广东省潮州市饶平县2024—2025学年上学期八年级期末数学试卷

2024-2025学年广东省潮州市饶平县八年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）叶绿体是植物进行光合作用的场所，叶绿体DNA最早发现于衣藻叶绿体，长约0.00005米．其中（　　） A．0.5×10﹣4 B．5×10﹣4 C．5×10﹣5 D．50×10﹣3 3．（3分）下列计算正确的是（　　） A．a3÷a2＝a B．a3•a2＝a6 C．a3+a2＝a5 D．（﹣a3）2＝a5 4．（3分）如果三角形的两边长分别是4和9，那么第三边长可能是（　　） A．1 B．5 C．8 D．14 5．（3分）若一个多边形的内角和与外角和相等，则这个多边形是（　　） A．三角形 B．六边形 C．五边形 D．四边形 6．（3分）如图，点E、F在AC上，AD＝BC，要使△ADF≌△CBE，还需要添加一个条件是（　　） A．AD∥BC B．DF∥BE C．∠A＝∠C D．∠D＝∠B 7．（3分）如图，在等边三角形ABC中，BD⊥AC，则∠CDF的度数是（　　） A．10° B．15° C．20° D．25° 8．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，交AC于N，若BM＝4，则线段MN的长为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 9．（3分）小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a﹣b，x+y，a+b，x2﹣y2，a2﹣b2分别对应下列六个字：华、爱、我、中、游、美，现将（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2因式分解，结果呈现的密码信息可能是（　　） A．我爱美 B．中华游 C．爱我中华 D．美我中华 10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在BC上，且BD＝2CD，点F为线段AC上一个动点，若BE＝8cm（　　） A．12cm B．16cm C．18cm D．9cm 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．（3分）若分式有意义，则x应满足的条件是 　 　． 12．（3分）因式分解：a3﹣a＝　 　． 13．（3分）若3m＝4，3n＝2，则3m+2n＝ 　 　． 14．（3分）如图，∠AOB＝30°，P是∠AOB的角平分线上的一点，PN∥OB交OA于点N，若PM＝1　 　． 15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，A（4，0），B（0，3），以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角三角形ABC，∠BAC＝90°，则点C坐标为 　 　． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每题7分，共21分。 16．（7分）解方程：． 17．（7分）已知． （1）求a的值． （2）先化简再求值：． 18．（7分）如图，已知A（﹣1，4），B（﹣3，2），C（﹣2，1）． （1）画出△ABC关于y轴的对称的图形△A1B1C1，并写出点B的对称点B1的坐标； （2）求△A1B1C1的面积． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分。 19．（9分）王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板，点A和B分别与木墙的顶端重合．由题意知AC＝BC，∠ACB＝90°，BE⊥DE． （1）求证：△ADC≌△CEB； （2）求两堵木墙之间的距离． 20．（9分）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，垂足为G，且AD＝AB．∠EDF＝60°，AC于点E，F． （1）求证：△ABD是等边三角形； （2）求证：BE＝AF． 21．（9分）我国已成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在保障能源安全，改善空气质量等方面较传统燃油汽车都有明显优势．经过对某款电动汽车和某款燃油车的对比调查发现，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的4倍． （1）求这款电动汽车平均每公里的行驶费用； （2）如果这两款电动汽车和燃油车每年的其它费用分别为7800元和4800元，那么当每年行驶里程为6000千米时，买哪款汽车更划算？（年费用＝年行驶费用+年其它费用） 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分。 22．（13分）（1）探究：观察图①，图形的面积能说明的乘法公式是 　 　． （2）运用：观察图②，用等式表示图中阴影部分的面积 　 　． 若x满足（11﹣x）（x﹣8）＝2，求（11+x）2+（x﹣8）2的值． （3）拓展：如图③，某学校有一块梯形空地ABCD，AC⊥BD于点E，BE＝CE．该校计划在△AED和△BEC区域内种花，在△CDE和△ABE的区域内种草．经测量种花区域的面积和为，求种草区域的面积． 23．（14分）综合与实践 数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，并将其运用到更广阔的数学天地． （1）发现问题：如图1，在△ABC和△AEF中，AB＝AC，∠BAC＝∠EAF＝30°，连接BE，延长BE交CF于点D．则BE与CF的数量关系：　 　，∠BDC＝　 　°； （2）类比探究：如图2，在△ABC和△AEF中，AB＝AC，∠BAC＝∠EAF＝120°，连接BE，延长BE，FC交于点D．请猜想BE与CF的数量关系及∠BDC的度数； （3）拓展延伸：如图3，△ABC和△AEF均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠EAF＝90°，CF，且点B，E，过点A作AM⊥BF，垂足为点M．则BF，AM之间的数量关系：　 　． 2024-2025学年广东省潮州市饶平县八年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C A C D D B B C A 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【解答】解：选项A、C、D的图形不能找到这样的一条直线，直线两旁的部分能够互相重合． 选项B的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，所以是轴对称图形． 故选：B． 【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2．（3分）叶绿体是植物进行光合作用的场所，叶绿体DNA最早发现于衣藻叶绿体，长约0.00005米．其中（　　） A．0.5×10﹣4 B．5×10﹣4 C．5×10﹣5 D．50×10﹣3 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【解答】解：0.00005＝5×10﹣2， 故选：C． 【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 3．（3分）下列计算正确的是（　　） A．a3÷a2＝a B．a3•a2＝a6 C．a3+a2＝a5 D．（﹣a3）2＝a5 【分析】各项计算得到结果，即可作出判断． 【解答】解：A、原式＝a； B、原式＝a5，不符合题意； C、原式不能合并同类项； D、原式＝a6，不符合题意， 故选：A． 【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 4．（3分）如果三角形的两边长分别是4和9，那么第三边长可能是（　　） A．1 B．5 C．8 D．14 【分析】设此三角形第三边的长为x，根据三角形的三边关系求出x的取值范围，找出符合条件的x的值即可． 【解答】解：设此三角形第三边的长为x，则9﹣4＜x＜7+4，四个选项中只有8符合条件． 故选：C． 【点评】本题考查的是三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 5．（3分）若一个多边形的内角和与外角和相等，则这个多边形是（　　） A．三角形 B．六边形 C．五边形 D．四边形 【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°与多边形的外角和定理列式进行计算即可得解． 【解答】解：设多边形的边数为n，根据题意得 （n﹣2）•180°＝360°， 解得n＝4． 所以这个多边形是四边形． 故选：D． 【点评】本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，熟记公式与定理是解题的关键． 6．（3分）如图，点E、F在AC上，AD＝BC，要使△ADF≌△CBE，还需要添加一个条件是（　　） A．AD∥BC B．DF∥BE C．∠A＝∠C D．∠D＝∠B 【分析】全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，根据以上定理逐个进行判断即可． 【解答】解：∠D＝∠B， 理由是：∵在△ADF和△CBE中 ， ∴△ADF≌△CBE（SAS）， 即选项D正确； 具备选项A、选项B， 故选：D． 【点评】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS． 7．（3分）如图，在等边三角形ABC中，BD⊥AC，则∠CDF的度数是（　　） A．10° B．15° C．20° D．25° 【分析】先由三线合一定理和垂直的定义得到，再由等边对等角和三角形内角和定理求出∠BDF＝75°，则∠CDF＝∠BDC﹣∠BDF＝15°． 【解答】解：∵在等边三角形ABC中，BD⊥AC， ∴∠CBD＝∠ABC＝，∠BDC＝90°， ∵BF＝BD， ∴∠BDF＝∠BFD＝＝＝75°， ∴∠CDF＝∠BDC﹣∠BDF＝90°﹣75°＝15°， 故选：B． 【点评】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，关键是等边三角形性质的熟练掌握． 8．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，交AC于N，若BM＝4，则线段MN的长为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【分析】由∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E，∠MBE＝∠EBC，∠ECN＝∠ECB，利用两直线平行，内错角相等，利用等量代换可∠MBE＝∠MEB，∠NEC＝∠ECN，然后即可求得结论． 【解答】解：∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E， ∴∠MBE＝∠EBC，∠ECN＝∠ECB， ∵MN∥BC， ∴∠EBC＝∠MEB，∠NEC＝∠ECB， ∴∠MBE＝∠MEB，∠NEC＝∠ECN， ∴BM＝ME，EN＝CN， ∴MN＝ME+EN， 即MN＝BM+CN． ∵BM＝4，CN＝3， ∴MN＝5， 故选：B． 【点评】此题考查学生对等腰三角形的判定与性质和平行线性质的理解与掌握．此题关键是证明△BME△CNE是等腰三角形． 9．（3分）小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a﹣b，x+y，a+b，x2﹣y2，a2﹣b2分别对应下列六个字：华、爱、我、中、游、美，现将（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2因式分解，结果呈现的密码信息可能是（　　） A．我爱美 B．中华游 C．爱我中华 D．美我中华 【分析】将原式进行因式分解即可求出答案． 【解答】解：原式＝（x2﹣y2）（a3﹣b2）＝（x﹣y）（x+y）（a﹣b）（a+b） 由条件可知，（x﹣y）（x+y）（a﹣b）（a+b）可表示为“爱我中华” 故选：C． 【点评】本题考查因式分解的应用，涉及平方差公式，提取公因式法，并考查学生的阅读理解能力． 10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在BC上，且BD＝2CD，点F为线段AC上一个动点，若BE＝8cm（　　） A．12cm B．16cm C．18cm D．9cm 【分析】作点D关于直线AC的对称点H，连接EH交AC于F，此时FE+FD的值最小，即△DEF的周长最小．求出DE、EH的长即可解决问题． 【解答】解：如图，作点D关于直线AC的对称点H，此时FE+FD的值最小． 在Rt△BED中，∠EDB＝90°，BE＝8cm， ∴DE＝4cm＜BD＝2cm， ∵BD＝2CD， ∴CD＝CH＝4cm， 在Rt△EDH中，EH＝， ∵FD＝FH， ∴△DEF的周长的最小值＝DE+EF+DF＝DE+EF+FH＝EH+DE＝8+4＝12cm， 故选：A． 【点评】本题考查轴对称﹣最短问题、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用对称解决最短问题，属于中考常考题型． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．（3分）若分式有意义，则x应满足的条件是 　x≠3　． 【分析】根据分式有意义的条件解答即可． 【解答】解：∵分式有意义， ∴x﹣5≠0， 解得：x≠3． 故答案为：x≠3． 【点评】本题主要考查了分式有意义的条件，利用分母不等于0，分式有意义，列出不等式是解题的关键． 12．（3分）因式分解：a3﹣a＝　a（a+1）（a﹣1）　． 【分析】原式提取a，再利用平方差公式分解即可． 【解答】解：原式＝a（a2﹣1）＝a（a+5）（a﹣1）， 故答案为：a（a+1）（a﹣2） 【点评】此题考查了提公因式与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 13．（3分）若3m＝4，3n＝2，则3m+2n＝ 　16　． 【分析】根据同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方法则进行解题即可． 【解答】解：∵3m＝4，6n＝2， ∴3m+7n＝3m•36n＝3m•（3n）4＝4×25＝16． 故答案为：16． 【点评】本题考查同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 14．（3分）如图，∠AOB＝30°，P是∠AOB的角平分线上的一点，PN∥OB交OA于点N，若PM＝1　2　． 【分析】过点P作PE⊥OA于点E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PE＝PM，再根据两直线平行，内错角相等可得∠POM＝∠OPN，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠PNE＝∠AOB，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答． 【解答】解：如图，过点P作PE⊥OA于点E， ∵OP是∠AOB的平分线，PM⊥OB于点M， ∴PE＝PM， ∵PN∥OB， ∴∠POM＝∠OPN， ∴∠PNE＝∠PON+∠OPN＝∠PON+∠POM＝∠AOB＝30°， ∴PN＝2PE＝2PM＝8×1＝2． 故答案为：2． 【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，作辅助线构造含30°角的直角三角形是解题的关键． 15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，A（4，0），B（0，3），以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角三角形ABC，∠BAC＝90°，则点C坐标为 　（7，4）　． 【分析】由∠AOB＝90°，AB＝AC，∠BAC＝90°，想到作CD⊥x轴于点D，构造“一线三直角”模型，证明△CDA≌△AOB，得DC＝OA＝4，DA＝OB＝3，则OD＝7，即可求得C（7，4）． 【解答】解：作CD⊥x轴于点D，则∠CDA＝∠AOB＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠DAC＝∠OBA＝90°﹣∠OAB， 在△CDA和△AOB中， ， ∴△CDA≌△AOB（AAS）， ∵A（4，0），5）， ∴DC＝OA＝4，DA＝OB＝3， ∴OD＝OA+DA＝7+3＝7， ∴C（4，4）， 故答案为：（7，5）． 【点评】此题重点考查图形与坐标、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质等知识，证明△CDA≌△AOB是解题的关键． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每题7分，共21分。 16．（7分）解方程：． 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【解答】解：去分母得：2x﹣（4x﹣2）＝3， 解得：x＝， 经检验x＝是分式方程的解， 所以分式方程的解为x＝． 【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 17．（7分）已知． （1）求a的值． （2）先化简再求值：． 【分析】（1）先个零指数幂、负整数指数幂的意义计算，再把化简，然后进行有理数的加减运算； （2）先把括号内通分，再进行同分母的减法运算，接着把除法运算化为乘法运算，则约分得到原式＝，然后把a＝2代入计算即可． 【解答】解：（1）a＝1﹣2+3 ＝2； （2）原式＝• ＝• ＝， 当a＝2时，原式＝． 【点评】本题考查了分式的化简求值，解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0．也考查了零指数幂、负整数指数幂和二次根式的混合运算． 18．（7分）如图，已知A（﹣1，4），B（﹣3，2），C（﹣2，1）． （1）画出△ABC关于y轴的对称的图形△A1B1C1，并写出点B的对称点B1的坐标； （2）求△A1B1C1的面积． 【分析】（1）根据轴对称的性质作图，即可得出答案． （2）利用割补法求三角形的面积即可． 【解答】解：（1）如图，△A1B1C4即为所求． 由图可得，B1（3，5）． （2）△A1B1C6的面积为＝＝2． 【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分。 19．（9分）王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板，点A和B分别与木墙的顶端重合．由题意知AC＝BC，∠ACB＝90°，BE⊥DE． （1）求证：△ADC≌△CEB； （2）求两堵木墙之间的距离． 【分析】（1）根据直角三角形的性质证明∠BCE＝∠DAC，进而可以得到结论； （2）由题意得AD＝6（cm），BE＝14（cm），结合（1）知△ADC≌△CEB，得EC＝AD＝6cm，DC＝BE＝14cm，进而可以解决问题． 【解答】（1）证明：∵AD⊥DE，BE⊥DE， ∴∠ADC＝∠CEB＝90 ∵∠ACB ＝90°， ∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°， ∴∠BCE＝∠DAC， 在△ADC和△CEB中， ， ∴△ADC≌△CEB（AAS）； （2）解：由题意得：AD＝2×3＝8（cm），BE＝7×2＝14（cm）， 由（1）知：△ADC≌△CEB， ∴EC＝AD＝4cm，DC＝BE＝14cm， ∴DE＝DC+CE＝20（cm）． 答：两堵木墙之间的距离为20cm． 【点评】本题考查全等三角形的应用，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质． 20．（9分）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，垂足为G，且AD＝AB．∠EDF＝60°，AC于点E，F． （1）求证：△ABD是等边三角形； （2）求证：BE＝AF． 【分析】（1）由等腰三角形的性质和已知条件得出∠BAD＝∠DAC＝×120°＝60°，再由AD＝AB，即可得出结论； （2）由△ABD是等边三角形，得出BD＝AD，∠ABD＝∠ADB＝60°，证出∠BDE＝∠ADF，由ASA证明△BDE≌△ADF，得出BE＝AF． 【解答】（1）证明：∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴∠BAD＝∠DAC＝∠BAC， ∵∠BAC＝120°， ∴∠BAD＝∠DAC＝×120°＝60°， ∵AD＝AB， ∴△ABD是等边三角形； （2）证明：∵△ABD是等边三角形， ∴∠ABD＝∠ADB＝60°，BD＝AD ∵∠EDF＝60°， ∴∠ADB＝∠EDF， ∴∠ADB﹣∠ADE＝∠EDF﹣∠ADE， ∴∠BDE＝∠ADF， 在△BDE与△ADF中， ， ∴△BDE≌△ADF（ASA）， ∴BE＝AF． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握等腰三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键． 21．（9分）我国已成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在保障能源安全，改善空气质量等方面较传统燃油汽车都有明显优势．经过对某款电动汽车和某款燃油车的对比调查发现，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的4倍． （1）求这款电动汽车平均每公里的行驶费用； （2）如果这两款电动汽车和燃油车每年的其它费用分别为7800元和4800元，那么当每年行驶里程为6000千米时，买哪款汽车更划算？（年费用＝年行驶费用+年其它费用） 【分析】（1）设这款电动汽车平均每公里的行驶费用为x元，则这款燃油车平均每公里的行驶费用为（x+0.6）元，利用可行驶的路程＝行驶费用÷平均每公里的行驶费用，结合“若两款车的行驶费用均为200元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的4倍”，可列出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）利用年费用＝年行驶费用+年其它费用，可分别求出这两款电动汽车和燃油车的年费用，比较后即可得出结论． 【解答】解：（1）设这款电动汽车平均每公里的行驶费用为x元，则这款燃油车平均每公里的行驶费用为（x+0.6）元， 根据题意得：＝7×， 解得：x＝8.2， 经检验，x＝0.8是所列方程的解． 答：这款电动汽车平均每公里的行驶费用为0.2元； （2）根据题意得：这款电动汽车的年费用为6.2×6000+7800＝9000（元）； 这款燃油车的年费用为（0.8+0.6）×6000+4800＝9600（元）． ∵9000＜9600， ∴买这款电动汽车更划算． 【点评】本题考查了分式方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，求出这两款电动汽车和燃油车的年费用． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分。 22．（13分）（1）探究：观察图①，图形的面积能说明的乘法公式是 　（a+b）2＝a2+2ab+b2　． （2）运用：观察图②，用等式表示图中阴影部分的面积 　a2+b2＝（a+b）2﹣2ab　． 若x满足（11﹣x）（x﹣8）＝2，求（11+x）2+（x﹣8）2的值． （3）拓展：如图③，某学校有一块梯形空地ABCD，AC⊥BD于点E，BE＝CE．该校计划在△AED和△BEC区域内种花，在△CDE和△ABE的区域内种草．经测量种花区域的面积和为，求种草区域的面积． 【分析】（1）用代数式表示大正方形的面积，各个部分的面积，再根据面积之间的关系即可得出答案； （2）根据面积之间的关系即可得出答案； （3）由题意得出种花区域的面积为S△ADE+S△BEC＝＝，求出AE•CE＝12，则AE•BE＝DE•CE＝12，由三角形面积关系可得出答案． 【解答】解：（1）大正方形的边长为a+b，因此大正方形的面积为（a+b）2．组成大正方形的四个部分的面积分别为a2、ab、ab、b3， 由面积之间的关系可得，（a+b）2＝a2+6ab+b2． 故答案为：（a+b）2＝a4+2ab+b2； （2）由（1）知大正方形的面积为（a+b）3， ∴图中阴影部分的面积＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab． ∵（11﹣x）2+（x﹣4）2＝[（11﹣x）+（x﹣8）]2﹣2（11﹣x）（x﹣8）＝52﹣2×4＝9﹣4＝2， ∴（11﹣x）2+（x﹣8）2的值是5； 故答案为：a2+b6＝（a+b）2﹣2ab． （3）∵AC⊥BD，AE＝DE， ∴，， ∴种花区域的面积为S△ADE+S△BEC＝＝， ∴AE2+CE3＝25， ∵AC＝7， ∴AE+CE＝7， ∴（AE+CE）3＝AE2+CE2+2AE•CE＝72， ∴AE•CE＝12， 又∵AE＝DE，BE＝CE， ∴AE•BE＝DE•CE＝12， ∴S△ABE+S△DEC＝＝12（m2）． ∴种草区域的面积为12m2． 【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，正方形的性质，三角形的面积公式，用代数式表示整体的面积以及各个部分的面积是解决问题的关键． 23．（14分）综合与实践 数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，并将其运用到更广阔的数学天地． （1）发现问题：如图1，在△ABC和△AEF中，AB＝AC，∠BAC＝∠EAF＝30°，连接BE，延长BE交CF于点D．则BE与CF的数量关系：　BE＝CF　，∠BDC＝　30　°； （2）类比探究：如图2，在△ABC和△AEF中，AB＝AC，∠BAC＝∠EAF＝120°，连接BE，延长BE，FC交于点D．请猜想BE与CF的数量关系及∠BDC的度数； （3）拓展延伸：如图3，△ABC和△AEF均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠EAF＝90°，CF，且点B，E，过点A作AM⊥BF，垂足为点M．则BF，AM之间的数量关系：　BF＝CF+2AM　． 【分析】（1）证明△BAE≌△CAF（SAS），则BE＝CF，∠ABE＝∠ACF，根据∠BDC＝180°﹣∠CBD﹣∠ACB﹣∠ACD＝180°﹣（∠CBD+∠ABD）﹣∠ACB，计算求解即可； （2）同理（1）证明求解即可； （3）同理（2）可证，△BAE≌△CAF（SAS），则BE＝CF，由等腰直角△AEF，AM⊥BF，可得，则BF＝BE+EF＝CF+2AM，然后作答即可． 【解答】解：（1）∵∠BAC＝∠EAF＝30°， ∴∠BAC+∠CAE＝∠EAF+∠CAE，即∠BAE＝∠CAF， ∵AB＝AC，∠BAE＝∠CAF， ∴△BAE≌△CAF（SAS）， ∴BE＝CF，∠ABE＝∠ACF， ∴∠BDC＝180°﹣∠CBD﹣∠ACB﹣∠ACD＝180°﹣（∠CBD+∠ABD）﹣∠ACB＝30°， 故答案为：BE＝CF，30； （2）BE＝CF，∠BDC＝60°； ∵∠BAC＝∠EAF＝120°， ∴∠BAC﹣∠CAE＝∠EAF﹣∠CAE，即∠BAE＝∠CAF， ∵AB＝AC，∠BAE＝∠CAF， ∴△BAE≌△CAF（SAS）， ∴BE＝CF，∠ABE＝∠ACF， ∴∠BDC＝∠ACB+∠ACF﹣∠CBD＝∠ACB+（∠ABE﹣∠CBD）＝180°﹣∠BAC＝60°， ∴BE＝CF，∠BDC＝60°； （3）由题意知，同理（2）可证， ∴BE＝CF， ∵等腰直角△AEF，AM⊥BF， ∴， ∴BF＝BE+EF＝CF+4AM， 故答案为：BF＝CF+2AM． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，等腰三角形的判定与性质．熟练掌握全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/1/15 7:33:19；用户：王立研；邮箱：orFmNt_U77fScWxT8l0DTCmjLXRs@weixin.jyeoo.com；学号：25840186 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$