2025年九年级中考二轮复习数学专题——坐标系中的存在性

中考数学专题——坐标系中的存在性 【点睛】在平面直角坐标系中，特殊三角形或四边形，特殊角或二倍角等的存在性，经常以抛物线作为命题背景，其解题策略既涉及图形的几何性质，也涉及函数自身的很多性质. 微专题1 多边形的存在性 【知识储备】 一、三角形存在性的分析方法 1.直角三角形的存在性：勾股定理，射影定理，斜率公式和K型相似. 2.等腰三角形存在性：几何法是“两圆一线”，解析法是两点之间距离公式. 3.等腰直角三角形存在性：通常与K型全等有密切联系. 4.等边三角形存在性：证边长相等，或者证内角等于60度. 附：存在性问题经常用到的公式或性质： (1)如右图，坐标平面内有两个点A(x₁,y₁), B(x₂,y₂),则： ①两点之间距离公式： ②中点坐标公式：AB 的中点 ③斜率公式： (2)已知两条直线 与 则： ①两直线垂直⇔ ②两直线平行 且 二、四边形存在性的分析方法 1.平行四边形存在性：(1)平移法；(2)中点法 附：坐标平面内平行四边形四个顶点之间的关系： 如右图，坐标系内有一个平行四边形ABCD，对角线相交于点 P， 设A(xA, yA), B(xB, yB), C(xc, yc), D(xD, yD),得点 P 的坐标为 或 故 2.矩形存在性：(1)平行四边形+一个角是直角； (2)平行四边形+对角线相等； (3)转化为直角三角形的存在性，即把某直角三角形翻折旋转后可得到矩形. 3.菱形存在性：(1)平行四边形+一组邻边相等； (2)平行四边形+对角线互相垂直； (3)转化为等腰三角形的存在性，既把某等腰三角形沿底边翻折后可得到菱形. 4.正方形存在性：通常转化为等腰 Rt△的存在性，既把等腰 Rt△沿底边翻折后可得到正方形. 三、其他 1.其他存在性：全等三角形存在性，相似三角形存在性，直角梯形或等腰梯形存在性等. 2.两个关键点：一是分类讨论要不重不漏；二是解题策略注意几何法与解析法并用. 【例题精讲】 【例1】如图，抛物线 与直线 交于 A, B两点,交x轴于 C, D两点,连接 AC , BC,已知A(0,3), C(-3,0). 点 P为抛物线上一个动点, 连接 PA, 过点 P作. 交 y轴于点 Q. (1)求此抛物线的解析式； (2)是否存在点 P (不与A，B，C重合)，使得以A，P，Q为顶点的三角形与 相似?若存在，请求出所有符合条件的点 P 的横坐标；若不存在，请说明理由. 【分析】(1)抛物线解析式为 (2) 由已知及(1), 得B(-4,1), A(0,3), C(-3,0), 易得∠ACB=90°且 AC=3BC; 如图1, 作PM⊥y轴于M，可得 设 得 故 得 (舍去0) ; 由图2,得 得 (准确位置是图3的位置)； 由图4，得 由图5，得 综上，点P 的横坐标为- , 1, - 或-11. 【总结】构建方程时用到了射影定理，目的是“化斜为直”；四种情况也可以概括为 或 【例2】如图，抛物线 与x轴交于 A，B两点 (点A在点B的左侧)，与y轴交于点 顶点为 D，对称轴与x轴交于点H ，过点H 的直线l交抛物线于 P，Q两点，点Q在 y轴的右侧. (1)求a的值及点 A ,B的坐标; (2)当点P位于第二象限时，设PQ的中点为 M，点N在抛物线上，则以 DP为对角线的四边形 DMPN 能否为菱形?若能，求出点N的坐标；若不能，请说明理由. 【分析】(1)代入点C 坐标，求得 得 求得A(-4,0), B(2,0), D(-1,-3); (3) 设PQ:y= kx+b,代入 H(-1,0),得b=k, y= kx+k,由 得 设P(x₁,y₁), Q(x₂,y₂), 则 故 第一步， 令DN∥PQ, 得 DN:y= kx+k-3, 与抛物线联立方程后求得 第二步, 令 DN =DM , 可得 故 得 (舍去正值)，得 第三步，经计算得 故 DMPN为菱形. 因此，四边形 DMPN 可以成为菱形，此时点N的坐标为 【总结】由于(2)问仅知道点D坐标，故利用含参数k的解析式表示或求出其它三个点的坐标，层层递进判断菱形是否存在；如果利用先等腰后翻折，再代入求值，计算会比较繁琐. 【例3】如图1，在平面直角坐标系中，把抛物线 先向右平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线 所得抛物线与x轴交于 A，B两点 (点A在点 B的左边)，与y轴交于点 C. (1) 求点 A, B 的坐标; (2)点P是抛物线上一个动点，在y轴上存在一个点Q，使得点 A，B，P，Q组成的四边形是平行四边形，请求出点 P 的坐标； (3)如图2，点P是抛物线上一动点，连接 AP ，以AP为一边作正方形 APFG，随着点 P的运动，正方形的大小、位置也随之改变.当顶点 F 或G 恰好落在 y轴上时，请直接写出对应的点 P的坐标. 【分析】(1)新抛物线为 令y=0, 得 故A(-1,0), B(3,0); (2) 设P(m,m²-2m-3),Q(0,n); 如答图1, 当A与P 相对时, 得 当A与Q 相对时(图略)，可得 得m=-4, P₂(-4,21); 如答图2, 当A 与B 相对时, 得m=2, P₃(2,-3);综上，点P的坐标为 (3)如答图3,当点F在y轴上时,构造K型全等,得PS=FR=OS,由 得 得 (此时点 P 在第三象限，图略)；如答图4，当点G在 y轴上时, 同理得AS=RG=OA=1,得m²-2m-3=-1, m=1± , P₃(1+ ,-1), P₄(1- ,-1)(此时点 P在第三象限).综上， 【总结】(1)问平行四边形的存在性有两种常用方法，一是中点坐标法(相对的两个顶点，其横、纵坐标之和均相等)，二是平移法 (把平行四边形视为线段的平移，存在很多全等三角形)；(3)问正方形的存在性，可以转化为等腰直角三角形的存在性，再构造K型全等进行分类计算. 【素养提升】 1.如图，在坐标系中，抛物线 经过点A(-5,0)和点B(1,0). (1)求抛物线的解析式及顶点 D 的坐标； (2) 连接AD, BD, 点M在线段AB上(不与A,B重合),作∠DMN=∠DBA, MN交线段AD于点N, 是否存在这样的点 M，使得△DMN为等腰三角形?若存在求出 AN的长；若不存在请说明理由. 【分析】(1)抛物线为 顶点D(-2,4); (2) 如图1, 易证得△ANM∽△BMD , 且 AB=6, AD=BD=5; ①当 MN=DM时, AM=BD=5; AN=BM=1; ②当DN=DM时, ∠DMN=∠DNM=∠DAB, 舍去; ③当 MN=DN时,∠DMN=∠NDM =∠DBA , 得 得 由 可得 【总结】(2)问首先由一线三等角推出左右相似，然后再分三种情况讨论，多分析角度的等量关系. 2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线 的顶点A 在直线y= kx-2上. (1)求直线的函数表达式； (2)现将抛物线沿该直线方向进行平移，平移后的抛物线的顶点为 A'，与直线的另一交点为 B'，与x轴的右交点为 C (点C不与点 A'重合),连接B'C, A'C.在平移过程中,当 是以 为直角边的直角三角形时，求出所有满足条件的点 A'的坐标. 【分析】(1)易知顶点A(6,-14),求得 k=-2,故直线函数表达式为 y=-2x-2 (2) 由 得A(6,-14), B(2,-6), 根据平移性质, 可设 A'(m,-2m-2), 则B'(m-4,-2m+6), 因为 A'为平移之后抛物线顶点, 可设平移后抛物线为 令 y=0, 得 故点 又可得 且 当∠B'A'C=90°时,得 当∠A'B'C=90°时，同理可得 或 (此时2m-8<0, 舍去), 综上， 或 【总结】直角三角形存在性的四种分析路径：勾股定理，斜率相乘为-1，隐形圆 (直径)，K型相似. 3.如图，抛物线 经过点 A(t,0)和点B(5t,0)(t>0). (1)求该抛物线所对应的函数解析式； (2)该抛物线与直线 y=2x+5交y轴于点 C ，点P是抛物线上的动点且位于x轴下方，直线 PM∥y轴，分别与x轴和直线 y=2x+5交于点 M,N,连接PB,过点C作CQ⊥PM ,垂足为点Q.是否存在点P,使得△CNQ与△PBM 相似?若存在，求出满足条件的点P 的坐标；若不存在，说明理由. 【分析】(1) 把A, B坐标代入抛物线解析式, 求得b=-6, t=1(舍去t=-1), 故 (3) 分两种情况: 如图1, 若∠BPM=∠CNQ, 得BP∥CN , BP:y=2x-10, 与抛物线联立, 求得 P(3,-4);如图2, 若∠BPM=∠NCQ, 得 与抛物线联立，求得 综上，点P的坐标为 P(3,-4)或 【总结】相似三角形的存在性，可以按照角度的对应关系或者边的对应关系进行分类讨论.注意线的平行或垂直关系，或者 k的几何意义 (特别是|k|=tanα)，综合利用解析法和几何法进行计算. 4.如图，抛物线 与x轴交于 A，B两点(点A在点 B左边)，与y轴交于点 C.直线 经过B， C两点. (1)求抛物线的解析式； (2)点P是抛物线上的一个动点， PN⊥BC ，垂足为点N.当点 P在直线 BC下方的抛物线上运动时，是否存在一点 P，使△PNC与△AOC 相似?若存在，求出点 P的坐标；若不存在，请说明理由. 【分析】(1) 易得B(4,0), C(0,-2), 抛物线解析式为 (2) 由 (1) 得, △ABC为直角三角形, 分两种情况. 如图1, 当∠NCP=∠ACO时, 易证得 PC∥x轴,求得P(3,-2); 如图2, 当∠NCP=∠OAC时, 得∠NCP=∠OAC=∠OCD=∠CDP, 故 PC=PD; 法一：如图2， 设 得 故 得 舍去)，此时 法二：如图2， 易知 由“12345”模型得 同法一设坐标，得 由 得 法三:如图2,得∠NCP=∠OCN, 如图3, 作点O关于BC的对称点F,OF交BC于E, 作FG⊥x轴于G;易得 与抛物线联立求得点 综上, 点 P的坐标为 P(3,-2)或 【总结】图中存在射影模型，同时多分析角度之间的关系；(2)问三种方法切入点不同，法一切入点为等腰三角形，法二切入点为“12345”模型，法三切入点为角平分线的对称性. 5.如图，直线l：y=2x-2分别与x轴，y轴交于 A，B两点，点C为直线l在一象限内的一点，且. 抛物线 过 A，C两点，且与x轴的另一交点为 D. (1)求抛物线的解析式； (2)若点 M为x轴上一点，点N为平面内一点，且满足以点B，C，M，N为顶点的四边形是矩形，请求出点N 的坐标. 【分析】(1) 易得A(1,0), B(0,-2), C(3,4), 把A, C坐标代入抛物线, 得. (2)设 M(m,0),根据斜率公式可得 如图1,若∠MBC=90°,得 得m=-4, 由平移法则得N(-1,6); 如图2, 若∠BCM=90°, 得 得m=11, 同理得N(8,-6);如图3, 若∠CMB=90°, 得 得 故 或 (图略).综上，点N的坐标为 【总结】矩形的存在性可转化为直角三角形的存在性，直角三角形的存在性又有四种解决方案：一是勾股定理，二是K型相似，三是斜率公式，四是隐形圆 (直径所对的圆周角等于90度). 6.如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与直线 AB 相交于 两点. (1)求该抛物线的函数表达式； (2)将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线 平移后的抛物线与原抛物线相交于点 C ，点D为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点E ，使以点B，C，D，E为顶点的四边形为菱形，若存在，请求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由. 【分析】(1)把A，B两点代入解析式，求得抛物线为 (2)平移后的抛物线为 与原抛物线联立求得C(-1，-4)，若要得到菱形，只需使△BCD为等腰△然后翻折即可, 设 D(-2,m), 得 如图1,当 BC=BD时,得m );如图2, 当CD=CB时, 得m=-1或m=-7 (此时B, C, D共线, 舍去), 可得 如图3,当 DB=DC 时,得 m=-2, D₄(-2,-2), E₄(1,-3).综上,点E的坐标为 E₃(-1,2), E₄(1,-3). 【总结】①菱形的存在性问题可以归结为等腰三角形的存在性问题；②等腰三角形的存在性问题可以利用勾股定理分类计算，也可以利用几何法的“两圆一线”分类计算；③得到点D后再求点E的坐标，可以利用平移法，也可以利用中点坐标法进行计算(上述做法利用了平移法). 7.如图1，在平面直角坐标中，抛物线 与x轴相交于 A, B两点,顶点为 D(0,4), 设点F(m，0)是x轴的正半轴上一点，将抛物线 C 绕点 F 旋转180°，得到新的抛物线 C'. (1)求抛物线C的函数表达式； (2)如图2，P是第一象限内抛物线 C上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P在抛物线 C'上的对应点 P'，设M是C上的动点，N是C'上的动点，试探究四边形 PMP'N能否成为正方形?若能，求出m的值；若不能，请说明理由. 【分析】(1)由顶点设 代入A 点坐标，得 故 (2)先求得P(2，2)，同时由对称性可知新抛物线顶点为(2m，-4)，则 如答图1，当点P'在点F左侧时, 构造如图所示的K型全等, 由F(m,0)及P(2,2), 可得 M(m+2,m-2), 代入C的解析式求得 (因为 m>0，舍去)；如答图2，当P'在点F右侧时，同理构造K型全等，可得M(m-2,2-m),代入C的解析式求得 (舍去).综上， m的值为 或6. 【总结】正方形的存在性转化为等腰直角三角形存在性，再构造K型全等推导坐标代入求值. 微专题2 角度存在性 【知识储备】 1. 90°角存在性：勾股定理；隐形圆(90°的圆周角所对的弦是直径)；K型相似等. 2.45°角存在性：等腰直角三角形；隐形圆(45°角常作为圆周角)；一线三等角；“12345”模型等. 3.其他特殊角度存在性. 4.倍半角存在性：利用外角转化；角平分线定理及三角形内角平分线定理；三角函数等. 5.等角存在性：相似三角形；三角函数值等. 【例题精讲】 【例1】如图，在平面直角坐标系中，点A(-1，0)，B(3，0)，点P为直线x=2上的动点，在点 P的运动过程中, 若∠APB=2∠PAB, 则点 P 的坐标为 . 【分析】如图1, 假设存在点P, 作∠APB的平分线交AB于点C, 则∠APC=∠BPC=∠PAB , PC=AC , 设OC=m, 则 如图2, 得CD=2-m,PC=AC=m+1, BD=1, 则F 联立解得 则 综上， 点P坐标为 或 【总结】作角平分线构造相等的角，得到等腰三角形及子母型相似，最后利用勾股定理计算. 【例2】如图1，平面直角坐标系中，抛物线 与直线 y= kx+1(k≠0)交于 y轴上一点 A 和第一象限内一点 B ，该抛物线顶点 H 的纵坐标为5. (1)求抛物线的解析式； (2) 连接 AH , BH , 抛物线的对称轴与直线 y= kx+1(k≠0)交于点 K , 若 求 k的值； (3)在(2)的条件下,点 P 是直线 AB 上方抛物线上的一动点(如图2),连接 PA.当∠PAB=45°时,求点 P 的坐标. 【分析】(1) 对称轴为 x=2, 顶点为(2,5), A(0,1), 抛物线为 (2) 由 得 点 故 得 又4-k>0,故取 (3)法一：如答图1，构造K型全等，设 则 故 代入 得m=1或m=0 (舍去), 故P(1,4); 法二：如答图2，构造K型全等，可得 与抛物线联立得P(1，4)； 法三：亦可过点P向AB作垂线段，构造等腰 Rt△，然后再构造K型全等，计算方法同法一法二； 法四: 如答图3, 延长PA交x轴于C, 作 CD⊥AC交AB于D, 作 DE⊥x轴于E, 同理可得K型全等,由 AO=CE=1, CO=DE, EF =2DE ,得 与抛物线联立求得 P(1，4). 【总结】(2)问中注意若直线和抛物线均为有理数 (式)，且交点A的坐标为有理数 (式)，则另一交点B的坐标亦为有理数(式)，在解决含参解析式或坐标时可利用这一特征；(3)问中法一至法四本质上都是构造K型全等，亦可利用平面内两直线夹角公式直接求得PA的解析式.(若坐标平面内两直线l₁，l₂的斜率分别为k₁，k₂，两直线所夹锐角为α，则 此公式本质上是三角函数的和差公式.) 【素养提升】 1. 已知点A(4,0), B(-6,0), 点C是y轴上一个动点,当∠BCA=45°时, 点 C坐标为 . 【分析】法一：如图1，以AB 为斜边构造等腰Rt△ABD，以D为圆心DA为半径作圆D，交y轴于点C，作DE⊥y轴于点 E, 得. , 故C(0,12)或(0,-12) (图略); 法二: 如图2, 在x轴上取点M和N, 使OM=ON=OC , 得等腰Rt△MCN, 由图3得 在图2中设 BM=m, 得 (舍负), 故 OM=OC=12. 综上, 点C的坐标为(0,12)或(0,-12). 【总结】法一利用隐形圆中的圆周角定理；法二利用等腰直角三角形中的半角模型；注意点C有两个. 2.如图1，抛物线 经过A(-1,0), B(4,0), C(0,2)三点. (1)求抛物线所对应的函数表达式； (2)如图2，点D为抛物线上第一象限内的一点，过点 D作 垂足为点E ，是否存在点 D，使得 中的某个角等于 的2倍?若存在，求出点 D的横坐标；若不存在，请说明理由. 【分析】(1)抛物线解析式为 (2) 显然 如图1，可得 (亦可利用“12345”模型得到), 如图2, 构造K型相似, 设CM=m, 则 ME=2m; 若∠CDE=2∠ABC, 则 代入抛物线解析式，求得 (舍去0),故 若∠DCE=2∠ABC, 则 代入抛物线解析式，求得 (舍去0),故 综上，点D横坐标为 或2. 【总结】可以运用多种方法推导出二倍角或半角的三角函数值(角平分线定理，“12345”模型，二倍角或半角公式等)；坐标系中直角三角形的边角关系，可以通过K型相似进行转化 (化斜为直). 3.如图1，在坐标系中，四边形OABC是平行四边形，经过A(-2，0)，B ，C三点的抛物线 与 x轴的另一个交点为 D，其顶点为 M. (1)求这条抛物线对应的函数表达式； (2)如图2，对称轴与x轴交于点E，点P在抛物线的对称轴上，在线段 MD 上是否存在唯一的点Q (点Q不与点 M，D重合)，使得∠PQE=45°，若存在，请求出点P 的坐标，若不存在请说明理由. 【分析】(1) 易得 又 得 抛物线为 (2)法一：如答图1，以PE为斜边在对称轴右侧构造等腰 Rt△PNE ，以N为圆心NE为半径作圆N，交MD 于点Q, 可求得M(1,3), D(4,0), 故△MED为等腰Rt△, 当圆N与MD有两个交点时,得 EN⊥QQ', 如答图2，有惟一交点时，Q必为 MD的中点，点P 为 ME的中点，故此时 法二: 如答图3, 根据一线三等角, 得△MPQ∽△DQE , 设 PE=m, MQ=n,则 由 得 因Q惟一，故令△=0， 得 【总结】(2)问法一利用隐形圆和相切的性质；法二构造一线三等角的相似，利用根的判别式求解. 4.如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 x轴交于点 A(2,0), B(-4,0), 与 y轴交于点 D. (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线上有一点 M (M不与A,B重合),过点 M,A的直线 MA交 y轴于点 C,连接BC,若∠MBO=∠BCO, 请求出点 M的坐标. 【分析】(1)抛物线解析式为 (2) 设 又A(2,0), 求得 得C(0,-m-4); 如图1, 若点 M在第一象限, 显然△MBH∽△BCO , 故 得 (舍去负值)，故 如图2，若点 M在第四象限，得 (均舍去)，如图3，若点 M在第三象限，同法求得M(-2,-4); 如图4, 若点M在第二象限, ∠MBO为钝角, 显然不可能;又如图4，显然M可与D重合， M(0，-4).综上，点M的坐标为 或(0,-4). 【总结】由等角推导出相似，点M的位置需要分析三个象限和一个关键点. 5.如图,点F是矩形ABCD边上一点,点E在边 AB 上,连接CE. (1) 若 AE=BC . ①如图1, 点F在边AD上, 且 AF =BE , 连接EF. 求证: EF⊥CE ; ②如图2, 点F在边BC上, 且 BE=CF , 连接AF交CE于点G. 求证: ∠AGE=45°; (2)如图3,点F在边BC上,连接AF交CE于点G,AB=8,BC=6, BE=3.是否存在点F,使得 若存在，请求出 BF的值；若不存在，请说明理由. 【分析】(1) ①如图1, 由 AE=BC , BE=AF , ∠A=∠B=90°, 得△AEF≌△BCE , 证得结论; ②法一:如答图1,在 AD上截取 AH =BE,连接HE, HC, 得等腰Rt△EHC ;如答图2,由BE=CF=AH ,得 AH 与 CF 平行且相等, 四边形AFCH为平行四边形, 故 AF∥CH , 则∠AGE=∠HCE=45°; 法二: 如答图3, 过点E作 EH⊥CD于H, 连接FH, AH; 可证得正方形 AEHD和等腰 Rt△HCF, 显然△FCH∽△ADH , 得 又∠AHF =∠EHC , 得△AFH∽△EHC , 故∠HAF =∠HEG;如答图4, 易得∠AGE=∠AHP=45°; (2) 法一: 如答图5, 把矩形ABCD补成正方形ABPQ, 并作 AM∥CE交PQ于点M, 假设∠AGE=45°,则∠FAM=45°; 再把△AQM 绕点A顺时针旋转90度至△ABN, 得△AFM≌△AFN, FN=FM, 故FM=FB+QM ; 又 BE=DH=3, AD=6, DQ=2, 由 得QM=4=PM ; 设 BF=x, 则MF=x+4, FP=8-x, 故 解得 即 法二：如答图6，同法一构造图形进行计算； 法三: 如答图7, 作 EP∥AF 交BC于点P, 作PQ⊥EP交EC于点Q; 由∠AGE=∠GEP=45°, 得等腰Rt△EPQ, 则△BEP≌△HPQ, BE=PH=3; 由于 可设QH=m=BP, 则 HC=2m,故m+3+2m=6, 得1m=1=BP; 又 故 【总结】(1)问K型全等；(2)问法一延续(1)问作法；法二旋转型相似或四点共圆；(3)问法一法二构造正方形中的半角模型，再根据A型相似和勾股定理计算；法三构造K型全等. 学科网（北京）股份有限公司 $$