精品解析：2024－2025学年北师大版数学九年级上册期末自主检测卷（A）

北师大版数学七年级上册期末自主检测卷（A） 考试时间∶120分钟 满分150分 一、单选题（本大题共10小题，总分40分） 1. 下列说法不正确的是（ ） A. 矩形的对角线相等且互相平分 B. 菱形的对角线互相垂直平分 C. 正方形的对角线相等且互相平分 D. 平行四边形、矩形、菱形、正方形都是轴对称图形 2. 方程的解是 A. x1=2，x2= 3 B. x1=2，x2=1 C. x=2 D. x=3 3. 某商场进行抽奖活动，每名顾客购物满元可以获得一次抽奖机会．抽奖箱中只有两种卡片：“中奖”和“谢谢惠顾”（两种卡片形状大小相同、质地均匀）．下表是活动进行中的一组统计数据： 抽奖次数 抽到“中奖”卡片的次数 中奖的频率 根据频率的稳定性，估计抽奖一次就中奖的概率约是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，和是以点为位似中心的位似三角形，若为的中点，，则的面积为（ ） A 15 B. 12 C. 9 D. 6 5. 甲、乙两人沿着如图所示平行四边形空地边缘进行跑步比赛，二人同时从点B出发，沿着平行四边形边缘顺时针跑步，且甲的速度是乙的速度的2倍．当甲到达点E，乙到达点F时，甲、乙的影子（太阳光照射）刚好在同一条直线上，此时，点B处一根杆子的影子（太阳光照射）刚好在对角线上，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，矩形的对角线与反比例函数相交于点D，且，则矩形的面积为（ ）． A. 50 B. 25 C. 15 D. 7. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 8. 如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 已知反比例函数经过平移后可以得到函数，关于新函数，下列结论正确的是（ ） A. 当时，y随x增大而增大 B. 该函数的图象与y轴有交点 C. 该函数图象与x轴的交点为（1，0） D. 当时，y的取值范围是 10. 如图，在矩形中，，，连结，，分别在边，上，连结，分别交于点，，若，，则下列结论中：①；②；③；④．结论正确的有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11. 若，且，则________． 12. 若是方程的两个实数根，则的值为______． 13. 某校冬季选修课深受学生喜欢，小冰和小城从“滑冰、冰壶、雪地足球、冰尜”中任选一门学习，两人恰好都选到“冰尜”的概率的是__________． 14. 如图①，一张正三角形纸片，，点在边上，，点是边上的一点．如图②，将沿翻折得到，与的边相交于点和点．若，，则的长度为______． 15. 如图，正方形ABCD的顶点A在反比例函数（x＞0）的图象上，函数（x＞0）的图象关于直线AC对称，且经过点B，D两点，若AB＝2，现给出下列结论：①O，A，C三点一定在同一直线上；②点A的横坐标是；③点B的纵坐标是1；④点O关于直线BD的对称点一定在函数的图象上．其中正确的是 _____（写出所有正确结论的序号）． 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 计算： （1）已知比例式，求x的值． （2）已知线段， 线段，求线段a， b的比例中项线段c． 18. 如图，是经过某种变换后得到的图形，分别观察点与点，点与点，点与点的坐标之间的关系． （1）若三角形内任意一点的坐标为，点M经过这种变换后得到点N，根据你的发现，点N的坐标为 ． （2）若三角形先向上平移3个单位，再向右平移4个单位得到三角形，画出三角形，并求三角形的面积． （3）直接写出与y轴交点的坐标 ． 19. 某校组织代表队参加市“与经典同行”吟诵大赛，初赛后对选手成绩进行了整理，分成5个小组（x表示成绩，单位：分）．A组：；B组：；C组：；D组：；E组：，并绘制如下两幅不完整的统计图：请根据图中信息，解答下列问题： （1）参加初赛的选手共有__________名，请补全频数分布直方图； （2）扇形统计图中，C组对应的圆心角是多少度？E组人数占参赛选手的百分比是多少？ （3）学校准备组成8人的代表队参加市级决赛，E组6名选手直接进入代表队，现要从D组中的两名男生和两名女生中，随机选取两名选手进入代表队，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中两名女生的概率． 20. 如图，路灯（点）距地面8米，身高1.6米的小明从距路灯的底部（点）20米的A点，沿OA所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？ 21. 已知关于x方程x2-（3k+1）x+2k2+2k=0， （1）求证：无论k取何实数值，方程总有实数根． （2）若等腰△ABC的一边长为a=6，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求此三角形的周长． 22. 素材1：如图是拟建中的一个温室平面设计图纸，图纸上1个单位长度代表实际距离1米，温室是一个矩形，其周长为120，准备在它的四周铺设道路，左右两条纵向道路的宽度都为1，上边横向道路的宽度为1，下边横向道路的宽度为3，中间部分（阴影部分）种植草莓，种植面积为720． 素材2：道路的路面造价是70元/平方米；经市场调查，草莓培育一年可产果，已知每平方米的草莓销售平均利润为100元；其余费用为3万元． 任务1：（1）实际中温室的长不能大于35米，通过计算说明拟建的温室是否达标； 任务2：（2）求经过1年后，温室年净利润为多少？（净利润=草莓销售的总利润-路面造价费用-其余费用） 23. 如图．四边形中，平分，，为的中点．连接，． （1）求证：； （2）若，．求的值． 24. 已知：点、分别在平行四边形的边、上，连接、，，． （1）如图1，求证：四边形是菱形； （2）如图2，连接，若，在不添加任何辅助线情况下，请直接写出图2中（和除外）的4个等腰三角形． 25. 如图，一次函数与反比例函数交于，两点，与轴交于点，且． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）点是轴上一动点，连接，，当面积为6时，请求出点的坐标； （3）将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，在反比例函数上，是否存在一点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 北师大版数学七年级上册期末自主检测卷（A） 考试时间∶120分钟 满分150分 一、单选题（本大题共10小题，总分40分） 1. 下列说法不正确的是（ ） A. 矩形的对角线相等且互相平分 B. 菱形的对角线互相垂直平分 C. 正方形的对角线相等且互相平分 D. 平行四边形、矩形、菱形、正方形都是轴对称图形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的知识点是平行四边形及特殊平行四边形的性质、轴对称图形的识别，解题关键是熟练掌握特殊平行四边形的相关性质． 根据矩形、正方形、菱形、平行四边形的性质及轴对称图形的定义对选项进行逐一判断即可求解． 【详解】解：选项，“矩形的对角线相等且互相平分”正确，不符合题意，选项错误； 选项，“菱形的对角线互相垂直平分”正确，不符合题意，选项错误； 选项，“正方形的对角线相等且互相平分”正确，不符合题意，选项错误； 选项，平行四边形不是轴对称图形，“矩形、菱形、正方形都是轴对称图形”不正确，符合题意，选项正确． 故选：． 2. 方程的解是 A. x1=2，x2= 3 B. x1=2，x2=1 C. x=2 D. x=3 【答案】A 【解析】 【分析】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可. 【详解】, 移项得：(x-2)2-(x-2)=0, 提公因式得：（x-2）(x-2-1)=0, 解得：.故选A. 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用. 3. 某商场进行抽奖活动，每名顾客购物满元可以获得一次抽奖机会．抽奖箱中只有两种卡片：“中奖”和“谢谢惠顾”（两种卡片形状大小相同、质地均匀）．下表是活动进行中的一组统计数据： 抽奖次数 抽到“中奖”卡片的次数 中奖的频率 根据频率的稳定性，估计抽奖一次就中奖的概率约是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率； 利用频率估计概率求解即可． 【详解】解：根据频率的稳定性，估计抽奖一次就中奖的概率约是， 故选：C． 4. 如图，和是以点为位似中心的位似三角形，若为的中点，，则的面积为（ ） A. 15 B. 12 C. 9 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据为的中点，则位似比为，再根据相似比等于位似比，面积比等于相似比的平方便可求解． 【详解】∵和是以点为位似中心的位似三角形，为的中点， 面积是3， ∴， ∴， ∴， 解得：． 故选B． 【点睛】本题考查位似比等于相似比，同时面积比是相似比的平方，掌握知识点是关键． 5. 甲、乙两人沿着如图所示的平行四边形空地边缘进行跑步比赛，二人同时从点B出发，沿着平行四边形边缘顺时针跑步，且甲的速度是乙的速度的2倍．当甲到达点E，乙到达点F时，甲、乙的影子（太阳光照射）刚好在同一条直线上，此时，点B处一根杆子的影子（太阳光照射）刚好在对角线上，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查平行线段分线段成比例，分式方程解实际应用题，得到关系式是解题的关键．根据题意得到，根据时间相等列出等式即可求解． 【详解】解：连接， 根据题意可得，故， ， ， 设乙的速度为，故甲的速度为， 根据题意，甲所走的路程为，即，乙所走的路程为，即， 故可得， 解得． 故选B． 6. 如图，矩形的对角线与反比例函数相交于点D，且，则矩形的面积为（ ）． A. 50 B. 25 C. 15 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，相似三角形以及矩形的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数系数k的几何意义于相似三角形的性质； 根据反比例函数系数k的几何意义可得：，再根据相似三角形的性质得，进而可求出，由矩形的性质即可解答． 【详解】解：过点D作，垂直为E，如图所示： 则， ， ， ， ， ， 矩形的面积为， 故选：B． 7. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程的根与的关系是解答此题的关键．先求出△的值，再判断出其符号即可． 【详解】解：， 方程有两个不等实根． 故选：A． 8. 如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如图所示，过点作轴于点，过点作轴于点，根据正方形的性质，可证，可得，，根据点的坐标可确定的长，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作轴于点，过点作轴于点， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴， 在中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴，且点在第二象限， ∴， 故选：． 【点睛】本题主要考查几何图形，全等三角形的判定和性质，图像与坐标的综合，掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质，根据图像特点确定坐标的方法等知识是解题的关键． 9. 已知反比例函数经过平移后可以得到函数，关于新函数，下列结论正确的是（ ） A. 当时，y随x的增大而增大 B. 该函数的图象与y轴有交点 C. 该函数图象与x轴的交点为（1，0） D. 当时，y的取值范围是 【答案】C 【解析】 【分析】函数的图象是由函数的图象向下平移1个单位长度后得到的，根据两个函数的图像，可排除A，B，C选项，将y=0代入函数可得到函数与x轴交点坐标为（1,0），故C选项正确． 【详解】解：函数与函数的图象如下图所示： 函数图象是由函数的图象向下平移1个单位长度后得到的， A、由图象可知函数，当时，y随x的增大而减小，选项说法错误，与题意不符； B、函数的图象是由函数的图象向下平移一个单位后得到的，所以函数与y轴无交点，选项说法错误，与题意不符； C、将y=0代入函数中得，，解得，故函数与x轴交点坐标为（1,0），选项说法正确，与题意相符； D、当时， ，有图像可知当时，y的取值范围是，故选项说法错误，与题意不符； 故选：C． 【点睛】本题考查反比例函数的图象，以及函数图象的平移，函数与数轴的交点求法，能够画出图象，并掌握数形结合的方法是解决本题的关键． 10. 如图，在矩形中，，，连结，，分别在边，上，连结，分别交于点，，若，，则下列结论中：①；②；③；④．结论正确的有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．根据矩形的性质判定①，证明可判定②，证明可判定③，证明可判定④． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， ， ∴，故①正确； ，， 在中，由勾股定理可得：， ， ∴， ∴， ，， ∴， ∴，故③正确； 在中，， ∵，， ∴， ， ， ∴， ， ∴，故②正确； ， ， ∴， ∵，， ∴， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ， ∴， ，故④错误， 综上，正确有3个． 故选：C． 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11. 若，且，则________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，利用了等比性质．根据等比性质，可得答案． 【详解】解：， 由等比性质，得， 所以． 故答案为：6． 12. 若是方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程解的定义，根据根与系数的关系得到，根据一元二次方程解的定义得到，再由，利用整体代入法求解即可；对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则． 【详解】解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 13. 某校冬季选修课深受学生喜欢，小冰和小城从“滑冰、冰壶、雪地足球、冰尜”中任选一门学习，两人恰好都选到“冰尜”的概率的是__________． 【答案】##0.0625 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法．画树状图展示所有16种等可能的结果数，找出两人恰好都选到“冰尜”的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】解：画树状图为：（用A、B、C、D分别表示滑冰、冰壶、雪地足球、冰尜） 共有16种等可能的结果数，其中两人恰好都选到“冰尜”的结果数为1， 所以两人恰好选中同一门课程的概率为． 故答案为：． 14. 如图①，一张正三角形纸片，，点在边上，，点是边上的一点．如图②，将沿翻折得到，与的边相交于点和点．若，，则的长度为______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．根据等边三角形的性质可得，，从而可得，再利用折叠的性质可得：，，从而可得，，然后证明8字模型相似，从而利用相似三角形的性质求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：等边三角形， ，， ， ， 由折叠得：，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：9． 15. 如图，正方形ABCD的顶点A在反比例函数（x＞0）的图象上，函数（x＞0）的图象关于直线AC对称，且经过点B，D两点，若AB＝2，现给出下列结论：①O，A，C三点一定在同一直线上；②点A的横坐标是；③点B的纵坐标是1；④点O关于直线BD的对称点一定在函数的图象上．其中正确的是 _____（写出所有正确结论的序号）． 【答案】①③##③① 【解析】 【分析】设点A（x，y），根据正方形的性质以及AB=2，得到点B（，y），点D（x，），再求得点A、B、D的坐标，以及原点(0，0)关于直线BD的对称点的坐标，即可判断． 【详解】解：设点A的坐标为（x，y）， ∵点B、点D在函数y=（x＞0）的图象上， ∴点B的坐标为（，y），点D的坐标为（x，）， ∵AB=2，则AD=2， ∴，即3-xy=2y， ，即3-xy=2x， ∴x=y， ∴3-x2=2x， 解得：x=-3(舍去)或x=1， ∴点A的坐标为（1，1），点B的坐标为（3，1），点D的坐标为（1，3）， ∵四边形ABCD是正方形， ∴点C的坐标为（3，3）， ∴O，A，C三点在同直线上，故①正确； 点A的横坐标为1，故②错误； 点B的纵坐标为1，故③正确； 由正方形对角线互相垂直且对角线交点是对角线中点， 则B、D的中点为(，)，即为(2，2)， 设原点(0，0)关于直线BD的对称点为(a，b)， 有，， ∴a=4，b=4， ∵4×4≠15， ∴(4，4)不在函数y=的图象上，故④错误； 综上，正确的结论有①③． 故选：①③． 【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数的性质，正方形的性质，解本题的关键是用方程的思想解决问题． 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法；掌握公式法与因式分解的方法解方程是关键． （1）先计算，再利用求根公式解方程即可； （2）先把方程移项，再分解因式为，再化为两个一次方程，再解一次方程即可． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴， 解得：，； 【小问2详解】 解：， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得：，． 17. 计算： （1）已知比例式，求x的值． （2）已知线段， 线段，求线段a， b的比例中项线段c． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的性质，成比例线段的定义： （1）根据比例的性质得到，据此解方程即可； （2）根据成比例线段的定义得到，据此代值计算即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：∵求线段a， b的比例中项线段c， ∴， ∵线段， 线段， ∴， ∴或（舍去）， 18. 如图，是经过某种变换后得到的图形，分别观察点与点，点与点，点与点的坐标之间的关系． （1）若三角形内任意一点的坐标为，点M经过这种变换后得到点N，根据你的发现，点N的坐标为 ． （2）若三角形先向上平移3个单位，再向右平移4个单位得到三角形，画出三角形，并求三角形的面积． （3）直接写出与y轴交点的坐标 ． 【答案】（1） （2）画图见解析； （3） 【解析】 【分析】此题主要考查图形的中心对称和平移、求一次函数解析式，牢记图形中心对称的性质和图形平移的性质是解题的关键． （1）两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反． （2）由其三个顶点确定，根据图形平移方向和距离，先确定三个顶点平移后的对应点，依次连接对应点即可求得答案． （3）采用待定系数法求得直线的解析式，进而可求得答案． 【小问1详解】 解：∵点与点关于原点对称， ∴点的坐标为． 故答案为：． 【小问2详解】 解：如图所以，由其三个顶点确定，根据图形平移的方向和距离，三个顶点平移后的对应点分别为，，，依次连接，，，即为所求．     ． 【小问3详解】 解：设直线的解析式为． 因为的图象经过点，，则 解得 ∴直线解析式为． 当时，，即与轴交点的坐标为． 故答案为：． 19. 某校组织代表队参加市“与经典同行”吟诵大赛，初赛后对选手成绩进行了整理，分成5个小组（x表示成绩，单位：分）．A组：；B组：；C组：；D组：；E组：，并绘制如下两幅不完整的统计图：请根据图中信息，解答下列问题： （1）参加初赛的选手共有__________名，请补全频数分布直方图； （2）扇形统计图中，C组对应的圆心角是多少度？E组人数占参赛选手的百分比是多少？ （3）学校准备组成8人的代表队参加市级决赛，E组6名选手直接进入代表队，现要从D组中的两名男生和两名女生中，随机选取两名选手进入代表队，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中两名女生的概率． 【答案】（1），图见解析 （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）用A组人数除以A组所占百分比得到参加初赛的选手总人数，用总人数乘以B组所占百分比得到B组人数，从而补全频数分布直方图； （2）用360度乘以C组所占百分比得到C组对应的圆心角度数，用E组人数除以总人数得到E组人数占参赛选手的百分比； （3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好抽到两名女生的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【小问1详解】 （人），（人）． 【小问2详解】 C组对应的圆心角度数是：； E组人数占参赛选手的百分比是：； 【小问3详解】 画树状图得： 共有12种等可能结果，抽取的两人恰好是两名女生的有2种结果， 抽取的两人恰好是两名女生的概率为． 【点睛】此题考查了树状图法与列表法求概率以及频率分布直方图．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 20. 如图，路灯（点）距地面8米，身高1.6米的小明从距路灯的底部（点）20米的A点，沿OA所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？ 【答案】从点走到点，身影的长度是变短了 【解析】 【分析】根据题意可得，根据平行得，列出比例式，代入数据计算即可 【详解】如图， 即 解得 即 解得 从点走到点，身影的长度是变短了 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，找到相似三角形是解题的关键． 21. 已知关于x的方程x2-（3k+1）x+2k2+2k=0， （1）求证：无论k取何实数值，方程总有实数根． （2）若等腰△ABC的一边长为a=6，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求此三角形的周长． 【答案】（1）见解析；（2）16或22 【解析】 【分析】（1）先计算判别式，将结果写成完全平方形式，再根据判别式的意义得出结论． （2）运用求根公式得到方程的两个根，根据等腰三角形性质，将两个根代入计算，分情况讨论求出等腰三角形的周长． 【详解】（1）证明：=[-(3k+1)]2-4×1×(2k2+2k) =k2-2k+1 =( k-1)2， ∵无论k取什么实数值，(k-1)2≥0， ∴≥0， 所以无论k取什么实数值，方程总有实数根； （2）x2-(3k+1)x+2k2+2k=0， 因式分解得：(x-2k)( x-k-1)=0， 解得：x1=2k，x2=k+1， b，c恰好是这个方程的两个实数根，设b=2k，c=k+1， 分三种情况讨论： 第一种情况： ∵若c为等腰三角形的底边，a、b为腰，则a=b=2k=6， ∴k=3，c=k+1， ∴c=4， 检验：a+b＞c，，a+c＞b，b+c＞a，a-b＜c，a-c＜b，b-c＜a， ∴a=b=6，c=4，可以构成等腰三角形， 此时等腰三角形的周长为：6+6+4=16； 第二种情况： ∵若b为等腰三角形的底边，a、c为腰，则a=c=k+1=6， ∴k=5，b=2k， ∴b=10， 检验：a+b＞c，，a+c＞b，b+c＞a，b-a＜c，a-c＜b，b-c＜a， ∴a=c=6，b=10，可以构成等腰三角形， 此时等腰三角形的周长为：6+6+10=22； 第三种情况： ∵若a为等腰三角形的底边，b、c为腰，则b=c， ∴即：2k=k+1，解得k=1， ∴a=6，b=2，c=2， 检验：b+c＜a， ∴a=6，b=2，c=2，不能构成等腰三角形； 综上，等腰三角形的周长为16或22． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，本题第二问，根据一元二次方程根的情况求参数，分类讨论是解题关键． 22. 素材1：如图是拟建中的一个温室平面设计图纸，图纸上1个单位长度代表实际距离1米，温室是一个矩形，其周长为120，准备在它的四周铺设道路，左右两条纵向道路的宽度都为1，上边横向道路的宽度为1，下边横向道路的宽度为3，中间部分（阴影部分）种植草莓，种植面积为720． 素材2：道路的路面造价是70元/平方米；经市场调查，草莓培育一年可产果，已知每平方米的草莓销售平均利润为100元；其余费用为3万元． 任务1：（1）实际中温室的长不能大于35米，通过计算说明拟建的温室是否达标； 任务2：（2）求经过1年后，温室年净利润为多少？（净利润=草莓销售的总利润-路面造价费用-其余费用） 【答案】任务：（1）温室达标，详见解析； 任务：（2）元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设，则，，，由题意得，，解方程即可得到答案； （2）根据题意正确列算式，求解即可． 【详解】解：任务：（1）设， 则，，， 根据题意得，，即， 解得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴温室达标； 任务：（2）由（1）知米，米， ∴温室的面积为平方米， ∴道路面积为（平方米）， ∴道路总造价为（元）， ∴草莓的总利润为（元）， ∴净利润为（元）， 答：温室年净利润为元 ． 23. 如图．四边形中，平分，，为的中点．连接，． （1）求证：； （2）若，．求的值． 【答案】（1）证明过程见详解 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，角平分线的性质，平行线的判定和性质， （1）根据角平分线的性质可得，且，可证，由此即可求解； （2）由（1）可求出，根据直角三角形斜边上的中线可得，，于是，可证，可求出的值，由此即可求解． 【小问1详解】 证明：∵平分， ∴，且， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）可得， ∴，则（负值舍去）， ∵点是的中点，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，且， ∴， 解得，， ∴． 24. 已知：点、分别在平行四边形的边、上，连接、，，． （1）如图1，求证：四边形是菱形； （2）如图2，连接，若，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中（和除外）的4个等腰三角形． 【答案】（1）见解析 （2）、、、 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定定理、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、等腰三角形的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由平行四边形的性质可得，再证明得出，即可得证； （2）由等腰三角形的定义结合三角形内角和定理计算即可得解． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， ∴，， ∴为等腰三角形， 由（1）可得：, ∴， ∴，， ∴和为等腰三角形． 25. 如图，一次函数与反比例函数交于，两点，与轴交于点，且． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）点是轴上一动点，连接，，当面积为6时，请求出点的坐标； （3）将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，在反比例函数上，是否存在一点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2）或 （3）存在，点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）由点在反比例函数图象上，可求得反比例函数的解析式；作轴，轴，证得，可求得；将点、点代入即可求一次函数的解析式； （2）设一次函数与轴交于点，则，设，根据，即可求解； （3）分别过点A、B作x轴的垂线与平行线，两线交于点L，分别过点D、B作x轴的垂线与平行线，两线交于点I，则，可证，得，，推出，轴；根据可得，推出，可求得点K的坐标，分别求出直线的解析式，即可求解； 【小问1详解】 解：过A作轴于E，过B作轴于F，如图所示： 则， ∴， ∴， ∵． ∴， 由题意得：点在反比例函数图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为：； ∵， ∴，即； ∵点在反比例函数图象上， ∴，即点； 将点、点代入得：， 解得：， ∴一次函数的解析式为：； 【小问2详解】 解：设一次函数与轴交于点，如图所示： 则， 设， 则， ∴， 解得：或， ∴点的坐标为或； 【小问3详解】 解：分别过点A、B作x轴的垂线与平行线，两线交于点L，分别过点D、B作x轴的垂线与平行线，两线交于点I，则， 由旋转可知：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由，令，则，解得， ∴， ∴轴， 设直线与轴交于点，则， ∵， ∴； 设直线与直线交于点，则， ∴点在线段的垂直平分线上， 设直线的解析式为：， 则，解得， ∴直线的解析式为：， 由，令，则，解得， ∴， ∴， ∴，即； 设直线的解析式为：， 则，解得， ∴直线的解析式为：， 联立，解得， 或； ∴点的坐标为或． 【点睛】本题考查了函数与几何综合问题，涉及了待定系数法求函数解析式、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，综合性较强，掌握待定系数法是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$