2025年中考数学一轮复习专题：一次函数的实际应用（学生版+教师版）讲义

一次函数的实际应用　 考情透析 考情透析 中考考点 考查频率 新课标要求 一次函数的应用 ★★★ 能用一次函数解决实际问题 一次函数的应用，在中考中多考查一次函数图象的理解和信息提取，通常以行程类问题为主。出题时也多和方程、不等式结合，一次函数的实际应用的题目在中考中难度不大，关键在于函数关系式的建立，主要考查的是理解和分析能力，从文字、图像和图表中获取信息，建立函数关系式是解题的关键. 关键知识 一次函数的实际应用： 1.一次函数应用问题的求解思路： ①建立一次函数模型→求出一次函数解析式→结合函数解析式、函数性质作出解答； ②利用函数并与方程(组)、不等式(组)联系在一起解决实际生活中的利率、利润、租金、生产方案的设计问题以及经济决策、市场经济等方面的应用。 2.建立函数模型解决实际问题的一般步骤： ①审题，设定实际问题中的变量，明确变量x和y； ②根据等量关系，建立变量与变量之间的函数关系式，如：一次函数的函数关系式； ③确定自变量x的取值范围，保证自变量具有实际意义； ④利用函数的性质解决问题； ⑤写出答案。 3.利用一次函数的图象解决实际问题的一般步骤： ①观察图象，获取有效信息； ②对获取的信息进行加工、处理，理清各数量之间的关系； ③选择适当的数学工具(如函数、方程、不等式等)，通过建模解决问题。 4.求最值的本质为求最优方案，解法有两种： ①可将所有求得的方案的值计算出来，再进行比较； ②直接利用所求值与其变量之间满足的一次函数关系式求解，由一次函数的增减性可直接确定最优方案及最值；若为分段函数，则应分类讨论，先计算出每个分段函数的取值，再进行比较． 根据实际问题列一次函数关系式 已知某同学家、体育场、图书馆在同一条直线上下面的图象反映的过程是：该同学从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又步行回家吃早餐，饭后骑自行车到图书馆图中用表示时间，表示该同学离家的距离结合图象给出下列结论： 体育场离该同学家千米． 该同学在体育场锻炼了分钟． 该同学跑步的平均速度是步行平均速度的倍． 若该同学骑行的平均速度是跑步平均速度的倍，则的值是． 其中正确结论的个数是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：体育场离该同学家千米，故是正确的； 该同学在体育场锻炼的时间为：分钟，故是正确的； 该同学跑步的平均速度：步行平均速度，故是错误的； 若该同学骑行的平均速度是跑步平均速度的倍， 则：， 解得：， 故是正确的； 故选：． 根据函数的图象与坐标的关系求解． 本题考查了一次函数的应用，掌握数形结合思想是解题的关键． 1.如图，甲从村匀速骑自行车到村，乙从村匀速骑摩托车到村，两人同时出发，到达目的地后，立即停止运动，甲、乙两人离村的距离与他自骑车的时间之间的函数关系如图所示，则下列说法错误的是　　 A．、两村的距离为 B．甲的速度为 C．乙的速度为 D．乙运动到达目的地 【答案】 【解析】解：观察图象可知， 乙、两村的距离为，故选项说法正确，不符合题意； 甲的速度：，故选项说法正确，不符合题意； 设甲，乙相遇，由图象可得：， 解得， 则乙的速度：，故选项说法正确，不符合题意； 乙到达目的地的时间为：，故选项错误，符合题意． 故选：． 2.如图表示光从空气进入水中入水前与入水后的光路图，若按如图建立坐标系，并设入水与前与入水后光线所在直线的表达式分别为，，则关于与的关系，正确的是　　 A．， B．， C． D． 【答案】 【解析】解：如图，在两个图象上分别取横坐标为，的两个点和， 则，， ， ， 当取横坐标为正数时，同理可得， ，， ， 故选：． 3.，两地相距，甲、乙两人沿同一条路从地到地．甲、乙两人离开地的距离（单位：与时间（单位：间的关系如图所示，下列说法错误的是　　 A．乙比甲提前出发 B．甲行驶的速度为 C．时，甲、乙两人相距 D．或时，乙比甲多行驶 【答案】 【解析】解：由图象可得，乙车比甲车早出发1小时， 故正确； 甲的速度是， 故正确； 乙的速度是， 甲车行走的路程为， 乙车行走的路程为， 后甲、乙相距， 故错误； 乙车走了， 甲车还在地没出发，此时乙比甲多行驶， 乙走了， 此时甲行走的路程为， 乙车比甲车多走了， 故正确． 故选：． 4.在全民健身越野比赛中，乙选手匀速跑完全程，甲选手1.5小时后的速度为每小时10千米，甲、乙两选手的行程（千米）随时间（时变化的图象（全程）如图所示．下列说法： ①起跑后半小时内甲的速度为每小时16千米； ②第1小时两人都跑了10千米； ③两人都跑了20千米； ④乙比甲晚到0.3小时．其中正确的个数有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】 【解析】解：①起跑后半小时内甲的速度为千米小时，故①正确； ②根据函数图象的交点坐标，可得第1小时两人都跑了10千米，故②正确； ③根据甲1小时跑，可得2小时跑，故两人都跑了20千米，故③正确； ④根据小时内，甲半小时跑，可得1小时跑，故1.5小时跑了，剩余的需要的时间为小时，根据，可得甲比乙晚到0.3小时，故④正确． 故选：． 5.甲、乙两车从城出发匀速行驶至城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开城的距离（千米）与甲车行驶的时间（小时）之间的函数关系如图所示．则下列结论： ①，两城相距300千米； ②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时； ③乙车出发后2.5小时追上甲车； ④当甲、乙两车相距50千米时，或． 其中正确的结论有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】 【解析】解：由图象可知、两城市之间的距离为， 甲行驶的时间为5小时，而乙是在甲出发1小时后出发的，且用时3小时，即比甲早到1小时， ①②正确． 设甲车离开城的距离与的关系式为， 把代入可求得， ， 设乙车离开城的距离与的关系式为， 把和代入可得， 解得， ， 令，可得，解得， 即甲、乙两直线交点的横坐标为， 此时乙出发的时间为1.5小时，即乙出发1.5小时追上甲， ③不正确． 令，可得， 即，解得或， 当时，，此时乙车还没出发， 当时，乙已到达城，， 综上可知，当的值为或或或时，两车相距， ④不正确． 故选：． 一次函数的应用 （2024·陕西·中考真题）实验表明，在某地，温度在至的范围内，一种蟋蟀的平均鸣叫次数可近似看成该地当时温度的一次函数已知这种蟋蟀在温度为时，平均鸣叫次；在温度为时，平均鸣叫次． 求与之间的函数表达式； 当这种蟋蟀平均鸣叫次时，该地当时的温度约是多少？ 【答案】解：设与之间的函数表达式为、为常数，且． 将，和，分别代入， 得， 解得， 答：与之间的函数表达式为． 将代入， 得， 解得， 答：该地当时的温度约是．  【解析】利用待定系数法求解即可； 将代入中求得的与之间的函数表达式，求出对应的值即可． 本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求函数表达式是解题的关键． 1.目前，全球淡水资源日益减少，提倡全社会节约用水．据测试：拧不紧的水龙头每分钟滴出100滴水，每滴水约0.05毫升．小康同学洗手后，没有把水龙头拧紧，水龙头以测试的速度滴水，当小康离开分钟后，水龙头滴出毫升的水，请写出与之间的函数关系式是． 【解析】解：由题意得：， 即． 故答案为：． 2.已知一根弹簧在不挂重物时长，在一定的弹性限度内， 每挂重物弹簧伸长． 则该弹簧总长随所挂物体质量变化的函数关系式为． 【解析】解：每挂重物弹簧伸长， 挂上的物体后， 弹簧伸长， 弹簧总长． 故答案为：． 3.一个弹簧不挂重物时长，挂上重物后伸长的长度与所挂重物的质量成正比，如果挂上的物体后，弹簧伸长，则弹簧总长（单位：关于所挂重物（单位：的函数关系式为．　（不需要写出自变量取值范围） 【解析】解：弹簧总长（单位：关于所挂重物（单位：的函数关系式为， 故答案为： 4.某文具商店文具促销给出了两种优惠方案：①买一支钢笔赠送一本笔记本，多于钢笔数的笔记本按原价收费；②钢笔和笔记本均按定价的八折收费．已知每支钢笔定价为15元，每本笔记本定价为4元．某顾客准备购买x支钢笔和笔记本本，设选择第一种方案购买所需费用为元，选择第二种方案购买所需费用为元． (1)请分别写出，与x之间的关系式； (2)若该顾客准备购买10支钢笔，且只能选择其中一种优惠方案，请你通过计算说明选择哪种方案更为优惠． 【答案】(1)， (2)选择方案②更为优惠，见解析 【解析】（1）解：由题意，得：，； （2）当时，； ， 选择方案②更为优惠． 一次函数综合题 （2024·山东省滨州·中考真题）如图，四边形四个顶点的坐标分别是，，，，在该平面内找一点，使它到四个顶点的距离之和最小，则点坐标为          ． 【答案】  【解析】解：连接、，交于点，如图所示， 两点之间线段最短， 的最小值就是线段的长，的最小值就是线段的长， 到四个顶点的距离之和最小的点就是点， 设所在直线的解析式为，所在直线的解析式为， 点在直线上，点，在直线上， ， ， 解得，， 直线的解析式为，直线的解析式为， ， 解得， 点的坐标为， 故答案为： 根据两点之间线段最短，连接和，它们的交点即为所求，然后求出直线和直线的解析式，将它们联立方程组，求出方程组的解，即可得到点的坐标． 本题考查一次函数的应用、最短路径问题，解答本题的关键是明确题意，找出点所在的位置． 1.如图，直线与轴、轴分别相交于，两点，圆心的坐标为，与轴相切于点．若将沿轴向左移动，当与该直线相交时，横坐标为整数的点坐标为　、、　． 【解析】解：令，则， 解得， 则点坐标为； 令，则， 则点坐标为， ， ， 作与切于、， 连接、，则、， 则在中，， 同理可得，， 则横坐标为，横坐标为， 横坐标的取值范围为：， 横坐标为整数的点坐标为、、． 故答案为、、． 2.如图，直线与坐标轴分别交于点，，直线与直线关于轴对称． （1）求直线的解析式． （2）若点在的内部，求的取值范围． （3）若过点的直线将分成的两部分的面积比为，直接写出的解析式． 【答案】（1）直线的解析式为； （2）当点在的内部时，的取值范围是； （3）直线的解析式为或． （2）当点在直线上时，，当点在直线上时，，即可得当点在的内部时，的取值范围是； （3）求出；分两种情况：①设直线交于，，过作于，求得，，即得直线解析式为；②设直线交于，，过作于，同理可得直线解析式为． 【解析】解：（1）在中，令得，令得， ，， 直线与直线关于轴对称， 点与点关于轴对称， ， 设直线的解析式为，把点和点的坐标代入得： ， 解得， 直线的解析式为； （2）当点在直线上时，， 解得， 当点在直线上时，， 解得， 当点在的内部时，的取值范围是； （3），，， ； ①设直线交于，，过作于，如图： ， ， ， 在中，令得， ，， 设直线解析式为， ， 解得， 直线解析式为； ②设直线交于，，过作于，如图： 同理可得， ， 在中，令得， ，， 设直线解析式为， ， 解得， 直线解析式为； 综上所述，直线的解析式为或． 3.如图，以、为顶点作等边，点在第二象限． （1）求直线所对应的函数表达式． （2）过点作一条直线交于点，交于点，且． ①求点的坐标与的度数； ②在轴上是否存在这样的点，使得点到的两边所在直线的距离相等？若存在，请直接写出所以符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）直线解析式为； （2）①点的坐标为，，的度数为； ②在轴上存在点，使得点到的两边所在直线的距离相等，的坐标为或． 【解析】解：（1）过作于，如图： 、， ， 是等边三角形， ，， ，， ， ，， 设直线解析式为，将，，代入得： ， 解得， 直线解析式为； （2）①过作交于，过作于，如图： ， ，， ， ， ，，， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ，， ， ，， 设直线解析式为，把，，代入得： ， 解得， 直线解析式为， 联立，解得， ，； ， ， ， ， ， ； 点的坐标为，，的度数为； ②在轴上存在点，使得点到的两边所在直线的距离相等，理由如下： 当在轴下方时，过作于，设交轴于，如图： 到的两边所在直线的距离相等， 是的角平分线， ， ， 是等腰直角三角形， 点的坐标为，， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ； 当在轴上方时，过作于，延长交轴于，如图： 到的两边所在直线的距离相等， 是的角平分线， ， ， 是等腰直角三角形， 点的坐标为，， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ； 综上所述，的坐标为或． 4.如图，已知直线经过点、点，交轴于点，点是轴上一个动点，过点、作直线． （1）求直线的表达式； （2）已知点，当时，求点的坐标； （3）设点的横坐标为，点，，，是直线上任意两个点，若时，有，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）直线的表达式为； （2）的坐标或； （3）． 【解析】解：（1）设直线的解析式为， 、点在直线上， ，解之得，， 直线的表达式为； （2）直线交轴于，， ，， 过点作轴于， ，，， ，， 设点， ， 或， 的坐标或； （3）如图，过点作于， 时，有， 直线的图象从左向右成下降趋势， ． 5.如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点、、的长是一元二次方程的两个实数根，点关于原点的对称点为点，过点作直线的垂线交于点，交轴于点． （1）求直线的解析式； （2）点的坐标为，设的面积为，求与的函数关系式，并写出自变量的 上取值范围； （3）若点在直线上，为坐标平面内任意一点，是否存在以，、、为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）； （3）存在；或，． 【解析】解：（1）解方程， 可得：，， 、的长是一元二次方程的两个实数根， 、， ，，， 关于原点对称， 设过，、， ， 解得：， ； （2）由（1）知， 过点作直线；的垂线交于点，交轴于点． 直线为：， 令，则， 解得：， ， 联立得方程组： 解得：， ，， 的坐标为， ， ， 即； （3）存在； 分3种情况：①、为对角线，四边形为矩形时： 在直线上 设， 过作轴交直线于点， ，解得， 此时， ， 再过点作轴的垂线，过作的垂线，两线交于， ， ； ②、为对角线，四边形是矩形时： ， 、重合， ，， ，， 、点关于原点成中心对称， 也应该关于原点成中心对称， ，， ③当，此时、重合，、、、无法构成矩形， 综上所述：或，． 第2页 共5页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 一次函数的实际应用　 考情透析 考情透析 中考考点 考查频率 新课标要求 一次函数的应用 ★★★ 能用一次函数解决实际问题 一次函数的应用，在中考中多考查一次函数图象的理解和信息提取，通常以行程类问题为主。出题时也多和方程、不等式结合，一次函数的实际应用的题目在中考中难度不大，关键在于函数关系式的建立，主要考查的是理解和分析能力，从文字、图像和图表中获取信息，建立函数关系式是解题的关键. 关键知识 一次函数的实际应用： 1.一次函数应用问题的求解思路： ①建立一次函数模型→求出一次函数解析式→结合函数解析式、函数性质作出解答； ②利用函数并与方程(组)、不等式(组)联系在一起解决实际生活中的利率、利润、租金、生产方案的设计问题以及经济决策、市场经济等方面的应用。 2.建立函数模型解决实际问题的一般步骤： ①审题，设定实际问题中的变量，明确变量x和y； ②根据等量关系，建立变量与变量之间的函数关系式，如：一次函数的函数关系式； ③确定自变量x的取值范围，保证自变量具有实际意义； ④利用函数的性质解决问题； ⑤写出答案。 3.利用一次函数的图象解决实际问题的一般步骤： ①观察图象，获取有效信息； ②对获取的信息进行加工、处理，理清各数量之间的关系； ③选择适当的数学工具(如函数、方程、不等式等)，通过建模解决问题。 4.求最值的本质为求最优方案，解法有两种： ①可将所有求得的方案的值计算出来，再进行比较； ②直接利用所求值与其变量之间满足的一次函数关系式求解，由一次函数的增减性可直接确定最优方案及最值；若为分段函数，则应分类讨论，先计算出每个分段函数的取值，再进行比较． 根据实际问题列一次函数关系式 已知某同学家、体育场、图书馆在同一条直线上下面的图象反映的过程是：该同学从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又步行回家吃早餐，饭后骑自行车到图书馆图中用表示时间，表示该同学离家的距离结合图象给出下列结论： 体育场离该同学家千米． 该同学在体育场锻炼了分钟． 该同学跑步的平均速度是步行平均速度的倍． 若该同学骑行的平均速度是跑步平均速度的倍，则的值是． 其中正确结论的个数是(    ) A. B. C. D. 1.如图，甲从村匀速骑自行车到村，乙从村匀速骑摩托车到村，两人同时出发，到达目的地后，立即停止运动，甲、乙两人离村的距离与他自骑车的时间之间的函数关系如图所示，则下列说法错误的是　　 A．、两村的距离为 B．甲的速度为 C．乙的速度为 D．乙运动到达目的地 2.如图表示光从空气进入水中入水前与入水后的光路图，若按如图建立坐标系，并设入水与前与入水后光线所在直线的表达式分别为，，则关于与的关系，正确的是　　 A．， B．， C． D． 3.，两地相距，甲、乙两人沿同一条路从地到地．甲、乙两人离开地的距离（单位：与时间（单位：间的关系如图所示，下列说法错误的是　　 A．乙比甲提前出发 B．甲行驶的速度为 C．时，甲、乙两人相距 D．或时，乙比甲多行驶 4.在全民健身越野比赛中，乙选手匀速跑完全程，甲选手1.5小时后的速度为每小时10千米，甲、乙两选手的行程（千米）随时间（时变化的图象（全程）如图所示．下列说法： ①起跑后半小时内甲的速度为每小时16千米； ②第1小时两人都跑了10千米； ③两人都跑了20千米； ④乙比甲晚到0.3小时．其中正确的个数有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5.甲、乙两车从城出发匀速行驶至城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开城的距离（千米）与甲车行驶的时间（小时）之间的函数关系如图所示．则下列结论： ①，两城相距300千米； ②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时； ③乙车出发后2.5小时追上甲车； ④当甲、乙两车相距50千米时，或． 其中正确的结论有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 一次函数的应用 （2024·陕西·中考真题）实验表明，在某地，温度在至的范围内，一种蟋蟀的平均鸣叫次数可近似看成该地当时温度的一次函数已知这种蟋蟀在温度为时，平均鸣叫次；在温度为时，平均鸣叫次． 求与之间的函数表达式； 当这种蟋蟀平均鸣叫次时，该地当时的温度约是多少？ 1.目前，全球淡水资源日益减少，提倡全社会节约用水．据测试：拧不紧的水龙头每分钟滴出100滴水，每滴水约0.05毫升．小康同学洗手后，没有把水龙头拧紧，水龙头以测试的速度滴水，当小康离开分钟后，水龙头滴出毫升的水，请写出与之间的函数关系式是___________． 2.已知一根弹簧在不挂重物时长，在一定的弹性限度内， 每挂重物弹簧伸长． 则该弹簧总长随所挂物体质量变化的函数关系式为___________． 3.一个弹簧不挂重物时长，挂上重物后伸长的长度与所挂重物的质量成正比，如果挂上的物体后，弹簧伸长，则弹簧总长（单位：关于所挂重物（单位：的函数关系式为___________．（不需要写出自变量取值范围） 4.某文具商店文具促销给出了两种优惠方案：①买一支钢笔赠送一本笔记本，多于钢笔数的笔记本按原价收费；②钢笔和笔记本均按定价的八折收费．已知每支钢笔定价为15元，每本笔记本定价为4元．某顾客准备购买x支钢笔和笔记本本，设选择第一种方案购买所需费用为元，选择第二种方案购买所需费用为元． (1)请分别写出，与x之间的关系式； (2)若该顾客准备购买10支钢笔，且只能选择其中一种优惠方案，请你通过计算说明选择哪种方案更为优惠． 一次函数综合题 （2024·山东省滨州·中考真题）如图，四边形四个顶点的坐标分别是，，，，在该平面内找一点，使它到四个顶点的距离之和最小，则点坐标为 ___________． 1.如图，直线与轴、轴分别相交于，两点，圆心的坐标为，与轴相切于点．若将沿轴向左移动，当与该直线相交时，横坐标为整数的点坐标为___________．　 2.如图，直线与坐标轴分别交于点，，直线与直线关于轴对称． （1）求直线的解析式． （2）若点在的内部，求的取值范围． （3）若过点的直线将分成的两部分的面积比为，直接写出的解析式． 3.如图，以、为顶点作等边，点在第二象限． （1）求直线所对应的函数表达式． （2）过点作一条直线交于点，交于点，且． ①求点的坐标与的度数； ②在轴上是否存在这样的点，使得点到的两边所在直线的距离相等？若存在，请直接写出所以符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 4.如图，已知直线经过点、点，交轴于点，点是轴上一个动点，过点、作直线． （1）求直线的表达式； （2）已知点，当时，求点的坐标； （3）设点的横坐标为，点，，，是直线上任意两个点，若时，有，请直接写出的取值范围． 5.如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点、、的长是一元二次方程的两个实数根，点关于原点的对称点为点，过点作直线的垂线交于点，交轴于点． （1）求直线的解析式； （2）点的坐标为，设的面积为，求与的函数关系式，并写出自变量的 上取值范围； （3）若点在直线上，为坐标平面内任意一点，是否存在以，、、为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第2页 共5页 学科网（北京）股份有限公司 $$