专题01 一元一次不等式（组）含参问题（六大类型）-【常考压轴题】2024-2025学年七年级数学下册压轴题攻略（沪教版2024）

专题01 一元一次不等式（组）含参问题 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、根据一元一次不等式的定义求参数 2 类型二、根据一元一次不等式的解集求参数 4 类型三、利用一元一次不等式的整数解求参数 6 类型四、利用一元一次不等式组的整数解求参数 8 类型五、根据一元一次不等式组的解集情况求参数 10 类型六、二元一次方程组与一元一次不等式（组）的结合求参数 12 压轴能力测评 15 一、一元一次不等式 1.一元一次不等式的概念 只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如，是一个一元一次不等式． 注意：一元一次不等式满足的条件：①左右两边都是整式(单项式或多项式)； ②只含有一个未知数；③未知数的最高次数为1 2.解一元一次不等式 解一元一次不等式的一般步骤是：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1；⑥其中当系数是负数时，不等号的方向要改变。 （1）去分母：根据不等式的性质2和3，把不等式的两边同时乘以各分母的最小公倍数，得到整数系数的小等式。 （2）去括号：根据上括号的法则，特别要注意括号外面是负号时，去掉括号和负号，括号里面的各项要改变符号。 （3）移项：根据不等式基本性质1，一般把含有未知数的项移到不等式的左边，常数项移到不等式的右边。 （4）合并同类项。 （5）将未知数的系数化为1：根据不等式基本性质2或3，特别要注意系数化为1时，系数是负数，不等号要改变方向。 （6）有些时候需要在数轴上表示不等式的解集。 注：在用数轴表示不等式的解集时，要确定边界和方向： （1）边界：有等号的是实心圆点，无等号的是空心圆圈；（2）方向：大向右，小向左． 二、一元一次不等式（组） 1.一元一次不等式组的概念 由几个含有同一个 未知数的 一元一次不等式 组成的不等式组 2.一元一次不等式组的解法 ①分别求出不等式组中各个不等式的解集； ②利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集 ③不等式组解集的确定方法，可以归纳为以下四种类型（设） 类型一、根据一元一次不等式的定义求参数 【例1】当 时，不等式是一元一次不等式． 【答案】 【详解】解：不等式是一元一次不等式， ∴， 解得：， 故答案为：． 【例2】已知是关于的一元一次不等式，则 ． 【答案】 【详解】解：是关于的一元一次不等式， ，则或，且，解得， 故答案为：． 【变式1-1】已知关于x的不等式是一元一次不等式，那么m的值是 . 【答案】 【详解】解：∵关于x的不等式是一元一次不等式， ∴且， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查一元一次不等式的定义，含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． 【变式1-2】已知是关于x的一元一次不等式，那么 ． 【答案】-1 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 故答案是：-1． 【点睛】本题主要是对一元一次不等式定义的“未知数的最高次数为1次”这一条件的考查 【变式1-3】若关于的一元一次不等式，则的值（　　） A． B．1或 C．或 D． 【答案】C 【详解】解：是关于的一元一次不等式， ， 或． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的定义，类似于一元一次方程，含有一个未知数，未知数的次数是1，未知数的系数不为0，左右两边为整式的不等式，叫做一元一次不等式． 类型二、根据一元一次不等式的解集求参数 【例3】定义运算：，例如：，若关于的不等式的解集在数轴上如图所示，则的值是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【详解】解：由新运算的定义可得可化为 ∴， ∵由数轴上表示的解集可知， ∴，解得． 故选：B． 【例4】 关于x的方程的方程 的解满足． (1)求a的取值范围； (2)在（1）的条件下，若不等式的解为．求整数a的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ∵， ∴， ∴； （2）， ， ∵不等式的解为， ∴， ∴， 由（1）可得：， ∴， ∵a是整数， ∴． 【变式2-1】若不等式的解集与关于的不等式的解集相同，求的值． 【答案】 【详解】解：不等式， 解得． 关于的不等式， 不等式的解集与关于的不等式的解集相同， 解得． 【变式2-2】朋朋在做练习册作业上解一个一元一次不等式时，发现不等式右边的一个数被墨迹污染看不清了，所看到的不等式是，他查看练习本后的答案知道，这个不等式的解集是，那么被污染的数是 ． 【答案】 【详解】解：设被污染的数为， 不等式为． 解得：， 这个不等式的解集是， ， 解得：， 故答案为：． 【变式2-3】已知关于x的不等式 的解都是不等式 的解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：解不等式 得，， 解不等式 得，， 关于x的不等式 的解都是不等式 的解， ， 解得：， 故选：； 类型三、利用一元一次不等式的整数解求参数 【例5】关于x的不等式有2个正整数解，则a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：， ∴， ∴， ∵不等式有2个正整数解， ∴， 解得：， 故答案为：． 【例6】若不等式的最大整数解是方程的解，则a的值是 ． 【答案】1 【详解】解：解不等式，得， 不等式的最大整数解是1， 将代入，得， 解得， 故答案为：1． 【变式3-1】已知关于的方程，若该方程的解是不等式的最大整数解，则 ． 【答案】2 【详解】解： ， 不等式的最大整数解为2， 关于的方程的解是， ， ， 故答案为：2． 【变式3-2】若是关于x的不等式的一个整数解，而不是其整数解，则m的取值范围为 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴． ∵不是不等式的整数解， ∴， 解得． ∵是关于x的不等式的一个整数解， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式3-3】若关于的不等式的正整数解是1，2，3，则整数的最小值是 ． 【答案】10 【详解】解：不等式的解集是：， ∵不等式的正整数解恰是1，2，3， ∴， ∴a的取值范围是． ∴整数a的最小值是10． 故答案为：10． 类型四、利用一元一次不等式组的整数解求参数 【例7】若不等式组的整数解有四个，则a的取值范围是 【答案】 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∵不等式组有四个整数解，即为， ∴， 故答案为：． 【例8】若关于的不等式组只有3个整数解，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】解：由得：， 由得：， 不等式组只有3个整数解， 不等式组的整数解为3、2、1， 则， 解得， 故答案为：． 【变式4-1】关于x的不等式有5个整数解，则a的取值范围为 ． 【答案】 【详解】解：， ∴， ∵关于x的不等式有5个整数解， 即2,3，4，5，6， ∴， 解得：， 故答案为：． 【变式4-2】若关于的不等式组的整数解共有4个，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由得，， ， 故原不等式组的解集为：， 不等式组的正整数解有4个， 其整数解应为：3、4、5、6， 的取值范围是． 故选：D 【变式4-3】若关于的不等式组有解且最多有3个奇数解，关于y的方程的解为整数，则所有满足条件的整数的个数为 ． 【答案】5 【详解】解：， 解不等式，得：， 解不等式，得：， 该不等式组有解且最多有3个奇数解， 3个奇数解为， ， 解得； 解y的方程，得， 该方程的解为整数， 为整数， 为偶数， 满足条件的整数a为：、、0、2或4， 所有满足条件的整数a的个数为：， 故答案为：5． 类型五、根据一元一次不等式组的解集情况求参数 【例9】若关于的不等式组的所有整数解的和是，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：， 解①得， 解②得， ∴． 因为当时，能取到的负整数为，且不等组所有整数解的和是， 所以不等式组的整数解为或和0， 所以， 解得． 故答案为：． 【例10】已知关于的不等式组有解，实数的取值范围为 ． 【答案】 【详解】解：∵有解， ∴解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， ∴，即：， 故答案为：． 【变式5-1】若关于x的不等式组的解集是，则m的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解： 解不等式①得，， ∵不等式组的解集为， ． 故答案为：． 【变式5-2】有张卡片，分别写有这九个数字，将它们背面朝上洗匀后，任意抽出一张，记卡片上的数字为，则关于x的不等式组有解，则的值为 ． 【答案】或或或 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∵不等式组有解， 则， ∴， 又∵在这九个数字中取值， ∴满足条件的的值为或或或， 故答案为：或或或． 【变式5-3】若关于的不等式组有解，则在其解集中，整数的个数不可能是（   ） A．0 B．1 C．3 D．5 【答案】A 【详解】解：解不等式，得：， 解不等式，得：， ∵不等式组有解， ∴， 解得， 将不等式两边分别乘以再加4变形得到， ∴不等式的解必有一个整数解2， 整数的个数不可能是0， 故选：A． 类型六、二元一次方程组与一元一次不等式（组）的结合求参数 【例11】已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：， 由②得：③， 将③代入①得： ， ， ， ， ， ， 解得：， 故答案为：． 【例12】已知关于x，y的二元一次方程组的解满足． (1)求k的取值范围； (2)在（1）的条件下，若不等式的解集为，请写出符合条件的k的整数值． 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）解：， ，得， ∵， ∴， 解得，； （2）解：不等式移项得：， ∵不等式的解集为， ∴， 解得：， 又∵， ∴k的取值范围为， ∴整数k的值为． 【变式6-1】已知关于，的二元一次方程组． (1)若方程组的解、满足方程，求的值； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 得：， ∵， ∴， ∴； （2）解：由（1）可知， ∵， ∴， ∴． 【变式6-2】已知关于、的二元一次方程组， (1)若，求方程组的解． (2)若方程组的解中，求的范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：当时，原方程组为， 得，解得， 把代入①得：，解得， ∴原方程组的解为； （2）解： 得，解得， 把代入①得：，解得， ∴原方程组的解为， ∵， ∴， 解得． 【变式6-3】已知k为整数，关于x，y的二元一次方程组的解满足，则整数k值为（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】C 【详解】解： 得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴整数k值为2024， 故选：C． 一、单选题 1．若是关于的一元一次不等式，则的值为（    ） A．0 B． C． D．1 【答案】D 【详解】解：∵是关于x的一元一次不等式， ∴且， ∴． 故选D． 2．若关于x的不等式的最小整数解是2，则实数m的值可能是（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】C 【详解】解：∵， 解得：， ∵关于x的不等式的最小整数解是， ∴， ∴， ∴实数的值可能是． 故选：C． 3．若关于x的不等式组有四个整数解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为： ∵关于x的不等式组有四个整数解， ∴不等式组的四个整数解为：， ∴，解得：， 故选：B． 4．已知关于x，y的方程组的解满足条件，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：关于x，y的方程组为， 解得：， 因为， 所以， 解得：． 故选：C． 5．已知关于的方程组的解满足，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】解： 得， 解得， 代入①得， 解得 ∴ 因为， 所以 解得， 所以． 故选B． 二、填空题 6．如果一元一次不等式组的解集为，则m的取值范围是 ． 【答案】 【详解】根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了即可确定m的范围． 解：∵一元一次不等式组的解集为， ， 解得． 故答案为：． 7．若关于的一元一次不等式组有解，且关于的方程的解为正整数，则符合条件的整数的和为 ． 【答案】3 【详解】解：解不等式，得； 解不等式，得， ∴， ∴， ∴ 对于方程，解得：，则， ∴， ∴， ∵的解为正整数， ∴符合题意的有， ∴符合条件的整数的和为：， 故答案为：3． 8．如果的正整数解是1、2、3、4，那么的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：解不等式，得， 当在大于等于4小于5的范围之内， 此不等式的正整数解都是1、2、3、4， ， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了不等式的正整数解，解题的关键是注意能根据整数解的具体数值，找出不等式解集的具体取值范围． 9．关于的不等式组恰有2个整数解则符合条件的整数的值为 ． 【答案】2 【详解】解：， 解①得， 解②得． 不等式组的解集为， 不等式组恰有2个整数解， 不等式组的整数解是：2，1． ， ． 所以符合条件的整数a的值为2． 三、解答题 10．已知的正整数解满足且，求的取值范围． 【答案】 【详解】解：， ， ， ． 不等式的正整数解为， 不等式的正整数解满足且， ， ， ， ， 解得． 11．定义关于@的一种运算：，如． (1)若，且x为正整数，求x的值． (2)若关于x的不等式的解和的解相同，求a的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由得：， 解得， ∵x为正整数， ∴； （2）解不等式得：， 由得：， 解得：， ∵关于x的不等式的解和的解相同， ∴， 解得． 12．已知不等式组的整数解是，，，，确定字母的取值范围． 【答案】 【详解】解：， 解不等式①得： ， ， ， ， 解不等式②得： ， ， 不等式组的整数解是，，，， 不等式组的解集是， ， 解得：． 13．若关于的一个一元一次不等式组的解集为（、为常数且），则称为这个不等式组的“解集中点”． (1)不等式组的解集中点是______； (2)若关于的不等式组的解集中点大于方程的解且小于方程的解，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为， 不等式组的解集中点是， 故答案为：； （2）解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为， 解集中点为：， 解方程，得， 解方程，得：， 关于的不等式组的解集中点大于方程的解且小于方程的解， ， 解得：， 即的取值范围是． 2 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 一元一次不等式（组）含参问题 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、根据一元一次不等式的定义求参数 2 类型二、根据一元一次不等式的解集求参数 3 类型三、利用一元一次不等式的整数解求参数 3 类型四、利用一元一次不等式组的整数解求参数 4 类型五、根据一元一次不等式组的解集情况求参数 4 类型六、二元一次方程组与一元一次不等式（组）的结合求参数 4 压轴能力测评 5 一、一元一次不等式 1.一元一次不等式的概念 只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如，是一个一元一次不等式． 注意：一元一次不等式满足的条件：①左右两边都是整式(单项式或多项式)； ②只含有一个未知数；③未知数的最高次数为1 2.解一元一次不等式 解一元一次不等式的一般步骤是：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1；⑥其中当系数是负数时，不等号的方向要改变。 （1）去分母：根据不等式的性质2和3，把不等式的两边同时乘以各分母的最小公倍数，得到整数系数的小等式。 （2）去括号：根据上括号的法则，特别要注意括号外面是负号时，去掉括号和负号，括号里面的各项要改变符号。 （3）移项：根据不等式基本性质1，一般把含有未知数的项移到不等式的左边，常数项移到不等式的右边。 （4）合并同类项。 （5）将未知数的系数化为1：根据不等式基本性质2或3，特别要注意系数化为1时，系数是负数，不等号要改变方向。 （6）有些时候需要在数轴上表示不等式的解集。 注：在用数轴表示不等式的解集时，要确定边界和方向： （1）边界：有等号的是实心圆点，无等号的是空心圆圈；（2）方向：大向右，小向左． 二、一元一次不等式（组） 1.一元一次不等式组的概念 由几个含有同一个 未知数的 一元一次不等式 组成的不等式组 2.一元一次不等式组的解法 ①分别求出不等式组中各个不等式的解集； ②利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集 ③不等式组解集的确定方法，可以归纳为以下四种类型（设） 类型一、根据一元一次不等式的定义求参数 【例1】当 时，不等式是一元一次不等式． 【例2】已知是关于的一元一次不等式，则 ． 【变式1-1】已知关于x的不等式是一元一次不等式，那么m的值是 . 【变式1-2】已知是关于x的一元一次不等式，那么 ． 【变式1-3】若关于的一元一次不等式，则的值（　　） A． B．1或 C．或 D． 类型二、根据一元一次不等式的解集求参数 【例3】定义运算：，例如：，若关于的不等式的解集在数轴上如图所示，则的值是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【例4】 关于x的方程的方程 的解满足． (1)求a的取值范围； (2)在（1）的条件下，若不等式的解为．求整数a的值． 【变式2-1】若不等式的解集与关于的不等式的解集相同，求的值． 【变式2-2】朋朋在做练习册作业上解一个一元一次不等式时，发现不等式右边的一个数被墨迹污染看不清了，所看到的不等式是，他查看练习本后的答案知道，这个不等式的解集是，那么被污染的数是 ． 【变式2-3】已知关于x的不等式 的解都是不等式 的解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 类型三、利用一元一次不等式的整数解求参数 【例5】关于x的不等式有2个正整数解，则a的取值范围是 ． 【例6】若不等式的最大整数解是方程的解，则a的值是 ． 【变式3-1】已知关于的方程，若该方程的解是不等式的最大整数解，则 ． 【变式3-2】若是关于x的不等式的一个整数解，而不是其整数解，则m的取值范围为 ． 【变式3-3】若关于的不等式的正整数解是1，2，3，则整数的最小值是 ． 类型四、利用一元一次不等式组的整数解求参数 【例7】若不等式组的整数解有四个，则a的取值范围是 【例8】若关于的不等式组只有3个整数解，则的取值范围为 ． 【变式4-1】关于x的不等式有5个整数解，则a的取值范围为 ． 【变式4-2】若关于的不等式组的整数解共有4个，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】若关于的不等式组有解且最多有3个奇数解，关于y的方程的解为整数，则所有满足条件的整数的个数为 ． 类型五、根据一元一次不等式组的解集情况求参数 【例9】若关于的不等式组的所有整数解的和是，则的取值范围是 ． 【例10】已知关于的不等式组有解，实数的取值范围为 ． 【变式5-1】若关于x的不等式组的解集是，则m的取值范围是 ． 【变式5-2】有张卡片，分别写有这九个数字，将它们背面朝上洗匀后，任意抽出一张，记卡片上的数字为，则关于x的不等式组有解，则的值为 ． 【变式5-3】若关于的不等式组有解，则在其解集中，整数的个数不可能是（   ） A．0 B．1 C．3 D．5 类型六、二元一次方程组与一元一次不等式（组）的结合求参数 【例11】已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的取值范围是 ． 【例12】已知关于x，y的二元一次方程组的解满足． (1)求k的取值范围； (2)在（1）的条件下，若不等式的解集为，请写出符合条件的k的整数值． 【变式6-1】已知关于，的二元一次方程组． (1)若方程组的解、满足方程，求的值； (2)若，求的取值范围． 【变式6-2】已知关于、的二元一次方程组， (1)若，求方程组的解． (2)若方程组的解中，求的范围． 【变式6-3】已知k为整数，关于x，y的二元一次方程组的解满足，则整数k值为（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 一、单选题 1．若是关于的一元一次不等式，则的值为（    ） A．0 B． C． D．1 2．若关于x的不等式的最小整数解是2，则实数m的值可能是（    ） A． B． C．0 D．1 3．若关于x的不等式组有四个整数解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知关于x，y的方程组的解满足条件，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．已知关于的方程组的解满足，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 6．如果一元一次不等式组的解集为，则m的取值范围是 ． 7．若关于的一元一次不等式组有解，且关于的方程的解为正整数，则符合条件的整数的和为 ． 8．如果的正整数解是1、2、3、4，那么的取值范围是 ． 9．关于的不等式组恰有2个整数解则符合条件的整数的值为 ． 三、解答题 10．已知的正整数解满足且，求的取值范围． 11．定义关于@的一种运算：，如． (1)若，且x为正整数，求x的值． (2)若关于x的不等式的解和的解相同，求a的值． 12．已知不等式组的整数解是，，，，确定字母的取值范围． 13．若关于的一个一元一次不等式组的解集为（、为常数且），则称为这个不等式组的“解集中点”． (1)不等式组的解集中点是______； (2)若关于的不等式组的解集中点大于方程的解且小于方程的解，求的取值范围． 6 / 7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$