精品解析：天津市河北区2024-2025学年高一上学期期末质量检测数学试卷

河北区2024-2025学年度第一学期期末高一年级质量检测 数学 一､选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的， 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“是第一象限角”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 化简的值是（ ） A. B. C. D. 4. 下列函数中，在其定义域内既是增函数又是奇函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知角的终边经过点，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 7. 若，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后将图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），则所得图象对应的函数解析式为（ ） A. B. C D. 9. 已知函数为定义在上的奇函数，且在为减函数，在为增函数，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数函数有四个不同的零点，从小到大依次为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分.答案填在题中横线上. 11. 一个面积为2的扇形，所对的弧长为1，则该扇形的圆心角为_________弧度． 12. 函数定义域为__________. 13 已知，则__________. 14. 已知函数，且的图象恒过定点，若点在一次函数的图象上，其中，则的最小值是__________. 15. 已知函数在一个周期内的图象如图所示，此函数的解析式为__________. 三､解答题：本大题共4个小题，共40分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 计算下列各式： （1）； （2）. 17. 已知，且是第二象限角. （1）求的值： （2）求的值： （3）求值. 18. 已知指数函数，且的图象过点. （1）求的值； （2）若，求的值； （3）求不等式的解集. 19. 已知函数. （1）求函数的最小正周期； （2）求函数单调递增区间； （3）若函数在存在零点，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 河北区2024-2025学年度第一学期期末高一年级质量检测 数学 一､选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的， 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合的补集，交集运算可得解. 【详解】由题意，故， 故选：C 2. “”是“是第一象限角”的（ ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分、必要条件的定义，结合角的概念，即可得答案. 【详解】若，则一定是第一象限角，充分性成立； 若是第一象限角，则， 无法得到一定属于，必要性不成立. 所以“”是“是第一象限角”的充分不必要条件. 故选：A 3. 化简的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用诱导公式化简可得所求代数式的值. 【详解】. 故选：B. 4. 下列函数中，在其定义域内既是增函数又是奇函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】A不是奇函数；BD在定义域上不单调，C满足要求. 【详解】A选项，的定义域为，故不是奇函数，A错误； B选项，的定义域为， 其中在上单调递增，但在定义域上不单调递增，B错误； C选项，的定义域为R，且， 所以在定义域内为奇函数， 又在R上单调递增，C正确； D选项，定义域为R，且在R上不单调，D错误. 故选：C. 5. 已知角的终边经过点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正切函数的定义直接求解. 【详解】角的终边经过点，所以. 故选：A 6. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分析函数的奇偶性，及其在上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】对任意的，，故函数的定义域为， 且，即函数为奇函数，排除AB选项， 当时，，则，排除C选项. 故选：D. 7. 若，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数的单调性可得，，，可得结论. 【详解】因为在上单调递减，又，所以，所以， 因为在上单调递增，又，所以， 因为在上单调递增，又，所以， 所以. 故选：B. 8. 将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后将图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），则所得图象对应的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角函数的平移变换和伸缩变换求解. 【详解】解：将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度得到， 再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到， 然后将图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），则所得图象对应的函数解析式为， 故选：B 9. 已知函数为定义在上的奇函数，且在为减函数，在为增函数，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据奇函数性质确认函数零点，再根据已知单调性可以求出函数在各个区间符号，由不等式性质可得解. 【详解】因为为定义在上的奇函数，所以，且 又因，所以， 又因在为增函数，在上， 在上， 又因在为减函数，所以上， 综上，当时，，当时， 当时，则，所以，则， 当时，则，所以，则， 不等式可化简变形， 综上所述可知当时，. 故选：D 10. 已知函数函数有四个不同的零点，从小到大依次为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先将函数有四个不同的零点，转化为函数，有四个不同的交点，利用数形结合得到的范围，再根据为方程的两根，为方程的两根，利用韦达定理建立的函数，再利用函数的单调性求解. 【详解】在上单调递减，在上单调递增，当时取得最小值1， 当时函数值为，当趋近于时，函数值趋于正无穷； 在上单调递减，在上单调递增， 当时取得最小值1，当趋近于0时趋近于， 当趋近于时趋近于.如图所示： 因为函数有四个不同的零点，所以函数，有四个不同的交点， 由图知：， 设为方程的两根，即的两根，即的两根， 所以， 设为方程的两根，即的两根， 所以，所以， 由得,所以， 所以，所以. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题关键是利用利用数形结合法确定的范围，进而利用函数法求解. 二､填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分.答案填在题中横线上. 11. 一个面积为2的扇形，所对的弧长为1，则该扇形的圆心角为_________弧度． 【答案】 【解析】 【分析】 求出扇形的半径后可求圆心角的弧度数. 【详解】设扇形的半径为，则，故，故圆心角的弧度数为， 故答案为：. 12. 函数的定义域为__________. 【答案】 【解析】 【分析】结合函数的解析式得到关于的不等式组，求解不等式组即可确定函数的定义域. 【详解】由函数的解析式可得：，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 13. 已知，则__________. 【答案】##0.3125 【解析】 【分析】对所求表达式分子分母同时除以，化为的形式，由此求得所求表达式的值. 【详解】因为，所以， 所以. 故答案为：. 14. 已知函数，且的图象恒过定点，若点在一次函数的图象上，其中，则的最小值是__________. 【答案】8 【解析】 【分析】根据对数函数图象与性质求出点的坐标，再借助“1”的妙用求出最小值作答. 【详解】函数，且中， 当，即时，恒有，因此点， 而点在一次函数的图象上，则，又， 于是， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值. 故答案为：. 15. 已知函数在一个周期内的图象如图所示，此函数的解析式为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据所给的图象，可得到，周期的值，进而得到，根据函数的图象过点可求出的值，得到三角函数的解析式． 【详解】由图象可知，所以， 由，解得，所以三角函数的解析式是， 又因为函数的图象过， 把点的坐标代入三角函数的解析式得， 所以，所以，所以， 又，所以，三角函数的解析式是. 故答案为：. 三､解答题：本大题共4个小题，共40分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 计算下列各式： （1）； （2）. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用指数幂的运算性质计算可得所求代数式的值； （2）利用对数的换底公式计算可得所求代数式的值. 【小问1详解】 原式 【小问2详解】 原式. 17. 已知，且是第二象限角. （1）求的值： （2）求的值： （3）求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据同角三角函数的基本关系求出； （2）利用两角和的余弦公式求解即可； （3）利用二倍角的正切公式求解即可. 【小问1详解】 因为，且是第二象限角， 所以； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 18. 已知指数函数，且的图象过点. （1）求的值； （2）若，求值； （3）求不等式的解集. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由于函数过点，将点代入函数解析式即可求得a的值. （2）将分别代入函数中，分别求得，再用对数的运算性质求得的值. （3）将中的1代换成，再由函数的单调性即可求得不等式的解集. 【小问1详解】 因为指数函数，且的图象过点， 所以，解得， 又因为， 所以的值为； 【小问2详解】 由（1）知， 因为，即， 所以， 故； 【小问3详解】 不等式， 因为，所以， 因为函数在上单调递减， 所以， 解得， 所以不等式的解集为. 19. 已知函数. （1）求函数的最小正周期； （2）求函数的单调递增区间； （3）若函数在存在零点，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，结合正弦型函数的周期公式可求得函数的最小正周期； （2）利用正弦型函数的单调性可求得函数的单调递增区间； （3）由参变量分离法可得，则实数的取值范围即为函数在时的值域，利用正弦型函数的基本性质求解即可. 【小问1详解】 ， 所以函数的最小正周期为. 【小问2详解】 令， 解得， 所以函数的单调递增区间为. 【小问3详解】 因为函数在存在零点， 即方程在上有解， 所以，实数的取值范围即为函数在时的值域. 当时，，故， 所以，即，故实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$