精品解析：2025届河南省焦作市博爱县第一中学高三一模数学试题

焦作市博爱一中2024—2025学年高三（上）一模考试 数 学 考生注意： 1.答题前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号在答题卡上填写清楚； 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效； 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，现对的任意一非空子集，令表示中最大数与最小数之和，则所有这样的的算术平均数为（ ） A. 501 B. 500 C. 1002 D. 1001 2. 已知函数是上的偶函数，对任意，且都有成立．若，，，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 3. 已知平面向量，则的最小值是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3 4. 若复数且，则满足的复数的个数为（ ） A. 0 B. 2 C. 1 D. 4 5. 过直线上一点作圆的两条切线，，切点分别为A，B，当直线，关于对称时，线段的长为（ ） A. 4 B. C. D. 2 6. 四棱柱中，侧棱底面，，，，侧面为正方形，设点O为四棱锥外接球的球心，E为上的动点，则直线与所成的最小角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 随着我国铁路的发展，列车的正点率有了显著的提高．据统计，途经某车站的只有和谐号和复兴号列车，且和谐号列车的列次为复兴号列车的列次的2倍，和谐号的正点率为0.98，复兴号的正点率为0.99，今有一列车未正点到达该站，则该列车为和谐号的概率为（ ） A. 0.2 B. 0.5 C. 0.6 D. 0.8 8. 设无穷数列的前项和为，且对任意的正整数，则的值可能为（ ） A B. 0 C. 6 D. 12 二、多项选择题：本题共３小题，每小题６分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对1个得3分；若只有3个正确选项，每选对1个得2分. 9. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知是定义在上的可导函数，其导函数为，若函数是奇函数，函数为偶函数，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. 为奇函数 D. 10. 已知函数，则（ ） A. 函数为奇函数 B. 曲线的对称轴为， C. 上单调递增 D. 在处取得极小值 11. 若曲线（e为自然对数的底数）有两条过坐标原点的切线，则a的取值可以是（ ） A. B. C. 0 D. 1 三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数最小值为，则实数的取值范围为__________. 13. 已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，平面，是边长为的正三角形，、、分别是、、的中点，且，则球的表面积为_________. 14. 设抛物线的焦点为，准线为.斜率为的直线经过焦点，交于点，交准线于点（，在轴的两侧），若，则抛物线的方程为________________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数依次为1、2、3、4、5，现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下： 1 2 3 4 5 （1）若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，求a、b、c的值； （2）在（1）的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为、、，等级系数为5的2件日用品记为、，现从、、、、这5件日用品中任取两件（假定每件日用品被取出的可能性相同），写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率． 16. 数学发展推动着科技的进步，正是基于线性代数、群论等数学知识的极化码原理的应用，华为的5G技术领先世界．目前某区域市场中5G智能终端产品的制造由A公司及B公司提供技术支持．据市场调研预测，5G商用初期，该区域市场中采用A公司与B公司技术的智能终端产品分别占比及，假设两家公司的技术更新周期一致，且随着技术优势的体现每次技术更新后，上一周期采用B公司技术的产品中有20%转而采用A公司技术，采用A公司技术的仅有5%转而采用B公司技术，设第n次技术更新后，该区域市场中采用A公司与B公司技术的智能终端产品占比分别为及，不考虑其它因素的影响． （1）用表示，并求实数，使是等比数列； （2）经过若干次技术更新后，该区域市场采用A公司技术的智能终端产品占比能否达到75%以上？若能，至少需要经过几次技术更新；若不能，说明理由？（参考数据：） 17. 已知函数. （1）若在其定义域内单调递增，求实数的取值范围； （2）若，且有两个极值点，，其中，求的取值范围. 18. 已知的内角的对边分别为，且. （1）求角大小； （2）若，求的面积； （3）若，求. 19. 已知双曲线的实轴长为2，离心率为2，右焦点为，为上的一个动点， （1）若点在双曲线右支上，在轴的负半轴上是否存在定点．使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． （2）过作圆的两条切线，若切线分别与相交于另外的两点、，证明：三点共线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 焦作市博爱一中2024—2025学年高三（上）一模考试 数 学 考生注意： 1.答题前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号在答题卡上填写清楚； 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效； 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，现对的任意一非空子集，令表示中最大数与最小数之和，则所有这样的的算术平均数为（ ） A 501 B. 500 C. 1002 D. 1001 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，由集合子集的定义分2种情况讨论：①满足，②满足，求出的算术平均数，综合可得答案. 【详解】可设的非空子集为（，，，…，）， 又把这样的子集分为两类：①一类满足，这样的子集； ②另一类满足，此时可把两个非空集合与配对， 易知这是两个不同的集合，且都是的非空子集，它们的最大数与最小数之和是， 所以此时非空子集的的平均数为1001. 综上，的所有非空子集的特征数的平均数为1001. 故选：D 2. 已知函数是上的偶函数，对任意，且都有成立．若，，，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，由偶函数的性质可得的图象关于直线对称，结合函数的单调性分析可得在上为增函数，据此分析可得答案． 【详解】根据题意，函数是上的偶函数，则函数的图象关于直线对称， 又由对任意，且，都有成立，则函数在上为增函数， 又，，， 又，所以，由函数的图象关于直线对称，知， 又，所以，故， 故选：A． 3. 已知平面向量，则的最小值是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】由题设分别在以为原点，半径为的圆上运动，且，数形结合及向量加法的几何意义确定的范围，即可得答案. 【详解】由题设，分别在以为原点，半径为圆上运动，且， 所以，若是的中点，则，而，如下图示， 由图知，，而，即. 所以的最小值是. 故选：D. 4. 若复数且，则满足的复数的个数为（ ） A. 0 B. 2 C. 1 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】由可得复数对应点在圆心为，半径为的圆上， 又的几何意义为复数在复平面内的点到直线的距离为，则由圆心到直线的距离为，即可得到复数的个数. 【详解】因为，所以， 又，所以， 即复数对应的点在圆心为，半径为的圆上， 又可以变形为， 即其几何意义为复数在复平面内的点到直线的距离为， 又圆心到直线的距离为， 而，所以满足条件的不存在. 故选：A. 5. 过直线上一点作圆的两条切线，，切点分别为A，B，当直线，关于对称时，线段的长为（ ） A. 4 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意画出图形，观察图形可知圆心与点的连线垂直于直线，利用这一关系即可求得切线段的长. 【详解】如图所示，圆心,连接, 因为直线，关于直线对称， 所以垂直于直线， 故 而, 则, 故选： 6. 四棱柱中，侧棱底面，，，，侧面为正方形，设点O为四棱锥外接球的球心，E为上的动点，则直线与所成的最小角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，确定各点坐标，设球心，根据得到，设，根据向量的夹角公式结合二次函数性质计算最值得到答案. 【详解】如图所示：以分别轴建立空间直角坐标系， 设，则，，， 球心在平面的投影坐标为，则设球心， 则，即， 解得，则. 设，，，， 设，则，， 则， 当时，有最大值为， 此时直线与所成的角最小，对应的正弦值为. 故选：D 【点睛】关键点睛：本题考查了立体几何中的异面直线夹角问题，外接球问题，意在考查学生的计算能力，空间想象能力和综合应用能力，其中建立空间直角坐标系可以简化运算，是解题的关键. 7. 随着我国铁路的发展，列车的正点率有了显著的提高．据统计，途经某车站的只有和谐号和复兴号列车，且和谐号列车的列次为复兴号列车的列次的2倍，和谐号的正点率为0.98，复兴号的正点率为0.99，今有一列车未正点到达该站，则该列车为和谐号的概率为（ ） A. 0.2 B. 0.5 C. 0.6 D. 0.8 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用全概率公式及条件概率公式计算即得. 【详解】令事件A：经过的列车为和谐号；事件B，经过的列车为复兴号；事件C，列车未正点到达， 则， 于是， 所以该列车为和谐号的概率为. 故选：D 8. 设无穷数列的前项和为，且对任意的正整数，则的值可能为（ ） A. B. 0 C. 6 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】根据与的关系，探索数列的结构特点，分别求出和，再根据及数列是无穷数列对各选项进行判断. 【详解】当时，. 当时，，所以， 两式相减得：，因为，所以. 所以数列的奇数项是以为首项，1为公差的等差数列，且. 所以. 同理，数列的偶数项是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以. 所以. 若，则数列各项均不为0，数列是无穷数列，故A正确； 若，这与矛盾，故B错误； 若，根据奇数项成公差为1的等差数列，则，则无法求出，这与数列是无穷数列矛盾，故C错误； 若，根据奇数项成公差为1的等差数列，则，则无法求出，这与数列是无穷数列矛盾，故D错误. 故选：A 【点睛】关键点点睛：观察出数列的特点后，一定要注意及数列是无穷数列这两个条件的应用. 二、多项选择题：本题共３小题，每小题６分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对1个得3分；若只有3个正确选项，每选对1个得2分. 9. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知是定义在上的可导函数，其导函数为，若函数是奇函数，函数为偶函数，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. 为奇函数 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用函数对称性的定义可判断A选项；举特例可判断BCD选项. 【详解】对于A选项，因为函数为奇函数， 所以，函数的图象关于点对称， 且函数的定义域为，则，A对； 对于B选项，不妨取， 因为为奇函数， 则函数符合题意，， 所以，为偶函数， 但，B错； 对于C选项，不妨取，则为奇函数， ，为偶函数，合乎题意， 但不是奇函数，C错； 对于D选项，若，则该函数的最小正周期为， ， 所以，，D错. 故选：BCD. 【点睛】结论点睛：函数的对称性与周期性： （1）若，则函数关于中心对称； （2）若，则函数关于对称； （3）若，则函数的周期为； （4）若，则函数的周期为. 10. 已知函数，则（ ） A. 函数为奇函数 B. 曲线的对称轴为， C. 在上单调递增 D. 在处取得极小值 【答案】AB 【解析】 【分析】根据题意整理可得.对于A：整理可得，结合正弦函数奇偶性分析判断；对于B：令运算求解即可；对于C：令，结合正弦函数单调性分析判断；对于D：根据三角函数极值与最值之间的关系分析判断. 【详解】由题意可得：. 对于选项A：因为为奇函数，故A正确； 对于选项B：令，，解得，， 所以曲线的对称轴为，，故B正确； 对于选项C：令， 因为，则， 而在上单调递减，所以函数在上单调递减，故C错误； 对于选项D：因为， 在处取得极小值，故D错误. 故选：AB. 11. 若曲线（e为自然对数的底数）有两条过坐标原点的切线，则a的取值可以是（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】AD 【解析】 【分析】设切点为，求导得出斜率，利用点斜式得到切线方程，因为切线过坐标原点，可得到，有两条切线转化为有两个不等的实根，即可求出a的取值范围，进而得到正确选项. 【详解】设切点为，， 所以切线的斜率， 则此曲线在P处的切线方程为， 又此切线过坐标原点，所以， 由此推出有两个不等的实根，所以，解得或， 故选：AD． 三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数的最小值为，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数解析式由二次函数单调性以及基本不等式求得两部分取得最小值的表达式，解不等式即可得出结果. 【详解】当时，，因为的图象关于对称， 若最小值为，可知，即可得； 又当时，，当且仅当时等号成立； 若最小值为可得，即，解得； 综上可知，实数的取值范围为. 故答案为： 13. 已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，平面，是边长为的正三角形，、、分别是、、的中点，且，则球的表面积为_________. 【答案】 【解析】 【分析】 根据已知条件，作图建立直角坐标系，利用求出，然后根据垂面模型构建出直角三角形求出外接球的半径，然后即可求解 【详解】 如图，根据题意，以A为原点，为轴方向，为轴方向，为轴方向，建立空间直角坐标系，设，由，可得 ，，，，因为、、分别是、、的中点，得，，，可得 ，，， ，解得， 解得，根据外接圆垂面模型的应用，可找到如图的球心和的外接圆圆心，且必有，且为的外接圆的半径，因为是边长为的正三角形，且，设外接球半径，则在中，根据勾股定理，得，则可求得，则球的表面积为 答案： 【点睛】本题考查空间直角坐标系运用，以及锥体垂面模型的应用，属于中档题 14. 设抛物线的焦点为，准线为.斜率为的直线经过焦点，交于点，交准线于点（，在轴的两侧），若，则抛物线的方程为________________. 【答案】 【解析】 【分析】首先表示出抛物线的焦点坐标与准线方程，即可得到直线的方程，从而求出点坐标，再联立直线与抛物线方程，求出点坐标，再由距离公式得到方程，解得即可. 【详解】抛物线的焦点为，准线方程为， 依题意直线的方程为， 令可得，即， 由，消去得，解得或， 又，在轴的两侧，所以，则，所以， 所以，解得或（舍去）， 所以抛物线的方程为. 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数依次为1、2、3、4、5，现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下： 1 2 3 4 5 （1）若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，求a、b、c的值； （2）在（1）的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为、、，等级系数为5的2件日用品记为、，现从、、、、这5件日用品中任取两件（假定每件日用品被取出的可能性相同），写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率． 【答案】（1），， （2）所有可能的结果详见解析；概率为． 【解析】 【分析】（1）根据频率和频数的关系可求的值，根据频率和为可求的值. （2）用列举法写出所有的可能性，再结合古典概型公式求解即可. 【小问1详解】 因为等级系数为4的恰有3件，所以； 等级系数为5的恰有2件，所以； 因为，所以. 故，，. 【小问2详解】 从、、、、这5件日用品中任取两件，所有可能得结果有： ，，，，，，，，，共10种情况. 这两件日用品的等级系数恰好相等的结果有：，，，，共4个. 因为每种结果出现的可能性相同，所以这两件日用品的等级系数恰好相等的概率为：. 16. 数学的发展推动着科技的进步，正是基于线性代数、群论等数学知识的极化码原理的应用，华为的5G技术领先世界．目前某区域市场中5G智能终端产品的制造由A公司及B公司提供技术支持．据市场调研预测，5G商用初期，该区域市场中采用A公司与B公司技术的智能终端产品分别占比及，假设两家公司的技术更新周期一致，且随着技术优势的体现每次技术更新后，上一周期采用B公司技术的产品中有20%转而采用A公司技术，采用A公司技术的仅有5%转而采用B公司技术，设第n次技术更新后，该区域市场中采用A公司与B公司技术的智能终端产品占比分别为及，不考虑其它因素的影响． （1）用表示，并求实数，使是等比数列； （2）经过若干次技术更新后，该区域市场采用A公司技术的智能终端产品占比能否达到75%以上？若能，至少需要经过几次技术更新；若不能，说明理由？（参考数据：） 【答案】（1）， （2）至少经过6次技术更新，该区域市场采用A公司技术的智能终端产品占比能达到75%以上 【解析】 【分析】（1）根据题意经过次技术更新后，由已知条件推导数列的递推关系，通过整理得到，结合数列是等比数列，求的值； （2）由（1）求出数列的通项公式，再解不等式，即可求出答案． 【小问1详解】 由题意，可设5G商用初期，该区域市场中采用A公司与B公司技术的智能终端产品的占比分别为． 易知经过次技术更新后， 则，即， 由题意，可设，∴， 又， 从而当时，是以为首项，为公比的等比数列． 【小问2详解】 由（1）可知，，又，则， ∴经过次技术更新后，该区域市场采用A公司技术的智能终端产品占比． 由题意，令，得， 则， 故，即至少经过6次技术更新，该区域市场采用A公司技术的智能终端产品占比能达到75%以上． 17. 已知函数. （1）若在其定义域内单调递增，求实数的取值范围； （2）若，且有两个极值点，，其中，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意结合导数与函数单调性的关系可转化条件为在上恒成立，利用基本不等式求得的最小值即可得解； （2）由题意结合函数极值点的概念可得，，进而可得，转化条件为，令（），利用导数求得函数的值域即可得解. 【小问1详解】 的定义域为， ∵在上单调递增， ∴在上恒成立，即在上恒成立， 又，当且仅当时等号成立， ∴； 【小问2详解】 由题意， ∵有两个极值点， ∴为方程的两个不相等的实数根， 由韦达定理得，，                ∵，∴， 又，解得， ∴ ， 设（）， 则， ∴在上单调递减， 又，， ∴， 即的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：（2）问中，由题意结合函数极值点的概念可得，，进而可得，转化条件为，令（），利用导数求得函数的值域即可得解. 18. 已知的内角的对边分别为，且. （1）求角的大小； （2）若，求的面积； （3）若，求. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）首先分析题意，利用正弦定理进行边角互化，进而通过特殊角的余弦值求解即可. （2）通过余弦定理列出方程，求解关键边长，进而求出三角形面积即可. （3）通过正弦定理判断角为锐角，利用二倍角公式结合两角和的正弦公式求解即可. 【小问1详解】 由正弦定理得：， ， 显然则， 又，故； 【小问2详解】 ， 由余弦定理可得，整理可得， 又，解得， 【小问3详解】 由正弦定理得：，则， ，即，则，故为锐角， ， ， ， 19. 已知双曲线的实轴长为2，离心率为2，右焦点为，为上的一个动点， （1）若点在双曲线右支上，在轴的负半轴上是否存在定点．使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． （2）过作圆的两条切线，若切线分别与相交于另外的两点、，证明：三点共线． 【答案】（1） 存在，. （2） 证明见解析. 【解析】 【分析】（1）先求出双曲线的方程，将角度关系转化为直线的斜率关系，从而列出不等式，斜率不存在的情况单独讨论，即可求出M点的坐标. （2）先根据P点的位置判断能否作出切线，再将切线分为斜率存在和不存在两种情况讨论，表达出两条切线的方程，斜率存在时，再根据切线与圆的位置关系，找出两条切线的斜率的关系，再把切线方程代入双曲线，表达出点E、G的坐标并找出坐标关系，从而证出E、O、G三点共线. 【小问1详解】 根据题意，有， 所以双曲线的方程为. 设，且， ①当直线的斜率存在时，即时， 因为，所以， ， 从而，化简整理得，， ，所以在x轴负半轴上存在点使得； ②当直线的斜率不存在时，即时， 若，则，此时P点的坐标为， 所以，则，又，所以，此时， 综上，满足条件的M点存在，其坐标为. 【小问2详解】 设，由题意得，双曲线和圆相交，所以联立两曲线方程，得，即为两曲线四个交点的坐标， ①当时，即时，直线PG的斜率不存在，直线PE的斜率为0， 此时易得，此时点E、G关于点O对称，故E、O、G三点共线. ②当，且或，且时， 此时直线PE、PG的斜率存在且不为零，分别设为， 设经过的直线方程为，由于直线与圆相切， 所以，即 由韦达定理得，又，所以， 由直线PE与圆的位置关系可知，， 同理直线PG的方程为，有， 联立，消去y并整理得，， 即， 即， 令，根据韦达定理得，所以 设，又，所以， 所以，又， 两式相减得，， 由图可知，，所以，即. 所以点E、G关于点O对称，此时E、O、G三点共线， 综上得，E、O、G三点共线. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $