微专题四 待定系数法求函数解析式（讲练）（思维导图+5种题型（含3种解题技巧））-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（安徽专用）

第三章 函数 微专题四 待定系数法求函数解析式 （思维导图+5种题型（含3种解题技巧）） 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 01知识导图·思维引航 02题型精研·考向洞悉 ►题型01 待定系数法求一次函数的解析式 ►题型02 待定系数法求反比例函数解析式 ►题型03 待定系数法求二次函数解析式（一般式） ►题型04 待定系数法求二次函数解析式（顶点式） ►题型05 待定系数法求二次函数解析式（交点式） 03分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 02知识导图·思维引航 04题型精研·考向洞悉 ☛题型01 待定系数法求一次函数的解析式 例1．（2024·河北·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线：与y轴交于点A，直线与y轴，x轴交于点B，点C，与交于点，连接，已知的长为4． (1)求点D的坐标及直线的解析式； (2)求的面积； (3)若直线上有一点P使得的面积等于的面积，直接写出点P的坐标． 1.先设出一次函数的解析式； 2.在直线上找两个已知点，将两个已知点的坐标代入所设的一次函数解析式； 3.得到两个关于的二元一次方程组； 4.解方程组，求出。 5.当两条直线平行时，两个一次函数解析式的相等。 6.当两条直线垂直时，两个一次函数的解析式的的乘积为-1. 1．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点，，连接，把沿着过点A的某条直线折叠，使点B落在x轴负半轴上的点D处，折痕与y轴交于点C． (1)求直线的解析式； (2)求点C的坐标． 2．（2023·辽宁沈阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，与直线交于点，点是轴正半轴上一动点，过点作轴的垂线，与直线，分别交于点，，设点的横坐标为． (1)求直线的函数表达式； (2)当的面积为时，求的值； (3)点为轴上一动点，当为等腰直角三角形时，请直接写出的值． 3．（2024·河北秦皇岛·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与 轴，轴分别相交于点 ，点 ，点 是线段的中点，动点 从点开始以每秒1个单位长度的速度沿路线 向终点 匀速运动，设运动的时间为 秒，连接． (1)求直线 的函数解析式． (2)请直接写出点 的坐标________________．（用含 的代数式表示） (3)①当 时，求 的值． ②将 沿翻折，使点落在点 ，当 平行于坐标轴时，请直接写出 的值． 4．（2025·山东临沂·一模）如图，直线 的图象与反比例函数 的图象交于，两点． (1)求一次函数的解析式； (2)请写出不等式的解集： ； (3)将直线 向右平移 3 个单位长度得直线，顺次连接两直线与坐标轴的交点得到四边形，请判断它的形状，并说明理由． 0☛题型02 待定系数法求反比例函数的解析式 例2．（2024·西藏·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)请直接写出满足的x取值范围． 1.先设出反比例函数的解析式； 2.在双曲线上找一个已知点； 3.将已知点的坐标代入设出的反比例函数解析式中，求出； 4.也可以利用面积法求出。 1．（2024·江西·中考真题）如图，是等腰直角三角形，，双曲线经过点B，过点作x轴的垂线交双曲线于点C，连接． (1)点B的坐标为______； (2)求所在直线的解析式． 2．（2024·山东东营·中考真题）如图，一次函数（）的图象与反比例函数（）的图象交于点，，且一次函数与轴，轴分别交于点C，D． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)根据图象直接写出不等式的解集； (3)在第三象限的反比例函数图象上有一点P，使得，求点的坐标． 3．（2024·四川雅安·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象l与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数及一次函数的表达式； (2)求的面积； (3)若点P是y轴上一动点，连接．当的值最小时，求点P的坐标． 4．（2024·山东济南·中考真题）已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点是线段上（不与点A重合）的一点． (1)求反比例函数的表达式； (2)如图1，过点作轴的垂线与的图象交于点，当线段时，求点的坐标； (3)如图2，将点A绕点顺时针旋转得到点，当点恰好落在的图象上时，求点的坐标． 0☛题型03 待定系数法求二次函数解析式 例3．（2024·山东德州·中考真题）已知抛物线，为实数． (1)如果该抛物线经过点，求此抛物线的顶点坐标． (2)如果当时，的最大值为4，求的值． (3)点，点，如果该抛物线与线段（不含端点）恰有一个交点，求的取值范围． 1.当已知三个点的坐标时，设出二次函数的解析式；将三个点的坐标代入设出的解析式中，得出一个关于的三元一次方程组，求出。 2.当已知抛物线的顶点坐标时，可以设顶点式；将顶点坐标代入解析式，再找一个已知点代入解析式，求出系数。 3.当已知抛物线与x轴的两个交点坐标时，可以设出交点式；代入交点坐标的同时再找一个已知点代入解析式，得到一个关于的方程，求出系数。 1．（2025·上海奉贤·一模）新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，那么称这个点为三倍点．已知反比例函数的图象经过点，二次函数的图象经过点A及反比例函数图象上的三倍点，求二次函数的解析式． 2．（2024·江苏徐州·中考真题）如图，A、B为一次函数的图像与二次函数的图像的公共点，点A、B的横坐标分别为0、4．P为二次函数的图像上的动点，且位于直线的下方，连接、． (1)求b、c的值； (2)求的面积的最大值． 3．（2024·浙江·中考真题）已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线． (1)求二次函数的表达式； (2)若点向上平移2个单位长度，向左平移m（）个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值； (3)当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求n的取值范围． 4．（2022·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于O，A两点，顶点P的坐标为，点B为抛物线上一动点，连接，，过点B的直线与抛物线交于另一点C． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点B在直线上，且，求点C的坐标； (3)设抛物线的对称轴与x轴相交于点Q，过Q作直线分别与抛物线相交于点M、N（M在对称轴左侧抛物线上），求的值． 基础巩固 1．（2022·广东广州·中考真题）点在正比例函数（）的图象上，则的值为（   ） A．-15 B．15 C． D． 2．（2024·山西·中考真题）生物学研究表明，某种蛇在一定生长阶段，其体长是尾长的一次函数，部分数据如下表所示，则y与x之间的关系式为（　　） 尾长 6 8 10 体长 45.5 60.5 75.5 A． B． C． D． 3．（2024·重庆·中考真题）已知点在反比例函数的图象上，则的值为（    ） A． B．3 C． D．6 4．（2023·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，正方形的顶点A，B在y轴上，反比例函数的图象经过点C和的中点E，若，则k的值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．（2024·湖南娄底·模拟预测）已知抛物线与x轴只有一个交点，且过点，则n的值为（    ） A．48 B．27 C．12 D．3 6．（2024·贵州毕节·三模）若某函数中的值与对应的值如下表所示，则该函数关系式可能为（    ） 0 1 2 5 2 1 2 5 A． B． C． D． 7．（2024·浙江温州·模拟预测）已知二次函数（，，是常数，）的图象经过点，且对任意的值，始终成立，则该二次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 8．（2024·广西柳州·模拟预测）我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋形”，如图，点A，B，C，D 分别是“蛋形”与坐标轴的交点，已知点 D 的坐标为，为半圆的直径，半圆圆心M的坐标为，半圆半径为4．如果一条直线与“蛋形”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋形”的切线，则经过点 D 的“蛋形”切线的解析式为（    ） A． B． C． D． 9．（2023·江苏淮安·三模）如图，直线经过点和点，交反比例函数的图像于点，过点作轴于点，若，则反比例函数表达式为 ． 10．（2024·辽宁·模拟预测）抛物线 与y轴交于点B，已知点A的坐标为，平移线段得到线段 (A平移到D，B平移到C)，当点D，C都在抛物线上时，直线的解析式为 ． 11．（2024·河南驻马店·模拟预测）请写出一个图象经过第一、二、四象限，且与x轴交于点的一次函数的解析式： ． 12．（2024·四川成都·二模）已知二次函数图像与x轴相交于点，且，若二次函数经过点，则二次函数表达式为 ． 13．（2023·安徽宿州·模拟预测）已知二次函数（为常数，），点是该函数图象上一点． （1）当时，抛物线顶点坐标是 ． （2）当时，，则的取值范围是 ． 14．（2024·安徽淮北·三模）抛物线经过原点，且与x轴的正半轴交于点A，顶点C的坐标为． （1）a的值为 ； （2）若点P为抛物线上一动点，其横坐标为t，作轴，且点Q位于一次函数的图像上．当时，的长度随t的增大而增大，则t的取值范围是 ． 15．（2024·安徽六安·一模）已知抛物线 ，其中为实数． （1）若抛物线经过点，则 ； （2）该抛物线经过点，已知点，，若抛物线与线段有交点，则的取值范围为 ． 16．（2024·安徽·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、两点，交轴于点，直线经过点 (1)求，的值； (2)将平移，平移后点仍在抛物线上，记作点， 此时点 恰好落在直线上，求点 的坐标． 17．（2024·安徽合肥·三模）如图，抛物线与直线的两个交点，都在坐标轴上，与轴上另一交点坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)点是抛物线上的一个动点，连接，，记，①求关于的函数解析式；②求出的最小值． 18．（2024·安徽·三模）抛物线交x轴于，，交y轴于点C，点E为对称轴l与x轴的交点，点P为第一象限内对称轴右侧抛物线上一点，横坐标为m． (1)求抛物线的解析式： (2)求面积的最大值； (3)点Q为l上一点，连接，若，，求m的值． 能力提升 1．（2024·上海·模拟预测）将抛物线沿y轴向上平移，使得平移后的抛物线与x轴交于A，B两点，顶点为C，若，则平移后抛物线的解析式为 ． 2．（2024·上海·模拟预测）将抛物线绕点O顺时针旋转后，得到的抛物线解析式为 3．（2024·江苏泰州·三模）若y是x的函数，其图象过点、，写出一个符合此条件的函数表达式： ． 4．（2023·广西贵港·二模）如图，抛物线截得坐标轴上的线段长，D为的顶点，抛物线由平移得到，截得轴上的线段长．若过原点的直线被抛物线，所截得的线段长相等，则这条直线的解析式为 ． 5．（2024·安徽蚌埠·三模）在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C． (1)求抛物线和直线的函数表达式； (2)点P是第三象限抛物线上的点，过点P作，求的最大值及此时点P的坐标； (3)抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 6．（2024·安徽·模拟预测）已知抛物线与轴只有一个公共点． (1)若抛物线过点，求与的关系式； (2)已知点，，中恰有两点在抛物线上． 求抛物线的解析式； 设直线：与抛物线交于，两点，过中点做轴垂线交直线于点，求证． 7．（2024·安徽六安·一模）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，直线的解析式为． (1)求抛物线的解析式． (2)求的面积． (3)是轴右侧抛物线上的一动点，过点作轴，交直线于点，连接，将沿折叠，当点的对应点恰好落在轴上时，求点的坐标． $$第三章 函数 微专题四 待定系数法求函数解析式 （思维导图+5种题型（含3种解题技巧）） 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 01知识导图·思维引航 02题型精研·考向洞悉 ►题型01 待定系数法求一次函数的解析式 ►题型02 待定系数法求反比例函数解析式 ►题型03 待定系数法求二次函数解析式（一般式） ►题型04 待定系数法求二次函数解析式（顶点式） ►题型05 待定系数法求二次函数解析式（交点式） 03分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 02知识导图·思维引航 04题型精研·考向洞悉 ☛题型01 待定系数法求一次函数的解析式 例1．（2024·河北·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线：与y轴交于点A，直线与y轴，x轴交于点B，点C，与交于点，连接，已知的长为4． (1)求点D的坐标及直线的解析式； (2)求的面积； (3)若直线上有一点P使得的面积等于的面积，直接写出点P的坐标． 【答案】(1)，直线的解析式为 (2) (3)或 【分析】本题主要考查了一次函数的性质及三角形面积的计算，解题的关键是数形结合． （1）把代入，即可求出坐标，再根据点和用待定系数法即可求出函数解析式； （2）先求出，再根据图象即可求解； （3）设，根据或即可求解； 【解析】（1）解：∵， ∴将点代入得， ∴； ∵的长为4， ∴， 设直线的解析式为， 将点和代入得： ， 解得：， 故直线的解析式为； （2）解：令，得， ， ； （3）解：根据题意得：， 设， 令，得， ， 如图： ， 解得：， 或， 解得：， 故或． 1.先设出一次函数的解析式； 2.在直线上找两个已知点，将两个已知点的坐标代入所设的一次函数解析式； 3.得到两个关于的二元一次方程组； 4.解方程组，求出。 5.当两条直线平行时，两个一次函数解析式的相等。 6.当两条直线垂直时，两个一次函数的解析式的的乘积为-1. 1．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点，，连接，把沿着过点A的某条直线折叠，使点B落在x轴负半轴上的点D处，折痕与y轴交于点C． (1)求直线的解析式； (2)求点C的坐标． 【答案】(1) (2)点C的坐标为 【分析】（1）直接利用待定系数法求解一次函数解析式即可； （2）由折叠的性质可知，．可得，．求解，可得．设，则．再结合勾股定理可得答案． 【解析】（1）解：设直线的解析式为． 将点，代入，得， 解得， ∴直线的解析式为． （2）解：由折叠的性质可知，． ∴，． ∵，， ∴，． 在中，根据勾股定理，得， ∴． ∴ 设，则． 在中，根据勾股定理，， ∴， 解得， ∴． ∴点C的坐标为． 2．（2023·辽宁沈阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，与直线交于点，点是轴正半轴上一动点，过点作轴的垂线，与直线，分别交于点，，设点的横坐标为． (1)求直线的函数表达式； (2)当的面积为时，求的值； (3)点为轴上一动点，当为等腰直角三角形时，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)4或8 (3)或 【分析】本题考查了一次函数综合，涉及待定系数法确定函数表达式、平面直角坐标系中求三角形面积、等腰三角形性质、解含绝对值的方程等知识，掌握分类讨论思想，数形结合思想，及待定系数法是解题的关键． （1）根据待定系数法求解即可得到答案； （2）根据三角形的面积公式列方程求解即可得到答案； （3）分类讨论，结合图象，列方程求解． 【解析】（1）解：由直线交轴于点，则； 由直线与直线交于点，则，； ，解得， 直线； （2）解：过点作轴的垂线，与直线，分别交于点，，设点的横坐标为， 直线，直线， ，， ， 的面积为，解得或； 的值为4或8； （3）解：当，时，，解得（不合题意，舍去）或， 过作，且时，如图所示： ，解得（不合题意，舍去）或， 的值为或． 3．（2024·河北秦皇岛·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与 轴，轴分别相交于点 ，点 ，点 是线段的中点，动点 从点开始以每秒1个单位长度的速度沿路线 向终点 匀速运动，设运动的时间为 秒，连接． (1)求直线 的函数解析式． (2)请直接写出点 的坐标________________．（用含 的代数式表示） (3)①当 时，求 的值． ②将 沿翻折，使点落在点 ，当 平行于坐标轴时，请直接写出 的值． 【答案】(1) (2) (3)①；② 的值为 或 或 【分析】（1）利用待定系数法将，两点代入，建立二元一次方程组即可求出直线的解析式； （2）过作于，，利用，即可求出的长，即点的纵坐标即可求出，将纵坐标代入（1）中一次函数即可求出横坐标，从而得出的坐标． （3）①当，可得，根据三角形的面积公式即可求解； ②分平行于轴时，平行于轴时，画出图形，根据折叠的性质以及相似三角形的判定和性质即可求出的值． 【解析】（1）解：直线与轴，轴分别相交于点，点， ， 解得：， 直线的函数解析式为； （2）解：过作于，则， ， ， ，，， ，， ， ， 点在直线上，直线的函数解析式为， ， 解得：， 点的坐标为：， 故答案为：； （3）解：①点是线段的中点，， ， 点的坐标为：，， ， ， ， ， ， ； ②平行于轴时， 平行于轴， ， 将沿翻折，使点落在点处， ， ， ， ； 平行于轴时，又分两种情况，如图： 平行于轴时，过点作轴交于， 轴， ，， 将沿翻折，使点落在点处， ，，， ， ， ， ， ， ， 点是线段的中点，，轴， ， ，， ， ， ， ，， ， ； 平行于轴时，过点作轴交于， 轴， ， 将沿翻折，使点落在点处， ，，， ， ， ，， ， ， ， ， 点是线段的中点，，轴， ， ， ， ， ； 综上，的值为或或． 4．（2025·山东临沂·一模）如图，直线 的图象与反比例函数 的图象交于，两点． (1)求一次函数的解析式； (2)请写出不等式的解集： ； (3)将直线 向右平移 3 个单位长度得直线，顺次连接两直线与坐标轴的交点得到四边形，请判断它的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)四边形是菱形，见解析 【分析】（1）将点代入反比例函数解析式可求m的值，再用待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）根据函数图象的交点坐标可求得不等式的解集； （3）先求解平移后的解析式为，再分别求解两个一次函数与坐标轴的交点坐标，再结合菱形的判定可得结论． 【解析】（1）解：点在反比例函数的图象上， ， 将点，代入中， 得， 解得 ， 一次函数的解析式为； （2）解：点，， 由图象可得不等式的解集为或； （3）解：四边形为菱形．理由如下： 如图，连接，，    由向右平移 3 个单位长度得直线， ∴的函数解析式为：， 当，则，当，则， ∴，， 同理可得：，， ∴，， ∵， ∴四边形为菱形． 0☛题型02 待定系数法求反比例函数的解析式 例2．（2024·西藏·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)请直接写出满足的x取值范围． 【答案】(1)反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为 (2)或 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合： （1）先把点A坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式，进而求出点B的坐标，再把A、B坐标代入一次函数解析式中求出一次函数解析式即可； （2）根据函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可． 【解析】（1）解：依题意，点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的解析式为； 又为一次函数的图象与反比例函数的图象的交点， ． ∵，两点均在一次函数的图象上， ，解得， 一次函数的解析式为． 综上所述，反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为； （2）解：由函数图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象上方时，自变量的取值范围为或， ∴当时，x的取值范围为或． 1.先设出反比例函数的解析式； 2.在双曲线上找一个已知点； 3.将已知点的坐标代入设出的反比例函数解析式中，求出； 4.也可以利用面积法求出。 1．（2024·江西·中考真题）如图，是等腰直角三角形，，双曲线经过点B，过点作x轴的垂线交双曲线于点C，连接． (1)点B的坐标为______； (2)求所在直线的解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】题目主要考查一次函数与反比例函数综合问题，等腰三角形的性质，熟练掌握一次函数与反比例函数的相应性质是解题关键． （1）过点B作轴，根据等腰直角三角形的性质得出，即可确定点B的坐标； （2）根据点确定反比例函数解析式，然后即可得出，再由待定系数法确定一次函数解析式即可． 【解析】（1）解：过点B作轴于D，如图所示： ∵是等腰直角三角形，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）由（1）得，代入， 得， ∴， ∵过点作x轴的垂线交双曲线于点C， ∴当时，， ∴， 设直线的解析式为，将点B、C代入得： ，解得， ∴直线的解析式为． 2．（2024·山东东营·中考真题）如图，一次函数（）的图象与反比例函数（）的图象交于点，，且一次函数与轴，轴分别交于点C，D． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)根据图象直接写出不等式的解集； (3)在第三象限的反比例函数图象上有一点P，使得，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)点坐标为 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数及一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）将点坐标代入反比例函数解析式，求出，再将点坐标代入反比例函数解析式，求出点坐标，最后将，两点坐标代入一次函数解析式即可解决问题； （2）利用反比例函数以及一次函数图象，即可解决问题； （3）根据与的面积关系，可求出点的纵坐标，据此可解决问题． 【解析】（1）解：将代入得， ∴， 反比例函数的解析式为， 将代入得，， 点的坐标为． 将点和点的坐标代入得， ， 解得， 一次函数的解析式为； （2）解：根据所给函数图象可知， 当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，即， 不等式的解集为：或． （3）解：将代入得，， 点的坐标为， ， ． 将代入得，， 点的坐标为， ， 解得． ∵点在第三象限， ∴， 将代入得，， 点坐标为． 3．（2024·四川雅安·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象l与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数及一次函数的表达式； (2)求的面积； (3)若点P是y轴上一动点，连接．当的值最小时，求点P的坐标． 【答案】(1)一次函数的表达式为，反比例函数表达式为 (2) (3) 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题时要熟练掌握并能灵活运用反比例函数的性质是关键． （1）依据题意，由在反比例函数上，可得的值，进而求出反比例函数，再将代入求出的坐标，最后利用待定系数法求出一次函数的解析式； （2）依据题意，设直线交轴于点，交轴于点，由直线为，可得，故，再由，进而计算可以得解； （３）依据题意，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则的最小值等于的长，结合)与关于轴对称，故为，又，可得直线为，再令，则，进而可以得解． 【解析】（1）解：由题意，∵在反比例函数上， ∴． ∴反比例函数表达式为． 又在反比例函数上， ∴． ∴． 设一次函数表达式为， ∴， ∴，． ∴一次函数的表达式为． （2）解：由题意，如图，设直线l交x轴于点A，交y轴于点B， 又直线l为， ∴，． ∴，， ∴； （3）解：由题意，如图，作点M关于y轴的对称点，连接交y轴于点P，则的最小值等于的长． ∵与关于y轴对称， ∴为． 又，设的解析式为， 则，解得， ∴直线为． 令，则． ∴． 4．（2024·山东济南·中考真题）已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点是线段上（不与点A重合）的一点． (1)求反比例函数的表达式； (2)如图1，过点作轴的垂线与的图象交于点，当线段时，求点的坐标； (3)如图2，将点A绕点顺时针旋转得到点，当点恰好落在的图象上时，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)点． 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，交点坐标满足两个函数关系式是关键． （1）待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）设点，那么点，利用反比例函数图象上点的坐标特征解出点B的坐标即可； （3）过点作轴，过点作于点，过点作于点，可得，则设点，得到点，根据反比例函数图象上点的坐标特征求出n值，继而得到点E坐标． 【解析】（1）解：将代入得， ， 将代入得，解得， 反比例函数表达式为， （2）解：如图，设点，那么点，    由可得， 所以， 解得（舍）， ; （3）解：如图，过点作轴，过点作于点，过点作于点，   ， 点绕点顺时针旋转， ， ， ， ， 设点， 点， ， 解得， 点或（舍），此时点． 0☛题型03 待定系数法求二次函数解析式 例3．（2024·山东德州·中考真题）已知抛物线，为实数． (1)如果该抛物线经过点，求此抛物线的顶点坐标． (2)如果当时，的最大值为4，求的值． (3)点，点，如果该抛物线与线段（不含端点）恰有一个交点，求的取值范围． 【答案】(1) (2)， (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求出函数表达式，然后化成顶点式，从而解得答案； （2）先求出函数的对称轴为，判断函数的开口向上，判断出当时，取最大值4，代入从而求得答案； （3）当，，当时，，当交点在线段之间时，那么且，或者当时，，从而解得答案； 【解析】（1）解：该抛物线经过点 解得 顶点坐标为 （2）解： 对称轴为，函数图象开口向上 ， 当时，取最大值4 解得， （3）解： 当， 当时， 当交点在线段之间时，当时， 解得； 当时， 解得； 综上，或． 1.当已知三个点的坐标时，设出二次函数的解析式；将三个点的坐标代入设出的解析式中，得出一个关于的三元一次方程组，求出。 2.当已知抛物线的顶点坐标时，可以设顶点式；将顶点坐标代入解析式，再找一个已知点代入解析式，求出系数。 3.当已知抛物线与x轴的两个交点坐标时，可以设出交点式；代入交点坐标的同时再找一个已知点代入解析式，得到一个关于的方程，求出系数。 1．（2025·上海奉贤·一模）新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，那么称这个点为三倍点．已知反比例函数的图象经过点，二次函数的图象经过点A及反比例函数图象上的三倍点，求二次函数的解析式． 【答案】 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，反比例函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法．先求出反比例函数解析式为，然后再求出反比例函数图象上的三倍点，然后用待定系数法求出二次函数解析式即可． 【解析】解：设反比例函数解析式为 ， ∵经过点， ∴， ∴反比例函数为， 设三倍点坐标为，代入反比例函数得 ， 解得：或， 则三倍点为或， 把，，代入二次函数得： 解得， ∴二次函数解析式为：． 2．（2024·江苏徐州·中考真题）如图，A、B为一次函数的图像与二次函数的图像的公共点，点A、B的横坐标分别为0、4．P为二次函数的图像上的动点，且位于直线的下方，连接、． (1)求b、c的值； (2)求的面积的最大值． 【答案】(1) (2)最大值为8 【分析】本题考查二次函数的综合，一次函数的性质，用割补法得出△PAB的面积是关键． （1）先求出A，B的坐标，再用待定系数法求出b，c； （2）由（1）可得：，设，作交于E，则，则，得出面积，即可解答． 【解析】（1）解：当时，；当时，， 则，， 则， 解得：； （2）解：由（1）可得：，设，作交于E， 则，则， ∴， 当时，最大值为8． 3．（2024·浙江·中考真题）已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线． (1)求二次函数的表达式； (2)若点向上平移2个单位长度，向左平移m（）个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值； (3)当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求n的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了待定系数法，二次函数的图象与性质， （1）采用待定系数法即可求解二次函数关系式； （2）先求出平移后点B的坐标，然后把坐标代入解析式即可； （3）分为，时，时，建立方程解题即可． 【解析】（1）解：设二次函数的解析式为，把代入得， 解得， ∴； （2）解：点B平移后的点的坐标为， 则，解得或（舍）， ∴m的值为； （3）解：当时， ∴最大值与最小值的差为，解得：不符合题意，舍去； 当时， ∴最大值与最小值的差为，符合题意； 当时， 最大值与最小值的差为，解得或，不符合题意； 综上所述，n的取值范围为． 4．（2022·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于O，A两点，顶点P的坐标为，点B为抛物线上一动点，连接，，过点B的直线与抛物线交于另一点C． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点B在直线上，且，求点C的坐标； (3)设抛物线的对称轴与x轴相交于点Q，过Q作直线分别与抛物线相交于点M、N（M在对称轴左侧抛物线上），求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意得出，，将点坐标代入求得的值； （2）作轴于，作轴于，可求得，进而得出，根据，得出，进一步得出点和点重合； （3）将轴向左平移4个单位，作于，作于，可得出抛物线的解析式为：，设，，可计算得出，，由得到，代入整理得到，然后计算即可． 【解析】（1）解：抛物线的顶点的坐标为， 抛物线的解析式为：， 抛物线过点， ， ， 抛物线的函数表达式为：； （2）解：如图1， 作轴于，作轴于， 由得， ，， ， ， ， ， ， ，，， ， ，， ， ， ， 点和点重合， ； （3）解：如图2， 将轴向左平移4个单位，的值保持不变，此时原点是点，作于，作于， 抛物线的解析式为：， 设，， ，，，，，， ∵于，作于， ∴， ∴， ∴， ∴，整理得， ∴， ∴ ． 基础巩固 1．（2022·广东广州·中考真题）点在正比例函数（）的图象上，则的值为（   ） A．-15 B．15 C． D． 【答案】D 【分析】直接把已知点代入，即可求出k的值． 【解析】解：∵点在正比例函数的图象上， ∴， ∴， 故选：D． 2．（2024·山西·中考真题）生物学研究表明，某种蛇在一定生长阶段，其体长是尾长的一次函数，部分数据如下表所示，则y与x之间的关系式为（　　） 尾长 6 8 10 体长 45.5 60.5 75.5 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查用待定系数法求一次函数关系式，一次函数图象上点的坐标特征，根据题意可设，利用待定系数法求出k，b即得x、y之间的函数关系式． 【解析】解：∵蛇的体长是尾长的一次函数， 设， 把时，；时，代入得， 解得， ∴y与x之间的关系式为． 故选：A． 3．（2024·重庆·中考真题）已知点在反比例函数的图象上，则的值为（    ） A． B．3 C． D．6 【答案】C 【分析】本题考查了待定系数法求反比例解析式，把代入求解即可． 【解析】解：把代入，得 ． 故选C． 4．（2023·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，正方形的顶点A，B在y轴上，反比例函数的图象经过点C和的中点E，若，则k的值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】由正方形的性质得，可设，，根据可求出的值． 【解析】解：∵四边形是正方形， ∵ ∵点为的中点， ∴ 设点C的坐标为，则, ∴， ∵点C，E在反比例函数的图象上， ∴， 解得，， 故选：B． 5．（2024·湖南娄底·模拟预测）已知抛物线与x轴只有一个交点，且过点，则n的值为（    ） A．48 B．27 C．12 D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点、求抛物线解析式等知识点，正确求得抛物线的解析式为解题的关键． 根据点A、B的坐标易求该抛物线的对称轴是直线，故设抛物线解析式为，直接将代入，得到方程求解即可． 【解析】解：∵抛物线过点， ∴对称轴是直线， 又∵抛物线与x轴只有一个交点， ∴顶点为， ∴设抛物线解析式为， 把代入，得：，即． 故选：B． 6．（2024·贵州毕节·三模）若某函数中的值与对应的值如下表所示，则该函数关系式可能为（    ） 0 1 2 5 2 1 2 5 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数的性质．根据一次函数、反比例函数、二次函数图象上点的坐标特征解答即可． 【解析】解：根据表格数据，当时，值随增大而增大； 当时，值随增大而减少； 可知该函数是二次函数，且顶点坐标为， ∴函数满足所有数据的对应关系， 故选：C． 7．（2024·浙江温州·模拟预测）已知二次函数（，，是常数，）的图象经过点，且对任意的值，始终成立，则该二次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，根据当时，，，得出当时，再根据图象经过点．得出，，再根据对任意实数，恒有，即恒成立，整理得 ，然后由判别式，求出的值，从而得出结论，解题的关键熟练掌握知识点的应用． 【解析】解：由题意可知，当时，， ∵， ∴当时，， 即， ∴时，， ∵图象经过点， ∴当时，， 即，， 解得：，， ∵对任意实数，恒有， ∴恒成立，即， ∴，即， 解得：， 此时， ∴抛物线的表达式为， 故选：． 8．（2024·广西柳州·模拟预测）我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋形”，如图，点A，B，C，D 分别是“蛋形”与坐标轴的交点，已知点 D 的坐标为，为半圆的直径，半圆圆心M的坐标为，半圆半径为4．如果一条直线与“蛋形”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋形”的切线，则经过点 D 的“蛋形”切线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆的基本性质、求二次函数解析式、二次函数与一元二次方程的综合等知识点，求得抛物线的 解析式成为解题的关键. 由为半圆的直径，半圆圆心M的坐标为，半圆半径为4，可得点A坐标为，点B坐标为，再结合点的坐标为利用待定系数法确定抛物线解析式，过点D的“蛋圆”切线过D点，所以本题可设它的解析式为，因为相切，所以它们的交点只有一个，最后根据一元二次方程根的判别式列方程计算即可． 【解析】解：∵为半圆的直径，半圆圆心M的坐标为，半圆半径为4， ∴点A坐标为，点B坐标为， ∵抛物线过点A、B、D， ∴设抛物线的解析式为， 又∵抛物线过点D ， ∴，即， ∴， ∵经过点D的“蛋圆”切线过D 点， ∴设它的解析式为， 又∵抛物线与直线相切， ∴，即只有一个解， ∴，解得：， 即经过点D的“蛋圆”切线的解析式为. 故选A. 9．（2023·江苏淮安·三模）如图，直线经过点和点，交反比例函数的图像于点，过点作轴于点，若，则反比例函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数与反比例函数综合，涉及待定系数法确定一次函数解析式、待定系数法确定反比例函数解析式等，先由题中条件求出点横坐标，再由待定系数法确定一次函数解析式，将点横坐标代入求出点坐标，再由待定系数法列式求出反比例函数解析式即可，掌握一次函数及反比例函数图象与性质，灵活运用待定系数法确定函数解析式是解决问题的关键． 【解析】解：， ， ， ，即， 过点作轴于点， 点的横坐标为， 直线经过点和点， 设直线，将点和点代入得， 解得， 直线， 直线交反比例函数的图像于点， 当时，，即， ，即反比例函数表达式为， 故答案为：． 10．（2024·辽宁·模拟预测）抛物线 与y轴交于点B，已知点A的坐标为，平移线段得到线段 (A平移到D，B平移到C)，当点D，C都在抛物线上时，直线的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，一次函数图象的平移，先求出点B坐标，由平移得，，设，则，再根据点C在抛物线上求出m的值，进而求出D，C坐标，最后利用待定系数法求解． 【解析】解：当时，， ， ，， 平移线段得到线段 (A平移到D，B平移到C)， ，， 设，则，即， 点C在抛物线上， ， 解得， ，， 设直线的解析式为， 将，代入，得， 解得， 设直线的解析式为， 故答案为：． 11．（2024·河南驻马店·模拟预测）请写出一个图象经过第一、二、四象限，且与x轴交于点的一次函数的解析式： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确一次函数的性质，由题意可以得到k、b的正负情况；根据一个一次函数的图象经过第一、二、四象限且与x轴交于点可以得到k、b的正负情况，然后即可写出一个符合要求的一次函数解析式，注意本题答案不唯一． 【解析】∵一次函数经过第一、二、四象限， ∴ ∵一次函数与x轴交于点 ∴符合条件的一个函数解析式是 故答案为：（答案不唯一）． 12．（2024·四川成都·二模）已知二次函数图像与x轴相交于点，且，若二次函数经过点，则二次函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式及根于系数的关系，熟练掌握待定系数法及根与系数的关系是解题关键． 利用根与系数的关系得出，再将点C代入求解即可． 【解析】解：∵， ∴， ∴， 将三点代入到中，得：， ∴， 解得：， ∴， ∴， 故答案为：． 13．（2023·安徽宿州·模拟预测）已知二次函数（为常数，），点是该函数图象上一点． （1）当时，抛物线顶点坐标是 ． （2）当时，，则的取值范围是 ． 【答案】 ； 或． 【分析】把代入解析式，配方解答即可； 根据抛物线解析式得出对称轴为直线，分，两种情况讨论，根据当时，，得出的范围即可求解． 【解析】解：当时，， 抛物线顶点坐标是； 故答案为：； ， 对称轴为直线， 当时，，则抛物线与轴的交点为， 点是函数为常数，图象上一点，当时，， 当时，抛物线开口向上，当时，， 当时，， 即， 解得：， 当时，抛物线开口向下，当，抛物线随的增大而减小，， 当时，，则，恒成立， 综上所述，或， 故答案为：或． 14．（2024·安徽淮北·三模）抛物线经过原点，且与x轴的正半轴交于点A，顶点C的坐标为． （1）a的值为 ； （2）若点P为抛物线上一动点，其横坐标为t，作轴，且点Q位于一次函数的图像上．当时，的长度随t的增大而增大，则t的取值范围是 ． 【答案】 1 【分析】本题考查二次函数的图像与性质、坐标与图形，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键． （1）将顶点C坐标代入抛物线表达式中求解即可； （2）先求得抛物线和直线的交点坐标，设，，分和两种情况，利用坐标与图形性质，用t表示出，根据二次函数的性质分别求解即可． 【解析】解：（1）由题意，将代入中，得， 解得， 故答案为：1； （2）由（1）得抛物线的表达式为， 联立方程组，解得或， ∴抛物线与直线的交点坐标为，， 设，， 当时，， ∵， ∴当时，的长度随t的增大而减小，不符合题意； 当时，， ∵， ∴当时，的长度随t的增大而增大，当时，的长度随t的增大而减小， 故答案为：． 15．（2024·安徽六安·一模）已知抛物线 ，其中为实数． （1）若抛物线经过点，则 ； （2）该抛物线经过点，已知点，，若抛物线与线段有交点，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】题目主要考查二次函数的基本性质及分类讨论思想，理解题意，熟练掌握二次函数的基本性质是解题关键． （1）将点代入解析式求解即可； （2）将代入抛物线，可得，化简解析式为顶点式，根据题意分两种情况进行讨论分析求解即可． 【解析】解：（1）将点代入解析式可得： ， 解得：， 故答案是：5； （2）将代入抛物线， 可得，则， ∵抛物线与线段有交点， ∴在对称轴上，在对称轴右侧． 当时，如图所示：   ， 此不等式无解； 当时，如图所示：   ， 解得：， 故答案为：． 16．（2024·安徽·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、两点，交轴于点，直线经过点 (1)求，的值； (2)将平移，平移后点仍在抛物线上，记作点， 此时点 恰好落在直线上，求点 的坐标． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）将点代入抛物线解析式即可求得，根据求出的抛物线解析式求出点坐标后，将其代入直线解析式即可求得； （2）先求出点坐标，设，根据平移性质求出平移后点的坐标，再将其代入直线解析式后即可求出，从而求得点的坐标． 【解析】（1）解：将代入抛物线解析式可得， ， 解得， 即抛物线解析式为， 当，， 解得或， ， 将其代入可得， 解得， 故，． （2）解：将代入抛物线解析式得， ， 设， 根据平移性质可得，平移后得到的点坐标应为， 此时点恰好落在直线中， 则， 解得， 当时，； 时，， 故点或． 17．（2024·安徽合肥·三模）如图，抛物线与直线的两个交点，都在坐标轴上，与轴上另一交点坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)点是抛物线上的一个动点，连接，，记，①求关于的函数解析式；②求出的最小值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查了待定系数法，二次函数最值，二次函数在线段长的应用； （1）由抛物线的解析式可求，将其代入直线的解析式得，由直线解析式可求，将、的坐标分别代入抛物线的解析式，即可求解； （2）由可求得，由在抛物线上得，即可求解；②将化成顶点式即可求解． 掌握待定系数法，会求二次函数的最值是解题的关键． 【解析】（1）解：由得， 当时，， ， ， ， 当时， ， ， ， 解得：， ； （2）解：①由题意得 ， 点是抛物线上的一个动点， ， ； ② ， ． 18．（2024·安徽·三模）抛物线交x轴于，，交y轴于点C，点E为对称轴l与x轴的交点，点P为第一象限内对称轴右侧抛物线上一点，横坐标为m． (1)求抛物线的解析式： (2)求面积的最大值； (3)点Q为l上一点，连接，若，，求m的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了二次函数综合，求二次函数解析式，全等三角形的性质与判定： （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求先求出，，过P作轴于F，则点F坐标为，再根据表示出，最后利用二次函数的性质求解即可； （3）分两种情况：当点Q在的下方时，和当点Q在的上方时，过C、Q分别作直线的垂线，交于M、N两点，证明，得到．进而得到方程或，解方程即可得到答案． 【解析】（1）解：把点、代入解析式得，解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：∵抛物线解析式为， ∴对称轴为直线， ∴点E的坐标为， 在中，当时，，则， 由题意得，点P的坐标为， 过P作轴于F，则点F坐标为． ∴ ， ∵， 当时，面积的最大值为． （3）解：由题意可知，点Q的横坐标为1， 当点Q在的下方时，如图，过C、Q分别作直线的垂线，交于M、N两点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴，解得 ∵点P为第一象限对称轴右侧图象上一点，故舍去， ∴； 当点Q在的上方时，如图，过C、Q分别作直线的垂线，交于M、N两点， 同理可得：， ∴． ∵，， ∴，解得， ∵点P为第一象限对称轴右侧图象上一点，故舍去， ∴； 综上所述：或 能力提升 1．（2024·上海·模拟预测）将抛物线沿y轴向上平移，使得平移后的抛物线与x轴交于A，B两点，顶点为C，若，则平移后抛物线的解析式为 ． 【答案】 【分析】此题考查了抛物线的性质，等边三角形的性质，三角函数值求特殊角度，设平移后的抛物线解析式为，由推出，得到是等边三角形，进而得到，将其代入即可求出抛物线的解析式． 【解析】设平移后的抛物线解析式为， ∵， ∴， ∵抛物线沿y轴向上平移，使得平移后的抛物线与x轴交于A，B两点，顶点为C，设抛物线与x轴正半轴交点为B， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 将代入，得， 解得（舍）或， ∴抛物线的解析式为， 故答案为． 2．（2024·上海·模拟预测）将抛物线绕点O顺时针旋转后，得到的抛物线解析式为 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据题意得出旋转后顶点坐标横纵坐标变成原来的相反数，开口方向相反，开口大小不变是解本题的关键．根据题意将抛物线绕点O顺时针旋转后，顶点坐标横纵坐标变成原来的相反数，开口方向相反，开口大小不变，据此解答即可． 【解析】解：∵抛物线的顶点是，绕点O顺时针旋转后， ∴顶点坐标为，开口大小不变，开口方向相反，即， ∴旋转后的解析式为． 故答案为：． 3．（2024·江苏泰州·三模）若y是x的函数，其图象过点、，写出一个符合此条件的函数表达式： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查用待定系数法求函数解析式，利用待定系数法求解即可． 【解析】解：当y是x的一次函数时，设函数解析式为， 得，， 解得， ∴该函数解析式为， 当y是x的反比例函数时，设函数解析式为， 得，， ∴该函数解析式为， 当y是x的二次函数，且顶点为时，设二次函数解析式为， 把代入得，， 解得， ∴该函数解析式为， 故答案为：或或（答案不唯一）． 4．（2023·广西贵港·二模）如图，抛物线截得坐标轴上的线段长，D为的顶点，抛物线由平移得到，截得轴上的线段长．若过原点的直线被抛物线，所截得的线段长相等，则这条直线的解析式为 ． 【答案】 【分析】根据已知条件，待定系数求得抛物线，的解析式，设过原点的直线解析式为，过原点的直线被抛物线，所截得的线段长相等，即可求解． 【解析】解：∵抛物线截得坐标轴上的线段长，D为的顶点， ，， 设的解析式为，代入，得， ， 解得：， ∴的解析式为， ∵抛物线由平移得到，截得轴上的线段长． ∴， 则的解析式为， 即 设过原点的直线解析式为，与，分别交于点，如图所示， 联立， 即， ∴，， ∴、两点横坐标之差为， 联立， 即， ∴，， ∴、两点横坐标之差为， ∵ ∴， 解得，故直线解析式为． 故答案为：． 5．（2024·安徽蚌埠·三模）在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C． (1)求抛物线和直线的函数表达式； (2)点P是第三象限抛物线上的点，过点P作，求的最大值及此时点P的坐标； (3)抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)． (2)有最大值，最大值为．点P的坐标为 (3)存在， 【分析】（1）根据待定系数法求出抛物线的函数表达式，再求出，根据待定系数法即可求出直线的函数表达式； （2）过点P作轴，交x轴于点E，交于点F．设点，得出，，表示出，在中，求出，在中，表示出，从而表示出，，根据二次函数最值求法即可求出有最大值时，点P的坐标． （3）过点A作交的延长线于点G，取的中点H，连接．求出，根据，，得出点O，A，G，C在上，再根据，得出点G在直线上，设，证出是等腰直角三角形，根据直角三角形性质得出，再根据勾股定理列方程解出，求出直线的函数表达式，即可求解； 【解析】（1）解：将点和点代入抛物线中， 得， 解得， ∴抛物线的函数表达式为． 当时，， ∴， 设直线的函数表达式为，代入点和点， 得， 解得， ∴直线的函数表达式为； （2）过点P作轴，交x轴于点E，交于点F． 设点， ∴，，， 在中，， ∴， 在中，， 在中，，即， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为． 此时点P的坐标为． （3）存在．过点A作交的延长线于点G，取的中点H，连接． ∵H是的中点， ∴， ∵，， ∴点O，G在以为直径的圆上， ∴点O，A，G，C在上， ∵， ∴， ∴点G在直线上， ∴设， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∵H是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线的函数表达式为， 代入点和， 得， 解得：， ∴直线的函数表达式为， ∵， ∴对称轴为直线， 当时，， ∴． 6．（2024·安徽·模拟预测）已知抛物线与轴只有一个公共点． (1)若抛物线过点，求与的关系式； (2)已知点，，中恰有两点在抛物线上． 求抛物线的解析式； 设直线：与抛物线交于，两点，过中点做轴垂线交直线于点，求证． 【答案】(1) (2)①；②见解析 【分析】（1）将点代入抛物线解析式可得，再由题意可得，即可求解； （2）由题意可知，根据函数的定义可知，不能同时在抛物线上，分两种情况讨论：当，在抛物线上时，，求得舍去；当，在抛物线上时，求得，即可求抛物线的解析式为； 联立方程组，可得，由根与系数的关系得，，求出的中点，，则，进一步得出，根据等边对等角得出，，由三角形内角和得出可得出，进而可得出，即可证明． 【解析】（1）解：抛物线过点， ， ， 抛物线与轴只有一个公共点， ， ； （2）抛物线与轴只有一个公共点， ， ，的横坐标相同， ，不能同时在抛物线上， ，或，两点在抛物线上， 当，在抛物线上时， ， ， ， ， 舍去； 当，在抛物线上时， 抛物线的对称轴为， ， ， ， ， 将点代入，可得， 抛物线的解析式为； 联立方程组， ， ，， ， 的中点， ． 轴交直线于点， ， ， ∴， ∴，， 又， ∴， ∴， 即， ． 7．（2024·安徽六安·一模）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，直线的解析式为． (1)求抛物线的解析式． (2)求的面积． (3)是轴右侧抛物线上的一动点，过点作轴，交直线于点，连接，将沿折叠，当点的对应点恰好落在轴上时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）对于直线，分别当时，当时，求出、的坐标，并代入抛物线解析式，即可求解； （2）对于抛物线的解析式当时，求出，由三角形面积公式，即可求解； （3）①在直线下方时，过作轴交于，由平行四边形的判定方法得四边形是平行四边形，由平行四边形的性质得，设，有勾股定理得，即可求解； ②在直线上方时，同理可求解． 【解析】（1）解：当时，， 当时，， 解得：， ，， 将，代入得 ， 解得：， 故抛物线的解析式为； （2）解：当时， ， 解得：，， ， ， 由（1）得：， ； （3）解：①如图，在直线下方时， 过作轴交于， 由（2）得：， ， 轴， ， ， 由翻折得：， ， ， 四边形是平行四边形， ； 设，则有 ， ， ， 由折叠得：， ， ， ， 解得：，（舍去）， ， ； ②如图，在直线上方时， 同理可得：，， 设， ， ， 解得：，（舍去）， ， ； 综上所述：点的坐标为或． $$