2.2.1椭圆的标准方程（教学课件）数学沪教版2020选择性必修第一册

2.2.1椭圆的 标准方程 第二章 圆锥曲线 学习目标 教学重点：理解椭圆定义，椭圆标准方程推导及应用，能根据条件求椭圆标准方程。 教学难点：椭圆标准方程推导中坐标建立与化简逻辑。 理解椭圆定义及核心特征，明确标准方程形式； 掌握椭圆标准方程推导，能运用方程解决相关计算问题； 体会数形结合思想，提升几何与代数转化能力。 课程目标 学科素养 数学抽象：椭圆定义与标准方程概念提炼； 逻辑推理：标准方程推导的严谨性分析； 数学运算：椭圆标准方程求解及相关计算； 直观想象：椭圆几何特征与标准方程的关联理解； 数学建模：椭圆几何特征与标准方程的关联理解 新知引入 椭圆是一类重要的曲线．早在年，德国天文学家开普勒就提出了行星运动定律：每一个行星都沿各自的椭圆轨道环绕太阳转动，而太阳则处在椭圆的一个焦点上．生活中我们还可以在许多地方看到椭圆的形状： 新知探究 思考1：如何绘制一个椭圆？它有怎么样的几何性质呢？ 把细绳的两端拉开一段距离，笔尖移动的过程中，细绳的长度保持不变，即笔尖到两个定点的距离的和等于常数. 新知探究 我们把平面内与两个定点，的距离的和等于常数()的点的轨迹叫做椭圆.用集合的记号表示，椭圆就是下述点集： 定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距. 注：当点 重合时，点集表示一个圆，所以圆可以看作是椭圆的特殊情形．但在本章中，除非特殊指出，所说的椭圆均不包含圆这一特殊情形． 新知探究 由圆通过“压缩”或“拉伸”得到椭圆。点 重合时，表示一个圆 新知探究 追问：平面内与两定点的距离的和等于常数的点的轨迹一定是椭圆吗？ F1 F2 不存在 思考2：观察椭圆的形状，你认为怎样建立平面直角坐标系可能使所得的椭圆方程形式简单？ O x y 图1 O x y 图2 新知探究 以所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系. O x y F1 F2 M 追问1：如何用坐标表示椭圆上点的所满足的条件？ 设常数为，、 因为，， 所以. ① 追问2：能否简化方程①呢？ 新知探究 为了简化方程①，我们将其左边的一个根式移到右边，得 ② 对方程②两边平方，得 整理，得. ③ 对方程③两边平方，得. 整理，得. ④ 将方程④两边同时除以，得 ⑤ 由椭圆的定义可知，，即，所以. 新知探究 思考3：观察图，你能从中找出表示，，的线段吗？ (-c,0) (c,0) a c b 令 那么方程⑤就是 我们称方程⑥是椭圆的方程，这个方程叫做椭圆的标准方程.它表示焦点在轴上，两个焦点分别是的椭圆，这里. 新知探究 我们把叫做椭圆的标准方程，它表示焦点在轴上，两个焦点分别是 ，的椭圆，这里. 思考4：如图，如果所建立的平面直角坐标系使焦点，在轴上，且，的坐标分别为 ， ，，的意义同上，那么 椭圆的方程是什么？ 新知探究 定义 图形 方程 焦点 之间的关系 (c,0)、(c,0) (0,c)、(0,c) a2=b2+c2 分母哪个大，焦点就在哪一根坐标轴上 平面内与两个定点的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫做椭圆 练习巩固 辨析1：判断正误. (1)到平面内两个定点的距离之和等于定长的轨迹叫做椭圆.( ) (2)到两定点和的距离之和为3的点的轨迹为椭圆.( ) 【答案】×,×. 辨析2：设是椭圆上的任意一点，若，是椭圆的两个焦点，则 等于( ). .10 B.8 C.5 D.4 【答案】. 练习巩固 练习1：下列说法正确的的是( ). A.已知，，到两点，的距离之和大于8的点的轨迹是椭圆 B.已知，，到两点，的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆 C.到点，距离之和等于点到，距离之和的点的轨迹是椭圆 D.到点，距离相等的点的轨迹是椭圆 【答案】. 变式1-1：点为椭圆＝1上一点，为该椭圆的两个焦点，若， 则等于(　　) .13 B.1 C.7 D.5 【答案】. 练习巩固 变式1-2：若椭圆上一点到一个焦点的距离为5，则到另一个焦点的距离为_______. 【答案】. 变式1-3：已知椭圆，，是它的焦点.过的直线与椭圆交于，两点，求的周长. 解：如图，∵，， ∴ 典例精讲 例1：已知椭圆焦距是6，椭圆上的一点到两个焦点的距离之和等于10.求椭圆标准方程。 解：因为，，即，，所以 当焦点在轴上时，得椭圆的标准方程为 当焦点在轴上时，得椭圆的标准方程为 故椭圆的标准方程为或 典例精讲 例2：求焦点在轴上，焦距为，且过点的椭圆的标准方程。 解：因为椭圆焦点在轴上，所以设其方程为 由，得，因此 又由于椭圆过点，因此 求解上述二式组成的联立方程组，得， 因此，所求椭圆的标准方程为 练习巩固 练习2：已知椭圆的两个焦点坐标分别是，并且经过点，求它的标准方程. 解：由于椭圆的焦点在轴上，所以设它的标准方程为. 由椭圆的定义知 所以 所以. 所以，所求椭圆的标准方程为. 练习巩固 变式2：求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别为和，且椭圆经过点； (2)焦点在轴上，且经过两个点和； (3)经过点和点 解：(1)由于椭圆的焦点在轴上， ∴设它的标准方程为. ∴∴. 故所求椭圆的标准方程为. 练习巩固 变式2：求适合下列条件的椭圆的标准方程： (2)焦点在轴上，且经过两个点和； 解：(2)由于椭圆的焦点在轴上， ∴设它的标准方程为. ∵椭圆经过两个点和 代入得 故所求椭圆的标准方程为. 练习巩固 变式2：求适合下列条件的椭圆的标准方程： (3)经过点和点 解：(3)法一：(分类讨论法) ①当焦点在轴上时，设椭圆的标准方程为. 依题意有解得 故所求椭圆的标准方程为 . ②当焦点在轴上时，设椭圆的标准方程为. 依题意有解得 ∵，∴无解. 练习巩固 变式2：求适合下列条件的椭圆的标准方程： (3)经过点和点 解：(3)法二：(待定系数法) 设所求椭圆的方程为. 依题意有解得 故所求椭圆的标准方程为 . 练习巩固 练习3：如图，在，两点的坐标分别为，.直线相交于点，且它们的斜率之积是，求点的轨迹方程. 解：设点的坐标为，因为点的坐标为， 所以直线的斜率为 同理，直线的斜率为 由已知，有， 化简，得点的轨迹方程为. 点的轨迹是除去两点的椭圆. 练习巩固 变式3-1：已知圆，圆内一定点，圆过且与圆内切，求圆心的轨迹方程. 解：设圆的半径为，∵圆过点，∴. 又∵圆与圆内切，圆的半径为， ∴两圆的圆心距，即(大于) ∴点的轨迹是以，为焦点的椭圆. ∴，，∴，.∴. 即点的轨迹方程为. 练习巩固 变式3-2：如图，已知圆及点，为圆上一点. 的垂直平分线交于，求点的轨迹方程. 解：由垂直平分线性质可知 ∴ ∴ 又∵，所以点轨迹为椭圆. 由椭圆定义知，，∴ ∴所求轨迹方程为. 小结 定义 图形 方程 焦点 之间的关系 (c,0)、(c,0) (0,c)、(0,c) a2=b2+c2 分母哪个大，焦点就在哪一根坐标轴上 平面内与两个定点的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫做椭圆 感谢聆听 数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。数无形时少直觉，形少数时难入微。 数形结合百般好，隔离分家万事非。 ——华罗庚 $