第02讲 椭圆（3个知识点+6种必考题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（沪教版2020选择性必修第一册）

第02讲 椭圆 课程标准 学习目标 1.通过椭圆的学习与应用，培养学生数学运算的核心素养． 2．借助离心率问题的求解，提升直观想象与逻辑推理的核心素养. 1.会根据椭圆的方程解决椭圆的几何性质，会用椭圆的几何意义解决相关问题. (难点) 2.会判断点与椭圆、直线与椭圆的位置关系，会求直线与椭圆相交的弦长. (重点) 知识点01．椭圆的定义 1．椭圆的第一定义 平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数2a（2a＞|F1F2|）的动点P的轨迹叫做椭圆，其中，这两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点，两焦点之间的距离|F1F2|叫做焦距． 2．椭圆的第二定义 平面内到一个定点的距离和到一条定直线的距离之比是常数e＝（0＜e＜1，其中a是半长轴，c是半焦距）的点的轨迹叫做椭圆，定点是椭圆的焦点，定直线叫椭圆的准线，常数e叫椭圆的离心率． 3．注意要点 椭圆第一定义中，椭圆动点P满足{P||PF1|+|PF2|＝2a}． （1）当2a＞|F1F2|时，动点P的轨迹是椭圆； （2）当2a＝|F1F2|时，动点P的轨迹是线段F1F2； （3）当2a＜|F1F2|时，动点P没有运动轨迹． 【命题方向】 利用定义判断动点运动轨迹，需注意椭圆定义中的限制条件：只有当平面内动点P与两个定点F1、F2的距离的和2a＞|F1F2|时，其轨迹才为椭圆． 【即学即练1】（2023春•杨浦区校级期中）已知椭圆上的点到一个焦点的距离为3，则到另一个焦点的距离为　7　． 【分析】椭圆的长轴长为10，根据椭圆的定义，利用椭圆上的点到一个焦点的距离为3，即可得到到另一个焦点的距离． 【解答】解：椭圆的长轴长为10 根据椭圆的定义，椭圆上的点到一个焦点的距离为3 到另一个焦点的距离为 故答案为：7 知识点02．椭圆的标准方程 椭圆标准方程的两种形式： （1）（a＞b＞0），焦点在x轴上，焦点坐标为F（±c，0），焦距|F1F2|＝2c； （2）（a＞b＞0），焦点在y轴上，焦点坐标为F（0，±c），焦距|F1F2|＝2c． 两种形式相同点：形状、大小相同；都有a＞b＞0；a2＝b2+c2 两种形式不同点：位置不同；焦点坐标不同． 标准方程 （a＞b＞0） 中心在原点，焦点在x轴上 （a＞b＞0） 中心在原点，焦点在y轴上 图形 顶点 A（a，0），A′（﹣a，0） B（0，b），B′（0，﹣b） A（b，0），A′（﹣b，0） B（0，a），B′（0，﹣a） 对称轴 x轴、y轴，长轴长2a，短轴长2b 焦点在长轴长上 x轴、y轴，长轴长2a，短轴长2b 焦点在长轴长上 焦点 F1（﹣c，0），F2（c，0） F1（0，﹣c），F2（0，c） 焦距 |F1F2|＝2c（c＞0） c2＝a2﹣b2 |F1F2|＝2c（c＞0） c2＝a2﹣b2 离心率 e＝（0＜e＜1） e＝（0＜e＜1） 准线 x＝± y＝± 【即学即练2】4．（2023春•黄浦区校级期中）椭圆的长轴长为 　8　． 【分析】根据椭圆的标准方程求出的值，再求椭圆的长轴长． 【解答】解：因为椭圆的标准方程为， 所以，所以， 所以椭圆的长轴长为． 故答案为：8． 知识点03．椭圆的性质 1．椭圆的范围 2．椭圆的对称性 3．椭圆的顶点 顶点：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点． 顶点坐标（如上图）：A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b） 其中，线段A1A2，B1B2分别为椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长． 4．椭圆的离心率 ①离心率：椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率，用e表示，即：e＝，且0＜e＜1． ②离心率的意义：刻画椭圆的扁平程度，如下面两个椭圆的扁平程度不一样： e越大越接近1，椭圆越扁平，相反，e越小越接近0，椭圆越圆．当且仅当a＝b时，c＝0，椭圆变为圆，方程为x2+y2＝a2． 5．椭圆中的关系：a2＝b2+c2． 【即学即练3】（2023春•静安区校级期中）椭圆的一个焦点坐标为，则实数　　 A． B． C． D． 【分析】利用椭圆的标准方程，结合焦点坐标，求解即可． 【解答】解：椭圆的标准方程为：，一个焦点坐标为， 可得，解得， 故选：． 题型一：椭圆定义及辨析 1．（22-23高二下·上海闵行·期末）若是椭圆上动点，则到该椭圆两焦点距离之和是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆定义直接求解即可. 【详解】由椭圆方程得：，根据椭圆定义可知：到椭圆两焦点的距离之和为. 故选：B. 2．（高二上·全国·期末）已知椭圆上的点M到该椭圆一个焦点F的距离为2，N是MF的中点，O为坐标原点，那么线段ON的长是（    ） A．2 B．4 C．8 D． 【答案】B 【分析】不妨设点M到该椭圆左焦点F的距离为2，设右焦点为，作出图象，根据椭圆的定义可求出，再根据中位线定理即可求出线段ON的长. 【详解】不妨设点M到该椭圆左焦点F的距离为2，如图所示： 设椭圆左焦点为F，右焦点为. ∵，，∴. 又∵为MF的中点，O为的中点， ∴. 故选：B. 3．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知点，有，则点的轨迹是 . 【答案】线段 【分析】 根据，得到轨迹. 【详解】由于，故点的轨迹为线段. 故答案为：线段 4．（23-24高二上·上海宝山·阶段练习）已知、是椭圆的左、右两个焦点，是椭圆上的动点，则的最小值为 . 【答案】/0.4 【分析】 借助椭圆定义及基本不等式即可得. 【详解】由，得， 在椭圆上，则有， 则， 又， 当且仅当时，等号成立； 故. 故答案为：. 5．（24-25高二上·上海·期中）已知在中，，，若点为的中点.则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据题意可得：点在以，为焦点，且长轴长，焦距的椭圆上，不含长轴上的两顶点，从而根据椭圆的几何性质，即可求解． 【详解】在△中，，， 点在以，为焦点，且长轴长，焦距的椭圆上，不含长轴上的两顶点， ，，短半轴，又的中点为该椭圆的中心， 的最小值为． 故答案为： 题型二：椭圆中焦点三角形的周长、面积问题 1．（23-24高二下·上海·期末）已知椭圆的焦点为、，为该椭圆上任意一点（异于长轴端点），则的周长为（    ） A．10 B．13 C．14 D．16 【答案】D 【分析】根据方程可得，结合椭圆的定义运算求解. 【详解】由题意可知：， 则， 所以的周长为. 故选：D. 2．（23-24高二上·上海·期末）已知椭圆的焦点为，为上一点，且点不在直线上，则“”是“的周长大于”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据椭圆的定义得，然后利用相应的条件进行充分性必要性的求解. 【详解】因为，所以， 又，所以的周长为． 若，则． 若，则． 所以“”是“的周长大于”的必要不充分条件．故C正确. 故选：C. 3．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知椭圆的两个焦点为、，过的直线交椭圆于M、N两点，则的周长为 ． 【答案】8 【分析】根据椭圆定义求解. 【详解】由椭圆可知，即， 由椭圆的定义可知，的周长为， 故答案为： 4．（24-25高二·上海·随堂练习）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，P为椭圆C上一点，的最小值为1，且的周长为34，则椭圆C的标准方程为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，求出即可得椭圆C的标准方程. 【详解】令椭圆的半焦距为，由的最小值为1，得， 由的周长为34，得，解得，，由，得， 所以椭圆C的标准方程为. 故答案为： 5．（23-24高二下·上海·阶段练习）该椭圆的左右焦点为，点是上一点，满足，则的面积为 ． 【答案】9 【分析】解法一：由椭圆方程求出，设，然后由椭圆的定义结合已知条件列方程可求出，从而可求出的面积，解法二：利用焦点三角形的面积公式求解 【详解】解法一：由，得，则， 设，则由题意得 ， 由，得， 所以，得， 所以的面积为 解法二：由，得， 因为 所以由焦点三角形的面积公式得． 故答案为：9 6．（21-22高二·全国·课后作业）已知点P为椭圆上任一点，、为两焦点，，求△的面积． 【答案】 【分析】在焦点三角形中应用余弦定理可得，再由三角形面积公式，结合二倍角正余弦公式，即可得结果. 【详解】由题设，，，又， 则 整理得，而， 所以. 题型三：轨迹问题——椭圆 1．（23-24高二下·上海静安·阶段练习）已知动圆M和圆：内切，并和圆：外切，则动圆圆心M的轨迹是（    ） A．直线 B．圆 C．焦点在轴上的椭圆 D．焦点在轴上的椭圆 【答案】C 【分析】设动圆的圆心的坐标为，半径为，根据题意得到，进而得到,结合椭圆的定义，即可求解. 【详解】设动圆的圆心的坐标为，半径为， 因为动圆与圆：内切，且与圆：外切， 可得， 所以, 根据椭圆的定义知，动点的轨迹是以为焦点的椭圆，且， 可得，则， 所以动点的轨迹方程为. 所以其轨迹为焦点在轴上的椭圆. 故选：C. 2．（24-25高二上·上海·期中）若点到点与到点的距离之和为10，则点P的轨迹方程为 【答案】 【分析】由椭圆的定义可知本题点的轨迹为椭圆，由定义即可得到的值，由此写出椭圆方程. 【详解】设，则，满足椭圆定义， ∴，∴，∴， ∵在轴上，所以点P的轨迹方程为. 故答案为：. 3．（22-23高二下·上海静安·期中）已知为椭圆上一动点，记原点为，若，则点的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】先设点，再由应用相关点法求轨迹方程即可. 【详解】设点，由得点，而点为椭圆上的任意一点， 所以，整理得， 所以点的轨迹方程是. 故答案为： 4．（2023·全国·模拟预测）已知圆的方程为，直线为圆的切线，记两点到直线的距离分别为，动点满足，，则动点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由图可得，即，所以动点的轨迹为椭圆，设椭圆的标准方程，求出其中的参数即可得到动点的轨迹方程. 【详解】如图，分别过点做直线的垂线，垂足分别为， 则，，切点为    因为，所以是的中点，, 所以是梯形的中位线，所以， 又因为圆的方程为，， 所以，所以， 即， 所以动点的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆， 设椭圆的方程为， 则， 所以，， 所以动点的轨迹方程为. 故选：B 5．（23-24高二上·上海·课后作业）在中，已知点和点．若边，且满足，求顶点的轨迹方程． 【答案】 【分析】 根据正弦定理，结合椭圆的定义进行求解即可. 【详解】根据正弦定理由， 所以顶点的轨迹是以和点为焦点的椭圆， 因此半焦距为，半长轴长为，所以半短轴长为， 所以该椭圆的方程为，设， 点是三角形的顶点，所以 又因为，所以， 所以顶点的轨迹方程为.    题型四：求椭圆的焦点、焦距 1．（22-23高二下·上海杨浦·期中）椭圆与椭圆的（    ） A．长轴相等 B．短轴相等 C．焦距相等 D．长轴、短轴、焦距均不相等 【答案】C 【分析】分别求出两个椭圆的长轴长、短轴长和焦距即可判断． 【详解】椭圆即，则此椭圆的长轴长为10，短轴长为6，焦距为； 椭圆即，因为， 则此椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为, 故两个椭圆的焦距相等． 故选：C． 2．（22-23高二下·全国·开学考试）若将一个椭圆绕其中心旋转90°，所得椭圆短轴两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点，这样的椭圆称为“对偶椭圆”．下列椭圆中是“对偶椭圆”的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据所得椭圆短轴两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点，由再逐项判断. 【详解】解：因为所得椭圆短轴两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点， 所以，即 ， A． ，则 ，故错误； B． ，则 ，故错误； C． ，则 ，故正确； D． ，则 ，故错误； 故选：C 3．（24-25高二上·上海·阶段练习）在椭圆上任意一点P，左右焦点分别为，若有，则点P纵坐标的取值范围为 . 【答案】 【分析】设，结合将数量积坐标化，利用椭圆方程消建立关于的不等式，再由椭圆的几何性质得范围取交集可得. 【详解】由椭圆方程，得， 则，所以. 设，由题意得， 则，所以. 由, 解得，所以，解得，或， 所以点P纵坐标的取值范围为. 故答案为：. 4．（23-24高二下·上海·期中）已知椭圆的方程为，则它的焦点坐标为 ． 【答案】 【分析】化椭圆方程为标准形式，求出长短半轴长，进而求出半焦距即得. 【详解】椭圆，即，长半轴长，短半轴长， 则半焦距，显然椭圆焦点在y轴上， 所以它的焦点坐标为. 故答案为： 5．（22-23高二下·上海普陀·期中）已知椭圆的左右焦点分别为、，点是椭圆的一个顶点，是等腰直角三角形. (1)求椭圆的方程； (2)写出椭圆的长轴长；短轴长；焦距；离心率 (3)求直线被椭圆截得的弦长. 【答案】(1) (2)长轴长，短轴长4，焦距4，离心率 (3) 【分析】（1）根据题意分析可得，结合可求，即可得结果； （2）根据（1）中的，结合椭圆的相关概念运算求解； （3）联立方程，根据弦长公式运算求解. 【详解】（1）因为点是椭圆的一个顶点，是等腰直角三角形， 所以，所以， 故椭圆的方程为. （2）由（1）可得：， 故长轴长，短轴长4，焦距4，离心率. （3）设交点， 联立方程，消去y得， 则， 所以． 【点睛】方法定睛：涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数的关系、设而不求计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解． 题型五：椭圆的离心率 1．（23-24高二上·北京通州·期末）已知椭圆的左右焦点为，上下顶点为，若四边形为正方形，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据四边形为正方形得到的关系，结合离心率计算公式求解出结果. 【详解】因为四边形为正方形，所以，所以， 所以， 故选：C. 2．（23-24高二下·上海·阶段练习）若椭圆的离心率为，则 . 【答案】2或 【分析】根据焦点的位置分类讨论，结合离心率的计算公式可得答案. 【详解】当时，焦点在轴上，则，， 则； 当时，焦点在轴上，则， 则. 故答案为：2或. 3．（22-23高二下·上海青浦·期末）点为椭圆的右顶点，为椭圆上一点（不与重合），若（是坐标原点），则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，由，得到，再与椭圆方程联立得到，再由点P的位置求解. 【详解】解：设， 又，且， 则，与椭圆方程联立， 即，解得或， 则，即， 即，则， 故选：B 4．（高二·全国·课后作业）已知椭圆的焦距为4，则有（    ） A．椭圆C的焦点在x轴上 B．椭圆C的长轴长为6 C．椭圆C的离心率为 D．以椭圆C的四个顶点为顶点的四边形的周长为 【答案】D 【分析】由已知椭圆方程即可求出的值，进而可以求出，，的值，从而可以判断选项是否正确． 【详解】解：因为，所以，， 由已知椭圆方程可得：，， 则，又椭圆的焦距为4， 所以，则， 所以椭圆的方程为，且，， 所以焦点在轴上，故A错误， 长轴长为，故B错误， 椭圆的离心率为，故C错误， 又，所以以椭圆C的四个顶点为顶点的四边形的周长为，故D正确； 故选：D． 5．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知椭圆C：的离心率为，、分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为 ． 【答案】 【分析】根据离心率及，解得关于的等量关系式，即可得解. 【详解】因为离心率，解得，， 分别为C的左右顶点，则， B为上顶点，所以. 所以，因为 所以，将代入，解得， 故椭圆的方程为. 故答案为：. 题型六：椭圆的位置关系 1．（23-24高二上·全国·阶段练习）点与椭圆的位置关系为（    ） A．点在椭圆上 B．点在椭圆内 C．点在椭圆外 D．不确定 【答案】B 【分析】将点代入椭圆即可求解. 【详解】由于，所以在内， 故选：B 2．（22-23高二下·上海浦东新·期中）已知椭圆，直线，则直线l与椭圆C的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 【答案】A 【分析】根据直线方程可得直线过定点，判断点与椭圆C的位置关系即可得结果. 【详解】对于直线，整理得， 令，解得， 故直线过定点. ∵，则点在椭圆C的内部， 所以直线l与椭圆C相交. 故选：A. 3．（高二上·上海松江·阶段练习）与椭圆有相同焦点，且满足短半轴长为的椭圆方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由焦点和短半轴长，待定系数法求椭圆方程. 【详解】椭圆化成标准方程为，焦点在轴上， 设所求椭圆方程为， 依题意有，所以，所求椭圆方程为. 故选：B 4．（2022高二·上海·阶段练习）若直线与圆没有公共点，则过点的一条直线与椭圆的公共点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．1或2 【答案】C 【分析】 根据直线与圆没有公共点，利用圆心到直线的距离大于半径，得到，再判断点与椭圆的位置关系即可得出答案. 【详解】 圆的圆心，半径为， 因为直线与圆没有公共点， 所以圆心到直线的距离大于半径，得，即， 所以，则点在椭圆内部， 所以过点的直线与椭圆必有2个公共点. 故选：C. 5．（24-25高二上·上海·随堂练习）已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，上顶点为A，，长轴的长为4．过右焦点的直线l与椭圆交于M、N两点（非长轴端点）．    (1)求椭圆的方程； (2)若直线l过椭圆的上顶点A，求的面积． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）运用待定系数法求出，，，即可得出方程. （2）将直线方程求出来，直线曲线联立求出，运用点到直线距离公式求出到直线l的距离，即可求出面积 【详解】（1）因为，长轴的长为4， 所以，，，所以椭圆的方程为． （2）因为，，若直线l过椭圆的上顶点A和右焦点. 所以l：，则点到直线l的距离为， 由得， 所以，，则， 所以． 一、单选题 1．（24-25高二上·上海·期中）“实数”是“方程表示椭圆”的（    ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 【答案】B 【分析】利用方程表示椭圆，结合充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】方程表示椭圆，则且， 所以“实数”是“方程表示椭圆”的必要非充分条件. 故选：B 2．（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，A为平面内一定点，是平面的定长斜线段，A为斜足，若点P在平面内运动，使面积为定值，则动点P的轨迹是（   ） A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线 【答案】C 【分析】由题意得到直线的距离为定值，分析可得点在以为轴线的圆柱面与平面的交线上，根据截面的性质，即可得答案. 【详解】因为三角形面积为定值，以定长斜线段为底，则得到直线的距离为定值， 分析可得，点在以为轴线的圆柱面与平面的交线上，且与圆柱的轴线斜交， 由平面与圆柱面的截面的性质判断，可得的轨迹为椭圆. 故选：C. 3．（2022·上海·一模）设，是椭圆：的左、右焦点，为坐标原点，点在椭圆上，延长交椭圆于点.且，若的面积为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用焦点三角形的面积公式及椭圆的定义可得，进一步得为等边三角形，且轴，从而可得解. 【详解】由椭圆的定义，得， 由余弦定理，得 ， 整理得：，又， ， 因此，，又，则为等边三角形， 由椭圆对称性得轴，所以. 故选：B. 4．（24-25高二·上海·课堂例题）如图所示，探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在点P第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在点P第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用和分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用和分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：    ①；②；③；④． 其中正确式子的序号是（    ）． A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 【答案】B 【分析】根据图象可知，从而；根据，可知；进而根据基本不等式的性质分别进行判断即可． 【详解】由图象可知， ，故①错误； ，，故②正确； ，即， ，故③正确； 此时，，故④错误； 故选：B 二、填空题 5．（24-25高二上·上海·随堂练习）已知P是椭圆上的点，、是椭圆的两个焦点．若，则 ． 【答案】14 【分析】利用椭圆的定义求解即可. 【详解】因为所以又则 故答案为：14. 6．（24-25高二上·上海·课后作业）若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据椭圆的标准方程列不等式求解范围. 【详解】因为椭圆的焦点在x轴上可得 , 所以. 故答案为：. 7．（24-25高二·上海·随堂练习）设某航天器轨道可近似为一个以地心为其中一个焦点的椭圆，其近地点距地面约为300km，远地点距地面约为400km，地球半径约为6400km，则此航天器轨道的离心率为 . 【答案】 【分析】求出椭圆的半长轴、半焦距，再求离心率即可. 【详解】设椭圆的半长轴为a，半焦距为c.则根据题意得 ，解得， 故此航天器轨道的离心率为. 故答案为：. 8．（24-25高二下·上海·期中）椭圆被直线截得的弦的中点横坐标为，则 ． 【答案】6 【分析】联立椭圆与直线方程，得到两根之和，根据弦中点得到方程，求出. 【详解】联立可得． 设弦的两个端点为，，则由根与系数的关系可得，， 由中点坐标公式可得，，解得. 故答案为：6． 9．（23-24高二下·上海宝山·期末）设P是椭圆第一象限部分上的一点，过P分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为M、N，则矩形OMPN的面积的最大值为 . 【答案】1 【分析】写出椭圆的参数方程，所以点，进而表示出矩形的面积，结合三角函数的知识求解最大值即可. 【详解】椭圆的参数方程为（为参数）， 则可设点, 所以矩形的面积为， 所以， 因为点在第一象限，所以当且仅当，即时，等号成立， 故矩形面积的最大值为1. 故答案为：1. 10．（24-25高二上·上海·开学考试）焦点在轴上，焦距为，且经过点的椭圆的标准方程为 . 【答案】 【分析】由题意确定可得，进而求得标准方程. 【详解】由焦点在轴上，设椭圆的标准方程为， 由焦距为可得，解得； 又椭圆经过点，故，所以， 所以椭圆的标准方程为. 故答案为：. 11．（24-25高二上·上海·期中）若点、是椭圆的左、右焦点，为椭圆上一动点，点的坐标为，则周长的最小值为 . 【答案】 【分析】利用椭圆的几何性质与三角形三边关系定理可求解. 【详解】由，可得，所以， 所以焦点、的坐标分别为， 因为为椭圆上一动点，所以， ，， 所以， 当且仅当三点共线，且在之间时取等号，    所以周长的最小值为. 故答案为：. 12．（24-25高二上·上海·随堂练习）已知椭圆的两个焦点为，，M是椭圆上一点，若，且，则该椭圆的方程是 ． 【答案】 【分析】先设点的坐标，再根据已知模长及向量垂直化简得出椭圆方程. 【详解】设点, 又因为,,， 所以， 所以， 所以，根据椭圆定义可得, 所以椭圆的方程是. 故答案为：. 13．（24-25高二上·上海·课后作业）椭圆的左、右焦点分别为、，过焦点的倾斜角为的直线交椭圆于两点，弦长，若三角形的内切圆的面积为，则椭圆的离心率为 . 【答案】/ 【分析】由题可得直线的方程，再计算到直线的距离，从而可表示出面积，又利用焦点三角形及内切圆的性质，也可表示出面积，则两面积相等即可求椭圆的离心率. 【详解】由题知直线的方程为，即， 所以到直线的距离， 又因为的内切圆面积为，则半径， 所以由等面积可得， 解得. 故答案为：. 14．（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，，则 . 【答案】或 【分析】解法一：根据椭圆定义以及余弦定理可得，将点坐标代入计算可得的值； 解法二：利用焦点三角形面积公式可求得其纵坐标，即可解得横坐标的值. 【详解】解法一：由题意可得. 在中，由余弦定理可得， 所以有， 即， 即， 所以， 整理得，所以或， 解得或， 又因为，所以或. 解法二：已知，由焦点三角形面积公式得， 又，所以， 又因为，所以. 故答案为：或 15．（24-25高二·上海·随堂练习）已知某椭圆的焦点是，，过点并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且，椭圆上不同的两点A、C满足条件：，，成等差数列，则弦AC中点的横坐标是 ，设弦AC的垂直平分线的方程为，求m的取值范围是 ． 【答案】 4 【分析】第一问：先求出椭圆方程，再由等差数列的性质及椭圆的焦半径公式求解； 第二问：由点差法求出，即可求解． 【详解】由椭圆的定义及条件知，，得，又， 所以， 得椭圆的方程为， 由点在椭圆上，得， 因为椭圆的右准线方程为：，离心率为：， 设 根据椭圆性质，有， 由成等差数列，得， 由此得出， 设弦的中点为， 则； 由在椭圆上，得，两式相减得，， 得， 将代入上式，得， 得（当时也成立）， 由点在弦的垂直平分线上，得， 所以， 由在线段（与关于轴对称）的内部，得， 得． 故答案为： 【点睛】方法点睛：第一问中，要用要椭圆的焦半径公式：（右焦点对应右准线）求解． 16．（24-25高二下·上海·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为、，短轴的两个端点分别为、，点在椭圆上，且满足．当变化时，给出下列四个命题：①点的轨迹关于轴对称；②存在使得椭圆上满足条件的点仅有两个；③的最小值为2；④最大值为，其中正确命题的序号是 ． 【答案】①③ 【分析】运用椭圆的定义和对称性进行分析即可判断①②；由图象可得当的横坐标和纵坐标的绝对值相等时，的值取得最小，即可判断③；椭圆上的点到中心的距离小于等于，由于点不在坐标轴上，可得，即可判断④. 【详解】因为椭圆，点在椭圆上，所以， 又短轴的两个端点分别为、， 又因为， 所以点在以，为焦点，长轴长为的椭圆上，相应的椭圆的方程为， 将换为方程不变，则点的轨迹关于轴对称，故①正确； 又点为椭圆与椭圆的交点， 因为椭圆的长轴顶点为 ，短轴长度小于， 椭圆的长轴顶点为，短轴长度小于， 所以两个椭圆的交点有个，即对应的点有4个，故②不正确； 因为椭圆与椭圆长轴确定，所以点靠近坐标轴时（或），越大， 点远离坐标轴时，越小，易得时，取得最小值， 此时两椭圆方程为：，， 两方程相加得，即的最小值为，故③正确； （或用代数法：联立，即， 即， 两式相加可得， 则， 当时，的最小值为，即当的最小值为；） 椭圆上的点到中心的距离小于等于，由于点不在坐标轴上， ∴，故④错误． 故答案为：①③． 【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆的对称性和到定点距离的最值的判断，解题关键是由椭圆上的点到焦点的距离之和等于到短轴的顶点距离之和可得另一个椭圆． 三、解答题 17．（24-25高二上·上海·期中）求满足下列条件的椭圆的标准方程. (1)两个焦点的坐标分别为，，并且椭圆经过点 (2)椭圆经过点和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据焦点坐标以及点在椭圆上得到关于的方程组，由此可求的值，则椭圆标准方程可得； （2）设出椭圆方程，代入点的坐标可求，则椭圆标准方程可求. 【详解】（1）由题意可知椭圆的焦点在x轴上， 设它的标准方程为， 由已知得，又因为， 因为在椭圆上，所以，即， 从而有，解得或， 因此，从而所求椭圆的标准方程为， （2）设椭圆的方程为， 因为椭圆经过两点和， 所以，即椭圆方程为， 18．（24-25高二上·上海·期中）已知椭圆，过点，且长轴长是焦距的2倍． (1)求椭圆的标准方程； (2)若点为椭圆上的一个动点，求动点到定点的最短距离； (3)若直线与椭圆交于不同的两点，且线段的垂直平分线过定点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或. 【分析】（1）根据题设求出后可求椭圆的方程； （2）用两点之间的距离公式求出，再利用二次函数的性质可求最小值； （3）联系直线方程和椭圆方程，再结合韦达定理求出中点的坐标，根据中垂线过可求的关系，再结合判别式可求的取值范围. 【详解】（1）设半焦距为，则由题设有，故， 故椭圆方程为：，故，故， 故椭圆方程为：. （2）设，则， 整理得到：， 因为，故，故. （3）设，的中点为， 由可得， 故， 故. 而，， 因为线段的垂直平分线过定点，故， 整理得到：，所以， 解得或. 19．（23-24高二下·上海松江·阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为、，焦距为，点在上. (1)求椭圆的标准方程； (2)已知点，点为椭圆上一点，求周长的最大值； (3)过的右焦点，且斜率不为零的直线交于、两点，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）依题意可得，解得、即可； （2）由椭圆的定义可求出的最大值，从而可得周长最大值； （3）设直线的方程为，与椭圆方程联立，可得根与系数的关系，由三角形面积公式及基本不等式即可求解最值． 【详解】（1）依题意可得， 解得， 所以椭圆的方程为． （2）由（1）可得，，则， 又， 所以， 当且仅当为的延长线与椭圆交点时取等号， 所以， 故周长的最大值为； （3）设直线的方程为，，． 由，消去整理得，显然， 所以，， 所以 ， 又因为 ， 当且仅当，即时取等号， 所以， 故面积的最大值为． 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 20．（24-25高二上·上海·期中）已知椭圆，且过点的直线与椭圆交于不同的两点和. (1)设，当且时，求的值； (2)若，求直线的方程； (3)若过点且与直线垂直的直线与椭圆交于不同的两点和，则求以为顶点的四边形的面积的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）假设，利用余弦定理与椭圆的定义求得的值，进而求得的值，再利用正弦定理即可得解； （2）利用向量共线的坐标表示求得，再联立直线与椭圆方程，结合韦达定理得到关于的方程，解之即可得解； （3）分类讨论直线的位置情况，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理与弦长公式分别求得，进而得到四边形的面积关于的表达式，利用二次函数的性质即可得解. 【详解】（1）依题意，设， 因为椭圆可化为，则， 故，， 在中，， 即，解得， 联立，解得， 在中，，解得. （2）设，又，， 所以，得， 显然，直线不与轴重合，也不与轴垂直，故可设， 联立，化简得，显然， 则，即， 所以，解得， 故，即. （3）当直线与轴重合或与轴垂直时， 以为顶点的四边形的两条对角线互相垂直， 且其中一条对角线长为，另一条对角线长为， 此时其面积； 当直线不与轴重合，也不与轴垂直时，设， 联立，化简得，易知， 则， 所以 ， 同理，， 所以， 设，则， ， 因为，所以，所以， 所以，即， 综上，. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 21．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知椭圆E：的离心率为，且过点，直线交E于A，B两点.    (1)求E的方程； (2)求三角形的面积的最大值； (3)若E上存在点P使得，在上的投影向量相等，且的重心在y轴上，求直线的方程. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由点在椭圆上，离心率的定义，以及椭圆的性质求解即可； （2）直曲联立，得到韦达定理，由弦长公式求出弦长，再由点到直线的距离公式求出原点到直线的距离，最后由三角形的面积公式和对勾函数的单调性求解即可； （3）由重心坐标公式可得，再由投影向量关系可得直线的方程，进而求出，然后代入椭圆方程求解即可； 【详解】（1）因为椭圆经过点，代入可得，即， 又离心率为，所以， 由， 所以椭圆E的方程为. （2）    联立，消去并整理可得， ， 设， ， 所以， 原点到直线的距离， 所以三角形的面积， 令，，则， 所以， 由对勾函数的单调性可得当时，分母取得最小值4， 所以三角形的面积的最大值为. （3）    设弦的中点，，重心， 由（2）中可得，且的重心在y轴上，即， 所以， 则，， 因为，在上的投影向量相等，所以，且， 所以直线的方程为， 所以， 所以， 代入椭圆方程可得，即， 又，所以， 所以直线的方程为. 【点睛】关键点点睛：本题第二小问的关键在于表示出三角形面积公式后设，结合对勾函数的单调性求出最值；第三小问的关键在于利用重心坐标公式和投影向量关系求出点坐标，再代入椭圆方程. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 椭圆 课程标准 学习目标 1.通过椭圆的学习与应用，培养学生数学运算的核心素养． 2．借助离心率问题的求解，提升直观想象与逻辑推理的核心素养. 1.会根据椭圆的方程解决椭圆的几何性质，会用椭圆的几何意义解决相关问题. (难点) 2.会判断点与椭圆、直线与椭圆的位置关系，会求直线与椭圆相交的弦长. (重点) 知识点01．椭圆的定义 1．椭圆的第一定义 平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数2a（2a＞|F1F2|）的动点P的轨迹叫做椭圆，其中，这两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点，两焦点之间的距离|F1F2|叫做焦距． 2．椭圆的第二定义 平面内到一个定点的距离和到一条定直线的距离之比是常数e＝（0＜e＜1，其中a是半长轴，c是半焦距）的点的轨迹叫做椭圆，定点是椭圆的焦点，定直线叫椭圆的准线，常数e叫椭圆的离心率． 3．注意要点 椭圆第一定义中，椭圆动点P满足{P||PF1|+|PF2|＝2a}． （1）当2a＞|F1F2|时，动点P的轨迹是椭圆； （2）当2a＝|F1F2|时，动点P的轨迹是线段F1F2； （3）当2a＜|F1F2|时，动点P没有运动轨迹． 【命题方向】 利用定义判断动点运动轨迹，需注意椭圆定义中的限制条件：只有当平面内动点P与两个定点F1、F2的距离的和2a＞|F1F2|时，其轨迹才为椭圆． 【即学即练1】（2023春•杨浦区校级期中）已知椭圆上的点到一个焦点的距离为3，则到另一个焦点的距离为　　． 知识点02．椭圆的标准方程 椭圆标准方程的两种形式： （1）（a＞b＞0），焦点在x轴上，焦点坐标为F（±c，0），焦距|F1F2|＝2c； （2）（a＞b＞0），焦点在y轴上，焦点坐标为F（0，±c），焦距|F1F2|＝2c． 两种形式相同点：形状、大小相同；都有a＞b＞0；a2＝b2+c2 两种形式不同点：位置不同；焦点坐标不同． 标准方程 （a＞b＞0） 中心在原点，焦点在x轴上 （a＞b＞0） 中心在原点，焦点在y轴上 图形 顶点 A（a，0），A′（﹣a，0） B（0，b），B′（0，﹣b） A（b，0），A′（﹣b，0） B（0，a），B′（0，﹣a） 对称轴 x轴、y轴，长轴长2a，短轴长2b 焦点在长轴长上 x轴、y轴，长轴长2a，短轴长2b 焦点在长轴长上 焦点 F1（﹣c，0），F2（c，0） F1（0，﹣c），F2（0，c） 焦距 |F1F2|＝2c（c＞0） c2＝a2﹣b2 |F1F2|＝2c（c＞0） c2＝a2﹣b2 离心率 e＝（0＜e＜1） e＝（0＜e＜1） 准线 x＝± y＝± 【即学即练2】4．（2023春•黄浦区校级期中）椭圆的长轴长为 　　． 知识点03．椭圆的性质 1．椭圆的范围 2．椭圆的对称性 3．椭圆的顶点 顶点：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点． 顶点坐标（如上图）：A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b） 其中，线段A1A2，B1B2分别为椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长． 4．椭圆的离心率 ①离心率：椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率，用e表示，即：e＝，且0＜e＜1． ②离心率的意义：刻画椭圆的扁平程度，如下面两个椭圆的扁平程度不一样： e越大越接近1，椭圆越扁平，相反，e越小越接近0，椭圆越圆．当且仅当a＝b时，c＝0，椭圆变为圆，方程为x2+y2＝a2． 5．椭圆中的关系：a2＝b2+c2． 【即学即练3】（2023春•静安区校级期中）椭圆的一个焦点坐标为，则实数　　 A． B． C． D． 题型一：椭圆定义及辨析 1．（22-23高二下·上海闵行·期末）若是椭圆上动点，则到该椭圆两焦点距离之和是（    ） A． B． C． D． 2．（高二上·全国·期末）已知椭圆上的点M到该椭圆一个焦点F的距离为2，N是MF的中点，O为坐标原点，那么线段ON的长是（    ） A．2 B．4 C．8 D． 3．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知点，有，则点的轨迹是 . 4．（23-24高二上·上海宝山·阶段练习）已知、是椭圆的左、右两个焦点，是椭圆上的动点，则的最小值为 . 5．（24-25高二上·上海·期中）已知在中，，，若点为的中点.则的最小值为 . 题型二：椭圆中焦点三角形的周长、面积问题 1．（23-24高二下·上海·期末）已知椭圆的焦点为、，为该椭圆上任意一点（异于长轴端点），则的周长为（    ） A．10 B．13 C．14 D．16 2．（23-24高二上·上海·期末）已知椭圆的焦点为，为上一点，且点不在直线上，则“”是“的周长大于”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 3．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知椭圆的两个焦点为、，过的直线交椭圆于M、N两点，则的周长为 ． 4．（24-25高二·上海·随堂练习）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，P为椭圆C上一点，的最小值为1，且的周长为34，则椭圆C的标准方程为 ． 5．（23-24高二下·上海·阶段练习）该椭圆的左右焦点为，点是上一点，满足，则的面积为 ． 6．（21-22高二·全国·课后作业）已知点P为椭圆上任一点，、为两焦点，，求△的面积． 题型三：轨迹问题——椭圆 1．（23-24高二下·上海静安·阶段练习）已知动圆M和圆：内切，并和圆：外切，则动圆圆心M的轨迹是（    ） A．直线 B．圆 C．焦点在轴上的椭圆 D．焦点在轴上的椭圆 2．（24-25高二上·上海·期中）若点到点与到点的距离之和为10，则点P的轨迹方程为 3．（22-23高二下·上海静安·期中）已知为椭圆上一动点，记原点为，若，则点的轨迹方程为 ． 4．（2023·全国·模拟预测）已知圆的方程为，直线为圆的切线，记两点到直线的距离分别为，动点满足，，则动点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·上海·课后作业）在中，已知点和点．若边，且满足，求顶点的轨迹方程． 题型四：求椭圆的焦点、焦距 1．（22-23高二下·上海杨浦·期中）椭圆与椭圆的（    ） A．长轴相等 B．短轴相等 C．焦距相等 D．长轴、短轴、焦距均不相等 2．（22-23高二下·全国·开学考试）若将一个椭圆绕其中心旋转90°，所得椭圆短轴两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点，这样的椭圆称为“对偶椭圆”．下列椭圆中是“对偶椭圆”的是（    ）． A． B． C． D． 3．（24-25高二上·上海·阶段练习）在椭圆上任意一点P，左右焦点分别为，若有，则点P纵坐标的取值范围为 . 4．（23-24高二下·上海·期中）已知椭圆的方程为，则它的焦点坐标为 ． 5．（22-23高二下·上海普陀·期中）已知椭圆的左右焦点分别为、，点是椭圆的一个顶点，是等腰直角三角形. (1)求椭圆的方程； (2)写出椭圆的长轴长；短轴长；焦距；离心率 (3)求直线被椭圆截得的弦长. 题型五：椭圆的离心率 1．（23-24高二上·北京通州·期末）已知椭圆的左右焦点为，上下顶点为，若四边形为正方形，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·上海·阶段练习）若椭圆的离心率为，则 . 3．（22-23高二下·上海青浦·期末）点为椭圆的右顶点，为椭圆上一点（不与重合），若（是坐标原点），则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（高二·全国·课后作业）已知椭圆的焦距为4，则有（    ） A．椭圆C的焦点在x轴上 B．椭圆C的长轴长为6 C．椭圆C的离心率为 D．以椭圆C的四个顶点为顶点的四边形的周长为 5．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知椭圆C：的离心率为，、分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为 ． 题型六：椭圆的位置关系 1．（23-24高二上·全国·阶段练习）点与椭圆的位置关系为（    ） A．点在椭圆上 B．点在椭圆内 C．点在椭圆外 D．不确定 2．（22-23高二下·上海浦东新·期中）已知椭圆，直线，则直线l与椭圆C的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 3．（高二上·上海松江·阶段练习）与椭圆有相同焦点，且满足短半轴长为的椭圆方程是（    ） A． B． C． D． 4．（2022高二·上海·阶段练习）若直线与圆没有公共点，则过点的一条直线与椭圆的公共点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．1或2 5．（24-25高二上·上海·随堂练习）已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，上顶点为A，，长轴的长为4．过右焦点的直线l与椭圆交于M、N两点（非长轴端点）．    (1)求椭圆的方程； (2)若直线l过椭圆的上顶点A，求的面积． 一、单选题 1．（24-25高二上·上海·期中）“实数”是“方程表示椭圆”的（    ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 2．（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，A为平面内一定点，是平面的定长斜线段，A为斜足，若点P在平面内运动，使面积为定值，则动点P的轨迹是（   ） A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线 3．（2022·上海·一模）设，是椭圆：的左、右焦点，为坐标原点，点在椭圆上，延长交椭圆于点.且，若的面积为，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二·上海·课堂例题）如图所示，探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在点P第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在点P第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用和分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用和分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：    ①；②；③；④． 其中正确式子的序号是（    ）． A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 二、填空题 5．（24-25高二上·上海·随堂练习）已知P是椭圆上的点，、是椭圆的两个焦点．若，则 ． 6．（24-25高二上·上海·课后作业）若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围为 . 7．（24-25高二·上海·随堂练习）设某航天器轨道可近似为一个以地心为其中一个焦点的椭圆，其近地点距地面约为300km，远地点距地面约为400km，地球半径约为6400km，则此航天器轨道的离心率为 . 8．（24-25高二下·上海·期中）椭圆被直线截得的弦的中点横坐标为，则 ． 9．（23-24高二下·上海宝山·期末）设P是椭圆第一象限部分上的一点，过P分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为M、N，则矩形OMPN的面积的最大值为 . 10．（24-25高二上·上海·开学考试）焦点在轴上，焦距为，且经过点的椭圆的标准方程为 . 11．（24-25高二上·上海·期中）若点、是椭圆的左、右焦点，为椭圆上一动点，点的坐标为，则周长的最小值为 . 12．（24-25高二上·上海·随堂练习）已知椭圆的两个焦点为，，M是椭圆上一点，若，且，则该椭圆的方程是 ． 13．（24-25高二上·上海·课后作业）椭圆的左、右焦点分别为、，过焦点的倾斜角为的直线交椭圆于两点，弦长，若三角形的内切圆的面积为，则椭圆的离心率为 . 14．（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，，则 . 15．（24-25高二·上海·随堂练习）已知某椭圆的焦点是，，过点并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且，椭圆上不同的两点A、C满足条件：，，成等差数列，则弦AC中点的横坐标是 ，设弦AC的垂直平分线的方程为，求m的取值范围是 ． 16．（24-25高二下·上海·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为、，短轴的两个端点分别为、，点在椭圆上，且满足．当变化时，给出下列四个命题：①点的轨迹关于轴对称；②存在使得椭圆上满足条件的点仅有两个；③的最小值为2；④最大值为，其中正确命题的序号是 ． 三、解答题 17．（24-25高二上·上海·期中）求满足下列条件的椭圆的标准方程. (1)两个焦点的坐标分别为，，并且椭圆经过点 (2)椭圆经过点和. 18．（24-25高二上·上海·期中）已知椭圆，过点，且长轴长是焦距的2倍． (1)求椭圆的标准方程； (2)若点为椭圆上的一个动点，求动点到定点的最短距离； (3)若直线与椭圆交于不同的两点，且线段的垂直平分线过定点，求的取值范围． 19．（23-24高二下·上海松江·阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为、，焦距为，点在上. (1)求椭圆的标准方程； (2)已知点，点为椭圆上一点，求周长的最大值； (3)过的右焦点，且斜率不为零的直线交于、两点，求面积的最大值. 20．（24-25高二上·上海·期中）已知椭圆，且过点的直线与椭圆交于不同的两点和. (1)设，当且时，求的值； (2)若，求直线的方程； (3)若过点且与直线垂直的直线与椭圆交于不同的两点和，则求以为顶点的四边形的面积的取值范围. 21．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知椭圆E：的离心率为，且过点，直线交E于A，B两点.    (1)求E的方程； (2)求三角形的面积的最大值； (3)若E上存在点P使得，在上的投影向量相等，且的重心在y轴上，求直线的方程. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$