广东省东莞市东城区联考2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试题

第 1 页 2024-2025学年第一学期期末质量自查 九年级数学试题答案 一．选择题（每小题 3 分，共 30分） 1.C 2.A 3.C 4.A 5.B 6.A 7.B 8.C 9.D 10.D 二．填空题（每小题 3 分，共 15分） 11.5 12.60° 13. 0x  或 >4x 14.60 15.①②④ 三．解答题（共 4小题，5+5+5+6，共 21分） 16．解方程： 0542  xx 解：原方程变为： 0)5)(1(  xx „„„„„„„„„„„„„„„„„„„2分 ∴ 01x 或 05 x „„„„„„„„„„„„„„„„„4分 ∴ 11 x 52 x „„„„„„„„„„„„„„„„„„5分 17．已知△ABC三顶点的坐标分别为 A（0，2）、B（3，3）、C（2，1）． （1）画出△ABC； （2）以 B为位似中心，将△ABC放大到原来的 2倍，在右图的网格图中画出放大后的图形△A1BC1； 解：（1）根据 A（0，2）、B（3，3）、C（2，1）．在坐标系中找出连接即可„„„2分 （2）把原三角形的三边对应的缩小或放大一定的比例即可得到对应的相似图形． 所画图形如下所示： „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„5 分 第 2 页 18.如图，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似的看成抛物线，喷水头的高度（即OB 的长度）是 1 米．当喷射出的水流距离喷水头 8米时，达到最大高度 1.8米，求水流喷射的最远水平距离OC ． 解：∵喷水头的高度（即OB 的长度）是 1米．当喷射出的水流距离喷水头 8米时，达到最大高度1.8 米，设抛物线解析式为   2 8 1.8y a x   „„„„„„„„„„„1分 将点 B  0,1 代入，得 1 64 1.8a  解得 1 80 a   ∴抛物线解析式为：   21 8 1.8 80 y x    „„„„„„„„„„„3 分 令 0y  ，则   21 8 1.8 0 80 x    解得 1 20x  ， 2 4x   （不合题意，舍去）„„„„„„„„„„„4 分 ∴  20,0C ， 20OC  „„„„„„„„„„„5分 19.如图， O 的直径 4AB  ，半径OC AB ，点D 在弧BC上，DE OC ，DF AB ，垂足分别为E 、 F ，若点 E 为OC 的中点，求弧 CD的长． 第 3 页 解：如图所示，连接 OD，交 EF 于点G ， ∵OC AB ，DE OC ，DF AB ， ∴四边形OEDF 是矩形„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„1分 ∴OG GD GF  ∵点 E 为OC 的中点， ∴ 1 1 2 2 DF OE OC OD GO    „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„2分 ∴OE OG EG  ∴ OEG 是等边三角形„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„4分 ∴ 60COD  ，∴弧CD的长为 3 2 180 260    l „„„„„„„„„„„„„„6分 四．解答题（共 4小题，7+7+8+8=30 分） 20．我们知道，在平面内，如果一个图形绕着一个定点旋转一定的角度后能与自身重合，那么就称 这个图形是旋转对称图形，转的这个角称为这个图形的一个旋转角．例如，正方形绕着它的对角线 的交点旋转90 后能与自身重合所以正方形是旋转对称图形，它有一个旋转角为90 ． （1）判断下列说法是否正确（在相应横线里填上“对”或“错”） ①正五边形是旋转对称图形，它有一个旋转角为144 ．________ ②长方形是旋转对称图形，它有一个旋转角为180 ．________ （2）写出两个多边形，它们都是旋转对称图形，都有一个旋转角为72 ，其中一个是轴对称图形， 但不是中心对称图形；另一个既是轴对称图形，又是中心对称图形． 解：（1）①对„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„1分 第 4 页 ②对„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„2分 （2） 360 72 5  „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„3分 正五边形满足有一个旋转角为72 ，是轴对称图形，但不是中心对称图形„„„5分 正十边形有一个旋转角为72 ，既是轴对称图形，又是中心对称图形．„„„„„„7分 21．如图，一次函数 y x b  与反比例函数 y  k x (k 为常数， 0)k  的图象在第一象限内交于点  1,2A ， 且与 x轴、 y 轴分别交于 B ，C 两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)点 P 在 x轴上，且 BCP 的面积等于 2 ，求点 P 的坐标． 解：（1）解：把  1,2A 代入 y x b  得1 2b  ，解得 1b  ， ∴一次函数解析式为 1y x  ；„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„1分 把  1,2A 代入 y  k x 得 1 2 2k    ， 反比例函数解析式为 y  2 x ；„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„3分 （2）设  ,0P t ， 当 0x  时， 1 1y x   ，则  0,1C ， 当 0y  时， 1 0x  ，解得 1x   ，则  1,0B  ， BCP的面积等于2 ， ∴ 1 2 1 1 2t    ，解得 3t  或 5t   ，„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„6分 ∴点 P 的坐标为  3,0 或  5,0 ．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„7分 第 5 页 22．东莞某特产专卖店销售某种特产，其进价为每千克 40元，按每千克 60元出售，平均每天可售 出 100千克，后天经过市场调查发现，单价每降低 1元，平均每天的销售量可增加 10千克．专卖店 销售这种特产若想要平均每天获利 2240元，且销售量尽可能大，则每千克特产应定价为多少元？ 解：方法 1：设每千克特产应降价 x元„„„„„„„„„„„„„1分 （60﹣x﹣40）（100+10x）＝2240„„„„„„„„„„„„„„„4分 解得 x1＝4，x2＝6„„„„„„„„„„„„„„„5分 ∵ 销售量尽可能大，∴x＝6„„„„„„„„„„„„„„„6分 60﹣6＝54元„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„7分 答：每千克特产应定价 54元．„„„„„„„„„„„„„„„„„„8 分 方法 2：设每千克特产降价后定价为 x元„„„„„„„„„„„„„„„„1分 （x﹣40）[100+10（60﹣x）]＝2240„„„„„„„„„„„„„„„4分 解得 x1＝54，x2＝56„„„„„„„„„„„„„„„6分 ∵ 销售量尽可能大，∴ x＝54„„„„„„„„„„„„„„„„„„„7分 答：每千克特产应定价 54元．„„„„„„„„„„„„„„„„„„8 分 23．为落实国家“双减”政策，立德中学在课后托管时间里开展了“音乐社团、体育社团、文学社 团，美术社团”活动．该校从全校 3000名学生中随机抽取了部分学生进行“你最喜欢哪一种社团活 动（每人必选且只选一种）”的问卷调查，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中信息，解答下列问题 （1）参加问卷调查的学生共有 人； （2）条形统计图中 m的值为 ，扇形统计图中 的度数为 ； （3）根据调查结果，可估计该校 3000名学生中最喜欢“音乐社团”的约有______人； 50 120 75 第 6 页 （4）现从“文学社团”里表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加演讲比赛，请用 列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙两名同学的概率． 解：（1）120÷40%=300（人） ∴参加问卷调查的学生共有 300人„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„1分 （2）由题意得： 557512050300 m ， 00 90 300 75 360  „„„„„„„„„3分 （3） 500 300 50 3000  （人） ∴估计该校 3000名学生中最喜欢“音乐社团”的约有 500人„„„„„„„„„„„„„„4分 （4）设甲、乙、丙、丁四名同学分别用 A，B，C，D表示，根据题意可画树状图或列表如下： „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„6分 由上图或上表可知，共有 12种等可能的结果，符合条件的结果有 2种，故恰好选中甲、乙两名同学 的概率为 2 1 12 6 P   ．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„8分 五．解答题（共 2小题，每小题 12分，共 24分） 24.如图，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边 AB上一点 O为圆心，OB为半径作⊙O，交 AC于点 E， 交 AB于点 D，且∠BEC＝∠BDE． （1）求证：AC是⊙O的切线； （2）连接 OC交 BE于点 F，若 𝐶𝐸 𝐴𝐸 = 2 5 ，求 𝑂𝐹 𝐶𝐹 的值． （1）证明：连接 OE， 第 7 页 ∵OB＝OE， ∴∠OBE＝∠OEB„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„1分 ∵∠ACB＝90°， ∴∠CBE+∠BEC＝90°„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„2分 ∵BD是直径， ∴∠BED＝90°„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„3分 ∴∠DBE+∠BDE＝90°，∴∠CBE＝∠DBE， ∴∠CBE＝∠OEB，∴OE∥BC， ∴∠OEA＝∠ACB＝90°， ∴OE⊥AC„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„5分 又∵OE是半径， ∴AC是⊙O的切线„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„6分 （2）解：∵OE∥BC， ∴△AOE∽△ABC„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„7分 ∴ 𝑂𝐸 𝐵𝐶 = 𝐴𝐸 𝐴𝐶 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„8分 ∵ 𝐶𝐸 𝐴𝐸 = 2 5 ， ∴ 𝐴𝐸 𝐴𝐶 = 5 7 ， ∴ 𝑂𝐸 𝐵𝐶 = 5 7 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„10分 ∵OE∥BC， ∴△OEF∽△CBF„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„11分 ∴ 𝑂𝐹 𝐶𝐹 = 𝑂𝐸 𝐵𝐶 = 5 7 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„12分 第 8 页 25.如图，在平面直角坐标系中，抛物线 21 2 y x bx c   与直线 AB 交于点  0, 4A  ，  4 0B ， ． (1)求该抛物线的函数解析式； (2)如图①，若点 H是抛物线的顶点，在 x轴上存在一点 G，使 AHG的周长最小，求此时点 G的坐 标． (3)如图②，点 P为直线 AB 下方抛物线上的一动点，过点 P作 PM AB 交 AB 于点 M，过点 P作 y轴 的平行线交 x轴于点 N，求 2PM PN 的最大值及此时点 P的坐标． 解：（1）根据题意得， 2 4 1 0 4 4 2 c b c          ，解得 1 4 b c      ，„„„„„„„„„„„„2分 则抛物线的解析式为 21 4 2 y x x   „„„„„„„„„„„„„„„„„„3 分 （2）作点 A关于 x轴的对称点 A，连接 A H 交 x轴于点 G，此时 AHG的周长最小，如下图： 则  0 4A ， ， ∵抛物线的解析式为   221 14 1 4.5 2 2 y x x x      ， ∴  1, 4.5H  „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„4分 第 9 页 ∵  0, 4A  ， 设 A H 的直线解析式为 y kx b  ，则 4.5 4 k b b      ，解得 8.5 4 k b     则 A H 的解析式为 8.5 4y x   „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„6分 当 0y  时， 8.5 4 0x   ，解得 8 17 x  ， ∴ 8 ,0 17 G       „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„7分 （3）∵  0, 4A  ，  4 0B ， ， ∴ 4OA OB  ， ∴ OAB△ 是等腰直角三角形，∴ 45OBA  ， 设直线 AB 的解析式为 y kx b  ， 0 4 4 k b b      ，解得 1 4 k b     ， 则直线 AB 的解析式为 4y x  „„„„„„„„„„„„„„„„„„8分 设 PN 与 AB 交于点 C，如图， ∵PN x 轴于点 N， ∴ BNC 是等腰直角三角形， ∴ 45BCN  ， ∴ 45PCM  ， ∵ PM AB ， ∴ PMC△ 是等腰直角三角形， 第 10 页 ∴ 2PC PM „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„9分 ∴ 2PM PN PC PN   ， 设 21, 4 2 P t t t        ，则    , 4 , 0C t t N t ， ， ∴ 2 21 14 4 2 2 2 PC t t t t t              ， 2 21 10 4 4 2 2 PN t t t t              ， ∴ 2 2 21 1 3 252 2 4 2 2 2 4 PM PN PC PN t t t t t                          „„„„11分 ∵ 1 0  ，∴当 3 2 t  时， 2PM PN 的最大值为 25 4 ，此时 3 35 , 2 8 P       „„„„„„„12分 2024一2025学年第一学期期末质量自查 镇 区 九年级数学试题 说明:1.全卷共6页,满分为120分,考试时间为120分钟。 2.答题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卷各题目的 指定区域内相应位置上:如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新 的答案:不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 3.考生必须保持答题卷的整洁。考试结束后,将试题卷和答题卷一并交回。 选择题(共10题,每小题3分,共30分) 学 校 1.下列图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是( B 密 2.已知m,n是一元二次方程x2一4x一3=0的两个实数根,则m十n的值 为() 班 别 线 A.4 B.3 C.-3 D.-4 内 3.下列成语所描述的事件属于必然事件的是( ) 不 A.画饼充饥 B.缘木求鱼 C.水滴石穿 D.水中捞月 答 4.如图,AB是 ADC外接圆的直径,∠D=40 ,则∠CAB的度数为() A.50 B.25 C.40 D.20 5.如图,D、E分别是 ABC的边AB,AC上的点,且DE∥BC,BE交DC于点F。 E那:FB1:3,则8ADF_的值为( ) 姓 名 SABFC A. B. C.3 D.以上答案都不对 9 3 0 60 座 号 第4题 第5题 第7题 6.将一元二次方程x(一x十2)=3化成一般形式后,若二次项系数为1,则一次 项系数是() A.-2 B.2 C.1 D.3 九年级数学第1页(共6页) 7.如图是小明实验小组成员在小孔成像实验中的彩像,蜡烛在刻度尺50cm 处,遮光板在刻度尺70cm处,光屏在刻度尺80cm处,量得像高3cm,则蜡 烛的长为() A.5cm B.6cm C.4cm D.4.5cm 8.将抛物线y=2x2向左平移3单位,再向下平移2个单位,得到的抛物线是 () A.y=2(x-3)}2-2 B.y=2(x-2)}2+3 C.y=2(x+3)2-2 D.y=2(x-2)}2-3 9.如图,正方形ABCD的边长为4,以点A为圆心,AD为半径画圆弧DE得到 扇形DAE(阴影部分,点E在对角线AC上),若扇形DAE正好是一个圆锥 的侧面展开图,则该圆锥的底面圆半径是() A.2 B.1 c.2 D. 10.二次函数y=a2十bx十c(a≠0)图象的一部分如图所示.已知图象经 过点(3,0),对称轴为直线x=1,给出下列结论:①abc<0: ②a一b十c=0;③8a十c<0;④若抛物线经过点(-3,n),则关于x的 一元二次方程x2+bx+c一n=0(a0)的两根分别为-3,5.上述结 论中正确的个数为() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 x=1 3 x 第9题 第10题 二.填空题(共5题,每小题3分,共15分) 11.在平面直角坐标系中,己知点A(-2,b)与点B(a,3)关于原点对称,则 a一b的值为 12.如图,P是等边 ABC内部一点,把 ABP绕点A逆时针旋转,使点B与 点C重合,得到 ACO,则旋转角的度数是度。 13.如图,二次函数y十ax2+bx+c图象经过点A(0,6)、B(3,3)、C(4,6)。 当y>6时,x的取值范围为 九年级数学第2页(共6页) 14.某盏路灯照射的空间可以看成如图所示的圆锥,它的高AO=8米,母线 AB=10米,则该圆锥的侧面积是 平方米(结果保留 ) 15.如图,AB是⊙O的直径,弦CD平分圆周角∠ACB,则下列结论: ①AD=BD:② ABD是等腰直角三角形:③CA+CB=√5CD; 国a4w-2CD.正确的有 B B -2-10 第12题 第13题 第14题 第15题 三.解答题(共4小题,5十5+5+6,共21分) 16.解方程:x2一4x一5=0 17.已知 ABC三顶点的坐标分别为A(0,2)、B(3,3)、C(2,1)。 (1)画出 ABC; (2)以B为位似中心,将 ABC放大到原来 的2倍,在右图的网格图中画出放大后 的图形 ABC。 1 18.如图,一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似的看成抛物线,喷水头的高 度(即OB的长度)是1米,当喷射出的水流距离喷水头8米时,达到最大 高度1.8米,求水流喷射的最远水平距离OC. 个y(米) 1.8 x(米) 九年级数学第3页(共6页) 19,如图,⊙O的直径AB=4,半径OC⊥AB,点D在弧BC上,DE⊥OC, DF⊥AB,垂足分别为E、F,若点E为OC的中点,求孤CD的长。 四.解答题(共4小题,7+7+8+8=30分) 20.我们知道,在平面内,如果一个图形绕着一个定点旋转一定的角度后能 与自身重合,那么就称这个图形是旋转对称图形,旋转的这个角称为这 个图形的一个旋转角,例如,正方形绕着它的对角线的交点旋转90 后 能与自身重合所以正方形是旋转对称图形,它有一个旋转角为90 。 (1)判断下列说法是否正确(在相应横线里填上“对”或“错”) ①正五边形是旋转对称图形,它有一个旋转角为144 。 ②长方形是旋转对称图形,它有一个旋转角为180 。 (2)写出两个多边形,它们都是旋转对称图形,都有一个旋转角为72 ,其 中一个是轴对称图形,但不是中心对称图形;另一个既是轴对称图形, 又是中心对称图形。 009 2,如图,一次函数y=x十b与反比例函数y=兰为常数,(k为常数,k+0) 的图象在第一象限内交于点A(1,2),且与x轴、y轴分别交于B,C两点。 (1)求一次函数和反比例函数的表达式: (2)点P在x轴上,且 BCP的面积等于2,求点P的坐标。 九年级数学第4页(共6页) 22.东莞某特产专实店销售某种特产,其进价为每千克40元,按每千克60元出 售,平均每天可售出100千克。经过市场调查发现,单价每降低1元,平均 每天的销售量可增加10千克。专卖店销售这种特产若想要平均每天获利 2240元,且销售量尽可能大,则每千克特产应定价为多少元? 23.为落实国家“双减”政策,某中学开展了“音乐社团、体育社团、文学社 团、美术社团”活动.该校从全校3000名学生中随机抽取了部分学生进行 “你最喜欢哪一种社团活动(每人必选且只选一种)”的问卷调查,根据调 查结果,绘制了如图所示的两幅不完整的统计。 调查结果的条形统计图 调查结果的扇形统计图 人数从) 30 120 A:音乐社团 25 B:体育社团 B 15 75 C:文学社团 % 50 10 D:美术社团 5 0 A D 类型 根据图中信息,解答下列问题 (1)参加问卷调查的学生共有 人 (2)条形统计图中m的值为 ,扇形统计图中a的度数为 (3)根据调查结果,可估计该校3000名学生中最喜欢“音乐社团”的约有 人: (4)现从“文学社团”里表现优秀甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参 加演讲比赛,请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙两名同学 的概率。 九年级 数学第5页(共6页) 五、解答题(共2小题,每小题12分,共24分) 2A、如图,在Rt ABC中,∠ACB=90 ,以斜边MD上一点O为圆心、OB为半径 作⊙O,交AC于点E,交AB于点D,且∠BEC一∠BDE。 (1)求证:AC是⊙O的切线: @准楼0c交6于款,者治-号,求8 F的值。 0 25.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=x4+x+c与直线AB交于点4(0,-4), 密 B(4,0)。 封线 内 要 题 图① 图② (1)求该抛物线的函数解析式: (2)如图①,若点H是抛物线的顶点,在x轴上存在一点G,使 AHG的周长 最小,求此时点G的坐标。 (3)如图②,点P为直线AB下方抛物线上的一动点,过点P作PM⊥AB交AB 于点M,过点P作y轴的平行线交x轴于点N,求√2PM+PN的最大值及 此时点P的坐标。 九年级数学第6页(共6页)