精品解析：安徽省六安市霍邱县2024-2025学年八年级上学期1月期末数学试题

霍邱县2024~2025学年度第一学期期末考试 八年级数学试卷 一、选择题（本大题共有10小题，每小题4分，共计40分） 1. 方块字是中国文化瑰宝，有些方块字具有对称性，下列方块字是轴对称图形的是（ ） A. 蚌 B. 怀 C. 五 D. 固 2. 以下列长度各组线段为边，能组成三角形的是（ ） A ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 已知正比例函数的图象上有两点，，若，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法正确是（ ） A. 若两个等腰三角形腰相等，底也相等，那么这两个等腰三角形全等 B. 两条边分别相等的两个直角三角形全等 C. 有一个角是的三角形是等边三角形 D. 两个等边三角形一定全等 5. 如图，等边的顶点、分别在直线，上，且，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（ ） A. B. C D. 7. 如图所示，在中，是钝角，让点C在射线BD上向右移动，则（ ） A. 将先变成直角三角形，然后再变成锐角三角形，而不会再是钝角三角形 B. 将变成锐角三角形，而不会再是钝角三角形 C. 将先变成直角三角形，然后再变成锐角三角形，接着又由锐角三角形变为钝角三角形 D. 先由钝角三角形变为直角三角形，再变为锐角三角形，接着又变为直角三角形，角形然后再次变为钝角三角形 8. 已知方程的解是，则函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，点、的坐标分别为、，点是第一象限内直线上一个动点，当点的横坐标逐渐增大时，四边形的面积（ ） A. 逐渐增大 B. 逐渐减少 C. 先减少后增大 D. 不变 10. 关于一次函数，现给出以下结论： ①当时，的值随着值的增大而增大； ②将该函数图象向下平移2个单位长度后得到直线，则，； ③若点和均在该函数图象上，则； ④若该函数的图象与直线关于轴对称，则，． 其中正确的结论是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①④ D. ①③④ 二、填空题（本大题共有4小题，每小题5分，共计20分） 11. 已知点关于轴的对称点为点，则的值为______． 12. 如图，在中，，于点，，，则的长度是________． 13. 点在的平分线上，点到边的距离等于5，点是边上任意一点，则的最小值是________． 14. 如图，已知点、、在同一直线上，和都是等边三角形，，交于点，交于点、交于点，连接． （1）写出一对全等三角形：________； （2）①；②是等边三角形；③，④平分，以上结论正确的是：________（填序号）． 三、解答题（本大题共有9小题，共计90分） 15. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于轴的对称图形； （2）画出向左平移4个单位长度后得到的； （3）请通过作图的方式，在轴上找到一点，使得的值最小，并直接写出点的坐标． 16. 已知直线经过点，． （1）直线与直线相交于点，求点的坐标； （2）根据图象，写出关于的不等式的解集． 17. 已知的三边长分别为，，． （1）化简：． （2）若，，且三角形的周长为偶数，求的值． 18. 如图，，，是上的一点，且，． （1）求证：； （2）若，，求的面积． 19. 已知：纸片，将纸片分别按以下两种方法翻折： ①如图1，沿着的平分线翻折，得到，设的周长为m． ②如图2，沿着的垂直平分线翻折，得到，设的周长为n． 线段的长度用含m，n的代数式可表示为______． 20. 在一个三角形中，如果一个内角是另一个内角的3倍，这样的三角形我们称之为“三倍角三角形”，例如，三个内角分别为，，的三角形是“三倍角三角形”． （1）中，，，是“三倍角三角形”吗？为什么？ （2）若是“三倍角三角形”，且，求中最小内角的度数． 21. 如图，在中，，点D为上一点，且满足．点E是的中点，连接并延长，交的延长线于点F，连接． （1）求和的度数； （2）求证：是等腰三角形． 22. 3月21日，西安滨河学校开展了校园安全宣讲活动，同学们在上下学途中特别要注意骑车安全．小明骑单车上学，当他骑了一段时间，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的新华书店，买到书后继续去学校，以下是他本次所用的时间与离家距离的关系示意图，根据图中提供的信息回答下列问题： （1）图中自变量是___________，因变量是_________． （2）小明家到学校的路程是___________米．小明在书店停留了_______分钟． （3）我们认为骑单车的速度超过300米/分钟就超越了安全限度．请计算比较，在整个上学的途中哪个时间段小明骑车速度最快，速度在安全限度内吗？ 23. 如图1，直线与轴交于点，直线与轴交于点，、交于轴上一点． （1）求直线所对应的函数表达式； （2）求证：； （3）规律探究：将向左平移个单位长度得到图2，与轴交于点，在的延长线上取一点，使，连接交轴于点．请探究向左平移的过程中，线段的长度的变化情况． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 霍邱县2024~2025学年度第一学期期末考试 八年级数学试卷 一、选择题（本大题共有10小题，每小题4分，共计40分） 1. 方块字是中国文化瑰宝，有些方块字具有对称性，下列方块字是轴对称图形的是（ ） A. 蚌 B. 怀 C. 五 D. 固 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：选项A、B、C不能找到这样一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形， 选项D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形， 故选：D． 2. 以下列长度的各组线段为边，能组成三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键．根据三角形的三边关系，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、，不能组成三角形，故本选项不符合题意； B、，能组成三角形，故本选项符合题意； C、，不能组成三角形，故本选项不符合题意； D、，不能组成三角形，故本选项不符合题意． 故选：B． 3. 已知正比例函数的图象上有两点，，若，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正比例函数图象点的增减性的知识，掌握以上知识是解题的关键； 本题由得出随增大而增大是解题关键，根据正比例函数增减性然后即可求解． 【详解】解：∵正比例函数中， ∴随增大而增大， ∵， ∴， ∴； 故选：C． 4. 下列说法正确的是（ ） A. 若两个等腰三角形的腰相等，底也相等，那么这两个等腰三角形全等 B. 两条边分别相等的两个直角三角形全等 C. 有一个角是的三角形是等边三角形 D. 两个等边三角形一定全等 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定，等边三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是从选项中挖掘条件及熟练掌握相关判定． 根据三角形全等的判定和等边三角形的性质和判定逐个判断即可得到答案． 【详解】A．若两个等腰三角形的腰相等，底也相等，根据“”即可证明这两个等腰三角形全等，故本选项正确； B．两条边相等的两个直角三角形不一定全等，故此选项错误； C．有一个角是的等腰三角形是等边三角形，故此选项错误； D．两个等边三角形，能推论三个角对应相等，不能证明两个三角形全等，故错误； 故选：A． 5. 如图，等边的顶点、分别在直线，上，且，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质、三角形外角的定义及性质、平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键； 由等边三角形的性质结合三角形外角的定义及性质得出，最后再由平行线的性质即可得出答案． 【详解】解：如图： 是等边三角形， ， ， ， ； 故选：A 6. 如图，在中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据尺规作图痕迹，可得DF垂直平分AB，BE是的角平分线，根据垂直平分线的性质和角平分线的定义，直角三角形两锐角互余，等边对等角的性质进行判断即可． 【详解】根据尺规作图痕迹，可得DF垂直平分AB，BE是的角平分线， ， ， ， 综上，正确的是A、C、D选项， 故选：B． 【点睛】本题考查了垂直平分线和角平分线的作图，垂直平分线的性质，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余，等边对等角的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 7. 如图所示，在中，是钝角，让点C在射线BD上向右移动，则（ ） A. 将先变成直角三角形，然后再变成锐角三角形，而不会再是钝角三角形 B. 将变成锐角三角形，而不会再是钝角三角形 C. 将先变成直角三角形，然后再变成锐角三角形，接着又由锐角三角形变为钝角三角形 D. 先由钝角三角形变为直角三角形，再变为锐角三角形，接着又变为直角三角形，角形然后再次变为钝角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】因为BC边变大，∠A也随着变大，∠C在变小．所以此题的变化为：△ABC先由钝角三角形变为直角三角形，再变为锐角三角形，接着又变为直角三角形，然后再次变为钝角三角形． 【详解】解：根据∠A的旋转变化规律可知：△ABC先由钝角三角形变为直角三角形，再变为锐角三角形，接着又变为直角三角形，然后再次变为钝角三角形． 故选：D． 【点睛】本题考查角变化,解题时要注意三角形的变化：∠B不变，∠A变大，∠C在变小． 8. 已知方程的解是，则函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程：已知一次函数的函数值求对应的自变量的值的问题就是一元一次方程的问题． 由于方程的解是，即时，，所以直线经过点，然后对各选项进行判断． 【详解】解：方程的解是， 经过点． 故选：C． 9. 如图，点、的坐标分别为、，点是第一象限内直线上一个动点，当点的横坐标逐渐增大时，四边形的面积（ ） A. 逐渐增大 B. 逐渐减少 C. 先减少后增大 D. 不变 【答案】D 【解析】 【分析】根据点、的坐标求出所在直线解析式，进而得出两直线平行，即可得出是定值，是定值，到直线的距离是定值，进而得出答案． 【详解】解：连接， 点、的坐标分别为、， 设所在直线解析式为：， ， 解得：， 所在直线解析式为：， 将直线：向上平移1个单位即可得直线， 两直线平行， 点是第一象限内直线上的一个动点， 到直线的距离是定值， 是定值，是定值，到直线的距离是定值， ∴是定值， ∴是定值， 当点的横坐标逐渐增大时，四边形的面积不变． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式以及两直线平行的关系以及三角形面积求法等知识，根据一次函数的平移得出已知两直线平行是解题关键． 10. 关于一次函数，现给出以下结论： ①当时，的值随着值的增大而增大； ②将该函数图象向下平移2个单位长度后得到直线，则，； ③若点和均在该函数图象上，则； ④若该函数的图象与直线关于轴对称，则，． 其中正确的结论是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①④ D. ①③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，平移的性质，对称的性质；由及一次函数的增减性质即可判断①；由一次函数平移的性质知，，从而可确定a与b的值，进而可判定②；把两点坐标代入函数式中，消去m即可得a与b的关系，进而可判定③；由对称知，是两对称直线的公共点，则可求得b；再在直线上取点，其对称点在上，则可求得a的值，从而可判定④，最后可确定正确选项． 【详解】解：当时，则，y的值随着x值的增大而增大，故①正确； 将该函数图象向下平移2个单位后得到直线，则， ∴，故②错误； 若点和均在该函数图象上，则有， 两式相减消去m，并整理得：，故③错误； 若该函数的图象与直线关于y轴对称，显然是两对称直线的公共点，则；在直线上取点，则它关于y轴的对称点在直线上，即，∴，故，，即④正确； ∴正确的有①④； 故选：C． 二、填空题（本大题共有4小题，每小题5分，共计20分） 11. 已知点关于轴的对称点为点，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得、的值． 【详解】解：∵点关于轴对称点为点， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了关于轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律． 12. 如图，在中，，于点，，，则的长度是________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，同角的余角相等的性质，熟记相关性质是解题关键． 根据同角的余角相等求出，再根据角所对的直角边等于斜边的一半求出、的长，然后根据计算即可得解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴． 故答案为：6． 13. 点在的平分线上，点到边的距离等于5，点是边上任意一点，则的最小值是________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，垂线段最短，根据“角平分线上的点到角两边的距离相等”可得到的距离为，再由垂线段最短可得，由此可得答案． 【详解】解：∵点在的平分线上，点到边的距离等于， 到的距离为， 点是边上任意一点， ， 的最小值为． 故答案为：5． 14. 如图，已知点、、在同一直线上，和都是等边三角形，，交于点，交于点、交于点，连接． （1）写出一对全等三角形：________； （2）①；②是等边三角形；③，④平分，以上结论正确的是：________（填序号）． 【答案】 ①. （或或） ②. ①②④ 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质,角平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质可证明，，，即可解答； （2）由（1）有，得到，从而求得，根据三角形的内角和定理求得，从而判断①正确；根据，，得到是等边三角形，从而判断②正确；过点C作于点M，作于点N，证明，得到，根据角平分线的判定得到平分，从而判断④正确． 【详解】解：（1）∵和都是等边三角形， ∴，，， ， ∵，， ∴ 和中 ， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴． ∴ 在和中 ， ∴． 故答案为：（或或） （2）由（1）有， ∴， ∴ ， ∴．故①正确； 由（1）有， ∴， ∵， ∴是等边三角形．故②正确； 过点C作于点M，作于点N， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵，， ∴平分．故④正确． 无法证明③成立，故③错误． 结论正确的是①②④． 故答案为：①②④ 三、解答题（本大题共有9小题，共计90分） 15. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于轴的对称图形； （2）画出向左平移4个单位长度后得到的； （3）请通过作图的方式，在轴上找到一点，使得的值最小，并直接写出点的坐标． 【答案】（1）图见解析； （2）图见解析 （3）图见解析，． 【解析】 【分析】本题考查了作图-轴对称变换和平移变换，求一次函数的解析式等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）作点，，关于轴对称的点，，，依次连接，，，则即是所求的三角形； （2）作出点，，向左平移4个单位长度后得到的对应点，，，依次连接，，，则即为所求； （3）连接，交轴于点，则的值最小，点即为所求，设的解析式为：，把点，代入求出的解析式为，当时，求出，即可得出点的坐标． 【小问1详解】 解：作点，，关于轴对称的点，，，依次连接，，，则即是所求的三角形，如图： 【小问2详解】 解：点，，向左平移4个单位长度后得到的对应点，，，即，，，依次连接，，，则即为所求，如图： 【小问3详解】 解：连接，交轴于点，则的值最小，点即为所求，如图： 设的解析式为：， 把点，代入得： ， 解得：， ∴的解析式为：， 当时，， 解得：， ∴点的坐标为． 16. 已知直线经过点，． （1）直线与直线相交于点，求点的坐标； （2）根据图象，写出关于的不等式的解集． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，以及一次函数的交点，一次函数与一元一次不等式的关系，关键是正确从函数图象中获得正确信息． （1）利用待定系数法把点A，点B代入求出直线的解析式，再联立两个函数解析式，再解方程组即可求出点C的坐标； （2）根据C点坐标可直接得到答案． 【小问1详解】 解：∵将，代入， 得， 解得， ∴直线的解析式为：， 联立可得， 解得， ∴点的坐标为； 【小问2详解】 解：由图象可知，不等式的解集为 17. 已知的三边长分别为，，． （1）化简：． （2）若，，且三角形的周长为偶数，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形两边之和大于第三边，两边差小于第三边是解答此题的关键． （1）利用三角形三边关系得到，，，然后去绝对值符号后化简即可； （2）由，，三角形的周长为偶数，求解即可求得答案． 【小问1详解】 解：由三角形三边关系可知： ，，， ∴原式； 【小问2详解】 ∵，， ∴， ∵三角形得周长为偶数，为奇数， ∴； 18. 如图，，，是上的一点，且，． （1）求证：； （2）若，，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2）10 【解析】 【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质的运用，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据已知可得到，，从而利用判定两三角形全等； （2）由三角形全等可得到，，再利用即可解答． 【小问1详解】 解：证明：∵，， ∴， ∴． ∵， ∴． 在与中 ， ∴． 【小问2详解】 解：由（1）得， ∴，． ∴ ， ∴的面积为10． 19. 已知：纸片，将纸片分别按以下两种方法翻折： ①如图1，沿着的平分线翻折，得到，设的周长为m． ②如图2，沿着的垂直平分线翻折，得到，设的周长为n． 线段的长度用含m，n的代数式可表示为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了图形的折叠问题，熟练掌握图形的折叠性质是解题的关键．先分别计算得到的周长和的周长，然后作差即可求解． 【详解】解：∵沿着的平分线翻折，得到， ∴，， ∴的周长，① ∵沿着的垂直平分线翻折，得到， ∴， ∴的周长，② ∴②①得：， ∴， ∴． 故答案为：． 20. 在一个三角形中，如果一个内角是另一个内角的3倍，这样的三角形我们称之为“三倍角三角形”，例如，三个内角分别为，，的三角形是“三倍角三角形”． （1）中，，，是“三倍角三角形”吗？为什么？ （2）若是“三倍角三角形”，且，求中最小内角的度数． 【答案】（1）是“三倍角三角形”，理由见解析 （2）中最小内角为或 【解析】 【分析】（1）根据定义，结合三角形内角和定理求解即可得到答案； （2）根据题意，由定义，结合三角形内角和定理分三种情况求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：是“三倍角三角形”， 理由如下：，， ， 是“三倍角三角形”； 【小问2详解】 解：， ， ①当是最小角时，、或、，此时满足题意最小角为； ②当是最小角时，，即、或，即，与是最小角矛盾，此时满足题意最小角为； ③当是最小角时，，即、或，即，与是最小角矛盾，此时满足题意最小角为； 综上所述，中最小内角度数为或． 【点睛】本题考查新定义问题，涉及三角形内角和定理，读懂题意，理解“三倍角三角形”是解决问题的关键． 21. 如图，在中，，点D为上一点，且满足．点E是的中点，连接并延长，交的延长线于点F，连接． （1）求和的度数； （2）求证：是等腰三角形． 【答案】（1）， （2）见解析 【解析】 【分析】（1）设，由知，，由列方程求解可得； （2）依据E是的中点，即可得到，，可得垂直平分，进而得出，依据，即可得到，再根据，可得，进而得到． 【小问1详解】 解：设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， 则，． 【小问2详解】 解：∵E是的中点，， ∴，，即， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即为等腰三角形． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，解决问题的关键是综合运用等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，三角形外角的性质． 22. 3月21日，西安滨河学校开展了校园安全宣讲活动，同学们在上下学途中特别要注意骑车安全．小明骑单车上学，当他骑了一段时间，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的新华书店，买到书后继续去学校，以下是他本次所用的时间与离家距离的关系示意图，根据图中提供的信息回答下列问题： （1）图中自变量是___________，因变量是_________． （2）小明家到学校的路程是___________米．小明在书店停留了_______分钟． （3）我们认为骑单车的速度超过300米/分钟就超越了安全限度．请计算比较，在整个上学的途中哪个时间段小明骑车速度最快，速度在安全限度内吗？ 【答案】（1）离家的时间，离家的距离 （2）；4 （3）在整个上学的途中分钟时速度最快，在安全限度内 【解析】 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息： （1）根据函数图象可知纵坐标是离家距离，横坐标是时间，从而得出自变量是离家的时间，因变量是离家的距离； （2）因为y轴表示离家距离，起点是家，终点是学校，故小明家到学校的路程是1500米；与x轴平行的线段表示路程没有变化，观察图象分析其对应时间即可； （3）观察图象分析每一时段所行路程，然后计算出各时段的速度进行比较即可． 【小问1详解】 解：根据图象，纵坐标为离家的距离，横坐标为离家的时间，故图中自变量是离家的时间，因变量是离家的路程， 故答案为：离家的时间，离家的距离； 【小问2详解】 解：轴表示路程，起点是家，终点是学校， 小明家到学校的路程是米， 由图象可知：小明在书店停留了（分钟）， 故答案为：；4； 【小问3详解】 解：由图象可知：分钟时，平均速度米/分， 分钟时，平均速度米/分， 分钟时，平均速度米/分， ∴在整个上学的途中分钟时速度最快，在安全限度内． 23. 如图1，直线与轴交于点，直线与轴交于点，、交于轴上一点． （1）求直线所对应的函数表达式； （2）求证：； （3）规律探究：将向左平移个单位长度得到图2，与轴交于点，在的延长线上取一点，使，连接交轴于点．请探究向左平移的过程中，线段的长度的变化情况． 【答案】（1） （2）见解析 （3）在向左平移的过程中，线段的长度不变 【解析】 【分析】（1）先求出A点坐标，然后用待定系数法即可求出直线的解析式． （2）先求出点和点的坐标，得出，根据线段垂直平分线的性质定理即可证明； （3）过点作轴，证明，算出，再证明，即可得出，即可解答． 【小问1详解】 解：把代入，得， ∴点的坐标为， 设直线的表达式为， 把，代入得， 解得：， ∴直线的表达式为； 【小问2详解】 证明：令，有， 解得：， 则点坐标为； 令，有，解得：， 故点的坐标为； ∴， 又∵， ∴． 【小问3详解】 解：的长度不变，理由如下： 过点作轴， ∴， 由（2）可知， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴，， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴． ∴在向左平移的过程中，线段的长度不变． 【点睛】本题主要考查一次函数的性质，涉及待定系数法求一次函数解析式、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质．解题的关键是作辅助线并证明三角形全等． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $