第十六章 二次根式（A卷·提升卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记•巧练（广州专用，人教版）

第十六章 二次根式（A卷·提升卷） 考试时间：60分钟，满分：120分 一、选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．下列各式中一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 2．在中，是最简二次根式的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．实数在数轴上的位置如图所示，则化简后为（   ） A． B． C． D．无法确定 5．的相反数是（    ） A． B． C． D． 6．若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为（    ） A．且 B． C． D．且 7．若的整数部分为，小数部分为，则的值是（　　） A． B． C． D． 8．二次根式(a≥0)是（    ） A．正数 B．负数 C．0 D．非负数 9．如图，从一个大正方形中裁去面积为30cm2和48 cm2的两个小正方形，则余下部分的面积为（    ） A．78 cm2 B．cm2 C． cm2 D． cm2 10．设S=，则不大于S的最大整数[S]等于(　　) A．98 B．99 C．100 D．101 二、填空题：共6题，每题3分，共18分。 11．若一个长方体的长为，宽为，高为，则它的体积为 ． 12．若是整数，则正整数n的最小值为 ． 13．在实数范围内分解因式：2x2﹣6＝ ． 14．我们赋予“※”一个实际含义，规定a※b＝·＋，计算3※5＝ ． 15．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为S=．现已知△ABC的三边长分别为1，2，，则△ABC的面积为 ．    答本题的关键是明确题意，利用题目中的面积公式解答． 16．将一组数据，，3，2，，…，3，按下面的方法进行排列：，，3，2，；3，，2，3，；…，若2的位置记为(1，4)，2的位置记为(2，3)，则这组数中最大的数的位置记为 三、解答题：共9题，共72分，其中第17~18题每小题4分，第19~20题每小题6分，第21题8分，第22~23题每小题10分，第24~25题每小题12分。 17．计算： (1)； (2)． 18．已知实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简：﹣|a+b|++|b+c|．    19．当x的取值范围是不等式组的解时，试化简： . 20．有这样一道题： 计算＋－x2(x＞2)的值，其中x＝1005，某同学把“x＝1005”错抄成“x＝1050”，但他的计算结果是正确的，请回答这是怎么回事？试说明理由． 21．你能找出规律吗 (1)计算：= ， = . = ， = . (2)请按找到的规律计算：① ；②； (3)已知：a=，b=，则= (用含a、b的式子表示). 22．观察下列各式： 11； 11； 11； 请你根据上面三个等式提供的信息，猜想： （1）　 　； （2）请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n（n为正整数）表示的等式：　 　； （3）利用上述规律计算：（仿照上式写出过程） 23．阅读下面的问题： ﹣1； ； ； …… （1）求与的值． （2）已知n是正整数，求与的值； （3）计算． 24．在解决数学问题时，我们一般先仔细阅读题干，找出有用信息作为已知条件，然后利用这些信息解决问题，但是有的题目信息比较明显，我们把这样的信息称为显性条件；而有的信息不太明显，需要结合图形，特殊式子成立的条件，实际问题等发现隐含信息作为条件，我们把这样的条件称为隐含条件；所以我们在做题时，要注意发现题目中的隐含条件． 阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题． （1）按照下面的解法，试化简：﹣（）2． 化简：（）2﹣|1﹣x| 解：隐含条件1﹣3x≥0 解得x≤ ∴1﹣x＞0 ∴原式＝（1﹣3x）﹣（1﹣x） ＝1﹣3x﹣1+x ＝﹣2x （2）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简﹣|b﹣a|； 已知a，b，c为△ABC的三边长，化简： 25．阅读材料： 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：，善于思考的小明进行了以下探索： 设（其中a、b、m、n均为整数），则有． ∴．这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得a＝　 　，b＝　 　； （2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n，填空： ＋　 　＝(　 　＋　 　)2； （3）若，且a、b、m、n均为正整数，求a的值． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十六章 二次根式（A卷·提升卷） 考试时间：60分钟，满分：120分 一、选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．下列各式中一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据形如 的式子叫做二次根式判断即． 【详解】解：A、，不是二次根式，不符合题意； B、当时，不是二次根式，不符合题意； C、，是二次根式，符合题意； D、根指数是3，不是二次根式，不符合题意． 故答案为：C． 【点睛】本题考查了二次根式的意义和性质．概念：式子叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义，熟练掌握其性质是解决问题的关键． 2．在中，是最简二次根式的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】根据最简二次根式的两个特点“（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式”进行解答即可得． 【详解】解：不是二次根式，不符合题意， 是最简二次根式，符合题意， 是最简二次根式，符合题意， 是最简二次根式，符合题意， 不是最简二次根式，不符合题意， 不是最简二次根式，不符合题意， 综上，是最简二次根式的有3个， 故选B． 【点睛】本题考查了最简二次根式，解题的关键是熟记二次根式的两个特点． 3．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据算式平方根的定义和二次根式的性质逐一化简即可得解． 【详解】解：A、，此选项错误； B、，此选项正确； C、，此选项错误； D、，此选项错误； 故选：B． 【点睛】本题主要考查二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质． 4．实数在数轴上的位置如图所示，则化简后为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的性质，实数与数轴，先根据数轴判断的正负，再根据二次根式的性质化简． 【详解】解：由数轴可知，， ∴ 故选A． 5．的相反数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接利用相反数的定义得出答案．相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数. 【详解】解：的相反数是：． 故选：． 【点睛】此题主要考查了求一个数的相反数，正确掌握相关定义是解题关键． 6．若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为（    ） A．且 B． C． D．且 【答案】D 【分析】根据二次根式和分式有意义的条件，即可求解． 【详解】解：根据题意得：且， 解得：且． 故选：D 【点睛】本题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件：被开方数为非负数；分式有意义的条件：分式的分母不等于0是解题的关键． 7．若的整数部分为，小数部分为，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据的整数部分，确定的整数部分的值，则即可确定，然后代入所求解析式计算即可求解． 【详解】解： 的整数部分 则小数部分是： 则 故选： 【点睛】本题考查了二次根式的运算，正确确定的整数部分与小数部分的值是关键． 8．二次根式(a≥0)是（    ） A．正数 B．负数 C．0 D．非负数 【答案】D 【分析】根据被开方数是非负数，可得答案． 【详解】（a≥0）是非负数， 故选D． 【点睛】本题考查了二次根式的定义，二次根式是非负数是解题关键． 9．如图，从一个大正方形中裁去面积为30cm2和48 cm2的两个小正方形，则余下部分的面积为（    ） A．78 cm2 B．cm2 C． cm2 D． cm2 【答案】D 【分析】根据两小正方形的面积求出大正方形的边长及面积，然后减去两个小正方形的面积，即可求出阴影部分的面积进而得出答案． 【详解】解：从一个大正方形中裁去面积为30cm2和48cm2的两个小正方形， 大正方形的边长是， 留下部分（即阴影部分）的面积是： 故选：D． 【点睛】此题主要考查了二次根式的应用，正确求出大正方形的面积是关键． 10．设S=，则不大于S的最大整数[S]等于(　　) A．98 B．99 C．100 D．101 【答案】B 【分析】由，代入数值，求出S=+++ …+=99+1-，由此能求出不大于S的最大整数为99． 【详解】∵ = =， ∴S=+++ …+ = = =100-， ∴不大于S的最大整数为99． 故选B. 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，知道是解答本题的基础． 二、填空题：共6题，每题3分，共18分。 11．若一个长方体的长为，宽为，高为，则它的体积为 ． 【答案】12 【分析】直接根据长方体体积公式求解可得． 【详解】∵长方体的长为，宽为，高为 ∴长方体的体积= 故答案为：12 【点睛】本题考查求长方体的体积，注意正方体的体积求法与长方体类似，为棱长×棱长×棱长． 12．若是整数，则正整数n的最小值为 ． 【答案】5 【分析】根据n是正整数，则也是正整数，则20n一定是一个完全平方数，首先把20n分解因数，确定20n是完全平方数时，正整数n的最小值即可． 【详解】解：∵， ∴正整数n的最小值为5． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了算术平方根的定义，理解是正整数的条件是解题的关键． 13．在实数范围内分解因式：2x2﹣6＝ ． 【答案】2（x）（x） 【分析】先提取公因式2后，再把剩下的式子写成，符合平方差公式的特点，可以继续分解． 【详解】解：2x2﹣6 ＝2（x2﹣3） ＝2（x）（x）． 故答案为2（x）（x）． 【点睛】本题考查实数范围内的因式分解，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．在实数范围内进行因式分解的式子的结果一般要分到出现无理数为止． 14．我们赋予“※”一个实际含义，规定a※b＝·＋，计算3※5＝ ． 【答案】 【分析】根据新定义运算a※b＝·＋,可得: 3※5=·＋,然后根据二次根式的乘法和除法法则进行计算即可求解. 【详解】因为a※b＝·＋, 所以3※5=·＋, ·＋, =, =, 故答案为. 【点睛】本题主要考查新定义运算和二次根式的乘法和除法法则,解决本题的关键是要熟练掌握二次根式的乘法和除法法则. 15．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为S=．现已知△ABC的三边长分别为1，2，，则△ABC的面积为 ．    【答案】1 【分析】把题中的三角形三边长代入公式求解. 【详解】∵S=，∴△ABC的三边长分别为1，2，，则△ABC的面积为： S==1， 故答案为1． 【点睛】本题考查二次根式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的面积公式解答． 16．将一组数据，，3，2，，…，3，按下面的方法进行排列：，，3，2，；3，，2，3，；…，若2的位置记为(1，4)，2的位置记为(2，3)，则这组数中最大的数的位置记为 【答案】(6,5) 【详解】由题意可得，每五个数为一行， ， 90÷3=30，30÷5=6，故 位于第六行第五个数，位置记为（6，5）．故答案为（6，5）． 点睛：本题考查的是二次根式的性质，掌握二次根式的性质、正确找出规律是解题的关键． 三、解答题：共9题，共72分，其中第17~18题每小题4分，第19~20题每小题6分，第21题8分，第22~23题每小题10分，第24~25题每小题12分。 17．计算： (1)； (2)． 【答案】（1）；（2）3. 【分析】（1）先化简根式，再合并同类项求解. （2）利用平方差公式即可解答. 【详解】解：（1） （2） 【点睛】本题考查平方差公式和相关化简，能够掌握公式是简便解题关键. 18．已知实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简：﹣|a+b|++|b+c|．    【答案】2a+b−2c 【分析】根据数轴上点的位置判断出绝对值和根号里边式子的正负，利用绝对值和二次根式的代数意义化简，去括号合并即可得到结果． 【详解】由数轴可知：a>0，a+b=0，c−a<0，b−c>0 ∴原式=a−0−(c−a)+b−c=a−c+a+b−c=2a+b−2c 【点睛】本题考查的是实数与数轴，熟练掌握绝对值和二次根式的概念是解题的关键. 19．当x的取值范围是不等式组的解时，试化简： . 【答案】2 【详解】试题分析：能够正确解不等式组求出的范围，根据的范围定出绝对值和根式的正负，从而化简根式. 试题解析： 解不等式①得， 解不等式②得， 原不等式组的解集为： 20．有这样一道题： 计算＋－x2(x＞2)的值，其中x＝1005，某同学把“x＝1005”错抄成“x＝1050”，但他的计算结果是正确的，请回答这是怎么回事？试说明理由． 【答案】答案见解析． 【分析】将二次根式进行分母有理化，根据题中给出的条件准确计算，计算结果是正确的，因为通过根式化简结果与x的值无关． 【详解】解：原式＝＋－x2 ＝＋－x2 ＝－x2＝－2 因为化简结果与x的值无关， 所以该同学虽然抄错了x的值，计算结果却是正确的． 【点睛】此题的关键是分母有理化，熟练掌握运算法则是解题关键. 21．你能找出规律吗 (1)计算：= ， = . = ， = . (2)请按找到的规律计算：① ；②； (3)已知：a=，b=，则= (用含a、b的式子表示). 【答案】（1）6，6，20，20；（2）10，4；（3）. 【详解】试题分析： （1）按算术平方根的定义进行计算即可得到空格处的数； （2）分析（1）中所得结果可知：当时，，按照所得规律进行计算即可； （3）按照所得规律可知：，再结合即可得到结论. 试题解析： （1），； ，； （2）由（1）中的计算结果可知：当时，， ∴①； ②； （3）∵，， ∴. 22．观察下列各式： 11； 11； 11； 请你根据上面三个等式提供的信息，猜想： （1）　 　； （2）请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n（n为正整数）表示的等式：　 　； （3）利用上述规律计算：（仿照上式写出过程） 解析：（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据已知算式得出规律，再根据求出的规律进行计算即可； （2）根据已知算式得出规律即可； （3）先变形为原式，再根据得出的规律进行计算即可． 【详解】解：（1） ， 故答案为：； （2）， 故答案为：； （3） 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，数字的变化类等知识点，能根据已知算式得出规律是解此题的关键． 23．阅读下面的问题： ﹣1； ； ； …… （1）求与的值． （2）已知n是正整数，求与的值； （3）计算． 【答案】（1）＝，＝；（2）=，=，（3）9． 【分析】（1）根据所给式子可知，把的分子、分母分别乘以即可化简；把的分子、分母分别乘以即可化简； （2）由所给式子和（1）的计算可知，当分母中的两个二次根式的被开方数相差1时，其化简的结果等于它的有理化因式； （2）根据（2）中所总结规律计算即可. 【详解】（1）＝＝， ＝＝； （2）＝＝， ＝＝； （3） ﹣1++……+ ＝﹣1+ ＝﹣1+10 ＝9． 【点睛】本题考查了规律型---数字类规律与探究，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题.熟练掌握有理化因式是解答本题的关键，单项二次根式的有理化因式是它本身或者本身的相反数；其他代数式的有理化因式可用平方差公式来进行分步确定. 24．在解决数学问题时，我们一般先仔细阅读题干，找出有用信息作为已知条件，然后利用这些信息解决问题，但是有的题目信息比较明显，我们把这样的信息称为显性条件；而有的信息不太明显，需要结合图形，特殊式子成立的条件，实际问题等发现隐含信息作为条件，我们把这样的条件称为隐含条件；所以我们在做题时，要注意发现题目中的隐含条件． 阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题． （1）按照下面的解法，试化简：﹣（）2． 化简：（）2﹣|1﹣x| 解：隐含条件1﹣3x≥0 解得x≤ ∴1﹣x＞0 ∴原式＝（1﹣3x）﹣（1﹣x） ＝1﹣3x﹣1+x ＝﹣2x （2）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简﹣|b﹣a|； 已知a，b，c为△ABC的三边长，化简： 【答案】（1）1；（2）﹣a﹣2b；（3）2a+2b+2c． 【分析】（1）根据二次根式有意义的条件判断出x的范围，再根据二次根式的性质化简可得； （2）由a、b在数轴上的位置判断出a+b＜0、b﹣a＞0，再利用二次根式的性质化简即可得； （3）由三角形三边间的关系得出a﹣b﹣c＜0、b﹣a﹣c＜0、c﹣b﹣a＜0，再利用二次根式的性质化简可得． 【详解】解：（1）隐含条件2﹣x≥0，解得：x≤2， ∴x﹣3＜0， ∴原式＝﹣（x﹣3）﹣（2﹣x）， ＝3﹣x﹣2+x， ＝1； （2）观察数轴得隐含条件：a＜0，b＞0，|a|＞|b|， ∴a+b＜0，b﹣a＞0， ∴原式＝﹣a﹣（a+b）﹣（b﹣a）， ＝﹣a﹣a﹣b﹣b+a， ＝﹣a﹣2b； （3）由三角形三边之间的关系可得隐含条件：a+b+c＞0，b+c＞a，a+c＞b，a+b＞c， ∴a﹣b﹣c＜0，b﹣a﹣c＜0，c﹣b﹣a＜0， ∴原式＝（a+b+c）﹣（a﹣b﹣c）﹣（b﹣a﹣c）﹣（c﹣b﹣a）， ＝a+b+c﹣a+b+c﹣b+a+c﹣c+b+a， ＝2a+2b+2c． 【点睛】本题主要考查二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质＝|a|及三角形三边间的关系等知识点． 25．阅读材料： 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：，善于思考的小明进行了以下探索： 设（其中a、b、m、n均为整数），则有． ∴．这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得a＝　 　，b＝　 　； （2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n，填空： ＋　 　＝(　 　＋　 　)2； （3）若，且a、b、m、n均为正整数，求a的值． 【答案】（1），；（2）13，4，2，1（答案不唯一）；（3）7或13． 【分析】根据题意进行探索即可. 【详解】（1）∵， ∴， ∴a＝m2＋3n2，b＝2mn． 故答案为m2＋3n2，2mn． （2）设m＝1，n＝2，∴a＝m2＋3n2＝13，b＝2mn＝4． 故答案为13，4，1，2(答案不唯一)． （3）由题意，得a＝m2＋3n2，b＝2mn． ∵4＝2mn，且m、n为正整数， ∴m＝2，n＝1或m＝1，n＝2， ∴a＝22＋3×12＝7，或a＝12＋3×22＝13． 【点睛】本题考查二次根式的运算.根据题意找出规律是解决本题的关键. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $$