陕西省西安市高陵区2024-2025学年八年级上学期期末数学试卷

2024-2025学年陕西省西安市高陵区八年级(上)期末数学试卷 一、选择题(本大题共8个小题,每小题3分,共24分) 1.(3分)下列实数中,是无理数的是( ) A.1 B.3.14159 C. D. 2.(3分)在平面直角坐标系中,点(﹣2,5)所在的象限是( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.(3分)在 ABC中,若∠A=90 ,AB=2,BC=4,则AC的长为( ) A.3 B. C. D. 4.(3分)与最接近的整数是( ) A.﹣1 B.0 C.1 D.2 5.(3分)乐乐参加了学校广播站招聘小记者的三项素质测试,成绩(百分制)如下:采访写作60分,计算机操作70分,创意设计80分.若采访写作、计算机操作和创意设计的成绩分别按50%,20%,30%的比例计算最终成绩,则他的素质测试的最终成绩为( ) A.67分 B.68分 C.70分 D.72分 6.(3分)若二元一次方程组的解也是二元一次方程x﹣y=4的解,则k的值为( ) A.12 B.8 C.6 D.4 7.(3分)将一块直角三角板ABC按如图所示的方式放置在平行线a,b之间.若∠2=52 ,则∠1的度数为( ) A.128 B.142 C.150 D.152 8.(3分)若一次函数y=mx+k的图象经过第一、二、四象限,则一次函数y=﹣kx+m的图象可能为( ) A. B. C. D. 二、填空题(本大题共5个小题,每小题3分,共15分) 9.(3分)比较大小: .(填“>”或“<”) 10.(3分)在函数y=4x+1中,当函数值为﹣3时,自变量x的值为 . 11.(3分)已知点P在第四象限,且到x轴的距离是3,到y轴的距离是2,则点P的坐标为 . 12.(3分)若正比例函数y=2x的图象向下平移t个单位长度后经过点(1,﹣2),则t= . 13.(3分)如图,在平面直角坐标系中,P为第一象限内的一点,过点P分别作PA⊥x轴于点A,PB⊥y轴于点B,点C在线段PB上,且点C的横、纵坐标相同,过点P作PD⊥OC于点D.设长方形OAPB的周长为m,OD的长为n,则= . 三、解答题(本大题共13个小题,共81分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 14.(5分)计算: +4﹣﹣2. 15.(5分)解方程组:. 16.(5分)已知2a+3为4的算术平方根,2为3b﹣1的立方根,求2a+b的值. 17.(5分)如图,在 ABC中,D是边AB上的点.尺规作图:过点D作DE∥BC,与边AC交于点E.(保留作图痕迹) 18.(5分)已知y+2与2x﹣3成正比例,且当x=3时,y=1,求y与x之间的函数表达式. 19.(5分)如图,在 ABC中,BC=5,点D在BC上,且AD⊥BC,AD=BD=3,求AB,AC的长. 20.(5分)如图,在平面直角坐标系中,每个小正方形网格的边长为1. (1)点A的坐标为 ,点B的坐标为 . (2)描出点C(2,2). (3)若点D与点A关于x轴对称,则点D的坐标为 . 21.(6分)安全教育是学校教育的重要环节之一.某校为了解学生对安全知识的掌握情况,从该校七、八年级学生中各随机抽取10名学生参加了安全教育知识竞赛,并对他们的成绩(百分制)进行整理、描述和分析(成绩均不低于70分,用x表示,共分三组:A.90≤x≤100;B.80≤x<90;C.70≤x<80),并得到下列信息: 七年级10名学生的竞赛成绩在B组中的数据为82,84,86,87. 八年级10名同学的成绩为76,78,80,82,87,87,87,93,93,97. 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 86 m 90 八年级 86 87 n 根据以上信息,解答下列问题. (1)填空:a= ,m= ,n= . (2)该校七年级学生有700人,八年级学生有600人.估计该校七、八年级学生中安全知识竞赛成绩在A组的共有多少人? 22.(7分)如图,点G在AB上,点E在CD上,BE与DG交于点F,且∠2=∠C. (1)若∠GBE=∠C,求证:∠1=∠2. (2)若∠GBF+∠BFG=130 ,∠1=55 ,求∠DFE的度数. 23.(7分)如图,直线l经过点A(﹣1,1),B(0,4). (1)求直线l的函数表达式. (2)若点C在直线l上,且点C的纵坐标为7,求 OAC的面积. 24.(8分)随着冬季的来临,某商场准备购进一批冬装进行销售.若3件甲品牌冬装和1件乙品牌冬装的进价为210元;2件甲品牌冬装和3件乙品牌冬装的进价为280元. (1)求甲、乙两种品牌的冬装每件的进价分别为多少元? (2)若甲品牌冬装每件的售价为80元,乙品牌冬装每件的售价为110元,若该商场同时购进甲、乙两种品牌的冬装共25件,总进价恰好为1400元,求商场销售完这批服装共盈利多少元? 25.(8分)定义:在一个三角形中,若一个内角的度数是另一个内角的度数的3倍,则这样的三角形称为“优美三角形”.例如:三个内角分别为100 ,60 ,20 的三角形是“优美三角形”. 【概念理解】 (1)如图1,∠MON=60 ,点A在边OM上,过点A作AB⊥OM,交ON于点B,以A为端点作射线AD,交线段OB于点C(点C不与点O,B重合). ① AOB “优美三角形”(填“是”或“不是”). ②若∠ACB=80 ,求证: AOC是“优美三角形”. 【应用拓展】 (2)如图2,点D在 ABC的边AB上,连接DC,∠BDC>90 ,作∠ADC的平分线,交AC于点E,在DC上取一点F,使∠EFC+∠BDC=180 ,∠DEF=∠B.若 BCD是“优美三角形”,求∠B的度数. 26.(10分)问题提出 (1)如图1,点A,B分别在直线l的两侧,且到直线l的距离AM=1,BN=2,P是直线l上的一点.若MN=4,则PA+PB的最小值为 . 问题探究 (2)如图2,点A,B分别在直线l的同一侧,点A,B到直线l的距离AM=1,BN=2,P是直线l上的一点.若MN=4,求PA+PB的最小值. 问题解决 (3)某市进行“老旧小区天然气改造”项目,让老旧小区的居民不再需要搬煤气罐上楼,增强本市老旧小区居民的幸福感与安全感.如图3,OM是原有天然气管道,ON是一条与OM垂直的街道,A,B是位于OM,ON内部的两个老旧小区,且小区A与OM的距离为2km,与ON的距离为6.5km,小区B与OM的距离为5km,与ON的距离为2.5km.现计划从OM处选一点P,铺设燃气管道PA,AB,PB.若1km的天然气管道铺设的价格为5万元,请计算所铺设的燃气管道的最低价格.(结果保留根号) 2024-2025学年陕西省西安市高陵区八年级(上)期末数学试卷 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B D C B A B D 一、选择题(本大题共8个小题,每小题3分,共24分) 1.(3分)下列实数中,是无理数的是( ) A.1 B.3.14159 C. D. 【分析】根据无理数的定义解答即可. 【解答】解:A、1是整数,属于有理数,故此选项不符合题意; B、3.14159是分数,属于有理数,故此选项不符合题意; C、是无理数,故此选项符合题意; D、是分数,属于有理数,故此选项不符合题意; 故选:C. 【点评】本题主要考查了无理数和算术平方根,熟知无限不循环小数是无理数是解题的关键. 2.(3分)在平面直角坐标系中,点(﹣2,5)所在的象限是( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【分析】根据各象限内点P(a,b)的坐标特征:①第一象限:a>0,b>0;②第二象限:a<0,b>0;③第三象限:a<0,b<0;④第四象限:a>0,b<0进行判断即可. 【解答】解:∵第二象限内的点横坐标<0,纵坐标>0, ∴点(﹣2,5)所在的象限是第二象限. 故选:B. 【点评】此题主要考查了平面内坐标点的特征,关键是熟记各象限内坐标点的特征. 3.(3分)在 ABC中,若∠A=90 ,AB=2,BC=4,则AC的长为( ) A.3 B. C. D. 【分析】利用勾股定理求解即可. 【解答】解:∵∠A=90 ,AB=2,BC=4, ∴AC===2. 故选:D. 【点评】本题考查勾股定理,解题的关键是学会利用勾股定理解决问题. 4.(3分)与最接近的整数是( ) A.﹣1 B.0 C.1 D.2 【分析】根据算术平方根的定义估算无理数的大小,进而得到﹣1的近似值即可. 【解答】解:∵1.52=2.25,22=4, ∴1.5<<2, ∴0.5<﹣1<1, ∴﹣1最接近的整数是1, 故选:C. 【点评】本题考查估算无理数的大小,掌握算术平方根的定义是正确解答的关键. 5.(3分)乐乐参加了学校广播站招聘小记者的三项素质测试,成绩(百分制)如下:采访写作60分,计算机操作70分,创意设计80分.若采访写作、计算机操作和创意设计的成绩分别按50%,20%,30%的比例计算最终成绩,则他的素质测试的最终成绩为( ) A.67分 B.68分 C.70分 D.72分 【分析】根据加权平均数的计算方法计算即可. 【解答】解:60 50%+70 20%+80 30%=30+14+24=68(分). 故选:B. 【点评】本题主要考查了加权平均数,熟练掌握加权平均数的定义及计算方法是解题的关键. 6.(3分)若二元一次方程组的解也是二元一次方程x﹣y=4的解,则k的值为( ) A.12 B.8 C.6 D.4 【分析】根据题意得到方程组,求出方程组的解,再代入x+y=k即可. 【解答】解:方程组的解为, 把代入x+y=k得,k=8+4=12, 故选:A. 【点评】本题考查二元一次方程组的解,二元一次方程的解,理解二元一次方程组的解,二元一次方程的解,掌握二元一次方程组的解法是正确解答的关键. 7.(3分)将一块直角三角板ABC按如图所示的方式放置在平行线a,b之间.若∠2=52 ,则∠1的度数为( ) A.128 B.142 C.150 D.152 【分析】过点A作AD∥a,得出∠3=∠CAD,再根据a∥b证得AD∥b,进而求出∠BAD=∠2=52 ,再根据∠A=90 求出∠3,进而求出∠1即可解答. 【解答】解:过点A作AD∥a, ∴∠3=∠CAD, ∵a∥b, ∴AD∥b, ∴∠BAD=∠2=52 , ∵∠CAB=90 , ∴∠CAD=∠3=38 , ∴∠1=180 ﹣38 =142 . 故选:B. 【点评】本题考查了平行线的性质,解题的关键是正确添加辅助线利用平行线的性质解题. 8.(3分)若一次函数y=mx+k的图象经过第一、二、四象限,则一次函数y=﹣kx+m的图象可能为( ) A. B. C. D. 【分析】先根据题意判断出m、k的符号,进而可得出结论. 【解答】解:∵一次函数y=mx+k的图象经过第一、二、四象限, ∴m<0,k>0, ∴﹣k<0, ∴一次函数y=﹣kx+m的图象经过二、三、四象限, 故选:D. 【点评】本题考查的是一次函数的图象与性质,熟知一次函数的图象与系数的关系是解题的关键. 二、填空题(本大题共5个小题,每小题3分,共15分) 9.(3分)比较大小: < .(填“>”或“<”) 【分析】先求出各数的绝对值,再比较它们的绝对值的大小,最后根据两个负数比较,绝对值大的反而小进行比较即可. 【解答】解:, ∵, ∴, ∴, 故答案为:<. 【点评】本题主要考查了实数的大小比较,解题关键是熟练掌握两个负数比较大小的方法. 10.(3分)在函数y=4x+1中,当函数值为﹣3时,自变量x的值为 ﹣1 . 【分析】代入y=﹣3,求出x的值即可. 【解答】解:当y=﹣3时,4x+1=﹣3, 解得:x=﹣1. 故答案为:﹣1. 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征,代入y=﹣3,求出x的值是解题的关键. 11.(3分)已知点P在第四象限,且到x轴的距离是3,到y轴的距离是2,则点P的坐标为 (2,﹣3) . 【分析】根据第四象限内点的横坐标是正数,纵坐标是负数,点到x轴的距离等于纵坐标的长度,到y轴的距离等于横坐标的长度解答即可. 【解答】解:∵点P在第四象限,且到x轴的距离是3,到y轴的距离是2, ∴点P的横坐标是2,纵坐标是﹣3, ∴点P的坐标为(2,﹣3). 故答案为:(2,﹣3). 【点评】本题考查了点的坐标,熟记点到x轴的距离等于纵坐标的长度,到y轴的距离等于横坐标的长度是解题的关键. 12.(3分)若正比例函数y=2x的图象向下平移t个单位长度后经过点(1,﹣2),则t= 4 . 【分析】根据平移的规律得y=2x﹣t,把(1,﹣2)代入即可求得t=4. 【解答】解:正比例函数y=2x的图象向下平移t个单位长度后得:y=2x﹣t, 把(1,﹣2)代入得,2﹣t=﹣2, 解得t=4, 故答案为:4. 【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换、一次函数图象上点的坐标特征,掌握平移的规律是解题关键. 13.(3分)如图,在平面直角坐标系中,P为第一象限内的一点,过点P分别作PA⊥x轴于点A,PB⊥y轴于点B,点C在线段PB上,且点C的横、纵坐标相同,过点P作PD⊥OC于点D.设长方形OAPB的周长为m,OD的长为n,则= 2 . 【分析】由题意可知∠OBC=90 ,OB=BC,则∠PCD=∠BCO=∠BOC=45 ,OC=BC,设OB=BC=r,则OC=r,由长方形OAPB的周长为m,OD的长为n,得2(OB+PB)=m,CD=n﹣r,则PC=m﹣2r,再证明PC=CD,所以m﹣2r=(n﹣r),则=2,于是得到问题的答案. 【解答】解:∵PB⊥y轴于点B,点C在线段PB上,且点C的横、纵坐标相同, ∴∠OBC=90 ,OB=BC, ∴∠PCD=∠BCO=∠BOC=45 ,OC==BC, 设OB=BC=r,则OC=r, ∵长方形OAPB的周长为m,OD的长为n, ∴2(OB+PB)=m,CD=n﹣r, ∴OB+PB=m, ∴PC=m﹣2r, ∵PD⊥OC于点D, ∴∠PDC=90 , ∴∠CPD=∠PCD=45 , ∴PD=CD, ∴PC==CD, ∴m﹣2r=(n﹣r), ∴=2, 故答案为:2. 【点评】此题重点考查坐标与图形性质、矩形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识,推导出OC=BC及PC=CD是解题的关键. 三、解答题(本大题共13个小题,共81分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 14.(5分)计算: +4﹣﹣2. 【分析】先根据二次根式的除法法则运算,然后把各二次根式化为最简二次根式,最后合并同类二次根式即可. 【解答】解:原式=+2﹣2﹣2 =+2﹣2﹣2 =﹣. 【点评】本题考查了二次根式的混合运算,熟练掌握二次根式的性质、二次根式的除法法则是解决问题的关键. 15.(5分)解方程组:. 【分析】利用代入消元法解方程组即可. 【解答】解:, 将①代入②得:4y+3y=14, 解得:y=2, 将y=2代入①得:x=4, 故原方程组的解为. 【点评】本题考查解二元一次方程组,熟练掌握解方程组的方法是解题的关键. 16.(5分)已知2a+3为4的算术平方根,2为3b﹣1的立方根,求2a+b的值. 【分析】根据算术平方根的定义求出a的值,根据立方根的定义求出b的值,再计算2a+b即可. 【解答】解:∵2a+3为4的算术平方根, ∴2a+3=2, ∴a=﹣0.5, ∵2为3b﹣1的立方根, ∴3b﹣1=8, ∴b=3, ∴2a+b=2 (﹣0.5)+3=2. 【点评】本题考查了立方根,算术平方根,熟练掌握这两个定义是解题的关键. 17.(5分)如图,在 ABC中,D是边AB上的点.尺规作图:过点D作DE∥BC,与边AC交于点E.(保留作图痕迹) 【分析】以D为顶点,DA为一边,作∠ADE=∠B,DE即为所求. 【解答】解:以D为顶点,DA为一边,作∠ADE=∠B,如图: DE即为所求. 【点评】本题考查作图﹣复杂作图,解题的关键是掌握作一个角等于已知角的尺规作图方法. 18.(5分)已知y+2与2x﹣3成正比例,且当x=3时,y=1,求y与x之间的函数表达式. 【分析】利用待定系数法即可解决问题. 【解答】解:由题知, 因为y+2与2x﹣3成正比例, 则令y+2=k(2x﹣3), 将x=3,y=1代入得, 1+2=k (2 3﹣3), 解得k=1, 所以y+2=2x﹣3, 则y与x之间的函数表达式为y=2x﹣5. 【点评】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式,熟知待定系数法是解题的关键. 19.(5分)如图,在 ABC中,BC=5,点D在BC上,且AD⊥BC,AD=BD=3,求AB,AC的长. 【分析】利用勾股定理求出AB,AC即可. 【解答】解:∵AD⊥BC, ∴∠ADB=∠ADC=90 , ∵AD=DB=3,BC=5, ∴CD=BC﹣BD=5﹣3=2, ∴AB===3,AC===. 【点评】本题考查勾股定理,解题的关键是学会利用勾股定理解决问题. 20.(5分)如图,在平面直角坐标系中,每个小正方形网格的边长为1. (1)点A的坐标为 (﹣3,2) ,点B的坐标为 (1,0) . (2)描出点C(2,2). (3)若点D与点A关于x轴对称,则点D的坐标为 (﹣3,﹣2) . 【分析】(1)由图可直接得出答案. (2)根据点C的坐标直接描点即可. (3)关于x轴对称的点的横坐标相等,纵坐标互为相反数,由此可得答案. 【解答】解:(1)由图可得,点A的坐标为(﹣3,2),点B的坐标为(1,0). 故答案为:(﹣3,2);(1,0). (2)如图,点C即为所求. (3)∵点D与点A关于x轴对称,点A的坐标为(﹣3,2), ∴点D的坐标为(﹣3,﹣2). 故答案为:(﹣3,﹣2). 【点评】本题考查作图—复杂作图、关于x轴、y轴对称的点的坐标,熟练掌握关于x轴对称的点的坐标特征是解答本题的关键. 21.(6分)安全教育是学校教育的重要环节之一.某校为了解学生对安全知识的掌握情况,从该校七、八年级学生中各随机抽取10名学生参加了安全教育知识竞赛,并对他们的成绩(百分制)进行整理、描述和分析(成绩均不低于70分,用x表示,共分三组:A.90≤x≤100;B.80≤x<90;C.70≤x<80),并得到下列信息: 七年级10名学生的竞赛成绩在B组中的数据为82,84,86,87. 八年级10名同学的成绩为76,78,80,82,87,87,87,93,93,97. 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 86 m 90 八年级 86 87 n 根据以上信息,解答下列问题. (1)填空:a= 40 ,m= 86.5 ,n= 87 . (2)该校七年级学生有700人,八年级学生有600人.估计该校七、八年级学生中安全知识竞赛成绩在A组的共有多少人? 【分析】(1)根据众数、中位数的定义求解即可; (2)用各年级人数分别乘以对应的比例,再求和即可得出答案. 【解答】解:(1)七年级C组人数未10 20%=2(人), 则A组人数为10﹣2﹣4=4(人), 所以a%= 100%=40%,即a=40,其中位数m==86.5, 八年级成绩的众数n=87, 故答案为:40、86.5、87; (2)700 40%+600 =460(人), 答:估计该校七、八年级学生中安全知识竞赛成绩在A组的共有460人. 【点评】本题主要考查了中位数,众数,用样本估计总体,熟练掌握各知识点是解答本题的关键. 22.(7分)如图,点G在AB上,点E在CD上,BE与DG交于点F,且∠2=∠C. (1)若∠GBE=∠C,求证:∠1=∠2. (2)若∠GBF+∠BFG=130 ,∠1=55 ,求∠DFE的度数. 【分析】(1)先证得∠2=∠GBE,即可得出AB∥CD,于是推出∠1=∠C,从而问题得证; (2)先求出∠BGF的度数,即可求出∠CGD的度数,再证得CG∥EB,问题即可得解. 【解答】(1)证明:∵∠2=∠C,∠GBE=∠C, ∴∠2=∠GBE, ∴AB∥CD, ∴∠1=∠C, ∴∠1=∠2; (2)解:∵∠GBF+∠BFG=130 , ∴∠BGF=180 ﹣(∠GBF+∠BFG)=180 ﹣130 =50 , ∵∠1=55 , ∴∠CGD=180 ﹣∠1﹣∠BGF=180 ﹣55 ﹣50 =75 , ∵∠2=∠C, ∴CG∥EB, ∴∠DFE=∠CGD=75 . 【点评】本题考查了平行线的判定与性质,熟练掌握这些定理是解题的关键. 23.(7分)如图,直线l经过点A(﹣1,1),B(0,4). (1)求直线l的函数表达式. (2)若点C在直线l上,且点C的纵坐标为7,求 OAC的面积. 【分析】(1)利用待定系数法即可解决问题. (2)先求出点C的坐标,再用 ABO的面积加上 BOC的面积即可解决问题. 【解答】解:(1)设直线l的函数解析式为y=kx+b, 则, 解得, 所以直线l的函数解析式为y=3x+4. (2)将y=7代入y=3x+4得, x=1, 所以点C的坐标为(1,7). 又因为点A坐标为(﹣1,1),点B坐标为(0,4), 所以,, 所以S OAC=S AOB+S BOC=2+2=4. 【点评】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式,熟知待定系数法是解题的关键. 24.(8分)随着冬季的来临,某商场准备购进一批冬装进行销售.若3件甲品牌冬装和1件乙品牌冬装的进价为210元;2件甲品牌冬装和3件乙品牌冬装的进价为280元. (1)求甲、乙两种品牌的冬装每件的进价分别为多少元? (2)若甲品牌冬装每件的售价为80元,乙品牌冬装每件的售价为110元,若该商场同时购进甲、乙两种品牌的冬装共25件,总进价恰好为1400元,求商场销售完这批服装共盈利多少元? 【分析】(1)设每件甲品牌冬装的进价是x元,每件乙品牌冬装的进价是y元,根据“3件甲品牌冬装和1件乙品牌冬装的进价为210元;2件甲品牌冬装和3件乙品牌冬装的进价为280元”,可列出关于x,y的二元一次方程组,解之即可得出结论; (2)设该商场购进m件甲品牌冬装,n件乙品牌冬装,利用总进价=进货单价 购进数量,可列出关于m,n的二元一次方程组,解之可得出m,n的值,再将其代入(80﹣50)m+(110﹣60)n中,即可求出结论. 【解答】解:(1)设每件甲品牌冬装的进价是x元,每件乙品牌冬装的进价是y元, 根据题意得:, 解得:. 答:每件甲品牌冬装的进价是50元,每件乙品牌冬装的进价是60元; (2)设该商场购进m件甲品牌冬装,n件乙品牌冬装, 根据题意得:, 解得:, ∴(80﹣50)m+(110﹣60)n=(80﹣50) 10+(110﹣60) 15=1050(元). 答:商场销售完这批服装共盈利1050元. 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用,找准等量关系,正确列出二元一次方程组是解题的关键. 25.(8分)定义:在一个三角形中,若一个内角的度数是另一个内角的度数的3倍,则这样的三角形称为“优美三角形”.例如:三个内角分别为100 ,60 ,20 的三角形是“优美三角形”. 【概念理解】 (1)如图1,∠MON=60 ,点A在边OM上,过点A作AB⊥OM,交ON于点B,以A为端点作射线AD,交线段OB于点C(点C不与点O,B重合). ① AOB 是 “优美三角形”(填“是”或“不是”). ②若∠ACB=80 ,求证: AOC是“优美三角形”. 【应用拓展】 (2)如图2,点D在 ABC的边AB上,连接DC,∠BDC>90 ,作∠ADC的平分线,交AC于点E,在DC上取一点F,使∠EFC+∠BDC=180 ,∠DEF=∠B.若 BCD是“优美三角形”,求∠B的度数. 【分析】(1)①根据垂直的定义、三角形内角和定理求出∠ABO的度数,根据“优美三角形”的概念判断; ②根据“完美三角形”的概念证明即可; (2)根据比较的性质得到∠EFC=∠ADC,根据平行线的性质得到∠DEF=∠ADE,推出DE∥BC,得到∠CDE=∠BCD,根据角平分线的定义得到∠ADE=∠CDE,求得∠B=∠BCD,根据“优美三角形”的定义,分两种情形分别求解即可. 【解答】(1)①解:∵AB⊥OM, ∴∠OAB=90 , ∴∠ABO=90 ﹣∠MON=90 ﹣60 =30 , ∵∠OAB=3∠ABO, ∴ AOB为“优美三角形”, 故答案为:是; ②证明:∵∠AOC=60 ,∠ACB=80 ,∴∠OAC=∠ACB﹣∠MON=20 , ∴∠AOC=3∠AOC, ∴ AOC为“优美三角形”; (2)解:∵∠EFC+∠BDC=180 ,∠ADC+∠BDC=180 , ∴∠EFC=∠ADC, ∴AD∥EF, ∴∠DEF=∠ADE, ∵∠DEF=∠B, ∴∠B=∠ADE, ∴DE∥BC, ∴∠CDE=∠BCD, ∵DE平分∠ADC, ∴∠ADE=∠CDE, ∴∠B=∠BCD, ∵ BCD是“优美三角形”, ∴∠BDC=3∠B,或∠B=3∠BDC, ∵∠BDC+∠BCD+∠B=180 , ∴∠B=36 或∠B=() . 【点评】本题考查三角形内角和定理,“优美三角形”的定义等知识,解题的关键是理解题意,学会用分类讨论的思想思考问题,属于中考常考题型. 26.(10分)问题提出 (1)如图1,点A,B分别在直线l的两侧,且到直线l的距离AM=1,BN=2,P是直线l上的一点.若MN=4,则PA+PB的最小值为 5 . 问题探究 (2)如图2,点A,B分别在直线l的同一侧,点A,B到直线l的距离AM=1,BN=2,P是直线l上的一点.若MN=4,求PA+PB的最小值. 问题解决 (3)某市进行“老旧小区天然气改造”项目,让老旧小区的居民不再需要搬煤气罐上楼,增强本市老旧小区居民的幸福感与安全感.如图3,OM是原有天然气管道,ON是一条与OM垂直的街道,A,B是位于OM,ON内部的两个老旧小区,且小区A与OM的距离为2km,与ON的距离为6.5km,小区B与OM的距离为5km,与ON的距离为2.5km.现计划从OM处选一点P,铺设燃气管道PA,AB,PB.若1km的天然气管道铺设的价格为5万元,请计算所铺设的燃气管道的最低价格.(结果保留根号) 【分析】(1)根据两点之间线段最短,当A,P,B共线时AP+PB最短; (2)作A关于MN的对称点A′,由(1)知,当A′,P,B共线时PA+PB最短; (3)因为AB距离一定,所以只需要求出PA+PB的最短距离即可,作A关于OM的对称点A′,当A′,P,B共线时PA+PB最短. 【解答】解:(1)过A作NB垂线,交BN延长线于C,如图: 由图可知,AP+PB≥AB, ∴A,P,B共线时,AP+PB最小, ∵AM⊥MN,CN⊥MN, ∴AM∥CN, 又∵MN⊥BC, ∴AC∥MN, ∴四边形AMNC是矩形, ∴AC=MN=4,CN=AM=1, ∴BC=CN+NB=3, ∴AB=5, 即PA+PB最小值是5, 故答案为:5; (2)作A关于MN的对称点A′,过A′作NB垂线,交BN延长线于C,如图: 由对称的性质可知,AM=A′M,PA=PA′, ∴当A′,P,B共线时,PA+PB最小, 由(1)可知,四边形MA′CN为矩形, ∴CN=AM=1,A′C=MN=4, ∴BC=2+1=3, ∴A′B=5,即PA+PB的最小值是5; (3)∵AB长度一定, ∴PA+PB+AB的最小值在PA+PB最小时取得, 取A关于OM的对称点C,连接AC交OM于G,连接BC,CP,过B作BD⊥AC交CA延长线于D,交ON于E,过A作AF⊥ON于F,如图: ∴AF=6.5km,BE=2.5km, 由对称的性质可知,AC⊥OM,CG=AG, ∴AG=2km,DG=5km, ∴AD=DG﹣AG=3km, ∵AD⊥DE,AD⊥AF,DE∥AF, ∴四边形AFED为矩形, ∴BD=AF﹣BE=6.5﹣2.5=4(km), ∴AB==5(m), ∵CD=2AG+AD=7(km), ∴BC==km, ∴PA+PB+AB最小为(5+)km. ∴所铺设的燃气管道的最低价格为5 (5+)=(25+5)元. 【点评】本题是三角形的综合题,考查了矩形的判定和性质,勾股定理,轴对称﹣最短路径问题,正确地作出辅助线是解题的关键. 第1页(共1页) 学科网(北京)股份有限公司 $$