微专题六 函数图像与系数的关系（讲练）（思维导图+5种题型（含3种解题技巧））-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（安徽专用）

第三章 函数 微专题六 函数图像与系数的关系 （思维导图+5种题型（含3种解题技巧）） 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 01知识导图·思维引航 02题型精研·考向洞悉 ►题型01 判断一次函数的图象 ►题型02 判断反比例函数的图象 ►题型03 二次函数图象与各项系数符号 ►题型04 一次函数、二次函数图象综合判读 ►题型05 反比例函数与二次函数图象综合判读 03分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 02知识导图·思维引航 04题型精研·考向洞悉 ☛题型01 判断一次函数的图象 例1．（2023·四川达州·模拟预测）在平面直角坐标系中，直线与直线分别交于点A，B．直线与交于点C．记线段，，围成的区域（不含边界）为W；横，纵坐标都是整数的点叫做整点．若区域W内没有整点，则k的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数图象的性质，一次函数中交点的计算，掌握一次函数图象的性质，数形结合，分类讨论思想是解题的关键．根据题意，分类讨论：当时，直线过第二、三、四象限，直线，；当，直线过第一、三、四象限，直线，；由题意作图分析即可求解． 【解析】解：当时，直线过第二、三、四象限，直线，，如图所示， ∴区域内必有原点，不符合题意，舍去； 当，直线过第一、三、四象限，直线，，如图所示， ∴当时，，即， 当时，， 解得，，即， 当时，，即在直线的图象上，不在区域内， ∵，， ∴区域内，横坐标的范围是从到，不存在整点，纵坐标的范围从到，不存在整点，符合题意； 当时， ∴， 同理，，，， ∴当时，，，， 当时，，，， ∴当时，存在整点，当，不存在整点； 当时，如图所示， 横坐标为的边界点为和，线段长为， ∴区域内有整点，不符合题意； 综上所述，或时，区域内没有整点， 故答案为：或 ． 1.时，直线向右上方倾斜； 2.时，直线向左下方倾斜； 3.时，直线与轴交于正半轴； 4.时，直线与轴交于负半轴； 1．（2024·湖南岳阳·模拟预测）已知一次函数，下列说法错误的是（   ） A．图象不经过第二象限 B．图象与两坐标轴围成的三角形面积是4 C．y随x的增大而减小 D．当时， 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象性质，结合一次函数的图象性质对各个选项逐个判断即可求解，掌握一次函数的图象性质是解题的关键． 【解析】解：A、，，所以图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，故选不符合题意； B、图象与轴交于点，与轴交于点，所以图象与两坐标轴围成的三角形面积是：，故选不符合题意； C、，所以y随x的增大而增大，故选项符合题意； D、当时，，正确，故选不符合题意； 故选：C． 2．（2024·广东汕头·模拟预测）如图，两直线和且在同一平面直角坐标系内的图象位置可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的图象．根据一次函数的性质即可判断． 【解析】解：当，时，直线经过一、二、三象限；则直线经过一、二、三象限；无正确选项； 当，时，直线经过一、三、四象限；则直线经过一、二、四象限；A选项正确； 当，时，直线经过一、二、四象限；则直线经过一、三、四象限；无正确选项； 当，时，直线经过一、三、四象限；则直线经过一、三、四象限；无正确选项； 故选：A． 3．（2024·贵州黔东南·二模）已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)当点的坐标为时，求，的值； (2)将一次函数的图象沿轴向下平移4个单位长度后，使得点，关于原点对称，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握待定系数法求解析以及反比例函数的性质是解题的关键． （1）待定系数法求解析式即可； （2）根据正比例函数的中心对称性即可求出的值． 【解析】（1）解：将点代入一次函数， 得， 解得， 将点代入反比例函数， 得； （2）解：一次函数的图象沿轴向下平移4个单位长度后，可得， 根据题意，得， 解得． 4．（2023·河北秦皇岛·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于，两点，直线与轴，轴分别交于，两点，这两条直线的交点在第二象限． (1)求直线的解析式； (2)当点的坐标为时，求四边形的面积； (3)已知点从点开始沿射线运动，作轴交于点，设点的横坐标为，当点，都是整点（横、纵坐标都是整数）时，区域就会发光一次．若点离开点后，在水平方向上向右每移动4个单位长度，区域才发光一次，求的值； (4)若（3）中的点在直线上运动，其他条件不变．作轴，轴，垂足分别为，．设四边形的周长为，点的坐标为，当时，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3) (4)的值为或 【分析】（1）根据待定系数法直接求解析式即可； （2）利用大三角形面积减去小三角形面积即可； （3）点的横坐标为，轴交于点，得到，当点，都是整点（横、纵坐标都是整数）时，，，都是整数，根据在水平方向上向右每移动4个单位长度，区域才发光一次，得到，8，时，和才同时为整数，于是得到结论； （4）当时，不满足，写出时，与的关系式，通过的值求出的值． 本题为一次函数综合题，考查一次函数的性质和待定系数法求一次函数解析式，能够通过坐标判断线段的长度是解答本题的关键． 【解析】（1）解：依题意，设直线的解析式为， 代入点， 得， ， 直线的解析式为； （2）解：点的坐标为代入得，， ， ， ， ， ， ， 联立， 解得，， 点的坐标为，， 的面积为，的面积为， 四边形的面积为； （3）解：点的横坐标为，轴交于点， 点在射线上，点在直线上， ，， 当点，都是整点（横、纵坐标都是整数）时，，，都是整数， 在水平方向上向右每移动4个单位长度，区域才发光一次，即，8，时，和才同时为整数， 此时，，，， 的值为； （4）解：如图， ①由题意可知， 四边形为矩形，点的坐标为，点的坐标为 ，， 周长， ； 故不满足， 当时，如图， 此时点坐标为，点坐标为， ，， ， 当时，， 此时， ． 当点在点的右侧，轴的左边时，同法可得， 当时，， ． 综上所述，的值为或． ☛题型02 判断反比例函数图象 例2．（2024·山西·模拟预测）反比例函数的图象经过、两点，当时，，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的图象上的点的特征，熟知反比例函数的性质是解题的关键． 先根据已知条件判断出函数图象所在的象限，再根据系数k与函数图象的关系解答即可． 【解析】解：∵反比例函数的图象经过、两点，当时，， ∴此反比例函数的图象在二、四象限， ∴． 故答案为：． 1.时，双曲线分布在一三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减少； 2.时，双曲线分布在二四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大； 1．（2024·贵州遵义·二模）已知函数的图象与二次函数的图象交于点，，．若点在轴下方且时，则下列正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象、二次函数的图象，解题的关键是数形结合． 先画出函数图象，根据函数的图象即可得． 【解析】解：如图所示， 根据函数图象得，； 故选：A． 2．（2024·北京·模拟预测）直线与双曲线交于两点（A在第二象限），则的值为 ． 【答案】10 【分析】本题为反比例函数与正比例函数的综合．根据反比例函数上点的坐标特征推出与与的关系，直线与双曲线交点的特征推出与与的关系是解答本题的关键． 先根据点是双曲线上的点可得出，再根据直线与双曲线交于点两点可得，再把此关系代入所求代数式进行计算即可． 【解析】解：∵点是双曲线上的点， ， ∵直线与双曲线交于点两点， 即两点关于原点对称． ， ， 故答案为：10． 3．（2024·重庆·模拟预测）若点，都在反比例函数的图象上，则 （填、或）． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是反比例函数的图像与性质，解题关键是熟练掌握反比例函数图像与性质． 结合反比例函数的图像与性质即可求解． 【解析】解：反比例函数中， 该函数图象经过二、四象限，且在二、四象限中均有随着的增大而增大， ，， ． 故答案为：． 4．（2024·重庆·三模）在如图所示的平面直角坐标系中，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于，两点，过点作轴于点，已知，，则的值为 ． 【答案】12 【分析】本题考查了正比例函数与反比例函数的交点问题，反比例函数的中心对称性，勾股定理，待定系数法求反比例函数的解析式，利用函数的对称性求得的长度是解题的关键．根据对称性可得，利用勾股定理求得，由此可求出点的坐标，然后运用待定系数法即可求得答案． 【解析】反比例函数与正比例函数的图象相交于、两点 轴于点， 反比例函数的图象过点 ，即 故答案为：12． 0☛题型03 二次函数图象与各项系数的关系 例3．（2025·山东临沂·一模）如图，抛物线的对称轴为直线，与 x 轴分别交于，且．下 列结论：① ；②直线与 的交点个数为 1 个；③ ；④ ．正确的有 （填序号）． 【答案】①②③④ 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数的图象与系数之间的关系，开口方向，对称轴，与轴的交点，判断①，图象法判断②，最值判断③，平方差公式结合对称性判断④． 【解析】解：由图象可知：， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线的顶点坐标为：， ∴直线与 的交点个数为 1 个；故②正确； ∵时，函数有最大值， 当时，， ∴，即：，故③正确； ∵抛物线与 x 轴分别交于，且， ∴， ∴ ， ∴，故④正确； 故答案为：①②③④． 1.时，抛物线开口向上；时，抛物线开口向下； 2.同号时抛物线对称轴在y轴的左侧；异号时抛物线对称轴在y轴的右侧； 3.表示抛物线与y轴交点的纵坐标；时，抛物线与y轴交于正半轴；时，抛物线与y轴交于负半轴； 4.当时抛物线与x轴有两个交点；时抛物线与x轴有一个交点；时抛物线与x轴有无交点； 5.当时，；当时，； 6.当时，；当时，； 1．（2022·四川乐山·二模）二次函数的图象如图所示，有下列4个结论： ①；②；③；④，（的实数）其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，能从图象中获取信息是解题的关键． 由抛物线的开口方向判断a，由对称轴在y轴的左边还是右边判断b，由抛物线与y轴的交点判断c，然后根据抛物线对称性进行推理，进而对所得结论进行判断， 【解析】解∵抛物线的开口方向向下， ∴， ∵对称轴在y轴右侧， ∴对称轴为， ∴， ∵抛物线与y轴的交于正半轴上， ∴， ∴，故①错误； ②二次函数的图象与x轴的一个交点在的右边，对称轴为，图象开口方向向下， ∴二次函数的图象与x轴的一个交点在2的右边， ∴当时， 即，故②正确； ∵二次函数的图象与x轴的交点在的右边，图象开口方向向下， ∴当时，， ∴， ∵抛物线对称轴为， ∴， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∵二次函数的图象的对称轴为直线， ∴当时，y取最大值，最大值为， 当时，， ∴，故④正确； 综上所述：正确的结论有②③④，共3个， 故选：C． 2．（2024·福建龙岩·模拟预测）二次函数的图象上有两点和，已知，，．且，则下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的系数符号特征及其性质进行判断求解．先求得对称轴为直线，再判断开口向下，得到，由于顶点位置不确定，点C在y轴位置也不确定，只能判断①⑤正确． 【解析】解：二次函数的图象的对称轴为直线， ∵， ∴点在对称轴左侧，点在对称轴右侧， ∵， ∴点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离， ∵， ∴二次函数的图象开口向下， ∴，即，①正确； ∵顶点位置不确定，点C在y轴位置也不确定， ∴②③④都不正确； ∵，且图象开口向下，对称轴为直线， ∴点和点到对称轴的距离都大于1， ∴点和点的距离都大于2，即正确，故⑤正确． 故选：B． 3．（2024·贵州遵义·模拟预测）如图，抛物线的部分图像与轴的一个交点为．有下列四个结论： ①； ②； ③； ④．其中正确的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，灵活运用二次函数的性质，学会利用函数图像信息解决问题是关键．根据对称轴为直线及图像开口向下可判断出、、的符号，从而判断①；根据函数图像与轴的交点个数，可判断②；由当时，，可判断③；由当时，，即可得出，即，然后根据，，可判断④． 【解析】解：抛物线开口向上， ， 抛物线对称轴为直线， ， ， 抛物线交轴于负半轴， ， ，故①正确； 该函数图像与轴有两个不同的交点， 方程有两个不相等的实数根， ，故②正确； 由图像可知当时，， ，故③正确； 抛物线的部分图像与轴的一个交点为， ， ， ， ，即， ，， ，故④正确； 正确的有①②③④，共个， 故选：D． 4．（2023·湖北随州·模拟预测）如图，二次函数的图象与轴交于、两点，且，与轴交于点，对称轴为直线，为直线与抛物线的交点，且，则下列结论：；；；（其中为任意实数）；若点，，在该抛物线上，则．其中正确的个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，对称轴，以及二次函数与方程之间的转换，由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断，熟练掌握二次函数的图象及性质，能从图象中获取信息是解题的关键． 【解析】解：由图象可知，，，抛物线对称轴为直线，即， ∴， ∴， 故正确； ∵，是抛物线与轴的交点，且，对称轴为直线， ∴， 因此当时，，即， 又∵， ∴， 故正确． 将代入中，得， 又∵， ∴， 解得：或， ∵， ∴点的横坐标为， 即， 又∵， ∴， 故结论正确； 由图象可知，对于，当时，取最大值， ∴，即， 因此结论错误； ∵，，， ∴， ∴，即结论正确． 综上，正确的结论有个， 故选：． 0☛题型04 一次函数、二次函数图象的综合判读 例4．（2023·安徽合肥·模拟预测）已知抛物线的图象如图所示，其对称轴为直线，则一次函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，一次函数的性质，掌握二次函数和一次函数的性质是解题的关键． 先根据二次函数性质得出，进而得出，，判断出一次函数的图象过第一、三、四象限，再判断一次函数与轴交点在与0之间，一次函数与轴交点是1，即可得出答案． 【解析】解：抛物线对称轴为直线， ， ， 根据二次函数图象得， 当时，则， 由图象得， ，， 一次函数的图象过第一、三、四象限， 当时，， ， 一次函数与轴交点在与0之间， 当时，， ， 一次函数与轴交点是1， 故选：C． 1．（2024·安徽合肥·二模）在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图像可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数图像的识别，熟练掌握二次函数图像与一次函数图像的性质是解题关键．根据图像分别判断二次函数解析式中的符合以及一次函数解析式中的符合，判断是否一致，即可获得答案． 【解析】解：A、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项不符合题意； B、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项符合题意； C、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项不符合题意； D、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项不符合题意． 故选：B． 2．（2024·安徽合肥·二模）如图，已知一次函数的图象与一次函数的图象交于第一象限的点A，与x轴交于点，则函数的图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质、二函数的图象和性质，先求出，，再判断二次函数的图象即可. 【解析】解：∵一次函数的图象经过点， ∴，即， ∵一次函数与y轴的交点为，一次函数的图象与y轴交于点， ∴由图象可知，，即， 对于二次函数，其开口向上， 顶点的横坐标为，，顶点的纵坐标为， ∴顶点在第三象限，与y轴交于负半轴， 观察图象可知选D. 故选：D 3．（2024·安徽合肥·二模）一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析图象，确定，a，b的符号一致的，才是可能的，本题考查了函数图象的分布于特征，熟练掌握图象的分布特征是解题的关键 【解析】A、 根据一次函数图象分布，得到即，根据抛物线的图象，得，矛盾，不符合题意； B、根据一次函数图象分布，得到即，根据抛物线的图象，得，即，，矛盾，不符合题意； C、根据一次函数图象分布，得到即，，根据抛物线的图象，得，即，矛盾，不符合题意； D、根据一次函数图象分布，得到即，，根据抛物线的图象，得，即，一致，符合题意； 故选D 4．（2024·安徽蚌埠·一模）已知一次函数与的图象如图所示，则函数 的图象可能是（　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象，二次函数的图象和性质，熟知一次函数的性质，二次函数的性质是解题的关键. 根据一次函数 与 的图象，即可判断 且，据此即可判断函数的图象位置. 【解析】解：由图象可知 ，且， ∴函数的图象开口向下，对称轴在轴的右侧，与轴的交点在的上方，与轴的一个交点为， 故选:C. 0☛题型05 反比例函数、二次函数图象的综合判读 例5．（2024·安徽马鞍山·一模）已知二次函数的图象如图所示，图象与x轴交于，顶点是，则一次函数的图象和反比例函数的图象在同一坐标系中大致为（　　） A．   B．   C．    D．   【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图像，一次函数和反比例函数的图像，熟练掌握知识点是解题的关键． 先由二次函数的图像来确定，的符号，再由顶点坐标的位置确定的符号即可 【解析】解：图象与x轴交于，顶点是， ∴对称轴为直线， ∴图像与x轴另一交点为， ∴设， 化简得：， ∴， 有图像可知，，与x轴有两个交点， ∴， ∴， 而， ∴图像经过第一、二、四象限， ∵顶点在第三象限，∴，∴ 而， ∴反比例函数解析式为， ∴图像过第一、三象限， 综上，可知A选项符合题意． 故选：A． 1．（2024·安徽合肥·一模）已知反比例函数的图象与一次函数的图象如图所示，则函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象和性质，先根据一次函数、反比例函数的图象得到的符号，进而由判断出抛物线与轴的交点位置、对称轴位置，又结合可知抛物线开口向上，据此即可求解，掌握一次函数、反比例函数、二次函数的图象和性质是解题的关键． 【解析】解：由反比例函数的图象可得，， 由一次函数图象与轴的交点在轴的正半轴上可得，， ∵， ∴二次函数与轴的交点在轴的正半轴上， ∵抛物线的对称轴， ∴抛物线的对称轴位于轴的左侧， 又∵， ∴抛物线开口向上， 故选：． 2．（2024·安徽亳州·一模）反比例函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的大致图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图像，二次函数的图像，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想和分类讨论的思想解答． 根据k的取值范围分当时和当时两种情况进行讨论，由反比例函数的图像与性质以及二次函数的图像与性质判断即可． 【解析】解：对于二次函数，当时，， ∴与y轴交于， 当时，，对于反比例函数，图像经过第一、三象限；对于二次函数，开口向下，与y轴交点在y轴负半轴； 当时，，对于反比例函数，图像经过第二、四象限；对于二次函数，开口向上，与y轴交点在y轴正半轴， ∴选项C符合题意． 故选：C． 3．（2023·广东东莞·一模）二次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象如图所示．已知抛物线的对称轴是直线，下列结论： ①，②，③，④． 其中，正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与系数的关系，本题属于基础题型． 根据二次函数的图象与系数的关系，以及反比例函数的图象即可求出答案． 【解析】解：由图象可知：，， ∵， ∴， ∴，故①正确； 由对称轴可知：， ∴， ∴，故②正确； 当时，，故③正确； ∵当时，， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确； 故选：D． 4．（2023·广西南宁·三模）已知反比例函数y＝的图象如图，则二次函数的图象大致为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数与反比例函数的图象与系数的综合应用，本题可先由反比例函数的图象得到字母系数，再与二次函数的图象的开口方向和对称轴的位置相比较看是否一致，最终得到答案． 【解析】解：∵函数的图象经过二、四象限， ∴， 由图知当时，， ∴， ∴抛物线开口向下， 对称轴为，， ∴对称轴在与0之间， 故选：D． 基础巩固 1．（2024·安徽·三模）二次函数（m是常数且）的图象经过点，一次函数的图象经过点，当时，下列结论不一定正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】D 【分析】该题主要考查了二次函数和一次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数和一次函数的图象和性质并画出大致图象． 根据二次函数和一次函数解析式得出两者都恒过定点，与轴的交点都为．当时，画出大致图象，根据选项一一判断即可； 【解析】解：∵， ， ∴抛物线与直线都恒过定点，与轴的交点都为． 当时，大致图象如下， 由图可知，当时，，故A正确，不符合题意； 当时，，故B正确，不符合题意； 当时，，故C正确，不符合题意； 当时，若，则， 若，则，故选项D不一定正确，符合题意． 故选：D． 2．（2024·山东临沂·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示．则下列结论中：①随的增大而增大；②；③．当时，；④关于，的方程组的解为，正确的有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据一次函数的性质，结合图象，逐一进行判断即可． 【解析】解：①、随的增大而增大，故选项①正确； ②．由图象可知，一次函数的图象与轴的交点在的图象与轴的交点的下方，即，故选项②正确； ③．由图象可知：当时，，故选项③错误； ④．由图象可知，两条直线的交点为， ∴关于，的方程组的解为；故选项④正确； 故正确的有①②④共三个， 故选：C． 3．（2024·辽宁·模拟预测）关于一次函数下列说法正确的是（    ） A．图象经过第一、三、四象限 B．图象与y轴交于点 C．y随x的增大而减小 D．当时， 【答案】B 【分析】根据一次函数，得到图象分布在第一、三、二象限，与y轴交于点，于x轴交点坐标为，y随x的增大而增大，当时，，判断即可． 本题考查了一次函数的性质应用，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 【解析】解：∵一次函数， ∴图象分布在第一、三、二象限，与y轴交于点，于x轴交点坐标为，一次函数y随x的增大而增大，且当时，， 故A，C，D都错误，B正确． 故选：B． 4．（2024·浙江台州·一模）一辆出租车从甲地到乙地，当平均速度为时，所用时间为，则t关于v的函数图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题主要考查了函数图象辨别．熟练掌握一次函数的图象和性质，反例函数的图象和性质，是解决问题的关键． 根据“时间=路程÷速度”,得到相应的函数解析式,看属于哪类函数,得到相应图象即可． 【解析】设甲乙两地之间的距离为s， 则（定值）， ， 符合反比例函数的一般形式，且速度和时间均为正数, 图象应为在第一象限的曲线. 故选：D． 5．（2024·内蒙古包头·模拟预测）如图，四边形中，，点在轴上，反比例函数经过点，与交于点，连接．若，，则的值为（   ） A．6 B．8 C．9 D．12 【答案】C 【分析】此题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数的图象和性质、用坐标表示线段长和三角形面积，过作于，由，得到，，设．则，，根据三角形的面积列方程即可得到结论． 【解析】解：如图，过作于， ∵， ∴四边形是矩形． ∴． ∵， ∴． ∴，． 设．则，． ∵， ∴． 则． ∵在反比例函数的图象上， ∴． ∴．即． 故选C． 6．（2024·广东惠州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，的顶点与原点O 重合，角的一边与 x 轴正方向重合，反比例函数与相交于点M， 以 M 为圆心为半径作弧，交 反比例函数于点N， 分别过点M、N作x 轴和y 轴平行线，两线相交于点C，连接、相交于点D， 过 点M 作轴，垂足为E，  与相交点F，   则下列结论：①：②：③：④ 当时，： 其中一定正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，反比例函数与矩形的综合应用，根据反比例函数k的几何意义可判断①；证明四边形是矩形，得，则，而无法证明，故可判断②；运用平行线的性质可判断③；证明可判断④ 【解析】解：①∵点M在反比例函数的图象上，且轴， ∴，故①正确；   设点 M 的坐标为，设点 N 的坐标为， ∴点 C 的坐标为， 设直线的表达式为 代入，得 ∴ ∴直线的表达式为 ， ∴点 F 的坐标为， ∴轴， ∴四边形是矩形， ∴， ， ∴， ， 而无法证明， ∴与不一定相等，故②不正确； ∵是的外角，且， ∴， 又∵轴， ∴， ∴，故③正确； 当时，， ∴， 而， ∴，， ∴，故④正确， 综上，正确的结论是①③④， 故选：C 7．（2023·湖北黄冈·模拟预测）如图，的顶点B落在的图象上，边上的中线经过坐标原点O，点D落在的图象上，连结并延长，交于点E，若，则k的值为（  ） A．8 B．9 C．12 D．13 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的的几何意义，相似三角形的判定与性质，三角形中线的性质，连接，作轴于，于，轴于，于，根据三角形面积公式求出，再由相似三角形的判定与性质得出，最后再根据反比例函数的几何意义以及相似三角形的判定与性质即可得出的值． 【解析】解：如图，连接，作轴于，于，轴于，于， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵点B落在的图象上，点D落在的图象上， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， 故选：B． 8．（2024·江苏盐城·二模）已知点，，在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了函数的图象．注意掌握排除法在选择题中的应用是解此题的关键．由点，关于轴对称，可排除选项A，C，再根据，，可知在轴的右侧，随的增大而增大，从而排除选项B． 【解析】解：由，在同一个函数图象上，可知图象关于轴对称，故选项A，C不符合题意； 由，，可知在轴的右侧，随的增大而增大，故选项B不符合题意，选项D符合题意； 故选：D． 9．（2024·湖北黄冈·模拟预测）如图，二次函数的图象关于直线对称，与x轴交于，两点，若，则下列结论：①，②，③，④，⑤（m为任意实数）．正确结论的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据顶点坐标，数形结合思想，抛物线的性质计算判断即可． 本题考查了抛物线的性质，抛物线与不等式的关系，熟练掌握性质是解题的关键． 【解析】解：∵抛物线开口向上， ∴； ∵对称轴在原点的右边， ∴， ∴，， ∴， ∴①正确； ∵抛物线与x轴交于，两点， ∴， ∴③正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确； ∵，， ∴， 解得，故②正确； ∵时函数取最小值， 且 当时， 函数， 故； ∴， ∴， ∴，故⑤错误； 故选D． 10．（2024·广东·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于点和B，与y轴的正半轴交于点C．下列结论： ；；；，其中正确结论是 ． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标以及过特殊点时系数a、b、c所满足的关系，结合不等式的性质逐个进行判断即可． 【解析】解：①∵由抛物线的开口向下， ， ∵对称轴位于y轴的左侧， ∴a、b同号，即． ， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ， ， ∴①正确； ②如图，当时，， ∴②正确； ③对称轴为，即， ， ，即， ∴③错误； ④当时，， 又， ，即． ∴④正确， 综上所述，正确的结论是①②④， 故答案为：①②④． 11．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知二次函数的图象如图所示，下列结论： ①；②一元二次方程的解为，；③；④．其中，正确的是 ． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系：由抛物线开口方向得到，然后利用抛物线与轴的交点得到，由对称轴在右侧得对称轴为直线，则，再结合图象与轴交于和，可判断②，可得对称轴为直线，则，根据当时，当时，求得的值即可判断③④． 【解析】解：∵函数图象开口向上，交轴负半轴，且对称轴在右侧， ∴，，对称轴为直线，则， ∴，故①正确； 由函数图象可知，图象与轴交于和，则对称轴为直线， ∴方程的解为，， 即一元二次方程的解为，，故②正确； 由图象可知，当时，， 即：，故③不正确； ∵对称轴为直线， ∴， 当时，， 即，故④正确； 故答案为：①②④． 12．（2024·四川广安·模拟预测）抛物线的图象如图所示，对称轴为直线．下列说法：①；②；③（t为全体实数）；④若图象上存在点和点，当时，满足，则m的取值范围为．其中正确的有 ． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，掌握相关结论是解题关键．①由图可知抛物线与轴的另一个交点在和之间，进而得抛物线与y轴交点必然位于负半轴，结合开口方向和对称轴可得，即可判断；②根据当时，，即可判断；③当时，;当时，;根据，即可判断；④点和点关于对称轴直线对称，可得，即可判断； 【解析】解：由图可知：抛物线与轴的一个交点在和之间 ∵对称轴为直线， ∴抛物线与轴的另一个交点在和之间 ∴抛物线与y轴交点必然位于负半轴 ∴ ∵抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴ ∴，故①正确； 由分析可知：当时， ∵ ∴ ∴ 即：，故②正确； 当时，; 当时，; ∴ 即： ∵ ∴，故③错误； ∵点和点，满足， ∴点和点关于对称轴直线对称 ∴ ∵ ∴ 即：，故④正确； 故答案为：①②④ 13．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知抛物线（是常数，）经过点和，且．下列结论： ①； ②； ③当时，若点在抛物线上，则； ④若关于x的方程有两个相等的实数根，则． 其中正确的结论是 ．（填写序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上的点的坐标特征，抛物线与x轴的交点等知识，由已知抛物线过点，得，再得到对称轴，进一步得到，再根据二次函数图象与系数的关系，逐一判断即可，掌握相关知识是解题的关键． 【解析】解：如图： 由已知抛物线过点，得， ∵经过点， ∴对称轴， ∵，， ∴对称轴：，即， ①当时，；当时，，则，故①符合题意， ②抛物线过点，所以， 又∵， ∴，故②符合题意； ③当时， ∴t不确定，故③不符合题意， ④若关于x的方程有两个相等的实数根，有两个相等的实数根， ∴，即， ∴， ∴， ∵抛物线为， ∴， 又∵， 解得，故④符合题意， 故答案为：①②④． 14．（2023·安徽六安·模拟预测）已知直线经过抛物线的顶点，且当时，．则： （1）直线与抛物线都经过同一个定点，这个定点的坐标是 ． （2）当时，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】（1）先把两抛物线变形可得与都经过同一个点，即可求解； （2）根据题意可得直线与抛物线的交点为，，再结合当时，，画出大致图象，即可． 【解析】解：（1）∵， ∴直线经过点， ∵， ∴抛物线经过点， 即与都经过同一个点； 故答案为： （2）∵， ∴抛物线的顶点为， ∵直线经过抛物线的顶点， ∴直线与抛物线的交点为，， ∵当时，， ∴，． 画出大致图象如下： ∴当时．的取值范围是． 故答案为： 15．（2022·安徽马鞍山·一模）设二次函数与x轴的交点为，若且y的最小值为． （1） ； （2）当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】（1）先根据题意判断出，然后利用在顶点处取最小值以及推出，再根据即可解答； （2）根据二次函数图像和性质列出不等式求解即可． 【解析】解：（1）根据题意可知，二次函数的最小值为， ∴图像是开口向上的，则， ∴当时，， ∴，整理得：， ∵ ∴， ∵二次函数与x轴的交点为， ∴，即， 故答案为：； （2）由（1）可知：，即， ∵当时，不等式恒成立， ∴，整理得：， ∵，抛物线的对称轴为直线， ∴当时， ∴解得：，与矛盾，舍去； 当时， ∵， ∴，解得： ∴实数a的取值范围为; 当时， ∵， ∴，解得：与矛盾，舍去 综上，当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为． 故答案为：． 能力提升 1．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，函数的图象经过，两点．若的面积为6，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质．熟练掌握反比例函数k的几何意义，是解决问题的关键．根据条件和k的几何意义得到，代入坐标整理得到，依据，转化为，可求出，将所求代数式化简后代入数据即可得到结果． 【解析】解：如图，作轴，轴，垂足分别为D、C， ∵，， ∴， ∴， 又， 整理得：，则， ∵， ∴， ∴，即 解得，或（舍去）， ∴． 故答案为：．    2．（2024·上海青浦·模拟预测）如图，四边形为矩形，点A在第二象限，点A关于的对称点为点D，点B，D都在函数的图象上，轴于点E．若的延长线交x轴于点F，当矩形的面积为时，点F的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形性质，轴对称性质，反比例函数的“k”的几何含义，勾股定理，一次函数及其图象性质，分解因式等知识，解决问题的关键是变形等式，进行分解因式． 作轴于G，连接，设和交于I，设点，根据矩形的面积得出三角形的面积，将三角形的面积转化为梯形的面积，从而得出a，b的等式，将其分解因式，从而得出a，b的关系，进而在直角三角形中，根据勾股定理列出方程，进而求得B，D的坐标，进一步可求得结果． 【解析】解：如图， 作轴于G，连接，设和交于I， 设点， 由对称性可得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，（舍去）， ∴，即：， 在中，由勾股定理得，， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， 设直线的解析式为，将点B代入得， 解得：， ∴直线的解析式为：， 同理得：直线的解析式为：， 当时，， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（2024·山东日照·模拟预测）如图，点、是反比例函数图象上的两点，延长线段交轴于点，且点为线段的中点，过点作轴于点，点为线段的三等分点，且．连接、，若，则的值为 ； 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题．设，其中，则由B是中点可求得点坐标，由点C在y轴上，得m与n的关系，从而得D、E的坐标；连接，则得，根据，则可求得k的值． 【解析】解：设，其中， 由于点B是的中点， 则； 因点C在y轴上，则， ∴； 即，； ∵轴于点，点为线段的三等分点，且 ∴D点的坐标为，E点坐标为， ∴，； 如图，连接， ∵点为线段的中点， ∴； ∵， ∴， 即， 整理得：， 解得：； 故答案为：． 4．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知抛物线（是常数）经过点，其对称轴为，且当时，对应的函数值．下列结论： ①； ②关于x的方程的正实数根在1和之间； ③若抛物线经过点和，则点在直线的下方； ④和在该二次函数的图象上，则仅当实数时， 其中正确的结论是 ．（填序号） 【答案】② 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程等知识，熟练运用二次函数的图象与性质是解题关键，①根据对称轴得出，将代入表达式求出，再根据当时，对应的函数值得出，进而判断；②根据对称轴为，且当时，对应的函数值判断即可；③根据点和关于对称轴对称进行判断即可；④利用在该二次函数的图象上，且，得出时，进而判断． 【解析】解：①对称轴为， ， ， 将代入，得， ， 时，， ， ，故①错误，不合题意； ②对称轴为，且当时，对应的函数值，， 时，对应的函数值， 抛物线是常数与x轴的另一个交点在和之间， 关于x的方程的正实数根在1和之间，故②正确，符合题意； ③抛物线经过点和，且， 点和关于对称轴对称， ， 点在直线轴上， 当点在第一象限时，点在直线的上方，故③错误，不合题意； ④和在该二次函数的图象上，且， 时，，故④错误，不合题意． 故答案为：②． 5．（2024·山东淄博·一模）二次函数的图象的一部分如图所示，已知图象经过点，其对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④；⑤点是抛物线上的两点，若，则；⑥若抛物线经过点，则关于x的一元二次方程的两根分别为．其中正确的有 （填序号）． 【答案】①③⑥ 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题关键是根据二次函数图象，确定字母系数的符号和相关式子；根据二次函数图象的性质，逐项判断即可． 【解析】解：由所给函数图象可知， 抛物线开口向下，， 因为抛物线的对称轴为直线， 所以，即， ∵抛物线与y轴交点在正半轴， ∴ 所以． 故①正确． 因为抛物线与x轴有两个不同的交点， 所以． 故②错误． 由函数图象可知， 当时，函数值小于零， 则． 又因为抛物线的对称轴为直线， 所以， 即， 所以， 即． 故③正确． 因为抛物线与x轴的一个交点坐标为，且对称轴为直线， 所以抛物线与x轴的另一个交点坐标为， 则． 又因为， 所以． 故④错误． 当点在抛物线对称轴的右侧时， 因为抛物线开口向下， 所以在对称轴右侧的部分，y随x的增大而减小， 即时，． 故⑤错误． 方程的根可看成函数的图象与直线的交点的横坐标， 因为抛物线经过点， 所以函数的图象与直线的一个交点的横坐标为． 又因为抛物线的对称轴为直线， 所以函数的图象与直线的另一个交点的横坐标为5， 所以关于x的一元二次方程的两根分别为． 故⑥正确． 故答案为：①③⑥． 6．（2023·广东广州·二模）已知二次函数满足：（1）； （2）；（3）图像与x轴有2个交点，且两交点间的距离小于2；则以下结论中正确的有 ． ①； ②； ③； ④． 【答案】①②④ 【分析】由可得图像过点，由、可得可判断①；图像与x轴有2个交点，且两交点间的距离小于2，则另一交点坐标在右侧，再代入解析式可判断②且图像对称轴一定在x轴的正半轴，即；再结合a，b异号可判定③；由可得，再代入可得，然后再根据不等式的性质给两边同除以即可解答． 【解析】解：∵ ∴图像过点 ∵，， ∴，故①正确； ∵图像与x轴有2个交点，且两交点间的距离小于2 ∴图像一定不过，且另一交点坐标在右侧， ∴，即②正确； ∴图像对称轴一定在x轴的正半轴， ∴， ∵a，b异号， ∴，故③此选项错误； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故④选项正确． 故答案为①②④． $$第三章 函数 微专题六 函数图像与系数的关系 （思维导图+5种题型（含3种解题技巧）） 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 01知识导图·思维引航 02题型精研·考向洞悉 ►题型01 判断一次函数的图象 ►题型02 判断反比例函数的图象 ►题型03 二次函数图象与各项系数符号 ►题型04 一次函数、二次函数图象综合判读 ►题型05 反比例函数与二次函数图象综合判读 03分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 02知识导图·思维引航 04题型精研·考向洞悉 ☛题型01 判断一次函数的图象 例1．（2023·四川达州·模拟预测）在平面直角坐标系中，直线与直线分别交于点A，B．直线与交于点C．记线段，，围成的区域（不含边界）为W；横，纵坐标都是整数的点叫做整点．若区域W内没有整点，则k的取值范围是 ． 1.时，直线向右上方倾斜； 2.时，直线向左下方倾斜； 3.时，直线与轴交于正半轴； 4.时，直线与轴交于负半轴； 1．（2024·湖南岳阳·模拟预测）已知一次函数，下列说法错误的是（   ） A．图象不经过第二象限 B．图象与两坐标轴围成的三角形面积是4 C．y随x的增大而减小 D．当时， 2．（2024·广东汕头·模拟预测）如图，两直线和且在同一平面直角坐标系内的图象位置可能是（　　） A． B． C． D． 3．（2024·贵州黔东南·二模）已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)当点的坐标为时，求，的值； (2)将一次函数的图象沿轴向下平移4个单位长度后，使得点，关于原点对称，求的值． 4．（2023·河北秦皇岛·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于，两点，直线与轴，轴分别交于，两点，这两条直线的交点在第二象限． (1)求直线的解析式； (2)当点的坐标为时，求四边形的面积； (3)已知点从点开始沿射线运动，作轴交于点，设点的横坐标为，当点，都是整点（横、纵坐标都是整数）时，区域就会发光一次．若点离开点后，在水平方向上向右每移动4个单位长度，区域才发光一次，求的值； (4)若（3）中的点在直线上运动，其他条件不变．作轴，轴，垂足分别为，．设四边形的周长为，点的坐标为，当时，直接写出的值． ☛题型02 判断反比例函数图象 例2．（2024·山西·模拟预测）反比例函数的图象经过、两点，当时，，则k的取值范围是 ． 1.时，双曲线分布在一三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减少； 2.时，双曲线分布在二四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大； 1．（2024·贵州遵义·二模）已知函数的图象与二次函数的图象交于点，，．若点在轴下方且时，则下列正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（2024·北京·模拟预测）直线与双曲线交于两点（A在第二象限），则的值为 ． 3．（2024·重庆·模拟预测）若点，都在反比例函数的图象上，则 （填、或）． 4．（2024·重庆·三模）在如图所示的平面直角坐标系中，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于，两点，过点作轴于点，已知，，则的值为 ． 0☛题型03 二次函数图象与各项系数的关系 例3．（2025·山东临沂·一模）如图，抛物线的对称轴为直线，与 x 轴分别交于，且．下 列结论：① ；②直线与 的交点个数为 1 个；③ ；④ ．正确的有 （填序号）． 1.时，抛物线开口向上；时，抛物线开口向下； 2.同号时抛物线对称轴在y轴的左侧；异号时抛物线对称轴在y轴的右侧； 3.表示抛物线与y轴交点的纵坐标；时，抛物线与y轴交于正半轴；时，抛物线与y轴交于负半轴； 4.当时抛物线与x轴有两个交点；时抛物线与x轴有一个交点；时抛物线与x轴有无交点； 5.当时，；当时，； 6.当时，；当时，； 1．（2022·四川乐山·二模）二次函数的图象如图所示，有下列4个结论： ①；②；③；④，（的实数）其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2024·福建龙岩·模拟预测）二次函数的图象上有两点和，已知，，．且，则下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2024·贵州遵义·模拟预测）如图，抛物线的部分图像与轴的一个交点为．有下列四个结论： ①； ②； ③； ④．其中正确的个数为（    ） A． B． C． D． 4．（2023·湖北随州·模拟预测）如图，二次函数的图象与轴交于、两点，且，与轴交于点，对称轴为直线，为直线与抛物线的交点，且，则下列结论：；；；（其中为任意实数）；若点，，在该抛物线上，则．其中正确的个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 0☛题型04 一次函数、二次函数图象的综合判读 例4．（2023·安徽合肥·模拟预测）已知抛物线的图象如图所示，其对称轴为直线，则一次函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 1．（2024·安徽合肥·二模）在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图像可能是（　　） A． B． C． D． 2．（2024·安徽合肥·二模）如图，已知一次函数的图象与一次函数的图象交于第一象限的点A，与x轴交于点，则函数的图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   3．（2024·安徽合肥·二模）一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·安徽蚌埠·一模）已知一次函数与的图象如图所示，则函数 的图象可能是（　） A． B． C． D． 0☛题型05 反比例函数、二次函数图象的综合判读 例5．（2024·安徽马鞍山·一模）已知二次函数的图象如图所示，图象与x轴交于，顶点是，则一次函数的图象和反比例函数的图象在同一坐标系中大致为（　　） A．   B．   C．    D．   1．（2024·安徽合肥·一模）已知反比例函数的图象与一次函数的图象如图所示，则函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·安徽亳州·一模）反比例函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的大致图像可能是（    ） A． B． C． D． 3．（2023·广东东莞·一模）二次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象如图所示．已知抛物线的对称轴是直线，下列结论： ①，②，③，④． 其中，正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2023·广西南宁·三模）已知反比例函数y＝的图象如图，则二次函数的图象大致为（　　） A． B． C． D． 基础巩固 1．（2024·安徽·三模）二次函数（m是常数且）的图象经过点，一次函数的图象经过点，当时，下列结论不一定正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 2．（2024·山东临沂·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示．则下列结论中：①随的增大而增大；②；③．当时，；④关于，的方程组的解为，正确的有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2024·辽宁·模拟预测）关于一次函数下列说法正确的是（    ） A．图象经过第一、三、四象限 B．图象与y轴交于点 C．y随x的增大而减小 D．当时， 4．（2024·浙江台州·一模）一辆出租车从甲地到乙地，当平均速度为时，所用时间为，则t关于v的函数图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   5．（2024·内蒙古包头·模拟预测）如图，四边形中，，点在轴上，反比例函数经过点，与交于点，连接．若，，则的值为（   ） A．6 B．8 C．9 D．12 6．（2024·广东惠州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，的顶点与原点O 重合，角的一边与 x 轴正方向重合，反比例函数与相交于点M， 以 M 为圆心为半径作弧，交 反比例函数于点N， 分别过点M、N作x 轴和y 轴平行线，两线相交于点C，连接、相交于点D， 过 点M 作轴，垂足为E，  与相交点F，   则下列结论：①：②：③：④ 当时，： 其中一定正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 7．（2023·湖北黄冈·模拟预测）如图，的顶点B落在的图象上，边上的中线经过坐标原点O，点D落在的图象上，连结并延长，交于点E，若，则k的值为（  ） A．8 B．9 C．12 D．13 8．（2024·江苏盐城·二模）已知点，，在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（    ） A． B． C． D． 9．（2024·湖北黄冈·模拟预测）如图，二次函数的图象关于直线对称，与x轴交于，两点，若，则下列结论：①，②，③，④，⑤（m为任意实数）．正确结论的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．（2024·广东·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于点和B，与y轴的正半轴交于点C．下列结论： ；；；，其中正确结论是 ． 11．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知二次函数的图象如图所示，下列结论： ①；②一元二次方程的解为，；③；④．其中，正确的是 ． 12．（2024·四川广安·模拟预测）抛物线的图象如图所示，对称轴为直线．下列说法：①；②；③（t为全体实数）；④若图象上存在点和点，当时，满足，则m的取值范围为．其中正确的有 ． 13．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知抛物线（是常数，）经过点和，且．下列结论： ①； ②； ③当时，若点在抛物线上，则； ④若关于x的方程有两个相等的实数根，则． 其中正确的结论是 ．（填写序号） 14．（2023·安徽六安·模拟预测）已知直线经过抛物线的顶点，且当时，．则： （1）直线与抛物线都经过同一个定点，这个定点的坐标是 ． （2）当时，的取值范围是 ． 15．（2022·安徽马鞍山·一模）设二次函数与x轴的交点为，若且y的最小值为． （1） ； （2）当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为 ． 能力提升 1．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，函数的图象经过，两点．若的面积为6，则的值为 ． 2．（2024·上海青浦·模拟预测）如图，四边形为矩形，点A在第二象限，点A关于的对称点为点D，点B，D都在函数的图象上，轴于点E．若的延长线交x轴于点F，当矩形的面积为时，点F的坐标为 ． 3．（2024·山东日照·模拟预测）如图，点、是反比例函数图象上的两点，延长线段交轴于点，且点为线段的中点，过点作轴于点，点为线段的三等分点，且．连接、，若，则的值为 ； 4．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知抛物线（是常数）经过点，其对称轴为，且当时，对应的函数值．下列结论： ①； ②关于x的方程的正实数根在1和之间； ③若抛物线经过点和，则点在直线的下方； ④和在该二次函数的图象上，则仅当实数时， 其中正确的结论是 ．（填序号） 5．（2024·山东淄博·一模）二次函数的图象的一部分如图所示，已知图象经过点，其对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④；⑤点是抛物线上的两点，若，则；⑥若抛物线经过点，则关于x的一元二次方程的两根分别为．其中正确的有 （填序号）． 6．（2023·广东广州·二模）已知二次函数满足：（1）； （2）；（3）图像与x轴有2个交点，且两交点间的距离小于2；则以下结论中正确的有 ． ①； ②； ③； ④． $$