精品解析：山东省东营市广饶县乐安中学2024-2025学年八年级上学期11月期中数学试题

2024-2025学年第一学期期中限时作业 八年级数学试题 （时间：120分钟 分值：130分） 注意事项： 1.答卷前务必将自己的姓名、座号和准考证号按要求填写在试卷和答题卡的相应位置. 2.本试题分I、II卷两部分，所有答案都写在答题卡上，不要直接在本试卷上答题. 3.必须用0.5毫米黑色签字笔写在对应的答题卡区域，不得超出规定范围. 第I卷（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，共30.0分，在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项。） 1. 下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. 赵爽弦图 B. 笛卡尔心形线 C. 科克曲线 D. 斐波那契螺旋线 2. 下列各式中，，，，是分式的有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 3. 若分式有意义，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 把分式中的都缩小为原来的，则分式的值（ ） A. 缩小到原来的 B. 扩大到原来的2倍 C. 改变为原来的 D. 不改变 5. 李老师为了解学生家务劳动时间情况，更好地弘扬“热爱劳动”的民族传统美德，随机调查了本校10名学生在上周参加家务劳动的时间，收集到如下数据（单位：小时）：4，3，4，6，5，5，6，5，4，5．则这组数据的中位数和众数分别是（ ） A. 4，5 B. 5，4 C. 5，5 D. 5，6 6. 如图，在三角形ABC中，，，，将△ABC沿射线BC向右平移得到三角形DEF，若，则四边形ABFD的周长为（ ） A. 15cm B. 16cm C. 17cm D. 18cm 7. 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长为1，将绕旋转中心旋转后得到△，其中点，，的对应点分别是点，、，那么旋转中心是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 8. 关于x的分式方程﹣＝1有增根，则m的值（　　） A. m＝2 B. m＝1 C. m＝3 D. m＝﹣3 9. 某市开发区在一项工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，共有三种施工方案：①甲队单独完成这项工程，刚好如期完工；②乙队单独完成此项工程要比规定工期多用5天；③ ，剩下的工程由乙队单独做，也正好如期完工．某同学设规定的工期为天，根据题意列出了方程：，则方案③中被墨水污染的部分应该是　　 A. 甲乙合作了4天 B. 甲先做了4天 C. 甲先做了工程的 D. 甲乙合作了工程的 10. 如图，在和中，，，，，连接，交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的个数为（　　） A. B. C. D. 第II卷（非选择题 共100分） 二、填空题（本大题共8小题，11-14每题3分，15-18每题4分，共28.0分。） 11. 使分式的值为0，这时x=_____． 12. 下表记录了某校4名同学游泳选拔赛成绩的平均数与方差：根据表中数据要从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择______. 队员1 队员2 队员3 队员4 平均数（秒） 51 50 51 50 方差（秒2） 3.5 3.5 14.5 15.5 13. 某中学进行“优秀班级”评比，将品德操行，纪律，卫生评比三项按4：3：3的比例确定班级成绩．若九（1）班这三项的成绩分别为90分，83分，87分，则九（1）班的最终成绩是________分． 14. 若分式＝2，则分式＝_________． 15. 已知关于x的方程的解不是正数，则m的取值范围为______． 16. 若关于x的方程无解，则a的值为__________． 17. 如图，点是等边三角形内一点，且，，，若将绕着点逆时针旋转60度后得到，则的度数是________． 18. 如图所示的中，，，，点、在直线上，将绕着点顺时针旋转到位置①得到直线上的点，将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②得到直线上的点，……按此规律旋转至点，则________________． 三、解答题：（本大题共8小题，共72分，解答写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。） 19. 化简： （1） （2） 20. 解方程 （1） （2） 21. 先化简，再求值：设，求的值． 22. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是A（1，3），B（4，4），C（2，1）． （1）把向左平移4个单位后得到对应的A1B1C1，请画出平移后的A1B1C1； （2）把绕原点O旋转180°后得到对应的A2B2C2，请画出旋转后的A2B2C2； （3）观察图形可知，A1B1C1与A2B2C2关于点（　 　，　 　）中心对称． 23. 2024年4月25日，神舟十八号载人飞船发射取得圆满成功，4月30日，神舟十七号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆．某校就学生对我国航天事业的了解程度进行了问卷调查，根据调查问卷的得分情况，将学生的了解程度分为．非常了解、．比较了解、．一般了解、．甚少了解四组，调查报告如下：请根据调查报告，解答下列问题： ××学校学生对我国航天事业了解程度调查报告 调查主题 ××学校学生对我国航天事业了解程度 调查方式 抽样调查 调查对象 ××学校学生 数据收集、整理与描述 调查结论 …… （1）所抽取学生共______人，并补全条形统计图， （2）若、、、四组的平均得分依次为10分、8分、6分、4分，请你计算所抽取学生对我国航天事业了解程度得分的平均数； （3）若对该校800名学生进行全员调查，请你估计非常了解的学生有多少名？ 24. 今年杭州亚运会期间，某商店用3000元购进一批亚运会吉祥物，很快售完，第二次购进时，每个吉祥物的进价提高了，同样用3000元购进的数量比第一次少了10个． （1）求第一次购进的每个吉祥物的进价为多少元？ （2）若两次购进的吉祥物售价均为96元，且全部售出，则该商店两次购进吉祥物的总利润为多少元？ 25. 我们可以通过类比联想，引申拓展研究典型问题，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整． （1）原题：如图1，点、分别在正方形的边、上，，连接，则，试说明理由． 思路梳理： ∵， ∴把绕点逆时针旋转至，可使与重合． ∵， ∴，三点、、共线． 根据，易证__________，得． （2）类比引申 如图2，四边形中，，，点、分别在边、上，．若、都不是直角，当与满足等量关系时，第（1）问中的结论是否仍成立？请说明理由． （3）联想拓展 如图3，在中，，，点、均在边上，且．猜想、、应满足的等量关系，并直接写出_______________（不需写证明过程）． 26. 阅读材料并解决问题： 小明进一步探究发现： 请解答下列问题： （1） ， ， ．（直接写结果） （2） （直接写结果） （3）解方程 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期期中限时作业 八年级数学试题 （时间：120分钟 分值：130分） 注意事项： 1.答卷前务必将自己的姓名、座号和准考证号按要求填写在试卷和答题卡的相应位置. 2.本试题分I、II卷两部分，所有答案都写在答题卡上，不要直接在本试卷上答题. 3.必须用0.5毫米黑色签字笔写在对应的答题卡区域，不得超出规定范围. 第I卷（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，共30.0分，在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项。） 1. 下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. 赵爽弦图 B. 笛卡尔心形线 C. 科克曲线 D. 斐波那契螺旋线 【答案】C 【解析】 【分析】根据把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； C．是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确； D．不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； 故选C． 【点睛】此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 2. 下列各式中，，，，是分式的有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式的概念，根据分式的概念，一般的，如果表示两个整式，并且中含有字母，那么式子叫做分式，由此问题可求解，熟练掌握分式的概念是解题的关键． 【详解】解：根据分式的概念可知是分式的有，，，，共个， 故选：． 3. 若分式有意义，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式有意义得，即可得． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，解题的关键是掌握分式有意义的条件． 4. 把分式中的都缩小为原来的，则分式的值（ ） A. 缩小到原来的 B. 扩大到原来的2倍 C. 改变为原来的 D. 不改变 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质，分式中分子、分母同乘一个不为零的数，分式值不变．熟练掌握分式中分子、分母的大小变化是解题的关键． 根据分式的基本性质，分式中， 缩小为原来的，然后代入化简求解比较即可． 【详解】∵分式中的、缩小为原来的， ∴原分式化为： ，原式不发生改变． 故选：D． 5. 李老师为了解学生家务劳动时间情况，更好地弘扬“热爱劳动”的民族传统美德，随机调查了本校10名学生在上周参加家务劳动的时间，收集到如下数据（单位：小时）：4，3，4，6，5，5，6，5，4，5．则这组数据的中位数和众数分别是（ ） A. 4，5 B. 5，4 C. 5，5 D. 5，6 【答案】C 【解析】 【详解】根据中位数、众数的意义和计算方法进行计算即可． 【解答】解：这组数据4，3，4，6，5，5，6，5，4，5中，出现次数最多的是5，因此众数是5，将这组数据从小到大排列后，处在第5、6位的两个数都是5，因此中位数是5． 故选：C． 【点评】本题考查中位数、众数的意义和计算方法，理解中位数、众数的意义是正确解答的前提，掌握计算方法是解决问题的关键． 6. 如图，在三角形ABC中，，，，将△ABC沿射线BC向右平移得到三角形DEF，若，则四边形ABFD的周长为（ ） A. 15cm B. 16cm C. 17cm D. 18cm 【答案】C 【解析】 【分析】根据平移的性质得出CF=AD=7-3=4cm，DF=AC=4cm，然后求四边形的周长即可． 【详解】解：∵将△ABC沿射线BC向右平移得到三角形DEF，BF=7cm，BC=3cm， ∴CF=AD=7-3=4cm，DF=AC=4cm， ∴四边形ABFD的周长为：AB+BF+FD+AD=2+7+4+4=17cm， 故选：C． 【点睛】题目主要考查图形平移的性质，熟练掌握运用平移的性质是解题关键． 7. 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长为1，将绕旋转中心旋转后得到△，其中点，，的对应点分别是点，、，那么旋转中心是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】C 【解析】 【分析】根据对应点到旋转中心的距离相等，根据网格特征作AA′和CC′的垂直平分线，得到交点即可得答案． 【详解】如图，作AA′和CC′的垂直平分线， 由图象可知：点为旋转中心． 故选：C． 【点睛】本题考查了图形的旋转，可由旋转的性质确定旋转前后两个图形的旋转中心，灵活应用旋转的性质是解题的关键． 8. 关于x的分式方程﹣＝1有增根，则m的值（　　） A. m＝2 B. m＝1 C. m＝3 D. m＝﹣3 【答案】D 【解析】 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，确定出m的值即可． 【详解】解：去分母得：m+3＝x﹣2， 由分式方程有增根，得到x﹣2＝0，即x＝2， 把x＝2代入整式方程得：m+3＝0， 解得：m＝﹣3， 故选：D． 【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 9. 某市开发区在一项工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，共有三种施工方案：①甲队单独完成这项工程，刚好如期完工；②乙队单独完成此项工程要比规定工期多用5天；③ ，剩下的工程由乙队单独做，也正好如期完工．某同学设规定的工期为天，根据题意列出了方程：，则方案③中被墨水污染的部分应该是　　 A. 甲乙合作了4天 B. 甲先做了4天 C. 甲先做了工程的 D. 甲乙合作了工程的 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用；根据题意和方程，可知甲干了4天，乙干了天，从而可以得到③后面应填入的内容，本题得以解决． 【详解】解：某同学设规定的工期为天，根据题意列出了方程：， 甲工作了4天，乙工作了天， 即甲乙合作了4天，剩下的工程由乙队单独做，也正好如期完工， 可知在③应填入的内容为：甲乙合作了4天， 故选：A． 10. 如图，在和中，，，，，连接，交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的个数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由证明判断①；由全等三角形的性质得出，结合三角形的外角性质判断②；作于，于，由证明，得出，由角平分线的判定方法得出平分，由，得出当时，才平分，假设，则，由平分得出，推出，由判断该假设不成立，即可判断③；没有条件可以证明平分，判断④的正误后即可得出结论． 【详解】解：， ， 即， 在和中， ， ， ，，， 故①正确，符合题意； 由三角形的外角性质得：， ， 故②正确，符合题意； 作于，于，如图所示， 则， 在和中， ， ， ， 平分， ， 当时，才平分， 假设， ， ， 平分， ， 在和中， ， ， ， ， ， 与矛盾， ③错误； 没有条件可以证明平分， ④错误； 正确的个数有个； 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定，解题关键是证明三角形全等． 第II卷（非选择题 共100分） 二、填空题（本大题共8小题，11-14每题3分，15-18每题4分，共28.0分。） 11. 使分式的值为0，这时x=_____． 【答案】1 【解析】 【详解】由题意得＝0， 所以x2-1=0且x+1≠0， 解之得x=1， 故答案为：1． 12. 下表记录了某校4名同学游泳选拔赛成绩的平均数与方差：根据表中数据要从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择______. 队员1 队员2 队员3 队员4 平均数（秒） 51 50 51 50 方差（秒2） 3.5 3.5 14.5 15.5 【答案】队员 【解析】 【分析】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．根据平均数和方差的意义求解可得． 【详解】解：在4名队员中，队员2和队员4的平均成绩少， ∴队员2和队员4的平均成绩好， 又队员2成绩的方差小于队员4成绩的方差， ∴队员2的成绩好，发挥稳定， 故答案为：队员2． 13. 某中学进行“优秀班级”评比，将品德操行，纪律，卫生评比三项按4：3：3的比例确定班级成绩．若九（1）班这三项的成绩分别为90分，83分，87分，则九（1）班的最终成绩是________分． 【答案】87 【解析】 【分析】根据加权平均数的定义列式计算即可得答案． 【详解】九（1）班的最终成绩是： （分）， 故答案为：87． 【点睛】本题考查加权平均数的计算．在计算加权平均数时，需要突破解题过程中的两个“坎儿”：（1）能根据题意分辨出所计算的平均数是加权平均数；（2）能正确确定有关数据的权． 14. 若分式＝2，则分式＝_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得出y﹣x＝2xy，然后代入原式即可求出答案． 【详解】解：由题意可知：y﹣x＝2xy， 原式＝ ＝ ＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的加减法，解题的关键是根据题意得出y﹣x＝2xy，本题属于基础题型． 15. 已知关于x的方程的解不是正数，则m的取值范围为______． 【答案】## 【解析】 【分析】先解分式方程得到方程的根为：，再根据方程的解为正数及分母不为0，列不等式组，从而可得答案． 【详解】解：， ， 解得：， 关于x的方程＝3的解不是正数， 且， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是根据分式方程的解的情况求解参数的取值范围，解题的关键是用含m的代数式将方程解表示出来． 16. 若关于x的方程无解，则a的值为__________． 【答案】1或-3． 【解析】 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0． 【详解】， 即： ∴当时，整式方程无解，分式方程无解； 当时， 时，分式的分母为0，方程无解， 即，解得：, 因此时，方程无解. 故答案为：1或－3． 【点睛】本题主要考查解分式方程，去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0． 17. 如图，点是等边三角形内一点，且，，，若将绕着点逆时针旋转60度后得到，则的度数是________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是勾股定理逆定理的应用，属于中考常考题型． 首先证明为等边三角形，得，由可得，在中，已知三边，用勾股定理逆定理证出得出，可求的度数，由此即可解决问题． 【详解】解：连接，由题意可知 则，，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 又∵，，， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴ ∴， 故答案为． 【点睛】本题考查旋转的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是勾股定理逆定理的应用，属于中考常考题型． 18. 如图所示的中，，，，点、在直线上，将绕着点顺时针旋转到位置①得到直线上的点，将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②得到直线上的点，……按此规律旋转至点，则________________． 【答案】8097 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质及图形的规律问题，得到的长度依次增加5，4，3，且三次一循环是解题的关键． 观察不难发现，每旋转3次为一个循环组依次循环，用2024除以3求出循环组数，然后列式计算即可得解． 【详解】解：∵中，， ∴将绕点A顺时针旋转到①，可得到点，此时； 将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②，可得到点，此时； 将位置②的三角形绕点顺时针旋转到位置③，可得到点，此时； … 由图可知每旋转3次为一个循环组依次循环，每个循环长度增加12． 又∵， ∴． 故答案为：． 三、解答题：（本大题共8小题，共72分，解答写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。） 19. 化简： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先算乘方，同时利用除法法则变形，然后根据分式的乘法法则进行计算； （2）先通分，然后计算减法，最后化简即可． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ． 20. 解方程 （1） （2） 【答案】（1）原方程无解 （2） 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程， （1）先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得； （2）先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得 【小问1详解】 解： 去分母得， 解得 检验：将代入 ∴原方程无解； 【小问2详解】 解： 去分母得， 解得 检验：将代入 ∴原方程的解为． 21. 先化简，再求值：设，求的值． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，熟知分式的混合计算法则是解题的关键． 先根据分式的混合计算法则化简，然后代值计算即可． 【详解】解：原式 ， 当，即时，原式． 22. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是A（1，3），B（4，4），C（2，1）． （1）把向左平移4个单位后得到对应的A1B1C1，请画出平移后的A1B1C1； （2）把绕原点O旋转180°后得到对应的A2B2C2，请画出旋转后的A2B2C2； （3）观察图形可知，A1B1C1与A2B2C2关于点（　 　，　 　）中心对称． 【答案】（1）A1B1C1即为所求； （2）A2B2C2即为所求；     （3）﹣2，0． 【解析】 【分析】（1）依据平移的方向和距离，即可得到平移后的△A1B1C1； （2）依据△ABC绕原点O旋转180°，即可画出旋转后的△A2B2C2； （3）依据对称点连线的中点的位置，即可得到对称中心的坐标． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）由图可得，A1B1C1与A2B2C2关于点成中心对称． 故答案为：﹣2，0． 【点睛】本题考查的是平移，旋转的作图，以及判断中心对称的对称中心的坐标，掌握以上知识是解题的关键． 23. 2024年4月25日，神舟十八号载人飞船发射取得圆满成功，4月30日，神舟十七号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆．某校就学生对我国航天事业的了解程度进行了问卷调查，根据调查问卷的得分情况，将学生的了解程度分为．非常了解、．比较了解、．一般了解、．甚少了解四组，调查报告如下：请根据调查报告，解答下列问题： ××学校学生对我国航天事业了解程度调查报告 调查主题 ××学校学生对我国航天事业了解程度 调查方式 抽样调查 调查对象 ××学校学生 数据收集、整理与描述 调查结论 …… （1）所抽取学生共______人，并补全条形统计图， （2）若、、、四组的平均得分依次为10分、8分、6分、4分，请你计算所抽取学生对我国航天事业了解程度得分的平均数； （3）若对该校800名学生进行全员调查，请你估计非常了解的学生有多少名？ 【答案】（1）20， 补全条形统计图如下： （2）所抽取学生对我国航天事业了解程度得分的平均数为分 （3）名 【解析】 【分析】本题考查扇形统计图、条形统计图、中位数及用样本估计总体，理解题意，利用数形结合的思想是解答本题的关键． （1）先求出参加调查的学生人数，再求出组的人数，补全条形统计图； （2）用加权平均数计算公式进行计算即可； （3）用800乘以组所占比例即可求解． 【小问1详解】 解：∵根据图表可知组人数1人，占总人数的，即， ∴所抽取学生共有：（人）， ∴组的人数有：（人） 【小问2详解】 解：（分）， ∴所抽取学生对我国航天事业了解程度得分的平均数为分． 【小问3详解】 解：（名）， ∴估计非常了解的学生有名． 24. 今年杭州亚运会期间，某商店用3000元购进一批亚运会吉祥物，很快售完，第二次购进时，每个吉祥物的进价提高了，同样用3000元购进的数量比第一次少了10个． （1）求第一次购进的每个吉祥物的进价为多少元？ （2）若两次购进的吉祥物售价均为96元，且全部售出，则该商店两次购进吉祥物的总利润为多少元？ 【答案】（1）50 （2）4560 【解析】 【分析】此题考查分式方程的实际应用，找准等量关系，列出分式方程是解题的关键． （1）设第一次每件的进价为x元，则第二次进价为元，根据题意，第二次比第一次少了10件，列出分式方程，解方程即可求解． （2）根据总利润=总售价-总成本，列出算式，即可求解． 【小问1详解】 设第一次每件的进价为x元，则第二次进价为元， 根据题意得：， 解得：， 经检验：是方程的解，且符合题意， 答：第一次每件的进价为50元； 【小问2详解】 （元）， ∴该商店两次购进吉祥物的总利润为4560元． 25. 我们可以通过类比联想，引申拓展研究典型问题，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整． （1）原题：如图1，点、分别在正方形的边、上，，连接，则，试说明理由． 思路梳理： ∵， ∴把绕点逆时针旋转至，可使与重合． ∵， ∴，三点、、共线． 根据，易证__________，得． （2）类比引申 如图2，四边形中，，，点、分别在边、上，．若、都不是直角，当与满足等量关系时，第（1）问中的结论是否仍成立？请说明理由． （3）联想拓展 如图3，在中，，，点、均在边上，且．猜想、、应满足的等量关系，并直接写出_______________（不需写证明过程）． 【答案】（1） （2） 时，，仍然成立，理由如下： ∵， ∴把绕点A逆时针旋转至，可使与重合． ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，点F、D、G共线． 在和中，， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，利用旋转构造全等三角形，是解题的关键： （1）利用旋转的性质，证明，即可； （2）同法（1）进行证明即可； （3）把绕点A逆时针旋转到的位置，连接，证明，推出是直角三角形，利用勾股定理和等量代换即可得出结论． 【小问1详解】 解： ∵， ∴把绕点A逆时针旋转至，可使与重合． ∴， ∴，点F、D、G共线． ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 猜想：．理由如下： 把绕点A逆时针旋转到的位置，连接， 则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴． 故答案为：． 26. 阅读材料并解决问题： 小明进一步探究发现： 请解答下列问题： （1） ， ， ．（直接写结果） （2） （直接写结果） （3）解方程 【答案】（1），， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了数字的变换规律，找到规律是解题的关键． （1）阅读材料，得到拆项规律，将所求式子变形即可得到答案； （2）由（1）观察到的规律拆项计算即可． （3）先进行拆项变形，再计算求解即可． 【小问1详解】 解：阅读材料可得，， ， ， , ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：， ， ， ， 化简得， 解得， 经检验，是原方程的解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $