江苏省南京市六校联合体2024-2025学年高二上学期期末调研数学试题

2024-2025学年高二第一学期期末六校联合调研试题 高二数学 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上． 1．直线x＋y－1＝0的倾斜角为 ( ) A． B． C． D． 2．已知数列{an}是等差数列，a2＝5，a4＝7，则a7＝ ( ) A．9 B．10 C．11 D．12 3．“k＜9”是“方程＋＝1表示双曲线”的 ( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．曲线y＝2lnx在点(e，2)处的切线方程为 ( ) A．y＝ex－2 B．y＝x＋1 C．y＝ex－e2＋2 D．y＝x 5．若抛物线y2＝2px(p＞0)的准线经过椭圆＋y2＝1的左焦点，则p的值为 ( ) A．1 B．2 C．4 D．8 6．记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S3＋S6＝2S9，则＝ ( ) A． B．－ C．1或－ D．－1或 7．已知函数f(x)＝x3＋3x2＋m在R上有三个零点，则m的取值范围是 ( ) A．(－4，0) B．(－20，0) C．(0，4) D．(－∞，) 8．已知A(1，0)，B(－1，2)，若在直线y＝k(x＋2)上存在点P，使得PA2＋PB2＝10，则k的取值范围为 ( ) A．[－2，] B．[－2，] C．[2－，2＋] D．[2－，2＋] 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有错选的得0分． 9．设k为实数，直线l的方程为2x＋(k－3)y－2k＋6＝0(k≠3)，则下列说法正确的是 ( ) A．当k变化时，l恒过定点(0，2) B．若k＝1，则l在x轴、y轴上的截距之和为4 C．若k＝1，则l的斜率为1 D．当k＝1时，点(1，1)关于直线l的对称点坐标为(－1，2) 10．已知等差数列{an}满足a7＜0，a7＋a8＞0，记Sn为{an}的前n项和，则下列说法正确的是 ( ) A．a1＞0 B．{an}是递增数列 C．当n=7时，Sn取得最小值 D．使得Sn＞0的n的最小值为13 11．已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p＞0)， A(x1，y1)，B (x2，y2)为抛物线上的两点，且y1 y2＝－p2，则下列说法正确的是 ( ) A．直线AB过抛物线C的焦点 B．以AF为直径的圆与y轴相切 C．当|AF|＝3|BF|时，AB＝3p D．若点D(p，0)，且|AF|＝|AD|，则∠OAD＋∠OBD＜180° 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 12．数列{an}的通项公式为an＝n＋2n，则它的前6项和为． 13．在边长为8×5 cm的长方形铁片的四角切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的长方体箱子，则箱子容积的最大值为cm3． （第13题图） 14．在平面直角坐标系xOy中，椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，上顶点为B．连接BF并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C．若OC⊥AB，则椭圆离心率为． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15．记Sn为数列{an}的前n项和，2Sn＋3＝3an． (1)求{an}的通项公式； (2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn． 16．已知圆M经过A(－1，0)，B(5，8)两点，且圆心M在直线y＝x＋2上． (1)求圆M的方程； (2)已知以A为端点的弦的长度为7，求该弦所在直线方程． 17．已知函数f(x)＝lnx－ax，a∈R． (1)讨论y＝f(x)的单调性； (2)当a＞0时，求证：f(x)≤－2． 18．已知O为坐标原点，双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)过点P(2，1)，渐近线方程为y＝±x． (1)求双曲线的方程； (2)直线l过点(2，0)，与双曲线C交于A，B两点， ①若直线l∥OP，求△PAB的面积； ②在x轴上是否存在定点N，使得·为定值?若存在,求出点N的坐标；若不存在,请说明理由． 19．在数列{an}中，按照下面方式构成{bn}： b1＝a1，b2＝max{a1，a2}，b3＝max{a1，a2，a3}，…，bn＝max{a1，a2，…，an}(n≥2)，其中max{a1，a2，…，ai}(2≤i≤n)表示数列a1，a2，…，ai中最大的项． (1)若数列{an}的前4项分别为2，1，4，3，求数列{bn}的前4项． (2)若{an}满足a1＝－2，且nan＋1＋2(n＋1)an＝0， ①求b3＋b6的值； ②求{bn}的前n项和Sn． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二第一学期期末六校联合调研试题 高二数学参考答案 一、单选题 1－8 D B A D C B A D 二、多选题 9－11 AC BC ABD 三、填空题 12.147 13.18 14．(也对) 四、解答题 15．(1)当n＝1时，2S1＋3＝3a1，a1＝3； 2分 当n≥2时，2Sn＋3＝3an，2Sn－1＋3＝3an－1， 作差得2an＝3an－3an－1，所以an＝3an－1， 5分 又因为a1≠0， 所以数列{an}是以3为首项，3为公比的等比数列， 所以an＝3n． 7分 (2)bn＝ 9分 ＝－， 11分 所以Tn＝1－＋－＋…＋－＝1－． 13分 (注：第1问不交代a1≠0不扣分．) 16．(1)AB的中垂线方程为3x＋4y－22＝0， 2分 由解得M(2，4)， 4分 又半径r＝MA＝5， 所以圆M的方程为(x－2)2＋(y－4)2＝25．(或x2＋y2－4x－8y－5＝0) 7分 (2)若弦所在直线斜率不存在，则弦长为8，不合题意，故所求弦的斜率存在． 8分 设弦所在直线方程为y＝k(x＋1)，即kx－y＋k＝0，设圆心到弦的距离为d， 由7＝2所以d＝， 10分 即＝，解得k＝1或． 14分 所以弦所在的直线方程为x－y＋1＝0或31x－17y＋31＝0 15分 17．(1)x＞0，f'(x)＝－a， 1分 当a≤0时，f'(x)＞0，f(x)在(0，＋∞)为增函数； 4分 当a＞0时，x∈(0，)时，f'(x)＞0，x∈(，＋∞)时，f'(x)＜0， 所以f(x)在(0，)为增函数，f(x)在(，＋∞)为减函数 7分 (2)由(1)可知，a＞0时f(x)max＝f()＝ln－1 9分 只要证明ln－1≤－2 11分 设g(x)＝lnx－1－(x－2)＝lnx－x＋1 g'(x)＝－1，x∈(0，1)时，g'(x)＞0，x∈(1，＋∞)时，g'(x)＜0， ∴x＞0，g(x)≤g(1)＝0 所以f(x)≤－2 15分 (注：其它构造函数的方法酌情给分) 18．(1)因为点P(2，1)在双曲线C：－＝1上，得－＝1 1分 ∵渐近线方程为y＝±x． ∴＝, 2分 解得a2＝2，即双曲线C：－y2＝1 4分 (2)①直线OP斜率为，l//OP，故直线l的方程为y＝x－1 代入双曲线C：－y2＝1得x2＋4x－8＝0，x1＋x2＝－4，x1x2＝－8， 7分 所以|AB|＝|x1－x2|＝2， 点P到l的距离为d＝＝ 9分 ∴△PAB的面积为S＝|AB|·d＝2 10分 ②解法一：设N(n，0)，当l斜率不存在时，A(2，1)，B(2，－1)， 则＝(2－n)2－1, 当l经过左、右顶点时,＝(－－n)(－n)＝n2－2． 令(2－n)2－1＝n2－2,得n＝． 12分 下面证明当N为(,0)时,＝－对所有直线l都成立 设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l：x＝my＋2代入双曲线C：－y2＝1 得(m2－2)y2＋4my＋2＝0,y1＋y2＝,y1y2＝ 14分 所以＝(x1－)(x2－)＋y1y2＝(my1＋)(my2＋)＋y1y2 ＝(m2＋1)y1y2＋m(y1＋y2)＋＝(m2＋1)＋m＋＝－ 所以在x轴上存在定点N(,0),使得为定值－． 17分 解法二：设N(n,0),当直线l斜率不为0时,设l：x＝my＋2,代入双曲线C：－y2＝1 设A(x1,y1),B(x2,y2),联立可得(m2－2)y2＋4my＋2＝0,y1＋y2＝,y1y2＝, 12分 所以＝(x1－n)(x2－n)＋y1y2＝(my1＋2－n)(my2＋2－n)＋y1y2 ＝(m2＋1) y1y2＋m (2－n)(y1＋y2)＋(2－n)2 ＝(m2＋1) ＋m (2－n)＋(2－n)2 ＝＋(2－n)2， 14分 若为常数,则为常数,设＝λ,λ为常数,则对任意的实数m恒成立, (4n－6) m2＋2＝λ(m2－2),所以, 所以n＝,λ＝－1,此时＝－． 当直线l斜率时为0，A(，0)，B(－，0)， 所以＝(－－n)( －n)＝n2－2＝－, 所以在x轴上存在定点N(,0),使得为定值－． 17分 (注：不讨论斜率不存在或不为0的情况,扣1分) 19． (1){bn}的前4项分别为2，2，4，4． 4分 (注：写对一个给1分) (2)①因为nan＋1＋2(n＋1)an＝0，所以＝－2， 所以＝·(－2)＝(－2)n， 所以an＝n·(－2)n． 6分 易知当n为奇数时,an＜0,当n为偶数时,{an}为递增数列, 所以b3＝a2＝8,b6＝a6＝384． 所以b3＋b6＝a2＋a6＝8＋384＝392． 10分 ②当n＝1时,b1＝a1＝－2,S1＝－2． 当n≥2时,bn＝＝, 12分 (i)当n为奇数时，Sn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn－1＋bn＝a1＋a2＋a2＋a4＋a4＋…＋an－1＋an－1＝－2＋2(a2＋a4＋…＋an－1)＝－2＋2(2·22＋4·24＋…＋(n－1)·2)， 令M＝2·22＋4·24＋…＋(n－1)·2，4M＝2·24＋4·26＋…＋(n－1)·2， 作差得－3M＝2·22＋2·24＋…＋2·2－(n－1)·2＝－(n－1)·2 ＝－(n－1)·2＝(－n)·2－， 所以M＝·2＋， 所以Sn＝－2＋2M＝·2－，经检验n＝1也满足上式． 14分 (ii)当n为偶数时，Sn＝Sn－1＋bn＝·2－＋n·2n＝·2n－． 16分 综上，Sn＝． 17分 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$