精品解析：四川省眉山市东坡区2024-2025学年高二上学期1月期末联合考试数学试题

2023级高二年级期末联合考试 数学试题 考试时间:120分钟 第I卷（选择题） 一、单选题（40分） 1. 圆心为且过点的圆的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知利用两点间的距离公式求出圆的半径，代入圆的标准方程得答案． 【详解】∵圆心为（﹣3，2）且过点A（1，﹣1）， ∴圆的半径， 则圆的方程为（x+3）2+（y﹣2）2＝25． 故选D． 【点睛】本题考查圆的方程的求法，两点间距离，是基础的题型． 2. 平面内，动点的坐标满足方程，则动点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆的定义求解即可. 【详解】由题意，点到两个定点，的距离之和等于常数， 故根据椭圆的定义可知：此点的轨迹为焦点在轴上的椭圆，且，， 故，故椭圆的标准方程为. 故选：B 3. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点是椭圆上一个动点，若的面积的最大值为，则（ ） A. B. 3 C. 9 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】根据的面积为，即可求解. 【详解】根据题意可知椭圆半焦距，设点,，，那么， 所以的面积， 所以，所以，化简得， 即或9． 又因为，解得， 因此． 故选：D． 4. 在如图所示的电路图中，开关闭合与断开的概率都是，且是相互独立的，则灯灭的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求灯泡能亮的情况，然后根据对立事件的概率即可求解. 【详解】由电路图可知：要使灯泡亮，必须闭合，或闭合，故灯亮的概率为，则灯灭的概率是， 故选：C. 5. 已知直线与直线，则是的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先证明充分性是否成立，即由m＝2能否推出 l1⊥l2；再证必要性是否成立，即由l1⊥l2 能否推出 m＝2，从而做出结论． 【详解】当 m＝2时，直线l1：2x﹣2y+1＝0，l2：x+y﹣1＝0，两直线的斜率之积等于﹣1，故l1⊥l2，充分性成立． 当l1⊥l2时， ∵m﹣1≠0，m≠0，由斜率之积的等于﹣1得：1， ∴m＝2 或 m＝﹣1， 故不能由l1⊥l2 推出 m＝2，故必要性不成立． 综上，“m＝2”是“l1⊥l2”的充分不必要条件， 故选：A． 【点睛】本题考查充分条件、必要条件的定义，两直线垂直的条件和性质． 6. 已知直线过椭圆C；的一个焦点，与C交于A，B两点，与平行的直线与C交于M，N两点，若AB的中点为P，MN的中点为Q，且PQ的斜率为，则C的方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用点差法，结合直线斜率公式进行求解即可. 【详解】设， 则，两式作差得 所以 若O为坐标原点，则，同理，所以O，P，Q三点共线， 即，所以，又过点，即椭圆的焦点，所以 解得，所以C的方程为 故选：C 7. 已知椭圆左、右焦点为，，上一点满足，A为线段的中垂线与的交点，若的周长为，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意结合椭圆的定义，求出，，然后勾股定理得出a、c的关系即可. 【详解】A为线段的中垂线与的交点，所以，， 三角形的周长为， 所以，又， 所以，又， 所以， 故选：B. 8. 如图，在正方体中，点P为棱的中点，点Q为面内一点，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】以点为原点建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为，设，根据求出的关系，然后可求出点到直线和直线的距离，进而可得出答案. 【详解】如图，以点为原点建立空间直角坐标系， 不妨设正方体的棱长为， 则，设， 故， 因为， 所以，即， 所以， 则点到直线的距离为， 点到直线的距离为， 所以， 故，， 所以. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：以点为原点建立空间直角坐标系，设，根据求出的关系，是解决本题的关键. 二、多选题（共18分） 9. 若椭圆焦距为2，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 【答案】CD 【解析】 【分析】讨论椭圆焦点所在位置，结合之间的关系分析求解. 【详解】由题意可知：， 若焦点在x轴上，则，解得； 若焦点在y轴上，则，解得； 综上所述：或 故选：CD. 10. 已知椭圆C：内一点，直线l与椭圆C交于A，B两点，且M为线段AB中点，则下列结论不正确的是（ ） A. C的焦点坐标为， B. C的长轴长为 C. 直线l的方程为 D. 【答案】AB 【解析】 【分析】由椭圆标准方程确定，即可得到选项A，B错误；利用点差法可求直线方程，得到选项C正确；联立直线和椭圆方程，利用弦长公式可得选项D正确. 【详解】由，得椭圆焦点在轴上，且，， 则，，， 所以椭圆的焦点坐标为，，长轴长为，故选项A、B错误； 设，，则，， 两式作差得， 因为为线段的中点，所以，， 所以， 所以直线的方程为，即，所以选项C正确； 由，得，则，， 所以，所以选项D正确． 故选：AB． 11. 已知直线和圆，则下列说法正确的是（ ） A. 存在，使得直线与圆相切 B. 若直线与圆交于两点，则的最小值为 C. 对任意，圆上恒有4个点到直线的距离为 D. 当时，对任意，曲线恒过直线与圆的交点 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据直线经过的定点在圆内，可判断A不正确； 根据圆心到直线的距离的最大值求出的最小值，可判断B正确； 根据圆心到直线的距离，可判断C正确； 将曲线的方程化为，可判断D正确. 【详解】对于A，因为直线过定点，且，即定点在圆内，所以不存在，使得直线与圆相切，故A不正确； 对于B，因为圆心到直线的距离的最大值为， 所以的最小值为，故B正确； 对于C，因为圆心到直线的距离，所以， 所以对任意，圆上恒有4个点到直线的距离为，故C正确； 对于D，当时，直线，曲线，即就是过直线与圆的交点的曲线方程，故D正确. 故选：BCD. 第II卷（非选择题） 三、填空题（共15分） 12. 已知圆和点，则过点的的切线方程为__________. 【答案】或 【解析】 【分析】由圆的方程可确定圆心和半径，假设切线方程，利用圆心到直线距离等于半径可构造方程求得结果. 【详解】由圆方程可得圆心，半径； 当过点直线斜率不存在时，即时，圆心到其距离，与相切； 当过点的的切线斜率存在时，可设为，即， 圆心到切线的距离，解得：， 切线方程为，即； 综上所述：所求切线方程为或. 故答案为：或. 13. 在某次国际围棋比赛中，中国派出包含甲、乙在内的5位棋手参加比赛，他们分成两个小组，其中一个小组有3位，另外一个小组有2位，则甲和乙分在不同小组的概率为______. 【答案】## 【解析】 【分析】写出所有的样本空间以及满足题意得情况数，根据古典概型的概率计算公式即可得到答案. 【详解】这5名棋手分别记为:甲,乙,,,, 则样本空间(甲乙，)，(甲乙，)，(甲乙，)，(甲，乙), (甲，乙),(甲，乙),(乙，甲),(乙，甲),(乙，甲),(，甲乙) 共含有10个样本点， 设事件表示“甲和乙分在不同小组”,则, 所以甲和乙分在不同小组的概率为. 故答案为：. 14. 已知椭圆：（）的离心率为，左焦点为，过且垂直于轴的直线被椭圆所截得的线段长为，则椭圆的标准方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据离心率可得的值，根据通径可得的值，求出后可得椭圆的标准方程. 【详解】由题设有，故，解得，故，故 故椭圆的标准方程为：， 故答案为：. 四、解答题（共77分） 15. 已知圆的半径为，圆心在第一象限，且与直线和轴都相切． （1）求圆的方程． （2）过的直线与圆相交所得的弦长为，求直线的方程． 【答案】（1）； （2）或． 【解析】 【分析】(1)根据与轴相切得圆心坐标为，再根据与直线相切得圆心C到直线距离等于半径2，解出参数a即得圆的方程； (2)先根据点斜式设直线方程，计算圆心到直线距离，再根据垂径定理列方程解出斜率，最后讨论斜率不存在时是否满足题意． 【小问1详解】 ∵圆与轴相切，且半径为，圆心在第一象限， ∴圆心C的坐标可设为，， 又圆与直线相切， ∴，解得， ∴圆的方程为． 【小问2详解】 设直线l的方程为，即， 易知圆心到的距离为， ∴， 解得，∴的方程为：； 当l斜率不存在时，方程为，此时圆心到l的距离为1，符合条件； 综上所述，的方程为或． 16. 已知椭圆． （1）若双曲线以椭圆的两个顶点为焦点，且经过椭圆的两个焦点，求双曲线的标准方程； （2）求过点，焦点在轴上且与椭圆有相同的离心率的椭圆方程． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）设所求双曲线的标准方程为，求出、的值，即可求得所求双曲线的标准方程； （2）设所求椭圆的标准方程为，焦距为，由已知条件可得出，，然后将点的坐标代入所求椭圆的标准方程，可求得的值，由此可得出所求椭圆的标准方程. 【详解】（1）在椭圆中，，，，且椭圆的焦点在轴上， 设所求双曲线的标准方程为，焦距为， 由已知条件可得，，， 因此，所求双曲线的标准方程为； （2）椭圆的离心率为， 设所求椭圆的标准方程为，焦距为，则， 所以，，，则所求椭圆的标准方程为， 将点的坐标代入所求椭圆的方程得，解得， 因此，所求椭圆的标准方程为. 【点睛】方法点睛：求椭圆的标准方程有两种方法 ①定义法：根据椭圆的定义，确定、的值，结合焦点位置可写出椭圆方程； ②待定系数法：若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出、；若焦点位置不明确，则需要分焦点在轴上和轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为． 17. 已知圆过原点，圆心在射线，且与直线相切. （1）求圆的方程； （2）过点的直线与圆相交于，两点，是的中点，直线与相交于点.若求直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】 （1）设圆心，，由圆过原点且与直线相切可得方程，解方程即可得解； （2）当直线斜率不存在时，易得不合题意；若直线斜率存在，设，联立两直线方程得，转化条件得，即可得方程，解方程即可得解. 【详解】（1）圆心在射线上， 设，， 又圆过原点，且与相切， ，即 即，. ，， ，半径， 圆的方程为. （2）①若的斜率不存在，则， 代入，得，即. 代入，得，. 即，，. ，，， ，不合题意. ②若的斜率存在，设， 由，得，即， 是的中点，，即. . 又，， ， 解得. 的方程为. 【点睛】本题考查了圆的标准方程的求解和直线与圆的交点问题，考查了平面向量数量积的应用，属于中档题. 18. 如图1，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，O为DE的中点，AB=AC=，BC=4．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使得平面A1DE⊥平面BCED，如图2． （1）求证：A1O⊥BD； （2）求直线A1C和平面A1BD所成角的正弦值； （3）线段A1C上是否存在点F，使得直线DF和BC所成角的余弦值为?若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）存在，. 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质可得平面BCED，从而可得A1O⊥BD； （2）根据向量法即可求直线A1C和平面A1BD所成角的正弦值； （3）假设存在点F，由直线DF和BC所成角的余弦值可得，从而可求得. 【小问1详解】 ，且D，E分别为AB，AC的中点， 所以，即，又O为DE的中点， 所以， 又平面A1DE⊥平面BCED，平面A1DE平面BCED， 所以平面BCED，而平面BCED， 所以A1O⊥BD. 【小问2详解】 过点作交于点， 因为AB=AC=，BC=4，所以， ，，， 以点为原点，分别以方向为轴建立空间直角坐标系如下图所示： 则，，，， ，，， 设平面A1BD的法向量为， 则有，即， 令，则，则， 设直线A1C和平面A1BD所成角为， 则, 所以直线A1C和平面A1BD所成角的正弦值为. 【小问3详解】 设线段A1C上是否存在点F，且， ，， 则， 因为直线DF和BC所成角的余弦值为， 则， 即有， 解得：或（舍） 即点F与点重合时，直线DF和BC所成角的余弦值为， 此时：. 19. 已知、分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且的面积为． （1）求椭圆的方程； （2）设直线与椭圆交于、两点，为坐标原点，轴上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）设为椭圆上非长轴顶点的任意一点，为线段上一点，若与的内切圆面积相等，求证：线段的长度为定值． 【答案】（1）（2）存在，，理由见解析；（3）证明见解析. 【解析】 【分析】 （1）设椭圆的焦距为，根据的面积计算出，可设椭圆的标准方程为，再将点的坐标代入椭圆的标准方程，求出的值由此可求出椭圆的方程； （2）设点，，，由，可得出，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，代入，求出实数的值，即可求出定点的坐标； （3）设点，，，由题意得出，化简得出，可求出正数的值，从而得出结论. 【详解】（1）设椭圆的焦距为，因为的面积为，所以，设椭圆的方程为， 将代入方程得，， 易知，所以，因此，椭圆的方程为； （2）存在这样的点为，下面证明： 设，，，所以要使得， 即 ①； 联立， 由韦达定理得，， 代入可将①化简为，要使得式子关于恒成立，即此时， 所以点； （3）设点，，， 因为内切圆面积相等，即圆半径相等，而内切圆半径公式为三角形面积的倍除以周长，所以，化简得， 故， 因为，代入得． 而，， 而，所以，即线段的长度为定值． 【点睛】本题考查椭圆方程求解，同时也考查了椭圆中存在某点满足条件以及椭圆中的定值问题，考查计算能力，属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023级高二年级期末联合考试 数学试题 考试时间:120分钟 第I卷（选择题） 一、单选题（40分） 1. 圆心为且过点的圆的方程是（ ） A. B. C. D. 2. 平面内，动点坐标满足方程，则动点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点是椭圆上一个动点，若的面积的最大值为，则（ ） A. B. 3 C. 9 D. 7 4. 在如图所示的电路图中，开关闭合与断开的概率都是，且是相互独立的，则灯灭的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线与直线，则是的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知直线过椭圆C；的一个焦点，与C交于A，B两点，与平行的直线与C交于M，N两点，若AB的中点为P，MN的中点为Q，且PQ的斜率为，则C的方程为（　　） A. B. C. D. 7. 已知椭圆的左、右焦点为，，上一点满足，A为线段的中垂线与的交点，若的周长为，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在正方体中，点P为棱中点，点Q为面内一点，，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共18分） 9. 若椭圆的焦距为2，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 10. 已知椭圆C：内一点，直线l与椭圆C交于A，B两点，且M为线段AB的中点，则下列结论不正确的是（ ） A. C的焦点坐标为， B. C长轴长为 C. 直线l的方程为 D. 11. 已知直线和圆，则下列说法正确的是（ ） A. 存在，使得直线与圆相切 B. 若直线与圆交于两点，则的最小值为 C. 对任意，圆上恒有4个点到直线的距离为 D. 当时，对任意，曲线恒过直线与圆的交点 第II卷（非选择题） 三、填空题（共15分） 12. 已知圆和点，则过点的的切线方程为__________. 13. 在某次国际围棋比赛中，中国派出包含甲、乙在内的5位棋手参加比赛，他们分成两个小组，其中一个小组有3位，另外一个小组有2位，则甲和乙分在不同小组的概率为______. 14. 已知椭圆：（）离心率为，左焦点为，过且垂直于轴的直线被椭圆所截得的线段长为，则椭圆的标准方程为______． 四、解答题（共77分） 15. 已知圆的半径为，圆心在第一象限，且与直线和轴都相切． （1）求圆方程． （2）过的直线与圆相交所得的弦长为，求直线的方程． 16. 已知椭圆． （1）若双曲线以椭圆的两个顶点为焦点，且经过椭圆的两个焦点，求双曲线的标准方程； （2）求过点，焦点在轴上且与椭圆有相同的离心率的椭圆方程． 17. 已知圆过原点，圆心在射线，且与直线相切. （1）求圆的方程； （2）过点的直线与圆相交于，两点，是的中点，直线与相交于点.若求直线的方程. 18. 如图1，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，O为DE的中点，AB=AC=，BC=4．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使得平面A1DE⊥平面BCED，如图2． （1）求证：A1O⊥BD； （2）求直线A1C和平面A1BD所成角的正弦值； （3）线段A1C上是否存在点F，使得直线DF和BC所成角的余弦值为?若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 19. 已知、分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且的面积为． （1）求椭圆的方程； （2）设直线与椭圆交于、两点，为坐标原点，轴上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）设为椭圆上非长轴顶点的任意一点，为线段上一点，若与的内切圆面积相等，求证：线段的长度为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$