微专题三 方程解的情况（讲练）（思维导图+4种题型（含4种解题技巧））-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（安徽专用）

第二章 方程（组）与不等式（组） 微专题三 方程解的情况 （思维导图+4种题型（含4种解题技巧）） 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 01知识导图·思维引航 02题型精研·考向洞悉 ►题型01 方程解的含义 ►题型02 同解问题 ►题型03 整数解问题 ►题型04 有解、无解问题 03分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 04题型精研·考向 ►题型01 方程解的含义 例1．（2024·湖北·模拟预测）若关于x的一元二次方程有一个根是，求b的值及方程的另一个根． 1.方程解的含义：将方程的解代入方程可以使方程两边相等； 2.已知一元二次方程的一个根求另一个根时，通常将已知方程的解代入方程，求出参数的值，在解方程，求出另一个解； 3.已知一元二次方程的一个根求另一个根时，也可以根据韦达定理直接求出方程的另一个解； 1．（2024·湖北·模拟预测）请写一个一元二次方程，使得它的一个根为2，另一个根为负数，则这个一元二次方程可以是 ．（写一个即可） 2．（2024·河南驻马店·模拟预测）已知方程，请写出该方程的一组解： ． 3．（2024·山东济南·二模）若一元一次方程的解为，则 ． 4．（2023·江苏镇江·模拟预测）阅读下列材料： 方程 的解是； 方程的解是； 方程的解是；… 根据上述结论，写出一个解为的分式方程 ． ►题型02 同解问题 例2．（2024·广东江门·一模）已知方程组与有相同的解． (1)求m和n值， (2)已知的两边，的长是关于x的一元二次方程的两个实数根，第三边的长为5，求的面积． 二元一次方程组的同解问题一般有三种： 1.两个方程组中有一个方程组是不含参数的，将不含参数的方程组的解代入含参数的方程组中，解关于参数的方程组，求出参数的值； 2.两个方程组中都有一个二元一次方程含有参数，通常是将两个方程组中不含有参数的方程放在一起组成新的方程，解出方程组的解，再将两个含有参数的方程放在一起组成新的方程组，该方程组与不含参数的方程组同解，将已知方程组的解代入，求出参数的值； 3.两个二元一次方程组未知数的系数和常数项相同，但未知数不同，它们也是同解的，有时第二个方程组中的未知数是一个代数式，需要把整个代数式看成整体； 1．关于的方程的解是，现给出另一个关于的方程，则它的解是 ． 2．已知方程组和方程组有相同的解，则m的值是 ． 3．数学学霸甲、乙两人在一次解方程组比赛中，甲求关于的方程组的正确解与乙求关于的方程组的正确的解相同．则的值为 . 4．（2024·湖南长沙·一模）已知方程组和方程组有相同的解，求，的值． ►题型03 整数解问题 例3．（2024·四川眉山·二模）先化简，再求值：，其中的值是不等式组的整数解． 1.不等式组中的整数解问题通常需要用参数表示出不等式组的解集，根据整数解的数量确定参数的范围。 2.方程中的整数解问题，通常需要将方程的解写成或的形式， （1）当化成的形式时，需要在参数的范围内讨论分子是分母的倍数的情况，即是的倍数； （2）当化成的形式时，需要在参数的范围内讨论分母是分子的因数的情况，即是的因数。 1．（2023·四川绵阳·模拟预测）使得关于的分式方程有正整数解，且关于的不等式组至少有2个整数解，那么符合条件的所有整数的和为（   ） A． B． C． D． 2．（2024·重庆南岸·模拟预测）若关于的一元一次不等式组至少有两个整数解；且关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数的值之和是 ． 3．（2024·湖北武汉·模拟预测）求满足不等式组的整数解． 4．（2024·湖北武汉·模拟预测）求不等式组所有整数解的和． ►题型04 有解、无解问题 例4．（2024·上海·模拟预测）求证：方程有无数多解 1.一元一次方程、分式方程、二元一次方程（组）的有无解问题可以先将方程（组）化成的形式； （1）当时，方程有唯一解； （2）当,且时，方程无解； （3）当,且时，方程有无数解； 2.二元一次方程组的有无解的情况也可以单独理解，例如，当时方程组有唯一解；当时方程组有无数解；当时方程组无解； 3.分式方程无解的问题还包括增根的情况，即分式方程的解若是增根则方程无解； 4.一元二次方程解的情况则是判断判别式的正负，即时，一元二次方程有两个不相等的实数根；时，一元二次方程有两个相等的实数根；时，一元二次方程无实数根。 1．（2023·四川成都·二模）若关于x的分式方程有增根，则a的值是 （ ） A． B． C．0 D．1 2．（2024·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知关于x的分式方程无解，则k的值为 ． 3．（2023·甘肃酒泉·一模）已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ． 4．（2024·四川广安·模拟预测）已知关于x的一元二次方程没有实数根，则m的取值范围是 ． 基础巩固 1．（2024·山东济南·中考真题）若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·山东日照·中考真题）若关于的方程解为正数，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 3．（2023·四川巴中·模拟预测）若关于x的分式方程有解，则实数m应满足的条件是（    ） A． B． C． D． 4．（2023·重庆渝中·一模）若关于的不等式组无解，且关于的分式方程有整数解，则满足条件的所有整数的和为（   ） A．10 B．12 C．16 D．14 5．（2024·广东·模拟预测）下列数值不是不等式组 的整数解的是（   ） A． B． C．0 D．1 6．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）不等式组的整数解为 ． 7．（2023·山东枣庄·三模）已知关于的分式方程有增根，则 ． 8．若关于x的分式方程无解，则 ． 9．（2024·湖南益阳·二模）若关于的方程有解，则的取值范围是 ． 10．（2024·上海徐汇·二模）关于的一元二次方程根的情况是：原方程 实数根． 11．（2024·山东滨州·一模）对于任意实数k，关于x的方程的实数根的情况为 ． 12．（2023·广东汕头·一模）若，则关于x的方程的实数根的个数为 ． 13．（2023·江苏扬州·一模）解不等式组：并求出它的所有整数解的和． 14．已知关于的一元二次方程（为实数且）． (1)求证：此方程总有实数根； (2)如果此方程的实数根都是整数，求正整数的值． 15．（2024·湖南岳阳·模拟预测）求不等式组的非负整数解． 16．（2023·湖北·中考真题）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根； (2)设该方程的两个实数根为a，b，若，求m的值． 17．解答下列问题:已知关于的方程 （1）为何值时，方程无解？ （2）为何值时，方程的解为负数？ 18．（2023·四川南充·中考真题）已知关于x的一元二次方程 (1)求证：无论m为何值，方程总有实数根； (2)若，是方程的两个实数根，且，求m的值． 能力提升 1．（2023·浙江·模拟预测）已知关于的方程的方程恰好有一个实数解，求的值及方程的解． 2．（2024·浙江·模拟预测）已知方程（x为实数），请你解答下列问题： (1)若，解此方程； (2)若，求证：此方程至少有一个实数根； (3)设此方程有两个不相等的实数根分别为．若，求证：． 3．已知，关于x的分式方程． (1)当，时，求分式方程的解； (2)当时，求b为何值时分式方程无解； (3)若，且a、b为正整数，当分式方程的解为整数时，求b的值． 4．（2023·云南·模拟预测）若，是一元二次方程（，a，b，c为常数）的两个根，则，．这个定理叫做韦达定理． 如：，是方程的两个根，则、 已知：M、N是方程的两根，记；，， (1)__________， __________；（直接写出答案） (2)当且为整数时，猜想，，之间有何关系？并证明．并利用结论求的值． $$第二章 方程（组）与不等式（组） 微专题三 方程解的情况 （思维导图+4种题型（含4种解题技巧）） 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 01知识导图·思维引航 02题型精研·考向洞悉 ►题型01 方程解的含义 ►题型02 同解问题 ►题型03 整数解问题 ►题型04 有解、无解问题 03分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 04题型精研·考向 ►题型01 方程解的含义 例1．（2024·湖北·模拟预测）若关于x的一元二次方程有一个根是，求b的值及方程的另一个根． 【答案】，方程的另一个根是 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的定义，解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌握解一元二次方程的方法和熟知一元二次方程根的定义．将代入方程求得到b的值，然后解一元二次方程即可． 【解析】解：∵是的一个根， ∴ 解得， 将代入原方程得， ∴ 解得，， ∴，方程的另一个根是． 1.方程解的含义：将方程的解代入方程可以使方程两边相等； 2.已知一元二次方程的一个根求另一个根时，通常将已知方程的解代入方程，求出参数的值，在解方程，求出另一个解； 3.已知一元二次方程的一个根求另一个根时，也可以根据韦达定理直接求出方程的另一个解； 1．（2024·湖北·模拟预测）请写一个一元二次方程，使得它的一个根为2，另一个根为负数，则这个一元二次方程可以是 ．（写一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据另一个根为负数，令方程另一个根为，结合根与系数的关系，得，，则该一元二次方程为，即可作答． 【解析】解：依题意，令方程另一个根为， 则，， 该方程可以为． 故答案为：（答案不唯一）． 2．（2024·河南驻马店·模拟预测）已知方程，请写出该方程的一组解： ． 【答案】 （答案不唯一） 【分析】本题考查了二元一次方程的解，令，求出y值即可． 【解析】解：当时，， 故答案为： （答案不唯一）． 3．（2024·山东济南·二模）若一元一次方程的解为，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，把代入方程得出，再求出方程的解即可． 【解析】解：把代入方程得：， 解得：， 故答案为：3． 4．（2023·江苏镇江·模拟预测）阅读下列材料： 方程 的解是； 方程的解是； 方程的解是；… 根据上述结论，写出一个解为的分式方程 ． 【答案】 【分析】本题考查根据分式方程的特点与解的规律来写分式方程，观察所给的材料信息时，要注意从特殊形式到一般形式的规律与特征． 由具体的分式方程发现左右两边分母之差为1，再结合方程的解构建方程即可． 【解析】∵方程 的解是， 方程的解是， 方程的解是， …； ∴解是的方程为， ∴解是的方程为． 故答案为：． ►题型02 同解问题 例2．（2024·广东江门·一模）已知方程组与有相同的解． (1)求m和n值， (2)已知的两边，的长是关于x的一元二次方程的两个实数根，第三边的长为5，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了同解方程组，解一元二次方程，解二元一次方程组，勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握同解方程组的定义，求出m、n的值． （1）解方程组得，根据同解方程组，得出方程组的解为，代入求出m、n的值即可； （2）把代入得出，解一元二次方程得出的两边长分别为3，4，根据勾股定理逆定理得出为直角三角形，求出结果即可． 【解析】（1）解：由方程组得：， ∵方程组与有相同的解， ∴方程组的解为， ∴， 解得：； （2）解：把代入关于x的一元二次方程得：， 解得：，， ∴的两边长分别为3，4， ∵第三边的长为5， 又∵， ∴为直角三角形， ∴． 二元一次方程组的同解问题一般有三种： 1.两个方程组中有一个方程组是不含参数的，将不含参数的方程组的解代入含参数的方程组中，解关于参数的方程组，求出参数的值； 2.两个方程组中都有一个二元一次方程含有参数，通常是将两个方程组中不含有参数的方程放在一起组成新的方程，解出方程组的解，再将两个含有参数的方程放在一起组成新的方程组，该方程组与不含参数的方程组同解，将已知方程组的解代入，求出参数的值； 3.两个二元一次方程组未知数的系数和常数项相同，但未知数不同，它们也是同解的，有时第二个方程组中的未知数是一个代数式，需要把整个代数式看成整体； 1．关于的方程的解是，现给出另一个关于的方程，则它的解是 ． 【答案】2 【分析】根据方程的解是，求得a，把a的值代入，转化为新的一元一次方程，求解即可 【解析】∵方程的解是， ∴2a=a+1+6， 解得a=7， ∴方程变形为：14（x-1）=8（x-1）+6， ∴6（x-1）=6， ∴x-1=1， ∴x=2， 故答案为：2． 2．已知方程组和方程组有相同的解，则m的值是 ． 【答案】5 【分析】两方程组有相同的解，那么将有一组x、y值同时适合题中四个方程，把题中已知的两个方程组成一个方程组，解出x、y后，代入中直接求解即可． 【解析】解：解方程组 解得 代入得，． 故答案为5． 3．数学学霸甲、乙两人在一次解方程组比赛中，甲求关于的方程组的正确解与乙求关于的方程组的正确的解相同．则的值为 . 【答案】2 【分析】重新组合方程组，首先得到关于x，y的方程组，求得x，y的值后，得到关于a、b的方程组，解这个方程组得到a、b的值，最后求出a20018+（-b）20018的值． 【解析】由题意可得，这两个方程组的解相同，则 ， 解得：， 把代入得：； ∴原式=120018+(−×10)20018=1+1=2． 故答案为2 4．（2024·湖南长沙·一模）已知方程组和方程组有相同的解，求，的值． 【答案】， 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法和步骤是解题关键．利用加减消元法解方程组得到的值，再把的值代入方程组求解即可得到答案． 【解析】解：根据题意，可有， ①②，可得 ， 解得 ， 把代入①，可得， 解得， ∴该方程组的解为， ∵方程组和方程组有相同的解， ∴，． ►题型03 整数解问题 例3．（2024·四川眉山·二模）先化简，再求值：，其中的值是不等式组的整数解． 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值，求不等式组的整数解，先将括号内式子通分，变分式除法为分式乘法，约分化简，再求出不等式组的最小整数解，代入化简后的式子求值即可． 【解析】解： ； 由分式的意义，可知，， ， 解不等式，得， 解不等式，得， 不等式组的解集为， 不等式组的整数解是，0,1，2，其中，0,1不符合分式的意义， x只能取2. 将代入得：原式． 1.不等式组中的整数解问题通常需要用参数表示出不等式组的解集，根据整数解的数量确定参数的范围。 2.方程中的整数解问题，通常需要将方程的解写成或的形式， （1）当化成的形式时，需要在参数的范围内讨论分子是分母的倍数的情况，即是的倍数； （2）当化成的形式时，需要在参数的范围内讨论分母是分子的因数的情况，即是的因数。 1．（2023·四川绵阳·模拟预测）使得关于的分式方程有正整数解，且关于的不等式组至少有2个整数解，那么符合条件的所有整数的和为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查含参数的分式方程和一元一次不等式组的综合，熟练掌握分式方程和一元一次不等式组的解法，是解题的关键，特别注意，要检验分式方程的增根． 根据分式方程求出a的范围, 然后再根据不等式组求出a的范围，从而确定a满足条件的所有整数值，求和即可． 【解析】解不等式组，得， 不等式组至少有2个整数解， ， ， 解分式方程，得， 为正整数，， 或或， 时，，原分式方程无解， 故将舍去， 符合条件的所有整数的和是． 故选：B． 2．（2024·重庆南岸·模拟预测）若关于的一元一次不等式组至少有两个整数解；且关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数的值之和是 ． 【答案】20 【分析】根据不等式组的整数解的个数确定a的取值范围，再根据分式方程的非负数解确定a的取值范围，从而求出符合条件的所有整数即可得结论． 本题考查了不等式组的整数解、分式方程的解，解决本题的关键是根据不等式组的整数解的个数及分式方程的解确定a的取值范围． 【解析】解：∵ ， 解不等式①得：； 解不等式②得， ∴的解集为， ∵不等式组至少有两个整数解， ∴， 解得； ∵， 去分母得：， 整理，得， 故， ∵方程有非负数整数解， ∴， ∴， ∵时，是方程的增根， 此时，无意义，舍去， ∴或或或且 ∴符合题意的整数a的值为， ∴符合条件的所有整数a的和是， 故答案为：． 3．（2024·湖北武汉·模拟预测）求满足不等式组的整数解． 【答案】，， 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解，解题的关键是会根据未知数的范围确定它所满足的特殊条件的值．分别求出两个不等式的解集，再根据不等式组解集的确定方法确定不等式组的解集，最后写出符合条件的整数解即可． 【解析】解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， 原不等式组的解集为：， 故不等式组的整数解为：，，． 4．（2024·湖北武汉·模拟预测）求不等式组所有整数解的和． 【答案】3 【分析】此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分求出不等式组的解集，进而求出整数解之和即可． 【解析】解：， 由①得：， 由②得：， 不等式组的解集为，即整数解为1，2， 则所有整数解的和为． ►题型04 有解、无解问题 例4．（2024·上海·模拟预测）求证：方程有无数多解 【分析】该题主要考查了二元一次方程的解，正确理解题意是解题的关键． 将方程化为，得出当y取任意一个实数，则有对应的x值，即可证明． 【解析】证明：方程可化为， 当时，， 当时，， 当时，， 以此类推，当y取任意一个实数，则有对应的x值， 可以取任意值， 此时方程有无数组解． 1.一元一次方程、分式方程、二元一次方程（组）的有无解问题可以先将方程（组）化成的形式； （1）当时，方程有唯一解； （2）当,且时，方程无解； （3）当,且时，方程有无数解； 2.二元一次方程组的有无解的情况也可以单独理解，例如，当时方程组有唯一解；当时方程组有无数解；当时方程组无解； 3.分式方程无解的问题还包括增根的情况，即分式方程的解若是增根则方程无解； 4.一元二次方程解的情况则是判断判别式的正负，即时，一元二次方程有两个不相等的实数根；时，一元二次方程有两个相等的实数根；时，一元二次方程无实数根。 1．（2023·四川成都·二模）若关于x的分式方程有增根，则a的值是 （ ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式方程有增根的问题，正确解分式方程得到是解题的关键．先解分式方程得到，再根据分式方程有增根得到，解方程即可得到答案． 【解析】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， ∵分式方程有增根， ∴，即， ∴， ∴， 故选A． 2．（2024·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知关于x的分式方程无解，则k的值为 ． 【答案】或0 【分析】本题主要考查了解分式方程和分式方程的解，先按照解分式方程的一般步骤解分式方程，再根据分式方程无解时分式方程中的分母为0，列出关于k的分式方程，解分式方程即可，解题关键是熟练掌握解分式方程的一般步骤聚和分式方程无解的条件． 【解析】解：， ∴， ∴， ∴， ∵关于x的分式方程无解， ∴， 解得：，即， ∴或， 解得：或， 故答案为：或． 3．（2023·甘肃酒泉·一模）已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ． 【答案】 且． 【分析】本题考查了一元二次方程的定义、一元二次方程根的判别式．首先根据一元二次方程的定义可得，从而可得，根据一元二次方程有实数根可得，解不等式可得：，从而求解，． 【解析】解：关于的一元二次方程有实数根， ，， 由，可得， 由， 可得：， 的取值范围是且． 故答案为： 且． 4．（2024·四川广安·模拟预测）已知关于x的一元二次方程没有实数根，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了根的判别式，用一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求出两个不等式的公共部分即可． 【解析】根据题意得且， 解得． 故答案为：． 基础巩固 1．（2024·山东济南·中考真题）若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根，由题意得出，计算即可得出答案． 【解析】解：∵关于的方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， 故选：B． 2．（2023·山东日照·中考真题）若关于的方程解为正数，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】将分式方程化为整式方程解得，根据方程的解是正数，可得，即可求出的取值范围． 【解析】解： ∵方程的解为正数，且分母不等于0 ∴， ∴，且 故选：D． 3．（2023·四川巴中·模拟预测）若关于x的分式方程有解，则实数m应满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式方程的解，解分式方程得：即，由题意可知，即可得到m． 【解析】解：， 方程两边同时乘以，得：， 整理得：， ∵分式方程有解， ∴， ∴， 即， ∴， 故选：D． 4．（2023·重庆渝中·一模）若关于的不等式组无解，且关于的分式方程有整数解，则满足条件的所有整数的和为（   ） A．10 B．12 C．16 D．14 【答案】B 【分析】先求得不等式组中各不等式的解集，根据不等式组无解可求得的取值范围，然后求得分式方程的解，根据解为整数，且，即可求得满足条件的所有整数的值． 【解析】 解不等式，得 ． 解不等式，得 ． 因为关于的不等式组无解，可得 ． 解得 ． 解关于的分式方程，得 ． ∵为整数，，, ∴或或． ∴满足条件的所有整数的和． 故选：B． 5．（2024·广东·模拟预测）下列数值不是不等式组 的整数解的是（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了不等式组的解法及整数解的确定．先求出每个不等式的解集，再确定其公共解，得到不等式组的解集，最后求其整数解即可． 【解析】解：解不等式得， 解不等式得， ∴不等式组的解为：， ∴整数解为：， 不符合的整数为， 故选A． 6．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）不等式组的整数解为 ． 【答案】0 【分析】本题考查求不等式组的整数解，先求出每一个不等式的解集，进而求出不等式组的解集，即可得出整数解． 【解析】解：解不等式组，得：， ∴， ∴不等式组的整数解为0； 故答案为：0． 7．（2023·山东枣庄·三模）已知关于的分式方程有增根，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的增根，理解产生增根的原因是解题的关键．解出方程的解，根据方程有增根，得到关于的方程，求出即可． 【解析】解：方程两边乘得：， ， 方程有增根， ， ， ， ． 故答案为：． 8．若关于x的分式方程无解，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程无解求参数，去分母得，由原方程无解得，即可求解；理解分式方程无解（增根）满足的条件：“①增根是化简后对应整式方程的根，②使最简公分母的值为零．”是解题的关键． 【解析】解：方程两边同乘以，得 ， ， 原方程无解， ， ∴ 解得：， 故答案：． 9．（2024·湖南益阳·二模）若关于的方程有解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的解，解题的关键是注意分母不为0这个条件． 把分式方程化简后得，根据关于的方程有解，则方程的根使得分式方程有意义，即，则，答案可解． 【解析】解： 方程两边同时乘()得：， 解得：， ∵关于的方程有解， ∴，即， ∴ ，即， 故答案为：． 10．（2024·上海徐汇·二模）关于的一元二次方程根的情况是：原方程 实数根． 【答案】有两个不相等的 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求解即可． 【解析】解：由题意得，， ∴原方程有两个不相等的实数根， 故答案为：有两个不相等的． 11．（2024·山东滨州·一模）对于任意实数k，关于x的方程的实数根的情况为 ． 【答案】方程没有实数根 【分析】本题考查了根的判别式，计算方程根的判别式，判断其符号即可，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键． 【解析】∵， ∴ ， ∴不论k为何值，，即， ∴方程没有实数根， 故答案为：方程没有实数根． 12．（2023·广东汕头·一模）若，则关于x的方程的实数根的个数为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．计算根的判别式，根据k的取值范围，得到判别式的取值范围，即可得到结论． 【解析】解：∵， ∴ ， 因为， 所以， 故方程有两个不相等的实数根， 故答案为：2． 13．（2023·江苏扬州·一模）解不等式组：并求出它的所有整数解的和． 【答案】， 【分析】此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键． 分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，进而求出整数解的和即可． 【解析】 解：不等式组， 由①得， 由②得：， 不等式组的解集为，即整数解为，，，0，1， 则整数解的和为． 14．已知关于的一元二次方程（为实数且）． (1)求证：此方程总有实数根； (2)如果此方程的实数根都是整数，求正整数的值． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】本题考查的是根的判别式，因式分解法解一元二次方程． （1）求出的值，再判断出其符号即可； （2）先求出x的值，再由方程的实数根都是整数，且m是正整数求出m的值即可． 【解析】（1）解：依题意，得 ， ， ． ∵， ∴方程总有实数根； （2）解：∵ ， ∴，． ∵方程的两个实数根都是整数，且是正整数， ∴或． ∴或． 15．（2024·湖南岳阳·模拟预测）求不等式组的非负整数解． 【答案】0，1，2 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解不等式组时要注意解集的确定原则：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解了．首先分别解出两个不等式的解集，再求其公共解集即可． 【解析】 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集为 ∴不等式组的非负整数解为：0，1，2 16．（2023·湖北·中考真题）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根； (2)设该方程的两个实数根为a，b，若，求m的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)的值为1或 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式可进行求解； （2）根据一元二次方程根与系数的关系可进行求解． 【解析】（1）证明：∵， ∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． （2）解：∵的两个实数根为， ∴． ∵， ∴，． ∴． 即． 解得或． ∴的值为1或． 17．解答下列问题:已知关于的方程 （1）为何值时，方程无解？ （2）为何值时，方程的解为负数？ 【答案】（1）或；（2）且 【分析】(1)将分式通分后得出新的方程,①令新方程无解解出即可;②原分式分母为零,解出x代入新方程解出m. (2)将新方程的x表示出来,令方程小于零,解出即可. 【解析】 由上得:2x=(m-2)x-6,整理得:(4-m)x=-6. (1)①当4-m=0即m=4时,原方程无解; ②当分母x+3=0即x=-3时,方程无解; 故2×(-3)=(m-2)×(-3) －6, 解得m=2, 综上所述,m=4或m=2. (2) 当m≠4时, , 解得 综上所述, 且. 18．（2023·四川南充·中考真题）已知关于x的一元二次方程 (1)求证：无论m为何值，方程总有实数根； (2)若，是方程的两个实数根，且，求m的值． 【答案】(1)见解析 (2)或． 【分析】（1）根据一元二次方程根的情况与判别式的关系，只要判定即可得到答案； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得到，，整体代入得到求解即可得到答案． 【解析】（1）证明：关于的一元二次方程， ∴，，， ∴， ∵，即， ∴不论为何值，方程总有实数根； （2）解：∵，是关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∵， ∴， ∴，整理，得，解得，， ∴m的值为或． 能力提升 1．（2023·浙江·模拟预测）已知关于的方程的方程恰好有一个实数解，求的值及方程的解． 【答案】, 或，；或或，或， 【分析】去分母，转化为整式方程，根据整式方程为一元一次方程，即，为一元二次方程，即，分别求解．而当方程为一元二次方程时，又分为 方程有等根，满足方程恰好有一个实数解，若，则方程有两不等实根，且其中一个为增根，而增根只可能为或． 【解析】解：两边同乘,得， 若， 若，由题意，知， 解得， 当时，，当时，， 若方程有两不等实根，则其中一个为增根， 当时，，， 当时，，． 2．（2024·浙江·模拟预测）已知方程（x为实数），请你解答下列问题： (1)若，解此方程； (2)若，求证：此方程至少有一个实数根； (3)设此方程有两个不相等的实数根分别为．若，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查一元二次方程的知识，涉及一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，解一元二次方程． （1）将代入，利用配方法求解方程即可； （2）利用一元二次方程根的判别式，结合，得到，根据，即可证明； （3）根据题意原方程为，由一元二次方程根与系数的关系的到，再根据完全平方公式变形得到，从而得到，根据根的判别式得到即可证明结论． 【解析】（1）解：， 原方程为， 解得：； （2）证明：中， ， ， ， ， ， 此方程至少有一个实数根； （3）证明：根据题意原方程为，且方程有两个不相等的实数根分别为， ， ， ， 即， ． 3．已知，关于x的分式方程． (1)当，时，求分式方程的解； (2)当时，求b为何值时分式方程无解； (3)若，且a、b为正整数，当分式方程的解为整数时，求b的值． 【答案】(1) (2) (3)3、29、55、185 【分析】（1）将a和b的值代入分式方程，解分式方程即可； （2）把a的值代入分式方程，分式方程去分母后化为整式方程，分类讨论b的值，使分式方程无解即可； （3）将a=3b代入方程，分式方程去分母化为整式方程，表示出整式方程的解，由解为整数和b为正整数确定b的取值． 【解析】（1）解：把a=2，b=1代入原分式方程中， 得：， 方程两边同时乘以， 得：， 解得：， 检验：把代入， ∴原分式方程的解为：． （2）解：把a=1代入原分式方程中， 得：， 方程两边同时乘以， 得：， 去括号，得：， 移项、合并同类项，得：， ①当时，即，原分式方程无解； ②当时，得， Ⅰ.时，原分式方程无解， 即时， 此时b不存在； Ⅱ.x=5时，原分式方程无解， 即时， 此时b=5； 综上所述，时，分式方程无解． （3）解：把a=3b代入分式方程中， 得：， 方程两边同时乘以， 得：， ， 解得：， ∵b为正整数，x为整数， ∴10+ b必为195的因数，10+b≥11， ∵195=3×5×13， ∴195的因数有1、3、5、13、15、39、65、195， ∵1、3、5都小于11， ∴10十b可以取13、15、39、65、195这五个数， 对应地，方程的解x=3、5、13、15、17， 又x=5为分式方程的增根，故应舍去， 对应地，b只可以取3、29、55、185， ∴满足条件的b可取3、29、55、185这四个数． 4．（2023·云南·模拟预测）若，是一元二次方程（，a，b，c为常数）的两个根，则，．这个定理叫做韦达定理． 如：，是方程的两个根，则、 已知：M、N是方程的两根，记；，， (1)__________， __________；（直接写出答案） (2)当且为整数时，猜想，，之间有何关系？并证明．并利用结论求的值． 【答案】(1)1，3； (2)，证明见解析； 【分析】本题主要考查了根与系数的关系，解一元二次方程： （1）根据根与系数的关系得到，即可得到，然后利用完全平方公式计算出即可； （2）观察（1）的计算结果可得到；由于方程的两根为，则原式，然后根据规律可计算出，从而得到原式的值． 【解析】（1）解：∵M、N是方程的两根， ∴，， ∴， 故答案为：1，3； （2）解：，证明如下： ∵M、N是方程的两根， ∴， ∴，， ∴ ； 解方程得， ∴， ∵， ∴ ∴， ， ， ∴， ∴原式． $$