微专题五 函数图像的变换规律（讲练）（思维导图+5种题型（含2种解题技巧））-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（安徽专用）

第三章 函数 微专题五 函数图像的变换规律 （思维导图+5种题型（含2种解题技巧）） 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 01知识导图·思维引航 02题型精研·考向洞悉 ►题型01 一次函数图象的平移变换 ►题型02 反比例函数的图象变换 ►题型03 二次函数图象的平移变换 ►题型04 二次函数图象的对称变换 03分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 02知识导图·思维引航 04题型精研·考向洞悉 ☛题型01 一次函数图象的平移 例1．（2023·江苏无锡·中考真题）将函数的图像向下平移2个单位长度，所得图像对应的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 函数图像平移时遵循左加右减的原则： 1.当函数图象向左平移时，针对解析式中的x（先用括号将x括起来）加上平移单位； 2.当函数图象向右平移时，针对解析式中的x（先用括号将x括起来）减去平移单位； 3.当函数图象向上平移时，在解析式的后面直接加上平移单位； 4.当函数图象向下平移时，在解析式的后面直接减去平移单位； 1．（2024·福建泉州·模拟预测）将直线向右平移2个单位长度得到的直线的解析式为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·天津滨海新·模拟预测）若直线向左平移3个单位长度，平移后的直线解析式是 ． 3．（2024·上海·模拟预测）将正比例函数向左平移个单位，就是向下平移 个单位． 4．（2024·北京·模拟预测）对于条直线，满足，，则这条直线最多有 个交点． 0☛题型02 反比例函数图象的平移 例2．（2024·广东深圳·一模）参照学习函数的过程与方法，探究函数 的图象与性质，因为 即 所以我们对比函数 来探究． 列表： x … 1 2 3 4 … … 1 2 4 … … 2 3 5 0 … 描点：在平面直角坐标系中以自变量x的取值为横坐标，以 相应的函数值为纵坐标，描出相应的点如图所示； (1)请把y轴左边各点和右边各点分别用一条光滑曲线，顺次连接起来； (2)观察图象并分析表格，回答下列问题： 当时，y随x的增大而 ；（填“增大’或“减小”） 的图象可看作是由 的图象向 平移 个单位而得到的； 图象的两个分支关于点 中心对称； （填点的坐标） (3)试说明函数 与直线的交点情况． 1．（23-24九年级上·辽宁锦州·期末）【建立概念】 如图1，在矩形中，，，当时，称这个矩形为“核心矩形”． 【理解概念】 （1）当时，矩形是“核心矩形”，求的值； 【深入研究】 （2）如图2，分别以矩形的边，所在直线为轴，轴建立平面直角坐标系，点在第二象限，若“核心矩形”的面积为12，求点的坐标； 【拓展延伸】 （3）下面从函数的角度研究“核心矩形”，已知一个“核心矩形”的邻边长分别为． ①求与的函数表达式； ②若该函数的图象可以通过反比例函数的图象平移得到，请你在图3中画出该函数图象的草图，观察图象，写出该函数的两条性质； ③若将“核心矩形”的邻边分别增加，这个新矩形还是“核心矩形”吗？请说明理由． 2．（2023·河南信阳·一模）参照学习函数的过程与方法，探究函数的图象与性质． x … 0 1 2 3 4 5 6 … … 4 2 1 … … m 4 2 1 … (1)__________________． (2)请画出函数的图象； (3)观察图象并分析表格，回答下列问题： ①当时，y随x的增大而___________；（填“增大”或“减小”） ②的图象是由的图象向__________平移__________个单位长度而得到的； ③图象关于点__________中心对称．（填点的坐标） 3．（2023·广东深圳·三模）【综合实践】 如图所示，是《天工开物》中记载的三千多年前中国古人利用桔槔在井上汲水的情境（杠杆原理：阻力阻力臂动力动力臂，如图，即），受桔槔的启发，小杰组装了如图所示的装置．其中，杠杆可绕支点O在竖直平面内转动，支点O距左端，距右端，在杠杆左端悬挂重力为的物体A． (1)若在杠杆右端挂重物B，杠杆在水平位置平衡时，重物B所受拉力为______． (2)为了让装置有更多的使用空间，小杰准备调整装置，当重物B的质量变化时，的长度随之变化．设重物B的质量为，的长度为．则①y关于x的函数解析式是______． ②完成下表： … 10 20 30 40 50 … … 8 a 2 b … ③在直角坐标系中画出该函数的图象． (3)在（2）的条件下，将函数图象向右平移4个单位长度，与原来的图像组成一个新的函数图象，记为L．若点A的坐标为，在L上存在点Q，使得．请直接写出所有满足条件的点Q的坐标． 4．（2024·宁夏·中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数的图象可以由函数的图象平移得到．依此想法，数学小组对反比例函数图象的平移进行探究． (1)【动手操作】 列表： …… 1 2 3 4 5 …… …… 2 1 …… …… 0 1 2 3 …… …… 4 2 1 …… 描点连线：在已画出函数的图象的坐标系中画出函数的图象． (2)【探究发现】 ①将反比例函数的图象向___________平移___________个单位长度得到函数的图象． ②上述探究方法运用的数学思想是（　　） 整体思想    B．类比思想    C．分类讨论思想 (3)【应用延伸】 ①将反比例函数的图象先___________，再___________得到函数的图象． ②函数图象的对称中心的坐标为___________． 0☛题型03 二次函数图象的平移 例3．（2024·江苏徐州·中考真题）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向下平移5个单位长度，所得抛物线与x轴有两个公共点P、Q，则 ． 函数图象的对称变换： 1.图象关于x轴对称时，图象上的点，横坐标相等，纵坐标互为相反数； 2.图象关于y轴对称时，图象上的点，纵坐标相等，横坐标互为相反数； 3.图象关于原点对称时，图象上的点，横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数； 1．（2024·江苏镇江·中考真题）对于二次函数（a是常数），下列结论：①将这个函数的图像向下平移3个单位长度后得到的图像经过原点；②当时，这个函数的图像在函数图像的上方；③若，则当时，函数值y随自变量x增大而增大；④这个函数的最小值不大于3．其中正确的是 （填写序号）． 2．（2024·山东济宁·中考真题）将抛物线向下平移k个单位长度．若平移后得到的抛物线与x轴有公共点，则k的取值范围是 ． 3．（2024·山东泰安·中考真题）如图，抛物线的图象经过点，与轴交于点A，点． (1)求抛物线的表达式； (2)将抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线，求抛物线的表达式，并判断点是否在抛物线上； (3)在轴上方的抛物线上，是否存在点，使是等腰直角三角形．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图①，已知抛物线与x轴交于两点，将抛物线向右平移两个单位长度，得到抛物线，点P是抛物线在第四象限内一点，连接并延长，交抛物线于点Q． (1)求抛物线的表达式； (2)设点P的横坐标为，点Q的横坐标为，求的值； (3)如图②，若抛物线与抛物线交于点C，过点C作直线，分别交抛物线和于点M、N（M、N均不与点C重合），设点M的横坐标为m，点N的横坐标为n，试判断是否为定值．若是，直接写出这个定值；若不是，请说明理由． 0☛题型04 二次函数的对称性 例4．（2023·辽宁阜新·中考真题）如图，二次函数的图象与x轴的一个交点为，对称轴是直线，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．点在函数图象上 1．（2023·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为． (1)若对于，有，求的值； (2)若对于，，都有，求的取值范围． 2．（2024·安徽·二模）若关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，，则抛物线的对称轴为直线（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·安徽芜湖·期中）已知二次函数的图像过点和． （1）若此抛物线的对称轴是直线，点C与点P关于直线对称，则点P的坐标是 ． （2）若此抛物线的顶点在第一象限，设，则t的取值范围是 ． 4．（2024·浙江·模拟预测）在平面直角坐标系中，设二次函数． (1)若a为整数，二次函数图象过点（其中n是正整数），求抛物线的对称轴． (2)若，为抛物线上两个不同的点． ①当时，，求a的值． ②若对于，都有，求a的取值范围． 0 基础巩固 1．（2023·四川雅安·中考真题）在平面直角坐标系中．将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转，再向上平移1个单位长度，所得直线的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·陕西咸阳·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，若直线与直线相交于点，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 3．（2024·广东广州·模拟预测）关于一次函数，下列说法正确的是（    ） A．图象过点 B．其图象可由的图象向下平移2个单位长度得到 C．随着的增大而增大 D．图象经过第一、二、四象限 4．（2024·云南曲靖·一模）将抛物线平移得到，下列平移方法正确的是（    ） A．先向左平移3个单位，再向下平移1个单位 B．先向右平移3个单位，再向上平移1个单位 C．先向左平移1个单位，再向下平移3个单位 D．先向右平移1个单位，再向下平移3个单位 5．（2024·四川眉山·二模）若将抛物线先沿轴方向向右平移1个单位，再沿方向向下平移2个单位，得到一条新抛物线，则新抛物线的解析式变为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）把抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线解析式为（   ） A． B． C． D． 7．（2024·贵州黔东南·二模）已知二次函数（为常数）的图象经过点，则的大小关系是（    ） A． B． C． D．与的值有关 8．（2024·四川成都·模拟预测）如图，二次函数的图象与轴交于，两点，下列说法正确的是（    ） A． B．抛物线的对称轴是直线 C．当时，的值随值的增大而减小 D． 9．（2024·陕西西安·模拟预测）如图是二次函数图像的一部分，对称轴为直线，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C．当时， D．若，，在该函数图像上，则 10．（2024·湖南常德·模拟预测）已知点关于轴的对称点为，且在直线上，把直线的图象向右平移2个单位后，所得的直线解析式为 ． 11．（2024·天津河北·模拟预测）若直线向上平移3个单位长度后经过点，则值为 ． 12．（2024·广东惠州·模拟预测）函数的图形向右平移3个单位向上平移1个单位长度后的解析式为 ． 13．（2024·湖南长沙·模拟预测）将二次函数的图像向右平移2个单位，再向下平移5个单位，所得二次函数的解析式为 ； 14．（2023·安徽合肥·模拟预测）已知：抛物线． （1）此抛物线的对称轴为直线 ； （2）当时，y的最小值为−4，则 ． 15．（2024·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为直线． (1)若对于，有，求的值； (2)若对于，都有，求的取值范围． 16．（2024·河北·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点A，，且直线l经过双曲线的左端点C． (1)求点A的坐标和m的值； (2)平移直线l到达直线的位置，使其经过双曲线的右端点D，交x轴于点E． 求AE的长； 求直线l上的点A移动的最短路程． 17．（2025·上海奉贤·一模）在直角坐标平面中，直线向下平移5个单位后，正好经过抛物线的顶点C，抛物线与y轴交于点B． (1)求点C的坐标； (2)点M在抛物线对称轴上，且位于C点下方，当时，求点M的坐标； (3)将原抛物线顶点C平移到直线上，记作点，新抛物线与y轴的交点记作点，当时，求的长． 18．（2023·浙江杭州·模拟预测）已知二次函数（是常数）与一次函数（k是常数，）． (1)若的图象与轴只有一个交点，求b，c的值； (2)若的图象可由抛物线（a是常数，）向左平移2个单位，向上平移1个单位得到，求出的函数关系式； (3)若，当时，恒成立，求的取值范围． 19．（2024·浙江·模拟预测）已知：二次函数（m是常数） (1)求该二次函数图象的顶点坐标（用含m的代数式表示）． (2)若该二次函数图象与直线交于A，B两点（点A在点B的右侧），这两点的横坐标分别为，，求证：是个定值． (3)已知点，，若该二次函数图象与线段只有一个交点，求的取值范围． 20．（2024·贵州六盘水·二模）已知二次函数图象的顶点坐标为，且图象经过点，． (1)求二次函数的表达式 (2)将二次函数的图象向右平移个单位，图象经过点，求m 的值； (3)在由（2）平移后的图象上，当时，函数的最小值为，求n的值． 能力提升 1．（2024·山东聊城·三模）在平面直角坐标系中，二次函数的图像上有两点、，它的对称轴为直线． (1)当该二次函数图像过点时． ①求t的值； ②当，轴，且到x轴距离为2，求a的值； (2)当时，若对于任意，都有成立，直接写出t的取值范围． 2．（2024·浙江台州·二模）已知，关于x 的二次函数． (1)若函数经过点，求抛物线的对称轴； (2)若点均在抛物线上，则p q（填“”，“”或“”）. (3)记，当时，始终成立，求t 的取值范围． 3．（2024·河北·模拟预测）某同学将广场上不断变换的灯光秀抽象为线段和抛物线，并将其一部分描画在如图所示的平面直角坐标系中，已知点B的坐标为，抛物线经过点A． (1)求抛物线的解析式及顶点坐标，并判断点B是否在该抛物线上； (2)若线段以每秒2个单位长度的速度向下平移，设平移的时间为t秒． 当线段平移到点B落在抛物线上时，求t的值； 若抛物线同时以每秒3个单位长度的速度向下平移，抛物线在y轴及其右侧的部分与所在的直线总有两个公共点，直接写出t的取值范围． 4．（2024·安徽六安·模拟预测）如图1，已知抛物线与轴交于点两点，与轴交于点． (1)求的值及点的坐标； (2)如图2，点为直线下方抛物线上的两点，点的横坐标比点的横坐标大1，过点作轴，交于点，过点作轴交于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)如图3，将抛物线先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到新的抛物线，在抛物线的对称轴上有一点，坐标平面内有一点，使得以点为顶点的四边形是矩形，且为矩形的一边，求出此时所有满足条件的点的坐标． $$第三章 函数 微专题五 函数图像的变换规律 （思维导图+5种题型（含2种解题技巧）） 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 01知识导图·思维引航 02题型精研·考向洞悉 ►题型01 一次函数图象的平移变换 ►题型02 反比例函数的图象变换 ►题型03 二次函数图象的平移变换 ►题型04 二次函数图象的对称变换 03分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 02知识导图·思维引航 04题型精研·考向洞悉 ☛题型01 一次函数图象的平移 例1．（2023·江苏无锡·中考真题）将函数的图像向下平移2个单位长度，所得图像对应的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题目条件函数的图像向下平移2个单位长度，则的值减少2，代入方程中即可． 【解析】解：∵函数的图像向下平移2个单位长度， ∴， 故答案为：A． 函数图像平移时遵循左加右减的原则： 1.当函数图象向左平移时，针对解析式中的x（先用括号将x括起来）加上平移单位； 2.当函数图象向右平移时，针对解析式中的x（先用括号将x括起来）减去平移单位； 3.当函数图象向上平移时，在解析式的后面直接加上平移单位； 4.当函数图象向下平移时，在解析式的后面直接减去平移单位； 1．（2024·福建泉州·模拟预测）将直线向右平移2个单位长度得到的直线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数的平移问题，根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 【解析】解：将直线向右平移2个单位长度得到的直线的解析式为， 故选：D． 2．（2024·天津滨海新·模拟预测）若直线向左平移3个单位长度，平移后的直线解析式是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数的图象与几何变换．根据“左加右减、上加下减”的函数图象平移规律来解答． 【解析】解：将直线向左平移3个单位长度，平移后直线的解析式为；即； 故答案为：． 3．（2024·上海·模拟预测）将正比例函数向左平移个单位，就是向下平移 个单位． 【答案】 【分析】本题考查正比例函数图象的平移，由将正比例函数向左平移个单位，得到平移后的解析式为，即，从而确定正比例函数图象的另一种平移方式，熟练掌握函数图象的平移法则是解决问题的关键． 【解析】解：将正比例函数向左平移个单位，则平移后的解析式为，即， 将正比例函数向左平移个单位，就是向下平移个单位， 故答案为：． 4．（2024·北京·模拟预测）对于条直线，满足，，则这条直线最多有 个交点． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的图象，直线相交的交点个数问题．熟练掌握一次函数的图象是解题的关键． 由，可知从1到的条直线平行，由，可知从到的30条直线交于一点，则剩余条直线最多可以有个交点，从1到的条平行直线可以和剩余的条直线最多有个交点，从到的30条直线可以和其他的条直线最多有个交点，然后求和计算即可． 【解析】解：∵， ∴从1到的条直线平行， ∵， ∴从到的30条直线交于一点， ∴剩余条直线最多可以有个交点， 从1到的条平行直线可以和剩余的条直线最多有个交点， 从到的30条直线可以和其他的条直线最多有个交点， ∴这条直线最多有个交点， 故答案为：． 0☛题型02 反比例函数图象的平移 例2．（2024·广东深圳·一模）参照学习函数的过程与方法，探究函数 的图象与性质，因为 即 所以我们对比函数 来探究． 列表： x … 1 2 3 4 … … 1 2 4 … … 2 3 5 0 … 描点：在平面直角坐标系中以自变量x的取值为横坐标，以 相应的函数值为纵坐标，描出相应的点如图所示； (1)请把y轴左边各点和右边各点分别用一条光滑曲线，顺次连接起来； (2)观察图象并分析表格，回答下列问题： 当时，y随x的增大而 ；（填“增大’或“减小”） 的图象可看作是由 的图象向 平移 个单位而得到的； 图象的两个分支关于点 中心对称； （填点的坐标） (3)试说明函数 与直线的交点情况． 【答案】(1)见解析； (2)①增大；②上、1；③； (3)无交点 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质．熟练掌握描点法绘制函数图象，函数图象的平移，函数的对称性和增减性，是解题的关键． （1）用光滑曲线顺次连接即可； （2）利用图象法即可解决问题； （3）联立方程根据方程组解的情况判断，即可解决问题． 【解析】（1）把y轴左边各点和右边各点分别用一条光滑曲线，顺次连接起来，如图， （2）当时，y随x的增大而增大； 故答案为：增大； 的图象可看作是由 的图象向上平移1个单位而得到的； 故答案为：上、1； 图象的两个分支关于点中心对称； 故答案为：； （3）解方程组， 代入，消去y，得，， 去分母，得，， 矛盾，x值不存在， 故函数 与直线无交点． 1．（23-24九年级上·辽宁锦州·期末）【建立概念】 如图1，在矩形中，，，当时，称这个矩形为“核心矩形”． 【理解概念】 （1）当时，矩形是“核心矩形”，求的值； 【深入研究】 （2）如图2，分别以矩形的边，所在直线为轴，轴建立平面直角坐标系，点在第二象限，若“核心矩形”的面积为12，求点的坐标； 【拓展延伸】 （3）下面从函数的角度研究“核心矩形”，已知一个“核心矩形”的邻边长分别为． ①求与的函数表达式； ②若该函数的图象可以通过反比例函数的图象平移得到，请你在图3中画出该函数图象的草图，观察图象，写出该函数的两条性质； ③若将“核心矩形”的邻边分别增加，这个新矩形还是“核心矩形”吗？请说明理由． 【答案】（1） 2）， （3）①或；②见解析；③不是“核心矩形”；理由见解析 【分析】本题主要考查了矩形的性质、反比例函数的图象与性质，新定义，熟练掌握矩形的性质、反比例函数的图象与性质，理解“核心矩形”的定义，是解题的关键． （1）根据“核心矩形”得，把代入即可求解； （2）根据“核心矩形”得，根据矩形有面积公式得，代入整理方程，得．求解得出a，即可求解； （3）①根据“核心矩形”得，则．即可求解； ②根据函数解析式画出函数图象，再根据函数图象抽象出函数性质即可； ③根据“核心矩形”的定义判定即可． 【解析】解：（1）依题意，知，， ． 解得，（不合题意，舍去）． ． （2）依题意，知，， ． 整理方程，得． ，． ，． （3）①依题知， ． 或． ②如图1，画出草图 答案不唯一，只要正确即可． 当时，的值随值的增大而减小；图象关于直线成轴对称； ③不是“核心矩形”． 方法1： 理由如下：依题意，知， 新矩形的邻边长为和， 若新矩形是“核心矩形”，则，即． 则． ． 则“核心矩形”同时满足函数和． 画出函数的图象如图2所示， 根据图象可知， 函数与函数图象没有交点， 满足条件的，的值不存在． 新矩形不是“核心矩形”． 方法2： 理由如下：依题意，知， 新矩形的邻边长为和， 若新矩形是“核心矩形”，则． ，即． ，即． ， 原方程无实数根． 的值不存在． 新矩形不是“核心矩形”． 2．（2023·河南信阳·一模）参照学习函数的过程与方法，探究函数的图象与性质． x … 0 1 2 3 4 5 6 … … 4 2 1 … … m 4 2 1 … (1)__________________． (2)请画出函数的图象； (3)观察图象并分析表格，回答下列问题： ①当时，y随x的增大而___________；（填“增大”或“减小”） ②的图象是由的图象向__________平移__________个单位长度而得到的； ③图象关于点__________中心对称．（填点的坐标） 【答案】(1) (2)见解析 (3)①减小；②右；2；③ 【分析】（1）把代入函数即可解答； （2）用一条光滑曲线顺次连接所描的点即可； （3）数形结合，观察函数图象即可得到答案． 【解析】（1）解：把代入， 得， ∴， 故答案为； （2）函数图象如图所示：    （3）解：①当时，随的增大而减小； ②的图象是由的图象向右平移2个单位长度而得到的； ③图象关于点中心对称； 故答案为：①减小；②右；2；③． 3．（2023·广东深圳·三模）【综合实践】 如图所示，是《天工开物》中记载的三千多年前中国古人利用桔槔在井上汲水的情境（杠杆原理：阻力阻力臂动力动力臂，如图，即），受桔槔的启发，小杰组装了如图所示的装置．其中，杠杆可绕支点O在竖直平面内转动，支点O距左端，距右端，在杠杆左端悬挂重力为的物体A． (1)若在杠杆右端挂重物B，杠杆在水平位置平衡时，重物B所受拉力为______． (2)为了让装置有更多的使用空间，小杰准备调整装置，当重物B的质量变化时，的长度随之变化．设重物B的质量为，的长度为．则①y关于x的函数解析式是______． ②完成下表： … 10 20 30 40 50 … … 8 a 2 b … ③在直角坐标系中画出该函数的图象． (3)在（2）的条件下，将函数图象向右平移4个单位长度，与原来的图像组成一个新的函数图象，记为L．若点A的坐标为，在L上存在点Q，使得．请直接写出所有满足条件的点Q的坐标． 【答案】(1) (2)①；②见解析；③见解析 (3)或 【分析】（1）根据公式进行计算即可； （2）①根据公式即可得到；②根据（2）①所求求出a、b的值即可；③先描点，再连线，画出函数图象即可； （3）先根据面积求出点Q的纵坐标，再根据反比例函数性质和平移的性质求出点Q的坐标即可． 【解析】（1）解：∵， ∴ ∴重物B所受拉力为， 故答案为：； （2）解：①∵， ∴，即， 故答案为：； ②由（2）①得， 填表如下： … 10 20 30 40 50 … … 8 4 2 … ③函数图象如下所示：    （3）解：∵点A的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，当时， ∴在函数上满足题意的Q的坐标为， ∵将函数图象向右平移4个单位长度，与原来的图像组成一个新的函数图象，记为L， ∴点，即也在L上，即满足题意的Q的坐标为； 综上所述，点Q的坐标为或． 4．（2024·宁夏·中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数的图象可以由函数的图象平移得到．依此想法，数学小组对反比例函数图象的平移进行探究． (1)【动手操作】 列表： …… 1 2 3 4 5 …… …… 2 1 …… …… 0 1 2 3 …… …… 4 2 1 …… 描点连线：在已画出函数的图象的坐标系中画出函数的图象． (2)【探究发现】 ①将反比例函数的图象向___________平移___________个单位长度得到函数的图象． ②上述探究方法运用的数学思想是（　　） 整体思想    B．类比思想    C．分类讨论思想 (3)【应用延伸】 ①将反比例函数的图象先___________，再___________得到函数的图象． ②函数图象的对称中心的坐标为___________． 【答案】(1)图见解析 (2)①左，1；②B (3)①右平移2个单位长度；向下平移1个单位长度（向下平移1个单位长度；向右平移2个单位长度）； ② 【分析】（1）列表，描点、连线画出函数的图象即可； （2）结合图象填空即可； （3）根据发现的规律填空即可． 【解析】（1）描点、连线画出函数图象如图所示： （2）①函数的图象可以看作是由函数的图象向左平移1个单位长度， ②上述探究方法运用的数学思想是类比思想． 故答案为：左，1；B （3）①函数的图象可以看作是由函数的图象向右平移2个单位长度； 向下平移1个单位长度（向下平移1个单位长度；向右平移2个单位长度）而得到； ②根据平移的性质，函数图象的对称中心的坐标为． 故答案为：右平移2个单位长度；向下平移1个单位长度（向下平移1个单位长度；向右平移2个单位长度）； 0☛题型03 二次函数图象的平移 例3．（2024·江苏徐州·中考真题）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向下平移5个单位长度，所得抛物线与x轴有两个公共点P、Q，则 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了二次函数平移规律，抛物线与x轴的交点，两点间的距离公式，解题关键是熟练掌握二次函数图象的平移规律，求出抛物线的解析式．根据二次函数图象的平移规律，求出抛物线的解析式，然后令，列出关于x的方程，解方程求出x，再根据两点间的距离公式求出答案即可． 【解析】解：将二次函数的图象向下平移5个单位长度，所得抛物线的解析式为： ， 令，则， 或， 解得：或， ， 故答案为：1． 函数图象的对称变换： 1.图象关于x轴对称时，图象上的点，横坐标相等，纵坐标互为相反数； 2.图象关于y轴对称时，图象上的点，纵坐标相等，横坐标互为相反数； 3.图象关于原点对称时，图象上的点，横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数； 1．（2024·江苏镇江·中考真题）对于二次函数（a是常数），下列结论：①将这个函数的图像向下平移3个单位长度后得到的图像经过原点；②当时，这个函数的图像在函数图像的上方；③若，则当时，函数值y随自变量x增大而增大；④这个函数的最小值不大于3．其中正确的是 （填写序号）． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，一次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的性质，数形结合是解题的关键．根据平移的规律顶点平移后的函数解析式即可判断①；确定抛物线与直线没有交点，且开口向上即可判断②；利用函数的性质即可判断③；求得顶点坐标即可判断④． 【解析】解：将二次函数是常数）的图象向下平移3个单位长度后得到， 当时，， 平移后的函数的图象经过原点， 故①正确； 当时，则， 令，即， ， 抛物线与直线没有交点， 抛物线开口向上， 当时，这个函数的图象在函数图象的上方； 故②正确； 二次函数是常数）， 开口向上，对称轴为直线， 当时，函数值随自变量增大而增大， 故③错误； ， 顶点为， ， 故④正确． 故答案为：①②④． 2．（2024·山东济宁·中考真题）将抛物线向下平移k个单位长度．若平移后得到的抛物线与x轴有公共点，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先根据平移的规律写出抛物线向下平移k个单位长度后的抛物线的表达式，再根据平移后得到的抛物线与x轴有公共点可得，由此列不等式即可求出k的取值范围． 此题考查了二次函数图像的平移与几何变换，以及抛物线与x轴的交点问题，利用抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题关键． 【解析】解：将抛物线向下平移k个单位长度得， ∵与x轴有公共点， ∴， 即， 解得， 故答案为：． 3．（2024·山东泰安·中考真题）如图，抛物线的图象经过点，与轴交于点A，点． (1)求抛物线的表达式； (2)将抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线，求抛物线的表达式，并判断点是否在抛物线上； (3)在轴上方的抛物线上，是否存在点，使是等腰直角三角形．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，点在抛物线上 (3)存在，点的坐标为：或 【分析】本题主要考查了求二次函数的解析式、二次函数与几何的综合、二次函数图像的平移等知识点，灵活利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来成为解题的关键． （1）将点D的坐标代入抛物线表达式，求得a的值即可； （2）由题意得：，当x=1时，，即可判断点是否在抛物线上； （3）分为直角、为直角、为直角三种情况，分别运用全等三角形的判定与性质，进而确定点E的坐标，进而确定点P的坐标． 【解析】（1）解：将点的坐标代入抛物线表达式得：，解得：， 则抛物线的表达式为：． （2）解：由题意得：， 当时，， 故点在抛物线上． （3）解：存在，理由如下： ①当为直角时，如图1，过点作且，则为等腰直角三角形， ，， ， ， ， ∴，， ∴点， 当时，，即点在抛物线上， ∴点即为点； ②当为直角时，如图2， 同理可得：， ∴，， ∴点， 当时，， ∴点在抛物线上， ∴点即为点； ③当为直角时，如图3， 设点， 同理可得：， ∴且，解得：且， ∴点， 当时，， 即点不在抛物线上； 综上，点的坐标为：或． 4．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图①，已知抛物线与x轴交于两点，将抛物线向右平移两个单位长度，得到抛物线，点P是抛物线在第四象限内一点，连接并延长，交抛物线于点Q． (1)求抛物线的表达式； (2)设点P的横坐标为，点Q的横坐标为，求的值； (3)如图②，若抛物线与抛物线交于点C，过点C作直线，分别交抛物线和于点M、N（M、N均不与点C重合），设点M的横坐标为m，点N的横坐标为n，试判断是否为定值．若是，直接写出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)是定值，． 【分析】此题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式、函数图象的交点问题、一元二次方程根与系数关系等知识，准确利用待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法求出，再根据平移规律即可求出抛物线的表达式； （2）设点P的坐标为，待定系数法求出直线的解析式为，联立与得到，解得，即可求出答案； （3）由（1）可得，，与联立得到，求出点C的坐标为，又由点M的坐标为，利用待定系数法求出直线的解析式为，与联立得到，则，得到，即可得到，得到定值． 【解析】（1）解：∵抛物线与x轴交于两点， ∴， 解得， ∴， ∵抛物线向右平移两个单位长度，得到抛物线， ∴ 即 （2）解：设点P的坐标为，设直线的解析式为，把点A和点P的坐标代入得到， 则 解得， ∴直线的解析式为， 联立与得到 ， 解得， 则 （3）解：由（1）可得，，与联立得到，， 解得， 此时 ∴点C的坐标为， ∵点M的横坐标为m，且在上， ∴ 即点M的坐标为 设直线的解析式为，把点C和点M的坐标代入得到， 则 解得， ∴直线的解析式为， 与联立得到， ， 整理得到， 则， 即， 即， 即为定值． 0☛题型04 二次函数的对称性 例4．（2023·辽宁阜新·中考真题）如图，二次函数的图象与x轴的一个交点为，对称轴是直线，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．点在函数图象上 【答案】B 【分析】利用二次函数的图象与系数的关系可得出，a、b、c的正负，进而得出的正负；利用对称轴为直线，可得出与0的关系；由抛物线与x轴的交点情况，可得出与的大小关系；由抛物线与x轴的一个交点坐标为，再结合对称轴为直线，可得出另一个交点坐标． 【解析】解：A、由二次函数的图形可知：，所以．故本选项不符合题意； B、因为二次函数的对称轴是直线，则，即．故本选项符合题意； C、因为抛物线与x轴有两个交点，所以，即．故本选项不符合题意； D、因为抛物线与x轴的一个交点坐标为，且对称轴为直线，所以它与x轴的另一个交点的坐标为．故本选项不符合题意； 故选：B． 1．（2023·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为． (1)若对于，有，求的值； (2)若对于，，都有，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次函数的性质求得对称轴即可求解； （2）根据题意可得离对称轴更近，，则与的中点在对称轴的右侧，根据对称性求得，进而根据，即可求解． 【解析】（1）解：∵对于，有， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线的对称轴为． ∴； （2）解：∵当，， ∴，， ∵，， ∴离对称轴更近，，则与的中点在对称轴的右侧， ∴， 即． 2．（2024·安徽·二模）若关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，，则抛物线的对称轴为直线（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程，利用对称性求对称轴，根据题意，得到抛物线与轴的两个交点坐标为，对称性得到对称轴为，即可． 【解析】解：∵的两个实数根分别为，， ∴抛物线与轴的两个交点坐标为， ∴对称轴为； 故选A． 3．（23-24九年级上·安徽芜湖·期中）已知二次函数的图像过点和． （1）若此抛物线的对称轴是直线，点C与点P关于直线对称，则点P的坐标是 ． （2）若此抛物线的顶点在第一象限，设，则t的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质，利用了二次函数的对称性，二次函数图象与系数关系； （1）根据抛物线的对称性可得点P的坐标与点C的纵坐标相等，再根据对称的性质求出横坐标即可； （2）把点A、C的坐标代入函数解析式并用a表示出b，令，表示出t，再根据顶点在第一象限求出a的范围，即可求得t的范围． 【解析】解：（1）∵点C与点P关于直线对称， ∴点P的纵坐标为1； 设点P的横坐标为x，则， ∴， 即点P的坐标为； 故答案为：； （2）∵二次函数的图像过点和， ∴， 则， 即； 上式中，令，则； ∵抛物线的顶点在第一象限， ∴，， 由后一式得，则， ∴由前一式得， ∴， 即， 故答案为：． 4．（2024·浙江·模拟预测）在平面直角坐标系中，设二次函数． (1)若a为整数，二次函数图象过点（其中n是正整数），求抛物线的对称轴． (2)若，为抛物线上两个不同的点． ①当时，，求a的值． ②若对于，都有，求a的取值范围． 【答案】(1)对称轴为直线 (2)①；② 【分析】本题考查二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程、二次函数的对称轴公式， （1）把代入，求得，，从而可得，再代入对称轴公式求解即可； （2）①根据对称轴为直线，进行求解即可； ②根据二次函数的图象与性质可得，即可求解． 【解析】（1）解：把代入，得， 解得，，． ∵n是正整数，a为整数， （舍去），．则， ∴对称轴为直线． （2）解：①时，， ，两点关于抛物线的对称轴对称， 则对称轴为直线， ． ②由题意可知，对于任意的，y随x的增大而增大， 可得， 解得． 0 基础巩固 1．（2023·四川雅安·中考真题）在平面直角坐标系中．将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转，再向上平移1个单位长度，所得直线的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出函数的图象绕坐标原点逆时针旋转的函数解析式，再根据函数图象的平移规律即可求出平移后的解析式． 【解析】解：∵点是函数图象上的点， ∴将绕原点逆时针旋转，则旋转后图象经过原点和、 ∴将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转得到图象的解析式为， ∴根据函数图象的平移规律，再将其向上平移1个单位后的解析式为． 故选A． 2．（2024·陕西咸阳·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，若直线与直线相交于点，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移问题，一次函数与不等式之间的关系，根据题意可得直线与直线的交点坐标为，再根据一次函数的增减性即可得到答案． 【解析】解：直线与直线分别可以看作由直线与直线向左平移2个单位长度得到． ∵直线与直线相交于点， 直线与直线的交点坐标为， ∵在中，在中， ∴在中，y随x增大而减小，在中y随x增大而增大， ∴不等式的解集为． 故选C． 3．（2024·广东广州·模拟预测）关于一次函数，下列说法正确的是（    ） A．图象过点 B．其图象可由的图象向下平移2个单位长度得到 C．随着的增大而增大 D．图象经过第一、二、四象限 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象与几何变换，一次函数的性质以及一次函数图象与系数的关系，根据一次函数图象上点的坐标特征，平移的规律以及一次函数的性质逐个判断即可． 【解析】A、当时，， 一次函数的图象经过点，选项A错误，不符合题意； B、由的图象向下平移2个单位长度得到，故选项B错误，不合题意 C、， 随的增大而减小，选项C错误，不符合题意； D、，， 一次函数的图象经过第一、二、四象限，选项D正确，符合题意； 故选：D． 4．（2024·云南曲靖·一模）将抛物线平移得到，下列平移方法正确的是（    ） A．先向左平移3个单位，再向下平移1个单位 B．先向右平移3个单位，再向上平移1个单位 C．先向左平移1个单位，再向下平移3个单位 D．先向右平移1个单位，再向下平移3个单位 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，确定出两抛物线的顶点坐标，再根据顶点的变化确定平移方法． 【解析】解：抛物线的顶点坐标为， 的顶点坐标为， 抛物线先向右平移3个单位，再向上平移1个单位得到． 故选：B． 5．（2024·四川眉山·二模）若将抛物线先沿轴方向向右平移1个单位，再沿方向向下平移2个单位，得到一条新抛物线，则新抛物线的解析式变为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了抛物线的平移规律，先配方得到，然后由沿着x轴向右平移1个单位，再沿y轴向下平移2个单位即可得到新解析式为，熟练掌握抛物线的平移规律：左加右减，上加下减是解决此题的关键． 【解析】∵， 又∵抛物线沿着x轴向右平移1个单位，再沿y轴向下平移2个单位， ∴平移后得新抛物线解析式为， 故选：D． 6．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）把抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，掌握平移规律是解题的关键． 根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【解析】解：把抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位， 所得抛物线解析式为． 故选：C． 7．（2024·贵州黔东南·二模）已知二次函数（为常数）的图象经过点，则的大小关系是（    ） A． B． C． D．与的值有关 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，熟知二次函数的图象和性质是解题的关键．根据所给函数解析式，可得出抛物线的对称轴为直线，再根据两点与对称轴的关系即可解决问题． 【解析】解：二次函数（为常数）的对称轴为直线． ， 两点关于二次函数的对称轴对称， ， 故选：C． 8．（2024·四川成都·模拟预测）如图，二次函数的图象与轴交于，两点，下列说法正确的是（    ） A． B．抛物线的对称轴是直线 C．当时，的值随值的增大而减小 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，根据图象与y轴交点即可判定，再利用二次函数的对称性和与轴交点求出对称轴，根据图象即可判断当时，图象位于对称轴右侧，随的增大而减小，再由当时，可得． 【解析】解：由图象可知：抛物线与y轴交于正半轴， ∴，A选项的结论不正确，不符合题意； 二次函数的图象与轴交于，两点， ∴对称轴为，故B选项的结论不正确，不符合题意； 由图象知：当时，图象位于对称轴右侧，随的增大而减小，故C选项的结论正确，符合题意； 当时，，故D选项的结论不正确，不符合题意． 故选：C． 9．（2024·陕西西安·模拟预测）如图是二次函数图像的一部分，对称轴为直线，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C．当时， D．若，，在该函数图像上，则 【答案】B 【分析】由抛物线的开口方向判断与0的关系，然后根据对称轴判定；根据当时，，即，然后由函数图象对称性可得，当与时，函数值相同，根据图象即可判断． 【解析】解：如图：根据抛物线对称性补全图象得： ∵抛物线开口方向向下，交轴于正半轴， ∴，， 又∵对称轴为直线，即， ∴， ∴，故B错误，不符合题意； 由函数图象可得，当时，，即，故A正确，符合题意； ∴由函数图象可得当当时，有可能，C错误，不合题意； 由函数图象对称性可得，当与时，函数值相同， ∵， ∴由函数的增减性可得：，D错误，不合题意； 故选A． 10．（2024·湖南常德·模拟预测）已知点关于轴的对称点为，且在直线上，把直线的图象向右平移2个单位后，所得的直线解析式为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了一次函数图形与几何变换，先利用点关于轴的对称点为，求出点，再根据点在一次函数图像上，可得出．最后根据一次函数图像的平移可得出答案． 【解析】解：点关于轴的对称点为， ∴， ∵在直线， ∴， ∴， ∴直线， 把直线向右平移2个单位后， 所得的直线解析式为， 故答案为：． 11．（2024·天津河北·模拟预测）若直线向上平移3个单位长度后经过点，则值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数的平移，解题的关键在于掌握平移的规律：左加右减，上加下减．根据平移的规律求出平移后的解析式，将代入即可． 【解析】解：依题意可得，平移后函数解析式为， 将代入， 即， 解得． 故答案为：． 12．（2024·广东惠州·模拟预测）函数的图形向右平移3个单位向上平移1个单位长度后的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 【解析】解：函数的图形向右平移3个单位向上平移1个单位长度后的解析式为， 故答案为：． 13．（2024·湖南长沙·模拟预测）将二次函数的图像向右平移2个单位，再向下平移5个单位，所得二次函数的解析式为 ； 【答案】 【分析】此题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减． 根据“上加下减，左加右减”的平移规律，即可得出平移后的二次函数的解析式． 【解析】解：将二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移5个单位，所得二次函数的解析式为，即． 故答案为：． 14．（2023·安徽合肥·模拟预测）已知：抛物线． （1）此抛物线的对称轴为直线 ； （2）当时，y的最小值为−4，则 ． 【答案】 1 4或 【分析】（1）根据抛物线的解析式可得，再代入对称轴进行计算即可； （2）根据二次函数的图象与性质可知当 当时，在，函数有最小值，当时，在中，当时，函数有最小值，再根据y的最小值为−4代入进行计算即可． 【解析】解：（1）由抛物线可知，， 对称轴， 故答案为：1； （2）当时，在，函数有最小值， ∵y的最小值为， ， ； 当时，在中，当时，函数有最小值， ，解得； 综上所述：a的值为4或． 15．（2024·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为直线． (1)若对于，有，求的值； (2)若对于，都有，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键． （1）根据二次函数的性质求得对称轴即可求解； （2）分和两种情况，分别进行求解即可． 【解析】（1）解：∵对于，有， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线的对称轴为． ∴； （2）解：∵当，， ∴，， 当，， ∴离对称轴更近，，则与连线的中点在对称轴的右侧， ∴， 即． 当，， ∴离对称轴更近，，则与连线的中点在对称轴的左侧， ∴， ∴． 综上可知，或． 16．（2024·河北·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点A，，且直线l经过双曲线的左端点C． (1)求点A的坐标和m的值； (2)平移直线l到达直线的位置，使其经过双曲线的右端点D，交x轴于点E． 求AE的长； 求直线l上的点A移动的最短路程． 【答案】(1) (2)；A移动的最短路程为 【分析】（1）将代入，可得直线l的解析式为：，进而可得，再根据直线l经过双曲线的左端点C，可得，问题随之得解； （2）结合（1）的结果得反比例函数解析式为：，即可得，根据平移直线到直线，设直线的解析式为：，代入，可得设直线的解析式为：，即可得，问题随之得解；过点A作，垂足为F，则就是直线l上的点A移动的最短路程，证明，得到，利用勾股定理求出（负值舍去），即可解答． 【解析】（1）解：∵在直线的图象上， ∴，即， ∴直线l的解析式为：， 当时，， 解得：， ∴， ∵直线l经过双曲线的左端点C， ∴当时，， ∴， ∴，即； （2）解：∵， ∴反比例函数解析式为：， 当时，， ∴， ∵平移直线到直线， ∴设直线的解析式为：， ∵直线经过， ∴当时，， ∴， ∴设直线的解析式为：， ∴当时，， 解得：， ∴， ∵， ∴； 如图，过点A作，垂足为F，则就是直线l上的点A移动的最短路程， ， ， ， ， ，， 在中，，即， ， 解得（负值舍去）， ∴，即点A移动的最短路程为． 17．（2025·上海奉贤·一模）在直角坐标平面中，直线向下平移5个单位后，正好经过抛物线的顶点C，抛物线与y轴交于点B． (1)求点C的坐标； (2)点M在抛物线对称轴上，且位于C点下方，当时，求点M的坐标； (3)将原抛物线顶点C平移到直线上，记作点，新抛物线与y轴的交点记作点，当时，求的长． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）先求出点的横坐标为，再求出直线平移后的解析式，然后将代入计算即可得解； （2）求出，由题意可得点的横坐标为，作轴于，轴于，则，，，，可证得为等腰直角三角形，于是可得，进而证得，于是可得，解直角三角形即可求出，进而得出点的纵坐标为，于是得解； （3）用待定系数法求出，得到抛物线的解析式为，设，则新抛物线的解析式为，求出，得到，点在直线上，作轴于，则，，可证得为等腰直角三角形，于是可得，进而可得，求解即可得出答案． 【解析】（1）解：∵抛物线， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴点的横坐标为， 将直线向下平移5个单位后得到的解析式为， ∵直线向下平移5个单位后，正好经过抛物线的顶点C， ∴在中，当时，，即； （2）解：在中，令，则，即：， ∵点M在抛物线对称轴上， ∴点的横坐标为， 如图，作轴于，轴于， ， 则，，，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，即：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点的纵坐标为，即：点的纵坐标为， ∴； （3）解：将代入，得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 设，则新抛物线的解析式为， 在中，当时，， ∴， ∴， 如图，点在直线上，作轴于， ， 则，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 解得：或， 当时，， 当时，， 综上所述，的长为或． 18．（2023·浙江杭州·模拟预测）已知二次函数（是常数）与一次函数（k是常数，）． (1)若的图象与轴只有一个交点，求b，c的值； (2)若的图象可由抛物线（a是常数，）向左平移2个单位，向上平移1个单位得到，求出的函数关系式； (3)若，当时，恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据题意得到，求出，然后将代入表达式即可求出； （2）首先根据平移规律得到平移后的解析式为，然后根据题意与比较求解即可； （3）首先求出两个函数交点的横坐标分别为0和，根据题意得到，然后代入求解即可． 【解析】（1）∵的图象与轴只有一个交点， ∴二次函数的对称轴为直线 ∴ ∴ ∴ ∴将代入得， ∴； （2）∵（a是常数，）向左平移2个单位，向上平移1个单位得到的解析式为， ∴ 根据题意得， ∴，， ∴， ∴的函数关系式为； （3）联立两个函数的表达式得， ∴ 整理得：， 解得或 即两个函数交点的横坐标分别为0和，如图所示， ∵当时，恒成立，则， ∵， ∴，代入得， 解得：． 19．（2024·浙江·模拟预测）已知：二次函数（m是常数） (1)求该二次函数图象的顶点坐标（用含m的代数式表示）． (2)若该二次函数图象与直线交于A，B两点（点A在点B的右侧），这两点的横坐标分别为，，求证：是个定值． (3)已知点，，若该二次函数图象与线段只有一个交点，求的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)或 【分析】（1）将抛物线解析式化为顶点式求解． （2）利用根与系数的关系即可判断； （3）求得直线的解析式为，即可得到抛物线的顶点在直线上，分别求得抛物线过、点时的的值，结合图象即可求得的取值范围． 【解析】（1）解：， 抛物线顶点坐标为． （2）证明：由题意可知，，是方程，即的两个根， ，， ． 是个定值． （3）解：设所在直线解析式为， 将，代入得， 解得， 直线解析式为． 抛物线顶点坐标为， 抛物线的顶点在直线上， 当时，抛物线与线段有1个交点，当时，抛物线与线段有2个交点， 将代入得， 解得，， 时，抛物线与线段有1个交点， 将代入得， 解得，， 时，抛物线与线段有1个交点， 综上所述，该二次函数图象与线段只有一个交点，的取值范围是或． 20．（2024·贵州六盘水·二模）已知二次函数图象的顶点坐标为，且图象经过点，． (1)求二次函数的表达式 (2)将二次函数的图象向右平移个单位，图象经过点，求m 的值； (3)在由（2）平移后的图象上，当时，函数的最小值为，求n的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了二次函数图像性质，求二次函数解析式，二次函数图像平移性质，二次函数最值，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识． （1）根据题意设二次函数解析式为，再代入一个其图象经过点，求出的值即可求得二次函数的表达式； （2）根据二次函数图像平移性质“左加右减，上加下减”，可得平移后二次函数解析式，再将其图象经过的点代入即可求得m 的值； （3）由（2）可得平移后二次函数解析式，先求出函数取值为时，的值，根据二次函数图像性质，可知的取值在左侧或在右侧，根据分别讨论两种情况即可． 【解析】（1）解：二次函数图象的顶点坐标为， 设二次函数解析式为：， 二次函数图象经过点，， ， 解得：， 二次函数解析式为； （2）解：将二次函数的图象向右平移个单位后， 二次函数解析式为， 平移后二次函数图象经过点， ， 解得：，（舍去）， 的值为； （3）解：由（2）可知：平移后二次函数解析式为，函数图像开口向上，对称轴为， 当函数取值为时，则有， 解得：，， 当时，函数的最小值为， 的取值为或， ①当的取值为时， 则有， 解得：， ②当的取值为时， 则有， 解得：， 的值为或． 能力提升 1．（2024·山东聊城·三模）在平面直角坐标系中，二次函数的图像上有两点、，它的对称轴为直线． (1)当该二次函数图像过点时． ①求t的值； ②当，轴，且到x轴距离为2，求a的值； (2)当时，若对于任意，都有成立，直接写出t的取值范围． 【答案】(1)①3；② (2)或 【分析】本题考查了二次函数的图像和性质，二次函数图像上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）①将点二次函数解析式，可得出，再根据即可得出答案； ②根据轴，得到点A与点B关于对称轴对称，即，再根据，到x轴距离为2，可求得点A和点B的坐标，将两坐标代入函数解析式即可求出a的值； （2）根据已知条件和，求得，由，可知A、B两点在x轴的同一侧，因此可得出答案． 【解析】（1）解：①二次函数图像过点， ， ， ； ②轴， 点A与点B关于对称轴对称， 即， 又， ， 到x轴距离为2， ，， 将A、B两点的坐标代入二次函数解析式得： ， 解得； （2）， ， ， ， ， ， 、在x轴的同一侧， 或． 2．（2024·浙江台州·二模）已知，关于x 的二次函数． (1)若函数经过点，求抛物线的对称轴； (2)若点均在抛物线上，则p q（填“”，“”或“”）. (3)记，当时，始终成立，求t 的取值范围． 【答案】(1)直线 (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数与不等式，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）依据题意，由经过点，可得，再由对称轴是，进而可以判断得解； （2）依据题意，抛物线的对称轴是直线，结合的开口向上，从而抛物线上点离对称轴越近函数值就越小，又，故可判断得解； （3）依据题意，令，又当时，始终成立，即当时，恒成立，再结合抛物线的对称轴为直线，进行分类讨论即可判断得解． 【解析】（1）解：经过点， ． ． 抛物线的对称轴是直线． （2）解：由题意，抛物线的对称轴是直线． 的开口向上， 抛物线上点离对称轴越近函数值就越小． ， ． 故答案为：． （3）解：由题意，令， 又当时，始终成立， 当时，恒成立． 又抛物线的对称轴为直线， 可分以下情形讨论． ①当时，即． ， 当时，随的增大而减小． 当时，． ． 此时无解． ②当时，即． ， ． ． ． 此时． ③当时，即． ， 当时，随的增大而增大． 当时，． ． 故此时无解． 综上，． 3．（2024·河北·模拟预测）某同学将广场上不断变换的灯光秀抽象为线段和抛物线，并将其一部分描画在如图所示的平面直角坐标系中，已知点B的坐标为，抛物线经过点A． (1)求抛物线的解析式及顶点坐标，并判断点B是否在该抛物线上； (2)若线段以每秒2个单位长度的速度向下平移，设平移的时间为t秒． 当线段平移到点B落在抛物线上时，求t的值； 若抛物线同时以每秒3个单位长度的速度向下平移，抛物线在y轴及其右侧的部分与所在的直线总有两个公共点，直接写出t的取值范围． 【答案】(1)，顶点坐标，点B不在抛物线上 (2)； 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数图象的性质与平移规律是解题的关键． （1）将A代入抛物线，求出k值，即可得到解析式及顶点坐标，再将点B的横坐标代入解析式看结果与点B纵坐标是否相等，即可判断点B是否在抛物线上； （2）根据平移的性质得到平移后点B的坐标为，将其代入抛物线，解方程即可；求出平移后点C的坐标为，抛物线的顶点坐标为，直线为，找到临界点，即直线在抛物线顶点（不包含顶点）到过点C（包含点C）之间时，抛物线在y轴及其右侧的部分与所在的直线总有两个公共点，据此列方程求解即可． 【解析】（1）解：将点代入中，得， 解得， ， ， ∴顶点坐标为， 将代入，得， ∴点B不在抛物线上； （2）解：①平移后点B的坐标为， 当抛物线经过点B时，有， 解得； ② 平移后点C的坐标为，抛物线的顶点坐标为， 直线为， 当点C落在直线上时，， 解得：，此时有2个公共点； 当顶点落在直线上时，， 解得：，此时有1个公共点． ∴抛物线在y轴及其右侧的部分与所在的直线总有两个公共点时，t的取值范围为． 4．（2024·安徽六安·模拟预测）如图1，已知抛物线与轴交于点两点，与轴交于点． (1)求的值及点的坐标； (2)如图2，点为直线下方抛物线上的两点，点的横坐标比点的横坐标大1，过点作轴，交于点，过点作轴交于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)如图3，将抛物线先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到新的抛物线，在抛物线的对称轴上有一点，坐标平面内有一点，使得以点为顶点的四边形是矩形，且为矩形的一边，求出此时所有满足条件的点的坐标． 【答案】(1)，； (2)4，； (3)点的坐标为或． 【分析】（1）直接运用待定系数法即可解答； （2）设，则进而得到，再表示出，最后根据二次函数的性质即可解答； （3）分两种情况：当为矩形一边时，且点D在轴的下方，过D作轴，当为矩形一边时，且点D在轴的上方，分别根据等腰直角三角形的性质、平移和矩形的判定定理解答即可． 本题主要考查了运用待定系数法求解析式、运用二次函数的性质求最值、二次函数与几何的综合等知识点，掌握二次函数的性质和矩形的判定定理是解答本题的关键． 【解析】（1）解：把和代入， 得， 解得：， ∴抛物线的解析式为：， 令，则，解得： ∴点的坐标为； （2）解：设直线的解析式为：． 把代入，得， 解得：， ∴直线的解析式为：， 设，则 ， ， ∴当时，有最大值4，此时， 点的坐标为． （3）解：由题意，得， 抛物线的对称轴为直线， ， 当为矩形的一边，且点在轴的下方时，过点作轴，如图所示： 点在抛物线的对称轴直线上， ， ， ，即， 点向右平移2个单位长度，向下平移2个单位长度可得到点， 则点向右平移2个单位长度，向下平移2个单位长度可得到点； 当为矩形的一边，且点在轴的上方时，如图所示： 设抛物线的对称轴直线与轴交于点， 点在抛物线的对称轴直线上， ， ，即， 点向左平移1个单位长度，向上平移1个单位长度可得到点， 则点向左平移1个单位长度，向上平移1个单位长度可得到点， 综上所述，点的坐标为或． $$