第11讲 几个三角恒等式（思维导图+2知识点+6考点+过关检测）-【寒假自学课】2025年高一数学寒假提升精品讲义（苏教版2019）

第11讲 几个三角恒等式 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．通过积化和差公式的推导，经历数学探索和发现的过程，激发数学兴趣； 2．通过积化和差公式、和差化积公式、半角公式、万能公式的简单应用，提高三角变换的能力． 知识点1 积化和差与和差化积公式 1、积化和差公式 2、和差化积公式 3、应用和差化积公式时的注意事项 （1）在应用和差化积公式时，必须是一次同名三角函数方可施行， 若是异名，必须用诱导公式化为同名；若是高次，必须用降幂公式降为一次。 （2）根据实际问题选用公式时，应从以下几个方面考虑： ①运用公式之后，能否出现特殊角； ②运用公式之后，能否提取公因式，能否约分，能否合并或消项。 （3）为了能够把三角函数式化为积的形式，有时需要把某些常数当做三角函数值才能应用公式，如． 知识点2 半角公式及万能公式 1、半角公式 以上三个公式分别称作半角正弦、余弦、正切公式，它们是用无理式表示的． ； 以上两个公式称作半角正切的有理式表示． 2、万能公式 ； ； 3、利用半角公式求值的思路 （1）看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解． （2）明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围． （3）选公式：涉及半角公式的正切值时，常用，其优点是计算时可避免因开放求角的范围问题；涉及半角公式的正、余弦值时，常利用，计算． （4）下结论，结合（2）求值． 考点一：和差化积公式的应用 例1．（22-23高一下·湖北荆州·月考） ． 【变式1-1】（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24高一上·江西鹰潭·期末）已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25高三上·广东广州·模拟预测）已知，，且为第一象限角，则（    ） A． B． C． D． 考点二：积化和差公式的应用 例2.等于（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25高三上·湖南·月考）已知，则（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24高三下·广东·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（23-24高二上·四川成都·期末）计算：（    ） A． B． C． D． 考点三：半角公式与万能公式 例3.（22-23高一下·江苏南京·期中）已知，且，则（    ） A． B． C． D．或 【变式3-1】若，，则 ． 【变式3-2】（22-23高一下·江苏南京·期末）已知，，则 . 【变式3-3】（22-23高三上·江苏泰州·月考）已知，则 ． 考点四：恒等变换判断三角形形状 例4.（23-24高一下·江苏徐州·月考）在中，若，则此三角形为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【变式4-1】（23-24高一下·江苏扬州·月考）在△ABC中，若，则△ABC是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【变式4-2】（22-23高一下·重庆沙坪坝·期中）在中，，则的形状为（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 【变式4-3】（23-24高一下·北京·期中）在△ABC中，若，则△ABC为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 考点五：三角恒等变换化简证明 例5.（22-23高一下·江苏徐州·期中）求证下列恒等式： (1)； (2) 【变式5-1】（22-23高一下·湖北荆州·月考）求证： ． 【变式5-2】（24-25高一上·吉林长春·期末）化简下列各式． (1)； (2)． 【变式5-3】（23-24高一下·四川凉山·期末）（1）①借助两角和差公式证明： . ②在中，求证:.   （2）若，，求的值. 考点六：三角恒等变换的实际应用 例6.（23-24高一下·河北承德·月考）如图，扇形的半径为，圆心角为，是弧上的动点（不含点、），作交于点，作交于点，同时以为斜边，作，且． (1)求的面积的最大值； (2)从点出发，经过线段、、、，到达点，求途经线段长度的最大值． 【变式6-1】（23-24高一上·安徽·期末）某学校校园内有一个扇形空地AOB（），该扇形的周长为，面积为，现要在扇形空地AOB内部修建一矩形运动场馆CDEF，如图所示. (1)求扇形空地AOB的半径和圆心角； (2)取CD的中点M，记. （i）写出运动场馆的面积S与角的函数关系式； （ii）求当角为何值时，运动场馆的面积最大？并求出最大面积. 【变式6-2】（22-23高一下·江苏淮安·期中）现某公园内有一个半径为米扇形空地，且，公园管理部门为了优化公园功能，决定在此空地上建一个矩形的老年活动场所，如下图所示有两种情况可供选择. (1)若选择图一，设，请用表示矩形的面积，并求面积最大值 (2)如果选择图二，求矩形的面积最大值，并说明选择哪种方案更优（面积最大）（参考数据，） 【变式6-3】（23-24高一上·广东惠州·期末）某养殖公司有一处矩形养殖池ABCD，如图所示，AB=50米，BC=米.为了便于冬天给养殖池内的水加温，该公司计划在养殖池内铺设三条加温带OE，EF和OF，考虑到整体规划，要求O是边AB的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且∠EOF=. (1)设∠BOE=，试将△OEF的周长表示为的函数，并求出此函数的定义域； (2)在（1）的条件下，为增加夜间水下照明亮度，决定在两条加温带OE和OF上安装智能照明装置，经核算，在两条加温带增加智能照明装置的费用均为每米400元，问：如何设计才能使安装智能照明装置的费用最低？说明理由，并求出最低费用. 一、单选题 1．等于（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·江苏徐州·期中）设，，，则有（    ）． A． B． C． D． 3．（23-24高一下·河北石家庄·期中）在中，内角满足，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．正三角形 4．（23-24高一下·江苏徐州·月考）著名数学家华罗庚先生被誉为“中国现代数学之父”，他倡导的“0.618优选法”又称黄金分割法在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用经研究，黄金分割比还可以表示成，则（    ） A．4 B．2 C．1 D． 5．（23-24高三下·山东济南·月考）数学里有一种证明方法叫做Proofwithoutwords，也被称为无字证明，是指仅用图象而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅与有条理．如下图，点为半圆上一点，，垂足为，记，则由可以直接证明的三角函数公式是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·江苏镇江·月考）若，，则（    ） A． B． C．5 D． 二、多选题 7．（23-24高一下·江西·月考）下列各式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二下·江苏南京·期中）如图，在扇形OPQ中，半径，圆心角，C是扇形弧PQ上的动点，矩形ABCD内接于扇形，记．则下列说法正确的是（    ） A．弧PQ的长为 B．扇形OPQ的面积为 C．当时，矩形ABCD的面积为 D．矩形ABCD的面积的最大值为 三、填空题 9．（24-25高三上·江西上饶·期中）已知，满足，，则 . 10．（24-25高一上·湖南邵阳·开学考试）计算 . 四、解答题 11．（22-23高一下·江苏宿迁·月考）已知为斜三角形． (1)证明：； (2)若为锐角三角形，，求的最小值． 12．（23-24高一下·广东佛山·月考）在校园美化、改造活动中，要在半径为、圆心角为的扇形空地的内部修建一矩形观赛场地，如图所示．取的中点M，记． (1)写出矩形的面积S与角的函数关系式； (2)求当角为何值时，矩形的面积最大？并求出最大面积． ( 5 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 几个三角恒等式 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．通过积化和差公式的推导，经历数学探索和发现的过程，激发数学兴趣； 2．通过积化和差公式、和差化积公式、半角公式、万能公式的简单应用，提高三角变换的能力． 知识点1 积化和差与和差化积公式 1、积化和差公式 2、和差化积公式 3、应用和差化积公式时的注意事项 （1）在应用和差化积公式时，必须是一次同名三角函数方可施行， 若是异名，必须用诱导公式化为同名；若是高次，必须用降幂公式降为一次。 （2）根据实际问题选用公式时，应从以下几个方面考虑： ①运用公式之后，能否出现特殊角； ②运用公式之后，能否提取公因式，能否约分，能否合并或消项。 （3）为了能够把三角函数式化为积的形式，有时需要把某些常数当做三角函数值才能应用公式，如． 知识点2 半角公式及万能公式 1、半角公式 以上三个公式分别称作半角正弦、余弦、正切公式，它们是用无理式表示的． ； 以上两个公式称作半角正切的有理式表示． 2、万能公式 ； ； 3、利用半角公式求值的思路 （1）看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解． （2）明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围． （3）选公式：涉及半角公式的正切值时，常用，其优点是计算时可避免因开放求角的范围问题；涉及半角公式的正、余弦值时，常利用，计算． （4）下结论，结合（2）求值． 考点一：和差化积公式的应用 例1．（22-23高一下·湖北荆州·月考） ． 【答案】 【解析】 . 故答案为： 【变式1-1】（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】．故选：A. 【变式1-2】（23-24高一上·江西鹰潭·期末）已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由和差化积公式，得， ， 两式相除，所以. 所以.故选：B． 【变式1-3】（24-25高三上·广东广州·模拟预测）已知，，且为第一象限角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， 设， 则，因为为第一象限角，所以是第一或第三象限角，所以 ，设， 整理为，得（舍）或， 则，，所以.故选：B 考点二：积化和差公式的应用 例2.等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】原式．故选：B. 【变式2-1】（24-25高三上·湖南·月考）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由， 可得：，即， 又，结合平方差公式可得：.故选：A 【变式2-2】（23-24高三下·广东·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为， 得到，又，所以， 所以，故选：B. 【变式2-3】（23-24高二上·四川成都·期末）计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 ，故选：C 考点三：半角公式与万能公式 例3.（22-23高一下·江苏南京·期中）已知，且，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【解析】由， 所以，则， 由，则.故选：A 【变式3-1】若，，则 ． 【答案】 【解析】由，，得，所以. 【变式3-2】（22-23高一下·江苏南京·期末）已知，，则 . 【答案】 【解析】，则， 由半角公式可得. 【变式3-3】（22-23高三上·江苏泰州·月考）已知，则 ． 【答案】 【解析】∵ ∴ 考点四：恒等变换判断三角形形状 例4.（23-24高一下·江苏徐州·月考）在中，若，则此三角形为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】A 【解析】因为， 所以， ， 又，所以，即.故选：A. 【变式4-1】（23-24高一下·江苏扬州·月考）在△ABC中，若，则△ABC是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【解析】在△ABC中，由，得 ， 则， 所以，即，则， 又，，则，所以，即， 所以△ABC为等腰三角形，但无法判断C是不是直角．故选：A． 【变式4-2】（22-23高一下·重庆沙坪坝·期中）在中，，则的形状为（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 【答案】B 【解析】在中，因为， 所以， 即, 展开，整理化简得：. 因为为三角形内角，所以，所以. 因为为三角形内角，所以， 所以为直角三角形.故选：B 【变式4-3】（23-24高一下·北京·期中）在△ABC中，若，则△ABC为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【解析】由题意，， 又，∴，即， ，∴当时，；当时，， 又，则； ∴△ABC为等腰三角形或直角三角形.故选：D 考点五：三角恒等变换化简证明 例5.（22-23高一下·江苏徐州·期中）求证下列恒等式： (1)； (2) 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【解析】（1）. （2）左边 , 原式得证. 【变式5-1】（22-23高一下·湖北荆州·月考）求证： ． 【答案】证明见解析. 【解析】证明：因. 则， . 故左边 右边. 【变式5-2】（24-25高一上·吉林长春·期末）化简下列各式． (1)； (2)． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）原式 （2）原式 【变式5-3】（23-24高一下·四川凉山·期末）（1）①借助两角和差公式证明： . ②在中，求证:.   （2）若，，求的值. 【答案】（1）①证明见解析；②证明见解析；（2） 【解析】（1）①，， 即. ②在中，，则， 即，结合①结论， 又， ， 又， 即. （2）同①有 ， 又，， ①，②， ②①式得， 即. 考点六：三角恒等变换的实际应用 例6.（23-24高一下·河北承德·月考）如图，扇形的半径为，圆心角为，是弧上的动点（不含点、），作交于点，作交于点，同时以为斜边，作，且． (1)求的面积的最大值； (2)从点出发，经过线段、、、，到达点，求途经线段长度的最大值． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）设，则，， 在中，，，则， ， 所以，， 因为，则， 当时，即当时，的面积取最大值，且最大值为. （2）过点作，垂足为点， 因为，，，则四边形为矩形， 所以，，， 因为，，则为等腰直角三角形，则， 所以，，，， 所以，， 令， 因为，则，则， 所以，， 所以， 所以， 故当时，取最大值， 因此，从点出发，经过线段、、、，到达点，求途径线段长度的最大值为. 【变式6-1】（23-24高一上·安徽·期末）某学校校园内有一个扇形空地AOB（），该扇形的周长为，面积为，现要在扇形空地AOB内部修建一矩形运动场馆CDEF，如图所示. (1)求扇形空地AOB的半径和圆心角； (2)取CD的中点M，记. （i）写出运动场馆的面积S与角的函数关系式； （ii）求当角为何值时，运动场馆的面积最大？并求出最大面积. 【答案】(1)扇形空地AOB的半径为10，圆心角为； (2)（i），；（ii），. 【解析】（1）设扇形空地所在圆半径为，扇形弧长为， 依题意，，解得或， 当时，圆心角，不符合题意， 当时，圆心角，符合题意， 所以扇形空地AOB的半径为10，圆心角为. （2）（i）由（1）知，，则， 在中，，则， 在中，，， 于是， 所以 ，. （ii）由（i）知，当时，， 则当，即时，， 所以当时，运动场馆的面积最大，最大面积为. 【变式6-2】（22-23高一下·江苏淮安·期中）现某公园内有一个半径为米扇形空地，且，公园管理部门为了优化公园功能，决定在此空地上建一个矩形的老年活动场所，如下图所示有两种情况可供选择. (1)若选择图一，设，请用表示矩形的面积，并求面积最大值 (2)如果选择图二，求矩形的面积最大值，并说明选择哪种方案更优（面积最大）（参考数据，） 【答案】(1)，矩形面积的最大值为 (2)矩形面积的最大值为，第一种方案更优. 【解析】（1）由题得，则， 则， 所以，， 所以矩形面积为 ， 因为，则，故当时，即当时， 矩形的面积取最大值，且最大值为. （2）解：取中点，连接，设，如下图所示： 设，其中，由圆的几何性质可知， ，， 因为四边形为矩形，则且， 因为，则，且，所以，四边形为矩形， 所以，，即为的中点， 又因为，则，所以，， 所以， 所以，所以， 则矩形的面积为 ，其中， 因为，则， 所以当，即时取最大值， 矩形的面积取最大值，且最大值为， ，则，所以第一种方案更优. 【变式6-3】（23-24高一上·广东惠州·期末）某养殖公司有一处矩形养殖池ABCD，如图所示，AB=50米，BC=米.为了便于冬天给养殖池内的水加温，该公司计划在养殖池内铺设三条加温带OE，EF和OF，考虑到整体规划，要求O是边AB的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且∠EOF=. (1)设∠BOE=，试将△OEF的周长表示为的函数，并求出此函数的定义域； (2)在（1）的条件下，为增加夜间水下照明亮度，决定在两条加温带OE和OF上安装智能照明装置，经核算，在两条加温带增加智能照明装置的费用均为每米400元，问：如何设计才能使安装智能照明装置的费用最低？说明理由，并求出最低费用. 【答案】(1)， (2)当米时，此时照明装置的费用最低，且最低费用为元 【解析】（1）因为，所以， 当在点时，此时最小，又，所以，所以， 当在点时，此时最大，又，所以， 由上可知，； 因为，所以， 又因为，且， 所以， 所以， 所以，定义域为； （2）据题意可知：要使照明装置的费用最低，只需最小即可， 由（1）可知：且， 设，且，所以， 所以， 又因为，且， 且，， 所以， 令，因为均在上单调递增， 所以在上单调递增， 所以，即， 所以的最小值为，此时，所以，所以， 综上所述，当米时，此时照明装置的费用最低，且最低费用为元. 一、单选题 1．等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意， .故选：A. 2．（23-24高一下·江苏徐州·期中）设，，，则有（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为， ， ， 因为，所以.故选：C. 3．（23-24高一下·河北石家庄·期中）在中，内角满足，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．正三角形 【答案】B 【解析】， 故，即， 因为，所以， 故为等腰三角形.故选：B 4．（23-24高一下·江苏徐州·月考）著名数学家华罗庚先生被誉为“中国现代数学之父”，他倡导的“0.618优选法”又称黄金分割法在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用经研究，黄金分割比还可以表示成，则（    ） A．4 B．2 C．1 D． 【答案】C 【解析】由题意知，， 则 .故选：C 5．（23-24高三下·山东济南·月考）数学里有一种证明方法叫做Proofwithoutwords，也被称为无字证明，是指仅用图象而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅与有条理．如下图，点为半圆上一点，，垂足为，记，则由可以直接证明的三角函数公式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由已知，，则， 又，，，， 即，， 所以.故选：B． 6．（23-24高一下·江苏镇江·月考）若，，则（    ） A． B． C．5 D． 【答案】D 【解析】， 化简得，即，整理得. 因为，所以. 整理得，又，即， 所以，即，进而， 于是.故选：D. 二、多选题 7．（23-24高一下·江西·月考）下列各式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】由和差化积公式， 得，故A错误； 根据半角公式，得，故B正确； 由积化和差公式， 得，故C正确； 当时，等式左边有意义，右边无意义，故D错误.故选：BC. 8．（23-24高二下·江苏南京·期中）如图，在扇形OPQ中，半径，圆心角，C是扇形弧PQ上的动点，矩形ABCD内接于扇形，记．则下列说法正确的是（    ） A．弧PQ的长为 B．扇形OPQ的面积为 C．当时，矩形ABCD的面积为 D．矩形ABCD的面积的最大值为 【答案】AC 【解析】由题意知，在扇形OPQ中，半径，圆心角， 故弧PQ的长为，A正确； 扇形OPQ的面积为，B错误； 在中，，， 在中，，， 则ABCD的面积， 当时，由，得，，C正确； 又， 当，即时，矩形ABCD的面积取最大值，D错误．故选：AC. 三、填空题 9．（24-25高三上·江西上饶·期中）已知，满足，，则 . 【答案】/0.6 【解析】因为， 所以，， 相加得， 即，所以， 相减得 ， 又， ， 所以， 所以， 所以，解得. 故答案为： 10．（24-25高一上·湖南邵阳·开学考试）计算 . 【答案】2 【解析】分母 ， 分子 ， 所以原式. 四、解答题 11．（22-23高一下·江苏宿迁·月考）已知为斜三角形． (1)证明：； (2)若为锐角三角形，，求的最小值． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）证明：，所以． 因为，所以，所以． 由，可得． （2）解：因为， 所以，可得． 由（1）得． 因为为锐角三角形，由可知， 设，则， 当且仅当时取等号，再由（1）可得， 此时，解得或时， 即当或时，等号成立， 故的最小值为. 12．（23-24高一下·广东佛山·月考）在校园美化、改造活动中，要在半径为、圆心角为的扇形空地的内部修建一矩形观赛场地，如图所示．取的中点M，记． (1)写出矩形的面积S与角的函数关系式； (2)求当角为何值时，矩形的面积最大？并求出最大面积． 【答案】(1)，； (2)当时，矩形的面积最大，最大值为 【解析】（1）由题可知，， 在中，，，， 在中，， ， ，． （2），， 当，即时，， 故当时，矩形的面积最大，最大值为． ( 5 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$