第二章 方程（组）与不等式（组）（测试）-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（安徽专用）

第二章 方程（组）与不等式（组）（测试） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知是方程的解，则c的值为（   ） A．4 B．2 C．1 D．0 2．有编号分别为的8个球，其中6个球一样重，另外两个都轻1克，为了找出这两个轻球，用天平称了三次：第一次比重，第二次比轻，第三次和一样重，则两个轻球的编号应该是（   ） A．④⑤ B．③⑥ C．③⑤ D．③④ 3．已知是二元一次方程组的解，则等于（   ） A．11 B．9 C．2 D． 4．不等式组中，不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 5．已知关于的分式方程有增根，则的值是（   ） A． B． C． D． 6．用配方法解方程时，配方后的形式正确的是（   ） A． B． C． D． 7．已知关于x的方程，下列说法中正确的是（　　） A．当时，方程无解 B．当时，方程有两个不相等的实根 C．当时，方程有一个实根 D．当时，方程一定有两个不相等的实根 8．如图①，在矩形中，动点从点出发，沿的路线运动，当点到达点时停止运动．若，交边于点，设点运动的路程为，，已知关于的函数图象如图②所示，当时，的值为（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 9．当三个非负实数x，y，z满足关系式与时，的最大值是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 10．定义：由，构造的二次函数叫做一次函数的“滋生函数”．若一次函数的“滋生函数”是，是关于的方程的根，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 11．已知满足，则正数的最小值是 ． 12．若方程的两根分别为，，则 ． 13．新定义：关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是 ． 14．如果一个四位数满足各数位上的数字都不为0，将它的千位数字与百位数字之积记为，十位数字与个位数字之和记为，记，若为整数，则称这个四位数为“公正数”.例如：是整数，是“公正数”;不是整数，不是“公正数”.请问最大的“公正数”是 .若自然数和都是“公正数”，其中，且为整数)，的千位上的数字比百位上的数字大1，十位上的数字比个位上的数字大2，且，规定:，则的最大值是 . 三、（本大题2个小题，每小题8分，共16分） 15．解方程 (1)； (2)． 16．（1）解方程： （2）解不等式组：． 四、（本大题2个小题，每小题8分，共16分） 17．定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“和谐方程”． (1)判断一元二次方程是否为“和谐方程”，说明理由； (2)已知是关于x的“和谐方程”，若是此“和谐方程”的一个根，求m，n的值． 18．已知，是一元二次方程的两个实数根． (1)求实数的取值范围； (2)若，满足不等式，求的取值范围． 五、（本大题2个小题，每小题10分，共20分） 19．观察下面的变化规律，解答下列问题： ，，，． (1)若为正整数，猜想__________，并且验证你的猜想； (2)解分式方程：； (3)利用上述规律计算：． 20．解决含有绝对值符号的问题，通常根据绝对值符号里所含式子的正负性，去掉绝对值符号，转化为不含绝对值符号的问题再解答．例如：解不等式．解： ①当，即时，原式化为：，解得，此时，不等式的解集为；②当，即时，原式化为：，解得，此时，不等式的解集为；综上可知，原不等式的解集为或． (1)请用以上方法解不等式关于的不等式：； (2)已知关于的二元一次方程组的解满足，求整数的和； (3)已知关于的方程组满足方程组的未知数的值为整数，系数也为整数且．求满足条件的和的值． 六、（本题满分12分） 21．“三折叠，怎么折，都有面．”华为“三折叠”一经上市，便火遍全国，形成一股“折叠风”．9月10日，华为新出的型号为“Mate XT非凡大师”的手机在深圳湾召开发布会，某华为手机专卖网店抓住商机，购进10000台“Mate XT 非凡大师”手机进行销售，每台的成本是20000元，在线同时向国内、国外发售．第一个星期，国内销售每台售价是25000元，共获利1000万元，国外销售也售出相同数量该款手机，但每台成本增加4000元，获得的利润却是国内的6倍． (1)求该店销售该款华为手机第一个星期在国外的售价是多少元？ (2)受中美贸易战影响，第二个星期，国内销售每台该款手机售价在第一个星期的基础上降低，销量上涨；国外销售每台售价在第一个星期的基础上上涨，并且在第二个星期将剩下的手机全部卖完，结果第二个星期国外的销售总额比国内的销售总额多6993万元，求的值． 七、（本题满分12分） 22．已知，如图①，在平行四边形中，，，，沿的方向匀速平移得到，速度为：同时，点Q从点C出发，沿方向速移动，速度为，当停止平移时，点Q也停止移动，如图②，设移动时间为，连接，解答下列问题：： (1)当t为何值时，； (2)设的面积为， ①求y与t之间的函数关系式； ②是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 八、（本题满分14分） 23．我们知道，平方具有非负性，若一个代数式能化成几个代数式的平方和，则这个代数式也会具有非负性．有时我们也可以借助函数图象，利用图象判断代数式的非负性． (1)下列代数式具有非负性的有 （填序号）； ；                         ； ；                  ． (2)已知：，，， 试问是否具有非负性？ 请说明理由； (3)二次三项式（，，为常数，），对任意的不等式 恒成立． ①代数式 非负性；（填“具有”或“不具有”） ②若，二次函数 与直线交于点，，用线段围成一个平行四边形，求这个平行四边形面积的最大值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 方程（组）与不等式（组）（测试） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知是方程的解，则c的值为（   ） A．4 B．2 C．1 D．0 【答案】D 【解析】解：∵是方程的解， ∴， ∴， 故选：D． 2．有编号分别为的8个球，其中6个球一样重，另外两个都轻1克，为了找出这两个轻球，用天平称了三次：第一次比重，第二次比轻，第三次和一样重，则两个轻球的编号应该是（   ） A．④⑤ B．③⑥ C．③⑤ D．③④ 【答案】A 【解析】解：∵比重， ∴③与④中至少有一个轻球， ∵比轻， ∴⑤与⑥至少有一个轻球， ∵和一样重， ∴从第三次称量看，①、③、⑤三个球中有一个轻的，②、④、⑧三个球中有一个轻的． ∴两个轻球的编号是④⑤． 故选：A． 3．已知是二元一次方程组的解，则等于（   ） A．11 B．9 C．2 D． 【答案】C 【解析】解：∵是二元一次方程组的解， ∴，即， ∴， 故选：C． 4．不等式组中，不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：解不等式组，得： ， ∴不等式组的解集为：， 在数轴上表示如图： ； 故选B． 5．已知关于的分式方程有增根，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：关于的分式方程有增根， ， 解得：， 故选：D． 6．用配方法解方程时，配方后的形式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：， 移项得， 配方得，即， 故选：B． 7．已知关于x的方程，下列说法中正确的是（　　） A．当时，方程无解 B．当时，方程有两个不相等的实根 C．当时，方程有一个实根 D．当时，方程一定有两个不相等的实根 【答案】B 【解析】解：当时，方程为， 此方程为一元一次方程，且解为． 故选项不符合题意． 当时，方程为一元二次方程， 则． 当时，， 所以方程有两个不相等的实根． 故选项符合题意． 当时，， 所以方程有两个相等的实根． 故选项不符合题意． 当，但时，方程有两个相等的实根， 故选项不符合题意． 故选：B． 8．如图①，在矩形中，动点从点出发，沿的路线运动，当点到达点时停止运动．若，交边于点，设点运动的路程为，，已知关于的函数图象如图②所示，当时，的值为（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解析】解：由题意和图②得，，，， 当点E在边上时，，则； 当点E在边上时，如图： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得， 综上，当时，的值为或5， 故选：C． 9．当三个非负实数x，y，z满足关系式与时，的最大值是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【解析】解：∵， 解得：， ∴ ， 又∵，，均为非负实数， ∴， 解得：， 当时，有最大值为：． ∴的最大值为． 故选：C． 10．定义：由，构造的二次函数叫做一次函数的“滋生函数”．若一次函数的“滋生函数”是，是关于的方程的根，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：由题意得，， ， 是关于的方程的根， 是方程的根， ， ， ， ； 故选：A． 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 11．已知满足，则正数的最小值是 ． 【答案】4 【解析】解：， ， 是方程的解， ， 是正数， ， 正数的最小值是4． 故答案为：． 12．若方程的两根分别为，，则 ． 【答案】 【解析】解：∵方程的两根分别为，， ∴， 故答案为：． 13．新定义：关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是 ． 【答案】2020 【解析】解：与是“同族二次方程”， ， ， ， 解得， ， 则代数式的最小值是2020． 故答案为：2020． 14．如果一个四位数满足各数位上的数字都不为0，将它的千位数字与百位数字之积记为，十位数字与个位数字之和记为，记，若为整数，则称这个四位数为“公正数”.例如：是整数，是“公正数”;不是整数，不是“公正数”.请问最大的“公正数”是 .若自然数和都是“公正数”，其中，且为整数)，的千位上的数字比百位上的数字大1，十位上的数字比个位上的数字大2，且，规定:，则的最大值是 . 【答案】 9981 【解析】解：∵，，， ∴是“公正数”， 则最大的“公正数”是； 且为整数）， ∴m可为：7823，7834，7845，7856， ∵m是“公正数”， ，， ∵的千位上的数字比百位上的数字大1，十位上的数字比个位上的数字大2， 设百位上的数字为，个位数上的数字为，则千位上的数字为，十位上的数字为，其中且，为整数， ， ， ，即， 当时，，解得（负根已经舍去）； 当时，，解得，（负根已经舍去）；其他情况不满足题意， ①当，时， ， ； ②当，时 ， ； ∴k的值为或． 即最大值为； 故答案为：， 三、（本大题2个小题，每小题8分，共16分） 15．解方程 (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【解析】（1）解： ， （2）解： 或 ， 16．（1）解方程： （2）解不等式组：． 【答案】（1）无解；（2） 【解析】解：（1）方程两边都乘以得：， 解得：． 检验：当时，， 所以原分式方程无解； （2）， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 所以，不等式组的解集是． 四、（本大题2个小题，每小题8分，共16分） 17．定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“和谐方程”． (1)判断一元二次方程是否为“和谐方程”，说明理由； (2)已知是关于x的“和谐方程”，若是此“和谐方程”的一个根，求m，n的值． 【答案】(1)一元二次方程是 “和谐方程”，理由见解析 (2) 【解析】（1）解：当时，， 故一元二次方程是 “和谐方程”； （2）解：是关于x的“和谐方程”， 当时，， 是此“和谐方程”的一个根， ， 即， 解得． 故． 18．已知，是一元二次方程的两个实数根． (1)求实数的取值范围； (2)若，满足不等式，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）解：根据题意得：， 解得：； （2）解：根据题意得：， ， ， ， ， ， ， ． 由（1）知， ． 五、（本大题2个小题，每小题10分，共20分） 19．观察下面的变化规律，解答下列问题： ，，，． (1)若为正整数，猜想__________，并且验证你的猜想； (2)解分式方程：； (3)利用上述规律计算：． 【答案】(1)，见解析 (2) (3) 【解析】（1）解：， 验证：右边 左边， 猜想成立； （2）解：， ， ， 去分母得：， 解得：， 经检验：是原方程的根， 原方程的根为； （3）解： ． 20．解决含有绝对值符号的问题，通常根据绝对值符号里所含式子的正负性，去掉绝对值符号，转化为不含绝对值符号的问题再解答．例如：解不等式．解： ①当，即时，原式化为：，解得，此时，不等式的解集为；②当，即时，原式化为：，解得，此时，不等式的解集为；综上可知，原不等式的解集为或． (1)请用以上方法解不等式关于的不等式：； (2)已知关于的二元一次方程组的解满足，求整数的和； (3)已知关于的方程组满足方程组的未知数的值为整数，系数也为整数且．求满足条件的和的值． 【答案】(1)或 (2) (3)或， 【解析】（1）解：①当时，即时， 原式化为：， 解得：，此时，不等式的解集为； ②当时，即时， 原式化为： 解得：，此时，不等式的解集为； 综上可知，原不等式的解集为或 （2）解： 得， ∵， ∴， ①当时，即时， 原式化为：， 解得：，此时，不等式的解集为； ②当时，即时， 原式化为： 解得：，此时，不等式的解集为； 综上可知，原不等式的解集为， ∵为整数， ∴，，，，1， 它们的和为． （3）解： ， 得，， ∴， ∴， ∵未知数的值为整数，系数也为整数且， ∴，， ∴或，． 六、（本题满分12分） 21．“三折叠，怎么折，都有面．”华为“三折叠”一经上市，便火遍全国，形成一股“折叠风”．9月10日，华为新出的型号为“Mate XT非凡大师”的手机在深圳湾召开发布会，某华为手机专卖网店抓住商机，购进10000台“Mate XT 非凡大师”手机进行销售，每台的成本是20000元，在线同时向国内、国外发售．第一个星期，国内销售每台售价是25000元，共获利1000万元，国外销售也售出相同数量该款手机，但每台成本增加4000元，获得的利润却是国内的6倍． (1)求该店销售该款华为手机第一个星期在国外的售价是多少元？ (2)受中美贸易战影响，第二个星期，国内销售每台该款手机售价在第一个星期的基础上降低，销量上涨；国外销售每台售价在第一个星期的基础上上涨，并且在第二个星期将剩下的手机全部卖完，结果第二个星期国外的销售总额比国内的销售总额多6993万元，求的值． 【答案】(1)该店销售该款华为手机第一个星期在国外的售价是54000元 (2) 【解析】（1）解：设该店销售该款华为手机第一个星期在国外的售价是x元， 根据题意得：， 解得：， 答：该店销售该款华为手机第一个星期在国外的售价是54000元； （2）解：第一个星期国内销售手机的数量为：(台)，则国外销售手机的数量为：台， 根据题意：第二个星期国内销售手机的数量为：(台)，国外销售手机的数量为：台， 由题意得：， 设，则原方程化为：， 即， 解得：（负值舍去）， 则，故， 答：的值为． 七、（本题满分12分） 22．已知，如图①，在平行四边形中，，，，沿的方向匀速平移得到，速度为：同时，点Q从点C出发，沿方向速移动，速度为，当停止平移时，点Q也停止移动，如图②，设移动时间为，连接，解答下列问题：： (1)当t为何值时，； (2)设的面积为， ①求y与t之间的函数关系式； ②是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)当时，； (2)①；②不存在某一时刻t，使．理由见解析 【解析】（1）解：∵，，， ∴， ∴，，，， ∵，如图， ∴， ∴， 解得； （2）解：①如图所示，作于点D，交的延长线于点， ∵，， 则四边形为矩形， ， ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ， 又∵， ∴的面积为：， ∴； ②不存在某一时刻t，使．理由如下， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 整理得， ∵， ∴方程没有实数根， ∴不存在某一时刻t，使． 八、（本题满分14分） 23．我们知道，平方具有非负性，若一个代数式能化成几个代数式的平方和，则这个代数式也会具有非负性．有时我们也可以借助函数图象，利用图象判断代数式的非负性． (1)下列代数式具有非负性的有 （填序号）； ；                         ； ；                  ． (2)已知：，，， 试问是否具有非负性？ 请说明理由； (3)二次三项式（，，为常数，），对任意的不等式 恒成立． ①代数式 非负性；（填“具有”或“不具有”） ②若，二次函数 与直线交于点，，用线段围成一个平行四边形，求这个平行四边形面积的最大值． 【答案】(1) (2) 不具有，理由见解析 (3)具有 【解析】（1）解：∵， ， 具有非负性，不具有非负性， 故答案为：； （2）解：不具有非负性，理由如下： 由题意可知：， ∴设， 则，， ∴ ， ， ∴当时，， 答：不具有非负性； （3）解：①∵对任意的不等式 恒成立， ∴当时，的开口向下，此时不符合题意， ∴， ∴， ∴代数式具有非负性， 故答案为：具有； ②由①可知：， ， ， 恒成立， ， 即： ， 化简，得：， ∴， ，， 由可得， ，两点坐标为，， ∴， 用 围成一个平行四边形，要使其面积最大，则该平行四边形必为矩形， 设其一边长为，则另一边长为， ∴（）， 故这个平行四边形面积的最大值为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$