第17讲 复数的几何意义（思维导图+3知识点+6考点+过关检测）-【寒假自学课】2025年高一数学寒假提升精品讲义（苏教版2019）

第17讲 复数的几何意义 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．了解复平面的概念，理解复数、复平面内的点、复平面内的向量之间的对应关系； 2．掌握用向量的模来表示复数的模的方法，会求复数的模，并能解决相关的问题； 3．了解复数加、减运算的几何意义． 知识点1 复数的几何意义 1、复平面：当用直角坐标平面内的点来表示复数时，称这个直角坐标系为复平面，x轴为实轴，y轴为虚轴． 2、复数的几何意义 （1）任一个复数与复平面内的点是一一对应的． （2）一个复数与复平面内的向量是一一对应的． 【注意】实轴、虚轴上的点与复数的对应关系 实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为(0，0)，它所确定的复数是z＝0＋0i＝0，表示的是实数． 知识点2 复数的模 1、定义：向量的r叫做复数的模或绝对值，记为|z|或|a＋bi|. 2、公式：． 3、几何意义：复数对应点到原点的距离． 知识点3 复数加、减法的几何意义 1、复数加法的几何意义 已知复数，， 其对应的向量，， 如图1，且和不共线，以OZ1和OZ2为两条邻边作平行四边形OZ1ZZ2， 根据向量的加法法则，对角线OZ所对应的向量， 而所对应的坐标是， 这正是两个复数之和z1＋z2所对应的有序实数对． 2、复数减法的几何意义 复数的减法是加法的逆运算，如图2，复数与向量等于）对应，这就是复数减法的几何意义． 【注意】（1）根据复数加减法的几何意义知，两个复数对应向量的和向量所对应的复数就是这两个复数的和；两个复数对应向量的差向量所对应的复数就是这两个复数的差． （2）求两个复数对应向量的和，可使用平行四边形法则或三角形法则． （3）在确定两复数的差所对应的向量时，应按照三角形法则进行． 拓展：由复数加减运算的几何意义可得出：． 考点一：判断复数对应的点所在象限 例1．（23-24高一下·安徽马鞍山·期末）已知复数z满足（i为虚数单位），则z的共轭复数在复平面上对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式1-1】（23-24高一下·福建龙岩·月考）已知复数（其中i为虚数单位），则复数z的点的坐标所在象限为（    ） A．一 B．二 C．三 D．四 【变式1-2】（23-24高一下·山东济南·月考）设复数（i为虚数单位），则在复平面内z对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式1-3】（23-24高一下·江苏无锡·月考）已知复数（是虚数单位），则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 考点二：根据复数对应坐标的特点求参 例2.（23-24高一下·天津·月考）已知复数在复平面内对应的点在虚轴上，则实数（    ） A． B．0 C．1 D．2 【变式2-1】（23-24高一下·广东梅州·月考）复平面内表示复数的点在直线上，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【变式2-2】（23-24高一下·浙江·月考）若复数对应的点在第四象限，则m的值为（    ） A． B．0 C．1 D． 【变式2-3】（23-24高一下·安徽安庆·月考）已知复数（是虚数单位），若所对应的点在复平面的第二象限内，则实数的取值范围为 ． 考点三：复数与平面向量的一一对应 例3.（23-24高一下·海南·期中）向量所对应的复数是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（23-24高一下·安徽芜湖·期末）在复平面内，复数，对应的向量分别是，，其中是原点，则向量对应的复数为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（23-24高一下·云南曲靖·期末）在复平面内，复数与所对应的向量分别为和，其中为坐标原点，则对应的复数为 【变式3-3】（23-24高一下·四川乐山·期中）在复平面内，复数对应的向量分别是，其中是坐标原点，则向量对应的复数为 ． 考点四：复数的模的计算 例4.（23-24高一下·福建厦门·月考）复数，其中i为虚数单位，则（    ） A． B．2 C． D．5 【变式4-1】（23-24高一下·吉林通化·期末）（多选）已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（23-24高一下·河南郑州·月考）在复平面内，复数，对应的点关于直线对称，若，则 ． 【变式4-3】（23-24高一下·广东汕尾·月考）已知复数，满足，则（    ） A．1 B． C．2 D． 考点五：复数加减运算的几何意义 例5.（23-24高一下·福建三明·月考）在复平面内，已知复数满足，且，则 ． 【变式5-1】（23-24高一下·河南南阳·期末）已知复数，满足，且，则（    ） A． B． C．5 D． 【变式5-2】（22-23高一下·江苏常州·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】设向量及在复平面内分别与复数z1＝5＋3i及复数z2＝4＋i对应，试计算z1－z2，并在复平面内表示出来 考点六：复数的轨迹及最值问题 例6.（23-24高一下·河南信阳·月考）已知复数z满足，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【变式6-1】（23-24高一下·河北保定·月考）已知复数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（23-24高一下·广东深圳·期中）已知为虚数单位，若复数满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（23-24高一下·四川雅安·期末）在复平面内，满足的复数对应的点为，复数对应的点为，则的值不可能为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 一、单选题 1．（23-24高一下·湖南郴州·月考）复数，则（    ） A．10 B． C．6 D． 2．（23-24高一下·江苏·月考）复数在复平面内对应的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·上海·期中）复平面上，以原点为起点，平行于虚轴的非零向量所对应的复数一定是（    ） A．正数 B．负数 C．实部不为零的虚数 D．纯虚数 4．（23-24高一下·辽宁·月考）复数（其中为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．（23-24高一下·江苏南京·月考）如图，复数对应的向量为，且，则向量在向量上的投影向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·江苏苏州·期中）已知复数满足，则（是虚数单位）的最小值为（    ） A． B．4 C． D．6 二、多选题 7．（23-24高一下·山东聊城·月考）在复平面内，设O为坐标原点，复数对应的点分别为A，B，若，则z可能是（    ） A． B． C． D． 8．（22-23高一下·江苏扬州·期中）已知复数，满足，，则有（    ） A．最大值 B．最大值 C．最小值 D．最小值 三、填空题 9．（23-24高一下·广东广州·月考）已知是虚数单位，若复数在复平面内所对应的点位于第一象限，则的取值范围为 ． 10．（23-24高一下·河南郑州·期末）已知复数，且，对应的向量分别为，则向量对应的复数是 . 四、解答题 11．（23-24高一下·河北张家口·月考）已知i为虚数单位. (1)若复数在复平面内对应的点在第二象限，求m的取值范围； (2)若复数z满足，求复数z. 12．（23-24高一下·安徽蚌埠·月考）已知复数． (1)若在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围； (2)若，且，在复平面内对应的点分别为A，B，已知为坐标原点，求向量在上的投影向量的坐标． ( 5 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第17讲 复数的几何意义 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．了解复平面的概念，理解复数、复平面内的点、复平面内的向量之间的对应关系； 2．掌握用向量的模来表示复数的模的方法，会求复数的模，并能解决相关的问题； 3．了解复数加、减运算的几何意义． 知识点1 复数的几何意义 1、复平面：当用直角坐标平面内的点来表示复数时，称这个直角坐标系为复平面，x轴为实轴，y轴为虚轴． 2、复数的几何意义 （1）任一个复数与复平面内的点是一一对应的． （2）一个复数与复平面内的向量是一一对应的． 【注意】实轴、虚轴上的点与复数的对应关系 实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为(0，0)，它所确定的复数是z＝0＋0i＝0，表示的是实数． 知识点2 复数的模 1、定义：向量的r叫做复数的模或绝对值，记为|z|或|a＋bi|. 2、公式：． 3、几何意义：复数对应点到原点的距离． 知识点3 复数加、减法的几何意义 1、复数加法的几何意义 已知复数，， 其对应的向量，， 如图1，且和不共线，以OZ1和OZ2为两条邻边作平行四边形OZ1ZZ2， 根据向量的加法法则，对角线OZ所对应的向量， 而所对应的坐标是， 这正是两个复数之和z1＋z2所对应的有序实数对． 2、复数减法的几何意义 复数的减法是加法的逆运算，如图2，复数与向量等于）对应，这就是复数减法的几何意义． 【注意】（1）根据复数加减法的几何意义知，两个复数对应向量的和向量所对应的复数就是这两个复数的和；两个复数对应向量的差向量所对应的复数就是这两个复数的差． （2）求两个复数对应向量的和，可使用平行四边形法则或三角形法则． （3）在确定两复数的差所对应的向量时，应按照三角形法则进行． 拓展：由复数加减运算的几何意义可得出：． 考点一：判断复数对应的点所在象限 例1．（23-24高一下·安徽马鞍山·期末）已知复数z满足（i为虚数单位），则z的共轭复数在复平面上对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【解析】由，得，则， 故复数在复平面上对应的点位于第一象限，故选：A 【变式1-1】（23-24高一下·福建龙岩·月考）已知复数（其中i为虚数单位），则复数z的点的坐标所在象限为（    ） A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】B 【解析】，则复数z的点的坐标为，位于第二象限，故选：B. 【变式1-2】（23-24高一下·山东济南·月考）设复数（i为虚数单位），则在复平面内z对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【解析】复数，对应点的坐标为，位于第三象限.故选：C 【变式1-3】（23-24高一下·江苏无锡·月考）已知复数（是虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解析】， 故在复平面内对应的点坐标为，位于第四象限.故选：D 考点二：根据复数对应坐标的特点求参 例2.（23-24高一下·天津·月考）已知复数在复平面内对应的点在虚轴上，则实数（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【解析】由题意可得：， 因为复数在复平面内对应的点在虚轴上，则，解得.故选：C. 【变式2-1】（23-24高一下·广东梅州·月考）复平面内表示复数的点在直线上，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【解析】复数在复平面内对应的点为， 依题意可得，解得.故选：A 【变式2-2】（23-24高一下·浙江·月考）若复数对应的点在第四象限，则m的值为（    ） A． B．0 C．1 D． 【答案】B 【解析】由可得，又m为整数，所以.故选：B. 【变式2-3】（23-24高一下·安徽安庆·月考）已知复数（是虚数单位），若所对应的点在复平面的第二象限内，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【解析】由题意知，解得． 故答案为： 考点三：复数与平面向量的一一对应 例3.（23-24高一下·海南·期中）向量所对应的复数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题得向量所对应的复数是.故选：D. 【变式3-1】（23-24高一下·安徽芜湖·期末）在复平面内，复数，对应的向量分别是，，其中是原点，则向量对应的复数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可得，， 所以， 所以向量对应的复数为.故选：. 【变式3-2】（23-24高一下·云南曲靖·期末）在复平面内，复数与所对应的向量分别为和，其中为坐标原点，则对应的复数为 【答案】 【解析】因为复数与所对应的向量分别为和， 所以，， 所以，即对应的复数为. 【变式3-3】（23-24高一下·四川乐山·期中）在复平面内，复数对应的向量分别是，其中是坐标原点，则向量对应的复数为 ． 【答案】 【解析】复数对应的向量分别是,则 .则向量对应的复数为. 考点四：复数的模的计算 例4.（23-24高一下·福建厦门·月考）复数，其中i为虚数单位，则（    ） A． B．2 C． D．5 【答案】C 【解析】因为，则故选：C 【变式4-1】（23-24高一下·吉林通化·期末）（多选）已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】因为，则，所以，则，故A正确； 当时，，当时，，故B错误； 因为，则，故C错误； 因为，则，故D正确；故选：AD 【变式4-2】（23-24高一下·河南郑州·月考）在复平面内，复数，对应的点关于直线对称，若，则 ． 【答案】 【解析】复数，对应的点关于直线对称，，则， 故 【变式4-3】（23-24高一下·广东汕尾·月考）已知复数，满足，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【解析】设则 所以，，即， 则故选：B. 考点五：复数加减运算的几何意义 例5.（23-24高一下·福建三明·月考）在复平面内，已知复数满足，且，则 ． 【答案】 【解析】在复平面内，分别作出复数对应的向量,如图所示，则对应的向量为, 由题意是边长为2的正三角形，以为一组邻边，作出,则有, 于是 ，故得. 【变式5-1】（23-24高一下·河南南阳·期末）已知复数，满足，且，则（    ） A． B． C．5 D． 【答案】C 【解析】设对应的复数为，对应的复数为， 则对应的复数为，对应的复数为， 因为，且，由勾股定理逆定理知道， 为直角三角形，且. 作长方形，如图所示， 则对应的复数为，故.故选：C. 【变式5-2】（22-23高一下·江苏常州·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在复平面中，设分别与向量对应， 由题意可得，， 因为， 即，解得，即.故选：B. 【变式5-3】设向量及在复平面内分别与复数z1＝5＋3i及复数z2＝4＋i对应，试计算z1－z2，并在复平面内表示出来 【答案】z1－z2＝1＋2i，作图见解析. 【解析】z1－z2＝(5＋3i)－(4＋i)＝(5－4)＋(3－1)i＝1＋2i， ， 则即为z1－z2所对应的向量，如图所示， 根据复数减法的几何意义：复数z1－z2是连接向量,的终点， 并指向被减数的向量所对应的复数. 考点六：复数的轨迹及最值问题 例6.（23-24高一下·河南信阳·月考）已知复数z满足，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【解析】设复数z在复平面内对应的点为Z， 因为复数z满足，所以由复数的几何意义可知，点到点和的距离相等， 所以在复平面内点的轨迹为轴， 又表示点到点的距离， 所以问题转化为轴上的动点到定点距离的最小值， 所以的最小值为2，故选：B. 【变式6-1】（23-24高一下·河北保定·月考）已知复数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为在复平面内， 表示到点距离为1的所有复数对应的点， 即表示以为圆心，为半径的圆， 表示圆上的点到原点的距离，所以最短距离为， 最长距离为， 则的取值范围是.故选：D. 【变式6-2】（23-24高一下·广东深圳·期中）已知为虚数单位，若复数满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 如图，由复数的模的几何意义可知， 满足的点的轨迹是 以点为圆心，半径分别为1和2的两个圆组成的圆环内的区域（含内外圆弧）. 而可理解为圆环区域内的点（含内外圆弧）到点的距离. 由点与圆的位置关系可知，当且仅当点在线段的延长线与大圆的交点处时，距离取得最大， 为，即的最大值为.故选：A. 【变式6-3】（23-24高一下·四川雅安·期末）在复平面内，满足的复数对应的点为，复数对应的点为，则的值不可能为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【解析】因为， 设，则，又，即， 所以，即，所以在以为圆心，半径的圆上， 又复数对应的点为，所以，所以， 所以，表示圆上的点与点的距离， 又， 所以，即，结合选项可知只有A不可能.故选：A 一、单选题 1．（23-24高一下·湖南郴州·月考）复数，则（    ） A．10 B． C．6 D． 【答案】B 【解析】复数，则.故选：B 2．（23-24高一下·江苏·月考）复数在复平面内对应的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意得， 所以在复平面内对应的点的坐标为，故选：B. 3．（23-24高一下·上海·期中）复平面上，以原点为起点，平行于虚轴的非零向量所对应的复数一定是（    ） A．正数 B．负数 C．实部不为零的虚数 D．纯虚数 【答案】D 【解析】由题意可设， 所以对应复数为，此复数为纯虚数，故选：D. 4．（23-24高一下·辽宁·月考）复数（其中为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解析】因为， 所以在复平面内对应的点为，位于第四象限.故选：D. 5．（23-24高一下·江苏南京·月考）如图，复数对应的向量为，且，则向量在向量上的投影向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题图可知，，则， 解得（舍去）， 所以，，则向量在向量上的投影向量为， 所以其坐标为．故选：D 6．（23-24高一下·江苏苏州·期中）已知复数满足，则（是虚数单位）的最小值为（    ） A． B．4 C． D．6 【答案】B 【解析】设，则由， 所以复数在复平面内对应的点坐标在为圆心，1为半径的圆上，如下图所示： 而， 即求复平面内点到距离的最小值， 由圆的几何性质可知当点位于与圆心点连线交点时，取到最小值， 即故选：B 二、多选题 7．（23-24高一下·山东聊城·月考）在复平面内，设O为坐标原点，复数对应的点分别为A，B，若，则z可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】设则，， 由复数对应的点分别为，则， 由，则，即， 所以得：或， 对比各选项可知：A满足,C、D满足，选项B不符合题意.故选：ACD. 8．（22-23高一下·江苏扬州·期中）已知复数，满足，，则有（    ） A．最大值 B．最大值 C．最小值 D．最小值 【答案】BD 【解析】由得， 令，有以及， 因此，由绝对值三角不等式得， ，等号在两复数对应的向量反向时成立， ，等号在两复数对应的向量同向时成立， 因此，，则，即有最大值，最小值.故选：BD. 三、填空题 9．（23-24高一下·广东广州·月考）已知是虚数单位，若复数在复平面内所对应的点位于第一象限，则的取值范围为 ． 【答案】 【解析】因为复数在复平面内所对应的点为，位于第一象限， 所以，解得， 即实数的取值范围为. 10．（23-24高一下·河南郑州·期末）已知复数，且，对应的向量分别为，则向量对应的复数是 . 【答案】 【解析】因为， 又，对应的向量分别为，所以， ， 所以， 所以向量对应的复数是. 四、解答题 11．（23-24高一下·河北张家口·月考）已知i为虚数单位. (1)若复数在复平面内对应的点在第二象限，求m的取值范围； (2)若复数z满足，求复数z. 【答案】(1)；(2). 【解析】（1）依题意，，解得， 所以m的取值范围是. （2）设，由，得， 则，解得，所以. 12．（23-24高一下·安徽蚌埠·月考）已知复数． (1)若在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围； (2)若，且，在复平面内对应的点分别为A，B，已知为坐标原点，求向量在上的投影向量的坐标． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为在复平面内对应的点位于第四象限， 所以解得， 故的取值范围为 （2）由题可知． 所以，， 则，， 所以． 所以在上的投影向量的坐标为． ( 5 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$