微专题七 函数中的最值问题（讲练）（思维导图+5种题型（含4种解题技巧））-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（安徽专用）

第三章 函数 微专题七 函数中的最值问题 （思维导图+5种题型（含4种解题技巧）） 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 01知识导图·思维引航 02题型精研·考向洞悉 ►题型01 二次函数中的面积最值问题 ►题型02 函数中的最短路径问题 ►题型03 二次函数中线段的和差积商最值问题 ►题型04 二次函数中的其他最值问题 ►题型05 二次函数实际应用中的最值问题 03分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 02知识导图·思维引航 04题型精研·考向洞悉 ☛题型01 二次函数中的面积最值问题 例1．（2024·四川遂宁·中考真题）二次函数的图象与轴分别交于点，与轴交于点，为抛物线上的两点． (1)求二次函数的表达式； (2)当两点关于抛物线对称轴对称，是以点为直角顶点的直角三角形时，求点的坐标； (3)设的横坐标为，的横坐标为，试探究：的面积是否存在最小值，若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由． 1.先根据面积公式表示出几何图形的面积； 2.化成二次函数的形式； 3.对二次函数的解析式进行配方； 1．（2023·山东聊城·中考真题）如图①，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，连接AC，BC.点P是x轴上任意一点． (1)求抛物线的表达式； (2)点Q在抛物线上，若以点A，C，P，Q为顶点，AC为一边的四边形为平行四边形时，求点Q的坐标； (3)如图②，当点从点A出发沿x轴向点B运动时（点P与点A，B不重合），自点P分别作，交AC于点E，作，垂足为点D．当m为何值时，面积最大，并求出最大值． 2．（2024·安徽六安·模拟预测）如图1，抛物线与轴交于点，点（点位于点左侧），与轴交于点，且． (1)求的值； (2)连接，点是直线下方抛物线上的一点，连接． （ⅰ）如图2，与交于点，若，求此时点的坐标； （ⅱ）如图3，过点作交于点，连接，求的最大值． 0☛题型02 二次函数中的最短路径问题 例2．（23-24九年级上·广西崇左·期末）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，为等腰直角底边上的高，抛物线的顶点为点A，且经过B、C两点，B、C两点在x轴上． (1)求该抛物线的解析式； (2)如图2，点E为抛物线上位于直线上方的一点， 过点E作轴交直线于点N，求线段的长度最大值及此时点E的坐标； (3)如图2，点是抛物线上的一点，点P为对称轴上一动点，在(2)的条件下， 当线段的长度最大时，求的最小值． 1.根据将军饮马模型做出所求点； 2.联立解析式求出点的坐标； 1．（2023·广东云浮·一模）如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，抛物线的对称轴交抛物线于点G，在y轴上是否存在点H，使得的周长最小？若存在，求出点H坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，点D为直线上方抛物线上的动点，于点E，求线段的最大值． 2．（2023·山东临沂·二模）如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形的面积S的最大值及此时D点的坐标； (3)在抛物线的对称轴上找一点P，使的值最小，直接写出P点坐标． 0☛题型03 二次函数中线段的和差积商最值问题 例3．（2024·山西·模拟预测）如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），其中，与轴相交于点，抛物线的对称轴与轴交于点．点是抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图所示，点是抛物线上位于第一象限内的一个动点，过点作，求的最大值． 1.设出点的坐标，通常只设横坐标，纵坐标根据函数解析式用横坐标表达； 2.表示出各线段的长度； 3.对和差积商进行化简，化成二次函数的形式； 4.配方求最值。 1．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，已知抛物线经过和两点，直线与x轴相交于点C，P是直线上方的抛物线上的一个动点，轴交于点D． (1)求该抛物线的解析式； (2)若轴交于点E，求的最大值． 2．（2024·安徽六安·模拟预测）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴交于，B两点，与轴交于点，P在第二象限内的抛物线上，与交于点Q，与轴交于点D． (1)求，的值； (2)若，求点Q的横坐标； (3)记，是否有最大值，若有，请求出的最大值；若没有，请说明理由． 0☛题型04 二次函数实际应用中的最值问题 例4．（2024·安徽六安·二模）某水果店今年2月至5月份销售甲、乙两种新鲜水果，已知甲种水果每月售价与x月份之间关系如下表所示： 月份x 2 3 4 5 售价份（元） 12 8 6 4.8 甲种水果进价元/千克与月份x之间满足，销售量P千克与x之间满足． 乙种水果每个月售价与月份x之间满足，对应图象如图所示． 乙种水果进价元/千克与x之间满足，平均每月销售160千克． (1)用所学的函数模型刻画与x之间的函数关系式 (2)求与x之间的函数关系式； (3)试求水果店哪个月销售甲、乙两种水果获得的总利润最大，最大总利润是多少元？ 1.设出未知数； 2.找出等量关系式； 3.列出函数表达式； 4.配方求最值。 1．（2024·安徽蚌埠·三模）在“乡村振兴”行动中，某企业以农作物为原料研发了甲、乙两种有机产品，并投入市场．经市场调查发现，甲种有机产品每天的销量（单位：袋）与销售单价（单位：元/袋）的函数关系为，乙种有机产品每天的销量（单位：袋）与销售单价（单位：元/袋）的函数关系为，其中均为自然数．根据农委的指示及市场监督部门的要求，该企业以每袋甲种有机产品和每袋乙种有机产品利润相同的标准来确定销售单价，且单价均高于成本，已知甲种有机产品的成本为每袋26元，乙种有机产品的成本为每袋35元． (1)当甲种有机产品的销售单价为30元时，甲乙两种有机产品每天的销量分别为多少袋？ (2)当乙种有机产品的销售单价为多少时，这两种有机产品每天销售的总利润最大？最大利润是多少元？ 2．（2024·安徽合肥·二模）如图，在1～12月份期间，某种农产品销售单价y（元/件）与月份x 之间的函数图象是抛物线（部分），7月份该产品的销售单价最高为10元/件；它的生产成本（元/件）与月份x之间函数图象是折线， (1)分别求出、关于x的函数关系式； (2)从1月份到8月份，问几月份这种产品每件的销售利润最大，最大时多少元? 0☛题型05 二次函数中的其他最值问题 例5．（2024·安徽安庆·二模）已知二次函数的图象经过两点． (1)求该函数解析式； (2)已知点都在该函数图象上； ①若，比较与的大小，并说明理由； ②若，求的最小值． 1．（2023·安徽·模拟预测）已知抛物线（为常数）经过点． (1)求该抛物线的函数表达式． (2)已知点在该抛物线上． （ⅰ）当时，比较的大小； （ⅱ）若是抛物线上一点，且当时，有最小值，求的值． 基础巩固 1．（2024·安徽安庆·三模）如图，边长为4的正方形中，E为上一点，且，F为边上一动点，将线段绕点F顺时针旋转得到线段，连接，则最小值为（    ） A．3 B．4 C． D． 2．（2024·安徽淮北·三模）如图，，点B为线段上一动点，以为边作正方形，点E始终为边的中点，连接，当取得最小值时，的长为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·安徽淮南·三模）如图，在矩形中，点是的中点，点是边上的动点，连接并延长交的延长线于点点在五边形中，连接若则四边形面积的最大值为（    ） A． B． C．41 D．42 4．（2024·安徽淮南·模拟预测）如图，E是线段上一点，在线段的同侧分别以为斜边作等腰和等腰，，分别是，的中点．若，则下列结论错误的是（    ）． A．的最小值为 B．四边形面积的最小值为 C．周长的最小值为 D．的最小值为3 5．（2024·安徽·二模）如图，中，是边的中点，过点作分别交于点（不与重合），取中点，连接并延长交于点，连接．随着点位置的变化，下列结论中错误的是（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的周长有最小值为 D．四边形的面积有最小值为9 6．（2024·安徽·一模）如图，在中，，若点为直线左侧一点，当时，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 7．（2023·安徽·二模）安安同学在正三角形中放入正方形和正方形（两个正方形不重叠），使得在边AB上，点P，N分别在边上．下列说法正确的是（　　） A．两个正方形边长和的最小值为 B．两个正方形的边长差为3 C．两个正方形面积和的最小值为 D．两个正方形面积和的最大值为 8．（2023·广西柳州·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知，，，是线段上的一个动点，连接，过点作交轴于点．若点，在直线上，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 9．（2024·安徽池州·模拟预测）已知关于x的函数． （1）当时，该二次函数图象的顶点坐标为 ； （2）当时，函数有最小值，则m的值为 ． 10．（2024·安徽安庆·三模）已知抛物线经过，两点，且A、B两点在该抛物线对称轴同侧． （1）若抛物线经过，则m= ． （2）若时，，则m的取值范围是 ． 11．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知抛物线：的顶点坐标为，与轴正半轴交于点，与轴交于点． （1）点的坐标为 ； （2）将抛物线沿轴向右平移个单位长度，平移后的抛物线与抛物线相交于点，且点在第四象限内，当的面积最大时，的值为 ． 12．（2024·安徽淮南·三模）已知二次函数 （1）若则函数的最大值为 ． （2）若当时，的最大值为5，则的值为 ． 13．（2024·安徽黄山·一模）已知抛物线与x轴交于，两点，经过点，与y轴交于点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)若点M是x轴上位于点A与点B之间的一个动点（含点A与点B），过点M作x轴的垂线分别交抛物线和直线于点E、点F．求线段的最大值． 14．（2024·安徽阜阳·一模）某加工厂加工某海产品的成本为30元/千克．根据市场调查发现，该海产品批发价定为48元/千克的时候，每天可销售500千克，为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，加工厂采取降价措施，批发价每千克降低1元，每天销量可增加50千克． (1)写出加工厂每天的利润W元与降价x元之间的函数表达式．当降价2元时，加工厂每天的利润为多少元？ (2)当降价多少元时．加工厂每天的利润最大，最大利润为多少元？ 15．（2024·安徽芜湖·一模）已知抛物线经过点和点． (1)求该抛物线的解析式； (2)若该抛物线与y轴交于点C，求的面积； (3)当自变量x满足时，此函数的最大值为p，最小值为q，求的最小值，并求出对应的m的值． 16．（2023·安徽六安·二模）某厂家生产一种儿童电动玩具，3月份前4天生产的该儿童玩具售价y（元/个）和销量t（个）的数据如下表所示： 第x天 1 2 3 4 售价y/（元/个） 30 32 34 36 销量t/个 100 120 140 160 从第5天开始工厂对外调整价格为28元一个，据统计第5天以后儿童电动玩具销量t（个）和第x天的关系为（，且x为整数）． (1)直接写出销量t（个）与第x天（前4天）满足的关系式，并且求出第5天以后第几天的销量最大，最大值为多少？ (2)若成本价为20元，求该工厂这些天（按20天计）出售儿童电动玩具得到的利润W（元）与x的函数关系式，直接写出第几天的利润最大及其最大值． 17．（2023·安徽六安·模拟预测）已知二次函数是常数． (1)当时，求这个二次函数的顶点坐标； (2)随着的变化，二次函数的图象发生变化，但它们的顶点都在某条线上，求这条线的函数解析式； (3)已知点、关于函数对称轴对称，且、两点的横坐标分别是，，求点纵坐标的最小值． 能力提升 1．（2024·安徽合肥·三模）如图，已知抛物线过点，与轴交于，与轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)点是轴上的一个动点，当的值最小时，求点的坐标； (3)如图2，连接，在上方的抛物线上是否存在一动点，使面积取得最大值，若存在，求出点坐标，并求的最大面积． 2．（2024·安徽马鞍山·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点，和点两点，与y轴交于点，点D为线段上的一动点． (1)求二次函数的表达式； (2)如图①，连接，并延长交抛物线于点E，若，求点E的坐标； (3)如图②，过动点D作交抛物线第一象限部分于点P，连接，，记与的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标，并求出此时S的最大值． 3．（2024·安徽合肥·二模）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)点D为抛物线上一点且在x轴上方，满足，求D点坐标； (3)点M为线段上一动点（不与B，C重合），过点M作轴于点P，交抛物线于点N．如图2，在抛物线上找一点Q，连接，，，使得与的面积相等，①求出点Q到直线的距离；②当线段的长度最小时，直接写出此时Q点坐标． 4．（2023·安徽六安·三模）已知抛物线与直线l交于A，B两点，坐标分别为，． (1)求b，c的值； (2)若将直线l沿着y轴向上平移个单位，平移后的直线与抛物线有且只有一个交点，求m的值； (3)如图，若点C是位于直线AB上方抛物线上一点，过点C作直线直线，求直线与直线之间距离的最大值． 5．（2023·内蒙古呼和浩特·一模）某校九年级学生小丽、小强和小红到某商场参加了社会实践活动，在活动中他们参与了某商品的销售工作，已知该商品的进价为40元/件，售价为60元/件、下面是他们活动后的对话：小丽：我发现此商品如果按60元件销售，每星期可卖出300件．小强：我发现在售价60元件的基础上调整价格，每涨价1元，每星期比小丽所调查的销售量300件要少卖出10件．小红：我发现在售价60元件的基础上调整价格，每降价1元，每星期比小丽所调查的销售量300件要多卖出20件． (1)若设每件涨价x元，则每星期实际可卖_______件，每星期售出商品的利润（元）与x的关系式为=____________，x的取值范围是_________． (2)若设每件降价a价，则每星期售出商品的利润（元）与a的关系式为=________． (3)在涨价情况下，如何定价才能使每星期售出商品的利润最大？最大利润是多少？ 6．（2023·安徽宿州·模拟预测）甲、乙两汽车出租公司均有辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对话： 甲公司经理：如果我公司每辆汽车月租费元，那么辆汽车可以全部租出，如果每辆汽车的月租费每增加元，那么将少租出辆汽车，另外，公司为每辆租出的汽车支付月维护费元． 乙公司经理：我公司每辆汽车月租费元，无论是否租出汽车，公司均需一次性支付月维护费共计元． 说明：①汽车数量为整数；②月利润月租车费月维护费； 在两公司租出的汽车数量相等且都为（单位：辆，）的条件下，甲的利润用表示（单位：元），乙的利润用（单位：元）表示，根据上述信息，解决下列问题： (1)分别表示出甲、乙的利润，什么情况下甲、乙的利润相同？ (2)甲公司最多比乙公司利润多多少元？ (3)甲公司热心公益事业，每租出辆汽车捐出元（）给慈善机构，如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，且仅当两公司租出的汽车均为辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大，求的取值范围． $$第三章 函数 微专题七 函数中的最值问题 （思维导图+5种题型（含4种解题技巧）） 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 01知识导图·思维引航 02题型精研·考向洞悉 ►题型01 二次函数中的面积最值问题 ►题型02 函数中的最短路径问题 ►题型03 二次函数中线段的和差积商最值问题 ►题型04 二次函数中的其他最值问题 ►题型05 二次函数实际应用中的最值问题 03分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 02知识导图·思维引航 04题型精研·考向洞悉 ☛题型01 二次函数中的面积最值问题 例1．（2024·四川遂宁·中考真题）二次函数的图象与轴分别交于点，与轴交于点，为抛物线上的两点． (1)求二次函数的表达式； (2)当两点关于抛物线对称轴对称，是以点为直角顶点的直角三角形时，求点的坐标； (3)设的横坐标为，的横坐标为，试探究：的面积是否存在最小值，若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，最小值为 【分析】本题考查了二次函数的综合题，待定系数法求函数解析式，勾股定理，已知两点坐标表示两点距离，二次函数最值，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． （1）用待定系数法求解即可； （2）可求，设，由，得，则 ，解得，（舍去），故； （3）分当点P、Q在x轴下方，且点Q在点P上方时，当点P、Q在x轴下方，且点P在点Q上方时，当点P、Q都在x轴上方或者一个在x轴上方，一个在x轴下方，得到这个面积是关于m的二次函数，进而求最值即可． 【解析】（1）解：把，代入得， ，解得， ∴二次函数的表达式为； （2）解：如图： 由得抛物线对称轴为直线， ∵两点关于抛物线对轴对称， ∴， 设， ∵， ∴， ∴ ， 整理得，， 解得，（舍去）， ∴， ∴； （3）存在，理由： 当点P、Q在x轴下方，且点Q在点P上方时， 设点，则点，设直线交轴于点， 设直线表达式为：， 代入， 得：， 解得：， ∴直线的表达式为：， 令，得 则， 则， 则 ， 即存在最小值为； 当点P、Q在x轴下方，且点P在点Q上方时， 同上可求直线表达式为：， 令，得 则， 则， 则 即存在最小值为； 当点P、Q都在x轴上方或者一个在x轴上方，一个在x轴下方同理可求， 即存在最小值为， 综上所述，的面积是否存在最小值，且为． 1.先根据面积公式表示出几何图形的面积； 2.化成二次函数的形式； 3.对二次函数的解析式进行配方； 1．（2023·山东聊城·中考真题）如图①，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，连接AC，BC.点P是x轴上任意一点． (1)求抛物线的表达式； (2)点Q在抛物线上，若以点A，C，P，Q为顶点，AC为一边的四边形为平行四边形时，求点Q的坐标； (3)如图②，当点从点A出发沿x轴向点B运动时（点P与点A，B不重合），自点P分别作，交AC于点E，作，垂足为点D．当m为何值时，面积最大，并求出最大值． 【答案】(1) (2)点Q坐标，或或； (3)时，有最大值，最大值为． 【分析】（1）将，代入，待定系数法确定函数解析式； （2）由二次函数，求得点，设点，点，分类讨论：当为边，为对角线时，当为边，为对角线时，运用平行四边形对角线互相平分性质，构建方程求解； （3）如图，过点D作，过点E作，垂足为G，F， 可证，；运用待定系数法求直线解析式，直线 解析式；设点，，则，，，，运用解直角三角形，中，，，中，，可得，，；中，，可得，，，，于是，从而确定时，最大值为． 【解析】（1）将，代入，得 ，解得 ∴抛物线解析式为： （2）二次函数，当时， ∴点 设点，点， 当为边，为对角线时， ∵四边形为平行四边形， ∴，互相平分 ∴解得，（舍去）或 点Q坐标； 当为边，为对角线时， 同理得， 解得，或， ∴ ∴点Q坐标或 综上，点Q坐标，或或； （3）如图，过点D作，过点E作，垂足为G，F， ∵， ∴ ∴ ∵ ∴，同理可得 设直线的解析式为： 则，解得 ∴直线： 同理由点，，可求得直线 ： 设点，， 则，，， 中，， ∴， 中， ∴，解得， ∴ ∵ ∴； 中， ∴，解得， ∴ ∵ ∴ ∴， 即． ∵ ∴时，，有最大值，最大值为． 2．（2024·安徽六安·模拟预测）如图1，抛物线与轴交于点，点（点位于点左侧），与轴交于点，且． (1)求的值； (2)连接，点是直线下方抛物线上的一点，连接． （ⅰ）如图2，与交于点，若，求此时点的坐标； （ⅱ）如图3，过点作交于点，连接，求的最大值． 【答案】(1)， (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】本题主要考查了二次函数与几何图形的综合应用，主要涉及了求二次函数解析式、利用面积的转化求三角形面积、在坐标系中求线段的长度，解题的关键是正确设出点的坐标，表示出线段长度． （1）由点坐标和可以求出的值，再将点代入抛物线中即可求出的值； （2）（ⅰ）设点的坐标为，再将转化为即可求出结果；（ⅱ）连接，过点作轴于点，交于点，由，可得，设点的坐标为，则，即可得出的长，再根据面积计算公式乘水平宽乘铅直高即可得出结论． 【解析】（1）解： ， ， 点位于原点下方， ， ， 把点代入抛物线中， 得， 解得， 故的值分别为． （2）（ⅰ）由（1）可知抛物线的解析式为， 当时，， 解得， ， ， 设点的坐标为，其中， 则， 整理，得， 解得（舍去），， 当时，， 此时点的坐标为； （ⅱ）如图，连接，过点作轴于点，交于点， ， ， ， 设直线的解析式为， 将点和点代入得， ， 直线的解析式为， 设点的坐标为，则， ， ， ， 当时，有最大值，最大值为． 0☛题型02 二次函数中的最短路径问题 例2．（23-24九年级上·广西崇左·期末）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，为等腰直角底边上的高，抛物线的顶点为点A，且经过B、C两点，B、C两点在x轴上． (1)求该抛物线的解析式； (2)如图2，点E为抛物线上位于直线上方的一点， 过点E作轴交直线于点N，求线段的长度最大值及此时点E的坐标； (3)如图2，点是抛物线上的一点，点P为对称轴上一动点，在(2)的条件下， 当线段的长度最大时，求的最小值． 【答案】(1) (2)1， (3) 【分析】（1）先确定点A的坐标为，再结合等腰直角三角形的性质可得，然后运用待定系数法即可解答； （2）先用待定系数法可得的函数解析式为，设、，则，然后化成顶点式求最值即可； （3）先确定点，过点E作的对称点，连接交于点P，此时最短时，最后运用勾股定理即可解答． 【解析】（1）解：∵为等腰直角底边上的高，的顶点为点A， ∴A的坐标为， ∴， ∵为等腰直角底边上的高， ∴， ∴． 把代入，解得：， ∴抛物线的解析式为即． （2）解：设直线的函数解析式为， ∵， ∴的函数解析式为． 设，，   ， ∴当时，最大为1， ∴． （3）解：∵在抛物线上， ∴． ∵是此抛物线的对称轴， ∴过点E作的对称点，连接交于点P，此时最短，; ∴最短． 1.根据将军饮马模型做出所求点； 2.联立解析式求出点的坐标； 1．（2023·广东云浮·一模）如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，抛物线的对称轴交抛物线于点G，在y轴上是否存在点H，使得的周长最小？若存在，求出点H坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，点D为直线上方抛物线上的动点，于点E，求线段的最大值． 【答案】(1) (2)存在， (3) 【分析】本题考查待定系数法，二次函数的图象及性质，轴对称的性质，最短路径，三角形相似的判定与性质． （1）采用待定系数法求解，把点，代入抛物线解析式中，即可求出b，c的值，从而得到抛物线的解析式； （2）作点G关于y轴的对称点，连接，交y轴于点H，此时的周长最小．根据抛物线解析式易得顶点G的坐标，从而得到点的坐标，设直线的解析式为，将点A，的坐标代入即可求得直线的解析式，将代入，即可得到点H的坐标； （3）过点D作轴，垂足为F，交于点M．把代入抛物线解析式中，得到点C的坐标为．设直线的解析式为，将，代入，即可求得直线的解析式为．设点D的坐标为，则点M的坐标为，从而．在中，根据勾股定理求得．易证，得到，从而，根据二次函数的性质求得当时，取得最大值，最大值为． 【解析】（1）将点，代入抛物线解析式中，得 ， 解得：． ∴抛物线的解析式为． （2）作点G关于y轴的对称点，连接，交y轴于点H，此时的周长最小． ∵， ∴顶点， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入中， 得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点H的坐标为． （3）在图2中，过点D作轴，垂足为F，交于点M． 当时，， ∴点C的坐标为． 设直线的解析式为， 将，代入，得：， 解得：， ∴直线的解析式为． 设点D的坐标为，则点M的坐标为， ∴． 在中，，， ∴． ∵轴，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当时，取得最大值，最大值为． 2．（2023·山东临沂·二模）如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形的面积S的最大值及此时D点的坐标； (3)在抛物线的对称轴上找一点P，使的值最小，直接写出P点坐标． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）将、代入，求解可得坐标，根据二次函数的性质可得点坐标，设抛物线的表达式为，将代入求值，最后代入化简成一般式即可； （2）如图1，过作于F，交于E，，，则， ，根据二次函数的性质求解即可； （3）线段与对称轴的交点即为使的值最小的点P，将代入直线的解析式即可求出点P的纵坐标，从而得解． 【解析】（1）解：将代入得，， ∴， 将代入得，解得， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， 设抛物线的表达式为， 将代入得，，解得， ∴， ∴抛物线的表达式为； （2）解：如图1，过作于F，交于E，    ∴，，则， ∵， ∴当时，四边形面积最大，值为； 将代入得，， ∴， ∴四边形面积S的最大值为，此时D点的坐标为． （3）∵点A与点B关于对称轴直线， ∴当点P是线段与对称轴的交点时， 的值最小， 标记点P如下，连接，    将代入直线的解析式可得：， ∴ 0☛题型03 二次函数中线段的和差积商最值问题 例3．（2024·山西·模拟预测）如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），其中，与轴相交于点，抛物线的对称轴与轴交于点．点是抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图所示，点是抛物线上位于第一象限内的一个动点，过点作，求的最大值． 【答案】(1) (2)时，有最大值，最大值为 【分析】本题考查了待定系数法确定二次函数，一次函数的解析式，二次函数的最值，相似三角形的判定与性质，准确表示，利用构造平行线，三角形相似，确定满足条件的P点位置是解题的关键． （1）根据待定系数法求解即可； （2）过点作轴交直线于，求出，，得出．求出直线的解析式，设，则，表示出，证明，根据相似三角形的性质得出，即可求解． 【解析】（1）解：由抛物线过点及得， ， 解得． 故抛物线为； （2）解：过点作轴交直线于，如图， ， ． 当时，， ． ． 设直线的解析式为， 把代入得， 解得， 直线的解析式为； 设，则， ． ， ． ， ． ． ，即． ． 当时，有最大值，最大值为． 1.设出点的坐标，通常只设横坐标，纵坐标根据函数解析式用横坐标表达； 2.表示出各线段的长度； 3.对和差积商进行化简，化成二次函数的形式； 4.配方求最值。 1．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，已知抛物线经过和两点，直线与x轴相交于点C，P是直线上方的抛物线上的一个动点，轴交于点D． (1)求该抛物线的解析式； (2)若轴交于点E，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质、求二次函数解析式、相似三角形的判定与性质等知识点，灵活掌握二次函数的图像与性质成为解题的关键． （1）直接利用待定系数法求解即可； （2）先求出直线的方程，再借助三角形相似列式，利用二次函数最值求解即可． 【解析】（1）解：由题意可得， 解得， 所以抛物线的解析式为． （2）解：设直线的解析式为：， 依题意， 解得：， ∴直线的解析式为， 由得：，即点， ∵轴，轴， ∴ ∴， ∴，即， 设，点D的坐标为， 则， ∴， ∴当时，的最大值为． 2．（2024·安徽六安·模拟预测）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴交于，B两点，与轴交于点，P在第二象限内的抛物线上，与交于点Q，与轴交于点D． (1)求，的值； (2)若，求点Q的横坐标； (3)记，是否有最大值，若有，请求出的最大值；若没有，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)有， 【分析】（1）将点和点代入二次函数表达式，解方程即可； （2）先求得点的坐标，设点的坐标为，通过两点坐标公式表示出和的长度，求得点坐标，从而求得直线的表达式，再求得直线的表达式，联立直线和，求得点的横坐标； （3）设点的坐标为，从而求得直线的表达式，联立直线和，求得点的横坐标，过点作交于点，作交于点，通过求得的最大值． 【解析】（1）将，代入 得到，解得 ，； （2）由（1）可知， 将代入，，解得， 的坐标为 设点的坐标为 设直线的表达式为，代入， 得到，解得 所以直线的表达式为 设直线的表达式为，代入， 得到，解得 所以直线的表达式为 联立直线和 ，解得 点坐标为 点横坐标为； （3）有最大值； 设点的坐标为，直线的表达式为 代入， 得到，解得 所以直线的表达式为 联立直线和 ，解得 点坐标为， 过点作交于点，作交于点，如图所示 点坐标为，点坐标为 ， 时，的最大值为 的最大值为． 0☛题型04 二次函数实际应用中的最值问题 例4．（2024·安徽六安·二模）某水果店今年2月至5月份销售甲、乙两种新鲜水果，已知甲种水果每月售价与x月份之间关系如下表所示： 月份x 2 3 4 5 售价份（元） 12 8 6 4.8 甲种水果进价元/千克与月份x之间满足，销售量P千克与x之间满足． 乙种水果每个月售价与月份x之间满足，对应图象如图所示． 乙种水果进价元/千克与x之间满足，平均每月销售160千克． (1)用所学的函数模型刻画与x之间的函数关系式 (2)求与x之间的函数关系式； (3)试求水果店哪个月销售甲、乙两种水果获得的总利润最大，最大总利润是多少元？ 【答案】(1)（，为整数） (2) (3)水果店2月销售甲乙两种水果获得的总利润最大，为1480元 【分析】本题主要考查了二次函数的应用、反比例函数的应用，解题时要能读懂题意，列出关系式是关键． （1）依据题意，根据表格数据，可得与之间成反比例函数关系，故可设，进而计算可以得解； （2）依据题意，将，代入中，求出，即可得解； （3）依据题意，设水果店销售甲、乙两种水果的总利润为元，销售甲种水果利润为元，销售乙种水果利润为元，从而可得 ，再结合二次函数的性质进行判断可以得解． 【解析】（1）解：由题意，根据表格数据，， 与之间成反比例函数关系． 故可设， ． （，为整数）； （2）解：由题意，将，代入中， ． ． ． （3）解：由题意，设水果店销售甲、乙两种水果的总利润为元，销售甲种水果利润为元，销售乙种水果利润为元， 则 ． ， 当时，最大，最大值为1480元． 答：水果店2月销售甲乙两种水果获得的总利润最大，为1480元． 1.设出未知数； 2.找出等量关系式； 3.列出函数表达式； 4.配方求最值。 1．（2024·安徽蚌埠·三模）在“乡村振兴”行动中，某企业以农作物为原料研发了甲、乙两种有机产品，并投入市场．经市场调查发现，甲种有机产品每天的销量（单位：袋）与销售单价（单位：元/袋）的函数关系为，乙种有机产品每天的销量（单位：袋）与销售单价（单位：元/袋）的函数关系为，其中均为自然数．根据农委的指示及市场监督部门的要求，该企业以每袋甲种有机产品和每袋乙种有机产品利润相同的标准来确定销售单价，且单价均高于成本，已知甲种有机产品的成本为每袋26元，乙种有机产品的成本为每袋35元． (1)当甲种有机产品的销售单价为30元时，甲乙两种有机产品每天的销量分别为多少袋？ (2)当乙种有机产品的销售单价为多少时，这两种有机产品每天销售的总利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)甲乙两种有机产品每天的销量分别为112袋和118袋 (2)当乙种有机产品的销售单价为60时，这两种有机产品每天销售的总利润最大，最大利润是3125元 【分析】本题考查了一次函数的应用、二次函数的应用，理解题意，正确得出二次函数的关系式是解此题的关键． （1）由题意得出，分别代入函数解析式计算即可得出答案； （2）由题意得，设两种产品每天总利润为元，求出关于的关系式，结合二次函数的性质即可得出答案． 【解析】（1）解：甲销售单价为30时，乙销售单价为元 ． 答：甲乙两种有机产品每天的销量分别为112袋和118袋． （2）解：由得， 设两种产品每天总利润为元， 则 整理得 当乙种有机产品的销售单价为60时，这两种有机产品每天销售的总利润最大，最大利润是3125元． 2．（2024·安徽合肥·二模）如图，在1～12月份期间，某种农产品销售单价y（元/件）与月份x 之间的函数图象是抛物线（部分），7月份该产品的销售单价最高为10元/件；它的生产成本（元/件）与月份x之间函数图象是折线， (1)分别求出、关于x的函数关系式； (2)从1月份到8月份，问几月份这种产品每件的销售利润最大，最大时多少元? 【答案】(1)， (2)5月份这种产品每件的销售利润最大，最大利润是4元 【分析】本题考查了待定系数法求解一次函数，二次函数的解析式，二次函数最大值的求解，由函数图象读取信息，正确利用函数图象求出解析式是解答本题的关键． （1）分别设出函数解析式，利用待定系数法进行求解即可； （2）设每件的销售利润为y元，根据，根据二次函数性质即可求出最大值． 【解析】（1）解：7月份该产品的销售单价最高，为10元/件， 设抛物线的解析式为， 将代入解析式得：， 解得：， ； 设的解析式为， 将点，代入解析式， 得：，解得：， 则的解析式为； 设的解析式为， 将点，代入解析式， 得：，解得：， 则的解析式为； （2）设每件的销售利润为y元， 当时， ， 且x取整数， ∴当时，y的值最大，最大利润为， 答：5月份这种产品每件的销售利润最大，最大利润4元． 0☛题型05 二次函数中的其他最值问题 例5．（2024·安徽安庆·二模）已知二次函数的图象经过两点． (1)求该函数解析式； (2)已知点都在该函数图象上； ①若，比较与的大小，并说明理由； ②若，求的最小值． 【答案】(1) (2)①，理由见解析；②0 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数图象的性质，二次函数的最值问题： （1）利用待定系数法求解即可； （2）①根据（1）所求先得到抛物线开口向上，对称轴为直线，则离对称轴越远，函数值越大，再由即可得到答案；②先得到，，进而得到，据此可得答案． 【解析】（1）解：把代入中得：， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：①，理由如下： ∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴， ∴； ②∵， ∴，， ∴ ， ， ∵， ∴ ， ∵， ∴当时，有最小值0． 1．（2023·安徽·模拟预测）已知抛物线（为常数）经过点． (1)求该抛物线的函数表达式． (2)已知点在该抛物线上． （ⅰ）当时，比较的大小； （ⅱ）若是抛物线上一点，且当时，有最小值，求的值． 【答案】(1)该抛物线的函数表达式为 (2)（ⅰ）；（ⅱ）的值为0或 【分析】本题考查了待定系数法求而出函数的解析式，二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，能够明确题意，做到数形结合、分类讨论是解题的关键． （1）根据待定系数法即可求得； （2）（ⅰ）先求出抛物线的对称轴，进而确定出点A、B、C在抛物线上的位置，根据二次函数的性质即可求出答案； （ⅱ）分点P在抛物线的对称轴左侧、右侧两种情况分别求出． 【解析】（1）解：将点代入，得 解得， 该抛物线的函数表达式为． （2）解：（ⅰ）该抛物线的对称轴为直线，且， 点均在对称轴左侧的抛物线上，且随的增大而减小． ． （ⅱ）当，即时，， 解得（舍去）． 当时，， 解得（舍去）． 当，即时，， 解得（舍去）． 综上所述，的值为0或． 基础巩固 1．（2024·安徽安庆·三模）如图，边长为4的正方形中，E为上一点，且，F为边上一动点，将线段绕点F顺时针旋转得到线段，连接，则最小值为（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、运用二次函数性质求最值等知识点，列出关于x的关系式是解题的关键． 如图：过G点作交于点H，过G点作交于点I，根据线段绕点F顺时针旋转得到线段，可得，，利用易证，再根据四边形是矩形，可得，设，则，根据勾股定理可得，即当时，有最小值． 【解析】解：如图：过G点作交于点H，过G点作交于点I， ∵线段绕点F顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， 又∵， ∴, ∵，四边形是正方形， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴， 设，则， 在中，， ∴当时，有最小值， ∴当时，最小值是， 故选：D． 2．（2024·安徽淮北·三模）如图，，点B为线段上一动点，以为边作正方形，点E始终为边的中点，连接，当取得最小值时，的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了正方形的性质、矩形的判定和性质、二次函数的最值等知识，作于点M，则，证明四边形是矩形，四边形是矩形，，，则，设，则，，，根据勾股定理列出方程，解方程即可得到答案． 【解析】解：作于点M，则， ∵四边形是正方形， ∴， ∴四边形是矩形，四边形是矩形， ∴， ∵点E始终为边的中点， ∴， 设，则，， ∴， 当时，最小，此时． 故选：B 3．（2024·安徽淮南·三模）如图，在矩形中，点是的中点，点是边上的动点，连接并延长交的延长线于点点在五边形中，连接若则四边形面积的最大值为（    ） A． B． C．41 D．42 【答案】B 【分析】先证明，再证明四边形为正方形和四边形为矩形，利用已知条件从而可推出的长度，最后利用面积法列二次函数从而求出的最大面积，即可求出四边形面积的最大值． 【解析】解：过点H作于点，过点作于点，过点作于点，连接和，如图所示， ∵为的中点， ∴ 在和中， ∴ ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴ ∴四边形是矩形， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴， ∴ ∵ ∴ ∵四边形为矩形， ∴四边形为正方形， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴四边形是矩形， ∴ ∴ 设 ∴， ∴， ∵ ∴当时，的面积最大，最大值为， 所以，四边形面积的最大值为 故选：B 4．（2024·安徽淮南·模拟预测）如图，E是线段上一点，在线段的同侧分别以为斜边作等腰和等腰，，分别是，的中点．若，则下列结论错误的是（    ）． A．的最小值为 B．四边形面积的最小值为 C．周长的最小值为 D．的最小值为3 【答案】B 【分析】A、如图，延长交于点P，过点F作直线，可证四边形是矩形，直线是的中位线，且点在直线上运动，作点A关于直线的对称点，连接，由“将军饮马”模型可求； B、设，，进而即可判断． C、由四边形是矩形，结合的最小值为3，可求周长的最小值； D、连接，当时，即点与点重合时，最小．是等腰直角三角形，，故本选项不符合题意； 【解析】解：A、如图，延长交于点P，过点F作直线． 和分别是以为斜边的等腰直角三角形， ，， ， 四边形是矩形． 是的中点， 是的中点． 直线， 直线是的中位线，且点在直线上运动．作点A关于直线的对称点，连接，则．当，，三点共线时，最小． ，， ． 在中，，故本选项不符合题意； B、设，则． ， ．当时，有最大值，最大值为， ∵， ∴四边形面积的最小值为，故本选项符合题意． C、四边形是矩形， ， 的周长为． 的最小值为3，， 的周长的最小值为，故本选项不符合题意； D、连接，当时，即点与点重合时，最小．是等腰直角三角形， ，故本选项不符合题意； 5．（2024·安徽·二模）如图，中，是边的中点，过点作分别交于点（不与重合），取中点，连接并延长交于点，连接．随着点位置的变化，下列结论中错误的是（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的周长有最小值为 D．四边形的面积有最小值为9 【答案】D 【分析】A选项：连接，中点，，∴，∴即可求解；B选项：取中点N，连接交于点K，过点B作的对称点，连接，，当点三点共线取得最小值，由对称得，可求，在中，，∴；C选项：连接，先证明，则为等腰直角三角形，，而最小值为，则； D选项：连接，，可证四边形是矩形，设，则， 则． 【解析】解：连接，∵等腰，， ∴，， ∵点D为边的中点，∴,， ∵中点，，∴，∴， 即，当点A、P、D共线时等号成立，故A正确； 连接，∵，∴， ∵，∴， ∴，∵， ∴， ∴，而， ∴为等腰直角三角形， ∴，∵最小值为， ，故C正确，不符合题意； 连接，，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知，， ， ， ， ， ， ， 同理可证：，又∵， ∴ ， 四边形是矩形， ∵，设，则， ， 的最大值为9，故D错误，符合题意． 取中点N，连接交于点K，过点B作的对称点，连接， 由上知点P为中点，∴为中位线，， ∴， ∵，当点三点共线取得最小值， ∵，，∴， 由对称得，可求， 在中，，∴， 故B正确，不符合题意． 故选：D． 6．（2024·安徽·一模）如图，在中，，若点为直线左侧一点，当时，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，二次函数的最值问题，勾股定理，先利用相似三角形的性质得到，再由勾股定理得到，则，进而得到，据此可得答案． 【解析】解：∵， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，有最大值， 故选：B． 7．（2023·安徽·二模）安安同学在正三角形中放入正方形和正方形（两个正方形不重叠），使得在边AB上，点P，N分别在边上．下列说法正确的是（　　） A．两个正方形边长和的最小值为 B．两个正方形的边长差为3 C．两个正方形面积和的最小值为 D．两个正方形面积和的最大值为 【答案】D 【分析】连接，设正方形、正方形的边长分别为，求得面积和的表达式为：，再结合（2）的结论，即可求出这两个正方形面积和的最大值和最小值了． 【解析】解：如图，连接，则． 设正方形、正方形的边长分别为，它们的面积和为S，则，， ∴， ∴． 延长交于点G，则， 在中，由勾股定理，． ∵，即， ∴， ∴， ∴，故选项A、B不正确； ∴． ①当时，即时，S最小． ∴；故选项C不正确； ②当最大时，S最大． 即当a最大且b最小时，S最大． ∵， 由（2）知，，． ∴ ．故选项D正确； 故选：D． 8．（2023·广西柳州·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知，，，是线段上的一个动点，连接，过点作交轴于点．若点，在直线上，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】当点M在上运动时，交轴于点，此时点N在y轴的负半轴移动，定有；只要求出的最小值，也就是最大值时，就能确定点N的坐标，而直线与y轴交于点，此时b的值最大，因此根据相似三角形的对应边成比例，设未知数构造二次函数，通过求二次函数的最值得以解决． 【解析】解：连接，如图所示： ∵，，， ∴轴，轴， ∴， ∴四边形是矩形， ， 又， ， ， ， ， 设．则， ， 即：， 当时，， 直线与轴交于，且点N在y轴的负半轴上， ∴当最大时，最小，点越往上，的值最大，， 此时， ， 的最大值为，故A正确． 故选：A． 9．（2024·安徽池州·模拟预测）已知关于x的函数． （1）当时，该二次函数图象的顶点坐标为 ； （2）当时，函数有最小值，则m的值为 ． 【答案】 0或2 【分析】（1）运用配方法得到二次函数的顶点式，写出顶点坐标； （2）由于开口向下，根据对称轴位置分三种情况确定最小值的情况，分别代入计算即可解题． 本题考查二次函数的性质，掌握二次函数的配方法求顶点坐标和函数的最值求法是解题的关键． 【解析】（1）当时，，顶点坐标为． （2）抛物线对称轴为直线， ①当时，且在时有最小值， 根据二次函数对称性，当或时，函数有最小值，不妨当时，最小值为，即可得到：，解得：或，不符合题意，舍去； ②当时，且在时有最小值，则时，最小值为， 即可得到：，解得：或，所以； ③当时，且在时有最小值，则时，最小值为， 即可得到：，解得：或6，所以； 综上所述：m的值为0或2． 10．（2024·安徽安庆·三模）已知抛物线经过，两点，且A、B两点在该抛物线对称轴同侧． （1）若抛物线经过，则m= ． （2）若时，，则m的取值范围是 ． 【答案】 或 【分析】本题考查二次函数的性质，求二次函数解析式； （1）把代入计算即可； （2）对称轴为，根据且A、B两点在该抛物线对称轴同侧可得或，再结合时，求解即可． 【解析】（1）把代入得， 解得， 故答案为：； （2）∵ ∴抛物线对称轴为， ∵A、B两点在该抛物线对称轴同侧， ∴或， 当时，当时随的增大而增大， ∴此时当时有最大值， ∵， ∴，解得， ∴； 当时，当时随的增大而减小， ∴此时当时有最大值， ∵， ∴，解得， ∴； 综上所述，或， 故答案为：或． 11．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知抛物线：的顶点坐标为，与轴正半轴交于点，与轴交于点． （1）点的坐标为 ； （2）将抛物线沿轴向右平移个单位长度，平移后的抛物线与抛物线相交于点，且点在第四象限内，当的面积最大时，的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查求二次函数解析式及二次函数的最值，了解二次函数顶点式和用含的式子表示的面积是解题关键． （1）把二次函数解析式表示为顶点式，即可得顶点坐标求解； （2）先表示出的解析式，联立得出点坐标，再表示出的面积，最后利用二次函数最值求解． 【解析】解：（1）∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为， 当时，得， 解得，， ∴， 故答案为； （2）抛物线：， ∵将抛物线沿轴向右平移个单位长度得抛物线， ∴抛物线的解析式为：， ∴， 解得， 即点坐标为， ∵点在第四象限内， ∴，再结合， 得， ∵，， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， ∴如图，过点作轴，交直线于点，    ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，最大， 故答案为：． 12．（2024·安徽淮南·三模）已知二次函数 （1）若则函数的最大值为 ． （2）若当时，的最大值为5，则的值为 ． 【答案】 4 1或 【分析】本题考查二次函数的最值问题．熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键． （1）由题意可知此时二次函数为，再将其变为顶点式即得出答案； （2）将该抛物线一般式改为顶点式，即得出该抛物线对称轴为直线，再分类讨论当时和当时，结合二次函数的图象和性质求解即可． 【解析】解：（1）当时，该二次函数为， ∵， ∴当时，y有最大值，最大值为． 故答案为：； （2）∵， ∴该二次函数的对称轴为直线． 当时，抛物线开口向上， ∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大． ∵x轴上到的距离比到的距离大， ∴当时，y有最大值， ∴， 解得：； 当时，抛物线开口向下， ∴当时，y有最大值，最大值为， ∴， 解得：． 综上可知a的值为或． 故答案为：1或． 13．（2024·安徽黄山·一模）已知抛物线与x轴交于，两点，经过点，与y轴交于点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)若点M是x轴上位于点A与点B之间的一个动点（含点A与点B），过点M作x轴的垂线分别交抛物线和直线于点E、点F．求线段的最大值． 【答案】(1)抛物线的函数解析式为 (2)线段EF的最大值为 【分析】本题主要考查了用待定系数法求二次函数解析式，求一次函数解析式，以及两点之间的距离公式． （1）利用待定系数求函数解析式即可； （2）先求出的解析式，设 ， 则 ，根据两点之间的距离公式得出关于的绝对值方程，根据m的取值范围分类讨论求出的最大值即可． 【解析】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点， ∴可设抛物线的函数解析式为．      ∵抛物线经过点，则， 解得．     ∴抛物线的函数解析式为 （2）当时， 设直线的解析式为，把代入， 得 解得： ∴直线的解析式为 设 ， 则 ， 当时， ， ∴当时，有最大值2． 当时，， 当时， 有最大值 14．（2024·安徽阜阳·一模）某加工厂加工某海产品的成本为30元/千克．根据市场调查发现，该海产品批发价定为48元/千克的时候，每天可销售500千克，为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，加工厂采取降价措施，批发价每千克降低1元，每天销量可增加50千克． (1)写出加工厂每天的利润W元与降价x元之间的函数表达式．当降价2元时，加工厂每天的利润为多少元？ (2)当降价多少元时．加工厂每天的利润最大，最大利润为多少元？ 【答案】(1)，当降价2元时，加工厂每天的利润为9600元； (2)当降价4元时，加工厂每天的利润最大，最大利润为9800元． 【分析】（1）本题考查了二次函数的实际运用，根据题意即可得出销量和批发价的关系，从而列出函数表达式，再将降价2元时的情况代入函数表达式即可得出利润； （2）本题考查了二次函数的实际运用和函数的性质，将（1）中的表达式化为，即可根据性质得出最大利润最大时的情况． 【解析】（1）解：由题可知，若降价x元，则每天销量可增加千克， ， 整理得：． 当时，， 当降价2元时，加工厂每天的利润为9600元； （2）解：， ，则函数开口向下，有最大值， 当时，W取得最大值，最大值为9800， 当降价4元时，加工厂每天的利润最大，最大利润为9800元． 15．（2024·安徽芜湖·一模）已知抛物线经过点和点． (1)求该抛物线的解析式； (2)若该抛物线与y轴交于点C，求的面积； (3)当自变量x满足时，此函数的最大值为p，最小值为q，求的最小值，并求出对应的m的值． 【答案】(1) (2) (3)时，有最小值为 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质， （1）根据待定系数法求抛物线的解析式； （2）求出点的坐标，再求的面积即可； （3）分两种情况当时，当时讨论即可． 【解析】（1）解：已知抛物线经过点和点, , 解得：， 该抛物线的解析式为； （2）解：时， ， ， ； （3）解：当时， 时，此函数的最大值为， 时，此函数的最小值为， ， 时，的最小值为， 当时， 时，此函数的最大值为， 时，此函数的最小值为， ， 时，的最小值为， 综上所述： ， 时，有最小值为． 16．（2023·安徽六安·二模）某厂家生产一种儿童电动玩具，3月份前4天生产的该儿童玩具售价y（元/个）和销量t（个）的数据如下表所示： 第x天 1 2 3 4 售价y/（元/个） 30 32 34 36 销量t/个 100 120 140 160 从第5天开始工厂对外调整价格为28元一个，据统计第5天以后儿童电动玩具销量t（个）和第x天的关系为（，且x为整数）． (1)直接写出销量t（个）与第x天（前4天）满足的关系式，并且求出第5天以后第几天的销量最大，最大值为多少？ (2)若成本价为20元，求该工厂这些天（按20天计）出售儿童电动玩具得到的利润W（元）与x的函数关系式，直接写出第几天的利润最大及其最大值． 【答案】(1)销量t（个）与第x天（前4天）满足的关系式为，第5天以后第20天的销量最大，最大值为500； (2)W（元）与x的函数关系式为；第20天时工厂利润最大，最大利润为4000元． 【分析】（1）根据表格中数据，用待定系数法求出销量t与第x天满足的关系式，并根据第5天以后儿童电动玩具销量t（套）和第x天的关系式，由函数性质求出最值； （2）根据单件利润×销售量＝总利润分段列出函数解析式，即可由函数性质得到答案． 【解析】（1）解：由表格可知，前4天销量t与第x天满足一次函数关系， 设把代入得： ， 解得， ∴销量t与第x天满足的关系式为； ∵第5天以后儿童电动玩具销量t（个）和第x天的关系为， ∵， ∴当时，t随x的增大而增大， ∵， ∴当时，t有最大值，最大值为， ∴销量t（个）与第x天（前4天）满足的关系式为，第5天以后第20天的销量最大，最大值为500； （2）解：设y与x的函数解析式为， 把代入得： ， 解得， ∴y与x的函数解析式为， ①当时，， 当时，W有最大值，最大值为； ②当时，， ∵， ∴当时，W有最大值，最大值为， ∴第20天时W的最大值为4000元． ∴W（元）与x的函数关系式为；第20天时工厂利润最大，最大利润为4000元． 17．（2023·安徽六安·模拟预测）已知二次函数是常数． (1)当时，求这个二次函数的顶点坐标； (2)随着的变化，二次函数的图象发生变化，但它们的顶点都在某条线上，求这条线的函数解析式； (3)已知点、关于函数对称轴对称，且、两点的横坐标分别是，，求点纵坐标的最小值． 【答案】(1)这个二次函数的顶点坐标为 (2) (3)点纵坐标的最小值为 【分析】解析式化成顶点式，即可求得顶点坐标； 把解析式化成，即可得到顶点坐标为，由顶点都在某条线上，即可求得这条线的函数解析式为； 根据题意求得对称轴为直线，由得对称轴为直线，即可得到，解得：，从而求得点的横坐标是，点纵坐标，根据二次函数的性质即可求得点纵坐标的最小值为． 【解析】（1）解：， 当时，， 则这个二次函数的顶点坐标为； （2） ， 顶点坐标为， 顶点都在某条线上，设顶点坐标为 则 由①得：， 代入②得：， 这条线的函数解析式为； （3）已知点、关于函数对称轴对称，且、两点的横坐标分别是，， 对称轴为直线， 由得对称轴为直线， ， 解得：， 此时点的横坐标分别是， 点纵坐标为： ， 点纵坐标的最小值为． 能力提升 1．（2024·安徽合肥·三模）如图，已知抛物线过点，与轴交于，与轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)点是轴上的一个动点，当的值最小时，求点的坐标； (3)如图2，连接，在上方的抛物线上是否存在一动点，使面积取得最大值，若存在，求出点坐标，并求的最大面积． 【答案】(1) (2)点的坐标为 (3)存在，点的坐标为，最大值为 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求得直线的解析式为，又两点之间线段最短，得此时取最小值，最小值为线段的长度．令，求解即可； （3）过点作轴，交轴于点，过点作轴，交轴于点．如图所示．先求出直线的解析式为．设点的坐标为，则点的坐标为，点的坐标为，进而利用面积公式构造二次函数即可得解． 【解析】（1）解：将点，代入，得 解得 ∴该抛物线的解析式为． （2）解：如图，作关于轴对称点，连接交轴于点， 中，令，则， ∴． 设直线的解析式为， 把，代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， ∵两点之间线段最短， ∴此时取最小值，最小值为线段的长度． 令， ∴， ∴点的坐标为． （3）解：过点作轴，交轴于点，过点作轴，交轴于点．如图所示． 设直线的解析式为（）， ∵点，． ∴解得 ∴直线的解析式为． ∵该抛物线的解析式为， ∴设点的坐标为， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴ ， ∵， ∴当时，点的坐标为，取最大值，为． 2．（2024·安徽马鞍山·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点，和点两点，与y轴交于点，点D为线段上的一动点． (1)求二次函数的表达式； (2)如图①，连接，并延长交抛物线于点E，若，求点E的坐标； (3)如图②，过动点D作交抛物线第一象限部分于点P，连接，，记与的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标，并求出此时S的最大值． 【答案】(1) (2)点E的坐标为或 (3)点P的坐标为，S的最大值为． 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式，即可解题； （2）作，交于点，证明，利用相似三角形性质得到，利用待定系数法求出直线，根据建立等式求解，即可得到点E的坐标； （3）由（2）知直线的解析式，且同理可得直线的解析式，根据设直线的解析式为，点P的坐标为，得到直线的解析式，联立直线和直线的解析式表示出点，再利用三角形面积公式表示出S，利用二次函数的最值即可求出点P的坐标和S的最大值． 【解析】（1）解：二次函数的图象与x轴交于点，和点两点，与y轴交于点， ， 解得， 二次函数的表达式为； （2）解：作，交于点， 则， ， ， ， ， ， 由题知点，点，点， 设直线的解析式为， 将点，代入解析式中， 有，解得， 直线的解析式为， ， 解得或， 当时，，当时，， 点E的坐标为或； （3）解：由（2）知直线的解析式为， 且同理可得直线的解析式为， ， 设直线的解析式为，点P的坐标为， ，解得， 直线的解析式为， ， 解得， 将代入中，有， ， 点D，点P都在第一象限， ， ， ， ， ， ， 当，即点P的坐标为时，S有最大值为． 3．（2024·安徽合肥·二模）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)点D为抛物线上一点且在x轴上方，满足，求D点坐标； (3)点M为线段上一动点（不与B，C重合），过点M作轴于点P，交抛物线于点N．如图2，在抛物线上找一点Q，连接，，，使得与的面积相等，①求出点Q到直线的距离；②当线段的长度最小时，直接写出此时Q点坐标． 【答案】(1) (2) (3)①１；②或 【分析】（1）把，点分别代入解析式，计算即可． （2）取点，先证明，再计算直线的解析式，联立抛物线的解析式构造一元二次方程，解答即可． （3）确定直线的解析式为：，设，则，，则，，设，则点Q到直线的距离为， 利用三角形面积相等，构造二次函数求值计算即可． 【解析】（1）把，点分别代入解析式，得 得， 解得， 故抛物线的解析式为． （2）取点，作直线交抛物线于点Ｄ， ∵抛物线， ∴， ∵，点， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得， 故直线的解析式为． 根据题意，得， 解得（舍去）， 当时，， 故． （3）设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：， 设，则，， ∴，，， 设， 则点Q到直线的距离为， ①， ∵与的面积相等， ∴ 解得， 故点Q到直线的距离为１； ②根据点Q到直线的距离为１，点Q到直线的距离为， ∴， ∴或， 当时， 则， 又， ∴ ， 令， ∵， ∴函数p有最小值，且当时，p取得最小值1， 此时Q点坐标． 当时， 则， 又， ∴ ， 令， ∵， ∴函数p有最小值，且当时，p取得最小值1， 此时Q点坐标． ． 4．（2023·安徽六安·三模）已知抛物线与直线l交于A，B两点，坐标分别为，． (1)求b，c的值； (2)若将直线l沿着y轴向上平移个单位，平移后的直线与抛物线有且只有一个交点，求m的值； (3)如图，若点C是位于直线AB上方抛物线上一点，过点C作直线直线，求直线与直线之间距离的最大值． 【答案】(1) (2) (3)直线与直线l之间距离的最大值为 【分析】（1）把，代入解析式求解即可得出答案； （2）设直线l的函数表达式为，利用待定系数法求出直线l的函数表达式，从而得出平移后的直线的解析式，再连接抛物线解析式，令，根据一元二次方程根的情况即可求出答案； （3）如图，过点C作轴，交直线AB于点D，设AB交x轴于点E，交y轴于点F．设，，得出，结合即可得出答案． 【解析】（1）把，分别代入中， 得 解得： （2）设直线l的函数表达式为． 把，分别代入中， 得 解得： ∴直线l的函数表达式为． ∴平移后的直线表达式为． 由（1）知抛物线的函数表达式为． ∵平移后的直线与抛物线有且只有一个交点 ∴令， ∴有两个相等的实数根． ∴， ∴． （3）如图，过点C作轴，交直线AB于点D，交x轴于点M，设AB交x轴于点E，交y轴于点F． 设，，    ∴． ∵， ∴当时，． 过点C作，垂足为G． 由直线AB的解析可知，它与x，y轴交点的坐标分别为，， ∴为等腰直角三角形， 轴， ， ． ∴， ∴CG的最大值为． ∴直线与直线l之间距离的最大值为． 5．（2023·内蒙古呼和浩特·一模）某校九年级学生小丽、小强和小红到某商场参加了社会实践活动，在活动中他们参与了某商品的销售工作，已知该商品的进价为40元/件，售价为60元/件、下面是他们活动后的对话：小丽：我发现此商品如果按60元件销售，每星期可卖出300件．小强：我发现在售价60元件的基础上调整价格，每涨价1元，每星期比小丽所调查的销售量300件要少卖出10件．小红：我发现在售价60元件的基础上调整价格，每降价1元，每星期比小丽所调查的销售量300件要多卖出20件． (1)若设每件涨价x元，则每星期实际可卖_______件，每星期售出商品的利润（元）与x的关系式为=____________，x的取值范围是_________． (2)若设每件降价a价，则每星期售出商品的利润（元）与a的关系式为=________． (3)在涨价情况下，如何定价才能使每星期售出商品的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)，，，且为整数． (2) (3)商品的定价为65元时，销售利润最大，最大为6250元． 【分析】本题主要考查二次函数的实际应用，理解题目中的数量关系，列出函数解析式是解题的关键． （1）根据每涨价1元，每星期比小丽所调查的销售量300件要少卖出10件，由此即可求解； （2）根据每降价1元，每星期比小丽所调查的销售量300件要多卖出20件，由此即可求解； （3）根据（1）中数量关系，将变形为顶点式，即可求解． 【解析】（1）解：∵进价为40元件，按60元件销售，每星期可卖出300件，每涨价1元，每星期比销售量300件要少卖出10件， 设每件涨价元， 现在每件的销售价格为：元，销售量为：件，每件的利润为元， ，即， ，则， ，且为整数， 故答案为：，，，且为整数． （2）解：∵进价为40元件，按60元件销售，每星期可卖出300件，每降价1元，每星期比销售量300件要多卖出20件， 设每件降价元， 现在销售价为：，销售量为：件，每件的利润为：元， 即， 故答案为：． （3）解：由（1）可知，，， ， 当时，商品的利润最大，最大利润， 商品的定价为65元时，销售利润最大，最大为6250元． 6．（2023·安徽宿州·模拟预测）甲、乙两汽车出租公司均有辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对话： 甲公司经理：如果我公司每辆汽车月租费元，那么辆汽车可以全部租出，如果每辆汽车的月租费每增加元，那么将少租出辆汽车，另外，公司为每辆租出的汽车支付月维护费元． 乙公司经理：我公司每辆汽车月租费元，无论是否租出汽车，公司均需一次性支付月维护费共计元． 说明：①汽车数量为整数；②月利润月租车费月维护费； 在两公司租出的汽车数量相等且都为（单位：辆，）的条件下，甲的利润用表示（单位：元），乙的利润用（单位：元）表示，根据上述信息，解决下列问题： (1)分别表示出甲、乙的利润，什么情况下甲、乙的利润相同？ (2)甲公司最多比乙公司利润多多少元？ (3)甲公司热心公益事业，每租出辆汽车捐出元（）给慈善机构，如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，且仅当两公司租出的汽车均为辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大，求的取值范围． 【答案】(1)；；当每个公司租出的汽车为辆时，两公司的月利润相等 (2)甲公司最多比乙公司利润多18050元 (3) 【分析】（1）设每个公司租出的汽车为辆，根据月利润相等得到方程，解之即可得到结果； （2）设两公司的月利润分别为，，月利润差为，由（1）可得和的表达式，再列出关于的表达式，根据二次函数的性质，结合的范围求出最值即可； （3）根据题意得到利润差为，得到对称轴，再根据两公司租出的汽车均为辆，结合为整数可得关于的不等式，即可求出的范围． 【解析】（1）解：设每个公司租出的汽车为辆， 由题意可得：， 而， 两公司的月利润相等可得：， 解得：或舍， 当每个公司租出的汽车为辆时，两公司的月利润相等； （2）解：设两公司的月利润分别为，，月利润差为， 则， ， 当甲公司的利润大于乙公司时，， ， ∴当时，函数有最大值18050， ∴甲公司最多比乙公司利润多18050元； （3）解：∵捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润， 则利润差为， 对称轴为直线， 只能取整数，且当两公司租出的汽车均为16辆时，月利润之差最大， ∴， 解得：． $$