第十六章 二次根式（B卷·培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记•巧练（广州专用，人教版）

第十六章 二次根式（B卷·培优卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中一定是二次根式的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．下列式子为最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 4．下列运算：①＝0；②2×3＝6；③＝2；④( +2)2＝7，其中错误的有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．若代数式有意义，则x的取值范围是(　　) A．x＞且x≠3 B．x≥ C．x≥且x≠3 D．x≤且x≠﹣3 6．已知a+b＝﹣7，ab＝4，则＝(　　) A． B．﹣ C． D．﹣ 7．一个自然数的算术平方根为，则和这个自然数相邻的下一个自然数是（ ） A． B． C． D． 8．若，则实数在数轴上的对应点一定在（   ） A．原点左侧 B．原点右侧 C．原点或原点左侧 D．原点或原点右侧 9．等式成立的条件是  （    ） A．x≥1 B．x≥﹣1 C．﹣1≤x≤1 D．x≥1或x≤﹣1 10．为三个整数，若，，，则下列有关于的大小关系，正确的是(   ). A． B． C． D． 二、填空题：共6题，每题3分，共18分。 11．相邻两边长分别是2+与2﹣的平行四边形的周长是 ． 12．的平方根是 ． 13．已知是整数，则自然数n所有可能的值为 ． 14．若最简二次根式与可以合并，则a的值为 ． 15．观察规律：，，，…，将你猜想到的规律用一个式子来表示：________． 16．对实数a、b，定义“★”运算规则如下：a★b＝，则★（★）＝ ． 三、解答题：共9题，共72分，其中第17~18题每小题4分，第19~20题每小题6分，第21题8分，第22~23题每小题10分，第24~25题每小题12分。 17．计算： （1）； （2）（﹣）（+）+（﹣1）2 18．小东在学习了=后，认为=也成立，因此他认为一个化简过程： 是正确的．你认为他的化简对吗？说说理由． 19．先化简，再求值：，其中 20．为了表示对老师的敬意，张昊同学特地做了两张大小不同的正方形的画送给老师，其中一张面积为，另一张面积为，他想：如果再用金色细彩带把画的边镶上会更漂亮．他手上现有长的金色细彩带．请你帮他算一算，他的金色细彩带够用吗？如果不够用，还需买多少厘米的金色细彩带？(，结果保留整数) 21．（1）若的小数部分为a，5的小数部分为b，求ab （2）已知a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简    22．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2＝(1+)2．善于思考的小明进行了以下探索： 设a+b＝(m+n)2(其中a、b、m、n均为整数)，则有a+b＝m2+2n2+2mn． ∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)当a、b、m、n均为正整数时，若a+b＝(m+n)2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝　 　，b＝　 　； (2)利用探索的结论，找一组正整数a、b、m、n (a、b都不超过20) 填空：　 　+　 　＝(　 　+　 　)2； (3)若a+6＝(m+n)2，且a、m、n均为正整数，求a的值？ 23．观察下列各式及其验算过程： 验证： 验证： 按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果并进行验证； 针对上述各式反映的规律，写出用（为任意自然数，且）表示的等式，并给出证明． 24．材料一：由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如： ； 材料二：根式化简 ； ． 根据以上材料，请完成下列问题： (1)_______；（直接写结果） (2)计算：； (3)计算：； (4)计算：． 25．阅读下列两份材料，理解其含义并解决问题． 【阅读材料1】如果两个正数a，b，则即，当且仅当时取等号，此时有最小值为 【实例展示1】已知，求式子最小值． 解：当且仅当即时，式子有最小值为6． 【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 【实例展示2】如：这样的分式就是假分式；如：这样的分式就是真分式，假分数 可以化成带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如： 【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题： (1)已知，则当______时，式子取到最小值，最小值为______； (2)分式是______（填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式形式为______；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x的值有______个； (3)用篱笆围一个面积为的长方形花园，这个长方形花园的两邻边长各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ (4)已知，当x取何值时，分式取到最大值，最大值为多少？ 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十六章 二次根式（B卷·培优卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中一定是二次根式的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，熟练掌握二次根式成立的条件是解答本题的关键．根据定义分析即可． 【详解】解：①当时，不是二次根式； ②当时，不是二次根式； ③是二次根式； ④当时，不是二次根式； ⑤是二次根式； ⑥是二次根式． 故选B． 2．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的运算法则．根据二次根式的运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；     B. ，故该选项正确，符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意；     D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 3．下列式子为最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：选项A，被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式， A符合题意； 选项B，被开方数含能开得尽方的因数4，B不符合题意； 选项C，被开方数含能开得尽方的因式， C不符合题意； 选项D，被开方数含分母， D不符合题意， 故选A． 4．下列运算：①＝0；②2×3＝6；③＝2；④( +2)2＝7，其中错误的有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据二次根式加减法法则、二次根式乘除法法则、完全平方公式逐一进行计算即可. 【详解】①＝0，正确，不符合题意； ②2×3＝12，错误，符合题意； ③＝2，正确，不符合题意； ④( +2)2＝3+4+4=7+4，错误，符合题意， 所以错误的有2个， 故选B. 【点睛】本题考查了二次根式混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键. 5．若代数式有意义，则x的取值范围是(　　) A．x＞且x≠3 B．x≥ C．x≥且x≠3 D．x≤且x≠﹣3 【答案】C 【详解】解：∵代数式有意义， ∴3x﹣2≥0，|x|﹣3≠0， 解得：x≥且x≠3． 故选C． 【点睛】本题主要考查二次根式以及分式有意义的条件：（1）被开方数大于或等于0；（2）分式分母不等于0. 6．已知a+b＝﹣7，ab＝4，则＝(　　) A． B．﹣ C． D．﹣ 【答案】A 【分析】先化简原式，再整体代入即可． 【详解】∵a+b=-7＜0，ab=4＞0， ∴a＜0，b＜0 原式=（-）+（-） =-， ∵a+b=-7，ab=4， ∴原式=-， 故选A． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，分母有理化是解题的关键． 7．一个自然数的算术平方根为，则和这个自然数相邻的下一个自然数是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由一个自然数的算术平方根为，先求解这个自然数及与之相邻的下一个自然数即可得到答案． 【详解】解：由题意得，这个自然数是，则相邻的下一个自然数是， 故选B． 【点睛】本题考查的是算术平方根的含义，掌握算术平方根的含义是解题的关键． 8．若，则实数在数轴上的对应点一定在（   ） A．原点左侧 B．原点右侧 C．原点或原点左侧 D．原点或原点右侧 【答案】C 【分析】根据二次根式、算术平方根和绝对值的意义可知m≤0，从而可判断出实数a在数轴上的对应点位置． 【详解】∵ ∴m≤0， ∴m在原点或原点左侧． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式、算术平方根的意义和绝对值的意义及实数与数轴的关系，根据绝对值的意义求出a≤0是解答本题的关键． 9．等式成立的条件是  （    ） A．x≥1 B．x≥﹣1 C．﹣1≤x≤1 D．x≥1或x≤﹣1 【答案】A 【详解】∵等式成立， ∴ ，解得 故选A. 点睛：成立的条件是：且. 10．为三个整数，若，，，则下列有关于的大小关系，正确的是(   ). A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的化简方法，逐个化简可求出k，m，n，再进行比较. 【详解】因为，，， 所以k=3，m=2，n=5， 所以m＜k＜n， 故选D. 【点睛】本题考查二次根式的化简，解题关键点是掌握二次根式的化简方法. 二、填空题：共6题，每题3分，共18分。 11．相邻两边长分别是2+与2﹣的平行四边形的周长是 ． 【答案】8 【详解】试题解析：平行四边形的周长为： 故答案为8. 点睛：根据平行四边形的周长等于相邻两边的和的2倍进行计算即可． 12．的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查平方根和立方根的定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握． 先求得，根据平方根的定义即可求得答案． 【详解】解：， ∴的平方根是， 故答案为：． 13．已知是整数，则自然数n所有可能的值为 ． 【答案】0，7，12，15，16 【详解】试题解析：∵是整数， ∴16-n≥0，且16-n是完全平方数， ∴①16-n=1，即n=15； ②16-n=4，即n=12； ③16-n=9，即n=7； ④16-n=16，即n=0； ⑤16-n=0，即n=16. 综上所述，自然数n的值可以是0，7，12，15，16． 14．若最简二次根式与可以合并，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了同类二次根式，根据题意得出二次根式与是同类二次根式，根据被开方数相等得出，求解即可得解． 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并， ∴二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得：， 故答案为：． 15．观察规律：，，，…，将你猜想到的规律用一个式子来表示：________． 【答案】(n≥1) 【详解】∵，， ，…， ∴可总结为(n≥1)． 16．对实数a、b，定义“★”运算规则如下：a★b＝，则★（★）＝ ． 【答案】2 【分析】根据新定义得到★=，在结合新定义计算★即可得出． 【详解】解：∵<， ∴★=， ∴★（★）=★=， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了新定义下的实数运算，包括实数的大小比较等，理解题意是解题关键． 三、解答题：共9题，共72分，其中第17~18题每小题4分，第19~20题每小题6分，第21题8分，第22~23题每小题10分，第24~25题每小题12分。 17．计算： （1）； （2）（﹣）（+）+（﹣1）2 【答案】(1)；(2). 【分析】（1）先分别进行化简，然后再合并同类二次根式即可； （2）先利用平方差公式以及完全平方公式进行展开，然后再进行加减运算即可. 【详解】(1)原式= =； (2)原式= =. 【点睛】本题考查了二次根式的化简，二次根式的混合运算，熟练掌握相关的运算法则是解题的关键. 18．小东在学习了=后，认为=也成立，因此他认为一个化简过程： 是正确的．你认为他的化简对吗？说说理由． 【答案】错误；理由见解析. 【分析】根据被开方数为非负数可得化简过程是错误的，然后进行二次根式的化简即可． 【详解】解：错误，原因是被开方数应该为非负数． ====2. 故答案为错误. 【点睛】本题考查了二次根式的乘除法. 19．先化简，再求值：，其中 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，化简二次根式，熟练掌握知识点是解题的关键． 先将除法转化为乘法运算，再进行加减运算，最后再代入求值即可． 【详解】解：原式 ， 当，原式． 20．为了表示对老师的敬意，张昊同学特地做了两张大小不同的正方形的画送给老师，其中一张面积为，另一张面积为，他想：如果再用金色细彩带把画的边镶上会更漂亮．他手上现有长的金色细彩带．请你帮他算一算，他的金色细彩带够用吗？如果不够用，还需买多少厘米的金色细彩带？(，结果保留整数) 【答案】还需买的金色彩带． 【分析】先计算出两个正方形的边，再得到两个正方形的周长，然后与进行大小比较即可． 【详解】解：画所用的金色彩带的长为：， 因为， 所以小号的金色彩带不够用，即还需买的金色彩带． 【点睛】本题考查了二次根式的应用：在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念、性质和运算的方法． 21．（1）若的小数部分为a，5的小数部分为b，求ab （2）已知a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简    【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用“逼近法”分别求出确定a，b值，再求ab的值即可； （2）根据数轴可得出，再根据二次根式的性质以及绝对值的性质化简即可． 【详解】解：（1）∵ ∴， ∴， ∵的小数部分为a，5的小数部分为b， ∴， ∴； （2）由数轴可得出：， ∴ ∴． 【点睛】本题考查的知识点是求无理数的小数部分，二次根式的化简以及绝对值的化简，掌握“逼近法”，二次根式的性质以及绝对值的性质是解此题的关键． 22．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2＝(1+)2．善于思考的小明进行了以下探索： 设a+b＝(m+n)2(其中a、b、m、n均为整数)，则有a+b＝m2+2n2+2mn． ∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)当a、b、m、n均为正整数时，若a+b＝(m+n)2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝　 　，b＝　 　； (2)利用探索的结论，找一组正整数a、b、m、n (a、b都不超过20) 填空：　 　+　 　＝(　 　+　 　)2； (3)若a+6＝(m+n)2，且a、m、n均为正整数，求a的值？ 【答案】（1）；（2）8，2，1，1（答案不唯一）；（3）12或28. 【分析】（1）根据完全平方公式运算法则，即可得出a、b的表达式； （2）首先确定好m、n的正整数值，然后根据（1）的结论即可求出a、b的值； （3）根据题意，6=2mn，首先确定m、n的值，通过分析m=2，n=1或者m=1，n=2，然后即可确定好a的值． 【详解】(1)∵a+b=(m+n)2， ∴a+b=m2+5n2+2mn， ∴a=m2+5n2，b=2mn. 故答案为m2+5n2，2mn. (2)设m=1，n=1， ∴a= m2+7n2=61，b=2mn=2. 故答案为8、2、1、1. (3)由题意，得： a=m2+3n2，b=2mn， ∵6=2mn，且m、n为正整数， ∴m=3，n=1或者m=1，n=3， ∴a=32+3×12=12，或a=12+3×32=28. 【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算、完全平方公式，解题的关键在于熟练运算完全平方公式和二次根式的运算法则. 23．观察下列各式及其验算过程： 验证： 验证： 按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果并进行验证； 针对上述各式反映的规律，写出用（为任意自然数，且）表示的等式，并给出证明． 【答案】，验证见解析；，验证见解析 【分析】根据计算规律即可得出等式，根据已知等式的计算方法验证即可． 【详解】解： 验证：； ∴， 证明：∵， ∴． 【点睛】此题考查了二次根式的计算及性质，读懂题意及寻找规律并应用是解题的关键． 24．材料一：由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如： ； 材料二：根式化简 ； ． 根据以上材料，请完成下列问题： (1)_______；（直接写结果） (2)计算：； (3)计算：； (4)计算：． 【答案】(1) (2)9 (3) (4) 【分析】本题考查分母有理数、二次根式的混合运算，理解分母有理化的求解过程并灵活运用是解答的关键． （1）仿照题中例题解过程求解即可； （2）仿照题中求解过程化简各式，然后加减运算即可求解； （3）仿照题中求解过程化简各式，然后加减运算即可求解； （4）先对分母分解因式，再进行裂项化简各数，然后加减运算即可． 【详解】（1）解：， 故答案为： （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 25．阅读下列两份材料，理解其含义并解决问题． 【阅读材料1】如果两个正数a，b，则即，当且仅当时取等号，此时有最小值为 【实例展示1】已知，求式子最小值． 解：当且仅当即时，式子有最小值为6． 【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 【实例展示2】如：这样的分式就是假分式；如：这样的分式就是真分式，假分数 可以化成带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如： 【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题： (1)已知，则当______时，式子取到最小值，最小值为______； (2)分式是______（填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式形式为______；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x的值有______个； (3)用篱笆围一个面积为的长方形花园，这个长方形花园的两邻边长各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ (4)已知，当x取何值时，分式取到最大值，最大值为多少？ 【答案】(1)4，8 (2)真分式，，4 (3)当这个长方形的长、宽各为15米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是60米； (4)当时，分式取到最大值，最大值为 【分析】（1）根据题中的公式确定出原式的最小值即可； （2）根据新定义判断分式是真分式，将假分式化为真分式再判断满足条件的整数x的值； （3）设这个矩形的长为x米，则宽面积长，即宽米，则所用的篱笆总长为2倍的长倍的宽，本题就可以转化为两个负数的和的问题，从而根据： 求解； （4）根据实例剖析1和实例剖析2，将原式改写，然后使用不等式的性质进行计算即可得到答案；． 【详解】（1）解：令，则有， 得， 当且仅当时，即正数时，式子有最小值，最小值为8； 故答案为：4，8； （2）解：根据新定义分式是真分式， ， x为整数，的值为整数， ∴为整数， 或或或， 解得：或或或， 则满足条件的整数x的值有4个， 故答案为：真分式，，4； （3）解：设这个矩形的长为x米，则宽为米，所用的篱笆总长为y米， 根据题意得： 由上述性质知：∵， ∴， 此时，， ∴， 答：当这个长方形的长、宽各为15米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是60米； （4）解： ， ， ， 当且当时，即时，式子有最小值为4， 当时，分式取到最大值，最大值为． 【点睛】本题是材料题，考查学生对所给材料的理解分析能力，涉及分式的加减、二次根式的乘法、不等式的性质、完全平方公式、利用平方根解方程等知识，熟练运用已知材料和所学知识，认真审题，仔细计算，并注意解题过程中需注意的事项是本题的解题关键． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $$