精品解析：湖北省襄阳市谷城县2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试题

谷城县2024年秋季期末试题 九年级数学 （时限：120分钟，满分：120分） ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考试号填写在试题卷和答题卡上，并将考试号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试题卷上无效． 3．非选择题（主观题）用0.5毫米的黑色签字笔直接答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效．作图一律用2B铅笔或0.5毫米黑色签字笔． 4．考试结束后，请将本试题卷与答题卡一并上交． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将其序号在答题卡上涂黑作答． 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，中心对称图形的概念：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180度后与原图重合．根据定义可得答案． 【详解】解：A、该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； B、该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； C、该图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意； D、该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：C． 2. 如果5是方程的一个根，那么的值是（ ） A. B. C. 5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解的概念，掌握一元二次方程的解的概念是解题的关键．将代入方程求出c的值即可． 【详解】5是方程的一个根， ， 解得， 故选：A． 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，把抛物线解析式化为顶点式，根据二次函数的性质进行解答即可． 【详解】解：解抛物线转化为顶点式为：， ∴抛物线的顶点坐标是， 故选：A． 4. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变换，熟练掌握关于原点对称的点的坐标特征是解答的关键．根据点关于原点对称的点的坐标为即可解答． 【详解】解：∵点关于原点对称的点的坐标是， 故选：A． 5. 已知是方程的两根，则的值为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用根与系数的关系作答． 此题主要考查了根与系数的关系，一元二次方程的根与系数的关系为： 【详解】解：是方程的两根， ， 故选：C． 6. 俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比为x，根据“两天不练丢一半”，可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，由题意得：一天后记得的知识为：，两天后记得的知识为：，即可求解； 【详解】解：由题意得：一天后记得的知识为：，两天后记得的知识为：， ∴， 故选：A 7. 如图，是的外接圆的圆心，连接，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查圆的知识，解题的关键是掌握圆的基本性质，同弧或者等弧所对的圆周角是圆心角的一半，进行解答，即可． 【详解】解：∵所对的圆周角为，所对的圆心角为，， ∴． 故选：A． 8. 如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，的面积为1，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数中k的几何意义，根据反比例函数系数k的几何意义可知，的面积，再根据图象所在象限求出k的值即可． 【详解】解：依据比例系数k的几何意义可得，的面积， 即， 解得，， 由于函数图象位于第一、三象限， ∴， 故选：B． 9. 如图，直线，直线和被，，所截，，，，则的长为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据得出，计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D ． 10. 已知二次函数的部分图象如图所示，图象经过点，其对称轴为直线．下列结论中正确的是（ ） A. B. 若点，均在二次函数图象上，则 C. 关于x的一元二次方程有两个相等的实数根 D. 满足的x的取值范围为 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系等知识．根据函数的图象得到当时， ，即可判断A选项错误；根据抛物线图象得抛物线上的点越靠近对称轴，函数值越大，得到，即可判断B选项错误；根据函数与一元二次方程的关系即可得到所以关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，即可判断C选项错误；根据抛物线的对称性得点和关于对称轴对称，结合图象得到当时，x的取值范围为，即可判断D选项正确． 【详解】解：A、由图象得当时， ，故原选项判断错误，不合题意； B、点距离对称轴为3个单位，点距离对称轴为4个单位，由抛物线图象得抛物线上的点越靠近对称轴，则函数值越大，所以，故原选项判断错误，不合题意； C、由题意得直线与抛物线有两个交点，所以关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，故原选项判断错误，不合题意； D、由抛物线的对称性得点和关于对称轴对称，所以满足的x的取值范围为，故原选项判断正确，符合题意． 故选：D 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）把答案填在答题卡的对应位置的横线上． 11. 已知关于的方程的一根为，则方程的另一根为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解法，理解一元二次方程的解法是解答关键． 将方程的一根代入方程求出，再解方程求出另一根即可． 【详解】解：方程的一根为， ， ， ， ， 或， ，， 方程的另一根为． 故答案为：． 12. 如图，的半径为，弦的长是，，垂足为，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，和勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 先根据垂径定理得出，再用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：∵弦的长是，， ∴， 又∵半径为，， ∴， ∴， 故答案为． 13. 只有1和它本身两个因数且大于1的自然数叫做质数，我国数学家陈景润在有关质数的“哥德巴赫猜想”的研究中取得了世界领先的成果．从3，5，7，11，13，23这6个质数中随机抽取一个，则抽到个位数是3的可能性是________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用列举法求出个位数字是3的所有结果数，然后利用概率公式求解即可． 【详解】解：从3，5，7，11，13，23这6个质数中随机抽取一个数一共有6种等可能性的结果数，其中抽到个位是3的有3，13，23三种结果数， ∴抽到个位数字是3的概率是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了概率的计算，熟练掌握列举法进行概率的计算是解决本题的关键． 14. 某次踢球，足球的飞行高度h（米）与水平距离x（米）之间满足，则足球从离地到落地的水平距离为______米． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，根据二次函数图象与x轴的交点问题，由求得x值，进而可求解． 【详解】解：对于， 令，由得，， ∴足球从离地到落地的水平距离为米， 故答案为：12． 15. 如图，在矩形中，E、F分别为边的中点，与分别交于点P、Q．已知，，则的长为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】延长交于T，根据勾股定理求出，根据全等三角形的性质得出，根据平行得比例线段，求出的长． 【详解】解：延长交于T，如图， ∵四边形是矩形，，， ∴， ∵F为中点， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∵， ∴， ∵E为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理，相似三角形的性质和判定，能综合运用定理进行推理是解此题的关键． 三、解答题（本大题共9个题，共75分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并且写在答题卡上每题对应的答题区域内． 16. 解方程 （1） （2） 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的解法是解题的关键． （1）直接用因式分解法求解即可； （2）直接用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解： ， 整理得：， ∴， ∴，， 解得：， 【小问2详解】 解：， ∴， ∴， ∴， 解得：，． 17. 已知：如图，在中， 、为互相垂直的两条弦，且，，，D、E为垂足． 求证：四边形为正方形． 【答案】见详解 【解析】 【分析】先证明四边形为矩形，再根据垂径定理可得，由此可得四边形为正方形． 本题主要考查了垂径定理和正方形的判定．熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】证明：，，， ， ∴四边形为矩形， 且， 又， ， ∴四边形为正方形． 18. 两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是4050元，生产1吨乙种药品的成本是4860元，哪种药品成本的年平均下降率较大？ 【答案】一样大 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 设甲、乙两种药品成本的年平均下降率为x、y，利用方程求解即可． 【详解】设甲种药品成本的年平均下降率为x， 根据题意得：， 解之得：（舍去），， 所以甲种药品成本的年平均下降率约为； 设乙种药品成本的年平均下降率为y， 根据题意得： 解之得：（舍去）， 所以乙种药品成本的年平均下降率约为； 答：甲乙两种药品成本的年平均下降率一样大． 19. 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P、Q、S共线且直线与河垂直，接着再过点S且与垂直的直线a上选择适当的点T，确定与过点Q且垂直的直线b的交点R．如果测得，，，求河的宽度． ​ 【答案】河的宽度为 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的实际应用，证明，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 答：河的宽度为． 20. 如图，在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图象交于、两点，与轴相交于点，已知点的坐标为． （1）求反比例函数的解析式； （2）点为反比例函数图象上任意一点，若，求点的坐标； （3）直接写出不等式的解集． 【答案】（1） （2）点的坐标为或 （3）或 【解析】 【分析】（1）先利用点B在直线上求出点B的横坐标m，再将点B坐标代入反比例函数求k，进而得到解析式； （2）先联立直线与反比例函数解析式求点A坐标，再根据三角形面积关系求出点P的纵坐标，最后代入反比例函数求横坐标； （3）通过观察函数图象，确定直线在反比例函数下方时x的取值范围． 【小问1详解】 解：点在直线上，将代入直线解析式得：， 解得， 点B的坐标为， 点在反比例函数的图象上，将点B坐标代入反比例函数解析式得：， 解得， 反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 联立直线与反比例函数的解析式，得方程组， 解得或，当时，， 点A的坐标为； 又，即， 所以， 故点纵坐标为4或． 将代入得，． 将代入得，． 所以点的坐标为或． 【小问3详解】 结合函数图象可知：当或时，直线在反比例函数下方， 不等式的解集为或． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的图象和性质及其交点问题，待定系数法求函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，利用图象解不等式．利用已知条件通过代数运算求解未知参数是解题的关键． 21. 如图，为等腰三角形，O是底边的中点，腰与相切于点D． （1）求证：是的切线． （2）已知：，，求的半径是多少？ 【答案】（1）见解析 （2）的半径是 【解析】 【分析】（1）过点O作于点E，连接，根据等腰三角形“三线合一”的性质结合角平分线的性质定理，得出，即是的半径，即证是的切线； （2）根据等腰三角形“三线合一”的性质可求出，，再根据含30度角的直角三角形的性质得出，即得出答案． 【小问1详解】 证明：过点O作于点E，连接， 为等腰三角形，O是底边的中点， 是的平分线． 与O相切于点D， ∴， ，即是的半径， 是的切线； 【小问2详解】 解：∵为等腰三角形，O是底边的中点， ∴是的平分线，，， ∴． ∴． ∵， ， 的半径是． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，切线的性质和判定，角平分线的性质定理，含30度角的直角三角形的性质，连接常用辅助线是解题关键． 22. 某商品现在的售价为每件元，每个星期可卖出件，市场调查反映：如调整价格，每涨价元，每个星期要少卖出件：每降价元，每个星期可多卖出件．已知商品进价为每件元，设每件商品的售价为元（且为正整数），每个星期的销售量为件． （1）求与的函数关系； （2）设每星期的销售利润为，请写出与的关系式； （3）每件商品的售价定为多少元时，每个星期可获得最大利润？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的应用（其他问题），二次函数的应用（销售问题），读懂题意，根据题中的数量关系正确列出函数解析式是解题的关键． （1）根据“每涨价元，每个星期要少卖出件；每降价元，每个星期可多卖出件”列出与的函数关系式即可； （2）设每星期所获利润为，根据“每星期利润每件利润每星期的销售量”即可得出与的关系式； （3）把（2）中的解析式配成二次函数的顶点式，利用二次函数的性质即可得出答案． 【小问1详解】 解：根据题意得： 涨价时，， 由得， 解得：， ， 解得：， 即：， 降价时，， 由售价不小于进价且小于可得：， 整理，得：； 【小问2详解】 解：当涨价时，， 当降价时，， 综上所述：， 整理，得：； 【小问3详解】 解：当涨价时，， 当时，的最大值是元； 当降价时，， 定价为：或（元）时利润最大，最大值为元； ， 综合所述，定价为元时可获得最大利润为元， 答：每件商品的售价定为元时，每个星期可获得最大利润，最大利润是元． 23. 【问题发现】 （1）如图1，在等腰直角中，点D是斜边上任意一点，在的右侧作等腰直角，使，，连接，则和的数量关系为 　 　； 【拓展延伸】 （2）如图2，在等腰中，，点D是边上任意一点（不与点B，C重合），在的右侧作等腰，使，，连接，则（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由； 【归纳应用】 （3）在（2）的条件下，若，，点D是射线上任意一点，请直接写出当时的长． 【答案】（1）相等 （2）成立， 理由：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴∠； （3）6或2 【解析】 【分析】（1）利用证明 ，得； （2）先证明，再证明得，从而，然后再证明可证结论成立； （3）先证明，再证明得，从而，然后再证明可证结论成立． 【详解】解：（1）相等，∵和都是等腰直角三角形， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 故答案为：相等； （2）略 （3）当点D在线段上时，如图2， 由（2）知，， ∴， ∴， ∴． 当点D在线段的延长线上时，如图3， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴∠BAD＝∠CAE， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 综上可知，的长为2或6． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，证明是解（1）的关键，证明是解（2）（3）的关键． 24. 直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线经过B、C两点，且与x轴交于点A． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）如图（2），已知点M是第一象限内抛物线上的一个动点，过点M作平行于y轴交直线于点N，连接、、，求四边形面积S的最大值，并求出此时点M的坐标； （3）已知点P是第一象限内抛物线上的一个动点，连接，直线把四边形的面积分为两部分，求点P的坐标． 【答案】（1） （2）的最大值，点 （3）点P的坐标为或 【解析】 【分析】（1）先求出B，C两点的坐标，再代入二次函数的解析式计算，即得答案； （2）设，则，用含t的代数式表示四边形面积，再根据二次函数的性质，即可求得答案； （3）设直线交x轴于点E，由直线把四边形的面积分为两部分推导出或，可求得直线的表达式，再联立方程组求解，即得答案． 【小问1详解】 解：由得， ， 令，得， ， 将，代入抛物线解析式， 得：， 解得， 抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：当时，， 解得，， ，， ， 设，则， ， ， ， 当时，的最大值，此时点； 【小问3详解】 解：如图，设直线交x轴于点E，直线把四边形的面积分为两部分， 又， 则或， ， 则或1，即点E的坐标为或， 设直线的表达式为：， 将点E的坐标代入直线的表达式：，得到，或， 解得：或， 故直线的表达式为：或， 联立方程组①或②， 解①得：，（不合题意，舍去）， 解②得：，（不合题意，舍去）， 故点P的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数的面积问题，二次函数的图象与性质，求二次函数的解析式，二次函数与一元二次方程，由直线把四边形的面积分为两部分推导出或是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 谷城县2024年秋季期末试题 九年级数学 （时限：120分钟，满分：120分） ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考试号填写在试题卷和答题卡上，并将考试号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试题卷上无效． 3．非选择题（主观题）用0.5毫米的黑色签字笔直接答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效．作图一律用2B铅笔或0.5毫米黑色签字笔． 4．考试结束后，请将本试题卷与答题卡一并上交． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将其序号在答题卡上涂黑作答． 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如果5是方程的一个根，那么的值是（ ） A. B. C. 5 D. 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 已知是方程的两根，则的值为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比为x，根据“两天不练丢一半”，可列方程（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是的外接圆的圆心，连接，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，的面积为1，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 如图，直线，直线和被，，所截，，，，则的长为（ ） A. 2 B. C. D. 10. 已知二次函数的部分图象如图所示，图象经过点，其对称轴为直线．下列结论中正确的是（ ） A. B. 若点，均在二次函数图象上，则 C. 关于x的一元二次方程有两个相等的实数根 D. 满足的x的取值范围为 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）把答案填在答题卡的对应位置的横线上． 11. 已知关于的方程的一根为，则方程的另一根为________． 12. 如图，的半径为，弦的长是，，垂足为，则的长为______． 13. 只有1和它本身两个因数且大于1的自然数叫做质数，我国数学家陈景润在有关质数的“哥德巴赫猜想”的研究中取得了世界领先的成果．从3，5，7，11，13，23这6个质数中随机抽取一个，则抽到个位数是3的可能性是________． 14. 某次踢球，足球的飞行高度h（米）与水平距离x（米）之间满足，则足球从离地到落地的水平距离为______米． 15. 如图，在矩形中，E、F分别为边的中点，与分别交于点P、Q．已知，，则的长为 _____． 三、解答题（本大题共9个题，共75分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并且写在答题卡上每题对应的答题区域内． 16. 解方程 （1） （2） 17. 已知：如图，在中， 、为互相垂直的两条弦，且，，，D、E为垂足． 求证：四边形为正方形． 18. 两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是4050元，生产1吨乙种药品的成本是4860元，哪种药品成本的年平均下降率较大？ 19. 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P、Q、S共线且直线与河垂直，接着再过点S且与垂直的直线a上选择适当的点T，确定与过点Q且垂直的直线b的交点R．如果测得，，，求河的宽度． ​ 20. 如图，在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图象交于、两点，与轴相交于点，已知点的坐标为． （1）求反比例函数的解析式； （2）点为反比例函数图象上任意一点，若，求点的坐标； （3）直接写出不等式的解集． 21. 如图，为等腰三角形，O是底边的中点，腰与相切于点D． （1）求证：是的切线． （2）已知：，，求的半径是多少？ 22. 某商品现在的售价为每件元，每个星期可卖出件，市场调查反映：如调整价格，每涨价元，每个星期要少卖出件：每降价元，每个星期可多卖出件．已知商品进价为每件元，设每件商品的售价为元（且为正整数），每个星期的销售量为件． （1）求与的函数关系； （2）设每星期的销售利润为，请写出与的关系式； （3）每件商品的售价定为多少元时，每个星期可获得最大利润？最大利润是多少元？ 23. 【问题发现】 （1）如图1，在等腰直角中，点D是斜边上任意一点，在的右侧作等腰直角，使，，连接，则和的数量关系为 　 　； 【拓展延伸】 （2）如图2，在等腰中，，点D是边上任意一点（不与点B，C重合），在的右侧作等腰，使，，连接，则（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由； 【归纳应用】 （3）在（2）的条件下，若，，点D是射线上任意一点，请直接写出当时的长． 24. 直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线经过B、C两点，且与x轴交于点A． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）如图（2），已知点M是第一象限内抛物线上的一个动点，过点M作平行于y轴交直线于点N，连接、、，求四边形面积S的最大值，并求出此时点M的坐标； （3）已知点P是第一象限内抛物线上的一个动点，连接，直线把四边形的面积分为两部分，求点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $