河南省信阳市光山县2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题

九年级数学试题 第 1页（共 6页） 2024--2025 学年度上期期末调研考试试卷 九年级数学 注意事项： 1、本试卷分试卷和答题卡两部分。试题卷共 6 页，三大题，满分 120 分，考试时间 100 分钟。 2、试题卷上不要答题。请用 0.5 毫米黑色签字水笔直接把答案写在答题卡上，答在试 卷上的答案无效。 3、答题前，考生务必将本人姓名、准考证号填写在答题卡第一面的指定位置上。 一、选择题：本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。在每小题给出的选项中，只有一项是 符合题目要求的。 1．数学美是简洁性、对称性、统一性和奇异性的有机结合．下列曲线中，既是中心对称图 形，又是轴对称图形的是（ ） A． 爱心曲线 B． 蝴蝶曲线 C． 费马螺线曲线 D． 四叶花曲线 2．圆周率 是无限不循环小数．历史上，祖冲之、刘徽、韦达、欧拉等数学家都对 有过 深入的研究，某学校进行校园文化建设，拟从以上 4位数学家的画像中随机选用 2幅，则其 中至少有一幅是中国数学家的概率是（ ） A． 1 6 B． 12 C． 5 6 D．1 3．下列说法错误的是（ ） A．“对顶角相等”是必然事件 B．“方程 x2＋k＝0有实数解”是随机事件 C．“刻舟求剑”是不可能事件 D．某彩票的中奖机会是 1%，买 100张一定会中奖 九年级数学试题 第 2页（共 6页） 4．已知△ABC如图所示．则与△ABC相似的是图中的（ ） A． B． C． D． 5．关于 x的一元二次方程 2 6x m x  有两个不相等的实数根，则 m的值可能是（ ） A．8 B．9 C．10 D．11 6．如图，在平面直角坐标中，正方形 ABCD与正方形 BEFG是以原 点 O为位似中心的位似图形，且相似比为 1 3 ，点 A， B ， E 在 x轴 上，若正方形 BEFG的边长为 12， 则 C点坐标为（ ） A．  4 4， B．  5 4， C．  6 4， D．  8 4， 7．如图，矩形OABC的边OA，OC分别在 x轴、 y轴的正半轴上，点D 在OA的延长线上．若  2,0A ，  4,0D ，以О为圆心、OD长为半径的 弧经过点 B，交 y轴正半轴于点 E，连接DE，DE、则 BED 的度数是 （ ） A．15 B．22.5 C．30 D． 45 8．已知二次函数 2y ax bx c   的图象如图所示，分析下列四个结论： ①abc＜0；②b2-4ac＞0；③ 2 0a b  ；④a+b+c＜0.其中正确的结论有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，插线板的电源线会明显发 热，存在安全隐患．数学兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中 的电流 I与使用电器的总功率 P的函数图象（如图 1），插线板电源线产生的热量 Q与 I的 函数图象（如图 2）．下列结论中错误的是（ ） 九年级数学试题 第 3页（共 6页） A．当 440WP  时， 2AI  B．Q随 I的增大而增大 C．I每增加 1A，Q的增加量相同 D．P越大，插线板电源线产生的热量 Q越多 10．如图，在平面直角坐标系 xOy中，已知四边形OABC为平行四边形，其中点  3,0A ，  1,4C ，M为对角线OB的中点．现将平行四边形OABC绕原点 O 顺时针旋转，每次转90，则第 71次旋转结束时，点 M的坐标为 （ ） A． 32, 2      B．  2, 2 C． 32, 2      D．  2,2 二、填空题：本题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分。 11.若点  ,3A a 和  2,B b 关于原点对称，则 a b  __________． 12．已知一圆锥的侧面展开图是半径为 2的半圆，则圆锥的底面半径是__________． 13．把抛物线 2 1y x  向左平移 1个单位，然后向上平移 3个单位，则平移后抛物线的解析 式为 ． 14．点 A(﹣2， 1y )，B(0， 2y )，C(1， 3y )为二次函数 2 2 1y x x   的图象上的三点，则 y1， y2，y3从小到大是 。 15．如图，在矩形 ABCD中，AB=5，AD=4，M是边 AB上一动点（不 含端点），将△ADM沿直线 DM对折，得到△NDM．当射线 CN交线段 AB于点 P时，连接 DP，则 DP的最大值为__________． 三、解答题：本题共 8 小题，共 75 分。 16．用适当方法解下列方程： (1) 2 8 12 0x x   (2) 2( 3) 2 ( 3)x x x   17．如图，在平面直角坐标系 xOy中，点  3,3A ，� 4,0 ，  0, 1C  (1)以点 C为旋转中心，把△ABC逆时针旋转90，画出旋转 后的△ CBA  ； (2)在（1）的条件下，求点 B经过的路径长． 九年级数学试题 第 4页（共 6页） 18．小晃同学借助反比例函数图像设计一个轴对称图形．如图，正方形 ABCD的中心与平面 直角坐标系的原点重合，边分别与坐标轴平行，反比例函数 ky x  的图象经过正方形的顶点  2,2A ，以点C为圆心，CB的长为半径作扇形 ,BCD BD交 AC于点 F ；以CF为对角线作正方形CEFG，再以点C为圆心，CE的长为 半径作扇形ECG． (1)求反比例函数的解析式； (2)求 ⌒ EG的长； (3)直接写出图中阴影部分面积之和． 19．如图，AB是⊙O的切线，A为切点，AC是⊙O的弦，过 O作 OH⊥AC于 H.若 OH＝2， AB＝12，BO＝13.求： (1)⊙O的半径； (2)AC的长． 20．在习近平总书记视察广西、亲临柳州视察指导一周年之际，某校开展“紧跟伟大复兴领 航人踔厉笃行”主题演讲比赛，演讲的题目有：《同甘共苦民族情》《民族团结一家亲，一起 向未来》《画出最美同心圆》．赛前采用抽签的方式确定各班演讲题目，将演讲题目制成编号 为 A，B，C的 3张卡片（如图所示，卡片除编号和内容外，其余完全相同）．现将这 3张卡 片背面朝上，洗匀放好． (1)某班从 3张卡片中随机抽取 1张，抽到卡片 C的概率为______； (2)若七（1）班从 3张卡片中随机抽取 1张，记下题目后放回洗匀，再由七（2）班从中随 机抽取 1张，请用列表或画树状图的方法，求这两个班抽到不同卡片的概率．（这 3张卡片 分别用它们的编号 A，B，C表示） 九年级数学试题 第 5页（共 6页） 21．某乡镇实施产业扶贫，帮助贫困户承包了荒山种植某品种蜜柚．到了收获季节，已知该 蜜柚的成本价为 8元/千克，投入市场销售时，调查市场行情，发现该蜜柚销售不会亏本， 且每天销售量 y（千克）与销售单价 x（元/千克）之间的函数关系如图所示． (1)求 y与 x的函数关系式； (2)当该品种蜜柚定价为多少时，每天销售获得的利润最大？最大利润是多少？ (3)某农户今年共采摘蜜柚 4800千克，该品种蜜柚的保质期为 40天，根据（2）中获得最大 利润的方式进行销售，能否销售完这批蜜柚？请说明理由． 22．【数学建模】用脚去丈量世界，用眼睛去记录风景，“十一”黄金周期间秋高气爽，露营 成为大多数人倾向的假期休闲活动，各式帐篷成为户外露营活动的必要装备．其中抛物线型 帐篷（图 1）支架简单，携带方便，适合一般的休闲旅行使用．（形状值：抛物线二次项系 数） 【建立模型】（1）小邕发现 A款帐篷搭建时张开的宽度 4mAB  ，顶部高度 2mh  ，于是 他建立了平面直角坐标系（如图 2所示），请你帮他求出帐篷支架对应的抛物线函数关系式． 【运用模型】（2）每款帐篷张开时的宽度和顶部高度会影响容纳的椅子数量，图 3为一张椅 子摆入 A款帐篷后的简易视图，椅子高度 0.72mEC  ，宽度 0.5mCD  ，若在帐篷内沿 AB 方向摆放一排此款椅子，求最多可摆放的椅子数量． 【分析计算】（3）现要设计一款抛物线型帐篷，要求顶部高度为 2.5m，且一排能容纳 5张 高为1m，宽为0.6m的椅子．设其抛物线型支架的形状值为  0a a  ，请求出 a的最小值． 九年级数学试题 第 6页（共 6页） 23．某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了深入研究． （一）拓展探究 如图 1，在△ABC中， 90 ,ACB CD AB    ，垂足为D． （1）兴趣小组的同学得出 2AC AD AB  ．理由如下： 90ACB   90A B    CD AB 90ADC   90A ACD    B ①______ A A   ABC ACD ∽ AB AC  ②______ 2AC AD AB   请完成填空：①______；②______； （2）如图 2，F 为线段CD上一点，连接 AF并延长至点 E，连接CE，当 ACE AFC   时， 请判断 AEB 的形状，并说明理由． （二）类比迁移 （3）如图 3，△ABC是直角三角形， 90 , 2, 2 6ACB AC BC     ，平面内一点D，满足 AD=AC，连接CD并延长至点 E，且 CEB CBD  ，当线段 BE的长度取得最小值时，求 线段CE的长。 九年级数学试题答案 第 1页（共 6页） 2024--2025 学年度上期期末调研考试试卷 九年级数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C D C A C C B C D 11. -1 12.1 13.   21 4y x   14. 3 2 1y y y  15. 52 16.(1) 1 6x  ， 2 2x  (2) 1 3x  ， 2 3x   【详解】（1）解： 2 8 12 0x x   ， 2 8 12 4 4x x    ， 2 8 16 4x x   ，  24 4 x ， 4 2x    ， 1 6x  ， 2 2x  ； （2） 2( 3) 2 ( 3)x x x   ， 2( 3) 2 ( 3) 0x x x    ，    3 3 2 0x x x      ，    3 3 0x x    ， 3 0x   或 3 0x   ， 1 3x  ， 2 3x   ． 17.(1)见解析 (2) 17 π 2 【详解】（1）解： A B C   如图所示： 九年级数学试题答案 第 2页（共 6页） （2）由勾股定理可得： 2 21 4 17BC    ， 由题意可得： 90BCB  ， 点 B经过的路径长为 90 π 17 17 π 180 2    ． 18．(1) 4y x  (2) 2π (3) 24 6π 【详解】（1）解：将  2,2A 代入 ky x  得， 2 2 k  ， 解得， 4k  ， ∴反比例函数的解析式为 4y x  ； （2）解：由题意知， 2 22 2 2 2CE OC OA     ， ∴ 90 2 2 2 180 EG    ， ∴EG的长为 2 ； （3）解：由题意知， ABCD CEFGBGD ECGS S S S S   阴影 正方形 正方形扇形 扇形     2 2 2 2 90 2 290 44 2 2 360 360       24 6  ， ∴图中阴影部分面积之和为 24 6π ． 19．解：(1)连接 OA. ∵AB是⊙O的切线，A为切点， ∴OA⊥AB. 在 Rt△AOB中，AO＝ OB2－AB2＝ 132－122＝5, ∴⊙O的半径为 5. (2)∵OH⊥AC， ∴在 Rt△AOH中，AH＝ AO2－OH2＝ 52－22＝ 21. ∴AC＝2AH＝2 21. 20．(1) 1 3 (2)这两个班抽到不同卡片的概率为 2 3 【详解】（1）某班从 3张卡片中随机抽取 1张，抽到卡片 C的概率为 1 3 ， 九年级数学试题答案 第 3页（共 6页） 故答案为： 1 3 ； （2）画树状图如下： 共有 9种等可能的结果，其中七（1）班和七（2）班抽到不同卡片的结果有 6种， ∴这两个班抽到不同卡片的概率为 6 2 9 3  ． 21．(1) 10 300y x   (2)定价为 19元时，利润最大，最大利润是 1210元 (3)不能销售完这批蜜柚，理由见解析 【详解】（1）设 y kx b  将 (10, 200)、 (15,150)代入 则 10 200 15 150 k b k b      解得 10 300 k b     ∴ 10 300y x   （2）设每天销售获得的利润为w元， 则 ( 8)w x y  ( 8)( 10 300)   x x 210( 19) 1210x    ， 由 10 300 0x   得 30x  ，所以 x的取值范围为8 30x  ； 8 30x  ， 当 19x  时，w取得最大值，最大值为 1210； 所以当该品种的蜜柚定价为 19元时，每天销售获得的利润最大，最大利润是 1210元． （3）由（2）知，当获得最大利润时，定价为 19元 /千克， 则每天的销售量为 10 19 300 110y      千克， 保质期为 40天， 总销售量为 40 110 4400  ， 又 4400 4800 ， 不能销售完这批蜜柚． 22．【详解】解：（1）∵A款帐篷搭建时张开的宽度 4mAB  ，顶部高度 2mh  ， 九年级数学试题答案 第 4页（共 6页） ∴  2 0A  ， ，B  2 0， ， 设抛物线函数关系式为   2 2y b x x   ， ∵抛物线经过点 0,2 ， ∴   2 0 2 0 2b   ， 解得： 1 2 b   ， ∴     21 12 2 2 2 2 y x x x       ； （2）解：∵ 2 1 2 2 y x   ，且椅子高度 0.72mEC  ，宽度 0.5mCD  ， ∴ 210.72 0.5 2 2     ， 解得 1 1.6x  ， 2 1.6x   ，  1.6 1.6 3.2 m  ； 3.2 0.5 6.4  （张)， ∵椅子数量为正整数， ∴最多可摆放的椅子数量为 6张； （3）依题意，设抛物线函数关系式为 2 2.5y ax  ， ∵且一排能容纳 5张高宽分别为1m和0.6m的椅子 ∴即刚好经过点D点， ∴ 5 0.6 31 2 2D D y x   ， ∴ 2 2.5y ax  经过点 3 1 2 D      ， 即当 1y  时，即 231 2.5 2 a        九年级数学试题答案 第 5页（共 6页） 解得 2 3 a   ． ∴ a的最小值为 2 3  ． 23.（1）① ACD ；② AC AD ；（2） AEB 是直角三角形，证明见解析；（3）2 15 【详解】解：（1） 90ACB   ， 90A B   ， CD AB ， 90ADC  ， 90A ACD    ， B ACD  ， A A   ， ABC ACD ∽ ， AB AC AC AD   ， 2AC AD AB   ； （2） AEB 是直角三角形；理由如下： ,ACE AFC CAE FAC      ACF AEC△ ∽△ ， AC AE AF AC   ， 2AC AF AE   ， 由（1）得 2AC AD AB  ， AF AE AD AB    ， AF AD AB AE   ， FAD BAE   ， AFD ABE△ ∽△ ， 90ADF AEB    ， AEB 是直角三角形． （3） ,CEB CBD ECB BCD      ， CEB CBD△ ∽△ ， CE CB CB CD   ，  22 2 6 24CD CE CB     ， 如图，以点A为圆心，2为半径作 A ，则 ,C D都在 A 上，延长CA到 0E ，使 0 6CE  ，交 九年级数学试题答案 第 6页（共 6页） A 于 0D ，连接 0E E， 则 0 4CD  ， ∵ 0CD 为 A 的直径， ∴ 0 90CDD   ， 0 0 24CD CE CD CE     ， ∴ 0 0 CD CD CE CE  ， 0 0ECE D CD  ， 0 0ECE D CD ∽△△ ， 0 0 90CDD CE E   ， 点 E在过点 0E 且与 0CE 垂直的直线上运动， 过点 B作 0BE E E  ，垂足为 E，连接CE， ∵垂线段最短， ∴当点 E在点 E处时， BE最小， 即 BE的最小值为 BE的长， ∵ 0 0 0 90CE E E CB BE E        ， ∴四边形 0CE E B 是矩形， ∴ 0 6BE CE   ， 在 0Rt CE E△ 中根据勾股定理得：  2 22 6 6 2 15CE    ， 即当线段 BE的长度取得最小值时，线段CE的长为2 15．