精品解析：天津市滨海新区2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题

滨海新区2024-2025学年度第一学期期末检测卷 高一年级数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间100分钟. 答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、准考证号写在答题纸上.答卷时，考生务必将答案写在答题纸上，答在试卷上的无效. 祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 选择题（60分） 一、选择题：本卷共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案填入答题纸中的答题栏内. 1. 已知全集，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知a，b，，则下列不等式一定成立的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 3. 下列函数在定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ） A. B. C. D. 4. “”是“函数存在零点”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 将的图象变换为的图象，下列变换正确的是（ ） A. 将图象向左平移个单位 B. 将图象向右平移个单位 C. 将图象向左平移个单位 D. 将图象向右平移个单位 6. 已知，，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 若曲线的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数图象关于直线对称，则的值为（ ） A B. 0 C. 1 D. 9. 已知函数（且）的图象经过定点A，且点A在角的终边上，则（ ） A. B. 0 C. 7 D. 10. 给出下列判断： ①“，”的否定为“，” ②函数与函数是同一个函数 ③若角与角的终边在一条直线上，则（） ④ 其中，判断正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 11. 已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 12. 已知函数（），给出下列判断： ①若函数最小正周期不小于，则的最大值为. ②若函数满足，则. ③若函数图象向左平移个单位后所得函数在区间上单调递增，则的可能取值为. ④当时，设，（）为方程在区间上的两个解，则. 其中，判断正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第Ⅱ卷（90分） 二、填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 13. 已知函数是幂函数，若，则__________． 14. 弧长为的扇形的圆心角为，则此扇形的面积为__________. 15. 已知函数（），函数y取得最小值为__________. 16. 已知，则__________． 17. 定义域为_________；若，则__________． 18. 1学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加趣味益智类比赛．有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加趣味益智类比赛和田径比赛的有3人，同时参加趣味益智类比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛．则只参加趣味益智类一项比赛的人数为______；同时参加田径和球类比赛的人数为______ 19. 某种茶水用100℃的水泡制，再等到60℃时饮用可产生最佳口感．已知茶水温度y（单位：C）与经过时间t（单位：min）的函数关系是：，其中a为衰减比例，是室温，时．y为茶水初始温度，若室温为20℃，，茶水初始温度为100℃，则__________℃，产生最佳口感所需时间是__________min． 20. 已知函数，若关于x的方程（）有四个不同的解，则k的取值范围是__________；四个不同的根从小到大依次记为，，，，则的取值范围是__________. 三、解答题：本大题共4小题，共50分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 21. 已知，是第三象限角. （1）求，的值； （2）求，的值. 22. 已知二次函数，． （1）若时，求不等式的解集； （2）若函数在区间上具有单调性，求实数a的取值范围： （3）解关于x的不等式． 23. 已知函数. （1）求函数的最小正周期； （2）求函数的单调递增区间： （3）当时，已知的最大值为，求使成立时自变量x的集合. 24. 已知函数. （1）求函数的定义域，判断函数在定义域上的单调性并用定义证明； （2）求不等式； （3）函数（，），若存在，，使得成立，求实数a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 滨海新区2024-2025学年度第一学期期末检测卷 高一年级数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间100分钟. 答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、准考证号写在答题纸上.答卷时，考生务必将答案写在答题纸上，答在试卷上的无效. 祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 选择题（60分） 一、选择题：本卷共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案填入答题纸中的答题栏内. 1. 已知全集，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据并集和补集的定义计算. 【详解】，. 故选：A. 2. 已知a，b，，则下列不等式一定成立的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】对于ABC：举反例说明即可；对于D：根据不等式的性质分析判断. 【详解】对于选项A：例如，则，故A错误； 对于选项BC：例如，满足，则，，故BC错误； 对于选项D：若，则，可得，故D正确； 故选：D. 3. 下列函数在定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ） A. B. C D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用基本初等函数的单调性和奇偶性的定义，判定各选项中的函数是否满足条件即可. 【详解】对于A中，函数在定义域内既是奇函数又是增函数，A正确； 对于B中，函数是定义域内的非奇非偶函数，B错误； 对于C中，函数是定义域内的奇函数，在和上为增函数，C错误； 对于D中，函数是定义域内的非奇非偶函数，D错误. 故选：A. 4. “”是“函数存在零点”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的零点可得，再结合充分、必要条件分析判断. 【详解】若函数存在零点，且，等价于， 所以“”是“函数存在零点”的充要条件. 故选：C. 5. 将的图象变换为的图象，下列变换正确的是（ ） A. 将图象向左平移个单位 B. 将图象向右平移个单位 C. 将图象向左平移个单位 D. 将图象向右平移个单位 【答案】B 【解析】 【分析】根据图像变换结合诱导公式逐项分析判断. 【详解】对于A：将图象向左平移个单位，可得，故A错误； 对于B：将图象向右平移个单位，可得，故B正确； 对于C：将图象向左平移个单位，可得，故C错误； 对于D：将图象向右平移个单位，可得，故D错误； 故选：B. 6. 已知，，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数和对数函数单调性结合中间值“0”和“1”可得的大小关系，再结合的单调性分析判断. 【详解】因为在内单调递增，则，即； 在内单调递增，则，即； 在内单调递减，则，所以； 综上所述：. 又因为在内单调递增，所以. 故选：A. 7. 若曲线的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用排除法，根据函数值的符号以及函数单调性分析判断. 【详解】由图象可知， 对于选项A：因为，故A错误； 对于选项B：因为，故B错误； 由图象可知：存在，使得在内单调递减， 对于选项C：因为在内单调递增，且在内单调递增， 可知在内单调递增，故C错误； 故选：D. 8. 已知函数的图象关于直线对称，则的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析可知为函数的最大值，结合辅助角公式解得，即可得结果. 【详解】因为，其中， 若函数的图象关于直线对称，为函数的最大值， 则，解得， 所以. 故选：B. 9. 已知函数（且）的图象经过定点A，且点A在角的终边上，则（ ） A. B. 0 C. 7 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由指数函数过定点求出，再由三角函数的定义求出，代入计算即可. 【详解】由题意可得， 因为点A在角的终边上，所以， 所以. 故选：D. 10. 给出下列判断： ①“，”的否定为“，” ②函数与函数是同一个函数 ③若角与角的终边在一条直线上，则（） ④ 其中，判断正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】对于①：根据全称命题的否定式特称命题分析判断即可；对于②：根据函数相等分析判断；对于③：根据终边相同的角分析判断；对于④：利用倍角个数分析判断. 【详解】对于①：“，”的否定为“，”，故①错误； 对于②：因为， 可知函数与函数的对应关系不相同，不为同一函数，故②错误； 对于③：若角与角的终边在一条直线上，则（），故③正确； 对于④：，故④错误； 所以正确的个数为1. 故选：A. 11. 已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由在上单调递增，所以此分段函数每一段都单调递增，且，从而得出的取值范围. 【详解】因为函数在上单调递增， 所以，解得， 故选：C. 12. 已知函数（），给出下列判断： ①若函数的最小正周期不小于，则的最大值为. ②若函数满足，则. ③若函数的图象向左平移个单位后所得函数在区间上单调递增，则的可能取值为. ④当时，设，（）为方程在区间上的两个解，则. 其中，判断正确个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由正弦函数的周期可得①正确；由可得，②错误；由图像平移后再结合正弦函数的单调性可得③正确；由诱导公式可得，再由二倍角的正弦公式结合题意求出，即可得④正确. 【详解】对于①，因为，所以，解得，故①正确； 对于②，若，即得，则，故②错误； 对于③，因为图象平移后令，当时，， 依题意，，则，显然， 解得，又，因此，③正确； 对于④，因，又因为，所以， 则， 因，所以， 所以，故④正确； 所以正确的个数为3个. 故选：C 【点睛】关键点点睛：对于④，由诱导公式可得，再由二倍角的正弦公式结合题意求出，即可得④正确. 第Ⅱ卷（90分） 二、填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 13. 已知函数是幂函数，若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，设，结合，即可求解． 【详解】根据题意，设，由，得， 故， ． 故答案为：． 14. 弧长为的扇形的圆心角为，则此扇形的面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据扇形弧长求半径，由扇形面积公式求面积. 【详解】由题设，扇形半径，故扇形面积为. 故答案为：. 15. 已知函数（），函数y取得最小值为__________. 【答案】6 【解析】 【分析】根据题意利用基本不等式运算求解即可. 【详解】因为，则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以函数y取得最小值为6. 故答案为：6. 16. 已知，则__________． 【答案】1 【解析】 【分析】将指数式变为对数式，求出的值，然后利用换底公式即可求解． 【详解】因为，所以， 所以， 故答案为：1． 17. 的定义域为_________；若，则__________． 【答案】 ①. ②. 3 【解析】 【分析】空一：根据正切型函数的定义域进行求解即可；空二：根据两角和的正切公式进行求解即可． 【详解】空一：由函数解析式可知：， 所以该函数的定义域为：； 空二：因为， 所以． 故答案为：；3． 18. 1学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加趣味益智类比赛．有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加趣味益智类比赛和田径比赛的有3人，同时参加趣味益智类比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛．则只参加趣味益智类一项比赛的人数为______；同时参加田径和球类比赛的人数为______ 【答案】 ①. 9 ②. 3 【解析】 【分析】因为参加趣味益智类比赛的人数已知，因为没有人同时参加三项比赛，所以从中减去“同时参加趣味益智类比赛和田径比赛”和“同时参加趣味益智类比赛和球类比赛”的人数，就是只参加趣味益智类一项比赛的人数，设同时参加田径和球类比赛的人数为，列出方程计算即可． 【详解】因为参加趣味益智类比赛的总人数为15， 且：同时参加趣味益智类比赛和田径比赛的有3人； 同时参加趣味益智类比赛和球类比赛的有3人． 又因为没有人同时参加三项比赛， 所以只参加趣味益智类一项比赛的人数为：人． 设同时参加田径和球类比赛的人数为，由题意得： ， 解得：， 故同时参加田径和球类比赛的人数为， 故答案为：9；3． 19. 某种茶水用100℃的水泡制，再等到60℃时饮用可产生最佳口感．已知茶水温度y（单位：C）与经过时间t（单位：min）的函数关系是：，其中a为衰减比例，是室温，时．y为茶水初始温度，若室温为20℃，，茶水初始温度为100℃，则__________℃，产生最佳口感所需时间是__________min． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由时，茶水室温为20℃，茶水初始温度为100℃，代入解析式可得，由时及a的值代入解析式可得产生最佳口感所需时间． 【详解】由题意，，当时，有，， 则，当时，即，所以， ，可得，． 故答案为：；． 20. 已知函数，若关于x的方程（）有四个不同的解，则k的取值范围是__________；四个不同的根从小到大依次记为，，，，则的取值范围是__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】分析可知与的图象有4个交点，结合函数的图象即可得k的取值范围；根据题意可得，，，代入运算求解即可. 【详解】作出函数的图象， 关于x的方程（）有四个不同的解， 可知与的图象有4个交点，由图象可知k的取值范围是； 因，，且，即， 又因为，即， 可得，即， 则， 因为在内单调递增，且， 可知，即，可得， 所以的取值范围是. 故答案为：；. 【点睛】方法点睛：数形结合的重点是“以形助数”，在解题时要注意培养这种思想意识，做到心中有图，见数想图，以开拓自己的思维．使用数形结合法的前提是题目中的条件有明确的几何意义，解题时要准确把握条件、结论与几何图形的对应关系，准确利用几何图形中的相关结论求解． 三、解答题：本大题共4小题，共50分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 21. 已知，是第三象限角. （1）求，的值； （2）求，的值. 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）根据同角三角函数关系结合所在象限得到，； （2）在（1）的基础上结合和差角和二倍角公式，代入求解即可. 【小问1详解】 因为是第三象限角，所以， 因为，，故，； 【小问2详解】 ， 由，， 所以. 22. 已知二次函数，． （1）若时，求不等式的解集； （2）若函数在区间上具有单调性，求实数a的取值范围： （3）解关于x的不等式． 【答案】（1） （2） （3）当时，解集为：；当时，解集为：；当时，解集为：． 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法直接求解即可； （2）求出函数的对称轴，根据函数在区间上单调，对称轴需要位于此区间之外，进行分类讨论即可求解； （3）求出的根，然后根据根的大小关系进行分类讨论，求解不等式的解集． 【小问1详解】 当，函数， 将代入得， ， 不等式的解集为：； 【小问2详解】 因为的对称轴为：， 为了使函数在区间上单调，对称轴需要位于此区间之外， 或， 解得：或， 因此，实数a的取值范围为：； 【小问3详解】 将原不等式代入得， 整理后得：，即， ①当时，不等式的解集为：， ②当时，不等式的解集为：， ③当时，不等式的解集为：， 综上所述：当时，解集为：；当时，解集为：；当时，解集为：． 23. 已知函数. （1）求函数的最小正周期； （2）求函数的单调递增区间： （3）当时，已知的最大值为，求使成立时自变量x的集合. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换可得，即可得最小正周期； （2）以为整体，结合正弦函数单调性分析求解； （3）以为整体，结合正弦函数最值可得，进而可得，列式求解即可. 【小问1详解】 由题意知 ， 所以函数的最小正周期. 【小问2详解】 令，，解得，， 所以的单调递增区间为. 【小问3详解】 当，则，可得， 则，解得， 所以， 由，即，可得，解得， 所以使成立时自变量的集合为. 24. 已知函数. （1）求函数的定义域，判断函数在定义域上的单调性并用定义证明； （2）求不等式； （3）函数（，），若存在，，使得成立，求实数a的取值范围. 【答案】（1）在内为减函数，证明见详解 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据对数函数的定义域求得的定义域，再根据单调性的定义分析证明； （2）根据的定义域与奇偶性，化简原不等式可得，再解不等式即可得到所求范围； （3）可知和的值域的交集非空，求的值域；以及讨论，时，的值域，即可得到所求范围. 【小问1详解】 在内为减函数，证明如下： 令，可得，可知的定义域为， 且， 可知在内单调递减， 设，则， 且在定义域内单调递增，则， 可得，所以在内为减函数. 【小问2详解】 可知的定义域为， 且， 即，所以为奇函数. 因为，则， 且在定义域内为减函数 则，可得，则， 且，解得：， 所以原不等式的解集为. 【小问3详解】 函数， 若存在，使得成立，可知和的值域的交集非空， 当，则，可得的值域为， 若时，在递减，可得的值域为， 则，即； 若，则在递增，可得的值域为， 此时，不合题意； 综上所述：实数a的范围是. 【点睛】关键点点睛：本题第3问关键在于转化问题为函数和的值域的交集非空，进而结合指数函数的单调性分类求解即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$