精品解析：黑龙江省哈尔滨市第九中学校2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题

哈九中2024级高一学年上学期期末数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若，则是（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 【答案】B 【解析】 【分析】根据象限角的概念可得出结论. 【详解】因为，故角是第二象限角. 故选：B. 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用诱导公式化简所求代数式，可得结果. 【详解】. 故选：C. 3. 下列函数中，最小正周期为的偶函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角函数的周期公式及奇偶性或图象逐项判断即可. 【详解】对于A选项，函数是最小正周期为的奇函数； 对于B选项，函数是最小正周期为的偶函数； 对于C选项，函数是最小正周期为的奇函数； 对于D选项，作出函数的图象如下图所示： 由图可知，函数是最小正周期为的偶函数. 故选：D. 4. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数函数和指数函数以及三角函数的性质求出范围，即可判断. 【详解】因为，，， 所以， 故选：C. 5. 为了得到图像，需要将函数的图象（ ） A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位 【答案】C 【解析】 【分析】将化为，根据平移变换即可得解. 【详解】因为，所以只要将函数的图象向左平移个单位，即可得到函数的图象， 故选：C． 6. 已知都是锐角，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由都是锐角，利用平方关系求的值，再由，结合两角差的余弦公式求解即可. 【详解】因为都是锐角， 所以， 又， 所以， ， 又， 所以. 故选：A. 7. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先判断函数为偶函数，排除选项D，再利用排除选项B，再利用，得解. 【详解】由题得函数的定义域为，定义域关于原点对称. 设， 所以， 所以函数是偶函数，其图象关于轴对称，排除选项D. 又，所以排除选项B. 当时，，所以此时，故A正确，C错误， 故选：A 8. 已知，对于恒成立，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】先根据恒成立得出，再根据常值代换结合基本不等式计算最小值即可. 【详解】对于恒成立，且均单调递增， 则， 所以，所以 则， 当且仅当，即，取的最小值为2. 故选：B. 二，多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 与终边相同的角的集合是 B. C. 若，则为第一象限角 D. 扇形的半径为2，圆心角弧度数为，则扇形面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据终边相同角的概念判断A，利用诱导公式及特殊值的三角函数值判断B，根据各象限三角函数值的特征判断C，利用扇形面积公式判断D. 【详解】对于A：与终边相同的角的集合是，故A正确； 对于B：，故B正确； 对于C：若，则或， 所以为第一象限角或第三象限角，故C错误； 对于D：因为扇形的半径，圆心角弧度数为， 所以扇形面积，故D正确. 故选：ABD. 10. 已知函数，则（ ） A. B. 的最小正周期为 C. 的对称中心为 D. 在单调递增 【答案】ACD 【解析】 【分析】代入即可求解A，根据周期公式求解B，利用整体法即可求解CD. 【详解】对于A, ,A正确， 对于B，的最小正周期为，故B错误， 对于C,令,解得,故对称中心为，C正确， 对于D,当时，，故在单调递增，D正确， 故选：ACD 11. 函数在工程数学中称为正余弦双曲函数，因为它们的某些性质和正余弦函数类似而得名，则下列说法正确的是（ ） A. 是奇函数，增函数 B. 是偶函数，最小值为2 C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，根据奇偶性定义判断奇偶性，根据为增函数，为增函数确定单调性，判断A，对于B，根据奇偶性定义判断奇偶性，根据，利用基本不等式求出最值，对于C，分别化简求出验证是否相等判断C，对于D，分别化简求出验证是否相等判断D. 【详解】对于A，定义域为，关于原点对称，， 所以是奇函数，因为为增函数，为增函数，所以为增函数，故A正确； 对于B，定义域为，关于原点对称，， 所以是偶函数，， 因为，所以，当且仅当，即时等号成立， 所以最小值为1，故B错误； 对于C，， ， 所以，故C正确； 对于D， ，， 所以，故D错误； 故选：AC. 三，填空题（本题共3小题，每题5分，共15分） 12. 已知，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】左右平方利用同角三角函数的基本关系可得结果. 【详解】∵，则， 即，故. 故答案为：. 13. 的值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用二倍角公式、诱导公式化简可得出所求代数式的值. 【详解】. 故答案为：. 14. 定义在上的奇函数，满足，当时，，则__________，若方程在上有且只有3个不同的根，则的取值范围为__________. 【答案】 ①. 1 ②. 【解析】 【分析】依题意为周期为4的周期函数，再根据函数的奇偶性，利用数形结合法，分和两种情况，分析求解的范围； 【详解】因为函数为定义上奇函数，，又因为， 所以，， 所以是周期为4的周期函数，关于对称， 因为时，， ， 又函数（且）， 当时，若在上有3个不同的实数根， 则大致图象如下图所示， 所以，解得； 当时，若在上有3个不同的实数根， 则大致图象如下图所示， 所以，解得； 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是：在同一坐标系中分别作出图象，数形结合得到答案. 四，解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知函数 （1）求函数的定义域； （2）证明函数的奇偶性，并指出函数的单调性（不需证明）； （3）若，求取值范围. 【答案】（1） （2）由于定义域为，关于原点对称， 且，故为奇函数， 由于为单调递增，为单调递减，故为单调递增函数. （3） 【解析】 【分析】（1）根据对数函数的性质列不等式即可求解， （2）根据奇偶性的定义即可求解，根据复合函数的单调性即可判定单调递增， （3）根据函数的奇偶性以及单调性即可列不等式求解. 【小问1详解】 的定义域需满足，解得， 故定义域为 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由可得， 由于为定义域内的单调递增函数， 故，解得， 16. 在平面直角坐标系中，已知锐角的终边与单位圆的交点为 （1）求的值及； （2）求； （3）已知，求. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据三角函数定义得，求出，再根据求出； （2）根据二倍角公式求解即可； （3）求出，确定，得到没有意义，得到，再根据角的范围，确定的值. 【小问1详解】 因为锐角的终边与单位圆的交点为，, 所以，， 所以，. 【小问2详解】 因为， 所以， . 【小问3详解】 因为， 所以， 因为，， 所以，， 又因为， 所以没有意义， 所以，且， 所以. 17. 函数的部分图象如图所示. （1）求函数的解析式； （2）求函数的最小正周期及单调递增区间； （3）求不等式的解集. 【答案】（1） （2）周期 （3） 【解析】 【分析】（1）结合最大值和最小值求出，根据图中点确定周期，进而确定，代入关键点求出，得到解析式； （2）根据三角函数周期公式和单调区间求法求解即可； （3）结合正弦图象求出解集. 【小问1详解】 由图可知，所以， 因为，所以， 所以， 所以， 又因为当时，， 所以，即， 所以， 所以， 因为，所以， 所以. 【小问2详解】 因为， 所以， 单调递增区间满足，， 即，， 即，， 所以单调递增区间为，. 【小问3详解】 因为， 所以，即， 所以，， 即，， 所以，， 所以解集为. 18. 已知函数 （1）求函数的对称轴及对称中心； （2）若方程在上的有两个解，求的范围； （3）将函数的图象上所有点向下平移1个单位得到曲线，再将上的各点横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象.若，不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）对称轴，对称中心 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式对化简，再利用三角函数的图象与性质求解即可； （2）结合在取值，根据有两个解，确定答案； （3）利用给定变换求出及在上的最小值，再利用关于的一次函数列出不等式组求解即得. 【小问1详解】 因为， 所以 ， 对称轴：，解得， 对称中心横坐标满足：，解得， 所以对称中心为. 【小问2详解】 因为， 所以， 因为， 当，即时，单调递增， 当，即，单调递减， 当或时，， 当时，， 所以方程在上的有两个解， 所以. 【小问3详解】 因为函数的图象上所有点向下平移1个单位得到曲线， 再将上的各点横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象， 所以， 因为，不等式成立， 所以， 因为，所以， 当，即时，， 当时，令， 所以，即，即， 所以实数的取值范围. 19. “凸凹性”是函数的重要性质.若函数的图像在定义域区间上连续不断，且对任意，恒有，则称函数是区间上的上凸函数；若恒有，则称函数是区间上的下凸函数（也称凹函数）.将上述定义进行推广，即若是上凸函数，则对任意恒有，若是下凸函数，则对任意恒有，当且仅当时等号成立，这个不等式即为著名的琴生不等式. （1）判断是上凸还是下凸函数？（直接写出结论即可）； （2）判断在上是上凸还是下凸函数？并证明你的结论； （3）已知锐角满足，求的最大值. 【答案】（1）下凸函数 （2） 在上是上凸函数，证明如下： ， 显然，则 因此， 函数在上是上凸函数. （3） 【解析】 【分析】（1）利用下凸函数的定义判断即可； （2）利用上凸函数的定义判断； （3）利用（2）的结论，根据琴生不等式可得：，对原式进行化简，得到原式，结合基本不等式和琴生不等式得解. 【小问1详解】 是下凸函数. ， 故，所以函数是下凸函数. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）知，在上是上凸函数， 根据琴生不等式：， ， 当且仅当即时取到最大值. 【点睛】思路点睛：涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题有关的数学知识与方法，再转化、抽象为相应的数学问题作答. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈九中2024级高一学年上学期期末数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若，则是（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 2. （ ） A. B. C. D. 3. 下列函数中，最小正周期为的偶函数是（ ） A. B. C. D. 4. 设，则（ ） A. B. C. D. 5. 为了得到图像，需要将函数的图象（ ） A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位 6. 已知都是锐角，，则（ ） A. B. C. D. 7. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，对于恒成立，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二，多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 与终边相同的角的集合是 B. C. 若，则为第一象限角 D. 扇形的半径为2，圆心角弧度数为，则扇形面积为 10. 已知函数，则（ ） A. B. 的最小正周期为 C. 的对称中心为 D. 在单调递增 11. 函数在工程数学中称为正余弦双曲函数，因为它们的某些性质和正余弦函数类似而得名，则下列说法正确的是（ ） A. 是奇函数，增函数 B. 是偶函数，最小值为2 C. D. 三，填空题（本题共3小题，每题5分，共15分） 12. 已知，则__________. 13. 的值为__________. 14. 定义在上的奇函数，满足，当时，，则__________，若方程在上有且只有3个不同的根，则的取值范围为__________. 四，解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知函数 （1）求函数的定义域； （2）证明函数的奇偶性，并指出函数的单调性（不需证明）； （3）若，求取值范围. 16. 在平面直角坐标系中，已知锐角的终边与单位圆的交点为 （1）求的值及； （2）求； （3）已知，求. 17. 函数的部分图象如图所示. （1）求函数的解析式； （2）求函数的最小正周期及单调递增区间； （3）求不等式的解集. 18. 已知函数 （1）求函数的对称轴及对称中心； （2）若方程在上的有两个解，求的范围； （3）将函数的图象上所有点向下平移1个单位得到曲线，再将上的各点横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象.若，不等式成立，求实数的取值范围. 19. “凸凹性”是函数的重要性质.若函数的图像在定义域区间上连续不断，且对任意，恒有，则称函数是区间上的上凸函数；若恒有，则称函数是区间上的下凸函数（也称凹函数）.将上述定义进行推广，即若是上凸函数，则对任意恒有，若是下凸函数，则对任意恒有，当且仅当时等号成立，这个不等式即为著名的琴生不等式. （1）判断是上凸还是下凸函数？（直接写出结论即可）； （2）判断在上是上凸还是下凸函数？并证明你的结论； （3）已知锐角满足，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $