第二十章 一次函数易错压轴专项训练（17个易错+7个压轴）2025年八年级数学寒假衔接讲义（沪教版）

第二十章 一次函数易错压轴专项训练（15个易错+7个压轴） 易错必刷题一、正比例函数的概念 1．（24-25八年级下·上海奉贤·期中）下列各关系式中成正比例的个数有（ ） （1）圆的周长与半径     （2）正方形的面积与边长 （3）速度一定，路程与时间  （4）长方形的面积一定时，长和宽 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2． （24-25八年级下·上海杨浦·阶段练习）如果正比例函数的图象在二、四象限，那么m的值是 ． 3．（24-25八年级下·上海·期中）已知，其中与成反比例，与成正比例，且当时，；当时，，求关于的函数解析式． 易错必刷题二、根据一次函数的定义求参数 1．（23-24八年级下·上海宝山·阶段练习）函数是一次函数，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）若是关于x的一次函数，则m的值为 ． 3．（23-24八年级下·上海青浦·阶段练习）已知函数； (1)当取何值时，这个函数是正比例函数？ (2)当在什么范围内取值时，这个函数是一次函数？ 易错必刷题三、求一次函数解析式 1．（2024·湖北鄂州·模拟预测）象棋起源于中国，中国象棋文化历史悠久．如图所示是某次对弈的残图，如果建立平面直角坐标系，使棋子“帅”位于点的位置，则在同一坐标系下，经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数解析式为（　　）    A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·上海浦东新·期末）一次函数中两个变量x、y部分对应值如表所示： x … 0 1 … y … 8 5 2 … 那么这个一次函数的解析式是 ． 3．（23-24八年级下·上海嘉定·阶段练习）已知弹簧秤内的弹簧在一定限度内，它的长度y（厘米）与所挂重物质量x（千克）是一次函数关系，其函数图象如图所示．    (1)写出y关于x的函数解析式及自变量的取值范围； (2)该弹簧秤挂上一个重物时，量出弹簧的长度是厘米，那么这个重物的质量是多少千克？ 易错必刷题四、一次函数的图象与性质 1．（23-24八年级下·上海长宁·期中）图1是y与x关系的图象．图2是z与y关系的图象．珍珍设计了一个计算程序，输入x的值后，程序便自动对应图1的图象得到y的值．随后立即将该y值对应图2的图象终得到z的值．若随机输入6个不同的x的值，得到对应的z值．形成6组数对，然后在坐标系中进行描点．则正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·上海虹口·开学考试）直线向下平移个单位所得到的直线不经过的象限是 ． 3．（2024八年级下·上海·专题练习）直线与已知直线平行，且不经过第三象限，求的值． 易错必刷题五、一次函数图象与坐标轴的交点问题 1．（23-24八年级下·上海浦东新·期中）已知一次函数的图像经过原点，则k的值为（  　  ） A．1 B． C．0 D． 3． （2024·上海黄浦·二模）将直线向上平移2个单位，所得直线与x轴、y轴所围成的三角形面积是 ． 3．（24-25八年级下·上海·假期作业）在同一直角坐标系中画出下列函数的图象，并写出它们与坐标轴的交点坐标． ，，． 易错必刷题六、一次函数图象平移问题 1．（23-24八年级下·上海浦东新·期末）在平面直角坐标系中，直线与直线的位置关系是（    ） A．相交 B．平行 C．重合 D．无法判断 2．（23-24八年级下·上海奉贤·期末）把一次函数的图象向下平移2个单位长度后，得到的函数解析式是 ． 3．（23-24八年级下·上海静安·期中）在直角坐标中，直线与平行，且经过点，将直线向上平移3个单位，得到直线 (1)求这两条直线的解析式； (2)如果直线与x轴、y轴分别交于点A，B，求的面积． 易错必刷题七、一次函数与方程的应用 1．（23-24八年级下·上海徐汇·期中）若关于的方程的解为，则直线一定经过点（    ） A．（2，0） B．（0，3） C．（0，4） D．（2，5） 2．（2024·上海普陀·二模）已知直线与直线相交于点A，那么点A的横坐标是 ． 3．（23-24八年级下·上海普陀·阶段练习）在平面直角坐标系中，直线的图象，如图所示． (1)在同一坐标系中，作出一次函数的图象； (2)用作图象的方法解方程组：． 易错必刷题八、一次函数与不等式的应用 1．（24-25八年级下·上海奉贤·开学考试）如图，已知正比例函数与一次函数的图象交于点P，下面结论正确的是（    ） A． B．当时， C．当时， D．当时， 2．（23-24八年级下·全国·期中）如图，直线与轴的交点为，写出与的关系式 ，则关于的不等式的解集是 ． 3．（23-24八年级下·上海闵行·期末）如图，已知函数和的图象交于，这两个函数的图象与轴分别交于点、．    (1)根据图象直接写出方程组的解为____________； (2)根据图象直接写出不等式的解集为___________； (3)求的面积． 压轴满分题九、根据一次函数增减性求参数 1．（24-25八年级下·全国·期末）已知一次函数中，y随着x的增大而增大，且，则在直角坐标系内它的大致图象是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·全国·课后作业）已知点，是一次函数图象上两点．请用“>”“=”或“<”填空． （1）若，，，则 ； （2）若，，则 ； （3）若，，则k 0． 3．（23-24八年级下·辽宁抚顺·阶段练习）已知一次函数． (1)若函数图象经过原点，求m的值； (2)若函数图象与y轴的交点在x轴上方，求m的取值范围； (3)若函数图象与y轴的交点在x轴下方，且经过第二象限，求m的取值范围； (4)若该函数的值y随自变量x的增大而减小，且该函数图象与y轴的交点在负半轴上，求m的取值范围； (5)若该函数图象不经过第二象限，求m的取值范围． 易错必刷题十、一次函数与反比例函数图象综合判断 1．（24-25八年级下·上海·阶段练习）若，函数和函数在同一个坐标系中图像大致是（） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·吉林长春·期末）如图，一次函数图像与反比例函数图像交于点，，则不等式的解集是 ．    3．（2024·贵州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求m的值与反比例函数的表达式； (2)若，观察图象，直接写出反比例函数中y的取值范围． 易错必刷题十一、一次函数与反比例函数的交点问题 1．（23-24八年级下·北京·期末）如图所示是一次函数和反比例函数的图像，观察图像，当时，x的取值范围为（    ） A． 或 B．或 C．或 D．或 2．（24-25八年级下·吉林长春·开学考试）如图，正比例函数与反比例函数图象交于两点，其中点的横坐标为1，当时，的取值范围是 ． 3．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于A、B两点．已知， (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)求△AOB的面积； 易错必刷题十二、一次函数的应用（分配方案问题） 1．（2024八年级下·上海·专题练习）甲、乙两个批发店销售同一种苹果，在甲批发店，不论数量多少，价格均为6元，在乙批发店，一次购买数量不超过时，价格为7元；一次购买数量超过时，超过部分的价格为5元．设小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为． (1)设在甲批发店花费元，在乙批发店花费元，分别求，关于的函数解析式： (2)若只在一个批发店购买，你认为在哪家更划算？ 2．（23-24八年级下·山东德州·阶段练习）计划将甲、乙两厂的生产设备运往A，B两地，甲厂设备有60台，乙厂设备有40台，A地需70台，B地需30台，每台设备的运输费（单位：百元）如表格所示，设从甲厂运往A地的有x台设备（x为整数）． A地 B地 甲厂 7 10 乙厂 10 15 (1)用含x的式子直接填空：甲厂运往B地__________台，乙厂运往A地__________台，乙厂运往B地__________台． (2)请你设计一种调运的运输方案，使总费用最低，并求出最低费用为多少？ 3．（23-24八年级下·山东烟台·期末）暑假期间，小刚一家准备乘坐高铁前往青岛旅游，计划第二天到甲、乙两个租车公司租用新能源汽车去中山公园看樱花．甲公司：按日收取固定租金元，另外再按租车时间计费；乙公司：无固定租金，直接以租车时间计费，每小时的租金是元．设租车时间为小时，租用甲公司的车所需费用为元，租用乙公司的车所需费用为元，其关系如图所示．    根据以上信息，解决下列问题： (1)请直接写出，关于的表达式 ； (2)当租车时间为多少小时时，两个公司所需费用相同； (3)根据（2）的计算结果，结合图象，请你帮助小明直接写出选择怎样的出游方案更合理． 易错必刷题十三、一次函数的应用（最大利润问题） 1．（23-24八年级下·山东济南·期末）明水古城某文创店准备购进一批清照文化纪念品．已知购进2件A纪念品和6件B纪念品共需180元，购进4件A纪念品和3件B纪念品共需135元． (1)求A、B两种纪念品每件的进价． (2)该店计划购进A、B两种纪念品共100件，且应厂家要求，A纪念品的购进数量最多40件．已知A纪念品每件售价为25元，B纪念品每件售价为30元．若该店全部售出这两种纪念品可获利W元，应该如何进货才能使该店获利最大？最大利润是多少元？ 2．（23-24八年级·全国·假期作业）某销售商准备采购一批儿童玩具，有A，B两种品牌可供选择，其进价和售价如下： A品牌 B品牌 进价（元/件） 150 120 售价（元/件） 200 150 销售商购进A，B两种品牌的儿童玩具共30件． （1）若销售商购进A品牌的儿童玩具为x（件），求销售商售完这30件儿童玩具获得的总利润y（元）与x之间的函数关系式； （2）若想使得销售完这30件儿童玩具获得的总利润为1300元，则应购进A品牌的儿童玩具多少件？ 3．（23-24八年级下·辽宁铁岭·期中）习近平总书记提出“绿水青山就是金山银山”，某村积极响应，准备将村里的甲、乙两块山地退耕还林，计划从A、B两个苗圃运进银杏树苗，已知A、B两个苗圃分别可提供银杏树苗800棵和1000棵，甲、乙两块山地分别需要银杏树苗1100棵和700棵，两个苗圃到甲、乙两块山地的路程如下表所示： 路程/千米 A苗圃 B苗圃 甲山地 15 25 乙山地 20 20 设A苗圃运往甲山地x棵银杏树苗，若汽车运输，每棵树苗每千米的运费为2元， （1）根据题意，填写下表． 运量/棵 运费/元 A苗圃 B苗圃 A苗圃 B苗圃 甲山地 x 乙山地 （2）设总运费为y元，求y关于x的函数解析式，并求A苗圃运往甲山地多少棵银杏树苗时，总运费最省钱？最省钱的总运费是多少？ 易错必刷题十四、一次函数的应用（行程问题） 1．（23-24八年级下·上海浦东新·期末）一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，到达目的地后各自停留检修；设慢车行驶的时间为，两车之间的距离为，图中的折线表示与之间的关系． (1)甲、乙两地之间的距离是______千米； (2)慢车的速度是______千米/小时； (3)快车的速度是______千米/小时． 2．（23-24八年级下·山东青岛·期中）共享电动车是一种新理念下的交通工具，主要面向的出行市场，现有两种品牌的共享电动车，给出的图象反映了收费（元）与骑行时间之间的对应关系，其中品牌收费方式对应，品牌的收费方式对应，且超过十分钟时，对应的函数关系式是，请根据相关信息，解答下列问题：    (1)求出图中函数，的图象交点的坐标； (2)求关于的函数解析式； (3)①如果小明每天早上需要骑行品牌或品牌的共享电动车去工厂上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为，小明家到工厂的距离为，那么小明选择___________品牌共享电动车更省钱．（填“”或“”） ②当为何值时，两种品牌共享电动车收费相差元？ 3．（23-24八年级下·重庆·期中）一辆轿车和一辆货车同时从甲地出发驶往乙地，轿车到达乙地后立即以另一速度原路返回甲地，货车到达乙地后停止．如图所示的图象分别表示货车、轿车离甲地距离与轿车行驶时间的关系． (1)求轿车在返回甲地过程中的速度； (2)当轿车从乙地返回甲地的途中与货车相遇时，求相遇处离甲地的距离． 易错必刷题十五、一次函数与几何问题 1．（23-24八年级下·江苏镇江·期末）如图，从光源A发出的一束光，遇到平面镜（y轴）上的点B后的反射光线交x轴于点，若光线满足的函数关系式为：，则b的值是（   ）    A．2 B． C． D．1 2．（23-24八年级下·上海·期末）已知直线y=kx过点（-2，1），点A是直线y=kx图像上的一点，若过点A分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为点B和点D，围成的矩形OBAD的面积为18，那么点D的坐标为 ． 3．（23-24八年级下·上海普陀·期中）已知梯形的四个顶点为，对于直线回答下列问题： (1)若以表示该直线截梯形的包含点的那部分的面积，当该直线与边相交时，是多少（用表示）？与边相交时呢？ (2)为何值时，该直线把梯形二等分． 压轴满分题一、一次函数的图象与性质 1．（23-24八年级下·广东佛山·阶段练习）已知直线的图象如图所示．若无论取何值，y总取中的最大值，则的最小值是（    ） A．4 B．3 C． D． 2．．（24-25八年级下·宁夏银川·期末）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，已知，则 ． 3．（24-25八年级下·浙江金华·阶段练习）如图，已知一次函数，与x轴的交点横坐标分别为6和，、的交点． (1)求、的函数解析式； (2)x取何值时，函数的图象在函数图象的上方？ (3)若点向下平移个单位长度，向左平移个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值； 压轴满分题二、一次函数的规律探究问题 1．（24-25八年级下·北京大兴·期中）在平面直角坐标系中，函数的图象与函数（）的图象交于点． (1)求m与k的值； (2)当时，对于x每一个值，总有函数（）的值大于函数（）的值，直接写出n的取值范围． 2．（24-25八年级下·安徽合肥·阶段练习）正方形、、的边长分别为，按如图的方式依次放置，点、、在轴上，点、、在直线上． (1)求直线的函数表达式； (2)直接写出点、的坐标； (3)猜想点的坐标为______． 3．（23-24八年级下·江西景德镇·阶段练习）某纸箱加工厂计划用50张纸板制作某种型号的长方体纸箱，每张纸板有如图所示的3种裁法．设按A种方法裁剪的纸板有x张，且按照3种裁法裁得的侧面和底面正好用完（用4个侧面和2个底面可以制作一个纸箱）． (1)按B种裁法裁剪的纸板有___张，按C种裁法裁剪的纸板有___张；（用含x的代数式表示） (2)已知按A种裁法裁一张纸板需要，按B种裁法和C种裁法裁一张纸板均需要，若10≤，求裁完这些纸板的时间的和至少为多少． 压轴满分题三、一次函数与反比例函数的综合应用 1．（2024·贵州遵义·三模）如图，在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，．反比例函数的图像分别与，交于点和点． (1)求反比例函数的表达式和点的坐标； (2)若一次函数与反比例函数的图像相交于点，当点在反比例函数图像上，之间的部分时（点可与点，重合），求出的取值范围． 2．（2024·吉林松原·二模）如图①，点、在直线上，反比例函数的图象经过点． (1)求和的值； (2)以线段为边向右侧作，如图②，使点恰好落在反比例函数（）的图象上时，过点作轴于点，交反比例函数的图象于点，求线段的长度． 3．（2024·四川绵阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第一、第三象限内的，两点，与x轴交于点C． (1)求该反比例函数和一次函数的解析式． (2)直接写出当时，x的取值范围． (3)在y轴上找一点P使最大，求的最大值及点P的坐标． 压轴满分题四、一次函数中最值问题 1．（2024八年级下·全国·专题练习）对于实数a,b，定义符号，其意义为：当时，，当时，，例如：，，若关于x的函数，则该函数的最大值为（　　） A．0 B．2 C．3 D．5 2．（24-25八年级下·四川成都·阶段练习）对某一个函数给出如下定义：若存在实数，对于这个函数的所有函数值y，都满足，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，图中的函数是有界函数，其边界值是1．函数的边界值为 ．若函数（，）的边界值是5，且这个函数的最大值也是5，则b的取值范围为 ． 3．（2024·四川乐山·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)请直接写出时，的取值范围； (3)在轴上存在一点使得有最大值，求出点的坐标． 压轴满分题五、一次函数中动点问题 1．（24-25八年级下·贵州毕节·期末）如图，直线分别与x轴、y轴相交于点E和点F，点E的坐标为，点A的坐标为． (1)求k的值； (2)若点是第二象限内的直线上的一个动点，在点P运动过程中，试写出的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (3)在（2）条件下，探究：当P运动到什么位置时，的面积为4，并说明理由． 2．（23-24八年级下·吉林·开学考试）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了平面直角坐标系及格点（顶点是网格线的交点）． (1)的面积为______； (2)请画出关于轴对称的，其中点的坐标为______； (3)点在轴上运动，若的周长最小，则点的坐标为______． 3．（24-25八年级下·重庆·阶段练习）如图矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点F为BC边上的三等分点(CF<BF)，动点P从点A出发，沿折线A→D→C运动，到C点停止运动．点P的运动速度为每秒2个单位长度，设点P运动时间为x秒，△APF的面积为． (1)请直接写出关于x的函数解析式，并注明自变量x的取值范围； (2)若函数，请在平面直角坐标系中画出函数y1，y2的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出当时x的取值范围(保留一位小数，误差不超过)． 压轴满分题六、一次函数的存在性问题 1．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）在平面直角坐标系中，一次函数图象与x轴交于点A，且与一次函数图象相交于点，一次函数图象与x轴相交于点C． (1)求m的值； (2)根据图象，直接写出当时，x的取值范围 (3)若在一次函数上存在点P，使得，求点P的坐标． 2．（24-25八年级下·全国·假期作业）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角顶点，顶点A、恰好落在反比例函数第一象限的图象上．    (1)分别求反比例函数的表达式和直线所对应的一次函数的表达式； (2)在x轴上是否存在一点P，使周长的值最小．若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 3．（24-25八年级下·山西晋中·期中）综合与探究 如图，直线经过点． (1)写出直线对应的函数表达式； (2)将直线向上平移1个单位，得到一个一次函数的图象，交轴于点，在右图中画出这个一次函数的图象，它的函数表达式为 ，点的坐标是 ，在这个一次函数中，的值随着值的增大而 ； (3)点为直线上一个动点，过点作轴的平行线，交轴于点，交（2）中一次函数的图象于点．试探究：在点运动的过程中，是否存在点，使得，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 压轴满分题七、一次函数综合应用压轴 1．（24-25八年级下·贵州·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数（）与反比例函数（）在第二象限交于点，且与y轴交于点． (1)求一次函数的表达式； (2)请直接写出不等式的解集； (3)在x轴上有一动点P，且的面积为，求点P的坐标． 2．（24-25八年级下·贵州·期末）如图，一次函数的图象分别与x轴，y轴交于A、B两点，正比例函数的图象与交于点． (1)求m的值及的关系式； (2)方程组的解为________； (3)求的值． 3．（24-25八年级下·广西桂林·阶段练习）阅读下列材料，回答问题： 【提出问题】对任意的实数a、b而言，，即．易知当时，，即：，所以．若，则，所以． 【结论应用】若，则当 时，代数式有最小值为 ． 【问题解决】 （1）某公司为提高工作效率，购进了一批自动化生产设备，已知每台设备每天的运营成本包含以下三个部分：一是固定费用，共6400元；二是材料损耗费，每个零件损耗约为5元，三是设备折旧费（元），它与生产的零件个数x的函数关系式为0.0001x2，设该设备每天生产汽车零件x个．请写出该设备每生产一个零件的运营成本的表达式，且求出当x为多少时，该设备每生产一个零件的运营成本最低？最低是多少元？ （2）如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴分别交于点A、B，点M为反比例函数上的任意一点，过点M作轴于点C，轴于点D．求四边形面积的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十章 一次函数易错压轴专项训练（15个易错+7个压轴） 易错必刷题一、正比例函数的概念 1．（24-25八年级下·上海奉贤·期中）下列各关系式中成正比例的个数有（ ） （1）圆的周长与半径     （2）正方形的面积与边长 （3）速度一定，路程与时间  （4）长方形的面积一定时，长和宽 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题考查正比例函数，理解相应函数的意义和相应的关系式是正确判断的前提． 分别得出四个问题中的两个变量的函数关系式，进而确定是正比例函数的个数即可． 【详解】解：（1）圆的周长C与半径R之间的关系为：是正比例函数； （2）正方形的面积S与边长a的关系为：不是正比例函数； （3）速度一定，路程S与时间t之间的关系为：是正比例函数； （4）长方形的面积一定时，长和宽的关系为：不是正比例关系； ∴是正比例函数的有（1）（3），共2个， 故选：C． 2．（24-25八年级下·上海杨浦·阶段练习）如果正比例函数的图象在二、四象限，那么m的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义和性质，首先根据正比例函数的定义可得，且，解出m的值，再根据图象经过第二、四象限，可得，进而确定m． 【详解】解：由题意得：，且． 解得：． ∵图象经过第二、四象限， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（24-25八年级下·上海·期中）已知，其中与成反比例，与成正比例，且当时，；当时，，求关于的函数解析式． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，掌握反比例数函数与正比例函数的定义是解题的关键．根据正比例函数和反比例函数的定义，设函数关系式，再把当时；当时，，代入，即可求解． 【详解】解：∵与成反比例，与成正比列， ∴设，， ∴， ∵当时，；当时，， ∴， 解得：， ∴， 即． 易错必刷题二、根据一次函数的定义求参数 1．（23-24八年级下·上海宝山·阶段练习）函数是一次函数，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了一次函数的定义，一次函数的定义条件是：k、b为常数，，自变量次数为1．根据一次函数定义可得，再解不等式即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故选：D． 2．（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）若是关于x的一次函数，则m的值为 ． 【答案】 【分析】由一次函数的定义得关于m的方程，解出方程即可． 【详解】解：∵函数是关于x的一次函数， ∴，， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查一次函数的定义，解题的关键是掌握一次函数的定义，注意自变量x的系数不能等于0这个条件． 3．（23-24八年级下·上海青浦·阶段练习）已知函数； (1)当取何值时，这个函数是正比例函数？ (2)当在什么范围内取值时，这个函数是一次函数？ 【答案】(1)当时，这个函数为正比例函数 (2)当时，这个函数是一次函数 【分析】（1）根据正比例函数的定义求解即可； （2）根据一次函数的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵函数是正比例函数， ∴， ∴， ∴当时，这个函数为正比例函数； （2）解：∵函数是一次函数， ∴， ∴， ∴当时，这个函数是一次函数． 【点睛】本题主要考查了一次函数与正比例函数的定义，熟知二者的定义是解题的关键． 易错必刷题三、求一次函数解析式 1．（2024·湖北鄂州·模拟预测）象棋起源于中国，中国象棋文化历史悠久．如图所示是某次对弈的残图，如果建立平面直角坐标系，使棋子“帅”位于点的位置，则在同一坐标系下，经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数解析式为（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用待定系数法求解一次函数即可得解． 【详解】解：如图，建立平面直角坐标系，可得“马”所在的点，    设经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数解析式为， ∵过点和， ∴， 解得， ∴经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数解析式为， 故选A． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法式解题的关键． 2．（23-24八年级下·上海浦东新·期末）一次函数中两个变量x、y部分对应值如表所示： x … 0 1 … y … 8 5 2 … 那么这个一次函数的解析式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求一次函数解析，把代入，求出k和b的值，即可得出该一次函数解析式． 【详解】解：把代入得： ， 解得：， ∴这个一次函数的解析式是． 故答案为： 3．（23-24八年级下·上海嘉定·阶段练习）已知弹簧秤内的弹簧在一定限度内，它的长度y（厘米）与所挂重物质量x（千克）是一次函数关系，其函数图象如图所示．    (1)写出y关于x的函数解析式及自变量的取值范围； (2)该弹簧秤挂上一个重物时，量出弹簧的长度是厘米，那么这个重物的质量是多少千克？ 【答案】(1)，； (2)千克 【分析】（1）设，利用待定系数法即可解决问题； （2）当时，求出的值即可解决问题． 【详解】（1）解：设， 由题意， 解得， y关于x的函数解析式为； 由图象可得自变量的取值范围是：； （2）解：时，， 解得， 答：这个重物的质量是千克． 【点睛】此题考查的是用待定系数法求一次函数的解析式，比较简单，熟练掌握待定系数法求函数解析式的方法是解题关键． 易错必刷题四、一次函数的图象与性质 1．（23-24八年级下·上海长宁·期中）图1是y与x关系的图象．图2是z与y关系的图象．珍珍设计了一个计算程序，输入x的值后，程序便自动对应图1的图象得到y的值．随后立即将该y值对应图2的图象终得到z的值．若随机输入6个不同的x的值，得到对应的z值．形成6组数对，然后在坐标系中进行描点．则正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的图像和性质，根据函数图像确定函数关系，然后设出解析式，，整理得到，确定图象即可解题． 【详解】解由图象可得y是x的一次函数，z是y的正比例函数， 设，， ∴， ∵，， ∴， ∴z是x的一次函数， 故选D． 2．（24-25八年级下·上海虹口·开学考试）直线向下平移个单位所得到的直线不经过的象限是 ． 【答案】二 【分析】本题考查了一次函数图象的平移，一次函数的图象，根据一次函数图象的平移规律求出平移后直线的解析式，再根据解析式即可求解，掌握一次函数图象平移规律和性质是解题的关键． 【详解】解：把直线向下平移个单位得到的函数解析式为， ∵，， ∴直线经过第一、三、四象限，不经过第二象限， 故答案为：二． 3．（2024八年级下·上海·专题练习）直线与已知直线平行，且不经过第三象限，求的值． 【答案】 【分析】根据两直线平行问题得到，然后解方程，再根据图像不经过第三象限，而得出． 【详解】解：∵直线与直线平行， ∴， ∴或， ∴截距为或． 又∵图像不经过第三象限， ∴不合题意， ∴ ∴． 【点睛】此题主要考查了两直线相交或平行，熟练掌握一次函数的性质和一次函数图象上点的坐标特征以及平行线的性质是解题的关键． 易错必刷题五、一次函数图象与坐标轴的交点问题 1．（23-24八年级下·上海浦东新·期中）已知一次函数的图像经过原点，则k的值为（  　  ） A．1 B． C．0 D． 【答案】B 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数中，当时函数图象经过原点是解答此题的关键．先根据一次函数的图象经过原点得出关于k的方程，解方程即可． 【详解】解：∵一次函数的图像经过原点， ∴， 解得：． 故选：B． 2．（2024·上海黄浦·二模）将直线向上平移2个单位，所得直线与x轴、y轴所围成的三角形面积是 ． 【答案】1 【分析】根据函数图象“上加下减”的平移规律得到直线解析式，求出解析式与坐标轴交点，可得答案．本题考查了一次函数的几何变换，以及图象与坐标轴的交点求面积，解题的关键是掌握“左加右减，上加下减”． 【详解】解：直线向上平移2个单位长度得到：， 令，即， 解得， 令，得， 所以直线与轴和轴的交点坐标分别为：与， 所以直线与坐标轴围成的三角形的面积为． 故答案为：1． 3．（24-25八年级下·上海·假期作业）在同一直角坐标系中画出下列函数的图象，并写出它们与坐标轴的交点坐标． ，，． 【答案】图象见详解，与轴坐标交点为，与轴坐标交点为；图象见详解，与轴坐标交点为，与轴坐标交点为；图象见详解，与轴坐标交点为，与轴坐标交点为 【分析】根据条件，将各个一次函数列表，找出对应的点，然后描点，连线即可得到三个一次函数的图象，接下来根据直线与、轴的交点即可得到答案．本题考查一次函数图象的画法与坐标轴的交点，解题关键是掌握描点法画一次函数图象． 【详解】解：列表： 描点连线 与轴坐标交点为，与轴坐标交点为； 与轴坐标交点为，与轴坐标交点为； 与轴坐标交点为，与轴坐标交点为． 易错必刷题六、一次函数图象平移问题 1．（23-24八年级下·上海浦东新·期末）在平面直角坐标系中，直线与直线的位置关系是（    ） A．相交 B．平行 C．重合 D．无法判断 【答案】B 【分析】根据直线y＝2x+3与y＝2x﹣3中的k都等于2，于是得到结论． 【详解】解：∵直线y＝2x+3与y＝2x﹣3的k值相等， ∴直线y＝2x+3与y＝2x﹣3的位置关系是平行， 故选：B． 【点睛】本题考查了两条直线相交或平行问题，知道两直线的k值相等时两直线平行是解题的关键． 2．（23-24八年级下·上海奉贤·期末）把一次函数的图象向下平移2个单位长度后，得到的函数解析式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的平移性质，根据一次函数的平移规律：左加右减上加下减，进行作答即可作答． 【详解】解：一次函数的图象向下平移2个单位长度后 得 故答案为： 3．（23-24八年级下·上海静安·期中）在直角坐标中，直线与平行，且经过点，将直线向上平移3个单位，得到直线 (1)求这两条直线的解析式； (2)如果直线与x轴、y轴分别交于点A，B，求的面积． 【答案】(1)， (2)16 【分析】（1）根据平移可知，利用待定系数法求出解析式即可； （2）根据解析式求出A，B两点坐标，然后求出面积即可． 【详解】（1）解：∵与平行， 设直线的解析式为：， 把点代入得：， ∴直线的解析式为：， ∴直线向上平移3个单位，得到直线的解析式为：， （2）解：令，则， 解得：， ∴， 当时，， ∴ ∴． 【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式，求一次函数与坐标轴交点坐标，掌握一次函数图象平行时值不变是解题的关键． 易错必刷题七、一次函数与方程的应用 1．（23-24八年级下·上海徐汇·期中）若关于的方程的解为，则直线一定经过点（    ） A．（2，0） B．（0，3） C．（0，4） D．（2，5） 【答案】A 【分析】根据方程可知当时，，从而进行判断即可； 【详解】由方程可知：当时，，即当时，， ∴直线一定经过点（2，0）； 故答案选A． 【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次方程，准确分析判断是解题的关键． 2．（2024·上海普陀·二模）已知直线与直线相交于点A，那么点A的横坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，代入，求出x的值即可． 【详解】解：将代入得：， 解得：， ∴点A的横坐标是． 故答案为：． 3．（23-24八年级下·上海普陀·阶段练习）在平面直角坐标系中，直线的图象，如图所示． (1)在同一坐标系中，作出一次函数的图象； (2)用作图象的方法解方程组：． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了画一次函数图象，用图像法求解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握画一次函数的图象的方法，以及用图象法求解二元一次方程组的方法和步骤． （1）按照列表、描点、连点的步骤即可画出该一次函数图象； （2）根据图象，找出两个一次函数图象的交点坐标，即可解答． 【详解】（1）解：列出表格如下： x …… 0 1 2 3 …… y …… 1 …… 画出函数图形如下： （2）解：∵可整理为，可整理为， ∴由图可知，的解为． 易错必刷题八、一次函数与不等式的应用 1．（24-25八年级下·上海奉贤·开学考试）如图，已知正比例函数与一次函数的图象交于点P，下面结论正确的是（    ） A． B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象，一次函数与一元一次不等式的联系．解题的关键在于明确图象中与坐标轴交点坐标，直线交点坐标的含义，掌握一次函数图象的性质．根据图象进行分析判断即可． 【详解】解：由图象可知，，故A错误； 当时，，故B错误； 当时，，故C正确； 当时，，故D错误； 故选：C． 2．（23-24八年级下·全国·期中）如图，直线与轴的交点为，写出与的关系式 ，则关于的不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，正确利用图象获取正确信息是解题关键．直接把代入函数关系式，进而求出答案，再利用函数图象得出不等式的解集． 【详解】解：直线与轴的交点为， ， ； 直线与轴交于， 关于的不等式的解集是， 故答案为：；． 3．（23-24八年级下·上海闵行·期末）如图，已知函数和的图象交于，这两个函数的图象与轴分别交于点、．    (1)根据图象直接写出方程组的解为____________； (2)根据图象直接写出不等式的解集为___________； (3)求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是一次函数与一元一次不等式之间的关系，一次函数与二元一次方程组之间的关系，待定系数法求解析式，求一次函数与坐标轴的交点问题． （1）根据两直线的交点横纵坐标即为两直线组成的二元一次方程组的解进行求解即可； （2）根据函数图象找到直线的函数图象在直线的函数图象上方时自变量的取值范围即可； （3）先求出两直线解析式进而求出A、B坐标，再由进行求解即可． 【详解】（1）解：∵函数和的图象交于， ∴方程组的解为， 故答案为：； （2）解：由函数图象可知不等式的解集为， 故答案为：； （3）解：把代入中得：， ∴， ∴ 把代入中得：， ∴， ∴， 在和中，当时，和， ∴， ∴， ∴． 压轴满分题九、根据一次函数增减性求参数 1．（24-25八年级下·全国·期末）已知一次函数中，y随着x的增大而增大，且，则在直角坐标系内它的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，熟练掌握在一次函数，根据k，b的值确定函数的图象经过的象限是解题的关键． 由y随着x的增大而增大，可得，再由得到，进而根据一次函数的图象与系数的关系即可解答． 【详解】解：∵一次函数中，y随着x的增大而增大， ∴， ∵， ∴， ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限． 故选：A 2．（24-25八年级下·全国·课后作业）已知点，是一次函数图象上两点．请用“>”“=”或“<”填空． （1）若，，，则 ； （2）若，，则 ； （3）若，，则k 0． 【答案】 <； >； >． 【解析】略 3．（23-24八年级下·辽宁抚顺·阶段练习）已知一次函数． (1)若函数图象经过原点，求m的值； (2)若函数图象与y轴的交点在x轴上方，求m的取值范围； (3)若函数图象与y轴的交点在x轴下方，且经过第二象限，求m的取值范围； (4)若该函数的值y随自变量x的增大而减小，且该函数图象与y轴的交点在负半轴上，求m的取值范围； (5)若该函数图象不经过第二象限，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】本题考查了一次函数的性质，解不等式组，解一元一次方程， （1）根据题意得，，进行计算即可得； （2）根据题意得，，进行计算即可得； （3）根据题意得，，进行计算即可得； （4）根据题意得，，进行计算即可得； （5）分布情况考虑：①当函数图象经过第一、三、四象限时，得，进行计算得不等式组的解集为：；②当函数图象经过第一、三象限时，得，进行计算得，即可得； 掌握一次函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意得，， 解得，； （2）解：根据题意得，， 解得，； （3）解：根据题意得，， 解得，； （4）解：根据题意得，， 解得，； （5）解：分布情况考虑： ①当函数图象经过第一、三、四象限时，得 ， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为：； ②当函数图象经过第一、三象限时，得 ， 解不等式①，得， 解等式②，得， 解得，， 综上，m的取值范围为：． 易错必刷题十、一次函数与反比例函数图象综合判断 1．（24-25八年级下·上海·阶段练习）若，函数和函数在同一个坐标系中图像大致是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，关键是由k的取值确定函数所在的象限．分别根据一次函数和反比例函数图象的特点进行逐一分析即可，由于k的符号不确定，所以需分类讨论． 【详解】解：函数可化为， 当时， 函数的图象一、二、四象限；函数的图象在一、三象限，无此选项； 当时， 函数的图象一、三、四象限，函数的图象在二、四象限，只有A符合 故选：A． 2．（23-24八年级下·吉林长春·期末）如图，一次函数图像与反比例函数图像交于点，，则不等式的解集是 ．    【答案】或 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数图象的综合判断.利用函数图象得到当一次函数图象不在反比例函数图象上方时x的取值即可． 【详解】解：由函数图象可知，当一次函数图象不在反比例函数图象上方时，x的取值范围是：或． 故不等式的解集是： 或， 故答案为： 或. 3．（2024·贵州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求m的值与反比例函数的表达式； (2)若，观察图象，直接写出反比例函数中y的取值范围． 【答案】(1)，反比例函数的关系式为 (2) 【分析】本题考查一次函数、反比例函数的交点，掌握一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征以及一次函数、反比例函数交点坐标的计算方法是正确解答的前提． （1）根据一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征确定点的坐标，进而确定反比例函数关系式； （2）根据图象以及两个函数图象的交点坐标进行判断即可． 【详解】（1）解：一次函数的图象与过点， ， 即， 点， 点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的关系式为， 答：，反比例函数的关系式为； （2）由于点，即， 当，反比例函数中的值取值范围为． 易错必刷题十一、一次函数与反比例函数的交点问题 1．（23-24八年级下·北京·期末）如图所示是一次函数和反比例函数的图像，观察图像，当时，x的取值范围为（    ） A． 或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】主要考查了反比例函数的图像性质和一次函数的图像性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．根据图像可得：要使，需图像在图像的上方，由此即可得解． 【详解】根据题图可得， 当或时，． 故选：C． 2．（24-25八年级下·吉林长春·开学考试）如图，正比例函数与反比例函数图象交于两点，其中点的横坐标为1，当时，的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．直接利用正比例函数的性质得出B点横坐标，再利用函数图象得出x的取值范围． 【详解】解：∵正比例函数与反比例函的图象相交A、B两点，其中点A的横坐标为1， ∴B点的横坐标为， 故当时，x的取值范围是：或． 故答案为：或． 3．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于A、B两点．已知， (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)求△AOB的面积； 【答案】(1)一次函数解析式为，反比例函数解析式为 (2) 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合： （1）把点B坐标代入反比例函数解析式求出反比例函数解析式，进而求出点A坐标，再把点A和点B坐标代入一次函数解析式，求出一次函数解析式即可； （2）求出一次函数与x轴的交点C的坐标，再根据进行求解即可． 【详解】（1）解：把代入中得：，解得， ∴反比例函数解析式为， 在中，当时，， ∴， 把，代入中得，， ∴， ∴一次函数解析式为； （2）解；设一次函数与x轴交于C，则， ∴， ∴． 易错必刷题十二、一次函数的应用（分配方案问题） 1．（2024八年级下·上海·专题练习）甲、乙两个批发店销售同一种苹果，在甲批发店，不论数量多少，价格均为6元，在乙批发店，一次购买数量不超过时，价格为7元；一次购买数量超过时，超过部分的价格为5元．设小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为． (1)设在甲批发店花费元，在乙批发店花费元，分别求，关于的函数解析式： (2)若只在一个批发店购买，你认为在哪家更划算？ 【答案】(1) (2)当时，到甲批发店购买更划算；当时，甲、乙两个批发店购买一样划算；当时，到乙批发店购买更划算 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，求一次函数的关系式， 对于（1），甲批发店根据数量乘以单价可得关系式，乙批发店分两种情况：，，可得关系式； 对于（2），分三种情况计算讨论即可． 【详解】（1）解：根据题意得：； 当时，； 当时，， ∴； （2）解：设他在同一个批发店一次购买苹果的数量为，根据题意得， ， 解得 ， 当时，到甲批发店购买更划算； 当时，甲、乙两个批发店购买一样划算； 当时，到乙批发店购买更划算． 2．（23-24八年级下·山东德州·阶段练习）计划将甲、乙两厂的生产设备运往A，B两地，甲厂设备有60台，乙厂设备有40台，A地需70台，B地需30台，每台设备的运输费（单位：百元）如表格所示，设从甲厂运往A地的有x台设备（x为整数）． A地 B地 甲厂 7 10 乙厂 10 15 (1)用含x的式子直接填空：甲厂运往B地__________台，乙厂运往A地__________台，乙厂运往B地__________台． (2)请你设计一种调运的运输方案，使总费用最低，并求出最低费用为多少？ 【答案】(1)，， (2)当甲厂运往A地30台，B地30台，乙厂将40台都运往A地时，费用最低，最低费用为91000元． 【分析】本题主要考查一次函数的应用，读懂题意、根据已知列出函数关系式、掌握并能运用一次函数的性质是解题的关键． （1）根据题目中的数量关系列代数式即可； （2）根据（1）列出运输总费用函数关系式，再确定自变量的取值范围，利用一次函数增减性求解即可． 【详解】（1）解：从甲厂运往A地的有x台设备，则甲厂运往B地台；乙厂运往A地台；乙厂运往B地台． 故答案为：，，． （2）解：设运输费为y百元，依题意得： ， ∵， ∴y随x的增大而增大，当x最小时，y最小， ∵；； ∴． ∴当时，，即y有最小值910． ∴当甲厂运往A地30台，B地30台，乙厂将40台都运往A地时，费用最低，最低费用为91000元． 3．（23-24八年级下·山东烟台·期末）暑假期间，小刚一家准备乘坐高铁前往青岛旅游，计划第二天到甲、乙两个租车公司租用新能源汽车去中山公园看樱花．甲公司：按日收取固定租金元，另外再按租车时间计费；乙公司：无固定租金，直接以租车时间计费，每小时的租金是元．设租车时间为小时，租用甲公司的车所需费用为元，租用乙公司的车所需费用为元，其关系如图所示．    根据以上信息，解决下列问题： (1)请直接写出，关于的表达式 ； (2)当租车时间为多少小时时，两个公司所需费用相同； (3)根据（2）的计算结果，结合图象，请你帮助小明直接写出选择怎样的出游方案更合理． 【答案】(1)； (2)租车时间为小时，两个公司所需费用相同 (3)见解析 【分析】本题考查一次函数的运用，解题的关键是掌握一次函数的图象和性质，待定系数法求解函数解析式，即可． （1）设，，把，代入即可，把代入，即可； （2）当，求出，即可； （3）分类讨论：当，解出；当，解出；，解出，进行讨论，即可． 【详解】（1）解：设，， ∴把，代入， ∴， 解得：， ∴； 把代入， ∴， ∴， 故答案为：，． （2）解：由函数图象可知，当时，两个公司所需费用相同， ∴， 解得：； 当租车时间为小时，两个公司所需费用相同． （3）解：当， ∴当租车时间为小时，两个公司所需费用相同； 当，， ∴当租车时间为小时，甲公司所需费用较高，选择乙公司比较划算； 当，， ∴当租车时间为小时，乙公司所需费用较高，选择甲公司比较划算． 易错必刷题十三、一次函数的应用（最大利润问题） 1．（23-24八年级下·山东济南·期末）明水古城某文创店准备购进一批清照文化纪念品．已知购进2件A纪念品和6件B纪念品共需180元，购进4件A纪念品和3件B纪念品共需135元． (1)求A、B两种纪念品每件的进价． (2)该店计划购进A、B两种纪念品共100件，且应厂家要求，A纪念品的购进数量最多40件．已知A纪念品每件售价为25元，B纪念品每件售价为30元．若该店全部售出这两种纪念品可获利W元，应该如何进货才能使该店获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)A种纪念品每件的进价为15元，B种纪念品每件的进价为25元 (2)当该商店购进A纪念品40件，B纪念品60件时，该店获利最大，最大利润是700元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用和一次函数的应用． （1）可分别假设两种纪念品的进价，列出二元一次方程组求解； （2）可设种纪念品的件数，列出一次函数，根据一次函数的性质可求． 【详解】（1）设种纪念品每件的进价为元，种纪念品每件的进价为元，根据题意得： ， 解得：， 答：种纪念品每件的进价为15元，种纪念品每件的进价为25元； （2）设购进种纪念品件，则购进种纪念品件，根据题意得 ，整理得： ∵，∴随的增大而增大， ∵，∴当时，最大，最大值为700， 此时． 答：当该商店购进纪念品40件，纪念品60件时，该店获利最大，最大利润是700元． 2．（23-24八年级·全国·假期作业）某销售商准备采购一批儿童玩具，有A，B两种品牌可供选择，其进价和售价如下： A品牌 B品牌 进价（元/件） 150 120 售价（元/件） 200 150 销售商购进A，B两种品牌的儿童玩具共30件． （1）若销售商购进A品牌的儿童玩具为x（件），求销售商售完这30件儿童玩具获得的总利润y（元）与x之间的函数关系式； （2）若想使得销售完这30件儿童玩具获得的总利润为1300元，则应购进A品牌的儿童玩具多少件？ 【答案】（1）y＝20x+900；（2）应购进A品牌的儿童玩具20件． 【分析】（1）根据设A类为x件，则B类为（30-x）件，从而分别列出利润的式子求和即可； （2）令y=1300，代入（1）中的解析式求解即可． 【详解】（1）由题意可得：y＝（200﹣150）x+（150﹣120）（30﹣x）＝20x+900， ∴销售商售完这30件儿童玩具获得的总利润y（元）与x之间的函数关系式y＝20x+900； （2）当y＝1300，则1300＝20x+900， 解得x＝20， 答：应购进A品牌的儿童玩具20件． 【点睛】本题考查一次函数的实际应用，准确根据题意建立函数解析式是解题关键． 3．（23-24八年级下·辽宁铁岭·期中）习近平总书记提出“绿水青山就是金山银山”，某村积极响应，准备将村里的甲、乙两块山地退耕还林，计划从A、B两个苗圃运进银杏树苗，已知A、B两个苗圃分别可提供银杏树苗800棵和1000棵，甲、乙两块山地分别需要银杏树苗1100棵和700棵，两个苗圃到甲、乙两块山地的路程如下表所示： 路程/千米 A苗圃 B苗圃 甲山地 15 25 乙山地 20 20 设A苗圃运往甲山地x棵银杏树苗，若汽车运输，每棵树苗每千米的运费为2元， （1）根据题意，填写下表． 运量/棵 运费/元 A苗圃 B苗圃 A苗圃 B苗圃 甲山地 x 乙山地 （2）设总运费为y元，求y关于x的函数解析式，并求A苗圃运往甲山地多少棵银杏树苗时，总运费最省钱？最省钱的总运费是多少？ 【答案】（1）见解析；（2），从A苗圃运往甲山地800棵银杏树苗时总费用最省钱，总费用为67000元． 【分析】（1）根据题意可直接进行解答； （2）根据表格可直接进行求解，然后根据题意易得，进而可得x的范围，然后根据一次函数的性质进行求解即可． 【详解】（1） 运量/棵 运费/元 A苗圃 B苗圃 A苗圃 B苗圃 甲山地 x 乙山地 （2）由（1）表格可得： ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴y随着x的增大而减小， ∴当时，（元）； 答：总费用y元关于x的函数解析式为． 从A苗圃运往甲山地800棵银杏树苗时总费用最省钱，总费用为67000元． 【点睛】本题主要考查一次函数的实际应用，熟练掌握一次函数的实际应用是解题的关键． 易错必刷题十四、一次函数的应用（行程问题） 1．（23-24八年级下·上海浦东新·期末）一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，到达目的地后各自停留检修；设慢车行驶的时间为，两车之间的距离为，图中的折线表示与之间的关系． (1)甲、乙两地之间的距离是______千米； (2)慢车的速度是______千米/小时； (3)快车的速度是______千米/小时． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（）根据函数图象即可求解； （）根据函数图象即可求解； （）根据函数图象列方程即可求解； 本题考查了一次函数与一元一次方程的实际应用，根据图象，得到相关信息是解题的关键． 【详解】（1）解：由图象可得，甲、乙两地之间的距离是千米， 故答案为：； （2）解：由图象可得，慢车从乙地驶往甲地用时小时， ∴慢车的速度是千米/小时， 故答案为：； （3）解：设快车的速度是千米/小时， 由题意得，， 解得， 故答案为：． 2．（23-24八年级下·山东青岛·期中）共享电动车是一种新理念下的交通工具，主要面向的出行市场，现有两种品牌的共享电动车，给出的图象反映了收费（元）与骑行时间之间的对应关系，其中品牌收费方式对应，品牌的收费方式对应，且超过十分钟时，对应的函数关系式是，请根据相关信息，解答下列问题：    (1)求出图中函数，的图象交点的坐标； (2)求关于的函数解析式； (3)①如果小明每天早上需要骑行品牌或品牌的共享电动车去工厂上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为，小明家到工厂的距离为，那么小明选择___________品牌共享电动车更省钱．（填“”或“”） ②当为何值时，两种品牌共享电动车收费相差元？ 【答案】(1)点的坐标为 (2)关于的函数解析式为 (3)①；②当为或时，两种品牌共享电动车收费相差元 【分析】本题主要考查一次函数与行程问题的综合，掌握待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象的性质是解题的关键． （1）根据两条函数图象的交点的纵坐标为，代入函数解析式中计算即可； （2）运用待定系数法求解析式即可； （3）①根据行程问题算出骑行的时间，分别算出两种品牌的费用即可求解；②分两种情况讨论，第一种情况，；第二种情况，；由此即可求解． 【详解】（1）解：∵函数，的图象交点，且点的纵坐标为，品牌的收费方式对应，且超过十分钟时，对应的函数关系式是， ∴，解得，， ∴点的坐标为． （2）解：函数经过点，， ∴设， ∴，解得，， ∴， ∴关于的函数解析式为． （3）解：①，平均行驶速度均为， ∴行驶时间为，即， ∴骑行品牌的费用（元）； 骑行品牌共享电动车，且， ∴费用（元）； ∵， ∴小明选择骑行品牌共享电动车， 故答案为：； ②第一种情况，， ∴，解得，； 第二种情况，， ∴，解得，； ∴当为或时，两种品牌共享电动车收费相差元． 3．（23-24八年级下·重庆·期中）一辆轿车和一辆货车同时从甲地出发驶往乙地，轿车到达乙地后立即以另一速度原路返回甲地，货车到达乙地后停止．如图所示的图象分别表示货车、轿车离甲地距离与轿车行驶时间的关系． (1)求轿车在返回甲地过程中的速度； (2)当轿车从乙地返回甲地的途中与货车相遇时，求相遇处离甲地的距离． 【答案】(1)80 km/h (2)km 【分析】（1）用两地间距离除以轿车在返回甲地过程中所用的时间，即可求解； （2）分别求出货车离甲地距离与行驶时间的函数关系式，轿车从乙地返回甲地的函数关系式，再求出它们的交点，即可求解． 【详解】（1）解∶根据题意得∶ 轿车在返回甲地过程中的速度为km/h； （2）解：设货车离甲地距离与行驶时间的函数关系式为， 把点（3，120）代入得： ，解得：， ∴货车离甲地距离与行驶时间的函数关系式为， 设轿车从乙地返回甲地，离甲地距离与行驶时间的函数关系式为， 把点（2，120），（3.5，0）代入得： ，解得：， ∴轿车从乙地返回甲地的函数解析式为， 联立得：，解得：， ∴当轿车从乙地返回甲地的途中与货车相遇处离甲地的距离为km． 【点睛】本题主要考查了函数图象的动点问题，一次函数的应用，明确题意，准确从函数图象获取信息是解题的关键． 易错必刷题十五、一次函数与几何问题 1．（23-24八年级下·江苏镇江·期末）如图，从光源A发出的一束光，遇到平面镜（y轴）上的点B后的反射光线交x轴于点，若光线满足的函数关系式为：，则b的值是（   ）    A．2 B． C． D．1 【答案】C 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式、全等三角形的判定与性质、坐标与图形，证明得到，进而求得点D坐标，然后利用待定系数法求解即可． 【详解】解：延长交x轴于点D，    由入射角等于反射角得，又，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 代入中，得， ∴， 故选：C． 2．（23-24八年级下·上海·期末）已知直线y=kx过点（-2，1），点A是直线y=kx图像上的一点，若过点A分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为点B和点D，围成的矩形OBAD的面积为18，那么点D的坐标为 ． 【答案】（0，3）或（0，- 3） 【分析】先利用待定系数法求出直线解析式，设D（0，t），则，B（-2t，0），依题有：OB×OD=18即-2t×(-t)=18， 由此即可得到答案． 【详解】解：∵直线y=kx过点（-2，1）， ∴， ∴直线解析式为， 设D（0，t），则，B（-2t，0）， 依题有：OB×OD=18即-2t×(-t)=18， ∴t=-3或3，即D的坐标为（0，3）或（0，- 3）， 故答案为：（0，3）或（0，- 3）． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，一次函数的几何应用，熟练掌握一次函数的相关知识是解题的关键． 3．（23-24八年级下·上海普陀·期中）已知梯形的四个顶点为，对于直线回答下列问题： (1)若以表示该直线截梯形的包含点的那部分的面积，当该直线与边相交时，是多少（用表示）？与边相交时呢？ (2)为何值时，该直线把梯形二等分． 【答案】(1)当该直线与边相交时，；当该直线与边相交时， (2) 【分析】（1）根据点的坐标画出图形得到轴，轴，，当该直线与边相交时，设直线与交于E，与交于F，根据三角形的面积公式即可得到；当该直线与边相交时，设直线与交于M，与交于N，根据梯形的面积公式即可得到； （2）根据题意列方程即可得到结论． 【详解】（1）解：∵， ∴轴，轴，， 当该直线与边相交时，如图，设直线与交于E，与交于F， ∴， ，， ∴， 当该直线与边相交时，设直线与交于M，与交于N， ∴， ∴， （2）∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，梯形的面积，根据题意画出图形是解题的关键． 压轴满分题一、一次函数的图象与性质 1．（23-24八年级下·广东佛山·阶段练习）已知直线的图象如图所示．若无论取何值，y总取中的最大值，则的最小值是（    ） A．4 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，关键要能灵活运用一次函数的图象与性质分析各种情况，找到符合题意的那一种． 【详解】解：过的交点作y轴的平行线l，过的交点作y轴的平行线m， 由题意根据一次函数图象的性质可知，符合条件的y的取值如图所示， ∴y的最小值是交点坐标的纵坐标值， 联立两直线解析式：， 解得， 把代入或解析式求得． 故选：C． 2．．（24-25八年级下·宁夏银川·期末）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与三角形面积，待定系数法；由待定系数法得直线的解析式为，求出的坐标，由即可求解；能熟练求解一次函数与三角形的面积是解题的关键． 【详解】解：如图， 当时，， 当时，， 解得：， ，，， 设直线的解析式为，则有 ， 解得：， 直线的解析式为， 当时，， ， ， ； 故答案：． 3．（24-25八年级下·浙江金华·阶段练习）如图，已知一次函数，与x轴的交点横坐标分别为6和，、的交点． (1)求、的函数解析式； (2)x取何值时，函数的图象在函数图象的上方？ (3)若点向下平移个单位长度，向左平移个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值； 【答案】(1)直线l1的函数解析式为；直线l2的函数解析式； (2)当时，函数的图象在函数图象的上方 (3) 【分析】本题考查了待定系数法确定函数解析式以及一次函数与不等式，正确求出两个函数的解析式是解题的关键． （1）把点代入求得a的值，再把代入求得点P的坐标，利用待定系数法即可求得的函数解析式； （2）两直线的交点坐标为，根据图象即可得出答案， （3）根据平移的性质得到平移点的坐标，代入直线l1的函数解析式即可求解． 【详解】（1）解：∵直线与轴的交点横坐标为，即交点为， ∴， ∴， ∴直线的函数解析式为； ∵、的交点． ∴， ∴ ∵直线与轴的交点横坐标为，即交点为， ∴， 解得：， ∴直线l1的函数解析式为； （2）∵ 、的交点， 由函数图象可得当时，函数的图象在函数图象的上方； （3）点向下平移个单位长度，向左平移个单位长度后 平移后点的坐标为即， ∵平移后的点恰好落在的图象上， ∴，解得： 压轴满分题二、一次函数的规律探究问题 1．（24-25八年级下·北京大兴·期中）在平面直角坐标系中，函数的图象与函数（）的图象交于点． (1)求m与k的值； (2)当时，对于x每一个值，总有函数（）的值大于函数（）的值，直接写出n的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数性质，两条直线相交或平行问题，正确理解一次函数性质，并熟练掌握两条直线相交或平行情况是解题的关键． （1）将点代入函数求解，即可得到m的值，再结合待定系数法求解即可得到k的值； （2）联立与求出交点横坐标为，再结合题意和一次函数性质得到，求解，即可解题． 【详解】（1）解：将点代入函数有：， 解得， ， ， 解得； （2）解：由（1）知，， 联立与有：， 解得， 当时，对于x每一个值，总有函数（）的值大于函数（）的值， 又时，直线与直线平行， ，， 当时，解得， 即n的取值范围为． 2．（24-25八年级下·安徽合肥·阶段练习）正方形、、的边长分别为，按如图的方式依次放置，点、、在轴上，点、、在直线上． (1)求直线的函数表达式； (2)直接写出点、的坐标； (3)猜想点的坐标为______． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题考查一次函数图象上的点的坐标特征、正方形的性质． （1）根据已知条件先求出、的坐标，设直线的解析式为，代入求解即可； （2）根据已知条件先求出、，同理可得出、的坐标； （3）总结（2）中的规律可得出的坐标． 【详解】（1）解：∵正方形、的边长分别为， ∴，， 设直线的解析式为， ∵点、在直线上， ∴， 解得：， ∴直线的函数表达式为：； （2）解：∵的边长为1， ∴， ， 在直线上， ， ， 同理可得， ∴，； （3）解：由（2）中规律可得：， 故答案为：． 3．（23-24八年级下·江西景德镇·阶段练习）某纸箱加工厂计划用50张纸板制作某种型号的长方体纸箱，每张纸板有如图所示的3种裁法．设按A种方法裁剪的纸板有x张，且按照3种裁法裁得的侧面和底面正好用完（用4个侧面和2个底面可以制作一个纸箱）． (1)按B种裁法裁剪的纸板有___张，按C种裁法裁剪的纸板有___张；（用含x的代数式表示） (2)已知按A种裁法裁一张纸板需要，按B种裁法和C种裁法裁一张纸板均需要，若10≤，求裁完这些纸板的时间的和至少为多少． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）设按B种裁法裁剪的纸板有y张，则按C种裁法裁剪的纸板有，根据题意列式即可； （2）设裁完这些纸板共需，根据题意写出函数，再利用函数的性质即可求出最值． 【详解】（1）解：设按B种裁法裁剪的纸板有y张，则按C种裁法裁剪的纸板有张， 由题意得 ∴， ∴按C种裁法裁剪的纸板有（张）， 故答案为：；； （2）解：设裁完这些纸板共需， 根据题意，得．         ∵， ∴z随x的增大而减小． 又∵， ∴当时，z取最小值，最小值为． 答：裁完这些纸板的时间的和至少为． 【点睛】本题考查一次函数的应用，根据题意写出一次函数的解析式是解题的关键． 压轴满分题三、一次函数与反比例函数的综合应用 1．（2024·贵州遵义·三模）如图，在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，．反比例函数的图像分别与，交于点和点． (1)求反比例函数的表达式和点的坐标； (2)若一次函数与反比例函数的图像相交于点，当点在反比例函数图像上，之间的部分时（点可与点，重合），求出的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式、反比例函数图像上点的坐标特征、反比例函数与一次函数综合应用等知识，运用熟练掌握反比例函数的图像与性质是解题关键． （1）利用待定系数法解得反比例函数的表达式；结合题意可知的横坐标为4，进而计算点的坐标； （2）分别计算当一次函数的图像经过点，时的值，即可获得答案． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图像经过点， ∴， ∴反比例函数的解析式为； ∵是等腰直角三角形，，且与反比例函数的图像交于点， ∴的横坐标为4， 对于反比例函数，当时，， ∴点的坐标为； （2）把代入得，， 把代入得，， ∴的取值范围是． 2．（2024·吉林松原·二模）如图①，点、在直线上，反比例函数的图象经过点． (1)求和的值； (2)以线段为边向右侧作，如图②，使点恰好落在反比例函数（）的图象上时，过点作轴于点，交反比例函数的图象于点，求线段的长度． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的应用，平行四边形的性质等知识， （1）先根据待定系数法求出一次函数的解析式，在将点代入求出值，待定系数法求反比例函数的解析式即可； （2）根据平移的性质可得点的纵坐标为，代入求出点的坐标，得出平移的距离，求出点和点和点的坐标，即可求解． 【详解】（1）解：∵点在直线上， 将代入得：， ∴一次函数的解析式为：； ∵点在直线上， 将代入得：， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， 将代入得： ∴． （2）∵， ∴反比例函数的解析式为：； 根据题意可得点的纵坐标为， 故将代入得：， 解得：； ∴； ∴， ∴； 即，点的横坐标为， 故将代入得：， ∴； ∴，， ∴． 3．（2024·四川绵阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第一、第三象限内的，两点，与x轴交于点C． (1)求该反比例函数和一次函数的解析式． (2)直接写出当时，x的取值范围． (3)在y轴上找一点P使最大，求的最大值及点P的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)， 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式，根据点的坐标求线段长，正确掌握反比例函数的性质是解题的关键． （1）利用待定系数法，即可得到反比例函数和一次函数的解析式； （2）根据两点的横坐标及直线与双曲线的位置关系求的取值范围； （3）根据一次函数，求得与轴的交点，此交点即为所求． 【详解】（1）解：把代入，可得， ∴反比例函数的解析式为； 把点代入，可得， ∴； 把，代入， 可得， 解得， ∴一次函数的解析式为． （2）解：根据图象可得，当时，或． （3）解：一次函数的解析式为，令，则， ∴一次函数与y轴的交点为， 此时，最大，P即为所求， 令，则， ∴， ∴， ∴的最大值为． 压轴满分题四、一次函数中最值问题 1．（2024八年级下·全国·专题练习）对于实数a,b，定义符号，其意义为：当时，，当时，，例如：，，若关于x的函数，则该函数的最大值为（　　） A．0 B．2 C．3 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，根据定义分情况列出不等式：①当时，；②当时，，再根据一次函数的性质可得出结果． 【详解】解：由题意得： ①当，即时，， ，y随x的增大而减小， 当时，y取得最大值3； ②当，即时，， ，y随x的增大而增大， 当时，． 综上可知，函数的最大值为3． 故选：C． 2．（24-25八年级下·四川成都·阶段练习）对某一个函数给出如下定义：若存在实数，对于这个函数的所有函数值y，都满足，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，图中的函数是有界函数，其边界值是1．函数的边界值为 ．若函数（，）的边界值是5，且这个函数的最大值也是5，则b的取值范围为 ． 【答案】 3 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质．理解题意，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． 由，可知当时，；当时，；由边界值的定义可求函数的边界值；由（，）边界值是5，，函数的最大值是5，可知当时，；可求，当时，；则，计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴当时，； 当时，； ∴由边界值的定义可知，函数的边界值为3； ∵（，）边界值是5，，函数的最大值是5， ∴当时，； 解得，， 当时，； ∴， 解得，， 故答案为：3，． 3．（2024·四川乐山·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)请直接写出时，的取值范围； (3)在轴上存在一点使得有最大值，求出点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】（1）待定系数法求出两个函数解析式即可； （2）关键还是图象与交点横坐标直接写出不等式解集即可； （3）过点作关于轴的对称点，则连接交轴于点，此时满足有最大值，先求出解析式，再求出点坐标即可． 【详解】（1）一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和， ， ，， 反比例函数解析式为， ，， ，解得， 一次函数解析式为； （2）由图象可知，时，的取值范围为：或； （3）如图，过点作关于轴的对称点，则 连接交轴于点，此时满足有最大值， 设直线解析式为， ，解得 直线解析式为， 当时，． 点． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是关键． 压轴满分题五、一次函数中动点问题 1．（24-25八年级下·贵州毕节·期末）如图，直线分别与x轴、y轴相交于点E和点F，点E的坐标为，点A的坐标为． (1)求k的值； (2)若点是第二象限内的直线上的一个动点，在点P运动过程中，试写出的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (3)在（2）条件下，探究：当P运动到什么位置时，的面积为4，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】本题考查了一次函数解析式，一次函数与三角形面积． （1）根据一次函数图象上点的坐标特征，把点坐标代入即可计算出的值； （2）由于点在直线，则可设点坐标为，根据三角形面积公式得到； （3）当时，则，解方程求出即可得到点坐标． 【详解】（1）解：把代入得， 解得； （2）解：直线的解析式为，点， 点坐标为， 点的坐标为， ∴； （3）解：当运动到位置时，的面积为4，理由如下： 当时，则，解得， 当，， 所以点坐标为， 所以当运动到位置时，的面积为4． 2．（23-24八年级下·吉林·开学考试）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了平面直角坐标系及格点（顶点是网格线的交点）． (1)的面积为______； (2)请画出关于轴对称的，其中点的坐标为______； (3)点在轴上运动，若的周长最小，则点的坐标为______． 【答案】(1)10 (2) (3) 【分析】本题主要考查了图形的轴对称及轴对称的性质，三角形面积，以及待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握坐标系中点的对称及待定系数法求函数解析式是解决本题的关键． （1）用矩形的面积减去四个三角形的面积即可求解； （2）画出三点关于轴对称的三点，依次连接即可； （3）当三点共线时，周长最小，再根据待定系数法求出直线解析式，即可求解； 【详解】（1）解：， 故答案为：10； （2）解：关于轴对称的，如图所示：点的坐标为． （3）解：连接交轴于点，连接，则， 故， 当三点共线时，最小，最小值为， ∵不变， 故此时周长最小， 设直线解析式为，将代入得 ，解得： 故函数表达式为， 令，则， 故点的坐标为． 3．（24-25八年级下·重庆·阶段练习）如图矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点F为BC边上的三等分点(CF<BF)，动点P从点A出发，沿折线A→D→C运动，到C点停止运动．点P的运动速度为每秒2个单位长度，设点P运动时间为x秒，△APF的面积为． (1)请直接写出关于x的函数解析式，并注明自变量x的取值范围； (2)若函数，请在平面直角坐标系中画出函数y1，y2的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出当时x的取值范围(保留一位小数，误差不超过)． 【答案】(1) (2)见解析，函数的性质：当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小 (3)或 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，一次函数与反比例函数图象的性质； （1）分两种情况当时和当时，写出一次函数解析式即可； （2）画出、函数图像并根据函数的图像写出一条函数的性质即可； （3）根据两个函数图像及交点坐标位置，直接写出不等式解集即可． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， ∴； （2）解：函数、的图象如图： 函数的性质：当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小； （3）解：由两个函数图像可知，当时的取值范围为或． 压轴满分题六、一次函数的存在性问题 1．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）在平面直角坐标系中，一次函数图象与x轴交于点A，且与一次函数图象相交于点，一次函数图象与x轴相交于点C． (1)求m的值； (2)根据图象，直接写出当时，x的取值范围 (3)若在一次函数上存在点P，使得，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据两个一次函数图象交于点 ，可求出，进而可得到一次函数解析式为，即可求出点A的坐标； （2）先求出点A、C的坐标，画出函数图象，根据图象得一次函数的图象在一次函数的图象下方时，x的取值范围，即可得出答案； （3）先求出，然后分两种情况：点P在点B下方，点P在点B上方，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数与一次函数相交于点 ∴B点即在上也在上， 由可得：， ∴； （2）解：∵； ∴B点的坐标为； 把点B代入可得即， ∴一次函数解析式为， 当时，，得， 即点A的坐标为， 当时，，即点C的坐标为，函数图象如图所示： 观察图象，得：当 时，一次函数的图象在一次函数的图象下方时， ∴当时，x的取值范围为． （3）解：∵，，， ∴， 设点P的坐标为， 当点P在点B下方时，点P与点C重合时，与的面积相等，此时点P的坐标为， 当点P在点B上方时， ∴ 解得：， ∴此时点P的坐标为； 综上分析可知：点P的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了一次函数与一次函数相结合，一次函数图象的应用，用一次函数解不等式，求三角形的面积，求出两直线的交点坐标，利用一次函数与一元一次不等式的关系解不等式的数形结合思想解答问题是解题的关键． 2．（24-25八年级下·全国·假期作业）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角顶点，顶点A、恰好落在反比例函数第一象限的图象上．    (1)分别求反比例函数的表达式和直线所对应的一次函数的表达式； (2)在x轴上是否存在一点P，使周长的值最小．若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)在x轴上存在一点，使周长的值最小,最小值是． 【分析】（1）过点A作轴于点E，过点B作轴于点D，证明，则，由得到点A的坐标是，由A、恰好落在反比例函数第一象限的图象上得到，解得，得到点A的坐标是，点B的坐标是，进一步用待定系数法即可得到答案； （2）延长至点，使得，连接交x轴于点P，连接，利用轴对称的性质得到，，则，由知是定值，此时的周长为最小，利用待定系数法求出直线的解析式，求出点P的坐标，再求出周长最小值即可． 【详解】（1）解：过点A作轴于点E，过点B作轴于点D， 则，    ∵点，， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点A的坐标是， ∵A、恰好落在反比例函数第一象限的图象上． ∴， 解得， ∴点A的坐标是，点B的坐标是， ∴， ∴反比例函数的解析式是， 设直线所对应的一次函数的表达式为，把点A和点B的坐标代入得， ，解得, ∴直线所对应的一次函数的表达式为， （2）延长至点，使得，连接交x轴于点P，连接，    ∴点A与点关于x轴对称， ∴，， ∵， ∴的最小值是的长度， ∵，即是定值， ∴此时的周长为最小， 设直线的解析式是， 则， 解得， ∴直线的解析式是， 当时，，解得， 即点P的坐标是， 此时， 综上可知，在x轴上存在一点，使周长的值最小，最小值是． 【点睛】此题考查了反比例函数和一次函数的图象和性质、用到了待定系数法求函数解析式、勾股定理求两点间距离、轴对称最短路径问题、全等三角形的判定和性质等知识，数形结合和准确计算是解题的关键． 3．（24-25八年级下·山西晋中·期中）综合与探究 如图，直线经过点． (1)写出直线对应的函数表达式； (2)将直线向上平移1个单位，得到一个一次函数的图象，交轴于点，在右图中画出这个一次函数的图象，它的函数表达式为 ，点的坐标是 ，在这个一次函数中，的值随着值的增大而 ； (3)点为直线上一个动点，过点作轴的平行线，交轴于点，交（2）中一次函数的图象于点．试探究：在点运动的过程中，是否存在点，使得，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)函数图像见详解，，，增大 (3)存在，点的坐标为或 【分析】（1）根据题意可设，根据题意把代入即可求出直线对应的函数表达式； （2）根据一次函数平移的性质作出一次函数的图象，根据平移的性质可得出的函数解析式，再根据一次函数的性质即可求出点B的坐标以及增减性； （3）设点，则，，根据题意结合绝对值的性质列出方程解一元一次方程即可． 【详解】（1）解：根据题意可设， ∵直线经过点， ∴， 解得：， 故直线对应的函数表达式为． （2）解：将直线向上平移1个单位，得到一个一次函数的图象，交轴于点，则这个一次函数的图象如下图所示： 则的函数表达式为：，则点． ∵， ∴的值随着值的增大而增大． 故答案为：，，增大． （3）解：设点，则，， ∴，， ∵， ∴， 解得：，或，则，或， 则，或． 【点睛】本题主要考查待定系数法求一次函数、一次函数的平移、与坐标轴的交点、绝对值的性质以及解一元一次方程，解题的关键是熟悉一次函数的性质和绝对值的性质． 压轴满分题七、一次函数综合应用压轴 1．（24-25八年级下·贵州·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数（）与反比例函数（）在第二象限交于点，且与y轴交于点． (1)求一次函数的表达式； (2)请直接写出不等式的解集； (3)在x轴上有一动点P，且的面积为，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数综合，待定系数法； （1）将、的坐标代入一次函数解析式，即可求解； （2）设一次函数（）与反比例函数（）在第四象限交于点C，求出点的坐标，根据图象即可求解； （3）由可求出，即可求解； 掌握待定系数法，能熟练利用数形结合思想进行求解是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得， 解得， ∴一次函数的解析式为； （2）解：如图，设一次函数（）与反比例函数（）在第四象限交于点C． ∵反比例函数过点， ， ∴反比例函数的解析式为． 联立方程组， 解得，或， ， ∴不等式的解集为或； （3）解：如图，设一次函数与x轴交于点D， ∴当时，， 解得， ∴， ， ∴， ∴， ， 解得：或， ∴点P的坐标为或． 2．（24-25八年级下·贵州·期末）如图，一次函数的图象分别与x轴，y轴交于A、B两点，正比例函数的图象与交于点． (1)求m的值及的关系式； (2)方程组的解为________； (3)求的值． 【答案】(1)，的解析式为 (2) (3) 【分析】此题考查一次函数的综合应用，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、函数与方程组的关系是解题的关键． （1）先求得点的坐标，再运用待定系数法即可得到的解析式； （2）根据方程组的解即为一次函数和正比例函数的交点横纵坐标，即可求解． （3）过作于于，则，再根据，可得，进而得出的值； 【详解】（1）解：把代入一次函数， 可得，，解得：， ， 设的解析式为， 将点代入， 得， 解得：， ∴的解析式为； （2）解：方程组可整理为， 方程组的解即为一次函数和正比例函数的交点横纵坐标， 即． （3）解：如图，过作于于， 则， 在中， 令，则； 令，则， ∴， ∴， ∴． 3．（24-25八年级下·广西桂林·阶段练习）阅读下列材料，回答问题： 【提出问题】对任意的实数a、b而言，，即．易知当时，，即：，所以．若，则，所以． 【结论应用】若，则当 时，代数式有最小值为 ． 【问题解决】 （1）某公司为提高工作效率，购进了一批自动化生产设备，已知每台设备每天的运营成本包含以下三个部分：一是固定费用，共6400元；二是材料损耗费，每个零件损耗约为5元，三是设备折旧费（元），它与生产的零件个数x的函数关系式为0.0001x2，设该设备每天生产汽车零件x个．请写出该设备每生产一个零件的运营成本的表达式，且求出当x为多少时，该设备每生产一个零件的运营成本最低？最低是多少元？ （2）如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴分别交于点A、B，点M为反比例函数上的任意一点，过点M作轴于点C，轴于点D．求四边形面积的最小值． 【答案】结论应用：，4；问题解决：（1）每生产一个零件的运营成本的表达式为，当x为8000时，该设备每生产一个零件的运营成本最低，最低是6.6元；（2）24 【分析】本题是反比例函数综合题，考查了完全平方公式，一次函数的性质，反比例函数的性质等知识，解决本题的关键是理解并运用阅读材料内容． 结论应用：利用材料的结论，可求解； 问题解决：（1）设设备每生产一个零件的运营成本为y元，由题意可得，即可求解； （2）先求出点A，点B坐标，设点点，，由可求，，由四边形面积，即可求解． 【详解】解：结论应用： 若，当，即时，代数式有最小值为， 故答案为：2，4； （1）设该设备每生产一个零件的运营成本为y元， 由题意可得：， ， ， 当时，即时， 有最小值为， 的最小值为6.6元， 答：当为时，该设备每生产一个零件的运营成本最低，最低是元； （2）直线与坐标轴分别交于点，， 点，点， 设点， ，点， ，， 四边形面积， ， ， 当时，即当时，有最小值为6， 四边形面积的最小值为． 学科网（北京）股份有限公司 $$