（新课衔接）第2讲 因数和倍数的认识（知识点梳理+真题拔高练）-2025年五年级数学寒假新课学习培优讲练（人教版）

新课衔接 2025年五年级数学寒假新课学习培优讲练 第2讲 因数和倍数的认识（知识点梳理+真题拔高练） 1、因数和倍数。 在整数除法中，如果商是整数而没有余数，就说被除数是除数的倍数，除数是被除数的因数。因数与倍数是相互依存的，既不能单独说一个数是因数，也不能单独说一个数是倍数。 为了方便，在研究因数和倍数的时候，我们所说的数指的是自然数（一般不包括0）。 2、找一个数的因数的方法。 找一个数的因数：①从最小的因数找起，一直找到它本身；②一对一对地找，即想哪两个数相乘的积等于这个数，那么这两个数都是这个数的因数。 3、找一个数的倍数的方法。 找一个数的倍数：用这个数分别去乘自然数1，2，3，所得的积都是这个数的倍数。 4、一个数的因数的个数是有限的，一个数的倍数的个数是无限的。一个数的最小因数是1，最大的因数是它本身。一个数的最小倍数是它本身，没有最大的倍数。 一、选择题 1．一个数是36的因数，又是4的倍数，下面各数中符合条件的是（    ）。 A．9 B．12 C．16 D．24 2．完全数是等于除了它自身以外的全部因数之和的数。例如，6的因数有1，2，3，6，这几个因数的关系就是：，则6是一个完全数。下面四个选项中是完全数的是（    ）。 A．2 B．8 C．14 D．28 3．在神舟十三号科学实验舱中，宇航员研究了一种细胞，该种细胞每2分钟分裂一次，每个细胞分裂一次变成2个细胞。现在有一个细胞开始分裂，10分钟后，一共分裂成了（    ）个细胞。 A．31 B．32 C．16 D．33 4．五年级排队做广播体操，每一列都刚好是13人，五年级可能有（    ）人。 A．45 B．52 C．55 D．64 5．下列各组数中，哪一组的第二个数是第一个数的倍数（    ）。 A．2.5和5 B．4和10 C．0.4和1.2 D．5和25 二、填空题 6．a、b都是大于0的自然数，a＝9b。a的因数最少有（ ），（ ），（ ）和（ ）。 7．24的因数共有8个。淘气写出了7个：1、2、3、4、6、12、24。按照淘气的排列方法，他漏写了（ ）后面的（ ）。 8．小明带了100元出去购物，在第一家店买了若干件A商品，在第二家店买了若干件B商品，在第三家店买了若干件C商品，在第四家店买了若干件D商品，在第五家买了若干件E商品，在第六家店买了若干件F商品，六种商品的单价各不相同且都是整数元，他在六家店里花的钱相同，最后他剩（ ）元。 9．黑板上贴着7张数字卡片，细心的妙想发现：这7个数字正好是某个自然数的所有因数，这个自然数是（ ）。 10．淘宝某店“双十一”前开展整时抢三折优惠券活动。每次发放的优惠券不超过50张，且张数是9的倍数。店家每次可能发放（ ）张优惠券。 三、解答题 11．有下面三种规格的包装箱，选用哪种规格的包装箱能正好把64本书装完？写出你的理由。 12．将20本练习簿分发给小朋友，要全部分完，而且每个人分到的作业簿要一样多，可能有几个小朋友？ 13．三村小学五2班有32名学生排队，要求每行的人数相同，可以排成几行？有几种排法？ 14．3月12日是植树节，五年级有48名同学参加植树活动。 （1）把人数分成相等的若干小组，要使组数大于2小于10，可以分成几组？ （2）有6名同学去给小树苗浇水。小树苗不到30棵，他们发现每人浇水的棵数相同，这批小树苗可能有多少棵？ 参考答案 1．【解题思路】根据求一个数因数的方法和倍数的方法，分别求出32的因数和32以内4的倍数，进而解答 【规范解答】36的因数有：1，2，3，4，6，9，12，18，36； 36以内4的倍数有：4，8，12，16，20，24，28，32，36。 一个数是36的因数，又是4的倍数有：4，12，36。 一个数是36的因数，又是4的倍数，符合条件的是12。 故答案为：B 2．【解题思路】通过列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。据此分别找出选项中各数的所有因数，然后按照完全数的特征进行选择。 【规范解答】A．2的因数有1、2，1＋2≠2，2不是一个完全数； B．8的因数有1、2、4、8，1＋2＋4≠8，则8不是一个完全数； C．14的因数有1、2、7、14，1＋2＋7≠14，则14不是一个完全数； D．28的因数有1、2、4、7、14、28，1＋2＋4＋7＋14＝28，则28是一个完全数。 故答案为：D 3．【解题思路】先求出10分钟内分裂多少次，用10除以2得到分裂的次数为5次，那么： 第一次分裂：1×2＝2（个） 第二次分裂：2×2＝4（个） 第三次分裂：4×2＝8（个） 第四次分裂：8×2＝16（个） 第五次分裂：16×2＝32（个） 据此解答即可。 【规范解答】10÷2＝5（次） 1×2×2×2×2×2＝32（个） 所以，一共分裂成32个细胞。 故答案为：B 4．【解题思路】在乘法算式a×b＝c（a、b、c均为非0的自然数）中，a、b就是c的因数，c就是a、b的倍数。每一列的人数×列数＝全班总人数，如果每一列都刚好是13人，那么全班总人数一定是13的倍数。据此解答。 【规范解答】A．45除以13有余数，则45不是13的倍数，此选项不符合题意； B．52÷13＝4，则52是13的倍数，五年级可能有52人； C．55除以13有余数，则55不是13的倍数，此选项不符合题意； D．64除以13有余数，则64不是13的倍数，此选项不符合题意。 故答案为：B 5．【解题思路】在乘法算式a×b＝c（a、b、c均为非0的自然数）中，a、b就是c的因数，c就是a、b的倍数。 【规范解答】A．2.5和5，2.5是小数，不在因数和倍数的定义范围，排除； B．4和10，10÷4，不能整数，排除； C．0.4和1.2，两个数都是小数，不在因数和倍数的定义范围，排除； D．5和25，5×5＝25，25是5的倍数，符合。 故答案为：D 6．【解题思路】a＝9b，说明9和b都是a的因数，另外一个数的最小公倍数是1，最大因数是它本身，据此填空。 【规范解答】a、b都是大于0的自然数，a＝9b。根据分析，a的因数最少有1，a，9和b。 7．【解题思路】列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。 一个数的因数的个数是有限的，最小的是1，最大的是它本身。 题目中淘气的排列方法是按照从小到大排列，找出24的因数之后，按照从小到大的顺序排列，即可找出漏写的数。据此即可解答。 【规范解答】24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6 所以24的因数有：1、2、3、4、6、8、12、24。 所以淘气漏写了6后面的8。 8．【解题思路】由于小明只带了100元出去购物，并且在六家店里花的钱相同，因此，小明在每个商店内所花的钱不能超过16元。在小于等于16的自然数中，只有12可以分解成有6个因数的积，因此，小明在每个商店所花的钱都是12元，进而求得剩下的钱数。 【规范解答】（元）……4（元） 小明在每个商店内所花的钱不能超过16元，且这个数有6个不同的因数。 在小于16的数中，只有12有6个不同的因数。 ＝ ＝28（元） 最后他剩（28）元。 【考察方向】先明确小明在每个商店内所花的钱的最高金额、以及找到12的因数，是解答题的关键。 9．【解题思路】根据因数和倍数的意义，a、b、c是不为0的自然数，当a×b＝c时，a和b是c的因数，c是a和b的倍数。如8＝1×8＝2×4，8的因数就有1、8、2、4，共4个。一个数的因数总是成对出现的，因数的个数一般是偶数个；又如16＝1×16＝2×8＝4×4，16的因数有1、16、2、8、4共5个，因为16＝4×4＝42，16因数的个数是奇数个。当一个数能表示成某个整数的平方的形式时，它的因数的个数是奇数个。据此解答即可。 【规范解答】16是这个数的因数，16的因数也一定是这个数的因数。16的因数有1、2、4、8、16共5个。16是这个数的因数，这个数就是16的倍数。当16的倍数中，16×4＝64＝82，64的因数有1、2、4、8、16、32、64，共7个因数。因此这个自然数是64。 【考察方向】本题考查的是因数和倍数的意义，明确这个数是某个整数的平方是解题的关键。 10．【解题思路】根据题意，每次发放的优惠券不超过50张，且张数是9的倍数，列举出50以内9的倍数，即是店家每次可能发放优惠券的张数。 【规范解答】50以内9的倍数：9，18，27，36，45； 即店家每次可能发放9，18，27，36，45张优惠券。 11．【解题思路】找出哪个种规格包装箱每箱所装的本数是64的因数，即用64除以每箱所装的本数，能整除的即为解。 【规范解答】 答：因为8是64的因数，所以应选每箱8本的包装箱。 12．【解题思路】根据找一个数因数的方法，列举出20的因数，然后排除1即可。 【规范解答】20的因数有：1、2、4、5、10、20。 答：可能有2或4或5或10或20个小朋友。 【考察方向】明确找一个数因数的方法，是解答此题的关键. 13．【解题思路】根据找因数的方法，找出32所有的因数，列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。每一组的两个因数都可以做行数和每行人数，据此分析。 【规范解答】，可以排成32行，每行1人，或者排成1行，每行32人； ，排成16行，每行2人，或者排成2行，每行16人； ，排成8行每行4人，或者排成4行，每行8人； 所以32人可以排成1行、2行、4行、8行、16行、32行，一共6种排法。 答：可以排成1行、2行、4行、8行、16行、32行，一共6种排法。 【考察方向】关键是理解题意，掌握求一个数的因数的方法。 14．【解题思路】（1）根据题意可知，先求出48的因数，然后根据条件“分成人数相等的若干小组，要求组数大于2，小于10”可知，2＜组数＜10，据此找出合适的分组方法。 （2）根据求一个数的倍数，求出6的倍数，又因为准备的小树苗不到30棵，结合题意即可找到这批小树苗可能有多少棵。 【规范解答】（1）48＝1×48＝2×24＝3×16＝4×12＝6×8， 因为组数大于2，小于10，一共有4种分法，①分成3组，每组16人，②分成4组，每组12人，③分成6组，每组8人，④分成8组，每组6人。 答：可以分成3、4、6、8组。 （2）因为30以内6的倍数有：6、12、18、24，所以可能有6、12、18、24棵。 答：这批小树苗可能有6、12、18、24棵。 【考察方向】本题考查求一个数的倍数和因数，明确组数的范围以及小树苗不到30棵是解题的关键。 学科网（北京）股份有限公司 $$