6.3 三角形的中位线 课件 2024—2025学年北师大版数学八年级下册

平行四边形的性质与判定 性质 判定 边 角 对角线 推论 ①两组对边分别平行②两组对边分别相等 ①对角相等 ②邻角互补 对角线互相平分 夹在两条平行线间的平行线段相等 ①两组对边分别平行的四边形 ②两组对边分别相等的四边形 ③一组对边平行且相等的四边形 两组对角分别相等的四边形 对角线互相平分的四边形 复习回顾（2分钟） 第六章 平行四边形 6.3 三角形的中位线 学习目标（1分钟） 1.理解三角形中位线的定义。 2.会证明和应用三角形中位线定理。 自学指导1（1分钟） 学生自学，教师巡视（6分钟） 看课本150-151页思考以下问题： 1.什么是三角形中位线？你还能画出几条三角形的中位线？ 与三角形一边上的中线有什么区别？ 2.三角形的中位线有何性质？你会证明 这个性质吗？会用数学语言表示吗？ 连接三角形 的线段叫三角形的中位线 三角形有三条中位线 都是边的中点, E D F A C B 三角形的中位线 ，且等于第三边的 。 △ ABC的中位线DE与BC的关系怎样？（从位置和数量关系猜想） DE∥BC, 三角形中线只有 端点是边的中点， 另一端点是三角形的 。 两边中点 两个端点 一个 顶点 平行于第三边 一半 三角形的中位线： 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. D E B C A 1.理解三角形的中位线定义的两层含义: ② ∵DE为△ABC的中位线, ① ∵D,E分别为AB,AC的中点, ∴DE为△ABC的中位线. ∴D,E分别为AB,AC的中点. 点拨(2分钟) ∵DE是△ABC的中位线 ∴DE∥BC，DE＝ BC 1 2 几何语言： 遇到中点想到： 中线、中位线 A B C D E 三角形中位线定理: 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半. ① 证明平行问题 证明一条线段是另一条线段的2倍或 三角形中位线定理的作用: A C B E D F 2.如图，在△ABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC的中点 若∠ADE=65°，则∠B= 度。 若BC=8cm，则DE= cm。 三角形三条中位线围成的三角形的周长与原三角形的周长有什么关系？ 讨论、探究 三条中位线围成的三角形的周长等于原三角形的周长一半 若AC=4cm,BC=6cm，AB=8cm，则△DEF的周长=______ 9cm 65 4 自学检测1（6分钟） 1.(课本P52随堂练习）已知三角形的各边长分别为8cm,10cm,12cm,则以各边中点为顶点的三角形周长为————————。 15cm 自学指导2（1分钟） 2、你会用三角形的中位线定理解决“议一议”吗？ 学生自学，教师巡视（6分钟） 看课本150-151页思考以下问题（用笔在课本做标记） 1.你能将一个三角形分成四个全等的三角形吗？ 如图,任意画一个四边形，顺次连结四边形四条边的中点，所得的四边形有什么特点？请证明你的结论，并与同伴交流。 A C B E D F 如图，在△ABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC的中点， 求证：△ADE≌△DBF≌△DEF≌△EFC 如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点。四边形EFGH是平行四边形吗？为什么？ A B C D E F G H 解：四边形EFGH是平行四边形. 如图，连接AC、BD，在△ABC中， ∵E、F分别是AB、BC边的中点，即EF是△ABC的中位线. ∴EF//AC，EF= AC 在△ADC中，同理可得 HG//AC，HG= AC ∴EF//HG，EF=HG ∴四边形EFGH是平行四边形 2 1 2 1 从例题中你能得到什么结论？ 顺次连接四边形各边中点的线段组成一个平行四边形 www.czsx.com.cn (1)若AC=4cm,BC=6cm,AB=8cm, 则△DEF的周长=______ 2.如图，在△ABC中，D、E、F分别是 AB、AC、BC的中点 9cm 三角形三条中位线组成的三角形，其周长为原三角形周长的______. A C B E D F (2)图中有_____个平行四边形 (4)若△ABC的面积为24，△DEF的面积是_____. 3 6 (3)图中有_____个小三角形 4 三角形三条中位线组成的三角形，其面积为原三角形面积的______. 4 三角形三条中位线将原三角形分割成 _______________. 4个全等的三角形 10 2、如图2，E是平行四边形ABCD的AB边上的中点，且AD=10cm，那么OE= cm。 自学检测2（8分钟） E O B C D A 5 1、如图1，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点． 若DE=3，则BC= 　   ,若BC=7，则DE=_____ .                           3、已知：如图3，平行四边形ABCD中，E 、F 、G 、H 分别是AB、BC、CD、DA的中点 求证：四边形EFGH是平行四边形 6 3.5 图1 图2 图3 3、已知：如图3，平行四边形ABCD中，E 、F 、G 、H 分别是AB、BC、CD、DA的中点 求证：四边形EFGH是平行四边形 证明：如图，连接AC ∵点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点 ∴EF是△ABC的中位线，HG是△ADC的中位线 ∴EF= AC，EF//AC    HG= AC，HG//AC ∴EF=HG，EF//HG ∴四边形EFGH是平行四边形 （有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形） （P152习题6.6第2题）求证三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分． 已知：如图所示，在△ABC中，AD＝DB，BE＝EC，AF＝FC． 求证：AE、DF互相平分． 证明：如图，连接DE、EF ∵AD＝DB，BE＝EC，AF=CF ∴DE、EF是△ABC的中位线 ∴DE∥AC，EF∥AB ∴四边形ADEF是平行四边形． ∴AE、DF互相平分 讨论、更正、点拨（6分钟） ∵DE是△ABC的中位线 B C A D E ∴DE∥BC，DE＝ BC 1 2 1、三角形中位线定义？ 2、三角形中位线定理？几何语言如何表示？ 小结(2分钟） 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线 三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半 几何语言： 三条中位线围成的三角形的周长等于原三角形的周长一半 三条中位线围成的三角形的面积等于原三角形的面积的四分之一 当堂训练（15分钟） 1、如图，在▱ABCD中，AD=8，点E，F分别是BD，CD 的中点，则EF等于（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 C 2、如图，点D、E、F分别为△ABC三边的中点， 若△DEF的周长为10，则△ABC的周长为 （ ） A.5       B.10       C.20        D.40 C 5、如图，在长方形ABCD中，P、R分别是BC边和DC边上的点，E、F分别是PA、PR的中点，如果DR=3，AD=4，则EF的长为______ 2.5 6.在四边形ABCD中,AC=6cm，BD=8cm,分别是边AB,BC,CD,DA的中点，则四边形EFGH的周长为 . 3.△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的中点，若BC=8，则DE等于（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 B 4.三角形的三条中位线长分别为3cm，4cm，6cm，则原三角形的周长为( ) A. 6. 5cm B. 34cm C 26cm D. 52cm C 14cm 7.（随堂练习第1题）如图：A、B两地被池塘隔开，在没有任何测量工具的情况下，小明通过下面的方法估测出了A,B间的距离：先在AB外选一点C，然后步测出AC，BC的中点M，N，并测出MN的长，由此他就知道了A，B间的距离。你能说说其中的道理吗？ 理由:三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。 解：∵MN是△ABC的中位线 ∴AB=2MN 8.①已知三角形三边长分别为6，8，10，顺次连接各边中点所得的三角形周长是多少？ （变式）如果三边的长分别为a、b、c，那么顺次连接各边中点所得的三角形周长是多少？ ②已知三角形的面积是S, 顺次连接各边中点所得的三角形面积是多少？ 周长是12 周长是 (a+b+c) 1 2 面积是 S 1.已知:如图,在四边形ABCD中,E,F,G,H分别是边AB,CD,AC,BD的中点. 求证:四边形EGFH是平行四边形. D C B G A F H E 证明：由题意可知，GF、HE 分别是△ACD和△ABD的中位线 ∴GF//AD, GF= AD HE//AD, HE= AD ∴GF//HE, GF=HE ∴四边形EGFH是平行四边形. 2.（课本P152习题T1）已知：在△ABC中， D、E、F分别是BC、CA、 AB的中点. 求证：四边形AFDE的周长等于AB+AC. A B C D F E (选做题) 2.（课本P152习题T1）已知：在△ABC中， D、E、F分别是BC、CA、 AB的中点. 求证：四边形AFDE的周长等于AB+AC. A B C D F E 证明：∵ DF是△ABC的中位线 ∴四边形的周长=AE+ED+DF+AF =AF+BF+AE+CE =AB+AC 板书设计 1、三角形中位线定义？ 2三角形中位线定理？几何语言如何表示？ 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半 B C A D E ∴DE∥BC，DE＝ BC 1 2 几何语言： ∵ DE是△ABC的中位线 已知：如图，DE是△ABC的 中位线 求证：DE∥BC，DE＝ BC 1 2 B C A D E 证明：延长DE至F，使EF＝DE，连接CF ∵AE＝CE，∠AED＝∠CEF， ∴△ADE≌△CFE ∴AD＝CF，∠ADE＝∠F ∴BD∥CF ∵AD＝BD ∴BD＝CF ∴四边形BCFD是平行四边形 ∴DF∥BC，DF＝BC ∴DE∥BC，DE＝ BC 1 2 F 1、三角形中位线定理？如何证明？ 三角形的中位线平行 于第三边，并且等于 第三边的一半 A B C E D F 证明二：如图，延长DE至F, 使EF=DE， 连接CD、AF、CF ∵AE=EC ∴DE=EF ∴四边形ADCF是平行四边形∴AD FC 又D为AB中点， ∴DB FC ∴四边形BCFD是平行四边形  ∴DE// BC 且DE=EF=BC 返回 图24.4.3 M C N A . B . $$