(新课预习衔接)第五单元 数学广角鸽巢问题(讲义)-2024-2025学年六年级下册数学人教版

数学广角—鸽巢问题 【思维导图+知识精讲+典型例题+高频真题+答案解析】 编者的话：同学们，恭喜你已经开启了本单元的求知之旅，相信你已经正确规划了自己的学习任务，本套资料为课前预习，课中巩固，课后提升而设计，对单元知识点进行全面精讲，易错点逐个分解，强化练习常考易错真题，答案解析非常通俗易懂，可助你轻松掌握、理解、运用单元知识点解决问题！ 第一部分 思维导图 第二部分 典型例题 例题1：一副扑克牌有黑红梅方4种花色的牌各12张，另有大、小王两张。现在任意地从中抽取，那么，至少抽出多少张牌才能保证有4张同一花色？ 【考点】抽屉原理． 【专题】应用意识． 【答案】15张。 【分析】最坏情况是黑红梅方各抽出3张，大小王2张全部抽出，此时再抽出1张牌，一定有4张同一花色，一共需要抽出（4×3+2+1）张牌。 【解答】解：4×3+2+1 ＝12+3 ＝15（张） 答：至少抽出15张牌才能保证有4张同一花色。 【点评】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，关键是从最差情况考虑。 例题2：10个人准备组织一次旅游活动，有甲、乙两个风景点可供选择。每个人可以选择去甲、乙风景点中的一个，也可以选择甲、乙两个风景点都去。那么，他们中至少有几个人参观的风景点相同？ 【考点】抽屉原理． 【专题】应用意识． 【答案】4个人。 【分析】在此类抽屉问题中，至少数＝被分配的物体数除以抽屉数的商+1（有余的情况下）。在本题中，被分配的物体数是10，抽屉数是3（甲、乙、甲和乙），据此计算即可。 【解答】解：10÷3＝3（人）……1（人） 3+1＝4（人） 答：他们中至少有4个人参观的风景点相同。 【点评】抽屉原理问题的解答思路是：要从最不利情况考虑，准确地建立抽屉和确定元素的总个数，然后根据“至少数＝元素的总个数÷抽屉的个数+1（有余数的情况下）”解答。 例题3：教室里有红、蓝两种颜色的塑料方凳，六甲班45名同学将凳子搬运出去，每个人至少拿1张凳子，最多拿2张凳子。至少有多少名同学所拿的凳子颜色是相同的？ 【考点】抽屉原理． 【专题】应用意识． 【答案】9名。 【分析】在此类抽屉问题中，至少数＝被分配的物体数除以抽屉数的商+1（有余的情况下）。在本题中，被分配的物体数是45，抽屉数是5（红、蓝、红红、蓝蓝、红蓝），据此计算即可。 【解答】解：45÷5＝9（名） 答：至少有9名同学所拿的凳子颜色是相同的。 【点评】抽屉原理问题的解答思路是：要从最不利情况考虑，准确地建立抽屉和确定元素的总个数，然后根据“至少数＝元素的总个数÷抽屉的个数+1（有余数的情况下）”解答。 第三部分 知识精讲 知识清单+方法技巧 【知识点归纳】 鸽巢原理又称为抽屉原则： 如果把（n+1）个物体放在n个抽屉里，那么必有一个抽屉中至少放有2个物体． 例：把4个物体放在3个抽屉里，也就是把4分解成三个整数的和，那么就有以下四种情况： ①4＝4+0+0 ②4＝3+1+0 ③4＝2+2+0 ④4＝2+1+1 观察上面四种放物体的方式，我们会发现一个共同特点：总有那么一个抽屉里有2个或多于2个物体，也就是说必有一个抽屉中至少放有2个物体． 抽屉原则二：如果把n个物体放在m个抽屉里，其中n＞m，那么必有一个抽屉至少有： ①k＝[]+1个物体：当n不能被m整除时． ②k个物体：当n能被m整除时． 理解知识点：[X]表示不超过X的最大整数． 例：[4.351]＝4；[0.321]＝0；[2.9999]＝2； 关键问题：构造物体和抽屉．也就是找到代表物体和抽屉的量，而后依据抽屉原则进行运算． 第四部分 答案解析 一．选择题（共5小题） 1．（2023•汕尾）2023年2月出生的任意30名小朋友中，至少有（　　）名是同一天生的。 A．2 B．3 C．4 【考点】抽屉原理． 【专题】应用意识． 【答案】A 【分析】在此类抽屉问题中，至少数＝被分配的物体数除以抽屉数的商+1（有余的情况下）。在本题中，被分配的物体数是30，抽屉数是29（2023年2月的天数），据此计算即可。 【解答】解：2023÷4＝505 30÷29＝1（名）……1（名） 1+1＝2（名） 答：2023年2月出生的任意30名小朋友中，至少有2名是同一天生的。 故选：A。 【点评】抽屉原理问题的解答思路是：要从最不利情况考虑，准确地建立抽屉和确定元素的总个数，然后根据“至少数＝元素的总个数÷抽屉的个数+1（有余数的情况下）”解答。 2．（2023•张家川县模拟）盒子里面有红、黄、白三种颜色的球各6个，要想摸出的球一定有2个同色，至少要摸出（　　）个球． A．2 B．3 C．4 D．5 【考点】抽屉原理． 【专题】压轴题；传统应用题专题． 【答案】C 【分析】把白、红、黄三种颜色看做三个抽屉，利用抽屉原理，考虑最差情况即可解答． 【解答】解：考虑最差情况：摸出3个球，分别是白、红、黄不同的颜色， 那么再任意摸出1个球，一定可以保证有2个球颜色相同， 3+1＝4（个）， 答：至少摸出4个球，可以保证取到两个颜色相同的球． 故选：C． 【点评】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用． 3．（2023•郯城县模拟）5只鸽子飞进2个笼子里，总有一个笼子至少飞进（　　）只鸽子。 A．5 B．3 C．4 D．1 【考点】抽屉原理． 【专题】压轴题；应用意识． 【答案】B 【分析】在此类抽屉问题中，至少数＝被分配的物体数除以抽屉数的商+1（有余的情况下）。在本题中，被分配的物体数是5，抽屉数是2，据此计算即可。 【解答】解：5÷2＝2（只）……1（只） 2+1＝3（只） 答：总有一个笼子至少飞进3只鸽子。 故选：B。 【点评】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，关键是从最差情况考虑。 4．（2023•岚皋县）袋子里有6种不同颜色的小球，每种各有20个，要想摸出的球一定有3个同色的，至少要摸出（　　）个小球。 A．5 B．7 C．13 D．21 【考点】抽屉原理． 【专题】应用意识． 【答案】C 【分析】最坏情况是每种颜色的小球摸出2个，此时再摸出1个，一定有3个同色的，一共需要摸出13个球。 【解答】解：6×2+1 ＝12+1 ＝13（个） 答：至少要摸出13个小球。 故选：C。 【点评】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，关键是从最差情况考虑。 5．（2023•旬阳县）盒子里有3种不同颜色的筷子各8根，要想摸出的筷子一定有2根同色的，至少要摸出（　　）根筷子。 A．9 B．7 C．2 D．4 【考点】抽屉原理． 【专题】应用意识． 【答案】D 【分析】最坏情况是3种不同颜色的筷子各摸出1根，此时再取出1根，一定有2根同色的，一共需要摸出4根筷子。 【解答】解：3+1＝4（根） 盒子里有3种不同颜色的筷子各8根，要想摸出的筷子一定有2根同色的，至少要摸出4根筷子。 故选：D。 【点评】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，关键是从最差情况考虑。 二．填空题（共5小题） 6．（2023•兰山区）布袋里有5种不同颜色的球，每种都有10个。最少取出 　6　个球，才能保证其中一定有2个颜色一样的球。 【考点】抽屉原理． 【专题】压轴题；应用意识． 【答案】6。 【分析】由题意可知，袋中共有5种颜色的球，最坏的情况是取出5个球后，每种颜色的球各有一个，此时只要再任意取出一个球，就能保证取到的球中有两个颜色相同的球。 【解答】解：5+1＝6（个） 答：最少取出6个球，才能保证其中一定有2个颜色一样的球。 故答案为：6。 【点评】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，关键是从最差情况考虑。 7．（2023•黄石港区）121只鸽子飞回20个鸽舍，至少有　7　只鸽子要飞进同一个鸽舍里． 【考点】抽屉原理． 【专题】传统应用题专题． 【答案】见试题解答内容 【分析】此题考虑最差情况：每个笼子飞回的鸽子尽量平均，由此利用抽屉原理即可解答判断． 【解答】解：121÷20＝6（只）…1（只）， 6+1＝7（只）． 答：至少有7只鸽子要飞进同一个鸽舍里． 故答案为：7． 【点评】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，这里要注意考虑最差情况．把多于mn（m乘以n）个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有不少于m+1的物体． 8．（2023•济南）把11个苹果全部分给4个小朋友，总有一个小朋友至少分到 　3　个苹果。 【考点】抽屉原理． 【专题】压轴题；应用意识． 【答案】见试题解答内容 【分析】把11个苹果分给4个小朋友，即将这4个小朋友当作4个抽屉，将这11个苹果放入这四个抽屉，利用抽屉原理最差情况：要使每个人分到的苹果最少，只要使每个抽屉的元素数尽量平均分即可。 【解答】解：11÷4＝2（个）……3（个） 2+1＝3（个） 答：总有一个小朋友至少分到3个苹果。 故答案为：3。 【点评】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，关键是从最差情况考虑。 9．（2023•温岭市）瓶子里有同样大小的红球和黄球各5个．要想摸出的球一定有2个同色的，至少要摸出　3　个球．要想摸出的球一定有2个不同色的，至少要摸出　6　个球． 【考点】抽屉原理． 【专题】传统应用题专题． 【答案】见试题解答内容 【分析】红、黄两种颜色相当于两个抽屉，要保证摸到的球有2个同色，摸的次数比颜色数多1，即假设第一次摸出红色的，第二次摸出黄色的，第三次无论摸到哪一种都会有两个是同色的，所以至少要摸出三个球； 要想摸出的球一定有2个不同色，考虑最差情况：摸出5个都是同色的球，再任意摸出一个就一定是另一种颜色的球，据此即可解答． 【解答】解：根据题干分析可得：2+1＝3（个）， 5+1＝6（个）， 答：要想摸出的球一定有2个同色的，至少要摸出3个球．要想摸出的球一定有2个不同色的，至少要摸出6个球． 故答案为：3；6． 【点评】此题解答的关键是弄清把哪个量看作“抽屉”，把哪个量看作物体个数，进而结合题意进行分析，得出结论． 10．（2023•沧州）袋子中装有灰、黑、蓝、白四种颜色的袜子各10只。这些袜子除颜色不同外，其它都相同。要从中摸出一双颜色相同的袜子，至少要摸出 　5　只袜子。 【考点】抽屉原理． 【专题】压轴题；应用意识． 【答案】5。 【分析】根据抽屉原理的最坏原理，摸出4只，每种颜色的袜子都被摸出了1只，则此时再任意摸出1只，必定与4只中的一只配成一双颜色相同的袜子，据此解答即可。 【解答】解：4+1＝5（只） 答：至少要摸出5只袜子。 故答案为：5。 【点评】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，关键是从最差情况考虑。 三．判断题（共7小题） 11．（2023•广州）7本书放进2个抽屉中，有一个抽屉至少放了4本书．　√　 【考点】抽屉原理． 【专题】传统应用题专题． 【答案】√ 【分析】7本书放进2个抽屉，7÷2＝3本…1本，即平均每个抽屉放3本后，还余1本，所以有一个抽屉至少要放3+1＝4本． 【解答】解：7÷2＝3（本）…1（本）． 3+1＝4（本）． 答：有一个抽屉至少要放4本． 故答案为：√． 【点评】在此类抽屉问题中，至少数＝物体数除以抽屉数的商+1（有余数的情况下）． 12．（2015•玉林模拟）有9只鸽子任意飞进8个鸽巢里，总有一个鸽巢至少飞进2只鸽子。 　√　 【考点】抽屉原理． 【专题】压轴题；应用意识． 【答案】√ 【分析】根据9只鸽子飞进8个鸽巢，9÷8＝1（只）……1（只），即平均每个鸽巢飞进1只鸽子后，剩下的1只鸽子无论飞进哪个鸽巢里，至少有1+1＝2（只）鸽子要飞进同一个鸽巢里。 【解答】解：9÷8＝1（只）……1（只） 1+1＝2（只） 总有一个鸽巢至少飞进2只鸽子；原题说法正确。 故答案为：√。 【点评】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，关键是从最差情况考虑。 13．（2015春•嵩县期末）小红的妈妈用13枚扣子钉了3件上衣，总有一件上衣至少钉4枚扣子．　×　 【考点】抽屉原理． 【专题】传统应用题专题． 【答案】见试题解答内容 【分析】把3件上衣看做3个抽屉，13枚扣子看做13个元素，利用抽屉原理最差情况：要使每件衣服上的扣子最少，只要使每个抽屉的元素数尽量平均，即可解答． 【解答】解：13÷3＝4…1 4+1＝5（个） 答：总有一件上衣至少钉5枚扣子． 故答案为：×． 【点评】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，关键是从最差情况考虑． 14．（2013秋•松桃县校级期末）6只小鸡装入4个笼子，至少有一个笼子放3只小鸡．　×　． 【考点】抽屉原理． 【专题】传统应用题专题． 【答案】× 【分析】把4个笼子看作是4个抽屉，考虑最差情况：每个抽屉里都放1只小鸡，那么剩下的2只无论怎么放都至少有1个抽屉里有2只小鸡，据此即可判断． 【解答】解：把4个笼子看作是4个抽屉，考虑最差情况：每个抽屉里都放1只小鸡， 那么剩下的2只无论怎么放都至少有1个抽屉里有2只小鸡， 所以原题说法错误． 故答案为：×． 【点评】此题是典型的利用抽屉原理解决的问题，可以先根据题干条件，求出正确的答案，再进行判断． 15．（2014•永定区模拟）陈爷爷参加老年运动会的飞镖比赛，投了5镖，成绩是41环，那么他至少有一镖不低于9环．　√　 【考点】抽屉原理． 【专题】传统应用题专题． 【答案】见试题解答内容 【分析】不低于就是大于或等于，因为41÷5＝8…1，就是说至少有一镖大于或等于9环．如果都小于九环，成绩就会小于等于40环． 【解答】解：因为41÷5＝8…1，所以至少有一镖不低于9环． 故答案为：√． 【点评】此题也可用用假设法：若5镖都低于9环，最多环数是5×8＝40（环），所以至少一镖要大于等于9． 16．（2013春•浠水县校级月考）盒子里有两种颜色的球，红色4个，蓝球5个，要想摸出的球一定有两个是同色，最少要摸出5个球． 　×　 【考点】抽屉原理． 【专题】综合判断题；传统应用题专题． 【答案】× 【分析】盒子里有两种颜色的球，红色4个，蓝球5个，即共有两种颜色的球，根据最差原理可知，最差的情况时，当摸出2个球时，一个红球一个蓝球，此时只要再任意摸出一个球，就能保证摸出的球一定有两个同色的，即至少要摸出2+1＝3个． 【解答】解：2+1＝3（个） 即至少要摸出3个球，才能保证摸出的球一定有两个同色的． 所以原题说法错误． 故答案为：×． 【点评】根据最差原理进行分析是完成本题的关键． 17．（2013•延边州）15位小朋友中至少有3位小朋友是同一个月出生的．　×　． 【考点】抽屉原理． 【专题】传统应用题专题． 【答案】见试题解答内容 【分析】一年共有12个月，这12个月相当于12个抽屉，15÷12＝1个…3个，即平均每月出生一个小朋友，还余3个小朋友，根据抽屉原理可知，至少有1+1＝2个小朋友是同一个月出生的． 【解答】解：15÷12＝1（个）…3（个）， 1+1＝2（个）． 答：至少有2个小朋友是在同一个月出生的． 故答案为：×． 【点评】在此类问题中，至少数＝物体数除以抽屉数的商+1（有余数的情况下）． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学广角—鸽巢问题 【思维导图+知识精讲+典型例题+高频真题+答案解析】 编者的话：同学们，恭喜你已经开启了本单元的求知之旅，相信你已经正确规划了自己的学习任务，本套资料为课前预习，课中巩固，课后提升而设计，对单元知识点进行全面精讲，易错点逐个分解，强化练习常考易错真题，答案解析非常通俗易懂，可助你轻松掌握、理解、运用单元知识点解决问题！ 第一部分 思维导图 第二部分 典型例题 例题1：一副扑克牌有黑红梅方4种花色的牌各12张，另有大、小王两张。现在任意地从中抽取，那么，至少抽出多少张牌才能保证有4张同一花色？ 例题2：10个人准备组织一次旅游活动，有甲、乙两个风景点可供选择。每个人可以选择去甲、乙风景点中的一个，也可以选择甲、乙两个风景点都去。那么，他们中至少有几个人参观的风景点相同？ 例题3：教室里有红、蓝两种颜色的塑料方凳，六甲班45名同学将凳子搬运出去，每个人至少拿1张凳子，最多拿2张凳子。至少有多少名同学所拿的凳子颜色是相同的？ 第三部分 知识精讲 知识清单+方法技巧 【知识点归纳】 鸽巢原理又称为抽屉原则： 如果把（n+1）个物体放在n个抽屉里，那么必有一个抽屉中至少放有2个物体． 例：把4个物体放在3个抽屉里，也就是把4分解成三个整数的和，那么就有以下四种情况： ①4＝4+0+0 ②4＝3+1+0 ③4＝2+2+0 ④4＝2+1+1 观察上面四种放物体的方式，我们会发现一个共同特点：总有那么一个抽屉里有2个或多于2个物体，也就是说必有一个抽屉中至少放有2个物体． 抽屉原则二：如果把n个物体放在m个抽屉里，其中n＞m，那么必有一个抽屉至少有： ①k＝[]+1个物体：当n不能被m整除时． ②k个物体：当n能被m整除时． 理解知识点：[X]表示不超过X的最大整数． 例：[4.351]＝4；[0.321]＝0；[2.9999]＝2； 关键问题：构造物体和抽屉．也就是找到代表物体和抽屉的量，而后依据抽屉原则进行运算． 第四部分 高频真题 一．选择题（共5小题） 1．（2023•汕尾）2023年2月出生的任意30名小朋友中，至少有（　　）名是同一天生的。 A．2 B．3 C．4 2．（2023•张家川县模拟）盒子里面有红、黄、白三种颜色的球各6个，要想摸出的球一定有2个同色，至少要摸出（　　）个球． A．2 B．3 C．4 D．5 3．（2023•郯城县模拟）5只鸽子飞进2个笼子里，总有一个笼子至少飞进（　　）只鸽子。 A．5 B．3 C．4 D．1 4．（2023•岚皋县）袋子里有6种不同颜色的小球，每种各有20个，要想摸出的球一定有3个同色的，至少要摸出（　　）个小球。 A．5 B．7 C．13 D．21 5．（2023•旬阳县）盒子里有3种不同颜色的筷子各8根，要想摸出的筷子一定有2根同色的，至少要摸出（　　）根筷子。 A．9 B．7 C．2 D．4 二．填空题（共5小题） 6．（2023•兰山区）布袋里有5种不同颜色的球，每种都有10个。最少取出 　 　个球，才能保证其中一定有2个颜色一样的球。 7．（2023•黄石港区）121只鸽子飞回20个鸽舍，至少有　 　只鸽子要飞进同一个鸽舍里． 8．（2023•济南）把11个苹果全部分给4个小朋友，总有一个小朋友至少分到 　 　个苹果。 9．（2023•温岭市）瓶子里有同样大小的红球和黄球各5个．要想摸出的球一定有2个同色的，至少要摸出　 　个球．要想摸出的球一定有2个不同色的，至少要摸出　 　个球． 10．（2023•沧州）袋子中装有灰、黑、蓝、白四种颜色的袜子各10只。这些袜子除颜色不同外，其它都相同。要从中摸出一双颜色相同的袜子，至少要摸出 　 　只袜子。 三．判断题（共7小题） 11．（2023•广州）7本书放进2个抽屉中，有一个抽屉至少放了4本书．　 　 12．（2015•玉林模拟）有9只鸽子任意飞进8个鸽巢里，总有一个鸽巢至少飞进2只鸽子。 　 　 13．（2015春•嵩县期末）小红的妈妈用13枚扣子钉了3件上衣，总有一件上衣至少钉4枚扣子．　 　 14．（2013秋•松桃县校级期末）6只小鸡装入4个笼子，至少有一个笼子放3只小鸡．　 　． 15．（2014•永定区模拟）陈爷爷参加老年运动会的飞镖比赛，投了5镖，成绩是41环，那么他至少有一镖不低于9环．　 　 16．（2013春•浠水县校级月考）盒子里有两种颜色的球，红色4个，蓝球5个，要想摸出的球一定有两个是同色，最少要摸出5个球． 　 　 17．（2013•延边州）15位小朋友中至少有3位小朋友是同一个月出生的．　 　． 学科网（北京）股份有限公司 $$