复习篇 07 椭圆 -2024-- 2025学年高二数学寒假复习讲义（人教A版2019）

07 椭圆 【题型1】 椭圆的定义 【基础知识】 平面内与两个定点的距离之和等于常数(大于)的点的轨迹称为椭圆． 这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距. 如图：是椭圆上一点.(三角形两边之和大于第三边) 注 点的轨迹是以、为焦点的椭圆； 点的轨迹是线段； 点P的轨迹是无轨迹. 【经典例题】 【例1】（24-25高二上·上海·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，则的周长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【巩固练习】 1（24-25高二上·北京西城·期中）已知点P在椭圆上，点，，则（    ） A．2 B． C． D． 2（2024·重庆·模拟预测）已知是椭圆的左、右焦点，点P在C上，且线段的中点在以为直径的圆上，则三角形的面积为（   ） A．1 B． C． D．8 3（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）已知椭圆的左､右焦点分别为，点在椭圆上.若，则的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D． 【题型2】椭圆的方程与图像性质 【基础知识】 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 范围 且 且 顶点 轴长 短轴长长轴长 焦点 焦距 的关系 离心率 【经典例题】 角度1 判断椭圆方程 【例1】（23-24高二·全国·课后作业）“”是方程“表示椭圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条 【巩固练习】 1（23-24高二上·安徽池州·阶段练习）若，则方程表示（ ） A．焦点在轴上的椭圆 B．焦点在轴上的椭圆 C．焦点在轴上的双曲线 D．焦点在轴上的双曲线 2（23-24高二上·陕西咸阳·阶段练习）当时，方程表示的曲线是（    ） A．焦点在轴的椭圆 B．焦点在轴的椭圆 C．双曲线 D．圆 角度2 求椭圆方程 【例1】（23-24高二上·河南南阳·阶段练习）焦点在x轴上，中心为坐标原点，经过点,.则椭圆的标准方程为（    ） A． B．1 C． D．1 【巩固练习】 1（23-24高二下·云南昭通·期中）已知椭圆经过点，且的离心率为，则的方程是（    ） A． B． C． D． 2（23-24高二下·全国·课堂例题）若椭圆焦点在轴上且经过点，焦距为，则该椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 3（23-24高二上·全国·课后作业）过点且与有相同焦点的椭圆方程为（    ） A． B． C． D． 角度3 求离心率 【例1】（24-25高二上·江苏泰州·期中）已知、分别为椭圆的左右顶点，为椭圆上异于、的一点，若直线、的斜率之积为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1（24-25高二上·安徽阜阳·期中）已知椭圆的一个短轴端点与两个焦点构成的三角形的内切圆半径为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 2（24-25高二上·广东·阶段练习）阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．已知椭圆的面积为，焦距为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 3（24-25高二上·浙江台州·期中）椭圆的右焦点关于直线的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 4（多选）（24-25高二上·重庆渝中·期中）椭圆的左､右焦点分别为，过的直线与椭圆相交于两点，其中是椭圆的上顶点，为面积是的正三角形，则下列说法正确的是（    ） A．的周长为8 B．椭圆的离心率为 C．的长为 D．的面积为 【题型3】直线与椭圆 【基础知识】 设直线，圆锥曲线，把两者方程联立得到方程组，消元得到一个关于的方程. ① 当时， 方程有两个不同的实数解，即直线与圆锥曲线有两个交点相交; 方程有两个相同的实数解，即直线与圆锥曲线有一个交点相切; 方程无实数解，即直线与圆锥曲线无交点相离. ② 当时，即得到一个一次方程，则直线与圆锥曲线相交，且只有一个交点，此时，若为双曲线，则直线与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若为抛物线，则直线与抛物线的对称轴的位置关系是平行． 5 直线与圆锥曲线的弦长公式 (1)直线与圆锥曲线相交于，则 或 ， (，注意对公式推导的理解，其本质是两点距离公式) 【经典例题】 【例1】（2024·全国·模拟预测）已知椭圆的左焦点为，离心率为，为上一点，为圆上一点，的最大值为． (1)求椭圆的标准方程； (2)若圆与轴正半轴交于点，过作直线，与相交于不同的两点，，求面积的最大值． 【巩固练习】 1（24-25高二上·安徽芜湖·期中）已知椭圆离心率为，直线与椭圆相交于A，B两点. (1)若椭圆的焦距为，求椭圆的方程; (2)若，求椭圆的长轴长. 2（24-25高二上·四川攀枝花·期中）在平面直角坐标系中，已知点，点，动点满足：直线PM与直线PN的斜率之积是. (1)求动点的轨迹的方程； (2)直线与（1）中轨迹相交于，两点，若为线段的中点，求直线的方程； (3)在（2）的条件下，求弦长. 【A组---基础题】 1（24-25高二上·广西·期中）已知为椭圆的两个焦点，为椭圆上任意一点.若，则（   ） A．1 B．6 C．7 D．4 2（23-24高三上·湖北十堰·期末）已知曲线，则“”是“曲线C是椭圆”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 3（23-24高三·全国·课后作业）过点且与椭圆有相同焦点的椭圆方程为（    ） A． B． C． D． 4（24-25高二上·河南·期中）椭圆与，且的（    ） A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．焦距相等 D．离心率相等 5（23-24高二下·安徽芜湖·期末）已知是椭圆的两个焦点，点在上，且，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．6 D．10 6（24-25高二上·江苏泰州·期中）设椭圆的左、右焦点分别为，P是椭圆C上的点，，，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 7（多选）（24-25高二上·重庆·期中）已知椭圆，则椭圆的（   ） A．焦点在轴上 B．长轴长为10 C．短轴长为4 D．离心率为 8（24-25高二上·四川绵阳·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，过作轴垂线交椭圆于，若，则该椭圆的离心率是 . 9（24-25高二上·江苏南通·期中）已知为圆上任意一点，点，线段的垂直平分线与交于点，记点的轨迹为. (1)求的方程； (2)过点作直线（与轴不重合）与相交于点，，直线与轴交于点，，求的方程. 【B组---提高题】 1（多选）（2024高三·全国·专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别是，，椭圆上一点满足，直线与椭圆的另一个交点为，且，则（    ） A．椭圆的离心率为 B． C． D．直线的斜率为 2（2024高三·全国·专题练习）椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，两焦点，之间的距离为，椭圆上第一象限内的点P满足，且的面积为1． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若椭圆C的右顶点为A，直线l：与椭圆C交于不同的两点M，N，且满足．求证：直线l过定点，并求出定点的坐标． 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 07 椭圆 【题型1】 椭圆的定义 【基础知识】 平面内与两个定点的距离之和等于常数(大于)的点的轨迹称为椭圆． 这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距. 如图：是椭圆上一点.(三角形两边之和大于第三边) 注 点的轨迹是以、为焦点的椭圆； 点的轨迹是线段； 点P的轨迹是无轨迹. 【经典例题】 【例1】（24-25高二上·上海·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，则的周长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】由椭圆定义得到，结合，相加得到周长. 【详解】由题意得，故，， 由椭圆定义得， 故的周长为. 故选：B 【巩固练习】 1（24-25高二上·北京西城·期中）已知点P在椭圆上，点，，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意由椭圆标准方程以及椭圆定义即可得出结果. 【详解】由椭圆方程为可知， 则，即为椭圆的左、右焦点， 由椭圆定义可得. 故选：C 2（2024·重庆·模拟预测）已知是椭圆的左、右焦点，点P在C上，且线段的中点在以为直径的圆上，则三角形的面积为（   ） A．1 B． C． D．8 【答案】C 【分析】利用椭圆的定义得到为等腰三角形，进而求等腰三角形的面积即可. 【详解】设的中点为M，则， 于是，又， 则为等腰三角形， ． 故选：C． 3（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）已知椭圆的左､右焦点分别为，点在椭圆上.若，则的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D． 【答案】D 【分析】在中，结合椭圆定义及勾股定理可得，进而求得的面积. 【详解】由椭圆定义可得， 又因为，所以由勾股定理可得， 即，解得， 则的面积为. 故选：D. 【题型2】椭圆的方程与图像性质 【基础知识】 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 范围 且 且 顶点 轴长 短轴长长轴长 焦点 焦距 的关系 离心率 【经典例题】 角度1 判断椭圆方程 【例1】（23-24高二·全国·课后作业）“”是方程“表示椭圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条 【答案】B 【分析】根据椭圆的标准方程可得，解不等式组得出且，再利用必要不充分条件定义即可求解. 【详解】若方程表示椭圆，则有 因此且， 故“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件． 故选：B 【巩固练习】 1（23-24高二上·安徽池州·阶段练习）若，则方程表示（ ） A．焦点在轴上的椭圆 B．焦点在轴上的椭圆 C．焦点在轴上的双曲线 D．焦点在轴上的双曲线 【答案】B 【分析】比较、的正负及大小，由此方程所表示的曲线的形状. 【详解】，则且， ， 因此，方程表示焦点在轴上的椭圆. 故选：B. 2（23-24高二上·陕西咸阳·阶段练习）当时，方程表示的曲线是（    ） A．焦点在轴的椭圆 B．焦点在轴的椭圆 C．双曲线 D．圆 【答案】A 【解析】根据椭圆的标准方程的形式，即可求解，得到答案. 【详解】因为，可得且， 所以方程表示焦点在轴的椭圆. 故选：A. 角度2 求椭圆方程 【例1】（23-24高二上·河南南阳·阶段练习）焦点在x轴上，中心为坐标原点，经过点,.则椭圆的标准方程为（    ） A． B．1 C． D．1 【答案】A 【分析】根据椭圆的几何性质即可求解，代入坐标即可求解. 【详解】由于椭圆焦点在x轴上，且经过点，所以， 设椭圆方程为， 将代入椭圆可得，解得， 所以椭圆方程为， 故选：A 【巩固练习】 1（23-24高二下·云南昭通·期中）已知椭圆经过点，且的离心率为，则的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意求出即可得解. 【详解】由题可知，，解得， 所以椭圆的方程为. 故选：A. 2（23-24高二下·全国·课堂例题）若椭圆焦点在轴上且经过点，焦距为，则该椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的几何性质可得解. 【详解】由题意得椭圆焦点在轴上且经过点，焦距为， 所以，，则，， 椭圆的标准方程为. 故选：B. 3（23-24高二上·全国·课后作业）过点且与有相同焦点的椭圆方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知方程求出焦点即为所求椭圆焦点，设出所求椭圆方程，代入，解方程组即可. 【详解】由知，焦点为，，即，. 设所求椭圆方程为，则，解得， 故所求椭圆方程为. 故选：A. 角度3 求离心率 【例1】（24-25高二上·江苏泰州·期中）已知、分别为椭圆的左右顶点，为椭圆上异于、的一点，若直线、的斜率之积为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，利用斜率的坐标公式，结合点在椭圆上求出，进而求出离心率. 【详解】依题意，，设点，则，即， 依题意，，因此， 所以椭圆的离心率. 故选：A 【巩固练习】 1（24-25高二上·安徽阜阳·期中）已知椭圆的一个短轴端点与两个焦点构成的三角形的内切圆半径为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的性质确定焦点三角形的周长和面积，再应用等面积法得到齐次式，即可求离心率. 【详解】由题设，焦点三角形的周长为，面积为，又其内切圆半径为， 所以. 故选：A 2（24-25高二上·广东·阶段练习）阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．已知椭圆的面积为，焦距为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意列式求，进而可求离心率. 【详解】由题意可得：，解得， 所以． 故选：C． 3（24-25高二上·浙江台州·期中）椭圆的右焦点关于直线的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设点A的坐标为，由对称的关系表示出点Q的坐标，再将点Q的坐标代入椭圆方程中化简可求出椭圆的离心率 【详解】设点Q的坐标为，因为F关于直线的对称点Q， 所以，即，解得， 所以点Q的坐标是， 因为点Q在椭圆上，所以，得， 又，即，所以 所以该椭圆的离心率是. 故选：C 4（多选）（24-25高二上·重庆渝中·期中）椭圆的左､右焦点分别为，过的直线与椭圆相交于两点，其中是椭圆的上顶点，为面积是的正三角形，则下列说法正确的是（    ） A．的周长为8 B．椭圆的离心率为 C．的长为 D．的面积为 【答案】ACD 【分析】利用的面积计算出的值，进而计算的周长和离心率，即可判断A和B；利用余弦定理解，进而计算面积，即可判断C和D. 【详解】由题意：为面积是的正三角形， 故且，故； 的周长为，故A正确； 椭圆的离心率，故B错误； 设，则，由知； 由余弦定理：，所以，C正确； ，故D正确， 故选：ACD. 【题型3】直线与椭圆 【基础知识】 设直线，圆锥曲线，把两者方程联立得到方程组，消元得到一个关于的方程. ① 当时， 方程有两个不同的实数解，即直线与圆锥曲线有两个交点相交; 方程有两个相同的实数解，即直线与圆锥曲线有一个交点相切; 方程无实数解，即直线与圆锥曲线无交点相离. ② 当时，即得到一个一次方程，则直线与圆锥曲线相交，且只有一个交点，此时，若为双曲线，则直线与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若为抛物线，则直线与抛物线的对称轴的位置关系是平行． 5 直线与圆锥曲线的弦长公式 (1)直线与圆锥曲线相交于，则 或 ， (，注意对公式推导的理解，其本质是两点距离公式) 【经典例题】 【例1】（2024·全国·模拟预测）已知椭圆的左焦点为，离心率为，为上一点，为圆上一点，的最大值为． (1)求椭圆的标准方程； (2)若圆与轴正半轴交于点，过作直线，与相交于不同的两点，，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆上的点与圆上的点距离的最值，结合椭圆离心率即可得椭圆的标准方程； （2）根据直线与椭圆相交得交点坐标关系，从而可得面积，由基本不等式求得其最大值. 【详解】（1）因为为椭圆上一点，为圆上一点， 由的最大值为，得，所以． 又，所以，所以， 所以椭圆的标准方程为． （2）在中令，得，所以， 显然直线的斜率不能为0，设直线的方程为， 由，消去得， 所以，则， 设，，则，， 所以， 所以． 令，则， 则，当且仅当，即时取得等号， 所以面积的最大值为． 【巩固练习】 1（24-25高二上·安徽芜湖·期中）已知椭圆离心率为，直线与椭圆相交于A，B两点. (1)若椭圆的焦距为，求椭圆的方程; (2)若，求椭圆的长轴长. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用焦距、结合离心率求出即得. （2）由离心率可得，联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理及向量垂直的坐标表示求出即可. 【详解】（1）由椭圆的焦距为，得半焦距， 由椭圆的离心率为，得，则， 所以椭圆的方程为. （2）由椭圆的离心率为，得，则，椭圆， 由消去得：，， 设，则， 由，得， 则，解得，符合题意，，， 所以椭圆的长轴长为. 2（24-25高二上·四川攀枝花·期中）在平面直角坐标系中，已知点，点，动点满足：直线PM与直线PN的斜率之积是. (1)求动点的轨迹的方程； (2)直线与（1）中轨迹相交于，两点，若为线段的中点，求直线的方程； (3)在（2）的条件下，求弦长. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据斜率乘积得到方程，化简即可； （2）利用点差即可得到直线的斜率，再写出点斜式化简即可； （3）联立直线与椭圆，再利用弦长公式即可得到答案. 【详解】（1）由题意，化简， 又因为直线PA、PB的斜率存在，则. 故动点的轨迹的方程为. （2）设，，由题意，显然， 则有，，两式作差可得， 即有， 又为线段AB的中点， 则有，，代A即得直线的斜率为， 直线的方程为，经检验此时该直线与椭圆有两交点， 整理可得直线的方程为. （3）， 设，，则，， 故. 【A组---基础题】 1（24-25高二上·广西·期中）已知为椭圆的两个焦点，为椭圆上任意一点.若，则（   ） A．1 B．6 C．7 D．4 【答案】D 【分析】应用椭圆的定义可直接得到正确结果. 【详解】解：因为椭圆，所以椭圆长轴长为， 由椭圆定义知，所以. 故选：D 2（23-24高三上·湖北十堰·期末）已知曲线，则“”是“曲线C是椭圆”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据已知曲线的方程和椭圆的方程特点，结合充分条件和必要条件的判定即可 【详解】若曲线是椭圆，则有： 解得：，且 故“”是“曲线C是椭圆”的必要不充分条件 故选：C 3（23-24高三·全国·课后作业）过点且与椭圆有相同焦点的椭圆方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆化为标准方程，故焦点为，由题意可得，解方程即可得解. 【详解】由化简可得， 焦点为在轴上， 同时又过点，设， 有，解得， 故选：C 4（24-25高二上·河南·期中）椭圆与，且的（    ） A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．焦距相等 D．离心率相等 【答案】C 【分析】根据椭圆的标准方程和几何性质，结合选项计算即可求解. 【详解】对应椭圆，，所以， 所以该椭圆的长轴为6，短轴为4，焦距为，离心率为； 对于且），则， 该方程表示的是焦点在轴上的椭圆， ，所以， 长轴为，短轴为， 所以该椭圆的焦距为，离心率为， 所以两个圆锥曲线的的焦距为，故C正确. 故选：C 5（23-24高二下·安徽芜湖·期末）已知是椭圆的两个焦点，点在上，且，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．6 D．10 【答案】C 【分析】由椭圆定义和得到，结合，由余弦定理得，进而得到正弦值，利用三角形面积公式求出答案. 【详解】由椭圆定义可得， 故， 又， 则由余弦定理得， 故， 故. 故选：C 6（24-25高二上·江苏泰州·期中）设椭圆的左、右焦点分别为，P是椭圆C上的点，，，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用直角三角形性质和椭圆定义求出，根据正切函数定义列式整理可得. 【详解】在中，，所以， 又，所以， 所以，即，整理得. 故选：A    7（多选）（24-25高二上·重庆·期中）已知椭圆，则椭圆的（   ） A．焦点在轴上 B．长轴长为10 C．短轴长为4 D．离心率为 【答案】ABD 【分析】求出椭圆的，的值，结合椭圆的几何性质逐项判断即可. 【详解】由知，，，椭圆的焦点在轴上，故A正确； ，长轴长为，故B正确； ，短轴长为，故C错误； 离心率为，故D正确. 故选：ABD. 8（24-25高二上·四川绵阳·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，过作轴垂线交椭圆于，若，则该椭圆的离心率是 . 【答案】 【分析】根据题意可得，结合椭圆定义运算求解即可. 【详解】由题意可知：， 又因为，即，可得， 所以该椭圆的离心率是. 故答案为：. 9（24-25高二上·江苏南通·期中）已知为圆上任意一点，点，线段的垂直平分线与交于点，记点的轨迹为. (1)求的方程； (2)过点作直线（与轴不重合）与相交于点，，直线与轴交于点，，求的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分析可知点的轨迹是以为焦点的椭圆，进而可得方程； （2）设直线，，根据向量可得，结合韦达定理运算求解. 【详解】（1）由题意可知：的圆心为，半径为4，且，    则， 可知点的轨迹是以为焦点的椭圆，则， 所以的方程为. （2）因为点在椭圆内部，可知直线与椭圆必相交，    设直线，，则， 联立方程，消去x可得， 则， 又因为， 若，则，即， 可得，解得， 所以的方程为，即. 【B组---提高题】 1（多选）（2024高三·全国·专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别是，，椭圆上一点满足，直线与椭圆的另一个交点为，且，则（    ） A．椭圆的离心率为 B． C． D．直线的斜率为 【答案】AC 【分析】根据椭圆的定义及其简单几何性质，设并利用勾股定理计算可得B错误，再由三角形面积公式可得C正确，由离心率定义计算可得A正确，由正切值定义以及对称性可得D错误. 【详解】如图，设，则，． 由椭圆的定义知， 所以， 由知． 在中，， 即，解得， 则，故，故B错误． 由，得，故C正确． 在中，， 即，解得， 所以椭圆的离心率，故A正确． 在中，， 由对称性可知直线的斜率为，故D错误． 故选：AC． 2（2024高三·全国·专题练习）椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，两焦点，之间的距离为，椭圆上第一象限内的点P满足，且的面积为1． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若椭圆C的右顶点为A，直线l：与椭圆C交于不同的两点M，N，且满足．求证：直线l过定点，并求出定点的坐标． 【答案】(1) (2)证明见解析， 【分析】（1）设椭圆的标准方程为，根据两焦点，之间的距离为得到c，再由和，利用勾股定理求解； （2）由直线方程与椭圆方程联立，结合韦达定理，根据由，得到k，m的关系求解. 【详解】（1）解：设椭圆的标准方程为， 因为，所以， 由，得，又由， 得，即， 即，，， 所以椭圆C的标准方程为． （2）由方程组得， ，整理得． 故，， 则，． 由且椭圆的右顶点为，得， 因为， 所以， 即， 整理得：，解得或，均满足． 当时，直线的l的方程为，过定点，与题意矛盾，舍去； 当时，直线l的方程为，过定点，符合题意． 故直线l过定点，且定点的坐标为． 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$