精品解析： 四川省德阳市什邡中学2024-2025学年九年级上学期数学期末试题

2024年秋学校九年级数学期末考试 注意：1、请将试题答案全部完成在答题卷上，交卷时只交答题卷． 2、请将学校、班级、姓名、考号准确填写在答题卷的密封线相应位置上． （满分150分，120分钟完卷） 一、选择题（每题3分，共36分） 1. 下列运动项目图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列抛物线不经过原点的是（　　） A. B. C. D. 3. 已知方程，下列说法正确的是（ ） A. 只有一个根 B. 只有一个根 C. 有两个根 D. 有两个根 4. 下列说法正确的是（ ） A. 相等的圆心角所对的弧相等 B. 相等的弦所对的弧相等 C. 相等的圆周角所对的弧相等 D. 等弧所对的弦相等 5. 某路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当小明到达该路口时，遇到绿灯的概率是（　　） A. B. C. D. 6. 已知二次函数，当函数值y随x值的增大而增大时，x的取值范围是（） A. B. C. D. 7. 若某种商品经过两次涨价后的价格为涨价前的，则该商品平均每次涨价（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知平行四边形ABCD，以B为圆心，AB为半径作交BC于E，然后以C为圆心，CE为半径作交CD于F，若，，，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，平面直角坐标系中，正六边形的顶点A，B在x轴上，顶点F在y轴上，若，则中心P的坐标为（ ） A. B. （1，） C. （2，2） D. （3，2） 10. 如图，已知反比例函数的图象经过斜边的中点，且与直角边相交于点．若点的坐标为，则的面积为（ ） A. 4 B. 3 C. 2.5 D. 2 11. 如图，已知正方形与正方形的边长分别为4和1，若将正方形绕点旋转，则在旋转过程中，点之间的最小距离为 （ ） A. 3 B. C. D. 12. 如图，点A，B的坐标分别为（1,4）和（4,4）,抛物线的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），点C的横坐标最小值为，则点D的横坐标最大值为(▲) A. －3 B. 1 C. 5 D. 8 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分，将答案填在答题卡对应的题号后的横线上） 13. 某中学人数相等的甲、乙两班学生参加了同一次数学测验，两班平均分和方差分别为x甲=82分，x乙=82分，S2甲=245，S2乙=190．那么成绩较为整齐的是__________班 14. 若m是方程的一个根，则的值为_____． 15. 如图，若圆锥的底面圆半径为，圆锥的母线长为，且，则该圆锥侧面展开的扇形的圆心角大小是__________． 16. 如图，的顶点A在反比例函数的图象上，顶点C在x轴上，轴，若点B的坐标为，，则k的值为_____． 17. 函数的图象如图所示，若直线与该图象只有一个交点，则的取值范围为________． 18. 如图，已知∠MON=120°，点A，B分别在OM，ON上，且OA=OB=a，将射线OM绕点O逆时针旋转得到OM′，旋转角为α（0°＜α＜120°且α≠60°），作点A关于直线OM′的对称点C，画直线BC交OM′于点D，连接AC，AD，有下列结论： ①AD=CD； ②∠ACD的大小随着α的变化而变化； ③当α=30°时，四边形OADC为菱形； ④△ACD面积的最大值为a2； 其中正确的是_____．（把你认为正确结论的序号都填上）． 三、解答题（本大题共7小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤） 19. （1）计算： （2）已知关于x方程． ①若该方程的一个根为3，求a的值及该方程的另一根； ②求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 20. 如图，在正方形网格图中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C，请在网格中进行下列操作： （1）请在图中确定该圆弧所在圆心D点的位置，D点坐标为______； （2）连接，则的半径为______；扇形的圆心角度数为______； （3）若扇形是某一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥的底面半径． 21. 某县教育局为了丰富初中学生的大课间活动，要求各学校开展形式多样的阳光体育活动．某中学就“学生体育活动兴趣爱好”的问题，随机调查了本校某班的学生，并根据调查结果绘制成如下的不完整的扇形统计图和条形统计图： （1）在这次调查中，喜欢篮球项目的同学有______人，在扇形统计图中，“乒乓球”的百分比为______%，如果学校有800名学生，估计全校学生中有______人喜欢篮球项目． （2）请将条形统计图补充完整． （3）在被调查的学生中，喜欢篮球的有2名女同学，其余为男同学．现要从中随机抽取2名同学代表班级参加校篮球队，请直接写出所抽取的2名同学恰好是1名女同学和1名男同学的概率． 22. 南宁某楼盘准备以每平方米5000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望．为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后，决定以每平方米4050元的均价开盘销售． （1）求平均每次下调的百分率； （2）某人准备以开盘均价购买一套100平方米的房子．开发商还给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，送两年物业管理费．物业管理费是每平方米每月1.5元．请问哪种方案更优惠？ 23. 如图，在平面直角坐标xOy中，正比例函数y＝kx的图象与反比例函数y＝的图象都经过点A（2，﹣2）． （1）分别求这两个函数的表达式； （2）将直线OA向上平移3个单位长度后与y轴交于点B，与反比例函数图象在第四象限内的交点为C，连接AB，AC，求点C的坐标及△ABC的面积． 24. 如图，四边形是的内接四边形，，点、分别是弦、上的点． （1）若，．求证：是的直径． （2）若，，．求的长． 25. 如图，已知抛物线的顶点坐标为，且与轴交于点与轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），点P是该抛物线上一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P与A不重合），过点P作轴，交于点D． （1）求该抛物线的函数关系式； （2）当是直角三角形时，求点P的坐标； （3）若点E是抛物线对称轴上一点，点F在抛物线上，问是否存在以A、B、E、F为顶点的平行四边形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋学校九年级数学期末考试 注意：1、请将试题答案全部完成在答题卷上，交卷时只交答题卷． 2、请将学校、班级、姓名、考号准确填写在答题卷的密封线相应位置上． （满分150分，120分钟完卷） 一、选择题（每题3分，共36分） 1. 下列运动项目图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称，根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项符合题意； 、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 2. 下列抛物线不经过原点的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】代入原点坐标到抛物线解析式，等式成立即说明抛物线经过原点． 【详解】A选项，代入原点坐标，等式依然成立，抛物线经过原点，不符合题意； B选项，代入原点坐标，等式依然成立，抛物线经过原点，不符合题意； C选项，代入原点坐标，得，等式不成立，抛物线不经过原点，符合题意； D选项，代入原点坐标，等式依然成立，抛物线经过原点，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查验证抛物线图象经过一定点，解题关键是代入点的坐标到抛物线解析式，等式成立说明抛物线经过此点． 3. 已知方程，下列说法正确的是（ ） A. 只有一个根 B. 只有一个根 C. 有两个根 D. 有两个根 【答案】C 【解析】 【分析】先求出该方程根的判别式，再用求根公式求解即可． 【详解】解：， ， ∴， ∴， 解得∶， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了用公式法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握用公式法解一元二次方程的方法和步骤． 4. 下列说法正确的是（ ） A. 相等的圆心角所对的弧相等 B. 相等的弦所对的弧相等 C. 相等的圆周角所对的弧相等 D. 等弧所对的弦相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题题考查了圆周角定理、以及弦、弧、圆心角的概念和联系．解题的关键是熟记与正确理解定义与定理．根据相关概念与知识点之间的联系，逐项判断．即可解题． 【详解】解：A、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故选项错误，不符合题意； B、在同圆或等圆中，相等的弦所对的优弧相等，所对的劣弧相等，故选项错误，不符合题意； C、在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，故选项错误，不符合题意； D、等弧一定是在同圆或等圆中， 等弧所对的弦相等，故选项正确，符合题意； 故选：D． 5. 某路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当小明到达该路口时，遇到绿灯的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】随机事件A的概率事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数． 【详解】解：每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒， 当小明到达该路口时，遇到绿灯的概率， 故选D． 【点睛】本题考查了概率，熟练掌握概率公式是解题的关键． 6. 已知二次函数，当函数值y随x值的增大而增大时，x的取值范围是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．将二次函数解析式化为顶点式，由抛物线对称轴及开口方向求解． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴时，y随x增大而增大， 故选：B． 7. 若某种商品经过两次涨价后的价格为涨价前的，则该商品平均每次涨价（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设这种商品平均每次涨价的百分率是，用表示该商品涨价前的价格，则涨价后的价格为，根据题意列出方程即可求解． 【详解】解：设这种商品平均每次涨价的百分率是，用表示该商品涨价前的价格，则涨价后的价格为， 则， 解得：或（舍去） 即涨价的百分率为． 故选：B． 8. 如图，已知平行四边形ABCD，以B为圆心，AB为半径作交BC于E，然后以C为圆心，CE为半径作交CD于F，若，，，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质和题意可设AB=CD=BE=x，CE=CF=x-3，则BE+CE=BC=AD=5，求出x的值，再根据扇形面积公式求解即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AD=BC，∠C=180°-∠B=120°， 设AB=x，则BE=AB=x，CE=CF=x-3， ∴x+x-3=5， ∴x=4， 即AB=4，CE=4-3=1， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，扇形的面积公式，熟练掌握平行四边形的性质和扇形面积公式是根据的关键． 9. 如图，平面直角坐标系中，正六边形的顶点A，B在x轴上，顶点F在y轴上，若，则中心P的坐标为（ ） A. B. （1，） C. （2，2） D. （3，2） 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了正多边形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，连接，作于Q，由正六边形的性质得到，得到，勾股定理求出，再证得四边形是矩形，得到，即可得到点P的坐标 【详解】如图，连接，作于Q， 由正六边形的性质可得． 在中，． ∴． ∵ ∴四边形是矩形， ∴， ∴点P的坐标为． 10. 如图，已知反比例函数的图象经过斜边的中点，且与直角边相交于点．若点的坐标为，则的面积为（ ） A. 4 B. 3 C. 2.5 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的的几何意义，根据题意得出点D坐标为，进而求得反比例函数的解析式为，则，根据，即可求解． 【详解】解：∵点A的坐标为，点D为的中点， ∴点D坐标为， ∴，即反比例函数的解析式为， ∴， ∴． 故选：B． 11. 如图，已知正方形与正方形的边长分别为4和1，若将正方形绕点旋转，则在旋转过程中，点之间的最小距离为 （ ） A. 3 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接CE、AC，根据正方形ABCD与正方形AEFG的边长分别为4和1，可以求出AC的长，又因为CE≥AC-AE，所以当A、E、C三点共线时取等号，即可求值； 【详解】如图，连接CE、AC， 已知正方形ABCD与正方形AEFG的边长分别为4和1， ∴ AB=BC=4，AE=1， 由勾股定理得： ， ∴ ∵ CE≥AC-AE， ∴CE≥， ∴CE的最小值为， 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理、以及三角形的三边关系，正确掌握知识点是解题的关键． 12. 如图，点A，B的坐标分别为（1,4）和（4,4）,抛物线的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），点C的横坐标最小值为，则点D的横坐标最大值为(▲) A. －3 B. 1 C. 5 D. 8 【答案】D 【解析】 【详解】当点C横坐标为-3时，抛物线顶点为A（1，4），对称轴为x=1，此时D点横坐标为5，则CD=8；当抛物线顶点为B（4，4）时，抛物线对称轴为x=4，且CD=8，故C（0，0），D（8，0）；由于此时D点横坐标最大，故点D的横坐标最大值为8；故选D． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分，将答案填在答题卡对应的题号后的横线上） 13. 某中学人数相等的甲、乙两班学生参加了同一次数学测验，两班平均分和方差分别为x甲=82分，x乙=82分，S2甲=245，S2乙=190．那么成绩较为整齐的是__________班 【答案】乙 【解析】 【分析】根据方差的意义，方差反映了一组数据的波动大小，根据方差越小，波动越小，故可由两班的方差得到结论． 【详解】∵S2甲＞S2乙∴成绩较为稳定的是乙． 故答案为乙． 【点睛】本题考查了方差的意义：反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立． 14. 若m是方程的一个根，则的值为_____． 【答案】2028 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，利用一元二次方程的解，找出是解题的关键．是方程的一个根，可得出，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】解：是方程的一个根， 故答案为：2028． 15. 如图，若圆锥的底面圆半径为，圆锥的母线长为，且，则该圆锥侧面展开的扇形的圆心角大小是__________． 【答案】##216度 【解析】 【分析】本题考查圆锥侧面积与扇形面积公式，将圆锥侧面积通过两种不同的方式表达出来，再结合即可求解． 【详解】解：由题知， 整理，可得， ， ， 解得， 圆锥侧面展开的扇形的圆心角大小是， 故答案为：． 16. 如图，的顶点A在反比例函数的图象上，顶点C在x轴上，轴，若点B的坐标为，，则k的值为_____． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练运用反比例函数的性质解决问题是本题的关键．设点，根据题意可得：，即可求点坐标，代入解析式可求的值． 【详解】解：轴，若点的坐标为， 设点， ， ， 点， 点在反比例函数的图象上， ， 故答案为：9． 17. 函数的图象如图所示，若直线与该图象只有一个交点，则的取值范围为________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数和一次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数和一次函数的相关知识是解决本题的关键．由与平行，可得当时，直线与原图象只有一个交点，联立，即得，再由只有一个交点求解即可． 【详解】解：与平行， 当时，直线与原图象只有一个交点， 联立， ， 即，， 只有一个交点， ， ， 的取值范围为：或 故答案为：或 18. 如图，已知∠MON=120°，点A，B分别在OM，ON上，且OA=OB=a，将射线OM绕点O逆时针旋转得到OM′，旋转角为α（0°＜α＜120°且α≠60°），作点A关于直线OM′的对称点C，画直线BC交OM′于点D，连接AC，AD，有下列结论： ①AD=CD； ②∠ACD的大小随着α的变化而变化； ③当α=30°时，四边形OADC为菱形； ④△ACD面积的最大值为a2； 其中正确的是_____．（把你认为正确结论的序号都填上）． 【答案】①③④ 【解析】 【详解】【分析】①根据对称的性质：对称点的连线被对称轴垂直平分可得：OM'是AC的垂直平分线，再由垂直平分线的性质可作判断； ②以O为圆心，以OA为半径作⊙O，交AO的延长线于E，连接BE，则A、B、C都在⊙O上，根据四点共圆的性质得：∠ACD=∠E=60°，说明∠ACD是定值，不会随着α的变化而变化； ③当α=30°时，即∠AOD=∠COD=30°，证明△AOC是等边三角形和△ACD是等边三角形，得OC=OA=AD=CD，可作判断； ④先证明△ACD是等边三角形，当AC最大时，△ACD的面积最大，当AC为直径时最大，根据面积公式计算后可作判断． 【详解】①∵A、C关于直线OM'对称， ∴OM'是AC的垂直平分线， ∴CD=AD，故①正确； ②连接OC， 由①知：OM'是AC的垂直平分线，∴OC=OA， ∴OA=OB=OC， 以O为圆心，以OA为半径作⊙O，交AO的延长线于E，连接BE， 则A、B、C都在⊙O上， ∵∠MON=120°， ∴∠BOE=60°， ∵OB=OE， ∴△OBE是等边三角形， ∴∠E=60°， ∵A、C、B、E四点共圆， ∴∠ACD=∠E=60°，故②不正确； ③当α=30°时，即∠AOD=∠COD=30°， ∴∠AOC=60°， ∴△AOC是等边三角形， ∴∠OAC=60°，OC=OA=AC， 由①得：CD=AD， ∴∠CAD=∠ACD=∠CDA=60°， ∴△ACD是等边三角形， ∴AC=AD=CD， ∴OC=OA=AD=CD， ∴四边形OADC为菱形，故③正确； ④∵CD=AD，∠ACD=60°， ∴△ACD是等边三角形， 当AC最大时，△ACD的面积最大， ∵AC是⊙O的弦，即当AC为直径时最大，此时AC=2OA=2a，α=90°， ∴△ACD面积的最大值是：AC2=，故④正确， 所以本题结论正确的有：①③④， 故答案为①③④． 【点睛】本题考查了轴对称的性质、圆内接四边形的性质、等边三角形的判定与性质、菱形的判定等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线构建图形并能灵活应用相关知识是解题的关键. 三、解答题（本大题共7小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤） 19. （1）计算： （2）已知关于x方程． ①若该方程的一个根为3，求a的值及该方程的另一根； ②求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 【答案】（1）； （2）①，方程另一个根是； ②证明：， 不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 【解析】 【分析】此题考查了实数混合运算，根的判别式，一元二次方程的根，熟练掌握一元二次方程根的判别式与方程根的关系是解本题的关键． （1）先计算零指数幂、负整数指数幂、去绝对值和二次根式运算，再去括号合并即可． （2）①根据方程有一根为3，将代入方程求出的值，确定出方程，即可求出另一根； ②根据根的判别式判断可得结论． 【详解】解：（1）原式， ， ； （2）①把代入方程得， ， 方程为， 解得：，，即方程另一个根是； ②略 20. 如图，在正方形网格图中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C，请在网格中进行下列操作： （1）请在图中确定该圆弧所在圆心D点的位置，D点坐标为______； （2）连接，则的半径为______；扇形的圆心角度数为______； （3）若扇形是某一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥的底面半径． 【答案】（1） 解：作的垂直平分线相交于点D． 设． ∵， ∴， 解得：， ∴． （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）找到的垂直平分线的交点D，设，由，利用两点间距离公式解方程即可求出y的值，即可得到圆心坐标； （2）利用勾股定理求出得长，即可得到圆的半径长，再根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，即，则扇形的圆心角度数为； （3）先求得扇形弧长，除以即为圆锥的底面半径． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图所示，连接， 由（1）得， ∴的半径为； ∵， ∴， ∴是直角三角形，即， ∴扇形的圆心角度数为， 故答案为：，； 【小问3详解】 解：由题意得，该圆锥的底面半径为； 【点睛】本题考查了垂径定理的推论以及圆锥的有关计算，勾股定理和勾股定理得逆定理．用到的知识点为：非直径的弦的垂直平分线经过圆心；圆锥的侧面展开图的弧长等于底面圆周长． 21. 某县教育局为了丰富初中学生的大课间活动，要求各学校开展形式多样的阳光体育活动．某中学就“学生体育活动兴趣爱好”的问题，随机调查了本校某班的学生，并根据调查结果绘制成如下的不完整的扇形统计图和条形统计图： （1）在这次调查中，喜欢篮球项目的同学有______人，在扇形统计图中，“乒乓球”的百分比为______%，如果学校有800名学生，估计全校学生中有______人喜欢篮球项目． （2）请将条形统计图补充完整． （3）在被调查的学生中，喜欢篮球的有2名女同学，其余为男同学．现要从中随机抽取2名同学代表班级参加校篮球队，请直接写出所抽取的2名同学恰好是1名女同学和1名男同学的概率． 【答案】（1） （2） 补全条形图如下： （3） 【解析】 【分析】（1）用喜欢跳绳的学生人数除以所占的百分比，求出班级人数，用班级人数减去喜欢跳绳，乒乓球和其他项目的人数，求出喜欢篮球项目的人数，用喜欢乒乓球的人数除以班级总人数，得到乒乓球的百分比，用全校人数乘以喜欢篮球的百分比，求出全校喜欢篮球的人数； （2）补全条形图即可； （3）画树状图求概率即可． 【小问1详解】 解：调查的总人数为人， ∴喜欢篮球项目的同学的人数人； 扇形图中：“乒乓球”的百分比：， 全校喜欢篮球的人数：人， ∴估计全校学生中有人喜欢篮球项目； 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：画树状图如下： 共有20种等可能的结果数，其中所抽取的2名同学恰好是1名女同学和1名男同学的结果数为12， 所以所抽取的2名同学恰好是1名女同学和1名男同学的概率 ． 【点睛】本题考查条形图和扇形图综合应用，以及画树状图法求概率．通过扇形图和条形图有效地获取信息，是解题的关键． 22. 南宁某楼盘准备以每平方米5000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望．为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后，决定以每平方米4050元的均价开盘销售． （1）求平均每次下调的百分率； （2）某人准备以开盘均价购买一套100平方米的房子．开发商还给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，送两年物业管理费．物业管理费是每平方米每月1.5元．请问哪种方案更优惠？ 【答案】（1）平均每次降价的百分率为10％；（2）选方案①更优惠 【解析】 【分析】（1）根据公式列出关系等式求解即可． （2）按照两种优惠方案，分别计算出优惠后的实际房款，再进行比较即可． 【详解】解：（1）设平均每次降价的百分率是x，依题意得 5000（1－x）2= 4050 解得：x1=10％，x2＝（不合题意，舍去） 答：平均每次降价的百分率为10％． （2）方案①的房款是：4050×100×0.98＝396900（元） 方案②的房款是：4050×100－1.5×100×12×2＝401400（元） ∵396900＜401400 ∴选方案①更优惠． 答：选方案①更优惠． 【点睛】本题考查了有关增长率问题的应用，增长或降低的基础公式为，n表示增长次数或降低．一般的方案问题，需要分别计算出各个方案的实际值，再作比较． 23. 如图，在平面直角坐标xOy中，正比例函数y＝kx的图象与反比例函数y＝的图象都经过点A（2，﹣2）． （1）分别求这两个函数的表达式； （2）将直线OA向上平移3个单位长度后与y轴交于点B，与反比例函数图象在第四象限内的交点为C，连接AB，AC，求点C的坐标及△ABC的面积． 【答案】（1）反比例函数表达式为，正比例函数表达式为； （2），. 【解析】 【详解】试题分析：（1）将点A坐标（2，-2）分别代入y=kx、y=求得k、m的值即可；（2）由题意得平移后直线解析式，即可知点B坐标，联立方程组求解可得第四象限内的交点C得坐标，可将△ABC的面积转化为△OBC的面积． 试题解析：（）把代入反比例函数表达式， 得，解得， ∴反比例函数表达式为， 把代入正比例函数， 得，解得， ∴正比例函数表达式为． （）直线由直线向上平移个单位所得， ∴直线的表达式为， 由，解得或， ∵在第四象限， ∴， 连接， ∵， ， ， ． 24. 如图，四边形是的内接四边形，，点、分别是弦、上的点． （1）若，．求证：是的直径． （2）若，，．求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 在与中，， ∴， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴， ∴是的直径． （2） 【解析】 【分析】（1）首先证明，得到，再根据圆内接四边形的性质，得到，由圆周角所对的弦是直径即可得到结论； （2）首先证出四边形是正方形，如图2，延长到，使，证明，，根据勾股定理列方程即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， 如图2，延长到，使， 在与中，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在与中，， ∴， ∴， 设，则， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴． 【点睛】本题考查弦、弧、圆心角之间的关系、圆周角定理、全等三角形的判定与性质、圆内接四边形的性质、正方形的判定与性质及勾股定理，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键． 25. 如图，已知抛物线的顶点坐标为，且与轴交于点与轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），点P是该抛物线上一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P与A不重合），过点P作轴，交于点D． （1）求该抛物线的函数关系式； （2）当是直角三角形时，求点P的坐标； （3）若点E是抛物线对称轴上一点，点F在抛物线上，问是否存在以A、B、E、F为顶点的平行四边形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）， （3）点F的坐标为，， 【解析】 【分析】（1）已知抛物线的顶点坐标，可将抛物线的解析式设为顶点式，然后将函数图象经过的C点坐标代入，即可求出解析式； （2）由于轴，所以，若是直角三角形，可考虑两种情况：当点为直角顶点时，，此时点与点B重合，由此可求出点的坐标；当点A为的直角顶点时，易知，则，所以平方，此时关于x轴对称，再求出直线的函数关系式，设，由于两点关于x轴对称，则纵坐标互为相反数，可据此求出点的坐标； （3）分三种情况讨论：当是四边形的对角线时，四边形是平行四边形；当是四边形的对角线时，四边形是平行四边形，设的坐标为，则，根据求出m的值，进而即可得出答案；当是四边形的对角线时，四边形是平行四边形， 设的坐标为，则，根据求出m的值，进而即可得出答案． 【小问1详解】 解：抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， 将代入解析式，得 解得：， ， 即； 【小问2详解】 分两种情况： 当点为直角顶点时，点与点B重合， 令，得， 解得：， 点A在点B的右侧 ， ； 当点A为的直角顶点时， ， ， 当时，， 平分， 又轴， ， 关于x轴对称， 设直线的函数关系式为， 将代入关系式，得 ， 解得， ， 设， 则有， 即， 解得（舍去）， 当时，， （即为抛物线顶点）， 综上所述：，； 【小问3详解】 分三种情况： 当是四边形的对角线时，四边形是平行四边形， 此时于抛物线的顶点Q重合， ； 当是四边形的对角线时，四边形是平行四边形， ， 设的坐标为，则， ， 解得， 的纵坐标为， 即； 当是四边形的对角线时，四边形是平行四边形， ，， 设的坐标为，则， ， 解得， 的纵坐标为， 即， 综上所述：点F的坐标为，，． 【点睛】本题考查了求二次函数解析式、直角三角形的判定、平行四边形的判定与性质等知识，同时还考查了分类讨论的数学思想，能力要求较高，难度较大． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $