第十六章 二次根式（培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记•巧练（广东专用，人教版）

第十六章 二次根式（培优卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 1、 选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．下列式子一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．已知是整数，是正整数，则的所有可能的取值的和是（    ） A．11 B．12 C．15 D．19 3．若，则代数式的值为（　　） A． B． C． D． 4．若二次根式，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．若，则 化简后的结果是（      ） A．xy B． C． D． 6．计算的结果为（    ） A． B． C．1 D．3 7．如图，的顶点A，，在边长为1的正方形网格的格点上，则边长的高为（ ） A． B． C． D． 8．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 9．如果，，那么、的关系是（    ） A． B． C． D． 10．若，则等于（   ） A． B． C． D． 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 3分，共 15 分. 11．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ． 12．下列二次根式、、、中，最简二次根式是 ． 13．设a、b、c分别是三角形三边的长，则 ． 14．若，则 ． 15．【跨学科】“海阔千江辏，风翻大浪随”．海浪的大小与风速和风压有很大的关系，用风速估计风压的通用公式为，其中为风压（单位：），为风速（单位：）．当风压为时，估计风速为 ． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题 7分，共21分. 16．计算： (1)； (2)． 17．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，． (1)化简M； (2)当时，求M的值． 18．若最简二次根式和是同类二次根式． (1)求x，y的值． (2)求的平方根． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分. 19．我们已经学习了二次根式和完全平方公式，请阅读下面材料： 当，时： ∵ 又∵ ∴ ∴ 当且仅当时，． 请利用上述结论解决以下问题： (1)当时，的最小值为 ，此时 ； (2)若（），求y的最小值． 20．“欲穷千里目，更上一层楼”，说的是登得高看得远．如图，若观测点的高度为，观测者视线能达到的最远距离为，则，其中是地球半径，约为． (1)小丽站在海边的一幢高楼顶上，眼睛离海平面的高度为，她观测到远处一艘船刚露出海平面，求此时的值； (2)已知一座山的海拔为，这座山到海边的最短距离为，天气晴朗时站在山巅能否看到大海？请说明理由． 21．阅读材料并解决下列问题： 已知a、b是有理数，并且满足等式5﹣﹣a，求a、b的值． 解：∵5﹣﹣a 即5﹣ ∴2b﹣a＝5，﹣a＝ 解得：a＝﹣ （1）已知a、b是有理数，并且满足等式﹣1，则a＝　 　，b＝　 　． （2）已知x、y是有理数，并且满足等式x+x+18，求xy的平方根． 5、 解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分. 22．材料阅读：在二次根式的运算中，经常会出现诸如的计算，需要运用分式的基本性质，将分母转化为有理数，这就是“分母有理化”，例如：；．类似地，将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”，例如：； ．根据上述知识，请你完成下列问题： (1)比较大小：______（填“>”，“<”或“=”）． (2)运用分子有理化，比较与的大小，并说明理由； (3)计算：； (4)若，求的值． 23．先阅读下列材料： 材料一：像，这种两个含二次根式的代教式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． 例如，，那么与，与等都是互为有理化因式，化简一个分母含有二次根式的式子时要求分母有理化，可以采用分子、分母同乘分母的有理化因式的方法．进而将二次根式化为最简，例如：， 材料2：小刚利用知识材料一的内容解决了问题：已知，求的值． 他是这样解答的：，， 请你根据上述知识和解题过程，解决如下问题： (1)请用以上方法化简： ；（直接填空） (2)计算：（没有过程不给分） (3)若，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十六章 二次根式（培优卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 1、 选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．下列式子一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键．形如（）是二次根式，注意二次根式的被开方数是非负数即可得解． 【详解】解：A、当时，不是二次根式，该选项不符合题意； B、当时，不是二次根式，该选项不符合题意； C、是三次根式，该选项不符合题意； D、 ， 是二次根式，该选项符合题意； 故选：D． 2．已知是整数，是正整数，则的所有可能的取值的和是（    ） A．11 B．12 C．15 D．19 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的定义，解题的关键是熟练掌握二次根式的定义． 根据二次根式的定义即可求出答案． 【详解】由题意可知：， ， ∵是整数，是正整数， ∴或7或8， ， 故选：D． 3．若，则代数式的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，求代数式的值，解题的关键是掌握：在二次根式中，要求字母必须满足条件，即被开方数是非负的，则当时，二次根式有意义，当时，二次根式无意义．据此得到关于的不等式组，继而得到、的值，再代入计算即可．也考查了负整数指数幂． 【详解】解：根据题意，得， 解得：， ∴， ∴， ∴代数式的值为． 故选：A． 4．若二次根式，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简、绝对值，解题的关键是掌握． 根据二次根式的性质得到，则有，根据绝对值的意义得到，然后解不等式即可． 【详解】解：， 而， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 5．若，则 化简后的结果是（      ） A．xy B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，有意义可得，进而即可求解． 【详解】解：∵，有意义， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的性质化简，得出是解题的关键． 6．计算的结果为（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的运算，积的乘方的逆用，平方差公式，将原式变形为，再利用积的乘方的逆运算和平方差公式求解即可． 【详解】解： ， 故选：A． 7．如图，的顶点A，，在边长为1的正方形网格的格点上，则边长的高为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用网格求三角形的面积，勾股定理，二次根式的乘除，利用面积法求三角形的高是解题的关键．先用割补法求出的面积，再根据勾股定理求出的长，最后根据三角形的面积公式即可求出答案． 【详解】设边上的高为h， ， ， ， 解得， 即边长的高为． 故选：C． 8．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次根式的运算．根据二次根式的加减乘除运算可直接进行排除选项． 【详解】解：A、2与不是同类二次根式，不能合并，错误，故本选项不符合题意； B、，故本选项符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故选：B． 9．如果，，那么、的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分母有理数化，先把分母有理数化即可得出答案. 【详解】解：。 ∵， ∴， 故选：B. 10．若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查代数式的化简求值，解题的关键是利用二次根式的性质及绝对值的意义将原式化简，再进行加减运算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴ ． 故选：D． 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 3分，共 15 分. 11．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查实数及二次根式有意义的条件，熟练掌握实数的性质及二次根式有意义的条件是解题的关键；因此此题可根据二次根式有意义的条件“被开方数要为非负数”可进行求解． 【详解】解：由题意得：， ∴； 故答案为． 12．下列二次根式、、、中，最简二次根式是 ． 【答案】 【分析】本题考查最简二次根式，理解最简二次根式的意义是正确判断的关键． 根据最简二次根式的意义逐项进行判断即可． 【详解】 解：，因此是最简二次根式； ，因此不是最简二次根式； ，因此不是最简二次根式； ，因此不是最简二次根式， 故答案为：． 13．设a、b、c分别是三角形三边的长，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形三边关系的应用，利用二次根式的性质化简，整式加减的应用等知识点，由三角形三边之间的关系得出，是解题的关键． 首先由三角形三边之间的关系得出，，然后化简二次根式，再进行整式的加减运算即可得出答案． 【详解】解：∵a、b、c分别是三角形三边的长， ∴，， ∴，， ， 故答案为：． 14．若，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查的是利用完全平方公式的变形求值，二次根式的加减乘法运算，求解代数式的值，先将代数式变形成，再代入m求值即可． 【详解】解：∵，， ， ． 故答案为：4． 15．【跨学科】“海阔千江辏，风翻大浪随”．海浪的大小与风速和风压有很大的关系，用风速估计风压的通用公式为，其中为风压（单位：），为风速（单位：）．当风压为时，估计风速为 ． 【答案】16 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，根据题中的通用公式表示出风速的表达式，求解即可得出答案． 【详解】解：由题中给出的公式可知， 当风压为时，风速为， 故答案为：16． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题 7分，共21分. 16．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握相应的运算法则是解答本题的关键． （1）根据二次根式的乘除运算法则计算，再化简二次根式，后计算加减即可； （2）先利用乘法公式计算，再计算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 17．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，． (1)化简M； (2)当时，求M的值． 【答案】(1) (2)8 【分析】本题考查了利用数轴判断式子的正负、二次根式的性质，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）由实数在数轴上对应点的位置确定的符号以及绝对值的大小，进而确定的符号，根据绝对值以及二次根式的化简方法进行计算即可； （2）根据绝对值、算术平方根的非负性求出的值，代入计算即可． 【详解】（1）解：由实数在数轴上对应点的位置可知，，且， ， ． （2）解：， ， ∴， ． 18．若最简二次根式和是同类二次根式． (1)求x，y的值． (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是同类二次根式的题目，求一个的平方根，算术平方根，解题的关键是掌握同类二次根式的定义． （1）首先由二次根式被开方数为2，可知，据此求出的值；再根据同类二次根式的定义可得，将的值代入计算即可解答； （2）先求出，则，故可求5的平方根． 【详解】（1）解：根据同类二次根式的定义，得，解得． 又， 把代入解得． （2）解：， ∴， ∴5的平方根为：． ∴的平方根为． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分. 19．我们已经学习了二次根式和完全平方公式，请阅读下面材料： 当，时： ∵ 又∵ ∴ ∴ 当且仅当时，． 请利用上述结论解决以下问题： (1)当时，的最小值为 ，此时 ； (2)若（），求y的最小值． 【答案】(1)4， (2)y的最小值为 【分析】本题主要考查了二次根式和完全平方公式的应用， 对于（1），根据题意可得，再根据题意求出x的值即可； 对于（2），将原式整理为，再结合已知条件可得，接下来可得答案． 【详解】（1）解：根据题意可知， 即． 当时，， 解得时，的最小值是4； 故答案为：4，； （2）解：∵ ， ∴． ∵， ∴． ∵当，时：， ∴， ∴， 即． 所以y的最小值为． 20．“欲穷千里目，更上一层楼”，说的是登得高看得远．如图，若观测点的高度为，观测者视线能达到的最远距离为，则，其中是地球半径，约为． (1)小丽站在海边的一幢高楼顶上，眼睛离海平面的高度为，她观测到远处一艘船刚露出海平面，求此时的值； (2)已知一座山的海拔为，这座山到海边的最短距离为，天气晴朗时站在山巅能否看到大海？请说明理由． 【答案】(1)； (2)她站在山巅能看到大海，理由见解析． 【分析】本题考查了代数式的求值计算，理解代数式中相应字母的值是解题的关键． （1）将，代入即可求解； （2）先将，代入，得到此时的值，与最短距离比较即可求解． 【详解】（1）解：，， ， 所以此时的值为． （2）解：能看到，理由如下 ，， ， 所以她站在山巅能看到大海． 21．阅读材料并解决下列问题： 已知a、b是有理数，并且满足等式5﹣﹣a，求a、b的值． 解：∵5﹣﹣a 即5﹣ ∴2b﹣a＝5，﹣a＝ 解得：a＝﹣ （1）已知a、b是有理数，并且满足等式﹣1，则a＝　 　，b＝　 　． （2）已知x、y是有理数，并且满足等式x+x+18，求xy的平方根． 【答案】（1）4，1；（2） 【分析】（1）利用等式左右两边的有理数相等和二次根式相同，建立方程，然后解方程即可． （2）先将等式变形，再利用等式左右两边的有理数相等和二次根式相同，建立方程，然后解方程得到x和y，再求xy的平方根． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴b=1，a-b=3， ∴a=4； （2）， ∴， ∴， 解得：， ∴xy=16， ∴xy的平方根为±． 【点睛】此题是一个阅读题目，主要考查了实数的运算．对于阅读理解题要读懂阅读部分，然后依照同样的方法和思路解题． 5、 解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分. 22．材料阅读：在二次根式的运算中，经常会出现诸如的计算，需要运用分式的基本性质，将分母转化为有理数，这就是“分母有理化”，例如：；．类似地，将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”，例如：； ．根据上述知识，请你完成下列问题： (1)比较大小：______（填“>”，“<”或“=”）． (2)运用分子有理化，比较与的大小，并说明理由； (3)计算：； (4)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) (4)11 【分析】本题考查的是分母有理化，分子有理化，理解题意，熟悉阅读部分的运算要求与运算法则，再解决问题即可． （1）根据分母有理化是要求把原式化简， 再比较即可得到答案； （2）根据分子有理化是要求把原式变形为， 再计算出结果， 再比较大小即可； （3）依次把每一项分母有理化，再合并即可； （4）把进行分母有理化化简，再将其代入即可求解． 【详解】（1）解：， ， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：， ， 由， ， ． （3）解： ； （4）解：， ∴． 23．先阅读下列材料： 材料一：像，这种两个含二次根式的代教式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． 例如，，那么与，与等都是互为有理化因式，化简一个分母含有二次根式的式子时要求分母有理化，可以采用分子、分母同乘分母的有理化因式的方法．进而将二次根式化为最简，例如：， 材料2：小刚利用知识材料一的内容解决了问题：已知，求的值． 他是这样解答的：，， 请你根据上述知识和解题过程，解决如下问题： (1)请用以上方法化简： ；（直接填空） (2)计算：（没有过程不给分） (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3)4 【分析】本题考查分母有理化、二次根式的混合运算、平方差公式、代数式求值，熟练掌握分母有理化并灵活运用是解答的关键． （1）仿照例题中求解过程解答即可； （2）仿照例题中求解方法化简每个式子，然后加减求解即可； （3）先化简，然后代入计算即可． 【详解】（1）解： 故答案为：； （2）解：原式 （3）解： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$