复习专题05 椭圆6题型分类（讲+练）-2024-2025学年《解题秘籍》高二数学寒假能力提升精讲精练讲义（人教A版2019）

2024-2025学年《解题秘籍》高二数学寒假能力提升精讲精练讲义（人教A版2019） 复习专题05 椭圆6题型分类 1．椭圆的定义 (1)平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫椭圆(几何表示：|MF1|＋|MF2|＝2a(常数)且2a>|F1F2|)． (2)两个定点F1，F2为焦点；两焦点间的距离|F1F2|为焦距． 2．椭圆的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 图形 焦点坐标 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0,－c)，F2(0,c) a，b，c的关系 b2＝a2－c2 3．椭圆的几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 范围 －a≤x≤a,－b≤y≤b －b≤x≤b,－a≤y≤a 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)， B1(0,－b)，B2(0,b) A1(0,－a)，A2(0,a)， B1(－b,0)，B2(b,0) 轴长 短轴长＝2b，长轴长＝2a 焦点 (±，0) (0，±) 焦距 |F1F2|＝2 对称性 对称轴：x轴、y轴　对称中心：原点 离心率 e＝∈(0,1) 4．直线与椭圆 直线与椭圆 解的个数 Δ的取值 两个不同的公共点 两解 Δ>0 一个公共点 一解 Δ＝0 没有公共点 无解 Δ<0 （一） 1．椭圆定义的应用 (1)椭圆的定义能够对椭圆上的点到焦点的距离进行转化． (2)椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2构成的△PF1F2，称为焦点三角形，可以利用椭圆的定义，结合正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式等知识求解． 2．椭圆方程的求解 (1) “定位”是指确定与坐标系的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式． (2) “定量”是指确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程求解． 题型1：椭圆的方程 1．（23-24高二上·云南玉溪·期末）已知椭圆的中心为坐标原点，一个焦点为，过的直线与椭圆交于两点．若的中点为，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·天津·阶段练习）已知椭圆的焦距为8，且椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为10，则椭圆 的标准方程为（    ） A． B． 或 C． D． 或 3．（24-25高三上·广西·阶段练习）已知圆和，若动圆与圆内切，同时与圆外切，则该动圆圆心的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知中心在原点的椭圆的右焦点为，离心率等于，则的方程是（    ） A． B． C． D． 5．（2020·安徽·模拟预测）已知椭圆的焦点为.过点的直线与椭圆交于A，B两点.若的周长为8，则椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 题型2：椭圆的定义及应用 6．（24-25高二上·广西·期末）椭圆的两个焦点为，椭圆上有一点，则的周长为（    ） A． B．12 C． D．20 7．（24-25高二上·陕西汉中·阶段练习）已知是椭圆上的一点，分别是椭圆的左，右焦点，则（   ） A．6 B．4 C．3 D．2 8．（23-24高二下·安徽芜湖·期末）已知，是椭圆的两个焦点，点在上且，则的面积为（   ） A．3 B．4 C．6 D．10 9．（23-24高二下·甘肃白银·期末）已知椭圆的方程为，其中依次将椭圆的下半部分分成10等份，若是椭圆的右焦点，则（    ） A．10 B．16 C．20 D．12 10．（23-24高二下·浙江·期中）若方程表示椭圆，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D．且 11．（23-24高二上·江西宜春·期末）“”是“方程表示的曲线为椭圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 12．（23-24高二上·福建龙岩·期末）已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． （二） 由标准方程研究几何性质 (1)将椭圆方程化为标准形式． (2)确定焦点位置(焦点位置不确定的要分类讨论)． (3)求出a，b，c． (4)写出椭圆的几何性质． 题型3：椭圆的几何性质 13．（24-25高二上·河南商丘·期中）若椭圆的长半轴长等于其焦距，则（   ） A． B． C． D． 14．（23-24高三上·河北邢台·期末）已知椭圆的上焦点为，则（    ） A． B．5 C． D．7 15．（23-24高二上·广东潮州·期末）已知椭圆的方程为，则该椭圆的（    ） A．长轴长为2 B．短轴长为 C．焦距为1 D．离心率为 16．（23-24高二上·陕西汉中·期末）若椭圆的焦距为2，则实数的值为（    ） A．3 B．3或5 C．5或8 D．8 （三） 椭圆离心率的求解 (1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝求解．若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝求解． (2)方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围． 题型4：椭圆的离心率 17．（24-25高二上·重庆秀山·期末）直线经过椭圆的左焦点，且与椭圆交于两点，若为线段中点，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 18．（24-25高二上·河北石家庄·期末）已知是椭圆的两个焦点，点在上，且的最大值是它的最小值的2倍，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 19．（24-25高二上·江苏盐城·期中）已知点、是椭圆的左、右焦点，点M为椭圆B上一点，点关于的角平分线的对称点N也在椭圆B上，若，则椭圆B的离心率为（   ） A． B． C． D． 20．（24-25高三上·河北邢台·期末）已知椭圆的两个焦点为，，点在该椭圆上，则该椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 21．（24-25高三上·吉林长春·阶段练习）已知是椭圆的左、右焦点，是上一点.过点作直线的垂线，过点作直线的垂线.若的交点在上(均在轴上方)，且，则的离心率为(   ) A． B． C． D．   22．（21-22高二上·黑龙江鸡西·期末）如图所示，椭圆的中心在原点，焦点在轴上，是椭圆的顶点，是椭圆上一点，且轴，，则此椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 23．（23-24高二上·河南漯河·期末）已知椭圆，点是椭圆的左､右焦点，点是椭圆上一点，的内切圆的圆心为，若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 24．（23-24高二上·浙江台州·期中）椭圆的左，右焦点分别为，，若椭圆上存在点，使，则椭圆离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． （四） 弦长问题 (1)求出直线与椭圆的两交点坐标，用两点间距离公式求弦长． (2)联立直线与椭圆的方程，消元得到关于一个未知数的一元二次方程，利用弦长公式：|P1P2|＝·，其中x1，x2(y1，y2)是上述一元二次方程的两根，由根与系数的关系求出两根之和与两根之积后代入公式求弦长． 题型5：直线与椭圆 25．（24-25高二上·山东菏泽·阶段练习）已知椭圆的离心率为，若椭圆上的点到直线的最短距离不小于，则长半轴长的取值范围为（    ） A． B． C． D． 26．（23-24高二下·陕西渭南·期末）已知直线与椭圆交于，两点，当取最大值时的值为（    ） A． B． C． D． 27．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知直线与椭圆相切，则的值为（   ） A． B． C． D． 28．（23-24高二下·上海宝山·期末）已知实数满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 29．（23-24高二上·福建福州·期末）已知椭圆与直线相切，则的值不可能是（    ） A． B．2 C．3 D．3.9 30．（23-24高二上·山东泰安·期末）已知直线与曲线恰有三个不同交点，则实数的取值范围是（    ） A．B． C． D． 31．（23-24高二上·陕西西安·期末）若直线与圆相离，则过点的直线与椭圆的交点个数是（    ） A．0或1 B．0 C．1 D．2 32．（23-24高二上·浙江温州·期末）已知F为椭圆的左焦点，过点F的直线l交椭圆于A，B两点，，则直线AB的斜率为（    ） A． B． C． D． （五） 1．定点问题 (1)把直线或曲线方程中的变量x，y视作常数，把方程一边化为零． (2)既然是过定点，那么这个方程就是对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x，y的方程组． (3)这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点． 2．定值问题 (1)确定一个（或两个）变量为核心变量，其余量均利用条件用核心变量进行表示． (2)将所求表达式用核心变量进行表示（有的甚至就是核心变量），然后进行化简，看能否得到一个常数． (3)对于较为复杂的问题，可先采用特殊位置（例如斜率不存在的直线等）求出定值，进而给后面一般情况的处理提供一个方向，在运算过程中，尽量减少所求表达式中变量的个数，以便于向定值靠拢． (4)巧妙利用变量间的关系，例如点的坐标符合曲线方程等，尽量做到整体代入，简化运算． 3．定直线问题 (1)定直线问题是证明动点在定直线上，其实质是求动点的轨迹方程． (2)所以所用的方法即为求轨迹方程的方法，如定义法、消参法、交轨法等． 题型6：定点定值定直线问题 33．（24-25高二上·河北衡水·期末）如图，已知椭圆的上顶点为，离心率为，若过点A作圆的两条切线分别与椭圆C相交于点B，D（不同于点A）．则直线BD过定点（   ）    A． B． C． D． 34．（24-25高三上·江苏扬州·期末）已知椭圆的离心率为，且过点，点与点关于原点对称，过点作直线与交于两点（异于点），设直线直线与的斜率分别为． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线的斜率为，求的面积； (3)求的值. 35．（24-25高二上·北京·期末）已知椭圆的离心率为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形面积为4. (1)求椭圆的标准方程； (2)设为椭圆的右顶点，为椭圆的上顶点，直线与椭圆交于两点（在第三象限），是椭圆上的动点（不与顶点重合），直线分别交直线于点，记，求证：为定值. 36．（24-25高二上·湖南·阶段练习）已知椭圆的左焦点为，左、右顶点分别为，离心率为，点P在椭圆C上，直线（点P在点的右上方）被圆截得的线段的长为c，且． (1)求椭圆C的方程； (2)过点的直线l交椭圆C于点M，N（异于），设直线的斜率分别为，证明为定值，并求出该定值； (3)设G为直线和的交点，记，的面积分别为，求的最小值． 37．（24-25高三上·广东·阶段练习）已知是椭圆上的一点，且的离心率为，斜率存在且不过点的直线与相交于，两点，直线与直线的斜率之积为 (1)求的方程. (2)证明：的斜率为定值. (3)设为坐标原点，若与线段（不含端点）相交，且四边形的面积为，求的方程. 38．（23-24高二下·四川成都·期末）已知椭圆的左、右焦点别为，，离心率为，过点的动直线l交E于A，B两点，点A在x轴上方，且l不与x轴垂直，的周长为，直线与E交于另一点C，直线与E交于另一点D，点P为椭圆E的下顶点，如图． (1)求E的方程； (2)证明：直线CD过定点． 39．（23-24高二下·新疆克孜勒苏·期末）已知椭圆的离心率，且椭圆经过点. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点且斜率不为零的直线与椭圆交于两点，关于轴的对称点为，求证：直线与轴交于定点. 40．（23-24高二下·江苏盐城·期末）在平面直角坐标系中，已知椭圆E：的离心率为，右焦点F到椭圆E上任意一点的最小距离为1． (1)求椭圆E的方程； (2)设A，B为椭圆E的左，右顶点，过点F作直线l交椭圆E于C，D两点，C与A，B不重合），连接，交于点Q． ①求证：点Q在定直线上： ②设，，求的最大值． 41．（2024·北京·三模）已知椭圆的短轴长为，左、右顶点分别为，过右焦点的直线交椭圆于两点（不与重合），直线与直线交于点． (1)求椭圆的方程； (2)求证：点在定直线上. 一、单选题 1．（24-25高二上·河南驻马店·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为、，长轴长，焦距为，过点的直线交椭圆于，两点，则的周长为（   ） A．4 B．8 C．16 D．32 2．（24-25高二上·四川·期末）阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知椭圆C：的面积为，焦距为，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·重庆·期中）已知点，点是圆上一动点，线段MP的垂直平分线交于点，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·山东威海·期中）椭圆的离心率为，点为上一点，过点作圆的一条切线，切点为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·河北石家庄·期中）设椭圆的左、右焦点分别为，，直线过点.若点关于的对称点恰好在椭圆上，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·辽宁·期末）已知椭圆的左，右焦点分别为，点是直线上与点不重合的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．4 7．（24-25高二上·贵州六盘水·期末）设椭圆的左、右焦点分别为，过原点且斜率不为0的直线与椭圆交于两点，则四边形的面积的最大值为（   ） A．20 B．24 C．18 D．28 8．（24-25高二上·河北邢台·期中）曲线的形状是一个斜椭圆，其方程为，点是曲线上的任意一点，点为坐标原点，则下列说法错误的是（   ） A．曲线关于对称 B．的最大值为 C．该椭圆的离心率为 D．的最大值为 二、多选题 9．（2024·江西吉安·模拟预测）已知点是椭圆上关于原点对称且不与的顶点重合的两点，的左､右焦点分别为，点为原点，则（    ） A．的离心率为 B．的值可以为3 C． D．若的面积为，则 10．（23-24高二上·安徽滁州·期末）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，直线与椭圆交于，两点，且点为线段的中点，则下列说法正确的是（    ） A．椭圆的离心率为 B．的面积为1 C．直线的方程为 D． 11．（24-25高二上·广东江门·期末）已知椭圆的左，右焦点分别为，点在上，且的最大值为3，最小值为1，则（    ） A．椭圆的离心率为 B．的周长为4 C．若，则的面积为3 D．若，则 12．（23-24高三上·山东青岛·期末）已知椭圆，直线与相交于两点，，若椭圆恒过定点，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．|AB|的长可能为3 D．|AB|的长可能为4 13．（23-24高二上·浙江·期末）已知椭圆过点，左焦点为．设直线与椭圆C交于A，B两点，点M为椭圆C外一点，直线AM，BM分别与椭圆C交于点C，D（异于点A，B），直线AD，BC交于点N．下列选项正确的是（    ） A．椭圆C方程为 B． C．M，N，O共线 D．直线MN的斜率为定值 14．（23-24高二下·湖北恩施·期中）已知圆，圆，动圆与圆外切于点，与圆内切于点，圆心的轨迹记为曲线，则（    ） A．的方程为 B．的最小值为 C． D．曲线在点处的切线方程为 15．（23-24高二下·甘肃白银·期末）已知圆在椭圆的内部，点为上一动点，为坐标原点.过点作圆的一条切线，交于另一点，切点为，若为的中点，且直线的斜率为，则（    ） A．直线的斜率为 B．直线的斜率是 C．直线的斜率是 D．椭圆的离心率为 三、填空题 16．（24-25高二上·四川绵阳·期末）已知椭圆的左､右焦点分别为，点是椭圆上的一点，则的最大值为 . 17．（23-24高二下·浙江温州·期末）椭圆的左焦点为，直线与椭圆和圆心为的圆相切于同一点，则的最小值为 . 18．（24-25高二上·四川成都·期末）若点在椭圆上，则称点为点的一个“椭点”.已知直线与椭圆相交于两点，且两点的“椭点”分别为，以线段为直径的圆经过坐标原点，则的值为 ． 19．（23-24高二上·福建福州·期末）已知椭圆的右焦点为，离心率为，过点的直线交椭圆于两点，若的中点为，则直线的斜率为 ． 20．（24-25高三上·上海松江·期末）已知点P为椭圆上任意一点，为圆的任意一条直径，则的取值范围是 ． 四、解答题 21．（24-25高二上·辽宁抚顺·期末）若椭圆，，，为椭圆上异于点，的任一点，且恒成立，则称椭圆为“内含椭圆”.已知椭圆的左，右焦点分别为，，，四边形的面积为4. (1)求椭圆的标准方程； (2)若椭圆为“内含椭圆”，求椭圆的标准方程； (3)若椭圆为“内含椭圆”，为椭圆上一点，，且存在实数，使得，求的取值范围. 22．（24-25高二上·甘肃甘南·期末）如图，已知椭圆：的离心率为，且过点. (1)求椭圆的方程. (2)过椭圆右焦点F且与x轴不重合的直线与椭圆交于P，Q两点. ①求面积的最大值； ②若直线与直线相交于点M，点N在直线上，证明：. 23．（24-25高二上·湖南长沙·期中）椭圆的左、右焦点分别为，过作直线交E于两点．过作垂直于直线的直线交E于两点．直线与相交于点P． (1)若直线的斜率为1，求直线的方程． (2)求点P的轨迹方程． (3)求四边形面积的取值范围． 24．（24-25高二上·广西·期末）已知椭圆的离心率是，且点在椭圆上. (1)求椭圆的标准方程； (2)已知点分别是椭圆的左，右焦点，是椭圆上的动点，是的内心，求的最大值. 25．（24-25高二上·甘肃白银·期末）设椭圆方程的离心率为，上､下顶点分别为，右焦点为，且__________． 在①，②③这三个条件中任选一个，填在上面的横线上，并解答． (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线交椭圆于两点（不同于两点），且，试求直线的方程． 注：若选择多个条件分别作答，则按第一个解答计分． 26．（24-25高二上·贵州六盘水·期末）已知椭圆的长轴长为，且经过点．椭圆的对称中心为原点，焦点在轴上，且的离心率与的离心率相等，的短轴长与的长轴长相等． (1)求椭圆与的标准方程． (2)若为上的点，过点作的切线，设切点分别为，试问直线与的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． (3)若（异于的左、右顶点）为椭圆上的点，直线与交于点，直线与交于点，求的值． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年《解题秘籍》高二数学寒假能力提升精讲精练讲义（人教A版2019） 复习专题05 椭圆6题型分类 1．椭圆的定义 (1)平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫椭圆(几何表示：|MF1|＋|MF2|＝2a(常数)且2a>|F1F2|)． (2)两个定点F1，F2为焦点；两焦点间的距离|F1F2|为焦距． 2．椭圆的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 图形 焦点坐标 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0,－c)，F2(0,c) a，b，c的关系 b2＝a2－c2 3．椭圆的几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 范围 －a≤x≤a,－b≤y≤b －b≤x≤b,－a≤y≤a 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)， B1(0,－b)，B2(0,b) A1(0,－a)，A2(0,a)， B1(－b,0)，B2(b,0) 轴长 短轴长＝2b，长轴长＝2a 焦点 (±，0) (0，±) 焦距 |F1F2|＝2 对称性 对称轴：x轴、y轴　对称中心：原点 离心率 e＝∈(0,1) 4．直线与椭圆 直线与椭圆 解的个数 Δ的取值 两个不同的公共点 两解 Δ>0 一个公共点 一解 Δ＝0 没有公共点 无解 Δ<0 （一） 1．椭圆定义的应用 (1)椭圆的定义能够对椭圆上的点到焦点的距离进行转化． (2)椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2构成的△PF1F2，称为焦点三角形，可以利用椭圆的定义，结合正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式等知识求解． 2．椭圆方程的求解 (1) “定位”是指确定与坐标系的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式． (2) “定量”是指确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程求解． 题型1：椭圆的方程 1．（23-24高二上·云南玉溪·期末）已知椭圆的中心为坐标原点，一个焦点为，过的直线与椭圆交于两点．若的中点为，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据的中点坐标利用点差法求得，再由计算可得答案. 【详解】设椭圆方程为， 易知直线的斜率为； 设，则，所以，； 易知，两式相减可得； 即，可得， 又，可得，所以； 即椭圆的方程为. 故选：A 2．（24-25高二上·天津·阶段练习）已知椭圆的焦距为8，且椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为10，则椭圆 的标准方程为（    ） A． B． 或 C． D． 或 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义与方程，即可求解. 【详解】由题意可知，，，即，，， 所以椭圆的标准方程为 或 . 故选：B 3．（24-25高三上·广西·阶段练习）已知圆和，若动圆与圆内切，同时与圆外切，则该动圆圆心的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆与圆的位置关系可知，结合椭圆的定义可得轨迹方程. 【详解】由已知圆和， 可知，，，，且， 又动圆与圆内切，同时与圆外切， 则，， 所以， 所以动点到两个定点，的距离之和为定值， 即满足椭圆的定义， 所以点的轨迹是以，为焦点的椭圆， 且长轴长度，焦距，即，， 所以， 椭圆方程为， 故选：C 4．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知中心在原点的椭圆的右焦点为，离心率等于，则的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据焦点坐标、离心率确定椭圆参数值，即可得方程. 【详解】由题设，易知椭圆焦点在x轴上，且，，则， 所以椭圆方程为. 故选：D 5．（2020·安徽·模拟预测）已知椭圆的焦点为.过点的直线与椭圆交于A，B两点.若的周长为8，则椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据焦点坐标，得到，根据椭圆定义，由题中条件求出，得出，进而可求出结果. 【详解】因为椭圆的焦点为，，所以； 又过点的直线与交于，两点，的周长为， 则根据椭圆定义可得，， 解得，因此， 所以椭圆的标准方程为. 故选：D. 题型2：椭圆的定义及应用 6．（24-25高二上·广西·期末）椭圆的两个焦点为，椭圆上有一点，则的周长为（    ） A． B．12 C． D．20 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义直接求解即可. 【详解】由题意，所以， 故的周长为. 故选：B 7．（24-25高二上·陕西汉中·阶段练习）已知是椭圆上的一点，分别是椭圆的左，右焦点，则（   ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】根据椭圆的定义计算可得. 【详解】椭圆，则，又是椭圆上的一点， 所以. 故选：A 8．（23-24高二下·安徽芜湖·期末）已知，是椭圆的两个焦点，点在上且，则的面积为（   ） A．3 B．4 C．6 D．10 【答案】C 【分析】由椭圆的定义和得到，结合，由余弦定理得，进而得到正弦值，利用三角形面积公式求出答案. 【详解】由椭圆，可得，所以， 由椭圆的定义可得， 故，又， 则由余弦定理得， 故， 故. 故选：C. 9．（23-24高二下·甘肃白银·期末）已知椭圆的方程为，其中依次将椭圆的下半部分分成10等份，若是椭圆的右焦点，则（    ） A．10 B．16 C．20 D．12 【答案】C 【分析】设椭圆的左焦点为，连接，得到，结合椭圆的定义，即可求解. 【详解】因为若是椭圆的右焦点，且，可得， 设椭圆的左焦点为，连接， 由椭圆的对称性，可得， 所以. 故选：C. 10．（23-24高二下·浙江·期中）若方程表示椭圆，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D．且 【答案】D 【分析】根据椭圆的标准方程可以列出不等式组，解得的范围即可． 【详解】方程表示椭圆， ，得，得且． 故选：D． 11．（23-24高二上·江西宜春·期末）“”是“方程表示的曲线为椭圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】首先求方程表示椭圆的的取值范围，再根据集合的包含关系，即可判断选项. 【详解】若方程表示椭圆，则 ，解得：，且， 所以“”是“方程表示的曲线为椭圆”的必要不充分条件. 故选：B 12．（23-24高二上·福建龙岩·期末）已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的焦点位置可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围. 【详解】因为表示焦点在轴上的椭圆，则，解得. 故选：B. （二） 由标准方程研究几何性质 (1)将椭圆方程化为标准形式． (2)确定焦点位置(焦点位置不确定的要分类讨论)． (3)求出a，b，c． (4)写出椭圆的几何性质． 题型3：椭圆的几何性质 13．（24-25高二上·河南商丘·期中）若椭圆的长半轴长等于其焦距，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意可得，解得即可. 【详解】因为椭圆的长半轴长等于其焦距， 所以，解得. 故选：A 14．（23-24高三上·河北邢台·期末）已知椭圆的上焦点为，则（    ） A． B．5 C． D．7 【答案】C 【分析】由焦点概念以及平方关系即可求解. 【详解】因为椭圆的焦点在轴上，所以，． 因为，所以，所以. 故选：C. 15．（23-24高二上·广东潮州·期末）已知椭圆的方程为，则该椭圆的（    ） A．长轴长为2 B．短轴长为 C．焦距为1 D．离心率为 【答案】D 【分析】利用椭圆的标准方程求出即可判断选项的正误. 【详解】由椭圆的方程可知：焦点在轴上，即， 则. 所以长轴长为，短轴长为，焦距为，离心率为. 故选：D 16．（23-24高二上·陕西汉中·期末）若椭圆的焦距为2，则实数的值为（    ） A．3 B．3或5 C．5或8 D．8 【答案】B 【分析】结合椭圆性质，分焦点在轴、轴上计算即可得. 【详解】当椭圆的焦点在轴上时，有，故， 当椭圆的焦点在轴上时，有，故. 故选：B. （三） 椭圆离心率的求解 (1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝求解．若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝求解． (2)方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围． 题型4：椭圆的离心率 17．（24-25高二上·重庆秀山·期末）直线经过椭圆的左焦点，且与椭圆交于两点，若为线段中点，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由得到，结合点差法计算得，进而求出离心率. 【详解】直线的斜率，如图，    由，得，则直线的斜率， 设，则，两式相减得， 于是，而， 因此，解得， 所以椭圆的离心率. 故选：C 18．（24-25高二上·河北石家庄·期末）已知是椭圆的两个焦点，点在上，且的最大值是它的最小值的2倍，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用椭圆的定义结合二次函数的最值的求法得出最大值及最小值，再结合计算即可得出离心率. 【详解】因为，所以， 所以当时，取得最大值， 因为，所以的最小值为， 因为的最大值是它的最小值的2倍，所以， 所以，所以， 所以椭圆的离心率为. 故选：A. 19．（24-25高二上·江苏盐城·期中）已知点、是椭圆的左、右焦点，点M为椭圆B上一点，点关于的角平分线的对称点N也在椭圆B上，若，则椭圆B的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据角平分线的对称性质和椭圆的性质得，再结合题设得，进而求出，再结合椭圆的定义以及余弦定理即可求解. 【详解】由题意可知，， 且，， 所以，    因为，所以， 所以即， 又，所以， 所以由余弦定理得， 整理得，所以即. 故选：B. 【点睛】关键点睛：解决本题的关键1是抓住角平分线的对称性之和椭圆的几何性质求出，关键2是利用和的关系求出，再在中结合余弦定理即可求解. 20．（24-25高三上·河北邢台·期末）已知椭圆的两个焦点为，，点在该椭圆上，则该椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知可得，由椭圆的定义可得，利用两点间的距离公式可求得，可求得椭圆的离心率. 【详解】由题意，设，，， 则，， ， 则，则， 所以椭圆的离心率为. 故选：A. 21．（24-25高三上·吉林长春·阶段练习）已知是椭圆的左、右焦点，是上一点.过点作直线的垂线，过点作直线的垂线.若的交点在上(均在轴上方)，且，则的离心率为(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可判断，根据已知条件写出的方程，并求出点的坐标，再利用的关系即可求解. 【详解】    如图，设，，， 由题意可知，， 则直线的斜率，可知直线的方程为， 同理可得的方程为， 联立方程，解得，即， 因为在上，可知关于轴对称，且， 则，可得， 又因为，即， 所以，整理得， 解得或(舍去)，则， 所以椭圆的离心率为. 故选：A. 22．（21-22高二上·黑龙江鸡西·期末）如图所示，椭圆的中心在原点，焦点在轴上，是椭圆的顶点，是椭圆上一点，且轴，，则此椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合条件设椭圆方程，并确定各点坐标，根据，得到，列方程化简可得，求离心率可得结论. 【详解】因为椭圆的中心在原点，焦点在轴上， 故可设椭圆方程为， 因为，则点的坐标为， 又，，， 于是，， 因为，所以， 得，即， 所以， 故，． 故选：B. 23．（23-24高二上·河南漯河·期末）已知椭圆，点是椭圆的左､右焦点，点是椭圆上一点，的内切圆的圆心为，若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取线段的中点为，结合条件可得，再根据及椭圆的定义，即可得到结果. 【详解】取线段的中点为，点分别为边,上的切点，如图所示： 则，∵， ∴， ∴,,三点共线，，，则点为边上的切点， ∴. ∴， ∵，则， ∴， ∴，又，则， ∴，则. 故选：D. 【点睛】方法点睛：椭圆离心率的三种求法：（1）若给定椭圆的方程，则根据焦点位置确定，求出的值，利用公式直接求解．（2）求椭圆的离心率时，若不能直接求得的值，通常由已知寻求的关系式，再与组成方程组，消去得只含的方程，再化成关于的方程求解．（3）求离心率时要充分利用题设条件中的几何特征构建方程求解，从而达到简化运算的目的． 24．（23-24高二上·浙江台州·期中）椭圆的左，右焦点分别为，，若椭圆上存在点，使，则椭圆离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设椭圆与轴正半轴的交点为，椭圆上存在点，使得，则需，再结合椭圆的性质，即可求解. 【详解】设椭圆的上顶点为，连接、，如图所示： 则，， 椭圆上存在点，使得，则需， 则，显然，所以， 所以，所以，又， 所以，即椭圆离心率的取值范围为. 故选：D. （四） 弦长问题 (1)求出直线与椭圆的两交点坐标，用两点间距离公式求弦长． (2)联立直线与椭圆的方程，消元得到关于一个未知数的一元二次方程，利用弦长公式：|P1P2|＝·，其中x1，x2(y1，y2)是上述一元二次方程的两根，由根与系数的关系求出两根之和与两根之积后代入公式求弦长． 题型5：直线与椭圆 25．（24-25高二上·山东菏泽·阶段练习）已知椭圆的离心率为，若椭圆上的点到直线的最短距离不小于，则长半轴长的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】确定与距离为的直线，由题意这条直线与相切或没交点，联立方程，由韦达定理即可求解. 【详解】 设平行且距离为的直线方程为， 所以，解得或（结合图象舍去） 设直线与平行且它们之间的距离为，则的方程为， 由整理，得， 因为上的点到直线的最短距离不小于， 所以与椭圆相切或没有交点， 所以，整理得， 由椭圆的离心率为，可知，所以， 所以，则，所以. 故选：C. 26．（23-24高二下·陕西渭南·期末）已知直线与椭圆交于，两点，当取最大值时的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，，联立直线与椭圆方程，求出交点坐标，即可表示出，再由二次函数的性质计算可得. 【详解】设，，由， 消去整理得，解得或，则，， 则，， 所以 ， 所以当，即时取最大值. 故选：C 27．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知直线与椭圆相切，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】联立直线与椭圆方程，由相切得到，从而得解. 【详解】依题意，联立，得， 化解得， 因为直线与椭圆相切， 所以， 化简整理得，所以. 故选：C. 28．（23-24高二下·上海宝山·期末）已知实数满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】去绝对值分别列出每个象限解析式，数形结合利用距离求解范围. 【详解】当，表示椭圆第一象限部分； 当，表示双曲线第四象限部分； 当，表示双曲线第二象限部分； 当，不表示任何图形； 以及两点， 作出大致图象如图： 曲线上的点到的距离为， 根据双曲线方程可得第二四象限双曲线渐近线方程都是， 直线与距离为， 曲线二四象限上的点到的距离为小于且无限接近1， 联立，消得， ，且， 所以直线与椭圆第一象限部分由两个交点， 考虑曲线第一象限的点到距离得最小值为， 所以， 所以的取值范围是. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：解决本题问题的关键是确定方程表示的图形，以及通过曲线上的点到直线的距离为的取值范围，间接求解的取值范围. 29．（23-24高二上·福建福州·期末）已知椭圆与直线相切，则的值不可能是（    ） A． B．2 C．3 D．3.9 【答案】A 【分析】由椭圆与直线相切，得，解不等式组对比选项即可得解. 【详解】联立椭圆方程与直线方程得，化简并整理得， 依题意，，整理得， 因为，所以，解得， 对比选项可知的值不可能是. 故选：A. 30．（23-24高二上·山东泰安·期末）已知直线与曲线恰有三个不同交点，则实数的取值范围是（    ） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】先运算转化曲线的方程形式，再作出图形，数形结合，随着直线平行移动，与曲线有三个不同交点，求出直线截距范围即可. 【详解】曲线可化为， 当时，，则， 故此时曲线为椭圆的上半部分； 当时，，则， 故此时曲线为双曲线的上半部分，且渐近线方程为； 直线，表示一组斜率为的平行直线， 如图，当直线过点时，，解得； 当直线与椭圆上半部分相切时， 由，消化简得， 由，解得， 又直线与椭圆上半部分相切，则，故， 要使直线与曲线恰有三个不同交点， 结合图形可得，实数的取值范围为. 故选：D. 31．（23-24高二上·陕西西安·期末）若直线与圆相离，则过点的直线与椭圆的交点个数是（    ） A．0或1 B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】由直线与圆相离得，则点在椭圆的内部，由此即可得解. 【详解】由题意直线与圆相离，所以圆心到直线的距离，即， 而，即点在椭圆的内部， 所以过点的直线与椭圆的交点个数是2. 故选：D. 32．（23-24高二上·浙江温州·期末）已知F为椭圆的左焦点，过点F的直线l交椭圆于A，B两点，，则直线AB的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出坐标，设，直线斜率为，倾斜角为，结合图象得出，表示出直线的方程为，与椭圆联立，根据韦达定理得出，进而推得，根据三角函数基本关系式化简，得出方程，求解即可得出答案. 【详解】    易知，，，点. 不妨设，，直线斜率为，倾斜角为， 易知， 且直线的方程为， 联立直线与椭圆的方程， 消去可得，. 根据韦达定理可得，. 又， 所以有， 所以，. 又， 代入可得， 所以，， 解得，所以，. 故选：B. （五） 1．定点问题 (1)把直线或曲线方程中的变量x，y视作常数，把方程一边化为零． (2)既然是过定点，那么这个方程就是对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x，y的方程组． (3)这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点． 2．定值问题 (1)确定一个（或两个）变量为核心变量，其余量均利用条件用核心变量进行表示． (2)将所求表达式用核心变量进行表示（有的甚至就是核心变量），然后进行化简，看能否得到一个常数． (3)对于较为复杂的问题，可先采用特殊位置（例如斜率不存在的直线等）求出定值，进而给后面一般情况的处理提供一个方向，在运算过程中，尽量减少所求表达式中变量的个数，以便于向定值靠拢． (4)巧妙利用变量间的关系，例如点的坐标符合曲线方程等，尽量做到整体代入，简化运算． 3．定直线问题 (1)定直线问题是证明动点在定直线上，其实质是求动点的轨迹方程． (2)所以所用的方法即为求轨迹方程的方法，如定义法、消参法、交轨法等． 题型6：定点定值定直线问题 33．（24-25高二上·河北衡水·期末）如图，已知椭圆的上顶点为，离心率为，若过点A作圆的两条切线分别与椭圆C相交于点B，D（不同于点A）．则直线BD过定点（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由条件列方程求，可得椭圆方程，再设两切线，的斜率分别为，（），由切线性质可得，再表示出直线的方程，确定其过定点. 【详解】∵椭圆的上顶点为，离心率为， ∴解得，∴椭圆C的方程为． 设切线方程为，则，即， 设两切线AB，AD的斜率分别为， 则是上述方程的两根，根据韦达定理可得：， ∵由，消掉y得， 设，∴， 同理可得， ∴， ∴直线BD方程为． 令，得 ∴故直线BD过定点． 故选：A 【点睛】方法点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意： （1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件； （2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 34．（24-25高三上·江苏扬州·期末）已知椭圆的离心率为，且过点，点与点关于原点对称，过点作直线与交于两点（异于点），设直线直线与的斜率分别为． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线的斜率为，求的面积； (3)求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意，根据题目所给信息和，，之间的关系，列出等式求出椭圆的方程. （2）表示直线的方程，设出，坐标，将直线的方程与椭圆的方程联立，利用韦达定理、弦长公式、点到直线的距离公式以及三角形面积公式进行求解即可. （3）对直线的斜率是否存在进行讨论，当直线的斜率存在时，设出直线的方程和，两点的坐标，将直线的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理得到，，再代入中进行求解即可. 【详解】（1）因为，所以， 因为点在椭圆上，所以，所以，， 所以椭圆的标准方程为. （2）依题意，得直线：，即， 代入得， 设，，则，， 所以 ， 又点到直线：的距离， 所以的面积. （3）当直线斜率不存在，即：时，，不妨取，， 因为，，则，， 所以， 当直线斜率存在时，设：， 代入：得：， 则， 设，，则，， 则 ， 综上可知，. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 35．（24-25高二上·北京·期末）已知椭圆的离心率为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形面积为4. (1)求椭圆的标准方程； (2)设为椭圆的右顶点，为椭圆的上顶点，直线与椭圆交于两点（在第三象限），是椭圆上的动点（不与顶点重合），直线分别交直线于点，记，求证：为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析. 【分析】（1）根据给定条件，结合离心率及四边形面积求出，即可得椭圆标准方程. （2）求出两点的坐标，设，并表示出点的坐标，结合向量共线求出即可推理得证. 【详解】（1）由椭圆的四个顶点为顶点的四边形面积为4，得，则， 由的离心率为，得，则，解得， 所以椭圆的标准方程为. （2）由（1）知，， 由，解得或，则，， 设，有，直线的方程为， 由，解得点的横坐标， 直线的方程为，由，解得点的横坐标， 由，得，同理， 所以， 而， 所以为定值. 36．（24-25高二上·湖南·阶段练习）已知椭圆的左焦点为，左、右顶点分别为，离心率为，点P在椭圆C上，直线（点P在点的右上方）被圆截得的线段的长为c，且． (1)求椭圆C的方程； (2)过点的直线l交椭圆C于点M，N（异于），设直线的斜率分别为，证明为定值，并求出该定值； (3)设G为直线和的交点，记，的面积分别为，求的最小值． 【答案】(1) (2)证明见解析， (3) 【分析】（1）设直线的斜率为k（），则直线的方程为，由直线被圆截得的线段的长为c，可求出，联立方程，结合题意可得P的坐标为，结合，即可求解； （2）设直线l的方程为，联立方程，由韦达定理及斜率公式即可求解； （3）由（2）得直线的方程为，直线的方程为，联立两直线方程可得，由三角形的面积公式，结合（2）的结论可得，继而即可求解. 【详解】（1）由已知有，又由，可得． 设直线的斜率为k（），则直线的方程为， 由已知得，解得， 联立，消去y整理得，解得或． 又点P在点的右上方，所以P的坐标为， 所以，解得， 所以椭圆C的方程为. （2）显然直线l的斜率不为0，设直线l的方程为． 联立，消去x整理得， ． 所以 . （3）由（2）得直线的方程为， 直线的方程为， 联立两条直线方程，解得，所以． 又， 所以 ，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为. 【点睛】方法点睛：直线与圆锥曲线的位置关系中的定点、定值、最值问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于或的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有，或，最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程（或函数），从而可求定点、定值、最值问题. 37．（24-25高三上·广东·阶段练习）已知是椭圆上的一点，且的离心率为，斜率存在且不过点的直线与相交于，两点，直线与直线的斜率之积为 (1)求的方程. (2)证明：的斜率为定值. (3)设为坐标原点，若与线段（不含端点）相交，且四边形的面积为，求的方程. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）将点的坐标代入椭圆方程，并与离心率联立求出，，； （2）设直线的方程，与椭圆方程联立，运用韦达定理，再根据条件即可证明. （3）利用（2）中直曲联立的结果，结合弦长公式求出，再利用点到直线距离求出四边形面积，得到方程，求解方程即可. 【详解】（1）由题可知，解得，， 故的方程为. （2）设的方程为，，. 联立方程组 整理得， 即，则，， ， 整理得，则或， 若，则，则过点，不符合题意， 故，即的斜率为定值. （3）由（2）可得直线，，， 因为与线段（不含端点）相交，所以， ， 点到的距离， 点到的距离， 四边形的面积， 解得或（舍去）， 故的方程为：. 【点睛】方法点睛：解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去(或)， 建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件， 建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面， 不要忽略直线斜率为或不存在等特殊情形， 强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力， 重视根与系数之间的关系，解决弦长、斜率、三角形的面积等问题． 38．（23-24高二下·四川成都·期末）已知椭圆的左、右焦点别为，，离心率为，过点的动直线l交E于A，B两点，点A在x轴上方，且l不与x轴垂直，的周长为，直线与E交于另一点C，直线与E交于另一点D，点P为椭圆E的下顶点，如图． (1)求E的方程； (2)证明：直线CD过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用椭圆的定义和离心率，求解椭圆方程； （2）设点，，，，的方程为，联立直线与椭圆的方程，根据韦达定理求出点的坐标，同理得到点的坐标，进而得到直线的方程，根据对称性，如果直线CD过定点，则该定点在x轴上，即可得到定点坐标. 【详解】（1）由椭圆定义可知，， 所以的周长为，所以， 又因为椭圆离心率为，所以，所以， 又，所以椭圆的方程：． （2）设点，，，， 则直线的方程为，则， 由得，， 所以， 因为，所以，所以，故， 又， 同理，，， 由A，，B三点共线，得，所以， 直线CD的方程为， 由对称性可知，如果直线CD过定点，则该定点在x轴上， 令得， ， 故直线CD过定点． 【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下： （1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； （2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； （3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明. 39．（23-24高二下·新疆克孜勒苏·期末）已知椭圆的离心率，且椭圆经过点. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点且斜率不为零的直线与椭圆交于两点，关于轴的对称点为，求证：直线与轴交于定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）通过已知条件以及之间的关系，求出，即可得椭圆的方程； （2）设直线的方程为，与椭圆方程联立，可得两根之和与两根之积，列直线的方程，令，求得点的横坐标，化简可得定点坐标. 【详解】（1）设椭圆半焦距为， 由题意得 解得， 椭圆的标准方程为：. （2）设点，则，直线的方程为， 直线与椭圆联立， 消去，得， 则， ，得， 由题意，直线的方程为， 令，所以点的横坐标， 所以直线与轴交于定点. 40．（23-24高二下·江苏盐城·期末）在平面直角坐标系中，已知椭圆E：的离心率为，右焦点F到椭圆E上任意一点的最小距离为1． (1)求椭圆E的方程； (2)设A，B为椭圆E的左，右顶点，过点F作直线l交椭圆E于C，D两点，C与A，B不重合），连接，交于点Q． ①求证：点Q在定直线上： ②设，，求的最大值． 【答案】(1) (2)①点Q在定直线上；②的最大值为 【分析】（1）根据椭圆离心率公式、焦半径范围和求出、即可得解. （2）①先由（1）得，，，设直线、、， 则可得，，结合点、在直线上联立直线与直线得点横坐标是一个定值从而得解. ②由①以及，可分别求出和，结合（1）中韦达定理将其直接带入计算即可求解. 【详解】（1）由题意得，， 所以椭圆E的方程为. （2）①由（1），，，故可设直线， 联立， 则，设， 则，，， 由题意可知直线与直线斜率存在， 则，， 联立 ， 所以，故点Q在定直线上. ②由上以及，得： ，， 故，， 即，， 所以， 因为，故，所以最大值为，即的最大值为. 【点睛】思路点睛：证明点Q在定直线上只需本着求点即求直线与直线的交点的方向去即可求解. 41．（2024·北京·三模）已知椭圆的短轴长为，左、右顶点分别为，过右焦点的直线交椭圆于两点（不与重合），直线与直线交于点． (1)求椭圆的方程； (2)求证：点在定直线上. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据给定条件，求出即可得解. （2）设出直线方程，与椭圆方程联立，再求出直线与直线的交点横坐标，并结合韦达定理计算即得. 【详解】（1）依题意，，半焦距，则， 所以椭圆的方程为. （2）显然直线不垂直于y轴，设直线， 由消去x并整理得， ，设， 则，且有， 直线，直线， 联立消去y得，即， 整理得， 即， 于是，而， 则，因此， 所以点在定直线上. 一、单选题 1．（24-25高二上·河南驻马店·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为、，长轴长，焦距为，过点的直线交椭圆于，两点，则的周长为（   ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】D 【分析】长轴长为，则，根据椭圆的定义知焦点弦的周长为，即可求解. 【详解】因为椭圆方程为，长轴长为，则， 的周长为. 故选：D 2．（24-25高二上·四川·期末）阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知椭圆C：的面积为，焦距为，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意列出关于的方程组，求得，再计算离心率． 【详解】，， 依题意，解得，， 则. 故选：C. 3．（24-25高二上·重庆·期中）已知点，点是圆上一动点，线段MP的垂直平分线交于点，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由一般方程得到圆心和半径，再由几何关系得到点的轨迹是以为焦点的椭圆即可； 【详解】    由题意得，圆心，半径， 因为，， 所以点的轨迹是以为焦点的椭圆，其中， 所以动点的轨迹方程为， 故选：B. 4．（24-25高二上·山东威海·期中）椭圆的离心率为，点为上一点，过点作圆的一条切线，切点为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据离心率为求得椭圆方程为，设，利用切线长公式求解. 【详解】    由题知，解得，， 所以椭圆， 设，，， 设的圆心为，半径为，则，， 因为与圆相切， 所以 ， 当时，. 故选：C. 5．（24-25高二上·河北石家庄·期中）设椭圆的左、右焦点分别为，，直线过点.若点关于的对称点恰好在椭圆上，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用椭圆的定义、余弦定理列式，再结合求解出离心率的值. 【详解】如图，由点关于的对称点恰好在椭圆上，得，， 由椭圆定义，得， 在中，由余弦定理得 ， 则， 又，整理得，又椭圆的离心率， 于是，而，解得，所以的离心率. 故选：C 6．（24-25高二上·辽宁·期末）已知椭圆的左，右焦点分别为，点是直线上与点不重合的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．4 【答案】D 【分析】利用正弦定理可得，设圆心为，只需求的最小值，根据圆与直线相切时求最小值即可. 【详解】由椭圆知，焦点，， 由正弦定理可知，其中为外接圆的半径， 因为，由圆的性质可知，外接圆圆心在轴上，如图， 不妨设圆心为，则圆的方程为， 由题意，圆与直线有公共点，且， 显然当圆与直线相切时，有最小值2， 此时为切点，如图， 所以，此时取最小值， 故选：D 7．（24-25高二上·贵州六盘水·期末）设椭圆的左、右焦点分别为，过原点且斜率不为0的直线与椭圆交于两点，则四边形的面积的最大值为（   ） A．20 B．24 C．18 D．28 【答案】B 【分析】根据已知求出的值，根据对称性可得，当为短轴顶点，即可得到面积的最大值. 【详解】 由已知可得，，，所以， 根据椭圆的对称性可得，点关于原点对称，设，. 且， 当最大时，面积最大，则此时为短轴顶点，. 故选：B. 8．（24-25高二上·河北邢台·期中）曲线的形状是一个斜椭圆，其方程为，点是曲线上的任意一点，点为坐标原点，则下列说法错误的是（   ） A．曲线关于对称 B．的最大值为 C．该椭圆的离心率为 D．的最大值为 【答案】C 【分析】根据方程的特点分析曲线的对称性，可判断A的真假，并求出椭圆的长轴长和短轴长，根据离心率的概念，可求椭圆的离心率，判断C的真假；利用基本（均值）不等式可以判断B的真假；把方程看成关于的不等式，利用可求的取值范围，判断D的真假. 【详解】由方程可以看出其关于，对称，A正确； 由题意知，，，，，B正确： 联立方程，解得顶点坐标为和，所以椭圆长轴长为；同理可得另外两个顶点坐标为和，所以椭圆的短轴长为，所以，所以该椭圆的离心率为：，C错误； 看作关于的一元二次方程，，解得，D正确， 故选：C． 【点睛】结论点睛：在曲线方程中，若用代替，方程不变，则曲线关于轴对称；若用代替，方程不变，则曲线关于轴对称；若用代替，代替，方程不变，则曲线关于原点对称；若用代替，同时用代替，方程不变，则曲线关于直线对称. 二、多选题 9．（2024·江西吉安·模拟预测）已知点是椭圆上关于原点对称且不与的顶点重合的两点，的左､右焦点分别为，点为原点，则（    ） A．的离心率为 B．的值可以为3 C． D．若的面积为，则 【答案】ACD 【分析】A选项，求出；B选项，先设，计算出，从而得到；C选项，由对称性和椭圆定义求出C正确；D选项，由三角形面积求出点坐标，得到，得到D正确. 【详解】A选项，椭圆中，，离心率为，A正确； B选项，设，且，则， 故， 所以，B错误； C选项，由对称性可得，所以，C正确； D选项，不妨设在第一象限，，则，则， 则，则，故，故D正确. 故选：ACD. 10．（23-24高二上·安徽滁州·期末）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，直线与椭圆交于，两点，且点为线段的中点，则下列说法正确的是（    ） A．椭圆的离心率为 B．的面积为1 C．直线的方程为 D． 【答案】AC 【分析】对A：根据椭圆方程求得，则离心率得解；对B：根据三角形面积公式以及点的坐标，则可求得结果；对C：利用点差法求得直线斜率，结合点坐标，即可求得直线方程；对D：联立直线与椭圆方程，利用弦长公式，借助韦达定理，即可求得. 【详解】根据题意，作图如下： 对A：由题知，，则，所以离心率为，A正确； 对B：，B错误； 对C:设，， 则，，两式相减得， 因为为线段的中点，所以，，所以， 即直线的斜率为，所以直线的方程为，即， 经检验符合题意，C正确； 对D：联立得，，； 所以，D错误. 故选：AC. 11．（24-25高二上·广东江门·期末）已知椭圆的左，右焦点分别为，点在上，且的最大值为3，最小值为1，则（    ） A．椭圆的离心率为 B．的周长为4 C．若，则的面积为3 D．若，则 【答案】AD 【分析】对A，根据题意可得 ， 即可求解；对B，根据椭圆的定义判断即可；对C，根据余弦定理结合椭圆的定义判断即可；对D，根据余弦定理与椭圆的定义求解即可． 【详解】对A，由题意，，故，，所以，故A正确； 对B，的周长为，故B错误； 对C，， ， 当且仅当时，等号成立， 因为在上递减，所以此时最大，的最大值为，不成立，故C错误； 对D，由余弦定理 ，即， 解得，故，故D正确； 故选：AD 12．（23-24高三上·山东青岛·期末）已知椭圆，直线与相交于两点，，若椭圆恒过定点，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．|AB|的长可能为3 D．|AB|的长可能为4 【答案】AC 【分析】联立直线与椭圆方程，利用韦达定理，结合垂直关系的坐标表示求出定点，再逐项判断即得. 【详解】由消去得：， 点在椭圆内，必有，设，则， 而，，由，得， 即，整理得，因此， 整理得，于是椭圆恒过定点，且， 显然，，A正确，B错误； ， 而，则，，因此，C正确，D错误. 故选：AC 【点睛】结论点睛：直线l：y=kx+b上两点间的距离； 直线l：x=my+t上两点间的距离. 13．（23-24高二上·浙江·期末）已知椭圆过点，左焦点为．设直线与椭圆C交于A，B两点，点M为椭圆C外一点，直线AM，BM分别与椭圆C交于点C，D（异于点A，B），直线AD，BC交于点N．下列选项正确的是（    ） A．椭圆C方程为 B． C．M，N，O共线 D．直线MN的斜率为定值 【答案】AD 【分析】有题意列出方程组，求得的值，得到椭圆的方程，可判定A正确；联立方程组，求得的坐标，结合斜率公式求得，可判定B错误；取点时，求得点，结合，可判定C错误.设，分别结合直线过点，直线过点，直线过过点，直线过点，列出方程，结合斜率公式，求得的值，可判定D正确； 【详解】对于A中，由椭圆过点，且左焦点为， 可得，解得，所以椭圆的方程为，所以A正确； 对于B中，联立方程组，解得或， 即， 设，可得，所以 可得，所以B错误； 对于C中，当点时，此时在椭圆的外部，且 可得轴，根据椭圆的对称性，可得, 由，因为，可得， 所以的方程为又由的方程为， 联立方程组得，此时，此时直线不过原点，所以C错误. 对于D中，设， 由直线过点，可得，① 由直线过点，可得，② ①②得，③ 同理可得，直线过过点，可得，④ 直线过点，可得，⑤ ③④得，⑥ ③⑥得，所以，所以D正确； 故选：AD. 14．（23-24高二下·湖北恩施·期中）已知圆，圆，动圆与圆外切于点，与圆内切于点，圆心的轨迹记为曲线，则（    ） A．的方程为 B．的最小值为 C． D．曲线在点处的切线方程为 【答案】BCD 【分析】A.利用两圆的内切、外切的充要条件，由椭圆定义即可得的方程； B.由即求的最大值，利用椭圆性质可得； C.运用向量数量积的坐标公式计算即得； D.将选项直线与椭圆方程联立，验证消元后的方程判别式为零即可. 【详解】 如图，对于A项，设动圆的半径为，由条件得则，且不重合， 故点的轨迹为以为两焦点得椭圆，（去掉重合的点），则曲线的方程为，故A错误； 对于B项，由图知点在椭圆上运动，当且仅当点运动到椭圆短轴顶点时，最大， 此时，则最大为，即的最小值为，故B项正确； 对于C项，，易得， 故当时，取得最大值，故C项正确； 对于D项，由 ，消去，整理得： 则 因在椭圆上，，即，代入上式得， 故是过椭圆上一点处的切线方程，即D项正确. 故选：BCD. 15．（23-24高二下·甘肃白银·期末）已知圆在椭圆的内部，点为上一动点，为坐标原点.过点作圆的一条切线，交于另一点，切点为，若为的中点，且直线的斜率为，则（    ） A．直线的斜率为 B．直线的斜率是 C．直线的斜率是 D．椭圆的离心率为 【答案】AD 【分析】根据题意可知这是一个中点弦问题，一般采用点差法求解. 【详解】设，则， 将的坐标代入椭圆的方程，得 两式相减得， 所以， 因为直线的斜率为，所以的斜率为，A正确； 所以. 如图，设为椭圆的左顶点，连接，则， 所以. 解得或（舍去），直线的斜率为，B错误，C错误； 所以， 所以， 故，D正确. 故选：AD. 三、填空题 16．（24-25高二上·四川绵阳·期末）已知椭圆的左､右焦点分别为，点是椭圆上的一点，则的最大值为 . 【答案】 【分析】利用椭圆定义得，将转化为关于的二次函数求最值可得. 【详解】由椭圆得. 由点在椭圆上，故，故， 则， 故当时，取最大值. 故答案为：. 17．（23-24高二下·浙江温州·期末）椭圆的左焦点为，直线与椭圆和圆心为的圆相切于同一点，则的最小值为 . 【答案】 【分析】求导可得椭圆在的切线斜率为，进而可得点的轨迹方程为（），利用点到直线的距离公式即可求解最小值. 【详解】由可得， 由于直线与椭圆相切于，故上半椭圆的方程为， 求导得，因此， 故椭圆在的切线斜率为，由于直线于圆也相切于， 故圆心所在的直线斜率为1，且经过点，故点的轨迹方程为（）， ，故的最小值为到的距离， 故答案为： 18．（24-25高二上·四川成都·期末）若点在椭圆上，则称点为点的一个“椭点”.已知直线与椭圆相交于两点，且两点的“椭点”分别为，以线段为直径的圆经过坐标原点，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据圆的性质可确定，将直线与椭圆方程联立可得韦达定理的结论，代入等式即可构造方程求得结果. 【详解】设，，则，， 以线段为直径的圆经过坐标原点，， 由得：， ，即， ，， ， ，解得：（满足）， 的值为. 故答案为：. 19．（23-24高二上·福建福州·期末）已知椭圆的右焦点为，离心率为，过点的直线交椭圆于两点，若的中点为，则直线的斜率为 ． 【答案】 【分析】根据中点坐标公式、椭圆离心率公式，结合点差法进行求解即可. 【详解】设，，则的中点坐标为， 由题意可得，， 将，的坐标的代入椭圆的方程：， 作差可得， 所以， 又因为离心率，，所以， 所以，即直线的斜率为， 故答案为：. 20．（24-25高三上·上海松江·期末）已知点P为椭圆上任意一点，为圆的任意一条直径，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用向量运算将转化为，通过求的取值范围来求得正确答案. 【详解】圆的圆心为，半径为. 因为 ． 又因为椭圆的，为椭圆的右焦点， 设，， ， ， 所以，， ∴． 故答案为： 四、解答题 21．（24-25高二上·辽宁抚顺·期末）若椭圆，，，为椭圆上异于点，的任一点，且恒成立，则称椭圆为“内含椭圆”.已知椭圆的左，右焦点分别为，，，四边形的面积为4. (1)求椭圆的标准方程； (2)若椭圆为“内含椭圆”，求椭圆的标准方程； (3)若椭圆为“内含椭圆”，为椭圆上一点，，且存在实数，使得，求的取值范围. 【答案】(1)或. (2) (3) 【分析】(1)根据，四边形的面积为4.，列出，求解即可； (2)由(1)可分别讨论两个方程是否符合“内含椭圆”，即是否恒成立； (3)由(2)得：，由题意可知，求函数在上的最值，整理即可得出的取值范围. 【详解】（1）根据题意可得，即. 因为四边形的面积为，所以. 由，解得或， 所以椭圆的标准方程为或. （2）若椭圆的标准方程为，则，，设椭圆的左顶点为， 则，，，不符合题意，舍去. 若椭圆的标准方程为，则，，设， 则，符合题意. 故椭圆的标准方程为. （3）由(2)得椭圆的方程为.设，则. 若存在实数，使得，则， 得， . 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，， 则，故的取值范围为. 22．（24-25高二上·甘肃甘南·期末）如图，已知椭圆：的离心率为，且过点. (1)求椭圆的方程. (2)过椭圆右焦点F且与x轴不重合的直线与椭圆交于P，Q两点. ①求面积的最大值； ②若直线与直线相交于点M，点N在直线上，证明：. 【答案】(1) (2)①；②证明见解析. 【分析】（1）列出关于的方程，代入计算，即可得到结果； （2）①根据题意，设直线的方程为，然后联立椭圆方程，由，结合韦达定理代入计算，即可得到结果；②设，由直线斜率公式，分别表示出，结合①中的韦达定理代入计算，即可证明. 【详解】（1）由条件可得，解得，故椭圆的标准方程为. （2）①设直线的方程为，， 代入椭圆方程整理可得，显然， 则， ， 令，则， 其中在上单调递增， 所以当，即时，取得最大值，最大值为. ②证明：由①可知，设， 则 . 23．（24-25高二上·湖南长沙·期中）椭圆的左、右焦点分别为，过作直线交E于两点．过作垂直于直线的直线交E于两点．直线与相交于点P． (1)若直线的斜率为1，求直线的方程． (2)求点P的轨迹方程． (3)求四边形面积的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据两直线垂直的斜率关系，以及过的定点，即可求解直线方程； （2）根据，转化为坐标运算，即可求点的轨迹方程； （3）首先分直线的斜率为0或不存在，以及直线的斜率存在且不为0两种情况，利用对角线互斥垂直，利用对角线的长度表示四边形的面积，利用函数关系求取值范围. 【详解】（1）由条件可知，，，则， 所以，, 因为直线的斜率为1，所以直线的斜率为，且直线过点， 所以直线的方程为，即； （2）设，依题意，，且， ，， 所以，即， 故点的轨迹方程为； （3）依题意，， 过作平行于的直线交于两点，由对称性可知，， ①当的斜率为0或斜率不存在时，和是或，； ②当的斜率存在且不为0时，设，，， 联立方程，得， ，，， 故， 同理， 故， 令，，则， 其中，故， 综上， 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是将转化为，利用和都过点的特征，且斜率的关系，根据，直接表示. 24．（24-25高二上·广西·期末）已知椭圆的离心率是，且点在椭圆上. (1)求椭圆的标准方程； (2)已知点分别是椭圆的左，右焦点，是椭圆上的动点，是的内心，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可得出关于的方程组，解出这三个值，即可得出椭圆的方程； （2）设点，根据等面积法可得出，利用点到直线的距离可得，然后利用两点间的距离公式可求得的最大值. 【详解】（1）由题意可得 解得， 故椭圆的标准方程为； （2）设. 由等面积法得， 同号，则. 由题意可得，则直线的方程为， 即. 点到直线的距离. 因为，所以， 所以. 因为是椭圆上的动点，所以，所以， 所以， 整理得，即. 因为，所以. 因为，所以，即， 则. 故当时，取得最大值. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值． 25．（24-25高二上·甘肃白银·期末）设椭圆方程的离心率为，上､下顶点分别为，右焦点为，且__________． 在①，②③这三个条件中任选一个，填在上面的横线上，并解答． (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线交椭圆于两点（不同于两点），且，试求直线的方程． 注：若选择多个条件分别作答，则按第一个解答计分． 【答案】(1)条件选择见解析，椭圆的方程为 (2) 【分析】（1）根据所选条件求得，从而求得椭圆的方程. （2）先求得的坐标，然后对直线的斜率是否为进行分类讨论，结合根与系数关系、向量数量积运算来求得正确答案. 【详解】（1）若选①：由，即， 且，可得，所以椭圆的方程为． 若选②：由知，又离心率，所以， 所以椭圆的方程为． 若选③：由可知，又离心率， 所以， 所以椭圆的方程为． （2）由（1）知，椭圆的方程为，所以， 由，可得，所以． 当直线的斜率为0时，， ，不合题意． 当直线的斜率不为0时，设直线的方程为， 联立得，判别式， ， 因为，所以， 即， 所以，解得或． 当时，直线经过点，不符合题意， 当时，直线，符合题意． 综上，直线的方程为．    26．（24-25高二上·贵州六盘水·期末）已知椭圆的长轴长为，且经过点．椭圆的对称中心为原点，焦点在轴上，且的离心率与的离心率相等，的短轴长与的长轴长相等． (1)求椭圆与的标准方程． (2)若为上的点，过点作的切线，设切点分别为，试问直线与的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． (3)若（异于的左、右顶点）为椭圆上的点，直线与交于点，直线与交于点，求的值． 【答案】(1)：；：. (2)是定值，解析见详解. (3)6 【分析】（1）先根据椭圆的长轴长和经过点，可得椭圆的方程，并求出其离心率，再根据椭圆的短轴长和离心率，可求椭圆的方程. （2）设过点的椭圆的切线方程为，与椭圆方程联立，由可得，该方程的两解分别为直线、的斜率，根据韦达定理以及可得直线、的斜率之积为定值. （3）设直线、的斜率分别为、，根据为椭圆上的点，探索、的关系，再与椭圆的方程联立，利用弦长公式，表示出和，即可求. 【详解】（1）对椭圆：因为椭圆长轴长为，所以， 又椭圆过点，所以，所以， 所以椭圆的标准方程为：，且离心率. 对椭圆：（）. 由， 所以椭圆的标准方程为：. （2）如图： 因为点在椭圆上，所以， 又因为，，所以过点向椭圆做的切线一定存在斜率，且不为0. 设切线方程为：，即， 代入椭圆的方程：， 得：， 整理得：. 由 整理得：， 化成. 设直线，的斜率分别为，， 则. 所以直线，的斜率之积为定值. （3）因为点是椭圆上异于左、右顶点、的点， 所以直线、的斜率存在且不为0，分别设为、. 则直线：， 由得：. 设，则. 同理可得：. 所以. 由得：. 设，，则，. 所以， 所以. 同理， 所以. 【点睛】方法点睛：直线与圆锥曲线的综合问题的求解策略： 对于直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用问题，通常联立直线方程与圆锥曲线方程，应用一元二次方程根与系数的关系，以及弦长公式等进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$