第01讲 一次函数的概念与图像（3个知识点+3种题型+分层练习） -2025年八年级数学寒假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版）

第01讲 一次函数的概念与图像（3个知识点+3种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．一次函数的定义 （1）一次函数的定义： 一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数． （2）注意： ①又一次函数的定义可知：函数为一次函数⇔其解析式为y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的形式． ②一次函数解析式的结构特征：k≠0；自变量的次数为1；常数项b可以为任意实数． ③一般情况下自变量的取值范围是任意实数． ④若k＝0，则y＝b（b为常数），此时它不是一次函数． 知识点2．一次函数的图象 （1）一次函数的图象的画法：经过两点（0，b）、（﹣，0）或（1，k+b）作直线y＝kx+b． 注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x＝a，y＝b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象． （2）一次函数图象之间的位置关系：直线y＝kx+b，可以看做由直线y＝kx平移|b|个单位而得到． 当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移． 注意：①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然； ②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减； ③两条直线相交，其交点都适合这两条直线． 知识点3．一次函数图象与系数的关系 由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． ①k＞0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、三象限； ②k＞0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在一、三、四象限； ③k＜0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、四象限； ④k＜0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在二、三、四象限． 题型强化 题型一．一次函数的定义 1．（2024春•普陀区期末）下列函数中，是的一次函数的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据一次函数的定义：，进行判断即可． 【解答】解：．不是一次函数，不符合题意； ．不是一次函数，不符合题意； 、不是一次函数，不符合题意； 、是一次函数，符合题意； 故选：． 【点评】本题考查一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义是解题的关键． 2．（2024春•嘉定区期中）如果函数是一次函数，那么的取值范围为 　　． 【分析】根据一次函数的定义得到：，由此求得的值． 【解答】解：依题意得：， 解得． 故答案为：． 【点评】本题考查了一次函数的定义．关键是掌握一次例函数的比例系数不等于0． 3．（2024秋•金凤区校级期中）已知函数． （1）当为何值时，这个函数是关于的一次函数？ （2）当为何值时，这个函数是关于的正比例函数？ 【分析】（1）根据一次函数的定义和题目中的函数解析式，可得，然后即可求得当为何值时，这个函数是关于的一次函数； （2）根据正比例函数的定义和题目中的函数解析式，可得且，然后即可求得当为何值时，这个函数是关于的正比例函数． 【解答】解：（1）函数是关于的一次函数， ， 解得， 即当为不等于1的值时，这个函数是关于的一次函数； （2）函数是关于的正比例函数， 且， 解得， 即当为时，这个函数是关于的正比例函数． 【点评】本题考查一次函数的定义、正比例函数的定义，解答本题的关键是明确一次函数和正比例函数的定义，求出相应的的值． 题型二．一次函数的图象 4．（2024春•崇明区期末）一次函数的图象不经过　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】利用一次函数的图象即可判断． 【解答】解：在一次函数中，，， 一次函数经过第一、二、三象限，不经过第四象限． 故选：． 【点评】本题考查了一次函数的图象，熟练掌握一次函数的性质与系数的关系是解题的关键． 5．（2024春•杨浦区期中）如图，一次函数的图象与轴、轴分别相交于、．两点，那么当时，自变量的取值范围是 　　． 【分析】观察函数图象可知随的增大而增大，结合一次函数的图象与轴的交点坐标，即可求出当时的取值范围． 【解答】解：一次函数的图象与轴交于点，且随的增大而增大， 当时，． 故答案为：． 【点评】本题考查了一次函数的图象，观察函数图象，找出随的增大而增大是解题的关键． 6．（上海期末）在平面直角坐标系中画出函数的图象． （1）在图象上标出横坐标为的点，并写出它的坐标； （2）在图象上标出和轴的距离是2个单位长度的点，并写出它的坐标． 【分析】画出函数的图象方法是找到与坐标轴的交点的坐标，然后根据函数图象和要求进行解答． 【解答】解：函数与坐标轴的交点的坐标为，． （1）点的坐标； （2）和轴的距离是2个单位长度的点的坐标，． 【点评】本题考查对一次函数的图象的掌握情况． 题型三．一次函数图象与系数的关系 7．（2024春•金山区校级月考）若一次函数的函数值随自变量的值增大而增大，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【分析】根据一次函数图象的增减性来确定的符号即可． 【解答】解：一次函数的函数值随自变量的值增大而增大， ， 解得：， 故选：． 【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系，解题的关键是正确理解直线中，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小． 8．（2024春•徐汇区期中）若函数的图象不经过第四象限，那么的取值范围是 　　． 【分析】根据已知条件和一次函数的性质列出不等式组求解即可． 【解答】解：一次函数的图象不经过第四象限， ， 解得：． 故答案为：． 【点评】本题考查了一次函数的图象与系数的关系解一元一次不等式组，能得出关于的不等式是解此题的关键． 9．已知关于的函数． （1）当满足什么条件时，它是正比例函数？ （2）当满足什么条件时，随的增大而增大？ （3）当满足什么条件时，它的图象经过第一、二、四象限？ 【分析】（1）根据正比例函数定义得出且，即可解答； （2）由随的增大而增大利用一次函数的性质可得出，解之即可得出结论； （3）根据一次函数的图象经过第一、二、四象限利用一次函数图象与系数的关系，即可分别得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出结论； 【解答】解：（1）是正比例函数， 且， ； （2）随的增大而增大， ， ； （3）的图象经过第一、二、四象限， ， 解得：． 【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系、正比例函数的定义，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质． 分层练习 一、单选题 1．已知一次函数，且随的增大而减小，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据一次函数增减性求参数 【分析】本题考查利用一次函数增减性判断参数范围，根据一次函数，且随的增大而减小，即可得到答案，熟记一次函数增减性与的关系是解决问题的关键． 【详解】解：一次函数，且随的增大而减小， ， 故选：B． 2．已知直线y=（k﹣2）x+k不经过第三象限，则k的取值范围是（　　） A．k≠2 B．k＞2 C．0≤k＜2 D．k≥0 【答案】C 【分析】依题意可得，解不等式组，可得结果. 【详解】因为直线y=（k﹣2）x+k不经过第三象限， 所以 解得 故选C 【点睛】理解一次函数图象的位置与系数的关系. 3．如图，是正比例函数图象上的点，且在第一象限，过点作轴于点，以为斜边向上作等腰，若，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】等腰三角形的定义、正比例函数的性质 【分析】根据正比例函数的性质可以求得点A的坐标，再根据题意和等腰三角形的形即可求得点C的坐标． 【详解】解：∵A是正比例函数图象上的点，且在第一象限，AB=4， ∴点A的横坐标是4， 当x=4时，y=8， ∴点A的坐标为（4，8）， ∵过点A作AB⊥y轴于点B，以AB为斜边向上作等腰直角三角形ABC， ∴点C到AB的距离为2，AB的一半是2， ∴点C的坐标是（2，10） 故选C． 【点睛】本题考查正比例函数的性质、等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 4．如图，函数和的图象相交于点，则关于x的不等式的解集是　　 A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】以交点为分界，结合图象写出不等式mx>x+3的解集即可． 【详解】函数和的图象相交于点， 不等式的解集为． 故选A． 【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，解题的关键是熟练运用数形结合思想． 5．如图，直线与直线相交于点．直线与y轴交于点A．一动点C从点A出发，先沿平行于x轴的方向运动，到达直线上的点处后，改为垂直于x轴的方向运动，到达直线上的点处后，再沿平行于x轴的方向运动，到达直线上的点处后，又改为垂直于x轴的方向运动，到达直线上的点处后，仍沿平行于x轴的方向运动，…照此规律运动，动点C依次经过点，，，，，，…，，，…则当动点C到达处时，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】一次函数的规律探究问题 【分析】本题考查了一次函数的综合运用．关键是利用平行于x轴的直线上点的纵坐标相等，平行于y轴的直线上点的横坐标相等，得出点的坐标，判断等腰直角三角形，得出一般规律即可．由直线可知， ，则纵坐标为1，代入直线中，得，又、横坐标相等，可得 ，可判断为等腰直角三角形，利用平行线的性质，得、、…、都是等腰直角三角形，分别求，，再总结一般规律即可． 【详解】解：由直线直线可知，， ∵， ∴，解得：， ∴，， 同理可得：，， ∴， 同理可得：，，， ∴， ∴ …， ∴， 故选B． 6．如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，直线的解析式为，直线交轴于点，以为边作第一个等边三角形，交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，以为边作第二个等边三角形△，交直线于点，，顺次这样做下去，第2020个等边三角形的边长为（　　）      A． B． C．4038 D．4040 【答案】A 【知识点】用勾股定理解三角形、等边三角形的性质、含30度角的直角三角形、一次函数的规律探究问题 【分析】延长交轴于，交轴于，根据等边三角形的性质得，，，直线的解析式为，得，由直线的解析式得第一个等边三角形边长为1，解得，，把代入求得的纵坐标，即可求得第二个等边三角形的边长，从而找出规律，按照此规律即可求得第2020个等边三角形的边长． 【详解】解：延长交轴于，延长交轴于，    ，，均为等边三角形， ，，， 直线的解析式为：， ， 对于直线，，当时，， 点的坐标为， ， 在中，，， ，， 点的坐标为， 对于，当时，， 点的坐标为， ， ， ， 在中，，， ，， 点的坐标为， 对于，当时，， ， ， 同理得：，， 以此类推，第个等边三角形的边长为， 第2020个等边三角形的边长为． 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等边三角形的性质、含30度角直角三角形的性质、勾股定理，根据等边三角形的性质找出第个等边三角形的边长为是解题的关键． 二、填空题 7．已知一次函数y＝kx+3，若y随x的增大而减小，则k的取值范围是 ． 【答案】k＜0 【知识点】根据一次函数增减性求参数 【分析】直接根据一次函数的性质求解即可． 【详解】解：∵一次函数y＝kx+3，y随x的增大而减小， ∴k＜0． 故答案为k＜0． 【点睛】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数y＝kx+b（k≠0）中，当k＜0时，y随x的增大而减小是解题的关键． 8．已知一次函数的图象经过，两点，则 ．（填“”或“”） 【答案】 【知识点】根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 【分析】由k＝1＞0，可得出y随x的增大而增大，结合1＜3，即可得出x1＜x2． 【详解】解：∵k＝1＞0， ∴y随x的增大而增大， 又∵1＜3， ∴x1＜x2， 故答案为：＜． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，解题的关键是牢记“当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小”． 9．一次函数的图象经过原点，则y随x的增大而 .（填“增大”或“减小”） 【答案】增大 【知识点】判断一次函数的增减性、根据一次函数的定义求参数 【分析】由题意可得：且，求得，即可求解． 【详解】解：由题意可得：且，解得 则一次函数为： 因为 所以y随x的增大而增大， 故答案为：增大 【点睛】此题考查了一次函数的定义，图像与性质，解题的关键是根据题意正确求得的值． 10．不论k为何值，直线恒过定点 ． 【答案】(1，1) 【知识点】求一次函数自变量或函数值、整式加减中的无关型问题 【分析】由题知y=kx+（1-k）=（x-1）k+1，当x-1=0时，不论k为何值，y恒等于1．由此得出，不论k为何值，直线恒过点（1，1）． 【详解】解：由题知，y=kx+（1-k）=（x-1）k+1， 当x-1=0时，不论k为何值，y都等于1， ∴不论k为何值，直线y=kx+（1-k）（k≠0）恒过定点（1，1）． 故答案为：（1，1）． 【点睛】本题考查带有参数的一次函数图像恒过定点的问题．通过将一次函数解析式变形，找到特殊的x值并代入，把参数消掉，从而求得直线恒过的定点坐标． 11．已知点在直线上，则代数式的值为 ． 【答案】 【知识点】比较一次函数值的大小、完全平方公式分解因式 【分析】根据一次函数图象上点的特征将点坐标代入直线，可得，将整式化简后可得代数式，再将整体代入计算可求解． 【详解】解：∵点在直线上， ∴， 即， ∴原式， ． 故答案为． 【点睛】本题主要考查一次函数图象上点的特征，代数式求值，先将整式化简，再利用整体代入法求解是解题的关键． 12．点P(3，a)、Q(,b)在一次例函数的图象上，则a与b的大小关系是 ． 【答案】a<b. 【知识点】比较一次函数值的大小 【详解】试题分析：根据一次函数的性质可知，函数为减函数，所以随着x值的增大，y值在减小，所以a<b. 考点：一次函数的性质. 13．请写出一个满足下列条件的一次函数的解析式：①图象与轴的交点在轴的负半轴；②随的增大而增大 ． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】求一次函数解析式 【分析】首先设一次函数解析式为，根据题意：①图象与轴的交点在轴的负半轴，可得：，再根据题意：随的增大而增大，可得：，写出符合条件的数，并代入一次函数解析式为，即可得出结论． 【详解】解：设一次函数解析式为， ∵图象与轴的交点在轴的负半轴， ∴， 又∵随的增大而增大， ∴， ∴，，（不唯一） ∴一次函数解析式为（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一） 【点睛】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解本题的关键．即一次函数中，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，图象与轴的交点在轴的正半轴上；当时，图象与轴的交点在轴的负半轴上． 14．某车站规定旅客可以免费携带不超过20千克的行李，超过部分每千克收取1.5元的行李费，则旅客需交的行李费（元）与携带行李重量（千克）（）之间的关系式为 ． 【答案】 【知识点】求一次函数解析式 【分析】由题意知超过（x-20）千克，乘以1.5即是y的值 【详解】y=1.5（x-20）=1.5x-30 故填y=1.5x-30 【点睛】此题考查列函数关系式，正确理解题意是解题关键. 15．已知无论n取什么实数，点P(n，4n-3)都在直线l上，若Q(a，b)是直线l上的点，则（4a-b）2的值等于 ． 【答案】9. 【知识点】求一次函数解析式 【详解】试题分析：先令n=0，则P（0，-3）；再令n=1，则P（1，1），由于a不论为何值此点均在直线l上，设此直线的解析式为y=kx+b（k≠0），把两点代入即可得出其解析式，再把Q（a，b）代入即可得出（4n-b）2的值． 试题解析：∵令n=0，则P（0，-3）；再令n=1，则P（1，1），由于n不论为何值此点均在直线l上， ∴设此直线的解析式为y=kx+b（k≠0）， ∴ 解得， ∴此直线的解析式为：y=4x-3， ∵Q（a，b）是直线l上的点， ∴4a-3=b，即4a-b=3， ∴（4a-b）2的=32=9． 考点：一次函数图象上点的坐标特征． 16．已知关于x的一次函数同时满足下列两个条件：函数y随x的增大而减小；当时，对应的函数值，你认为符合要求的一次函数的解析式可以是 写出一个即可． 【答案】(答案不唯一) 【知识点】求一次函数解析式 【分析】先设一次函数,由一次函数y随x的增大而减小可得:,由当时,对应的函数值可得:,故符合条件的一次函数中,即可. 【详解】设一次函数, 因为一次函数y随x的增大而减小, 所以, 因为当时,对应的函数值 所以, 所以符合条件的一次函数中,即可. 故答案为:. 【点睛】本题主要考查一次函数图象和性质,解决本题的关键是要熟练掌握一次函数图象和性质. 17．平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，其中，满足方程组，已知点在直线的下方，且点不在第三象限，则的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解、已知点所在的象限求参数 【分析】求出直线的解析式，再根据求出点的坐标为，然后过作轴，交直线于点，确定，再分两步：点在直线的下方；点不在第三象限，分别确定的取值范围，然后确定公共部分即可。 【详解】解：设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵， 解得：， ∴， 过作轴，交直线于点， 当时，， ∴， ∵点在直线的下方， ∴， 解得：， 若点在第三象限，则，解得：， ∴当时，点不在第三象限， 综上所述，。 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数的图像及性质，点所在象限的坐标特征，熟练掌握一次函数的图像及性质，数形结合是解题的关键． 18．如图，点P是函数图象上的一点，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，过点P作x轴、y轴的垂线与该直线分别交于C、D两点，则的值为 ． 【答案】 【知识点】一次函数与反比例函数的其他综合应用、已知两点坐标求两点距离 【分析】先求出点坐标，设点，则：点，点 ，用含的式子表示出，进而求解即可． 【详解】解：∵直线与x轴、y轴分别交于A、B两点， 当时，；当时，； ∴点，点， ∵点P是函数图象上的一点，过点P作x轴、y轴的垂线与该直线分别交于C、D两点， 设点，则：点，点 ， ， 故答案为． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用．正确的求出各点的坐标，是解题的关键． 三、解答题 19．已知一次函数的图象过点． (1)求的值． (2)当时，求的最大值． 【答案】(1) (2)0 【知识点】判断一次函数的增减性、列一次函数解析式并求值、求一次函数解析式 【分析】（1）将点代入到一次函数可得的值； （2）由（1）可得一次函数解析式为，根据可得，从而可知的最大值． 【详解】（1）解：一次函数的图象过点 解得 （2）解：由（1）可得，故一次函数解析式为 当时，，得 故的最大值为0 【点睛】此题考查了一次函数的性质，确定的值是解题的关键． 20．某体育用品店的“某品牌衬衫”每天销售20件，每件衬衫盈利40元．该体育用品店决定降价销售该品牌衬衫，经过市场调查发现：如果衬衫每降价1元，则每天多售出2件，设该品牌衬衫每件降价x元，每天销售y件． (1)直接写出y与x之间的函数关系式，不要求写出自变量的取值范围； (2)如果该体育用品店销售该品牌衬衫每天盈利1250元，那么衬衫每件降价了多少元? 【答案】(1) (2)衬衫每件降价了15元 【知识点】求一次函数解析式、营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，一元二次方程的应用，解题的关键是找出题目中的等量关系． （1）根据题意列出一次函数解析式即可； （2）根据该品牌衬衫每天盈利1250元列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵每天销售20件，每件衬衫盈利40元，衬衫每降价1元，则每天多售出2件， ∴该品牌衬衫每件降价x元，每天销售； （2）解：根据题意得：， 整理得:， 解得:， 答:衬衫每件降价了15元． 21．如图，直线与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B，平行于x轴的直线交反比例函数的图象于点M，交于点N，连接． (1)求m的值和反比例函数的解析式； (2)观察图象，直接写出当时不等式的解集； 【答案】(1)， (2) 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、求反比例函数解析式 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用． （1）求出点A的坐标，利用待定系数法即可解决问题； （2）结合函数图象找到直线在双曲线上方对应的x的取值范围． 【详解】（1）解：∵直线经过点， ∴， 解得， ∴， 把代入得， ∴反比例函数的解析式为． （2）解：观察图象，当时不等式的解集为． 22．如图①，公路上依次有A、B、C三个车站，一辆汽车从A站出发以速度匀速驶向B站，到达B站后不停留，以速度匀速驶向C站，汽车行驶路程y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数图象如图②所示． (1)__________千米/小时，__________千米/小时； (2)当汽车在B、C两站之间匀速行驶时，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (3)若汽车在某一段路程内刚好用分钟行驶了千米，直接写出这段路程开始时x的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用)、从函数的图象获取信息、求一次函数解析式 【分析】本题考查了函数图象，一次函数解析式，一元一次方程的应用．从函数图象中获取正确的信息是解题的关键． （1）由题意知，（千米/小时），则驶向B站的时间为（小时），（千米/小时），然后作答即可； （2）由题意知，，，然后作答即可； （3）由题意知，当汽车在某一段路程内刚好用分钟行驶了千米时，一部分在段，一部分在段，依题意得，，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，（千米/小时）， ∴驶向B站的时间为（小时）， ∴（千米/小时）， 故答案为：；； （2）解：由题意知，， ∴； （3）解：由题意知，当汽车在某一段路程内刚好用分钟行驶了千米时，一部分在段，一部分在段， 依题意得，， 解得， ∴． 23．已知，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点．      (1)求一次函数和反比例函数的解析式，并在网格中画出这个一次函数的图象（不需要列表）； (2)根据函数图象直接写出不等式的解集； (3)平面内一点，连接、，求的面积． 【答案】(1)反比例函数为：，一次函数的解析式为：，画图见解析 (2)或 (3) 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、求反比例函数解析式、坐标与图形 【分析】（1）把点代入可得：，再求解，再把，代入，再求解一次函数的解析式，再画图即可； （2）由，可得的图象在的图象下方（包括交点），可得或； （3）记与x轴的交点为K，求解，而，可得，可得． 【详解】（1）解：把点代入可得： ∴， ∴反比例函数为：， 把代入可得，，即， 把，代入可得： ∴，解得：， ∴一次函数的解析式为：． 画的图象如图示：    ． （2）∵， ∴的图象在的图象下方（包括交点）， ∴或． （3）如图，记与x轴的交点为K，      当，则，解得：， ∴，而， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解反比例函数，一次函数的解析式，利用函数图象解不等式，坐标与图形面积，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． 24．问题探究： （1）将一直角梯形放在如图1所示的正方形网格（图中每个小正方形的边长均为一个单位长度）中，梯形的顶点均在格点上，请你在图中作一条直线l，使它将梯形分成面积相等的两部分；（画出一种即可） （2）如图2，，点A、D在上，点B、C在上，连接、，交于点O，连接、．试说明：； 问题解决： （3）如图3，在平面直角坐标系中，不规则五边形是李大爷家的一块土地的示意图，顶点B在y轴正半轴上，边在x轴正半轴上，平行于x轴，的中点P处有一口灌溉水井，现结合实际耕种需求，需在上找一点Q，使将这块土地的面积分为相等的两部分，用于耕种两种不同的作物，并沿修一条灌溉水渠（水渠的宽度忽略不计）． ①请你利用有刻度的直尺在图中画出的位置，并简要说明作图过程； ②若点A的坐标为，，，，，请求出直线的解析式． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）①见解析；②直线的解析式为 【知识点】格点作图题、一次函数的规律探究问题、求一次函数解析式 【分析】本题考查同底等高的三角形的面积关系、用待定系数法求一次函数解析式、一次函数平移的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据网格和梯形的面积公式求解即可； （2）根据，，即可求解； （3）①如图，连接，平移，使其经过点B，交x轴于点M，连接，交于点N，量出的中点Q，连接，由，可得，从而可得，可证，再由平分梯形的面积，即可求解； ②由题意可得，利用待定系数法求得直线的解析式为，再根据一次函数平移的规律可设直线的解析式为，再把代入求得直线的解析式为，从而可得，再利用待定系数法求解即可． 【详解】解：（1）直线l的位置如图所示．（答案不唯一）， 理由如下：如图，直线l分别交、于点E、F， ∵，， ∵； （2）设、之间的距离为h，∵， ， ， ． （3）①如图，连接，平移，使其经过点B，交x轴于点M，连接，交于点N， 量出的中点Q，连接，的位置如图所示． ∵， ∴， 又∵， ∴， ， ∵平分梯形的面积， ∴平分五边形的面积， ②由题意得，，，，，， ． 设直线的解析式为， 将，，代入得， 解得， ∴直线的解析式为，故可设直线的解析式为， 将代入，得， ∴直线的解析式为． 当时，，解得． ． ， 设直线的解析式为， 将，，代入得， 解得， ∴直线的解析式为． 25．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点A、B，与x轴交于点C，． （1）求点A的坐标与反比例函数的表达式． （2）设直线AB与y轴相交于点D，经过计算可知点B的坐标为．若点Q是y轴上一点，是否存在点Q，使得？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． （3）求的x的取值范围． 【答案】（1），；（2）存在，或；（3）或 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、求反比例函数解析式 【分析】（1）直线AB与x轴的交点，由，可求得点A的纵坐标，然后代入一次函数求得点A的坐标，把点A的坐标代入反比例函数即可求得反比例函数解析式． （2）结合题意可以求得的面积，然后设设点，然后用三角形的面积公式列等式，求解即可得出答案； （3）根据A、B点的坐标和图象得出答案． 【详解】解：（1）直线AB：与x轴的交点C， 令y＝0，则，解得：x＝﹣1， ∴点． 设， ∵，∴ ∴， ∴将点A代入得，， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为：； （2）存在，理由如下： ∵， 设点，直线AB与y轴的交点为， 则， ∴或， ∴或 （3）∵一次函数与反比例函数交于点、B， ∴由图像可知：要使 ∴或 【点睛】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，坐标与图形性质，一次函数与坐标轴的交点，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 26．手机通话、手机购物、手机看书等，手机已经成为现代人生活的一个重要组成部分，让现代人的生活更为丰富和便捷．通讯公司提供了两种手机话费收费套餐供客户选择，如下表． 项目 套餐 月租费（元） 每分钟通话费（元） 套餐A 套餐B 0 小明仔细阅读了通讯公司的手机话费收费套餐方案说明，发现话费与通话时间有关联．小明设采用套餐的通话费用为（元）采用套餐的通话费用为（元），通话时间为（分钟）． (1)请分别直接写出（元）与（分钟），（元）与（分钟）之间的关系式，并在如图的平面直角坐标系中画出两个关系式分别对应的图象； (2)求当通话时间为多少分钟时，套餐，的通话费用恰好相同； (3)如果小明每个月的通话时间都不少于分钟，请帮助小明从，中选择使用哪一种套餐更省钱？ 【答案】(1)，，图见解析 (2)当通话时间为分钟时，套餐，的通话费用恰好相同 (3)选择套餐更省钱 【知识点】画一次函数图象、求一次函数解析式、从函数的图象获取信息、方案选择(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一次函数的应用，一次函数的图象，一元一次方程的应用．熟练掌握一次函数的应用，一次函数的图象，一元一次方程的应用是解题的关键． （1）由题意知，，，然后作图即可； （2）由题意知，，计算求解即可； （3）由图象可知，当时，，然后作答即可． 【详解】（1）解：由题意知，，， 作图象如下： （2）解：由题意知，， 解得，， ∴当通话时间为分钟时，套餐，的通话费用恰好相同； （3）解：由图象可知，当时，， ∵小明每个月的通话时间都不少于分钟， ∴选择套餐更省钱． 27．北京冬奥会上，由于中国冰雪健儿们的发挥出色，中国金牌总数位列第三，向世界证明了中国是冰雪运动强国！青蛙公主谷爱凌发挥出色一人斩获两金一银．在数学上，我们不妨约定：在平面直角坐标系中，将点称为“爱凌点”，经过点的函数，称为“爱凌函数”．   (1)若点是“爱凌点”，关于x的数都是“爱凌函数”，则_____，_____，_____． (2)若关于x的函数和都是“爱凌函数”，且两个函数图象有且只有一个交点，求k的值． (3)如图，点、是抛物线上两点，其中D在第四象限，C在第一象限对称轴右侧，直线AC、AD分别交y轴于F、E两点： ①求点E，F的坐标；（用含，的代数式表示）； ②若，试判断经过C、D两点的一次函数是否为“爱凌函数”，并说明理由． 【答案】(1)2；-1；-1； (2)； (3)①；；②经过C、D两点的一次函数y=kx+b(k≠0)是“爱凌函数”；理由见解析 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、求一次函数解析式、坐标与图形、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】（1）根据已知条件，代入求解即可； （2）首先用待定系数法求出反比例函数解析式，然后应用一元二次方程根的判别式求出k的值； （3）首先根据前提条件推出x1与x2的关系，然后利用C，D坐标用x1和x2表示出直线斜率kCD，进一步代入点C或者点D的坐标，表示出截距b，然后将坐标（2，1）代入一次函数，和前面的结论比较是否符合条件． 【详解】（1）解：∵（3r＋4s，r＋s）为“爱凌点”， ∴， 解得：， 将（2，1）代入y＝x2−x＋t得：， 解得t＝−1． 故答案为：2；-1；-1． （2）当k≠0时，将（2，1）分别代入y＝kx＋b与y＝中， 得，即， ∵两个函数图象有且只有一个交点， ∴kx＋1−2k＝只有一个根，即： kx2＋（1−2k）x−2＝0， Δ＝（1−2k）2＋8k＝0， ∴k＝−． 当k=0时，y=b， ∵函数y=b是“爱凌函数”， ∴b=1，此时，符合题意， ∴k＝ （3）①令x2−3x＋2＝0，得：，x2=2， ∴A（1，0），B（2，0）， ∵C、D两点在抛物线上， ∴C（x1，x12−3x1＋2），D（x2，）， 设AD的函数关系式为：， 则， 解得：， ∴， 令x＝0，则， ∴， 设AC的函数关系式为：， 则， 解得：， ∴， 令x＝0，则， ∴； ②y＝kx＋b是“爱凌函数”，理由如下： ∵若OE•OF＝1， ∴， ∴（2−x2）（x1−2）−1＝0， ∴2x1−x1x2＋2x2−5＝0， ∵一次函数y=kx+b经过C、D两点， ∴， 解得：， ∴CD的关系式为：y＝（x1＋x2−3）x＋2−x1x2， 将（2，1）代入得： 2（x1＋x2−3）＋2−x1x2=1， 即2x1−x1x2＋2x2−5＝0，与前提条件OE•OF＝1所得出的结论一致， ∴经过C，D的一次函数y＝kx＋b是“爱凌函数”． 【点睛】本题考查一次函数、反比例函数和二次函数相关知识点，将结论与前提条件进行比较，整个题目涉及的未知数比较多，计算过程中需要仔细． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 一次函数的概念与图像（3个知识点+3种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．一次函数的定义 （1）一次函数的定义： 一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数． （2）注意： ①又一次函数的定义可知：函数为一次函数⇔其解析式为y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的形式． ②一次函数解析式的结构特征：k≠0；自变量的次数为1；常数项b可以为任意实数． ③一般情况下自变量的取值范围是任意实数． ④若k＝0，则y＝b（b为常数），此时它不是一次函数． 知识点2．一次函数的图象 （1）一次函数的图象的画法：经过两点（0，b）、（﹣，0）或（1，k+b）作直线y＝kx+b． 注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x＝a，y＝b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象． （2）一次函数图象之间的位置关系：直线y＝kx+b，可以看做由直线y＝kx平移|b|个单位而得到． 当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移． 注意：①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然； ②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减； ③两条直线相交，其交点都适合这两条直线． 知识点3．一次函数图象与系数的关系 由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． ①k＞0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、三象限； ②k＞0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在一、三、四象限； ③k＜0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、四象限； ④k＜0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在二、三、四象限． 题型强化 题型一．一次函数的定义 1．（2024春•普陀区期末）下列函数中，是的一次函数的是　　 A． B． C． D． 2．（2024春•嘉定区期中）如果函数是一次函数，那么的取值范围为 　　． 3．（2024秋•金凤区校级期中）已知函数． （1）当为何值时，这个函数是关于的一次函数？ （2）当为何值时，这个函数是关于的正比例函数？ 题型二．一次函数的图象 4．（2024春•崇明区期末）一次函数的图象不经过　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．（2024春•杨浦区期中）如图，一次函数的图象与轴、轴分别相交于、．两点，那么当时，自变量的取值范围是 　　． 6．（上海期末）在平面直角坐标系中画出函数的图象． （1）在图象上标出横坐标为的点，并写出它的坐标； （2）在图象上标出和轴的距离是2个单位长度的点，并写出它的坐标． 题型三．一次函数图象与系数的关系 7．（2024春•金山区校级月考）若一次函数的函数值随自变量的值增大而增大，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 8．（2024春•徐汇区期中）若函数的图象不经过第四象限，那么的取值范围是 　　． 9．已知关于的函数． （1）当满足什么条件时，它是正比例函数？ （2）当满足什么条件时，随的增大而增大？ （3）当满足什么条件时，它的图象经过第一、二、四象限？ 分层练习 一、单选题 1．已知一次函数，且随的增大而减小，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知直线y=（k﹣2）x+k不经过第三象限，则k的取值范围是（　　） A．k≠2 B．k＞2 C．0≤k＜2 D．k≥0 3．如图，是正比例函数图象上的点，且在第一象限，过点作轴于点，以为斜边向上作等腰，若，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．如图，函数和的图象相交于点，则关于x的不等式的解集是　　 A． B． C． D． 5．如图，直线与直线相交于点．直线与y轴交于点A．一动点C从点A出发，先沿平行于x轴的方向运动，到达直线上的点处后，改为垂直于x轴的方向运动，到达直线上的点处后，再沿平行于x轴的方向运动，到达直线上的点处后，又改为垂直于x轴的方向运动，到达直线上的点处后，仍沿平行于x轴的方向运动，…照此规律运动，动点C依次经过点，，，，，，…，，，…则当动点C到达处时，则为（    ） A． B． C． D． 6．如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，直线的解析式为，直线交轴于点，以为边作第一个等边三角形，交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，以为边作第二个等边三角形△，交直线于点，，顺次这样做下去，第2020个等边三角形的边长为（　　）      A． B． C．4038 D．4040 二、填空题 7．已知一次函数y＝kx+3，若y随x的增大而减小，则k的取值范围是 ． 8．已知一次函数的图象经过，两点，则 ．（填“”或“”） 9．一次函数的图象经过原点，则y随x的增大而 .（填“增大”或“减小”） 10．不论k为何值，直线恒过定点 ． 11．已知点在直线上，则代数式的值为 ． 12．点P(3，a)、Q(,b)在一次例函数的图象上，则a与b的大小关系是 ． 13．请写出一个满足下列条件的一次函数的解析式：①图象与轴的交点在轴的负半轴；②随的增大而增大 ． 14．某车站规定旅客可以免费携带不超过20千克的行李，超过部分每千克收取1.5元的行李费，则旅客需交的行李费（元）与携带行李重量（千克）（）之间的关系式为 ． 15．已知无论n取什么实数，点P(n，4n-3)都在直线l上，若Q(a，b)是直线l上的点，则（4a-b）2的值等于 ． 16．已知关于x的一次函数同时满足下列两个条件：函数y随x的增大而减小；当时，对应的函数值，你认为符合要求的一次函数的解析式可以是 写出一个即可． 17．平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，其中，满足方程组，已知点在直线的下方，且点不在第三象限，则的取值范围为 ． 18．如图，点P是函数图象上的一点，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，过点P作x轴、y轴的垂线与该直线分别交于C、D两点，则的值为 ． 三、解答题 19．已知一次函数的图象过点． (1)求的值． (2)当时，求的最大值． 20．某体育用品店的“某品牌衬衫”每天销售20件，每件衬衫盈利40元．该体育用品店决定降价销售该品牌衬衫，经过市场调查发现：如果衬衫每降价1元，则每天多售出2件，设该品牌衬衫每件降价x元，每天销售y件． (1)直接写出y与x之间的函数关系式，不要求写出自变量的取值范围； (2)如果该体育用品店销售该品牌衬衫每天盈利1250元，那么衬衫每件降价了多少元? 21．如图，直线与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B，平行于x轴的直线交反比例函数的图象于点M，交于点N，连接． (1)求m的值和反比例函数的解析式； (2)观察图象，直接写出当时不等式的解集； 22．如图①，公路上依次有A、B、C三个车站，一辆汽车从A站出发以速度匀速驶向B站，到达B站后不停留，以速度匀速驶向C站，汽车行驶路程y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数图象如图②所示． (1)__________千米/小时，__________千米/小时； (2)当汽车在B、C两站之间匀速行驶时，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (3)若汽车在某一段路程内刚好用分钟行驶了千米，直接写出这段路程开始时x的值． 23．已知，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点．      (1)求一次函数和反比例函数的解析式，并在网格中画出这个一次函数的图象（不需要列表）； (2)根据函数图象直接写出不等式的解集； (3)平面内一点，连接、，求的面积． 24．问题探究： （1）将一直角梯形放在如图1所示的正方形网格（图中每个小正方形的边长均为一个单位长度）中，梯形的顶点均在格点上，请你在图中作一条直线l，使它将梯形分成面积相等的两部分；（画出一种即可） （2）如图2，，点A、D在上，点B、C在上，连接、，交于点O，连接、．试说明：； 问题解决： （3）如图3，在平面直角坐标系中，不规则五边形是李大爷家的一块土地的示意图，顶点B在y轴正半轴上，边在x轴正半轴上，平行于x轴，的中点P处有一口灌溉水井，现结合实际耕种需求，需在上找一点Q，使将这块土地的面积分为相等的两部分，用于耕种两种不同的作物，并沿修一条灌溉水渠（水渠的宽度忽略不计）． ①请你利用有刻度的直尺在图中画出的位置，并简要说明作图过程； ②若点A的坐标为，，，，，请求出直线的解析式． 25．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点A、B，与x轴交于点C，． （1）求点A的坐标与反比例函数的表达式． （2）设直线AB与y轴相交于点D，经过计算可知点B的坐标为．若点Q是y轴上一点，是否存在点Q，使得？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． （3）求的x的取值范围． 26．手机通话、手机购物、手机看书等，手机已经成为现代人生活的一个重要组成部分，让现代人的生活更为丰富和便捷．通讯公司提供了两种手机话费收费套餐供客户选择，如下表． 项目 套餐 月租费（元） 每分钟通话费（元） 套餐A 套餐B 0 小明仔细阅读了通讯公司的手机话费收费套餐方案说明，发现话费与通话时间有关联．小明设采用套餐的通话费用为（元）采用套餐的通话费用为（元），通话时间为（分钟）． (1)请分别直接写出（元）与（分钟），（元）与（分钟）之间的关系式，并在如图的平面直角坐标系中画出两个关系式分别对应的图象； (2)求当通话时间为多少分钟时，套餐，的通话费用恰好相同； (3)如果小明每个月的通话时间都不少于分钟，请帮助小明从，中选择使用哪一种套餐更省钱？ 27．北京冬奥会上，由于中国冰雪健儿们的发挥出色，中国金牌总数位列第三，向世界证明了中国是冰雪运动强国！青蛙公主谷爱凌发挥出色一人斩获两金一银．在数学上，我们不妨约定：在平面直角坐标系中，将点称为“爱凌点”，经过点的函数，称为“爱凌函数”．   (1)若点是“爱凌点”，关于x的数都是“爱凌函数”，则_____，_____，_____． (2)若关于x的函数和都是“爱凌函数”，且两个函数图象有且只有一个交点，求k的值． (3)如图，点、是抛物线上两点，其中D在第四象限，C在第一象限对称轴右侧，直线AC、AD分别交y轴于F、E两点： ①求点E，F的坐标；（用含，的代数式表示）； ②若，试判断经过C、D两点的一次函数是否为“爱凌函数”，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$