第12讲 一次函数与常见几何模型专项训练 -（寒假衔接课堂）2025年八年级数学寒假衔接讲义（沪教版）

第12讲 一次函数与常见几何模型专项训练 题型一 一次函数中的面积计算 题型二 一次函数中的动点问题 题型三 一次函数中的最值问题 题型四 一次函数中的存在性问题 题型五 一次函数中的新定义问题 题型六 一次函数中的翻折模型 题型七 一次函数中的旋转模型（45度等） 题型八 一次函数中的平移模型 【核心考点一 一次函数中的面积计算】 1．（24-25八年级下·上海嘉定·阶段练习）如图：已知一次函数的图象经过点和点． (1)求一次函数解析式； (2)求面积． 2．（24-25八年级下·上海嘉定·期中）如图，在平面直角坐标系中直线m：与直线n：交于点，直线m、n分别与x轴交于点B、C，其中点． (1)求直线m对应的函数表达式； (2)求的面积； (3)直接写出不等式的解集． 3．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，直线与x轴、y轴分别相交于点E、F．点E的坐标为，点A的坐标为．点是直线上的一个动点． (1)求k的值； (2)当点在第二象限时， ①试写出的面积S与x的函数关系式； ②当的面积是10时，求此时P点的坐标． 4．（24-25八年级下·全国·期末）如图，是经过某种变换后得到的图形，分别观察点与点，点与点，点与点的坐标之间的关系． (1)若三角形内任意一点的坐标为，点M经过这种变换后得到点N，根据你的发现，点N的坐标为 ． (2)若三角形先向上平移3个单位，再向右平移4个单位得到三角形，画出三角形，并求三角形的面积． (3)直接写出与y轴交点的坐标 ． 5．（24-25八年级下·全国·期末）如图，直线过点，且与轴交于点，与轴交于点． (1)求直线的函数表达式及点的坐标； (2)如图，作直线，点P在直线上，当的面积为面积的倍时，求点的坐标； (3)如图，点为第二象限内的一点，连接，以为边在的左侧作等边，当，时，求线段的长． 6．（24-25八年级下·上海奉贤·阶段练习）如图1，已知直线与坐标轴交于、两点，直线与轴交于点，且两直线交于点，点坐标为． (1)求出值． (2)如图2，连接，求出的面积． (3)在（2）的前提下，平面内是否存在一点，使得与面积相等？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． (4)如图3，已知点，点在轴的负半轴上运动，连接，与直线交于点，与直线交于点，当与面积相等时，直接写出点的坐标． 【核心考点二 一次函数中的动点问题】 1．（23-24八年级下·上海长宁·阶段练习）如图，A为直线上一点，轴于点C，交直线于点B． (1)若点A的坐标为，，求k的值； (2)若，当点A在第一象限内直线上运动时，求的值． 2．（23-24八年级下·上海宝山·期末）如图，在中，，，．动点从点出发，沿着折线运动（点不与点重合）．设点运动的路程为，的面积为． (1)请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)请结合你所画的函数图象，直接写出当时的值． 3．（23-24八年级下·上海金山·阶段练习）如图，直线与轴，轴分别交于两点，点的坐标为，点的坐标为：    (1)直线所表示的一次函数的解析式为______； (2)若点是第一象限内的直线上的一个动点，当点运动时，设的面积为S，用含x的式子表示S，写出x的取值范围，画出函数S的图象． (3)在（2）的条件下，的面积能大于12吗？请说明理由． 4．（24-25八年级下·上海闵行·期中）如图，在矩形中，，，点为边上的中点．动点从点出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度向点运动，到点时停止．设运动的时间为秒，记为． (1)请直接写出关于的函数表达式以及对应的的取值范围（）； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)函数与的图象有且仅有2个交点，请直接写出的取值范围． 5．（24-25八年级下·上海青浦·期中）如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点，长方形的顶点分别在轴与轴上，已知．点为轴上一点，其坐标为，点从点出发以每秒2个单位的速度沿线段的方向运动，当点与点重合时停止运动，运动时间为秒．    (1)当点经过点时，求直线的函数解析式； (2)求的面积关于的函数解析式； (3)点在运动过程中是否存在使为等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 6．（23-24八年级下·上海虹口·期中）如图，直线与坐标轴分别交于A、B两点，，点在直线上，动点P从O点出友，沿X轴正方向以每秒2个单位长度的速度运动． (1)A点的坐标为_______；B点的坐标为________； (2)直线的函数解析式； (3)设点P的运动时间为t秒，的面积为S，求S与t之间的函数关系式：并求出当时点P的坐标． (4)x轴正半轴上是否存在一点P，使为等腰三角形？若存在，请求出满足条件的所有P点的坐标；若不存在，请说明理由． 【核心考点三 一次函数中的最值问题】 1．（23-24八年级下·上海嘉定·阶段练习）“互联网+”让我国经济更具活力，直播助销就是运用“互联网+”的销售方式，让大山深处的农产品远销全国各地.若要对某地特色花生与茶叶两种产品助销，已知每千克花生的售价比每千克茶叶的售价低40元，销售50千克花生与销售10千克茶叶的总售价相同． (1)求每千克花生、茶叶的售价； (2)已知花生的成本为6元/千克，茶叶的成本为36元/千克，计划两种产品共助销800千克，若花生销售数量不低于茶叶销售数量，设花生和茶叶的销售总利润为元，求的最大值． 2．（22-23八年级下·上海徐汇·期末）如图，直线与轴，轴分别交于点，，点的坐标为，点的坐标为，点是线段上的一个动点．    (1)求的值； (2)求点在运动过程中的面积与的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)求面积的最大值． 3．（24-25八年级下·上海静安·阶段练习）如图，直线与y轴交于点A，与x轴交于点B，点C、D在直线（直线上所有点的横坐标均为2）上，且． (1)求A、B两点坐标； (2)四边形的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在说明理由． 4．（23-24八年级下·上海嘉定·阶段练习）用函数方法研究动点到定点的距离问题． 在研究一个动点到定点的距离时，小明发现： 与的函数关系为，并画出图象如图： 借助小明的研究经验，解决下列问题： (1)写出动点到定点的距离的函数表达式，并求当取何值时，取最小值？ (2)设动点到两个定点、的距离和为．写出与的函数表达式，结合函数图像，说出随着增大，怎样变化？ 5．（23-24八年级下·上海黄埔·阶段练习）（1）【感知】如图1，在平面直角坐标系中，点C的坐标为，点A的坐标为，将线段绕着点C按逆时针方向旋转至线段，过点B作轴，垂足为M，易知，得到点B的坐标为___________； （2）【探究】如图2，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点C的坐标为，将线段绕着点C按逆时针方向旋转至线段，求点B的坐标；（用含m的代数式表示） （3）【拓展】如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点C在y轴上，将线段绕着点C按逆时针方向旋转至线段，连接，，则的最小值为__________． 6．（2024·上海普陀·二模）如图所示，在平面直角坐标系中，已知、两点是一次函数和反比例函数图像的两个交点，直线AB与x轴交于点C． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)观察图像，直接写出不等式的解集； (3)在y轴上取一点P，使的值最大，并求出的最大值及点P的坐标． 【核心考点四 一次函数中的存在性问题】 1．（22-23八年级下上海嘉定·期末）已知关于的一次函数且，其图象交轴于点，交轴于点．为坐标系的原点） (1)若，求这时m的值； (2)对于的任意值，该函数图象必过一定点，请求出定点的坐标； (3)是否存在m的值，使的面积为8？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 2．（23-24八年级下·上海闵行·期中）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)求A，B两点的坐标； (2)已知在x轴上存在一点P，使得的面积为5，则点P的坐标为 ． 3．（23-24八年级下·上海奉贤·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点A，C在坐标轴上，反比例函数在第一象限内的图象分别与交于点和点E，且D为的中点． (1)求反比例函数的解析式和点E的坐标； (2)若一次函数与反比例函数在第一象限内的图象相交于点D、E两点，直接写出不等式的解集． (3)x轴上是否存在点P使得为等腰三角形，若存在，求出点P的坐标，如不存在请说明理由； 4．（23-24八年级下·上海松江·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线：分别与x轴，y轴交于A，B两点，点C为x轴正半轴上一点，且，直线过点C且与y轴交于点D，与直线l1交于第二象限内的点E，已知点E到x轴的距离为． (1)求点D的坐标； (2)如图2，在直线上存在一点M，使，求出点M的坐标； (3)如图3，将绕点O逆时针旋转得到，点P为直线上一动点，点Q为x轴上一动点，连接，，，当为以为腰的等腰直角三角形时，直接写出点P的坐标． 5．（22-23八年级下·上海青浦·期中）如图，已知反比例函数与一次函数的图象交于，两点，直线分别与轴、轴交于点，． (1)______，______，______． (2)若是轴的正半轴上一动点，过点作轴的垂线，分别与一次函数和反比例函数的图象交于点，，设的长为，求与之间的函数关系式． (3)在第二象限内是否存在点，使得是等腰直角三角形，且点不是直角顶点？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 6．（24-25八年级下·上海徐汇·阶段练习）在平面直角坐标系中，如果一个点到两坐标轴的距离相等，那么这个点称为“等距点”，例如，，，都称为“等距点”． (1)如图1，点，线段的垂直平分线l上在第一象限内的“等距点”P的坐标为________． (2)如图2，点，点B是第一象限内的“等距点”，若点Q是第四象限内的“等距点”，是否存在点Q，使直线把分成面积之比为的两部分？若存在，请求出Q点坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图3，点，点，点D是坐标系内与原点O不重合的“等距点”，连接，，当时，求“等距点”D的坐标． 【核心考点五 一次函数中的新定义问题】 1．（23-24八年级下·上海崇明·期中）新定义为一次函数（，a、b为实数）的“关联数”． (1)若“关联数”的一次函数为正比例函数，求k的值． (2)已知直角坐标系中点，点，求图象过A、B两点的一次函数的关联数． 2．（23-24八年级下·河北保定·期末）新定义：关于x的一次函数与叫做一对交换函数．例如：一次函数与就是一对交换函数． (1)一次函数的交换函数是 ； (2)一次函数的交换函数是 ； (3)当时，（2）中两个函数图象交点的横坐标是 ；若，求（2）中两个函数图象与y轴围成的三角形的面积． 3．（22-23八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）定义运算：当时，；当时，；如：； (1) ______，当时， ______； (2)若，求x的取值范围； (3)如图，已知直线与相交于点，若，直接写出x的取值范围是_______． 4．（24-25八年级下·湖南·阶段练习）新定义：对于一元二次方程，若根的判别式是一个整数或整式的平方，则此方程叫“美好方程”． (1)判断下列方程一定是“美好方程”是_______；（直接填序号） ①；②；③； (2)若关于的一元二次方程方程， ①证明：此方程一定是“美好方程”； ②设方程的两个实数根分别为，，是否存在实数，使得始终在函数的图象上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 5．（23-24八年级下·广东深圳·期中）阅读理解： 【新定义】对于线段和 点Q，定义：若，则称点Q为线段的“等距点”；特别地，若，则称点Q 是线段的“完美等距点”． 【解决问题】如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐标为，点是直线上一动点． (1)已知4个点：，以上这四个点中 是线段的“等距点” ， 是线段的“完美等距点”（填写大写字母）． (2)若点P 在第三象限，且，点H在y轴上，且H是线段的“等距点”，求点H的坐标； (3)当，是否存在这样的点N，使点N是线段的“等距点”且为线段的“完美等距点”，请直接写出所有这样的点P的坐标． 6．（23-24八年级下·北京·期中）新定义：在平面直角坐标系中，对于任意点，和直线，我们称直线为点的伴随直线，反之称点为直线的伴随点；特别的，直线（为常数）的伴随点为． 如图1，已知三个顶点的坐标分别为． （1）点的伴随直线的解析式为__________．（请直接写出答案） （2）若直线的伴随点是点，直线的伴随点是点，点为轴上的动点，当的周长最小时，求点的坐标． （3）点是折线段的动点（包括端点），若直线是点的伴随直线，当直线与有且仅有两个公共点时，请直接写出点的横坐标的取值范围． 【核心考点六 一次函数中的翻折模型】 1．（23-24八年级下·江苏宿迁·阶段练习）如图，四边形是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，为原点，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，，，在边上取一点，将纸片沿翻折，使点落在边上的点处． (1)求点E的坐标； (2)设，写出y关于x的函数表达式，并指出是不是y关于x的一次函数． 2．如图，长方形，以O为坐标原点，、分别在x轴、y轴上，点A的坐标为，点B的坐标为，点E是边上一点，如把长方形沿翻折后，C点恰好落在x轴上点F处． (1)求点F的坐标； (2)求线段所在直线的解析式． 3．如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线与直线交于点，与x轴分别交于点和点C．点D为线段上一动点，将沿直线翻折得到，线段交x轴于点F． (1)填空：___________，___________，___________； (2)求的面积； (3)当点E落在y轴上时，求点E的坐标． 4．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴相交于、两点，点在线段上，以为直角边作等腰直角，，点恰好落在直线上． (1)求k、b的值； (2)求点D的坐标； (3)若将沿直线翻折到直角坐标系平面得，求过点且与直线平行的直线的解析式． 5．（2024·江苏无锡·二模）如图，在平面直角坐标系中有两点，请在x轴上找一点C，将沿翻折，使点B的对应点D恰好落在x轴上．    (1)利用无刻度的直尺和圆规在图中找出所有符合条件的点C；（不写作法，保留作图痕迹） (2)若点A的坐标为，点B的坐标为，请直接写出点C的坐标． 6．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）已知，在如图所示的网格中建立平面直角坐标系后，三个顶点的坐标分别为． (1)画出关于y轴的对称图形； (2)借助图中的网格，请只用直尺（不含刻度）完成以下要求：在x轴上画出一点Q，使得的周长最小，则Q点的坐标_______； (3)再把向下平移3个单位得到．若内有一点，则点P经上述翻折、平移后得到的点的坐标是_______． 【核心考点七 一次函数中的旋转模型（45度等）】 1．（2024八年级下·全国·专题练习）如图1，已知直线交x轴于点A，交轴y于点B，直线交x轴于点C，交y轴于点D，交直线l1于点E． (1)求点A的坐标； (2)若点B为线段的中点，求证：； (3)如图2，已知，将线段绕点P逆时针方向旋转至，连接，求证：点F在某条直线上运动，并求的最小值． 2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=2x－3的图象分别交x轴，y轴于点A、B，将直线AB绕点B顺时针方向旋转45°，交x轴于点C，求直线BC的函数表达式． 3．（1）探索发现：如图1，已知中，，，直线l过点C，过点A作，过点B作，垂足分别为D、E．求证：． （2）迁移应用：如图2，将一块等腰直角的三角板放在平面直角坐标系内，三角板的一个锐角的顶点与坐标原点O重合，另两个顶点均落在第一象限内，已知点N的坐标为，求点M的坐标． （3）拓展应用：如图3，在平面直角坐标系内，已知直线与y轴交于点P，与x轴交于点Q，将直线绕P点沿逆时针方向旋转后，所得的直线交x轴于点R．求点R的坐标． 4．如图，直线与、轴分别交于点、．为轴上的动点，连接，将线段绕点按顺时针方向旋转，得到线段，连接． (1)求直线对应的函数表达式； (2)当点坐标为时，在轴上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)连接．则的最小值为　　　　　　　（直接写结果） 5．（22-23八年级下·陕西西安·阶段练习）我们知道，平移、翻折、旋转是3种基本的图形运动．你能求出将直线平移、旋转后对应的函数表达式吗？    (1)将一次函数的图象沿着轴向下平移3个单位长度，所得到的图象对应的函数表达式为________； (2)如图，一次函数的图象与轴的交点为点，将直线绕点A逆时针旋转，求所得的图象对应的函数表达式． 6．（23-24八年级下·吉林延边·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、．将绕点顺时针方向旋转得到，点的对应点为点，点落在一个反比例函数的图象上． (1)点A的坐标为 ，点B的坐标为 ； (2)求该反比例函数解析式； (3)将绕点逆时针方向旋转得到，点的对应点为点，点 　　（填“在”或者“不在”）该反比例函数图象上． 【核心考点八 一次函数中的平移模型】 1．（23-24八年级下·山东临沂·阶段练习）在平面直角坐标系中，点是直线上一点，点向上平移5个单位长度得到点． (1)求点的坐标； (2)若一次函数与线段有公共点，结合函数图象，求的取值范围． 2．（23-24八年级下·福建厦门·期末）在平面直角坐标系xOy中，正方形的顶点，，点B在点A的右侧，点C，点D在的下方． (1)直接写出的长度（用含m的式子表示）； (2)若三角形的面积为3． ①求m的值； ②在平面直角坐标系中，二元一次方程的图象都是一条直线，直线上每个点的坐标（x，y）都是这个方程的一个解．记二元一次方程（）的图象为直线l，直线l与正方形的边，分别交于点E，点F，如图所示，且三角形的面积为．现将正方形进行平移，使得直线l与正方形的边分别交于点P，点Q，在平移过程中，是否存在三角形的面积也为的情形？若存在，请探究如何平移；若不存在，请说明理由． 3．（23-24八年级下·陕西安康·期末）如图，在平面直角坐标系中，将直线向下平移2个单位长度得到直线l，且直线l与x轴、y轴分别交于A，B两点． (1)求直线l的解析式及点A，B的坐标． (2)M是x轴上的一个动点，要使以A，B，M为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形，请求出符合条件的所有点M的坐标． 4．（23-24八年级下·黑龙江大庆·期末）如图，在矩形中；点为坐标原点，点，点、在坐标轴上，点在边上，直线交轴于点.对于坐标平面内的直线，先将该直线向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，这种直线运动称为直线的斜平移.现将直线经过2次斜平移，得到直线. (1)求直线与两坐标轴围成的面积； (2)求直线与的交点坐标； (3)在第一象限内，在直线上是否存在一点，使得是等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由. 5．（2025·甘肃·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数（）的图象交于点，，与x轴，y轴分别交于C，D两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)若点P在y轴上，当的周长最小时，请直接写出点P的坐标； (3)将直线向下平移a个单位长度后与x轴，y轴分别交于E，F两点，当时，求a的值． 6．（24-25八年级下·广东佛山·阶段练习）（1）【提出问题】将一次函数的图象沿着y轴向下平移3个单位长度，所得图象对应的函数表达式为 ； （2）【初步思考】将一次函数的图象沿着x轴向左平移3个单位长度，求所得图象对应的函数表达式．数学活动小组发现，图象的平移就是点的平移，因此，只需要在图象上任取两点，，将它们沿着x轴向左平移3个单位长度，得到点，的坐标分别为 ，从而求出经过点，的直线对应的函数表达式为 ； （3）【深度思考】 已知一次函数的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B． ①将一次函数的图象关于x轴对称，求所得图象对应的函数表达式； ②如图①，将直线绕点A逆时针旋转，求所得图象对应的函数表达式； ③如图②，将直线绕点A逆时针旋转，求所得图象对应的函数表达式． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12讲 一次函数与常见几何模型专项训练 题型一 一次函数中的面积计算 题型二 一次函数中的动点问题 题型三 一次函数中的最值问题 题型四 一次函数中的存在性问题 题型五 一次函数中的新定义问题 题型六 一次函数中的翻折模型 题型七 一次函数中的旋转模型（45度等） 题型八 一次函数中的平移模型 【核心考点一 一次函数中的面积计算】 1．（24-25八年级下·上海嘉定·阶段练习）如图：已知一次函数的图象经过点和点． (1)求一次函数解析式； (2)求面积． 【答案】(1) (2)3 【分析】本题主要考查待定系数法求解析式，一次函数与图形面积的计算，掌握一次函数图象的性质是解题的关键． （1）运用待定系数法求解析式即可； （2）根据图示，，由此即可求解． 【详解】（1）解：设一次函数解析式为，图象经过点和点， ∴， 解得，， ∴一次函数解析式为； （2）解：， ∴． 2．（24-25八年级下·上海嘉定·期中）如图，在平面直角坐标系中直线m：与直线n：交于点，直线m、n分别与x轴交于点B、C，其中点． (1)求直线m对应的函数表达式； (2)求的面积； (3)直接写出不等式的解集． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，根据两直线的交点求不等式的解集，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． （1）利用待定系数法求一次函数解析式即可得到答案； （2）先求出点坐标，然后利用三角形面积公式解题即可； （3）直接利用图象法求解即可． 【详解】（1）解：把点  代入，则 ， 解得 ， 所以，直线m对应的函数表达式为； （2）把代入，则 ， 解得 ， 则， ∴， ∴， 答：的面积为18； （3）由图象可知：不等式的解集为． 3．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，直线与x轴、y轴分别相交于点E、F．点E的坐标为，点A的坐标为．点是直线上的一个动点． (1)求k的值； (2)当点在第二象限时， ①试写出的面积S与x的函数关系式； ②当的面积是10时，求此时P点的坐标． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查了一次函数解析式，一次函数与几何综合． （1）利用待定系数法求解即可； （2）①由（1）得：直线的解析式为，求出，根据，计算求解即可； ②当时，则，解得，，进而可得P点的坐标． 【详解】（1）解：将代入，得， 解得，； （2）解：①由（1）得：直线解析式为， ∵， ∴， ∵点是直线上的一个动点，且点在第二象限， ∴且， ∴， ∴； ②解：当时，则， 解得，， ∴， ∴P点的坐标为． 4．（24-25八年级下·全国·期末）如图，是经过某种变换后得到的图形，分别观察点与点，点与点，点与点的坐标之间的关系． (1)若三角形内任意一点的坐标为，点M经过这种变换后得到点N，根据你的发现，点N的坐标为 ． (2)若三角形先向上平移3个单位，再向右平移4个单位得到三角形，画出三角形，并求三角形的面积． (3)直接写出与y轴交点的坐标 ． 【答案】(1) (2)画图见解析； (3) 【分析】此题主要考查图形的中心对称和平移、求一次函数解析式，牢记图形中心对称的性质和图形平移的性质是解题的关键． （1）两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反． （2）由其三个顶点确定，根据图形平移的方向和距离，先确定三个顶点平移后的对应点，依次连接对应点即可求得答案． （3）采用待定系数法求得直线的解析式，进而可求得答案． 【详解】（1）解：∵点与点关于原点对称， ∴点的坐标为． 故答案为：． （2）解：如图所以，由其三个顶点确定，根据图形平移的方向和距离，三个顶点平移后的对应点分别为，，，依次连接，，，即为所求． ． （3）解：设直线的解析式为． 因为的图象经过点，，则 解得 ∴直线解析式为． 当时，，即与轴交点的坐标为． 故答案为：． 5．（24-25八年级下·全国·期末）如图，直线过点，且与轴交于点，与轴交于点． (1)求直线的函数表达式及点的坐标； (2)如图，作直线，点P在直线上，当的面积为面积的倍时，求点的坐标； (3)如图，点为第二象限内的一点，连接，以为边在的左侧作等边，当，时，求线段的长． 【答案】(1)，； (2)或； (3) 【分析】（）由待定系数法求出函数表达式，进而求解； （）取，过点作直线，则的面积为面积的倍，在的上方取，过点作，则此时的面积为 面积的倍，即可求解； （）证明，得到，则，则 ，即可求解． 【详解】（1）解：设的表达式为：， 将点的坐标代入上式得：，则， 则直线的表达式为：， 令，则，即点； （2）解：由点的坐标得，直线的表达式为：， 取，过点作直线， 则的面积为面积的倍，则点， 则直线的表达式为：， 在的上方取，过点作， 则此时的面积为面积的倍，则点， 则直线的表达式为：， 分别将和的表达式和联立得：或， 解得：或， 则点或； （3）解：在上截取，连接，作轴于点，设交于点， ∵，则为等边三角形， ∵为等边三角形，则， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 则，，， 则， ∵，， ∴， 则，则， 则，则， 则． 【点睛】本题考查了一次函数性质，三角形全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，平行线的性质，面积的计算，掌握知识点的应用和分类求解是解题的关键． 6．（24-25八年级下·上海奉贤·阶段练习）如图1，已知直线与坐标轴交于、两点，直线与轴交于点，且两直线交于点，点坐标为． (1)求出值． (2)如图2，连接，求出的面积． (3)在（2）的前提下，平面内是否存在一点，使得与面积相等？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． (4)如图3，已知点，点在轴的负半轴上运动，连接，与直线交于点，与直线交于点，当与面积相等时，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)存在，的值为或 (4) 【分析】本题主要考查了求一次函数的解析式及一次函数的性质，坐标系中求三角形面积，已知三角形之间的面积关系求点的坐标，解题的关键是运用分类讨论思想． （1）把代入求出点坐标，把代入求出值即可； （2）根据两直线解析式分别求出点、、坐标，即可得出，根据，结合三角形面积公式即可得答案； （3）在点下方轴上取点，使，过点、分别作，，根据平行线间的距离相等得出、到的距离与点到的距离相等，根据两条平行线的值相等分别求出、的解析式，代入求出的值即可； （4）根据与面积相等得出，根据，，，，结合三角形面积公式求出点横坐标，代入即可得答案． 【详解】（1）解：∵点坐标为，点在直线上， ∴，即， ∵点在直线上， ∴， 解得：． （2）解：∵， ∴， ∴当时，，当时，， ∴，， 在中，当时，， ∴， ∴， ∴． （3）解：∵， ∴在点下方轴上取点，使， ∴ 过点、分别作，， ∴、，到的距离与点到的距离相等， ∴与面积相等， ∵，直线的解析式为， ∴设直线的解析式为， 把代入得：， ∴， 把代入得：， 解得：， 同理可得：直线的解析式为， 把代入得：， 解得：， 综上所述：存在点，使与面积相等，的值为或． （4）解：∵与面积相等， ∴，即， ∵，，，， ∴，即， ∵点在轴的负半轴上运动， ∴， 把代入得：， ∴． 【核心考点二 一次函数中的动点问题】 1．（23-24八年级下·上海长宁·阶段练习）如图，A为直线上一点，轴于点C，交直线于点B． (1)若点A的坐标为，，求k的值； (2)若，当点A在第一象限内直线上运动时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合： （1）先求出，进而求出，则，进一步得到，据此求出点B的坐标，即可利用待定系数法求出对应的函数解析式； （2）设，则，可得，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵点A的坐标为，轴 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：设， ∵， ∴直线解析式为， ∴， ∴， ∴． 2．（23-24八年级下·上海宝山·期末）如图，在中，，，．动点从点出发，沿着折线运动（点不与点重合）．设点运动的路程为，的面积为． (1)请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)请结合你所画的函数图象，直接写出当时的值． 【答案】(1) (2)图像见详解，性质：当时，y随着x的增大而增大（答案不唯一） (3)1或4 【分析】（1）分类讨论，表示出底和高，直接求解即可； （2）画出正比例函数和一次函数的图像，找出两点，连接即可，注意端点是空心，性质可以写正比例函数和一次函数的性质即可； （3）从图像直接观察即可求解． 【详解】（1）解：如图：当， 如图：当时， ∴， 综上所述：； （2）解：函数的图象为， 一条性质：当时，y随着x的增大而增大（答案不唯一）； （3）解：观察图象可得时或． 【点睛】本题考查了求函数解析式的求解，画函数图像，已知函数值求自变量的值，正比例函数和一次函数的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 3．（23-24八年级下·上海金山·阶段练习）如图，直线与轴，轴分别交于两点，点的坐标为，点的坐标为：    (1)直线所表示的一次函数的解析式为______； (2)若点是第一象限内的直线上的一个动点，当点运动时，设的面积为S，用含x的式子表示S，写出x的取值范围，画出函数S的图象． (3)在（2）的条件下，的面积能大于12吗？请说明理由． 【答案】(1)； (2)，图见解析 (3)不能，理由见解析 【分析】本题考查了一次函数的性质、待定系数法求函数解析式以及三角形的面积公式，解决该题型题目时，结合一次函数的性质解决问题是关键． （1）由待定系数法即可求解． （2）由，进而求解； （3）由，即可求解． 【详解】（1）解：点在直线的图象上， ，， 直线的解析式为． 故答案为：； （2）解：令中的， 则有，解得：． 点的坐标为，． ， 即， 当时，，当时，， 将上述两个点描点连线绘制函数图象如下：   ； （3）解：不能，理由： ， 解得：， 不符合题意， 故的面积不能大于12． 4．（24-25八年级下·上海闵行·期中）如图，在矩形中，，，点为边上的中点．动点从点出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度向点运动，到点时停止．设运动的时间为秒，记为． (1)请直接写出关于的函数表达式以及对应的的取值范围（）； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)函数与的图象有且仅有2个交点，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了一次函数的应用，正确求出函数解析式，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）分两种情况：当点在上运动时，即时，当点在上运动时，即时，分别利用三角形面积公式计算即可得解； （2）根据（1）中所求的解析式画出图象即可得解； （3）画出图象，采用数形结合的解法求解． 【详解】（1）解：当点在上运动时，即时，，则，此时， 当点在上运动时，即时，，则， ∵点为边上的中点， ∴， ∴； 综上所述：； （2）解：画出函数图象如图所示： ， 由图象可得：性质：当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大； （3）解：函数恒过， 如图： ， ∵函数与的图象有且仅有2个交点， ∴直线一定在和之间， 将代入函数得：， ∴， 将代入函数得：， ∴， ∴． 5．（24-25八年级下·上海青浦·期中）如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点，长方形的顶点分别在轴与轴上，已知．点为轴上一点，其坐标为，点从点出发以每秒2个单位的速度沿线段的方向运动，当点与点重合时停止运动，运动时间为秒．    (1)当点经过点时，求直线的函数解析式； (2)求的面积关于的函数解析式； (3)点在运动过程中是否存在使为等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点P坐标为或或 【分析】（1）先利用长方形的性质求出点C的坐标，再利用待定系数法求的函数解析式； （2）分点P在上和点P在上两种情况，根据三角形面积公式列分段函数； （3）分，，三种情况，利用等腰三角形的性质、勾股定理、矩形的性质分别求解． 【详解】（1）解：长方形的顶点分别在轴与轴上，， ，，， 设直线的函数解析式为， 将，代入，得：， 解得， 直线的函数解析式为； （2）解：当点P在上时，，即， ，边上高为6， ； 当点P在上时，，即， ，边上高为， ， 的面积关于的函数解析式为； （3）解：存在，， 满足条件的点在上， 若为等腰三角形，分三种情况考虑： 当时，      在中，，， ， ， ； 当时，过点P作于点Q，     ， ， ； 当时，过点D作于点E，      在中，， ， ， ， 综上可知，满足条件的P点坐标为或或． 【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，化为最简二次根式等，解题的关键是熟练运用分类讨论思想． 6．（23-24八年级下·上海虹口·期中）如图，直线与坐标轴分别交于A、B两点，，点在直线上，动点P从O点出友，沿X轴正方向以每秒2个单位长度的速度运动． (1)A点的坐标为_______；B点的坐标为________； (2)直线的函数解析式； (3)设点P的运动时间为t秒，的面积为S，求S与t之间的函数关系式：并求出当时点P的坐标． (4)x轴正半轴上是否存在一点P，使为等腰三角形？若存在，请求出满足条件的所有P点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)， (4)存在，，， 【分析】本题考查一次函数的实际应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键： （1）根据，结合点的位置，直接写出点的坐标即可； （2）待定系数法求出函数解析式即可； （3）根据的面积，列出函数解析式，再求出时，的值，进而求出点P的坐标即可； （4）先求出点坐标，进而求出的长，设，分三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵直线与坐标轴分别交于A、B两点，， ∴； （2）把代入，得： ，解的：， ∴； （3）由题意，得：， 当时，点在线段上， ∴， ∴的面积为， 当时，，解得：， ∴， ∴． （4）∵，把，代入，得：， ∴， ∴， 设， 当为等腰三角形时，分三种情况： ①，则：； ②当时，则：，解得：， ∴， ∴； ③当时，过点作轴，则：， ∴； 综上：，，． 【核心考点三 一次函数中的最值问题】 1．（23-24八年级下·上海嘉定·阶段练习）“互联网+”让我国经济更具活力，直播助销就是运用“互联网+”的销售方式，让大山深处的农产品远销全国各地.若要对某地特色花生与茶叶两种产品助销，已知每千克花生的售价比每千克茶叶的售价低40元，销售50千克花生与销售10千克茶叶的总售价相同． (1)求每千克花生、茶叶的售价； (2)已知花生的成本为6元/千克，茶叶的成本为36元/千克，计划两种产品共助销800千克，若花生销售数量不低于茶叶销售数量，设花生和茶叶的销售总利润为元，求的最大值． 【答案】(1)每千克花生10元，每千克茶叶50元； (2)当花生销售400千克，茶叶销售400千克时利润最大，w的最大值为7200． 【分析】本题考查一次函数的性质和一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和函数关系式． （1）设每千克花生x元，每千克茶叶元，，列出一元一次方程求解即可； （2）设花生销售m千克，茶叶销售千克，花生销售数量不低于茶叶销售数量，求出m的取值范围，再根据利润之和求出函数解析式，根据函数的性质求最大值． 【详解】（1）解：设每千克花生x元，每千克茶叶元， 根据题意得：， 解得：， （元）， 答：每千克花生10元，每千克茶叶50元； （2）解：设花生销售m千克，茶叶销售千克，利润w元， 由题意得：， ∵， ∴w随m的增大而减小， ∵花生销售数量不低于茶叶销售数量 ∴ ∵， ∴当时，利润w最大， 此时花生销售400千克，茶叶销售（千克）， w最大（元）， ∴当花生销售400千克，茶叶销售400千克时利润最大，w的最大值为7200． 2．（22-23八年级下·上海徐汇·期末）如图，直线与轴，轴分别交于点，，点的坐标为，点的坐标为，点是线段上的一个动点．    (1)求的值； (2)求点在运动过程中的面积与的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)求面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3)最大值为 【分析】（1）将点坐标代入解析式可求的值； （2）由点在直线上可得点坐标，由三角形面积公式可求与的函数关系式； （3）根据（2）中解析式，点的横坐标取值范围即可求面积的最大值． 【详解】（1）解：直线过点， ， ； （2）解：∵点的坐标为， ∴， 点在直线上， 点， ， ， 点在线段上的一个动点， ； （3）解：点是线段上的一个动点，，且， ∴y随x的增大而增大， ∴当时，有最大值，最大值为． 【点睛】本题考查了一次函数图象点的坐标特征，待定系数法求函数解析式，利用点在直线上得出点的坐标，利用三角形的面积公式是求函数关系式的关键． 3．（24-25八年级下·上海静安·阶段练习）如图，直线与y轴交于点A，与x轴交于点B，点C、D在直线（直线上所有点的横坐标均为2）上，且． (1)求A、B两点坐标； (2)四边形的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在说明理由． 【答案】(1) (2)11 【分析】此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，平移的性质，轴对称的性质及勾股定理，用平移的思想解决问题是就本题的关键． （1）根据坐标轴上点的特点即可得出结论； （2）将点向下平移个单位到点，作出点O关于直线的对称点，连接，，当点三点在同一直线上时，此时四边形的周长最小，据此求解即可． 【详解】（1）解：在一次函数中，令时，， ， 令时，， ， ； （2）解：如图，将点向下平移个单位到点，作出点O关于直线的对称点，连接，，当点三点在同一直线上时，此时四边形的周长最小， 由作图可得 点O关于直线的对称点， ， ， 四边形的周长最小值 4．（23-24八年级下·上海嘉定·阶段练习）用函数方法研究动点到定点的距离问题． 在研究一个动点到定点的距离时，小明发现： 与的函数关系为，并画出图象如图： 借助小明的研究经验，解决下列问题： (1)写出动点到定点的距离的函数表达式，并求当取何值时，取最小值？ (2)设动点到两个定点、的距离和为．写出与的函数表达式，结合函数图像，说出随着增大，怎样变化？ 【答案】(1)；当时，的最小值为0 (2)当时，随增大而减小；当时，是一个固定的值；当时，随增大而增大 【分析】本题考查了函数的图象、分段函数关系式、函数值、函数的表示方法，解决本题的关键是借助小明的研究经验．（1）借助小明的研究经验即可写出动点到定点的距离的函数表达式，并求出x取何值时，取最小值；（2）根据动点到两个定点、的距离和为．可以写成函数关系式．根据函数关系式即可得随着增大，的变化情况； 【详解】（1）解：（1）；当时，的最小值为0． （2）图象如图： 由题意得|，根据绝对值的意义， 可转化为， 当时，随增大而减小； 当时，是一个固定的值； 当时，随增大而增大． 5．（23-24八年级下·上海黄埔·阶段练习）（1）【感知】如图1，在平面直角坐标系中，点C的坐标为，点A的坐标为，将线段绕着点C按逆时针方向旋转至线段，过点B作轴，垂足为M，易知，得到点B的坐标为___________； （2）【探究】如图2，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点C的坐标为，将线段绕着点C按逆时针方向旋转至线段，求点B的坐标；（用含m的代数式表示） （3）【拓展】如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点C在y轴上，将线段绕着点C按逆时针方向旋转至线段，连接，，则的最小值为__________． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据点的坐标可得，，证明，求出，，然后可得答案； （2）过点B作轴，垂足为M，同（1）可得，，然后可得答案； （3）作于H．由（2）知，点，求出，可得的最小值相当于在直线上寻找一点，使得点P到，到的距离和最小，然后作点F关于直线的对称点，利用轴对称的性质求解即可． 【详解】解：（1）∵点C的坐标为，点A的坐标为， ∴，， ∵轴， ， ． 线段绕着点按逆时针方向旋转至线段， ． ． ． ， ∴， ∴，， ∴， ∴点B的坐标为， 故答案为：； （2）如图2，过点B作轴，垂足为M， 由（1）知， ∵点C的坐标为，点A的坐标为， ∴，， ∴，， ∴， ∴点B的坐标为； （3）如图，作于H． 设点C的坐标为， 由（2）知：点， ∴， ∴的值相当于点到点和点的距离和， ∴的最小值相当于在直线上寻找一点，使得点P到，到的距离和最小， 作点F关于直线的对称点，则， 而， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了坐标与图形性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，轴对称的性质，一次函数的应用等知识，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 6．（2024·上海普陀·二模）如图所示，在平面直角坐标系中，已知、两点是一次函数和反比例函数图像的两个交点，直线AB与x轴交于点C． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)观察图像，直接写出不等式的解集； (3)在y轴上取一点P，使的值最大，并求出的最大值及点P的坐标． 【答案】(1)一次函数解析式为，反比例函数解析式为； (2)或； (3)的最大值，P点的坐标为． 【分析】（1）直接用待定系数法即可求解； （2）由点、，结合图象即可求解； （3）由一次函数与y轴的交点为，可得的值最大，最大值即为的长度，再利用勾股定理求解即可． 本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，勾股定理，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】（1）解：把代入， 得，则反比例函数解析式为，   把代入， 得，解得，则B点坐标为，    把、代入得， ， 解得：， 则一次函数解析式为． （2）解：∵点、， ∴由图可得，不等式解集范围是：或 ，    （3）解：一次函数解析式为，令，则， ∴一次函数与y轴的交点为，    此时，的值最大，最大值即为的长度，过点A作轴于点D，直线与x轴的交点为C，在中，令，则，即直线与x轴交于点， ∵， ∴，， ∴ ∴的最大值，P点的坐标为． 【核心考点四 一次函数中的存在性问题】 1．（22-23八年级下上海嘉定·期末）已知关于的一次函数且，其图象交轴于点，交轴于点．为坐标系的原点） (1)若，求这时m的值； (2)对于的任意值，该函数图象必过一定点，请求出定点的坐标； (3)是否存在m的值，使的面积为8？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或4 (2) (3)存在，或或 【分析】（1），即可求解； （2），即可求解； （3），即可求解． 本题考查了一次函数的性质，涉及过定点的直线，解答此题的关键是熟知一次函数图象上点的坐标特点，可用取特殊值的方法求定点坐标，以简化计算． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：或4； （2）解：依题意，， 当时，， 故定点坐标为； （3）解：存在，理由： ，， ， 解得：或或． 2．（23-24八年级下·上海闵行·期中）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)求A，B两点的坐标； (2)已知在x轴上存在一点P，使得的面积为5，则点P的坐标为 ． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题主要考查了求出一次函数图象与x轴和y轴的交点，直线围成的三角形面积，解题的关键是数形结合，注意分类讨论． （1）根据一次函数解析式分别求出点A、B的坐标即可； （2）根据的面积为5，得出，求出，根据A点坐标为，求出点P的坐标即可． 【详解】（1）解：把代入得：， 解得：， ∴； 把代入得：， ∴； （2）解：∵的面积为5， ∴， 又∵， ∴． ∵A点坐标为， ∴点P的坐标为或． 故答案为：或． 3．（23-24八年级下·上海奉贤·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点A，C在坐标轴上，反比例函数在第一象限内的图象分别与交于点和点E，且D为的中点． (1)求反比例函数的解析式和点E的坐标； (2)若一次函数与反比例函数在第一象限内的图象相交于点D、E两点，直接写出不等式的解集． (3)x轴上是否存在点P使得为等腰三角形，若存在，求出点P的坐标，如不存在请说明理由； 【答案】(1)， (2)或 (3)存在点，坐标为或或或 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数与反比例函数综合，矩形的性质等等，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）根据矩形的性质得到，再由是的中点得到，从而得到点E的纵坐标为2，利用待定系数法求出反比例函数解析式，进而求出点E的坐标即可； （2）根据一次函数与反比例函数图像求解即可． （3）分情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：四边形是矩形，点在坐标轴上， 轴，轴． ，且为的中点， ∴点的纵坐标为2． 反比例函数的图象过和点， ∴反比例函数的解析式为 把代入，得 （2）解：由图像可得，当 或时，， 故的解集为或． （3）解：存在，理由如下： 设点，由题可知 ①当时，则 解得． ②当时，则 解得，或 当时，三点共线，不能构成三角形，所以（舍） ③当时，则 解得，或 或 综上所述：存在点，且坐标为或或或． 4．（23-24八年级下·上海松江·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线：分别与x轴，y轴交于A，B两点，点C为x轴正半轴上一点，且，直线过点C且与y轴交于点D，与直线l1交于第二象限内的点E，已知点E到x轴的距离为． (1)求点D的坐标； (2)如图2，在直线上存在一点M，使，求出点M的坐标； (3)如图3，将绕点O逆时针旋转得到，点P为直线上一动点，点Q为x轴上一动点，连接，，，当为以为腰的等腰直角三角形时，直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)点P的坐标为：或或或． 【分析】（1）先用直线以及，求出点E和点C的坐标，再用待定系数法求出直线的解析式，进而求出点D的坐标； （2）过点E作直线交轴于点H，在点H的上方(下方)取点L或(N)，使或，过点L或N作直线，直线交于点，则点为所求点进而求解； （3）当为直角时，则，存在点Q在的左侧和右侧两种情况，证明，得到和，即可求解；当为直角时，同理可解． 【详解】（1）解：直线∶， 令，则， 令，则， 即点A、B的坐标分别为、， 当时，即， 解得∶，即点； ∵， ∴点， 设直线的解析式为， 由点C、E的坐标得∶，解得， 直线的解析式为∶， 令，则， 即点． （2）由点A、D的坐标得，直线的解析式为：， ∵， ∴以为底是高的， 过点E作直线交轴于点H，在点H的上方(下方)取点L或(N)，使或，过点L或N作直线，直线交于点，则点为所求点，如下图： 将直线向上平移a各单位得，经过点，则直线m的解析式为：， 则点， 则， 则， 则点， 同理可得，点， 则直线的解析式为：， 直线n的解析式为：， 联立直线l的解析式和直线的解析式得：， 解得：， 则点， 同理可得：点． 综上，点或 （3）旋转后点、的坐标分别为、， 点、的坐标得，直线的解析式为∶， 设点，点 当为直角时，则，存在点Q在的左侧和右侧两种情况，如下图： 当点Q在的右侧(左侧)时，过点Q作轴，交过点E与轴的平行线于点M，交过点P与t轴的平行线于点N， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 则且， 即且， 解得∶或， 即点P的坐标为∶或 当为直角时，则，存在点Q在的左侧和右侧两种情况， 同理可得∶， 即， 解得∶或， 即点P的坐标为∶或， 综上，点P的坐标为：或或或． 【点睛】本题考查了一次函数综合运用，涉及到一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、三角形旋转变换、全等三角形的判定和性质及等腰三角形的存在性，解题的关键是将代数问题转化为几何的距离和分类讨论思想的应用． 5．（22-23八年级下·上海青浦·期中）如图，已知反比例函数与一次函数的图象交于，两点，直线分别与轴、轴交于点，． (1)______，______，______． (2)若是轴的正半轴上一动点，过点作轴的垂线，分别与一次函数和反比例函数的图象交于点，，设的长为，求与之间的函数关系式． (3)在第二象限内是否存在点，使得是等腰直角三角形，且点不是直角顶点？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)8；；3 (2)当时，；当时，； (3)或 【分析】本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键． （1）将点A，B坐标代入反比例函数解析式中求出a，m，得出反比例函数解析式和点A，B坐标，最后将点A，B坐标代入直线的解析式求解，即可求出一次函数解析式； （2）由题意得，，，得出，，分两种情况得出答案； （3）先求出，，再分两种情况，利用三垂线构造全等三角形求解，即可求出答案． 【详解】（1）反比例函数的图象经过，两点， ，， ，，反比例函数解析式是， 把，分别代入得， ， 解得：， 故答案为：，，； （2）由（1）知，一次函数解析式为， 由题意得，，， ，， 当时，； 当时，； （3）在第二象限内存在点Q，使得是等腰直角三角形，且点Q不是直角顶点；理由如下： 由（1）知，直线的解析式为， 令，则， 令，则， ∴， ∴，， ∴，，如图， ∵是等腰直角三角形， ∴①当时，， 过点Q作轴于H， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； ②当时，同①的方法得，； 即满足条件的点Q的坐标为或． 6．（24-25八年级下·上海徐汇·阶段练习）在平面直角坐标系中，如果一个点到两坐标轴的距离相等，那么这个点称为“等距点”，例如，，，都称为“等距点”． (1)如图1，点，线段的垂直平分线l上在第一象限内的“等距点”P的坐标为________． (2)如图2，点，点B是第一象限内的“等距点”，若点Q是第四象限内的“等距点”，是否存在点Q，使直线把分成面积之比为的两部分？若存在，请求出Q点坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图3，点，点，点D是坐标系内与原点O不重合的“等距点”，连接，，当时，求“等距点”D的坐标． 【答案】(1) (2)存在，或 (3)或 【分析】本题考查了坐标与图形，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是： （1）根据新定义和线段的垂直平分线的性质等求解即可； （2）分经过；经过两种情况讨论即可； （3）分点D在直线上；点D在直线上两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵点， ∴线段的垂直平分线l上在第一象限内的“等距点”P的坐标为， 故答案为：； （2）解∶设交于点P， ∵将的面积分为的两部分， ∴点P经过或． ∵点Q在第四象限， ∴点Q在直线上， ①当经过时，， 联立，解得 ∴Q的坐标为； ②当经过时，点Q在直线上， 联立，解得 ∴Q的坐标为， 综上，Q的坐标为或； （3）解∶①当点D在直线上时，过点D作轴，轴， 则， ∵， ∴， ∵点D是等距点， ∴， ∴， ∴， 设点，则，， ∴，解得， ∴点D的坐标为； 同理②当点D在直线上时 ∴， 设点，则，， ∴，解得， ∴点D的坐标为， 综上，点D的坐标为或． 【核心考点五 一次函数中的新定义问题】 1．（23-24八年级下·上海崇明·期中）新定义为一次函数（，a、b为实数）的“关联数”． (1)若“关联数”的一次函数为正比例函数，求k的值． (2)已知直角坐标系中点，点，求图象过A、B两点的一次函数的关联数． 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）根据“关联数”的概念和正比例函数的性质得到，进而求解即可； （2）利用待定系数法将，代入求出a，b的值，然后根据“关联数”的概念求解即可． 【详解】（1）∵“关联数”的一次函数为正比例函数， ∴ 解得； （2）∵将，代入 得， 解得 ∴图象过A、B两点的一次函数的关联数为． 【点睛】本题属于新定义和正比例函数的定义，待定系数法求一次函数解析式，解答的关键运用新定义和正比例函数的概念确定k的值． 2．（23-24八年级下·河北保定·期末）新定义：关于x的一次函数与叫做一对交换函数．例如：一次函数与就是一对交换函数． (1)一次函数的交换函数是 ； (2)一次函数的交换函数是 ； (3)当时，（2）中两个函数图象交点的横坐标是 ；若，求（2）中两个函数图象与y轴围成的三角形的面积． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质、三角形的面积等知识： （1）根据题目中的交换函数的定义进行求解，即可写出一次函数的交换函数； （2）根据题目中的交换函数的定义进行求解，即可写出一次函数的交换函数； （3）联立可得，可以求得当时，（2）中两个函数图象交点的横坐标；根据题意和（2）的结果，可以求得两函数图象与y轴的交点坐标，再利用三角形面积公式计算，即可． 【详解】（1）解：根据题意得：一次函数的交换函数是； 故答案为： （2）解：根据题意得：一次函数的交换函数是； 故答案为： （3）解：联立得：， 整理得：， ∵， ∴， 即当时，（2）中两个函数图象交点的横坐标是1； ∵， ∴两函数解析式分别为，， 对于，当时，， 对于，当时，， ∴两函数图象与y轴的交点坐标分别为为， ∴（2）中两个函数图象与y轴围成的三角形的面积为． 3．（22-23八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）定义运算：当时，；当时，；如：； (1) ______，当时， ______； (2)若，求x的取值范围； (3)如图，已知直线与相交于点，若，直接写出x的取值范围是_______． 【答案】(1)，x (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数与不等式以及新定义的理解： （1）直接根据新定义，即可求解； （2）直接根据新定义，可得，解出即可； （3）直接根据新定义，可得，再结合函数图象，即可求解． 【详解】（1）解：，当时，； 故答案为：，x； （2）解：∵， ∴， 解得：； （3）解：∵， ∴， ∵，， ∴， 由图象得：此时x的取值范围是， 故答案为：． 4．（24-25八年级下·湖南·阶段练习）新定义：对于一元二次方程，若根的判别式是一个整数或整式的平方，则此方程叫“美好方程”． (1)判断下列方程一定是“美好方程”是_______；（直接填序号） ①；②；③； (2)若关于的一元二次方程方程， ①证明：此方程一定是“美好方程”； ②设方程的两个实数根分别为，，是否存在实数，使得始终在函数的图象上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①③ (2)①证明见解析；②存在，的值为 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，解一元二次方程，一次函数图像上点的坐标特征，掌握一元二次方程的解法是解题关键． （1）先计算根的判别式，再判断完全平方数（式），即可得到答案； （2）①计算出根的判别式，即可证明结论；②利用因式分解法解一元二次方程，得到，，再根据一次函数图像上点的坐标特征，即可求出的值． 【详解】（1）解：①，，故符合题意； ②，，故不符合题意； ③，，故符合题意； 故选：①③． （2）解：①证明：， ， 此方程一定是“美好方程”． ②存在，理由如下： ， ，， 始终在函数的图象上， ， ， 即存在实数，使得始终在函数的图象上，的值为1． 5．（23-24八年级下·广东深圳·期中）阅读理解： 【新定义】对于线段和 点Q，定义：若，则称点Q为线段的“等距点”；特别地，若，则称点Q 是线段的“完美等距点”． 【解决问题】如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐标为，点是直线上一动点． (1)已知4个点：，以上这四个点中 是线段的“等距点” ， 是线段的“完美等距点”（填写大写字母）． (2)若点P 在第三象限，且，点H在y轴上，且H是线段的“等距点”，求点H的坐标； (3)当，是否存在这样的点N，使点N是线段的“等距点”且为线段的“完美等距点”，请直接写出所有这样的点P的坐标． 【答案】(1)B，C，E；B (2)H点的坐标为 (3)P点的坐标为或 【分析】本题是一次函数综合题，考查了新定义、等腰直角三角形的性质、两点之间的距离公式和勾股定理等知识，本题综合性强，灵活应用两点之间的距离公式和勾股定理是解题的关键． （1）依据两点之间的距离公式分别计算各点到O，A的距离，根据等距点和完美等距点做出判断； （2）设出H点的坐标，根据等距点的定义，利用两点之间的距离公式列出方程可得结论； （3）假定存在，设出N点的坐标，根据等距点的定义，利用两点之间的距离公式列出方程可得结论． 【详解】（1）∵， ∴ ∴B是线段的等距点； ∵， ∴ ∴C是线段的等距点； ∵， ∴ ∴D不是线段的等距点； ∵， ∴ ∴E是线段的等距点； ∵ ∴， ∴B是线段的完美等距点； （2）∵点是直线上一动点 ∴ ∴ ∴ ∵点P 在第三象限， ∴ 设H的坐标为 ∴ ∵ ∴，解得： ∴H的坐标为 （3）存在； ∵点N是线段的“等距点”， 点A 的坐标为， ∴ ∴设N的坐标为 ∵点是直线上一动点 ∴ ∴，， ∵点N为线段的“完美等距点”， ∴ ∴，解得 ∵点N为线段的“完美等距点”， ∴ ∴为等腰直角三角形 ∴ ∵， ∴，解得或 当时， 当时， ∴P点的坐标为或； 6．（23-24八年级下·北京·期中）新定义：在平面直角坐标系中，对于任意点，和直线，我们称直线为点的伴随直线，反之称点为直线的伴随点；特别的，直线（为常数）的伴随点为． 如图1，已知三个顶点的坐标分别为． （1）点的伴随直线的解析式为__________．（请直接写出答案） （2）若直线的伴随点是点，直线的伴随点是点，点为轴上的动点，当的周长最小时，求点的坐标． （3）点是折线段的动点（包括端点），若直线是点的伴随直线，当直线与有且仅有两个公共点时，请直接写出点的横坐标的取值范围． 【答案】（1）；（2）(，)；（3）或 【分析】(1)直接根据伴随点和伴随直线的定义可得结论； (2)利用待定系数法求得直线AB、BC的解析式，根据伴随点和伴随直线的定义可得D、E的坐标，再得到点D关于x轴的对称点的坐标，利用待定系数法求得直线的解析式，即可求解； (3)点P分别在线段AB→BC上讨论，根据直线与△ABC恰有两个公共点时，可得的取值范围． 【详解】解：(1)点A(，)的伴随直线的解析式为：； (2)设直线AB的解析式为， 把A(，)，B(，)的坐标代入得： ，解得：， ∴直线AB的解析式为，伴随点D的坐标是(，)， 设直线BC的解析式为， 把B(，)，C(，)的坐标代入得： ，解得：， ∴直线BC的解析式为，伴随点E的坐标是(，)， 作点D(，)关于轴的对称点，连接交轴于点F，此时DF+EF的值最小，由于DE是定值，所以的周长最小，如图： ∴点的坐标为(，)， 设直线的解析式为， 把E (，)，(，)的坐标代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 令，则， ∴点F的坐标是(，)； (3)①当P在线段AB上时，如图， ∵直线AB的解析式为， ∴设P(，)()，则伴随直线的解析式为：， 把B(1，5)代入得：，解得：， 当时，伴随直线的解析式为：， 当时，伴随直线的解析式为：， ∴当，直线与△ABC恰有两个公共点； ②当P在线段BC上时，如图， ∵直线BC的解析式为， ∴设P(，)(，则伴随直线的解析式为：， 把B(1，5)代入得：，解得：， 当时，伴随直线的解析式为：， 当时，伴随直线的解析式为：， ∴当，直线与△ABC恰有两个公共点； ∴； 综上，或． 【点睛】本题是一次函数与几何的综合题，也是有关伴随点和伴随直线的新定义问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征、理解新定义、利用待定系数法求一次函数的解析式，本题中理解伴随点和伴随直线的定义，正确进行分类讨论是解题的关键． 【核心考点六 一次函数中的翻折模型】 1．（23-24八年级下·江苏宿迁·阶段练习）如图，四边形是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，为原点，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，，，在边上取一点，将纸片沿翻折，使点落在边上的点处． (1)求点E的坐标； (2)设，写出y关于x的函数表达式，并指出是不是y关于x的一次函数． 【答案】(1) (2)，是关于x的一次函数 【分析】本题主要考查折叠的性质、勾股定理． （1）根据折叠的性质得到，在中利用勾股定理求得，据此即可求得点E的坐标； （2）由折叠得到，有，在中利用勾股定理列式，整理即可解． 【详解】（1）解：依题意可知，折痕是四边形的对称轴， 在中，，， 由勾股定理，得， 则， ∴； （2）解：在中，由勾股定理，得， 又∵，，， ∴， 整理得， 是关于x的一次函数． 2．如图，长方形，以O为坐标原点，、分别在x轴、y轴上，点A的坐标为，点B的坐标为，点E是边上一点，如把长方形沿翻折后，C点恰好落在x轴上点F处． (1)求点F的坐标； (2)求线段所在直线的解析式． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）由翻折可知， 矩形，点A的坐标为，点B的坐标为， ，再利用勾股定理求解，即可得到答案； （2）先利用勾股定理求解E的坐标，设直线所在直线的解析式为，再代入E，F的坐标可得，再解方程组即可． 【详解】（1）解：由翻折可知， 矩形，点A的坐标为，点B的坐标为， ∴ ， 在中，， ∴ ∴； （2）解：∵，， ∴， 设，则， ∴， 解得：， ∴， ∴， 设直线所在直线的解析式为， ∴， ∴． ∴所在直线的解析式为． 【点睛】本题考查的是坐标与图形，长方形的性质，折叠的性质，利用待定系数法求解一次函数的解析式，勾股定理的应用，利用折叠的性质得出是解本题的关键． 3．如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线与直线交于点，与x轴分别交于点和点C．点D为线段上一动点，将沿直线翻折得到，线段交x轴于点F． (1)填空：___________，___________，___________； (2)求的面积； (3)当点E落在y轴上时，求点E的坐标． 【答案】(1)，4，8 (2)20 (3) 【分析】（1）将点代入直线解析式即可求出k，将点代入直线解析式即可求出n，将点代入解析式即可求出点b； （2）先求出点， 进而得到，根据利用三角形面积公式即可求解； （3）过点A作轴于M，轴于N，则，由折叠得性质可得，根据勾股定理得到方程，解一元二次方程即可求解． 【详解】（1）解：将代入直线中，得， 解得， ∴直线的解析式为， 将点代入，得， ∴， 将点代入直线中，得， 解得． 故答案为：，4，8； （2）解：∵直线的解析式为， ∴当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴的面积为； （3）解：如图，过点A作轴于M，轴于N，则， 由折叠得性质可得， ∴， ∴， ∵， 解得， 又∵E在y轴负半轴， ∴． 【点睛】此题为一次函数与几何图形的综合知识，考查了待定系数法求函数解析式，一次函数与坐标轴交点，折叠的性质，，勾股定理，解一元二次方程等知识，熟知道各知识点并综合运用是解题的关键． 4．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴相交于、两点，点在线段上，以为直角边作等腰直角，，点恰好落在直线上． (1)求k、b的值； (2)求点D的坐标； (3)若将沿直线翻折到直角坐标系平面得，求过点且与直线平行的直线的解析式． 【答案】(1)， (2) (3)解析式为 ． 【分析】本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，两直线平行问题，等腰直角三角形的性质，翻折的性质等知识，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）将、两点代入即可求解； （2）过点作轴于点．设，根据可证明，可得，，由点恰好落在直线上即可求解； （3）连接交于，由翻折得，，根据等腰三角形的性质可得，可得，设过点且与直线平行的直线的解析式为，将代入即可求解． 【详解】（1）一次函数的图象与轴、轴相交于、两点， ， 解得， 即，； （2）过点作轴于点． 设， 是等腰直角三角形， ，， ，， ， ； ，， ， ，， 直线的解析式为， 点恰好落在直线上， ， 解得， ； （3）连接交于， 由翻折得，， 是等腰直角三角形， ， ，，， ， 设过点且与直线平行的直线的解析式为， 将代入得， 解得， 过点且与直线平行的直线的解析式为． 5．（2024·江苏无锡·二模）如图，在平面直角坐标系中有两点，请在x轴上找一点C，将沿翻折，使点B的对应点D恰好落在x轴上．    (1)利用无刻度的直尺和圆规在图中找出所有符合条件的点C；（不写作法，保留作图痕迹） (2)若点A的坐标为，点B的坐标为，请直接写出点C的坐标． 【答案】(1)详见解析 (2)或 【分析】（1）以A为圆心，为半径画圆交x轴于，作的平分线交x轴于，点即为所求； （2）求出直线的解析式，根据，再求出直线的解析式即可解决问题． 【详解】（1）如图，以A为圆心，为半径画圆交x轴于，作的平分线交x轴于，点即为所求．    （2）设满足条件的点D坐标为， ∵， ∴， ∴或， ∴， 设直线的解析式为， 则有， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵连接，设其中点为E， ∴， 设直线的解析式为， 则有， 解得：， ∴直线的解析式为， ∴，同法可得， 综上所述，满足条件的点C坐标为或． 【点睛】本题考查作图−轴对称变换，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建一次函数解决问题，属于中考常考题型． 6．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）已知，在如图所示的网格中建立平面直角坐标系后，三个顶点的坐标分别为． (1)画出关于y轴的对称图形； (2)借助图中的网格，请只用直尺（不含刻度）完成以下要求：在x轴上画出一点Q，使得的周长最小，则Q点的坐标_______； (3)再把向下平移3个单位得到．若内有一点，则点P经上述翻折、平移后得到的点的坐标是_______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析； (3) 【分析】（1）根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同找到A、B、C对应点的位置，再顺次连接即可； （2）作点A关于x轴的对称点G，连接交x轴于Q，则点Q即为所求； （3）根据上下平移纵坐标相加减，横坐标不变即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图，作点A关于x轴的对称点G，连接交x轴于Q，则点Q即为所求； 连接， 根据轴对称可知：， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即最小， ∵为定值， ∴最小，即的周长最小， 设直线的解析式为：， 把，代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为：， 把代入得：， 解得：， ∴点Q的坐标为； （3）解：∵把向下平移3个单位得到．内有一点， ∴点P经上述翻折、平移后得到的点的坐标是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称和平移，轴对称最短路径问题，求一次函数解析，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【核心考点七 一次函数中的旋转模型（45度等）】 1．（2024八年级下·全国·专题练习）如图1，已知直线交x轴于点A，交轴y于点B，直线交x轴于点C，交y轴于点D，交直线l1于点E． (1)求点A的坐标； (2)若点B为线段的中点，求证：； (3)如图2，已知，将线段绕点P逆时针方向旋转至，连接，求证：点F在某条直线上运动，并求的最小值． 【答案】(1)点 (2)见解析 (3)见解析，的最小值为：． 【分析】（1）令，即可求解； （2）由点，得到点，求出,得到，即可求解； （3）证明，得到点F的坐标为：，即可求解． 【详解】（1）令， 解得：， 则点 （2）证明：对于，令，则，则点， ∵点B为线段的中点，则点， 将点E的坐标代入得：， 解得：， 则直线 则点 由点A、C的坐标知，其中点坐标为该点和点E的横坐标相同， 即点E在的中垂线上， ∴； （3）证明：过点F作轴于点T，如图， ∵线段绕点P逆时针方向旋转至， 则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 则点F的坐标为：， 则点F在直线上， 则 ∴的最小值为： 【点睛】本题为一次函数综合应用题，涉及到三角形全等、等腰三角形的性质、一次函数的性质，掌握数形结合以及一次函数的性质是关键 . 2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=2x－3的图象分别交x轴，y轴于点A、B，将直线AB绕点B顺时针方向旋转45°，交x轴于点C，求直线BC的函数表达式． 【答案】 【分析】根据已知条件得到A（，0），B（0，﹣3），求得OA＝，OB＝3，过A作AF⊥AB交BC于F，过F作FE⊥x轴于E，得到AB＝AF，根据全等三角形的判定与性质证明△AOB≌△FEA得到AE＝OB＝3，EF＝OA＝，求得F（，－），设直线BC的函数表达式为：y＝kx+b，解方程组于是得到结论． 【详解】解：∵一次函数y=2x－3的图象分别交x轴，y轴于点A、B， ∴当x=0时，y=－3，当y=0时，x=， ∴A（，0），B（0，﹣3）， ∴OA=，OB=3， 过点A作AF⊥AB交BC于F，过点F作FE⊥x轴于E． 则∠AOB=∠FEA=∠BAF=90°， ∵∠OAB+∠EAF=90°，∠AFE+∠EAF=90°， ∴∠OAB=∠AFE． 又∵∠ABF＝45°，∠BAF＝90°， ∴∠AFB＝45°， ∴∠ABF＝∠AFB， ∴ AB＝AF ∴△AOB≌△FEA（AAS） ∴AE＝OB，EF＝OA， ∴ OE＝AE+OA＝3+＝，EF＝OA＝， ∴F（，－）． 设直线BC为y＝kx－3，把点F（，－）代入y＝kx－3中， ∴－＝k－3， ∴k＝， ∴直线BC的函数表达式为． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法求函数的解析式，全等三角形的判定和性质、等角对等边，正确的作出辅助线是解题的关键． 3．（1）探索发现：如图1，已知中，，，直线l过点C，过点A作，过点B作，垂足分别为D、E．求证：． （2）迁移应用：如图2，将一块等腰直角的三角板放在平面直角坐标系内，三角板的一个锐角的顶点与坐标原点O重合，另两个顶点均落在第一象限内，已知点N的坐标为，求点M的坐标． （3）拓展应用：如图3，在平面直角坐标系内，已知直线与y轴交于点P，与x轴交于点Q，将直线绕P点沿逆时针方向旋转后，所得的直线交x轴于点R．求点R的坐标． 【答案】（1）见详解；（2）点M的坐标为（1，3）；（3）R（，0） 【分析】（1）先判断出∠ACB=∠ADC，再判断出∠CAD=∠BCE，进而判断出△ACD≌△CBE，即可得出结论； （2）过点M作MF⊥y轴，垂足为F，过点N作NG⊥MF，判断出MF=NG，OF=MG，设M（m，n）列方程组求解，即可得出结论； （3）过点Q作QS⊥PQ，交PR于S，过点S作SH⊥x轴于H，先求出OP=4，由y=0得x=1，进而得出Q（1，0），OQ=1，再判断出PQ=SQ，即可判断出OH=5，SH=OQ=1，进而求出直线PR的解析式，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵∠ACB＝90°，AD⊥l， ∴∠ACB＝∠ADC． ∵∠ACE＝∠ADC+∠CAD，∠ACE＝∠ACB+∠BCE， ∴∠CAD＝∠BCE， ∵∠ADC＝∠CEB＝90°，AC＝BC． ∴△ACD≌△CBE， ∴CD＝BE， （2）解：如图2，过点M作MF⊥y轴，垂足为F，过点N作NG⊥MF，交FM的延长线于G， 由已知得OM＝ON，且∠OMN＝90°， ∴由（1）得△OFM≌△MGN， ∴MF＝NG，OF＝MG， 设M（m，n）， ∴MF＝m，OF＝n， ∴MG＝n，NG＝m， ∵点N的坐标为（4，2）      ∴ 解得 ∴点M的坐标为（1，3）； （3）如图3， 过点Q作QS⊥PQ，交PR于S，过点S作SH⊥x轴于H， 对于直线y＝﹣4x+4，由x＝0得y＝4， ∴P（0，4）， ∴OP＝4， 由y＝0得x＝1， ∴Q（1，0），OQ＝1， ∵∠QPR＝45°， ∴∠PSQ＝45°＝∠QPS． ∴PQ＝SQ． ∴由（1）得SH＝OQ，QH＝OP． ∴OH＝OQ+QH＝OQ+OP＝4+1＝5，SH＝OQ＝1． ∴S（5，1）， 设直线PR为y＝kx+b，则 ， 解得． ∴直线PR为y＝x+4． 由y＝0得，x＝， ∴R（，0）． 【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，构造出全等三角形是解本题的关键． 4．如图，直线与、轴分别交于点、．为轴上的动点，连接，将线段绕点按顺时针方向旋转，得到线段，连接． (1)求直线对应的函数表达式； (2)当点坐标为时，在轴上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)连接．则的最小值为　　　　　　　（直接写结果） 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）运用待定系数法求的解析式即可； （2）设证明可得，的边上的高为8，由勾股定理求出，分两种情况由面积关系可得结论， （3）设点P的坐标为，则可得，，得出点C在直线上运动，设直线交轴于点，，作点关于直线的对称点，连接，得出当三点共线时，此时，的值最小，最小值为根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：设直线的解析式为， 把.代入得， ， 解得，， 所以，直线的解析式为； （2）解：过点C作轴于点F，如图， ∵ ∴ ∴ 又 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ， 设点D的坐标为， ①当点D在点B下方时， ∴， 解得，， ∴ ②当点D 在点B上方时，同理可求出， ∴, 综上，点D 的坐标为：或； （3）解：作点关于直线的对称点，连接， 由（2）知， ∴ 设点P的坐标为，则 ∴， ∴， ∴点C在直线上运动， 设直线交轴于点， 令则解得，； 令则 ∴，点在直线上， ∵ ∴ ∵与关于轴对称， ∴ ∴ ∴ ∴点在直线上， ∵与关于直线对称， ∴ ∴ ∴， 在中，由三边关系得 当三点共线时，此时，的值最小，最小值为 ∵ ∴ ∴ ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查一次函数图象与性质，待定系数法、全等三角形的判定与性质、轴对称的性质、勾股定理等知识，数形结合是解题的关键． 5．（22-23八年级下·陕西西安·阶段练习）我们知道，平移、翻折、旋转是3种基本的图形运动．你能求出将直线平移、旋转后对应的函数表达式吗？    (1)将一次函数的图象沿着轴向下平移3个单位长度，所得到的图象对应的函数表达式为________； (2)如图，一次函数的图象与轴的交点为点，将直线绕点A逆时针旋转，求所得的图象对应的函数表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用平移规律得出平移后的函数表达式； （2）过点B作交所得的图象于点D，过点D作轴于点E，结合全等三角形的性质可求解A、D的坐标，再利用待定系数法即可求得解析式． 【详解】（1）利用平移规律得， 将一次函数的图象沿着轴向下平移3个单位长度， 所得到的图象对应的函数表达式为， 故答案为：； （2）如图，过点B作交所得的图象于点D，过点D作轴于点E，    函数于y轴交点为点A，与x轴交点为点B， 令，，故，， 令，，故，， 将直线绕点A逆时针旋转， ， ，， ， ， ， ，， ， ，， ， ， 设所得的图象对应的函数表达式为， 将、代入得， ， 解得， 所得的图象对应的函数表达式为． 【点睛】本题是一次函数的综合题，考查待定系数法求解析式，平移及旋转的性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 6．（23-24八年级下·吉林延边·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、．将绕点顺时针方向旋转得到，点的对应点为点，点落在一个反比例函数的图象上． (1)点A的坐标为 ，点B的坐标为 ； (2)求该反比例函数解析式； (3)将绕点逆时针方向旋转得到，点的对应点为点，点 　　（填“在”或者“不在”）该反比例函数图象上． 【答案】(1)； (2)； (3)不在． 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的图像与性质以及旋转的性质， （1）求出直线与坐标轴的交点坐标即可； （2）先求出点坐标，再求出，继而得到反比例函数解析式即可； （3）先求出点坐标，再验证点是否在反比例函数图象上即可． 【详解】（1）解：直线与轴、轴分别交于点、， ； ．． 故答案为：，； （2）根据旋转的性质可得：轴； 轴； 故点坐标为， 点在反比例函数图象上， ， 反比例函数解析式为：； （3）根据旋转的性质可得： 轴 轴 故点坐标为， ， 点不在反比例函数图象上． 故答案为：不在． 【核心考点八 一次函数中的平移模型】 1．（23-24八年级下·山东临沂·阶段练习）在平面直角坐标系中，点是直线上一点，点向上平移5个单位长度得到点． (1)求点的坐标； (2)若一次函数与线段有公共点，结合函数图象，求的取值范围． 【答案】(1)， (2)且 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换、一次函数图象上点的坐标特征，利用数形结合是解题的关键． （1）将点代入，求出，得到点的坐标，再根据平移的法则即可得出、的坐标； （2）分别求出直线过点、时的值，再结合函数图象即可得出的取值范围． 【详解】（1）解：∵点是直线上一点， ∴． ∴点的坐标为， ∴点向上平移5个单位长度得到点的坐标为； （2）解：当直线过点时，得， 解得． 当直线过点时，得， 解得． 如图，若一次函数与线段有公共点，则的取值范围是且． 2．（23-24八年级下·福建厦门·期末）在平面直角坐标系xOy中，正方形的顶点，，点B在点A的右侧，点C，点D在的下方． (1)直接写出的长度（用含m的式子表示）； (2)若三角形的面积为3． ①求m的值； ②在平面直角坐标系中，二元一次方程的图象都是一条直线，直线上每个点的坐标（x，y）都是这个方程的一个解．记二元一次方程（）的图象为直线l，直线l与正方形的边，分别交于点E，点F，如图所示，且三角形的面积为．现将正方形进行平移，使得直线l与正方形的边分别交于点P，点Q，在平移过程中，是否存在三角形的面积也为的情形？若存在，请探究如何平移；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②存在，上下平移距离与左右平移距离之差为定值2 【分析】（1）根据两坐标横坐标作差即可； （2）①根据三角形的面积为3，列式计算即可；②分别表示出的长，代入到面积公式中求出的坐标，表示出，求出，再利用面积公式求出最终结果即可； 本题主要考查一次函数与几何的实际应用，坐标与图形的知识，采用数形结合的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：． （2）①因为 所以，       所以． ②因为正方形中，轴，轴，且E在上，F在上， 所以． 因为E、F在二元一次方程的图象上， 所以将代入方程， 得：， 将代入方程， 得： ， 所以，即， 所以，即 所以， 因为 所以， 因为， 所以 ，       所以 所以 设点C平移后的坐标， 所以， 因为P，Q两点都在二元一次方程的图象上， 所以，， 所以． 因为， 所以 所以     上下平移距离与左右平移距离之差为定值2． 3．（23-24八年级下·陕西安康·期末）如图，在平面直角坐标系中，将直线向下平移2个单位长度得到直线l，且直线l与x轴、y轴分别交于A，B两点． (1)求直线l的解析式及点A，B的坐标． (2)M是x轴上的一个动点，要使以A，B，M为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形，请求出符合条件的所有点M的坐标． 【答案】(1)，， (2)或或 【分析】（1）根据平移的规律得出直线l的解析式，由函数解析式令求A点坐标，求B点坐标； （2）分，两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：将直线向下平移2个单位长度得到直线l， ∴直线l的解析式为， 当时，，解得， 当时，， ∴，； （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴， 设， 当时，， 解得或， ∴M的坐标为或； 当时， ∵， ∴， ∴M的坐标为； 综上，M的坐标为或或． 4．（23-24八年级下·黑龙江大庆·期末）如图，在矩形中；点为坐标原点，点，点、在坐标轴上，点在边上，直线交轴于点.对于坐标平面内的直线，先将该直线向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，这种直线运动称为直线的斜平移.现将直线经过2次斜平移，得到直线. (1)求直线与两坐标轴围成的面积； (2)求直线与的交点坐标； (3)在第一象限内，在直线上是否存在一点，使得是等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)直线L1与两坐标轴围成的面积 (2)直线与的交点坐标 (3)存在，点的坐标：或 【分析】（1）确定直线的解析式，分别求出直线与坐标轴的交点坐标即可求解； （2）左右平移改变自变量的值：左加右减；上下平移改变因变量的值：上加下减．据此即可求解； （3）分类讨论、、，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：， 将代入得：， ∴ ∴ 令，则， ∴直线与两坐标轴围成的面积为： （2）解：由题意得：直线的解析式为：， 令，则， ∴直线与的交点坐标为 （3）解：由（2）得：直线的解析式为：， 令，则， 令，则， 时，如图所示： 此时点，点与点重合，故； ，如图所示：     此时点，不在第一象限内，舍去； ，如图所示：     作轴，， 则， ∴ ∵ ∴ ∴ 设点 ∴ 解得： ∴ 综上所述：或 【点睛】本题考查了一次函数与几何的综合问题，涉及了一次函数与坐标轴的交点问题、一次函数的平移、特殊三角形的存在性问题．掌握分类讨论的数学思想是解决第三问的关键． 5．（2025·甘肃·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数（）的图象交于点，，与x轴，y轴分别交于C，D两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)若点P在y轴上，当的周长最小时，请直接写出点P的坐标； (3)将直线向下平移a个单位长度后与x轴，y轴分别交于E，F两点，当时，求a的值． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式，轴对称——最短路径问题，勾股定理，正确地求出函数的解析式是解题的关键． （1）根据已知条件列方程求得，得到反比例函数的解析式为，求得，解方程组即可得到结论； （2）如图，作点A关于y轴的对称点E，连接交y轴于P，则此时，的周长最小，根据轴对称的性质得到，得到直线的解析式为，当时，，于是得到点P的坐标为； （3）将直线向下平移a个单位长度后得直线的解析式为，得到，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）解：反比例函数的图象过点， ， ， 反比例函数的解析式为， ∵反比例函数的图象过点， ∴， ， ， ∵一次函数的图象过点，， ∴，解得， 一次函数的解析式为； （2）解：如图，作点A关于轴的对称点，连接交轴于， 此时，的周长最小， 点， ， 设直线的解析式为， ，解得， 直线的解析式为， 当时，， 点的坐标为； （3）解：将直线向下平移个单位长度后与轴，轴分别交于，两点， 直线的解析式为， ，， ， ， 解得或． 6．（24-25八年级下·广东佛山·阶段练习）（1）【提出问题】将一次函数的图象沿着y轴向下平移3个单位长度，所得图象对应的函数表达式为 ； （2）【初步思考】将一次函数的图象沿着x轴向左平移3个单位长度，求所得图象对应的函数表达式．数学活动小组发现，图象的平移就是点的平移，因此，只需要在图象上任取两点，，将它们沿着x轴向左平移3个单位长度，得到点，的坐标分别为 ，从而求出经过点，的直线对应的函数表达式为 ； （3）【深度思考】 已知一次函数的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B． ①将一次函数的图象关于x轴对称，求所得图象对应的函数表达式； ②如图①，将直线绕点A逆时针旋转，求所得图象对应的函数表达式； ③如图②，将直线绕点A逆时针旋转，求所得图象对应的函数表达式． 【答案】（1）；（2）、，；（3）①．②．③ 【分析】本题主要考查了一次函数的应用、一次函数图象与几何变换，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键． （1）利用平移规律确定出平移后函数解析式即可； （2）利用平移规律可得出点、点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式即可； （3）①找出与坐标轴的交点坐标，进而求出关于x轴对称点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式即可； ②设点B绕点A逆时针旋转到点C，过点C作轴于点D，结合全等三角形的性质可求解A，C的坐标，再利用待定系数法可求对应的函数表达式； ③过点B作交所得到的图象于点D，过点D作轴于点E，结合全等三角形的性质可求解A，D的坐标，再利用待定系数法可求得解析式． 【详解】解：（1）利用平移规律得：将一次函数的图象沿着y轴向下平移3个单位长度，所得到的图象对应的函数表达式为． 故答案为：； （2）∵，， ∴将它们沿着x轴向左平移3个单位长度，得到点、点的坐标分别为、， 设直线的一次函数解析式为， ∴． ∴． ∴过点、的直线对应的函数表达式为． 故答案为：，，； （3）设一次函数的图象与y轴的交点为点A，与x轴的交点为点B， ∵， 当时，， ∴点， 当时，，， ∴点． ①如图， ∵一次函数的图象关于x轴对称，， ∴， 设所得到的图象对应的函数表达式为， ∴， 解得． ∴所得到的图象对应的函数表达式为． ②如图，设点B绕点A逆时针旋转到点C，过点C作轴于点D， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设所得到的图象对应的函数表达式为， ∴， 解得． ∴所得到的图象对应的函数表达式为． ③如图，过点B作交所得到的图象于点D，过点D作轴于点E， ∵将直线绕点A逆时针旋转， ∴， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设所得到的图象对应的函数表达式为， ∴， 解得． ∴所得到的图象对应的函数表达式为． 学科网（北京）股份有限公司 $$