浙江省宁波市九校2024-2025学年高一上学期期末联考数学试题

绝密★考试结束前 宁波市期末九校联考 高一数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 选择题部分 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则 A． B． C． D． 2．已知函数，则的零点所在区间为 A． B． C． D． 3．函数的定义域为 A． B． C． D． 4．下列命题为真命题的是 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．“函数在上单调”的一个充分不必要条件是 A． B． C． D． 6．若不等式对任意的恒成立，则的最小值为 A． B． C． D． 7．已知是定义在上的奇函数，且当时，，则在上的最大值为 A． B． C． D． 8．已知函数 ()，为的零点，为图象的对称轴，且在上单调，则的最大值为 A．10 B．12 C．14 D．18 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对部分得分。 9．下列命题中正确的是 A．， B．， C．， D．， 10．设函数，则 A．是周期函数 B．的图象有对称中心 C．的图象关于直线对称 D．在区间上单调递减 11．已知函数，若关于的方程有四个不同的实数解，它们从小到大依次记为，，，，则 A． B． C． D． 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知扇形的周长为8，圆心角为6rad，则扇形的面积为 ▲ ． 13．设矩形的周长为12，把沿向折叠，折过去后交于点，则的最大面积是 ▲ ． 14．已知，若对于任意的， 恒成立，则的取值范围是 ▲ ． 四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（1）计算：； （2）已知，，求的值． 16．已知， （1）若，求； （2）若，则求实数的取值范围． 17．已知函数，且． （1）求的值及的单调递增区间； （2）若将的图象向左平移个单位，再将所得图象上每个点的横坐标变为原来的2倍 （纵坐标不变），得到函数的图象，则求不等式的解集 18．已知函数，，，； （1）当时，求函数的值域； （2）当时，恒成立，求的取值范围； （3）若存在，使得不等式对任意恒成立，求的取值范围． 19．已知和都是定义在上的函数，若它们满足如下性质： ①为奇函数，为偶函数； ②(，)； 则称为类正弦函数，为类余弦函数． （1）求类正弦函数和类余弦函数的解析式； （2）求证： （i）； （ii）； （3）解关于的不等式：，其中为非零常数． 宁波市九校联考高一数学试题　第4页　共4页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 宁波市期末九校联考 高一数学参考答案 一、单选题 1．D 2．C 3．A 4．D 5．B 6．C 7．B 8．C 8．解析：由题意知，，所以，又因为，所以. 当时，，因为，所以，此时，经检验，在上不单调，舍去；当时，，因为，所以，此时，经检验，在上单调递减. 故选C. 二、多选题 9．AC 10．ABD 11．ABD 三、填空题 12．3 13． 14． 14．解析：因为， 所以， 所以是偶函数. 由复合函数的单调性可知，在上单调递增， 所以等价于，即，即. 当时，恒成立，所以；当时，恒成立，所以. 综上，. 四、解答题 15．解： （1）原式； 6分 （2）因为，所以， 8分 又，所以， 9分 原式. 13分 16．解： （1）， 2分 当时，， 3分 ； 6分 （2），. 8分 当时，，； 10分 当时，即. 13分 . 15分 17．解： （1）， 2分 ，，， 又，， 4分 ，令，，得，， 所以的单调递增区间为，. 7分 （2）由题意可得，， 9分 则 ，， 12分 ，. 15分 18．解： （1）当时，，所以 4分 （2）令， 6分 恒成立，即恒成立， 8分 所以 10分 （3）由（1）知，在上的最大值为4， 11分 所以对任意恒成立，即， 12分 令， ①，即时，在上单调递增， 所以， 所以，所以； 13分 ②，即时，在上递减，在上递增， 所以， 所以，所以； 14分 ③，即时，在上递减，在上递增， 所以， 所以，所以； 15分 ④，即时，在上单调递减， 所以， 所以，所以. 16分 综上，. 17分 19．已知和都是定义在上的函数，若它们满足如下性质： ①为奇函数，为偶函数； ②(,)； 则称为类正弦函数，为类余弦函数. （1）求类正弦函数和类余弦函数的解析式； （2）求证： （i）；（ii）； （3）解关于的不等式：，其中为非零常数. 解析： （1）由性质②知，所以， 由性质①知，，所以， 解得，. 6分（各3分） （2）（i）证明： 8分 （ii）证明： 10分 （3）由（2）知，原式等价于， 令 则原式等价于， 12分（因式分解） ①时，无解； ②时，，又，所以，即， 解得， i）若，解集为； ii）若，解集为 ③时，，无解； ④时，，无解； ⑤时，，又，所以，即， 解得， i）若，解集为； ii）若，解集为. 综上，或时，无解； 13分 且时，解集为； 且时，解集为； 15分 且时，解集为； 且时，解集为 17分 宁波市九校联考高一数学参考答案　第4页　共4页 学科网（北京）股份有限公司 $$