河南省名校大联考2024-2025学年高三上学期1月期末检测数学试题

绝密★启用前 7,“牟合方熟“是指由两个柜网的圆柱成直角相交而得到的公共部分对应的几何体，如图(1)，若置 柱的底面半径为，则组成的车合方鉴的表面积为16？.现有底派半径为1，高为3的两个圆柱 ·大联考 成直角相交形成个“十字”几何体，如图(2)，湘该几何体的表面积为 2024一2025学年（上）高三年级期末检测 数学 考生注意： 图2) 1,常题前，考生务必将自己的数名、考生号填写在试春和答题卡上，并牌考生号条形码然 A.16m-16 a.16年416 贴在多周卡上的指定位夏， C8m-16 D.8m+16 2國答选择道时，选出海小想答案后，前畅笔北答道十对应随日的答聚标号涂累，如需成 动，用檬发浆干净后，再选诊其他答案标季，回答非选静延时，膏答策写在馨题十上，写 8.现有5个正整数，南，南，4工，若这组数据的和为10，方差为04，则从这组数据中随机取 在本试春上无效 1个数，该数短过众数的概率为 3,背试体桌后，将本说墓和签卡一开交阳 一，单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小是给出的四个选项中，只有一项 c 号 是符合题口要求的 1.已知集合A=llx2,B=x13-<1目，则A门B= 二、多项迭择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多原符合翘 A.[-2,2] B[-2,1) c.(-2,1] D.(1,2) 目要求，全部进对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 2已知，为相互垂直的单位向量，则1a-3b1一 9,已知复数，一是方程：+2：+4=0的两个不同的根，且名在复平面内所对空的点位于第 二象限，则 A2 B. C./10 D.4 A+马=-2 B▣-2-23 3.已知点P(2,1)到抛物线C:x2=2p>0)的准线的距离为3，则C的焦点坐标为 C两=2 D.I11=41=2 A(0,1) R(0,2) C(1.0) D(2,0) 10.设函数八x)■x(:-)(a#R),则下列说法正确的是 4函数爪x)=©°+“的图象在点(00)处的奶线方程为 A.存在a,使得由线y=久)为轴对称图形 4.3数-y+1=0 且.2x-y+2=0 C.x-3y+6=0 03红-y+2=0 B点行得引)是曲线y=)的对称中心 三已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且4=1，c=2,B=2C,则5= C当a=3时，=2是代x)的极小值赢 AR B./3 C.2 D,6 D若八x)有极大旗，则八x)的极大值大于0 6已知与无分别是等差数列%1与等差爱列的前a项和，且晓-，则 1l.如图，正四棱锥P-ABCD的棱长均为1.且BF=A配，=AP网(0c T A<1.记平面ABF与直线CD的交点为G,与直线PC的交点为B,则 ABF·DG=1 RPE·CG=2DE b+Dgeoe 甚2 C.3 D.4 C当Cm时，43-8 21 D.FH<CH 数学试题第1页（共4页》 数学试题第2页（共4页） 三，填空第：本愿共3小题，每小赠5分，共15分 17,(15分) 2在(2-2x1)的最开式中，x的系数为 13已知正项等比数列a,{的前坦和为3，若6a,,马收等整数别，且马12，则5，= 已知特图C号片=1o6>0)的左右机点分别内点P在C上.且所1 直线用的斜率为，过点R的直线与G交于，B两点，当4Py轴时，四边形，P 14已知双走昆C-号-1酸左右k点分别为RR,超时点乌的与C的右支交于点C,机， 的面积为3 若△G3的纳切顺半径为2.则△F,号的内切图华径为一 (1)求C的方程： (Ⅱ)若以AB为直径的图与直线PF:相切，求！的斜率 四、解答题：本题其5小是，共刀分.醉答应写出文学说明、证明过程或演算步果 15.(13分) 习五平总书记指出：要光整，滨确，全面贯初新发展理念，妇快构建新发展格局，着力推动 高质量发展，某部门在对新爱展班念组织了全面学习后，对同一组的5名员工采衣知下考 核制度：在木举度家，由部门其他人对这5名页工进行授系，并统计3名员工本季度创造 18(17分) 的营业收入现格这5名员工所得票数￥与本季度造的背建牧人（单位：千元）用登对 如医，在四图体PA0E中，C为酸PD上一点，4C=1,4板2，c-号，且4C1D,PD1 (.y)表示：(15,0)，(30.0).（25,80》，(30.80)，(20,60) (I)求x与y的相关张数： 05,二面角C-4服-D的大小为若 (Ⅱ)若碑本季度创达的营业收入爱少的员工移驗出组，请想据该小组和余人员的数据求 (I)证明：AC⊥平面PD呢： ,关于r的线性目白方程 (■)求四面体ACDE的外娑球的体积： ()求D呢的长， 参考会式：①相关系散？■ 立时 ∑家-)（∑-时） 窗在利周最小二柬法求得的线性回归才粒分，好+a中，活=白 Γ4=y-标 19.(17分】 数：月=120.名=3规-9350，三=3050， 设AABC的三个内角分别为A,B.C,函数代n)=inn4+innB+inaC(aeN') 《-50)(2-5=2m （1者c-号证明1)c (Ⅱ)证明：(n)>0当且仅当in4,mB,innC中至少有两个大于0： (I)求出历有大于3的n的值，演是：对任意悦角三角形AC,八)都根大于0或恒小 于0. 16.(15分》 已知两数f月x)=+ln年-n年-2 (【)树离介x)在定文域内是否单理，并说明避由： LⅡ)证明八x}g0 数学试固第3页（共4页） 数学试题第4颖（共4到）大联考 2024一2025学年（上)高三年级期末检测 数学·答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1.B 2.C 3.B 4.D 5.D 6.C 7.A 8.A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的 得0分 9.ABD 10.BC 11.ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.24 13.45 14.3-5 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.解析(1)由题可知花=120=24，… 5 (2分) 380 5=76,… (4分) 所以r930-24x76-9-a7n. 297 …(6分）》 (Ⅱ)由题可知，需将营业收人为60千元的员工移除出组，剔除数据后的x'=25,=80.…(7分) ∑=∑-20x60=8150, 4x'y'=4×25×80=8000 三=-20260. 42=4×252=2500. (8分) 所以6=8150-8000 2650-2500 =1, (10分)》 故a='-bm'=80-25=55. (12分)》 故y关于x的线性回归方程为=x+55. (13分) 16.解析(I)由题可知f代x)的定义域为(0，+）f(x)=1+上-nx-1=上-nx.…(2分) 令()=-hx则n()=子-<0 故μ(x)在(0，+∞)上单调递减. (4分) 又(1)=1>0μ(2)=2-h2<0, 故存在6e(1,2),使得u(o)=-ln=0,即1m。= ,…(6分)） 则当x∈(0，x)时∫(x)>0x)单调递增，当x∈(，+)时'(x)<0x)单调递减， 故八x)在定义域内不单调。……(8分) (Ⅱ)由(I)可得f代x)≤fx)=x+lnx。-%oln xo-2=xo+ 1-2=0+ 1-3,…(11分) 因为y=￥+子在区间(1,2)上单调递增， 故当e(1,2)时6+-3e(-1,-） (13分) 故f八x)≤f(x0）<0.… (15分) 17.解析(I)设F(-c,0),F2(c,0),c>0. B 由愿可知P,)受 (2分) 当P1y箱时A(-c会)， 故四边形A,F,P为矩形，其面积为2c·公=32. (4分) a 由①②及a2=62+2,可得a=2,b=5,c=1, 的方程为t气三L。……… (6分) (Ⅱ)由题易知直线1的斜率存在，设其方程为x=y-1(t≠0).(7分) x 2 联立 4+3=1, 可得(4+32)y2-6y-9=0, x=ty-1, -9 设A(),B(),则y+为=3+4当=3+4 …(9分）》 所以14B1=F+11y-y1=√F+1√(2+y)-42y= 12(2+1) 32+4’ 则圆的半径r=子AB1=6山 32+4 设圆心坐标为气小).其中%”生”4则%=，-13行女 …(13分)》 因为以AB为直径的圆与直线PF相切，所以r=x。-1, 即 -4- 32+4 6C+少，解得1=±石 32+4 39 6 放直线1的斜率为}=± 21 (15分) 3,CE= 18.解析(1)因为4C=1,4B=2 3· -2 所以cE+4c(+=号(2】 =AE,即AC⊥CE (3分) 又因为AC⊥PD,PDOCE=C,PD,CEC平面PDE, 所以AC⊥平面PDE. (5分) (Ⅱ)因为AC⊥平面PDE,DEC平面PDE,所以AC⊥DE.… (6分) 由题可知PD⊥DE,又因为AC⊥PD且AC⊥DE, 所以AC,PD,DE两两垂直.… ……(7分)》 所以四面体ACDE的外接球即为以DE,AC,CD为长方体的长、宽、高时长方体的外接球，该球的直径为AE, 所以四面体ACDE的外接球的体积为号（当）-专()-4严 ……(10分） (Ⅲ)由（Ⅱ）可知，可以C为原点，CA为x轴，过点C且平行于DE的直线为y轴，CP为：轴，建立如图所示的 空间直角坐标系。 设zcn=aae(0号）则c00,0.o,号ma-=a小410.0).n0.0-a 则d=(oma,-小d(1.o,小瓜-(，-na …(12分》 设平面CAE的法向量为m=(x,y,z), C2.m=0, Tysin a -zcos a =0, 即 可取m=(0,C0sa,sin心）.…(13分） E·m=0, 3x-ysin a +zcos a=0, 设平面ADE的法向量为n=(a,b,c), rDA·n=0,「5a+ccos&=0, 则 即 可取n=(c0sa,0,-5).…(14分) EA.n=0,3a-bsin a ccos a=0, 因为leos(m,n）1=1ml·1m 1m·nl 3sin a √/cos+3 2 解得sina= 2 5， (16分) 于是0=ma=×25.2 -X- 3 5 15 (17分)》 19.解析(1)当C=T时， )=nA+血B+血号=（停-+血B+号 —3 当且仅当△ABC为等边三角形时取等号.…………(4分) (Ⅱ)先证明：当x+y+z=kπ(h∈Z)时，有Isin x|+|sin yl≥Isin zl.(*)…(5分)》 因为Isin zl=|sin(hπ-x-y)l=lsin(x+y)l Isin xcos y sin yeos xl ≤Isin xcos yl+Isin ycos xl≤Isin xl+Isin yl, 第一个等号当且仅当sin xcos y与sin)ycos x同号时成立，第二个等号当且仅当1 cos yl=Icosx=1时成立， 所以（米）成立.…(7分)） ①若sin nA,sin nB,sin nC都小于或等于0，则f八n)≤0. ②若sinn4,sin nB,sin nC中有两个小于或等于0，不妨设sin nA≤0，sin nB≤0，sin nC>0, 则f(n)=-(Isin nAl+Isin nB1-Isin nCl)≤0.…(9分） ③若sin nA,sin nB,sin nC中有两个大于0，不妨设sin nA>0,.sin nB>0,sin nC≤0， 则cos nA≠±1，cos nB≠±1，所以f(n)=Isin nAl+1 sin nBI-Isin nC1>0. ④若sin nA,sin nB,sinC都大于0，则f(n)>0. 综上，原命题得证。… (10分) (Ⅲ)当n=4时，不妨设A≥B≥C,由于△ABC为锐角三角形，故B>平， 所以有T<4B≤41<4×号=2m,即sin41<0,sin4B<0. 由（Ⅱ）得f(4)<0.… (12分) 当>4时，令A=B=,则x在区间（年，受）内变化的过程中，由于区间（平，受）满足罗-平=>， 而函数y=s血x在每一个周期内，函数取正值时自变量对应的区间长度为，所以了，∈（年，受），使得 sin%1<0,sin%3>0.…(14分） 故对于(A,B,C)=(x1,x1,T-2x1),有f八n)<0,对于(A,B,C)=(x2,x2,T-2x2),有f八n)>0.…（16分) 所以当n>4时，不存在n,使得f八n)对所有的锐角三角形ABC都取值同号. 综上所述n=4,…(17分)》 一4