安徽省安庆市外国语学校2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试题

安庆市外国语学校20242025学年第一学期 九年级期末考试数学试卷 (总分：150分 时间：120分钟) 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1,下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称轴图形的是( A B 2.若抛物线y=x2++2的对称轴是y轴，则a的值是() A.-2 B.-1 C.0 D.2 3.已知点P,)在反比例函数y=3的图象上，则点P关于原点对称的点的坐标是（) A.(1,3) B.(1,-3)C.(-3,1) D.(-1,-3) 4.已知线段a,b,c,d成比例，且a=lcm,b=4cm,c=2cm,则d=() A.8cm B、0.5cm C.2cm D.3cm 5,将抛物线y=2x向上平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度，所得到的抛物线为（) A.y=2(x+3)2+4B.y=2(x-3)2+4C.y=2(x-3)2-4D.y=2(x+3)2-4 6.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD=I00°，则∠BCD的度数为() A.50° B.80° C.100° D.130° 7,西周时期，丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表.如图是一个根据北京的 地理位置设计的圭表，其中，立柱4C高为a米.已知，冬至时北京的正午日光入射角∠ABC约为26.5°，则立 柱根部与圭表的冬至线的距离（即BC的长）约为()米， A.asin 26.5' B.acos26.5 a C.tan26.5 D. a cos 26.5 8.如图，在AMBC中，AB=AC,∠BAC=36°，以点C为圆心，以BC的长为半径作弧交AC于点D,再分别以 B,D为圆心，以大于)D的长为半径作弧，两弧相交于点P,作射线CP交AB于点E.则BE 的值等于( AC A. B. 3-5 c.5- D.5+1 2 A一日光 100 北（子 南（午） 冬至线立春特分立厦夏至线 立秋分立秋 第6题图 第7题图 第8题图 九年级数学 第1页，共4页 9.已知反比例函数y=k与一次函数y=-x+b的图象如图所示，则函数y=x2-x+k的大致图象为（) =空 1 10.在直角4MBC中，∠CAB=90°，AB=6,AC=4,E为射线AC上一点，以AE为直径作圆，连接BE交圆于 点D,则CD的最小值为() A.2 B.2W13-2 C.13-2 D.√13-1 C D 第10题图 第12题图 第13题图 第14题图 二.填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） L已脚号-子：则店白的值能 12.如图，AABC中，DE∥BC, DB之'4MDE的面积是1，那么ABCE的面积是】 AD 1 13.廊桥是我国古老的文化遗产，如图，是某座抛物线型的廊桥示意图.已知水面AB宽40米，抛物线最高点C 到水面AB的距离为10米，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E,F处要安装两盏鳖示 灯，则这两盏灯的水平距离EF等于 米， 14.如图，点A在函数y=2(x>0)图象上，点B、C在反比例函数y=(x>0的图象上，Bx轴，4Cy轴 (1)若点A的坐标为(1,2)且k=5,连接0A,则S4oB=一： (2)若点4是函数y=二x>0)图象上的任意一点，阴影都分的面积为4，则k= 三.（本题共2小题，每题8分，共16分） 15.计算：-1m4+tan30°-2sin60°+1-√3 16,如图，在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，4ABC的顶点都在格点上，利用格点按要求完成下 列作图，（要求仅用无刻度的直尺，不要求写画法，保留必要的作图痕迹） (1)在图1中，以C为位似中心作44BC,使它与A4BC的位似比为2：1： (2)在图2中，在AC边上找一个点E,使44DEn4MBC 图1 图2 九年级数学 第2页，共4页 四、（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 六. 17.如图，已知抛物线y=-x2+mx+3经过点M(-2,3). 21. (1)求抛物线的顶点坐标： 位长 (2)当-3≤x≤2时，求y的最小值. 0 I8.如图，己知ADAC=ABAE,∠DAE=∠BAC.求证：△DABn△EAC. 五.（本题共2小题，每题10分，共20分） 19,为保护青少年视力，某企业研发了可升降夹书阅读架（如图1），将其放置在水平桌面上的侧面示意图（如 七 图2)，测得底座高AB为2cm,∠ABC=150°，支架BC为18cm,面板长DE为24cm,CD为6Cm.(厚度忽略 22 不计) (1)求支点C离桌面！的高度：（结果保留根号） (2)当面板DE绕点C转动时，面板与桌面的夹角a满足30°≤≤70时，保护视力的效果较好.当α从30变化 到70°的过程中，面板上端E离桌面1的高度增加了多少？（结果精确到0.1cm,参考数据：sin70=0.94,cos700.34, tan70-2.75】 图2 20.如图1，AB是⊙O的直径，AC是弦，D是AB的中点，CD与AB交于点E,CF为⊙O的切线，点F在AB 2 延长线上， (1)求证：CF=EF: (2)如图2，连接BD,若CF=8,BF=4,求BD的长， 图1 图2 九年级数学 第3页，共4页 六.（本题12分） 21.如图，点4机，在反比例函数y=上k≠0)的图象上，把点A向右平移2个单位长度，再向下平移2个单 位长度后得到点B,点B仍然在这个反比例函数的图象上 (1)求反比例函数的表达式： (2)点E是反比例函数图象上点A右侧一点，连接AE,将线段AE绕点A顺时针旋转90°，点E的对应点F 恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点E的坐标， 七.（本题12分） 22.问题背景：如图1，在矩形ABCD中，点E,F分别是AB,BC的中点，连接BD,EF, 求证：△BCD∽△FBE. 问题探究：如图2，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠BCD=90°，点E是AB的中点，点F在边BC上， AD=2CF,EF与BD交于点G,求证：BG=FG. B 图1 图2 八.（本题14分） 23.定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”，例如，点(2,2) 是函数y=2x-2的图象的“等值点”. (1)求函数y=-x2+2的等值点坐标： (2)若函数y=一x2+(k+1)x+k的图象上只有一个等值点，求k的值： (3)若函数y=-x2+2(x≤m)的图象记为W1,将其沿直线x=m翻折后的图象记为W形2.当所1，刚两部分 组成的图象上恰有2个“等值点”时，请直接写出m的取值范围， 九年级数学 第4页，共4页1 安庆市外国语学校 2024-2025 学年第一学期 九年级期末考试数学试卷参考答案 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D C D A A D C B B A 二、 填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 11． 7 4 12． 6 13． 8 5 14．（1） 1.5 ；（2 分） （2） 6 .（3 分） 三、（本大题共 2 小题，每小题 8 分，满分 16 分） 15． 3 3 3 2 3 1 2 3 2 3       解：原式=-1+ （8 分） 16．解：（1）△A1B1C1即为所求； （2）△ADE 即为所求； 图 1 图 2 （4 分） （8 分） （图 2 画法不唯一） 四、（本大题共 2 小题，每小题 8 分，共 16 分） 17. 解：（1）把 M（﹣2，3）代入 y＝﹣x2+mx+3 得： ﹣4﹣2m+3＝3， 解得 m＝﹣2， ∴y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4， ∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，4）； （4 分） （2）∵y＝﹣（x+1）2+4， ∴抛物线开口向下，有最大值 4， ∵当 x＝-3 时，y＝0，当 x＝2 时，y＝-5， ∴当﹣3≤x≤2 时，y 的最小值是-5． （8 分） 2 18． 证明：∵AD•AC＝AB•AE， ∴ AD AB AE AC  ， ∵∠DAE＝∠BAC． ∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE， ∴∠DAB＝∠EAC， ∴△DAB∽△EAC． （8 分） 五．（本题共 2 小题，每题 10 分，共 20 分） 19． 解：（1）过点 C 作 CF⊥l 于点 F，过点 B 作 BM⊥CF 于点 M， ∴∠CFA＝∠BMC＝∠BMF＝90°． 由题意得：∠BAF＝90°， ∴四边形 ABMF 为矩形， ∴MF＝AB＝2cm，∠ABM＝90°． ∵∠ABC＝150°， ∴∠MBC＝60°． ∵BC＝18cm， ∴CM＝BC•sin60°＝18× ＝9 （cm）． ∴CF＝CM+MF＝（9 +2）cm． 答：支点 C 离桌面 l 的高度为（9 +2）cm； （5 分） （2）过点 C 作 CN∥l，过点 E 作 EH⊥CN 于点 H， ∴∠EHC＝90°． ∵DE＝24cm，CD＝6cm， ∴CE＝18cm． 当∠ECH＝30°时，EH＝CE•sin30°＝18× ＝9（cm）； 当∠ECH＝70°时，EH＝CE•sin70°≈18×0.94＝16.92（cm）； ∴16.92﹣9＝7.92≈7.9（cm） ∴当 α 从 30°变化到 70°的过程中，面板上端 E 离桌面 l 的高度增加了约 7.9cm． （10 分） 20． （1）证明：如图 1，连接 OC，OD， ∵D 是 的中点， ∴ ＝ ， ∴OD⊥AB， ∴∠ODE+∠OED＝90°， ∵CF 为⊙O 的切线， ∴OC⊥CF， ∴∠OCE+∠FCE＝90 ∵OC=OD ∴∠ODE＝∠OCE， ∴∠OED=∠FCE 3 又∵∠OED=∠FEC ∴∠FEC=∠FCE ∴ CF＝EF （5 分） （2）设 OA＝OD＝OC＝OB＝r， 则 OF＝r+4， 在 Rt△COF 中，OC2+CF2＝OF2 ∴82+r2＝（r+4）2， 解得 r＝6， ∴OB＝OD＝6， ∵∠DOB＝90°， ∴BD2＝OD2+OB2， ∴ 2 2 6 2BD OD OB   ． （10 分） （做法不唯一，过程合理，答案对即可酌情给分） 六.（本题 12 分） 21． 解：（1）由题意点 B 的坐标为 (3, 2)a  ∵点 A、B 都在反比例函数图象上 ∴ 3( 2)a a  解得 3a  ∴反比例函数的解析式为 y＝ ． （6 分） （2）设点 E 的坐标为（a， ）， 过点 A 作 y 轴的平行线 l，分别过点 E 和点 F 作 l 的垂线，垂足分别为 M 和 N， 由旋转可知， AE＝AF，∠EAF＝90°， ∴∠EAM+∠MAF＝∠MAF+∠AFN＝90°， ∴∠EAM＝∠AFN． 在△EAM 和△AFN 中， ， ∴△EAM≌△AFN（AAS）． ∴FN＝AM，AN＝ME． ∵点 A 坐标为（1，3），点 E 坐标为（a， ）， ∴FN＝AM＝3﹣ ，AN＝ME＝a﹣1， ∴点 F 的坐标为（ ，4﹣a）． （9 分） ∵点 F 在函数 y＝ 图象上， ∴ ， 4 解得 a1＝1，a2＝6， 因为点 A 坐标为（1，3）， 所以 a＝1 舍去， 所以点 E 坐标为（6， ）． （12 分） （做法不唯一，过程合理，答案对即可酌情给分） 七．（本题 12 分） 22. （1）证明：∵E、F 分别是 AB 和 BC 中点， ∴ ， ， ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AB＝CD， ∴ ， ∵∠EBF＝∠C＝90°， ∴△BCD∽△FBE； （5 分） （2）方法一：如图延长 FE 交 DA 延长线于点 M，作 FH⊥AD 于点 H，则四边形 CDHF 是矩形． ∵E 是 AB 中点， ∴AE＝BE， ∵AM∥BC， ∴∠AME＝∠BFE，∠MAE＝∠FBE， ∴△AME≌△BFE（AAS）， ∴AM＝BF， ∵AD＝2CF，CF＝DH， ∴AH＝DH＝CF， ∴AM+AH＝BF+CF，即 MH＝BC， ∵FH＝CD，∠MHF＝∠BCD＝90°， ∴△MFH≌△BDC（SAS）， ∴∠AMF＝∠CBD， 又∵∠AMF＝∠BFG， ∴∠CBD＝∠BFG， ∴BG＝FG； （12 分） 方法二：如图，取 BD 中点 H，连接 EH、CH， ∵E 是 AB 中点，H 是 BD 中点， ∴EH＝ AD，EH∥AD， ∵AD＝2CF， ∴EH＝CF， ∵AD∥BC， ∴EH∥CF， ∴四边形 EHCF 是平行四边形， ∴EF∥CH， ∴∠HCB＝∠GFB， ∵∠BCD＝90°，H 是 BD 中点， ∴CH＝ BD＝BH， 5 ∴∠HCB＝∠HBC， ∴∠GFB＝∠HBC， ∴BG＝FG； （12 分） 八．（本题 14 分） 23. 解：（1）在 y＝﹣x2+2 中，令 y＝x 得 x＝﹣x2+2， 解得 x＝﹣2 或 x＝1， 函数 y＝﹣x2+2 的等值点坐标为（﹣2，﹣2），（1，1）； （5 分） （2）令 2 ( 1)x k x k x     整理得 2 0x kx k   ∵函数 2 ( 1)y x k x k     的图象上只有一个等值点 ∴ 2( ) 4 0k k     解得 0 4k k  或 （10 分） （3） m＞ 或﹣2＜m＜1 （14 分）