精品解析：四川省眉山市仁寿县2024-2025学年高一上学期1月期末联考数学试题

2024-2025学年高一校校期末联考 数学试卷 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题 1. 与角的终边相同的角的集合是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在范围内找出与角终边相同的角，然后可得出与角终边相同的角的集合. 【详解】因为，所以角与角的终边相同，所以与角的终边相同的角的集合为. 故选B． 【点睛】本题考查终边相同的角的集合，一般要在范围内找出终边相同的角，并以此角来表示相应的集合，属于基础题. 2. 函数的零点所在的大致区间是（ 　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 利用零点存在定理，计算求解即可 【详解】根据条件，，，，可得， ，所以，函数零点所在的大致区间是 故选：B 【点睛】本题考查零点存在定理的应用，属于基础题 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数有意义列出不等式即可求解. 【详解】的定义域需满足， 解得且， 故定义域为 故选：C 4. 已知函数，则函数单调递增区间为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求函数定义域，再结合复合函数单调性分析求解. 【详解】令，解得或， 可知的定义域为， 因为在定义域内单调递减， 且在内单调递减，在内单调递增， 可知在内单调递增，在内单调递减， 所以函数单调递增区间为. 故选：D. 5. 生物丰富度指数是河流水质的一个评价指标，其中，分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数越大，水质越好.如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由2提高到3，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】把已知代入丰富度指数公式，然后两式消去后，由对数运算可得结论． 【详解】由已知，，所以，即，∴， 故选：D． 6. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由对数函数、指数函数、的单调性，可以得到，可得到大小关系 【详解】，，，则， 所以， 故选：B 7. 若函数是上的减函数，则的取值范围是（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用分段函数、二次函数单调性列式求出的范围. 【详解】由函数是上的减函数，得，解得， 所以的取值范围是. 故选：A 8. 已知定义在上的函数满足，且当时，恒有，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据得出对称轴，再根据单调性结合对称性列出不等式求解. 【详解】由得，的图象关于直线对称， 令，则是偶函数，又当时，恒有， 故在上单调递减，所以在上单调递减， 则， 即得 解得或. 故选：C. 二、多选题 9. 已知，，且，函数与的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】由已知，然后按和分类讨论结合的图象确定两个函数的单调性即可得． 【详解】由，，且，则，所以， 若时，则，所以曲线函数图象上升，即为增函数， 且单调递减，又函数与关于y轴对称， 所以曲线为增函数，选项B符合条件； 若，则，曲线函数图象下降，即为减函数， 且单调递增，又函数与关于y轴对称， 所以函数的图象下降，即为减函数，选项C符合条件， 故选：BC. 10. 下列说法正确的有（ ） A. 命题“，”的否定为“，” B. 若，，则 C. 若幂函数在区间上是减函数，则或 D. 方程有一个正实根，一个负实根，则． 【答案】AD 【解析】 【分析】根据全称命题与存在性命题的关系可判定A；举反例可判定B；根据幂函数定义和性质可判定C；根据一元二次方程的性质可判定D. 【详解】对于A选项，根据全称量词命题的否定的知识可知，命题“，”的否定为“，”，A选项正确； 对于B选项，若，，如，，，，则，B选项错误； 对于C选项，函数是幂函数，所以，解得，所以C选项错误； 对于D选项，设，则有两个零点，且两个零点一正一负，则，所以D选项正确 故选：AD. 11. 给出下列说法，正确的有（ ） A. 函数单调递增区间是 B. 已知的定义域为，则的取值范围是 C. 若函数在定义域上为奇函数，则 D. 若函数在定义域上为奇函数，且为增函数 【答案】BCD 【解析】 【分析】计算对数函数的定义域可得A；借助对数函数的定义域可将问题转化为，可得，计算即可得B；运用奇函数的定义计算即可得C；运用奇函数的定义及复合函数单调性判断即可求解D. 【详解】A选项，由，得，故A错误； B选项，定义域为，则恒成立， 则，∴，故B正确； C选项，定义域为，且为奇函数， ∴，∴， 当时，，满足题意，故C正确； D选项，∵， ∴的定义域为， 且， ∴为奇函数， 又时，，均为增函数， ∴也是增函数，而为增函数， ∴为增函数，故D正确. 故选：BCD. 第II卷（非选择题） 三、填空题 12. 对任意且，函数的图象都过定点，且在角的终边上，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】令，即可求出定点的坐标，再根据三角函数的定义计算可得. 【详解】令，解得，所以， 所以函数的图象经过定点， 所以点在角的终边上，则． 故答案为：． 13. 已知函数，若方程有3个实数根，则实数k的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】将问题转化为与有3个交点，根据分段函数解析式确定的区间性质，结合函数图象判断交点情况，进而求k的范围. 【详解】由题意，方程有3个实数根，即为与有3个交点， 由的解析式知：当时，；当时，对称轴为且；图象如下图示： ∴当且仅当时，与有3个交点，即有3个实根. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：转化为函数图象的交点问题，根据分段函数的性质，应用数形结合的方法确定参数的范围. 14. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．若的对称中心为，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用给定性质求出的对称中心，再利用中心对称函数的性质求解即可. 【详解】令，因为， 所以，因为的对称中心为， 所以是奇函数， 故，化简得， 当时，有定义，故， 即得到，而， ， 故， 解得，，可得关于中心对称， 故，即， ，， 故， . 故答案为： 四、解答题 15. 计算： （1）. （2） 【答案】（1）20 （2）-2 【解析】 【分析】根据指数运算公式以及对数运算公式即可求解。 【详解】（1） = （2）= 【点睛】本题考查指数与对数的运算，以及计算能力，（1）根据指数幂的运算法则求解即可。（2）根据对数运算的性质求解即可，属于基础题。 16. 设集合. （1）若，求； （2）若，求实数的取值集合. 【答案】（1），或. （2） 【解析】 【分析】（1）利用集合的运算求解即可. （2）根据题意得到，再分类讨论求解即可. 【小问1详解】 当时，，所以， 又或 所以或. 【小问2详解】 因为， 当时，，解得. 当时，则 综上，实数的取值集合为. 17. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，. （1）写出函数的解析式； （2）若函数，求函数的最小值. 【答案】（1） （2）答案见详解 【解析】 【分析】（1）根据题意结合奇函数定义可得，，即可得结果； （2）整理可得，结合二次函数对称性分析求解. 【小问1详解】 设，则，可得， 因为函数是定义在上的奇函数， 可得， 所以. 【小问2详解】 当时，则， 可得， 可知的图象开口向下，对称轴为， 当时，即时，； 当时，即时，. 18. 北京时间2024年8月12日凌晨，历经19个比赛日的激烈角逐，第33届奥运会在巴黎落下帷幕，奥运会上互换的“pin”（即奥运徽章）是奥运会期间的一种重要纪念品和文化交流媒介．人们经常能在奥运村、比赛场馆等场所展示和交换自己的奥运徽章，奥运徽章的交换不仅限于运动员中间，还包括观众、媒体、志愿者甚至奥组委人员．中国队的熊猫pin更是受到了各国友人的喜爱，造成了一pin难求的局面．通过市场分析，对熊猫pin而言，某企业每生产x（万件）获利w（x）（万元），且满足.2024年8月该企业计划引进新的生产设备和新的产品方案优化产品，优化后的产品的其他成本总投入为万元．由市场调研分析得知，当前熊猫pin供不应求．记该企业2024年8月优化后的产品的利润为（单位：万元）． （1）求函数的解析式； （2）当2024年8月优化后产品产是为多少万件时，该企业8月的利润最大？最大利润是多少？请说明理由． 【答案】（1） （2）当产量为3万件时，该企业利润最大，最大利润是390万元 【解析】 【分析】（1）由题意可得，进而求解即可； （2）由二次函数性质与基本不等式求解即可. 【小问1详解】 由已知，， 又， 所以. 【小问2详解】 当时，， 则时，； 当时， ， 当且仅当，即时，. 因为，所以的最大值为390， 故当产量为3万件时，该企业利润最大，最大利润是390万元． 19. 已知函数是定义在R上的奇函数. （1）求的值； （2）已知函数在上单调递增； ①判断在上的单调性（直接写结果，无需证明）； ②对任意，不等式恒成立时，求的取值范围； （3）设函数，求在上的最小值. 【答案】（1） （2）①单调递增；② （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意得到，得到方程，求出； （2）①根据函数奇偶性和上的单调性，求出在上单调递增； ②根据函数奇偶性和单调性得到不等式，求出，根据根的判别式得到不等式，求出； （3）令，换元得到，，根据单调性求出最值. 【小问1详解】 函数是定义在R上的奇函数， ，即，解得.（经检验满足题意）. 【小问2详解】 ①函数在上单调递增，理由如下： 因为在单调递增，又为奇函数， 故函数在上单调递增； ②函数在R上单调递增，且为奇函数， 等价于 对任意，不等式恒成立， 即，对任意恒成立，即， ，解得， 的取值范围是. 【小问3详解】 令，则， 当，时，. ，， ，， 二次函数开口向上，对称轴为， 在区间上单调递增， ， 即在上的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一校校期末联考 数学试卷 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题 1. 与角的终边相同的角的集合是 A. B. C D. 2. 函数的零点所在的大致区间是（ 　　） A. B. C. D. 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，则函数单调递增区间为（    ） A. B. C. D. 5. 生物丰富度指数是河流水质的一个评价指标，其中，分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数越大，水质越好.如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由2提高到3，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，，则（ ） A B. C. D. 7. 若函数是上的减函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在上的函数满足，且当时，恒有，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知，，且，函数与的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的有（ ） A. 命题“，”否定为“，” B. 若，，则 C. 若幂函数在区间上是减函数，则或 D. 方程有一个正实根，一个负实根，则． 11. 给出下列说法，正确的有（ ） A. 函数单调递增区间是 B. 已知的定义域为，则的取值范围是 C. 若函数在定义域上为奇函数，则 D. 若函数在定义域上为奇函数，且为增函数 第II卷（非选择题） 三、填空题 12. 对任意且，函数的图象都过定点，且在角的终边上，则______． 13. 已知函数，若方程有3个实数根，则实数k的取值范围是________. 14. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．若的对称中心为，则_______． 四、解答题 15. 计算： （1）. （2） 16. 设集合. （1）若，求； （2）若，求实数的取值集合. 17. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，. （1）写出函数的解析式； （2）若函数，求函数最小值. 18. 北京时间2024年8月12日凌晨，历经19个比赛日的激烈角逐，第33届奥运会在巴黎落下帷幕，奥运会上互换的“pin”（即奥运徽章）是奥运会期间的一种重要纪念品和文化交流媒介．人们经常能在奥运村、比赛场馆等场所展示和交换自己的奥运徽章，奥运徽章的交换不仅限于运动员中间，还包括观众、媒体、志愿者甚至奥组委人员．中国队的熊猫pin更是受到了各国友人的喜爱，造成了一pin难求的局面．通过市场分析，对熊猫pin而言，某企业每生产x（万件）获利w（x）（万元），且满足.2024年8月该企业计划引进新的生产设备和新的产品方案优化产品，优化后的产品的其他成本总投入为万元．由市场调研分析得知，当前熊猫pin供不应求．记该企业2024年8月优化后的产品的利润为（单位：万元）． （1）求函数的解析式； （2）当2024年8月优化后的产品产是为多少万件时，该企业8月的利润最大？最大利润是多少？请说明理由． 19. 已知函数是定义在R上的奇函数. （1）求的值； （2）已知函数上单调递增； ①判断在上的单调性（直接写结果，无需证明）； ②对任意，不等式恒成立时，求的取值范围； （3）设函数，求在上的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$