和点A、B的坐标； (2)已知点、，且抛物线与线段只有一个公共点，请求出的取值范围． 35．（2022·河北邯郸·三模）如图，数轴上点O为原点，点A，B，C表示的数分别是，，． (1)________（用含m的代数式表示）； (2)若点B为线段的中点，求的长； (3)设，求当与的差不小于时整数x的最小值． 36．（2023·河北衡水·模拟预测）如图，点A，B均在数轴上，点B在点A的右侧，点A对应的数字是，点B对应的数字是m． (1)若，求m的值； (2)将线段三等分，这两个等分点所对应数字从左到右依次是，，若，求m的取值范围． 命题点四 一元一次不等式组 ►题型01 解不等式组 37．（2024·广东广州·模拟预测）解不等式组：． 38．（2024·广东中山·三模）解不等式组． 39．（2024·广东惠州·三模）解不等式组 ，并在数轴上表示它们的解集． 40．（2024·广东揭阳·一模）解不等式组，并把解集表示在数轴上． ►题型02 求不等式组整数解 41．（2024·广东·模拟预测）下列数值不是不等式组 的整数解的是（   ） A． B． C．0 D．1 42．（2023·广东潮州·二模）如果关于x的不等式组的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的整数对共有（　　） A．42对 B．36对 C．30对 D．11对 43．（2023·广东东莞·二模）不等式组的整数解的个数是(     ) A．1 B．2 C．3 D．4 44．（2022·广东惠州·一模）不等式组的整数解的个数是（    ）． A．0个 B．2个 C．4个 D．5个 ►题型03 由一元一次不等式组的解集求参数 45．（2024·四川雅安·三模）若关于的不等式组的解集为，则的值为（   ） A． B． C．3 D．1 46．（2024·广东深圳·一模）已知不等式组的解集是，则的值为（    ） A． B．1 C．0 D．2024 47．（2023·广东深圳·模拟预测）如果关于x的不等式组的解集是，那么m的值为（　　） A． B． C．0 D．1 48．（2022·广东·二模）已知不等式组，的解集为，则的值为（    ） A． B．2022 C．1 D． ►题型04 由不等式组的解集求参数 49．（2024·广东·二模）若一元一次不等式组的解集为，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 50．（2024·云南昭通·模拟预测）若关于x的不等式组的解集是，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 51．（2024·广东湛江·一模）已知不等式组的解集为，则（  ） A． B． C． D．无法确定 52．（2023·广东深圳·模拟预测）若关于的不等式组有解，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 命题点五 不等式组的实际应用 ►题型01 利用一元一次不等式组 53．（23-24八年级下·广东深圳·期中）某双向六车道高速公路，分车道与分车型组合限速，其标牌版面如图所示，每个标牌上左侧数字代表该车道车型的最高通行车速（单位：），右侧数字代表该车道车型的最低通行车速（单位：）.王师傅驾驶一辆货车在该高速公路上依规行驶，车速为，则车速v的范围是（    ）    A． B． C． D． 54．（2024·浙江杭州·三模）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于，蛋白质的含量p应不少于．据此情境，可列不等式组为（　　） A． B． C． D． 55．（2023九年级·全国）将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有1个小朋友所分苹果不到8个．若小朋友的人数为x，则列式正确的是（    ） A．0≤5x＋12－8（x－1）＜8 B．0＜5x＋12－8（x－1）≤8 C．1≤5x＋12－8（x－1）＜8 D．1＜5x＋12－8（x－1）≤8 56．（21-22九年级下·河北石家庄）检测游泳池的水质，要求三次检验的pH的平均值不小于7.2，且不大于7.8．前两次检验，pH的读数分别是7.4，7.9，那么第三次检验的pH应该为多少才能合格？设第3次的pH为x，由题意可得（    ） A． B． C． D． ►题型02 不等式组的经济问题 57．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）某地脱贫攻坚，大力发展有机农业，种植了甲、乙两种蔬菜．某超市花430元可购进甲种蔬菜15千克和乙种蔬菜20千克；花212元可购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜8千克． (1)求该超市购进甲、乙两种蔬菜的单价分别为多少元？ (2)若该超市每天购进甲、乙两种蔬菜共计100千克（甲、乙两种蔬菜重量均为整数），且花费资金不少于1160元又不多于1200元，问该超市有多少种购进方案？ 58．（24-25九年级上·黑龙江佳木斯）“华夏东极”佳木斯市是中国人口较少的民族之一——赫哲族最主要的聚居地，赫哲文化蜚声全国、源远流长，其中赫哲族特有文化——鱼皮画，成为省级非遗项目．为宣传赫哲文化，某文创店准备购进甲、乙两种鱼皮画，其中乙种鱼皮画的进价比甲种鱼皮画的进价少10元，已知甲种鱼皮画的售价为每件120元，乙种鱼皮画的售价为每件100元，若用2000元购进甲种鱼皮画的数量与用1800元购进乙种鱼皮画的数量相同． (1)求甲、乙两种鱼皮画每件的进价； (2)要使购进的甲、乙两种鱼皮画共300件的总利润不少于4000元，且不超过4100元，问该文创专卖店有几种进货方案； (3)文创店准备对甲种鱼皮画进行价格调整，甲种鱼皮画每星期可卖出40件，市场调查反映，如调整价格，甲种鱼皮画每降价1元，每星期可多卖出10件，乙种鱼皮画售价不变，若该专卖店一星期要购进甲、乙共200件鱼皮画且全部售出，如何给甲种鱼皮画定价才能使一星期总利润最大，此时甲、乙两种鱼皮画各卖出多少件？ 59．（24-25九年级上·江苏）某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价为30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价为40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．不妨设该种品牌玩具的实际销售单价为元，销售该品牌玩具获得的利润为元． (1)求出与之间的函数关系式； (2)若商场只获得了6000元的销售利润，求该玩具销售单价为多少元？ (3)若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于500件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？ ►题型03 不等式组的方案问题 68．（24-25九年级上·湖南益阳）扎染文化是我国传统文化的重要组成部分，扎染文化的发展带动了旅游相关产业的发展，电视剧《去有风的地方》的热映不仅推动了云南大理旅游业的热潮，也增进了人们对扎染文化的了解，云南大理某扎染坊购进甲、乙两种布料共100件，其中两种布料的成本价和销售价如表： 成本价（元/件） 销售价（元/件） 甲种布料 60 100 乙种布料 40 70 (1)设购进甲种布料x件，销售完甲、乙两种布料后获得的利润为W元，请写出W关于x的表达式 (2)若此次购进甲种布料的数量不超过乙种布料的数量的1.5倍，试问怎样进货方案才能使销售完甲、乙两种布料后获得的利润最大？最大利润是多少元？ 69．（2024全国）某商场准备购进，两种书包，每个种书包比种书包的进价少元，用元购进种书包的个数是用元购进种书包个数的倍．请解答下列问题： (1)，两种书包每个进价各是多少元？ (2)若该商场购进种书包的个数比种书包的倍还多个，且种书包不少于个，购进，两种书包的总费用不超过元，则该商场有哪几种进货方案？ 【答案】(1)每个种书包的进价是元，每个种书包的进价是元 (2)该商场共有种进货方案： 方案：购进个种书包，个种书包； 方案：购进个种书包，个种书包； 方案：购进个种书包，个种书包． 【分析】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，解题的关键是找准等量关系列出分式方程，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设每个种书包的进价是元，则每个种书包的进价是元，利用数量总价单价，结合用元购进种书包的个数是用元购进种书包个数的倍，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出每个种书包的进价，再将其代入中，可得出每个种书包的进价； （2）设该商场购进个种书包，则购进个种书包，根据“购进种书包不少于个，且购进，两种书包的总费用不超过元”，可列出关于的一元一次不等式组，解不等式组可得出的取值范围，再结合为正整数，即可得出各进货方案． 70．（24-25·浙江）某文具店准备用1000元购进甲、乙两种笔，甲种笔每支10元，乙种笔每支5元．考虑到顾客的需求，文具店购进的乙种笔的数量不少于甲种笔数量的6倍，且甲种笔不少于20支．设购进甲种笔支，购进乙种笔支． (1)写出关于的函数表达式． (2)通过列不等式求出该文具店共有几种进货方案． (3)若文具店销售每支甲种笔可获利润3元，销售每支乙种笔可获利润2元，在所有进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？ 基础巩固 一、单选题 1．（2024·广东·模拟预测）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·广东·模拟预测）把不等式组中每个不等式的解集在同一条数轴上表示出来，正确的是（   ） A．B．C． D． 3．（2024·广东清远·模拟预测）农户利用“立体大棚种植技术”把茄子和丝瓜进行混种．已知茄子齐苗后棚温在最适宜，播种丝瓜的最适宜温度是．农户在茄子齐苗后在同一大棚播种了丝瓜，这时应该把大棚温度设置在下列哪个范围最适宜（    ） A． B． C． D．以上 4．（2024·广东珠海·一模）如图，天平右盘中的每个砝码的质量为10g，则物体M的质量的取值范围在数轴上可表示为（   ） A． B． C． D． 5．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）已知点在第二象限，则a的取值范围是（    ） A．或 B． C． D． 6．（2023·浙江·中考真题）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 7．（2023·广东肇庆·二模）若关于的方程有实数根，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 8．（2023·广东广州·二模）定义运算“”为：当时，；当时，．例如：．若则的取值范围为（    ） A． B． C． D．或 二、填空题 9．（2024·广东汕头·二模）不等式组的解集是 ． 10．（2024·广东汕头·一模）一次生活常识竞赛，一共有25道题，答对一题得4分，不答得0分，答错一题扣1分，小明有2题没答，竞赛成绩要不低于83分，则小明至少要答对 道题． 11．（2022·广东中山·二模）将点向左平移个单位长度，向上平移个单位长度，得到点，则m的取值范围是 ． 三、解答题 12．（2024·广东深圳·模拟预测）为改善城市人居环境，某区域原来每天需要处理生活垃圾920吨，刚好被12个A型和10个B型预处置点位进行初筛、压缩等处理．已知一个A型点位比一个B型点位每天多处理7吨生活垃圾． (1)求每个B型点位每天处理生活垃圾的吨数； (2)由于垃圾分类要求提高，在每个点位每天将少处理8吨生活垃圾，同时由于市民环保意识增强，该区域每天需要处理的生活垃圾比原来少10吨．若该区域计划增设A型、B型点位共5个，试问至少需要增设几个A型点位才能当日处理完所有生活垃圾？ 13．（2024·广东·模拟预测）某校因物理实验室需更新升级，现决定购买甲、乙两种型号的滑动变阻器．若购买甲种滑动变阻器用了1650元，购买乙种用了1000元，购买的甲种滑动变阻器的数量是乙种的1.5倍，甲种滑动变阻器单价比乙种单价贵5元． (1)求甲、乙两种滑动变阻器的单价分别为多少元． (2)该校拟计划再订购这两种滑动变阻器共100个，总费用不超过5200元，那么该校最多可以购买多少个甲种滑动变阻器? 能力提升 一、单选题 1．（2023·广东梅州·一模）已知实数a，b满足，则有关x的不等式组的解集为（    ） A． B． C． D．无解 2．（2023·四川绵阳·二模）不等式组的所有整数解的和为9，则整数的值有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2022·广东珠海·一模）若不等式-1＞0的解都能使关于的不等式(m-2)＜2m-1成立，则m的取值范围是(     ) A．m＞1 B．1＜m≤2 C．0≤m≤1 D．-1≤m＜2 4．（2021·广东江门·一模）已知关于x的不等式组有三个整数解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2021·广东佛山·一模）若关于x的不等式组有且只有8个整数解，关于y的方程的解为非负数，则满足条件的整数a的值为（    ） A． B． C．或 D．或或 二、填空题 6．（2024·广东阳江·一模）若关于的不等式组有个整数解，则的取值范围为 ． 7．（2024·广东惠州·三模）已知关于的二元一次方程组的解满足，则满足条件的的取值范围是 ． 8．（2023·广东江门·一模）定义：如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的相伴方程．若方程、都是关于x的不等式组的相伴方程，则m的取值范围为 ． 9．（2023·广东深圳·模拟预测）定义新运算“”，规定：，若关于x的不等式组的解集为，则a的取值范围是 ． 10．（2023·广东东莞·模拟预测）定义向下取整记号，其表示不超过实数的最大整数．已知，且，求得的值为 ． 三、解答题 11．（2024·河南商丘·三模）2024 年郑州市中招体育考试抽号流程为：第一次抽号确定素质类项目（从1 分钟跳绳、50米跑、掷实心球、立定跳远四项素质类项目中抽考1 项）；第二次抽号确定运动健康技能类统考项目（从篮球运球投篮、足球运球射门、排球垫球三项运动健康技能类中抽考1项）．某班为了备战中考体育，统一采购了一批跳绳和足球，已知跳绳与足球的总数量为50个（每种都购买），下面是经过调查，甲、乙两个商店的跳绳和足球售价信息及优惠方案： 商店 足球单价 跳绳单价 优惠方式 甲 所购商品按原价打八折 乙 足球原价，跳绳五折 (1)在调查过程中，由于粗心，将足球与跳绳的单价遗失了，只知道甲、乙两个商店的足球和跳绳的单价相同，如果按原价买根跳绳与个足球需要花元，花同样的钱还能按原价买根跳绳与个足球，求跳绳与足球的单价； (2)已知跳绳的数量不超过足球数量的一半，若跳绳与足球只能在同一家店购买，则在哪家店购买，该班所需总费用最低？求出这个最低总费用． 12．（2023·广东梅州·一模）若关于x，y的二元一次方程，若满足，． (1)求参数a的取值范围； (2)若y为一个直角三角形的一条直角边长，x为该直角三角形的斜边长，另一条直角边长为方程的一个根，试求该直角三角形的周长． 13．（2024·山东临沂·二模）骑行电动自行车时佩戴安全头盔非常重要．某商店销售甲、乙两种不同型号的头盔，已知甲种型号头盔的单价比乙种型号头盔贵10元，且用120元购买的甲种型号头盔的数量与用90元购买的乙种型号头盔数量相同． (1)求甲、乙两种型号头盔的单价； (2)某企业计划购进甲、乙两种头盔共300个，若购买的甲种型号的头盔的数量不少于乙种型号的，为使购买头盔的总费用最小，那么应购买甲、乙两种型号头盔各多少个？最少费用为多少元？ 14．（2022·广东广州·二模）在平面直角坐标系中，点的坐标为（其中为常数），点与点关于轴对称．在实数范围内定义函数（其中为常数）的图象为． (1)当点在上时，则的值是 ； (2)求点在上时，求的值； (3)当最小值的取值范围是时，请直接写出的取值范围． $$