(新课预习衔接)第五单元 数学广角—鸽巢问题重难点高频易错考点 (讲义)-2024-2025学年六年级下册数学人教版

数学广角—鸽巢问题 【思维导图+知识精讲+典型例题+高频真题+答案解析】 编者的话：同学们，恭喜你已经开启了本单元的求知之旅，相信你已经正确规划了自己的学习任务，本套资料为课前预习，课中巩固，课后提升而设计，对单元知识点进行全面精讲，易错点逐个分解，强化练习常考易错真题，答案解析非常通俗易懂，可助你轻松掌握、理解、运用单元知识点解决问题！ 第一部分 思维导图 第二部分 典型例题 例题1：有4个运动员练习投篮，一共投进了35个球，一定有1个运动员至少投进几个球？ 【答案】9个 【分析】此题考查简单的抽屉问题， 4个运动员看作4个抽屉，一共投进35个球看作物体总个数；35÷4＝8（个）……3（个），即平均每个运动员进8个球的话，还余3个球，所以一定有一个运动员至少投进8＋1＝9个球。 【详解】35÷4＝8（个）……3（个） 8＋1＝9（个） 答：一定有1个运动员至少投进9个球。 【点睛】此题考查简单的抽屉问题，解答方法为：至少数＝商＋1（有余数的情况下）。 例题2：上体育课时，21名男、女学生排成3行7列的队形做操。老师是否总能从队形中划出一个长方形，使得站在这个长方形4个角上的学生或者都是男生，或者都是女生？如果能，请说明理由；如果不能，请举出实例。 【答案】不论如何，总能从队形中划出一个长方形，使得站在这个长方形4个角上的学生同性别。 【分析】因为只有男生或女生两种情况，所以第一行中的7个位置中至少有4个位置同性别，而后的两行也总有4个位置是同性别的；据此根据抽屉原理进行解答。 【详解】因为只有男生或女生两种情况，所以第一行的7个位置中至少有4个位置同性别。为了确定起见，不如设前4个位置同是男生，如果第二行的前4个位置有2名男生，那么四个角同是男生的情况已经存在，所以我们假定第二行的前4个位置中至少有3名女生，不妨设定前3个是女生；又第三行的前三个位置中至少有2个位置是同性别女生，当是2名男生时与第一行构成一个四角同性别的矩阵，当有两名女生时与第二行构成四角同性别的矩阵。所以，不论如何，总能从队形中划出一个长方形，使得站在这个长方形4个角上的学生同性别。 【点睛】本题主要考查了抽屉原理解决实际问题的灵活运用，关键是要从最不利原则出发，先把不能出现的情况假设出来，进而推出和它相反法人结论，使正确的说法得到证明。 例题3：一个口袋里有红球、黄球、白球和花球四种颜色的球，小阳闭着眼睛，每次摸出一个球，他想摸出两个颜色相同的球，至少要摸多少次才能一定达到要求？ 【答案】5次 【详解】一共有四种颜色的球，当每次摸出的球颜色都互不相同时，摸到第5个时，一定会和前面摸出的四个球其中的一个颜色相同，这样就可以保证一定有两个颜色相同的球了．   答：至少要摸5次才能一定达到要求。 例题4：学校开设了书法、舞蹈、棋类、乐器四个课外学习班，每个学生最多可以参加两个（可以不参加）学习班。某班有52名同学，至少有几名同学参加课外学习班的情况完全相同？ 【答案】5人 【分析】本题同学参加情况共11种，不参加、书法、舞蹈、棋类、乐器、书法和舞蹈、书法和棋类、书法和乐器、舞蹈和棋类、舞蹈和乐器、棋类和乐器；这里可以把这11个情况看做11个抽屉，考虑最差情况，每个抽屉的人数尽量平均，52÷11＝4（人）……8（人），每个抽屉都有4人，还剩下8人，由此即可利用抽屉原理解决问题。 【详解】52÷11＝4（人）……8（人） 4＋1＝5（人） 答：至少有5名同学参加课外学习班的情况完全相同。 【点睛】此题考查了抽屉原理在实际问题中的灵活应用；根据题干，找出学生参加学习班的所有可能情况，是解决本题的关键。 例题5：五年级有47名学生参加一次数学竞赛，成绩都是整数，满分是100分，已知3名学生的成绩在60分以下，其余学生的成绩均在75～95分之间，问：至少有几名学生的成绩相同？ 【答案】3名 【分析】此题主要考查了抽屉原理的应用，解题的关键是弄清抽屉数量，根据条件“ 成绩都是整数，已知3名学生的成绩在60分以下，其余学生的成绩均在75～95分之间”，可以计算出75～95之间的整数有几个，也就是有几个抽屉，然后用总人数－3＝剩下的学生总数，将剩下的学生总数放入抽屉中，根据抽屉原理的解题方法：a个物体放入n个抽屉，如果a÷n＝b……c，那么有一个抽屉至少放（b＋1）个物体，据此解答。 【详解】75～95之间的整数有95－75＋1＝21（个） 47－3＝44（名） 44÷21＝2……2 2＋1＝3（名） 答：至少有3名学生的成绩相同。 【点睛】关键是构造物体和抽屉，也就是找到代表物体和抽屉的量，然后依据抽屉原则进行计算。 第三部分 知识精讲 知识清单+方法技巧 鸽巢原理又称为抽屉原则： 如果把（n+1）个物体放在n个抽屉里，那么必有一个抽屉中至少放有2个物体． 例：把4个物体放在3个抽屉里，也就是把4分解成三个整数的和，那么就有以下四种情况： ①4＝4+0+0 ②4＝3+1+0 ③4＝2+2+0 ④4＝2+1+1 观察上面四种放物体的方式，我们会发现一个共同特点：总有那么一个抽屉里有2个或多于2个物体，也就是说必有一个抽屉中至少放有2个物体． 抽屉原则二：如果把n个物体放在m个抽屉里，其中n＞m，那么必有一个抽屉至少有： ①k＝[]+1个物体：当n不能被m整除时． ②k个物体：当n能被m整除时． 理解知识点：[X]表示不超过X的最大整数． 例：[4.351]＝4；[0.321]＝0；[2.9999]＝2； 关键问题：构造物体和抽屉．也就是找到代表物体和抽屉的量，而后依据抽屉原则进行运算． 第四部分 高频真题 1．把13个苹果放进2个抽屉里，不管怎么放，总有一个抽屉里至少放进了7个苹果。为什么？ 2．口袋里有红、黄、蓝、绿4种颜色的球各5个。小华闭着眼睛从口袋里往外摸球，每次摸出1个球。他至少要摸出多少个球才能保证摸出的球中每种颜色的球都有？ 3．试卷上共有4道选择题，每题有3个可供选择的答案。一群学生参加考试，结果是对于其中任何3人，都有一个题目的答案互不相同。问参加考试的学生最多有多少人？ 4．50名同学答2道题，规定答对一道得3分，不答得1分，答错得0分，至少有几名同学的成绩相同？ 5．幼儿园买来了很多白兔、熊猫、长颈鹿塑料玩具，每个小朋友可以任意选择两件，那么不管怎样挑选，在任意7个小朋友中总有两个小朋友的玩具相同，请说明道理． 6．一副除去大小王的扑克牌，共有4种花色，每种花色有13张。要保证抽出的牌中，4种花色的牌都有，至少要抽出多少张牌？ 7．分别写着3、5、8的数字卡片各12张。如果从中任选两张组成一个两位数，至少组合成几次一定会出现两个相同的两位数？ 8．7个小朋友相约去看电影，共有《哈利·波特》、《驯龙高手》、《功夫熊猫》三部电影可选择，每个小朋友可选一个电影组合（不重复的两部电影）观看，至少有几个小朋友选的电影组合相同？ 9．在100张卡片上不重复地编上1-100，至少要随意抽出几张卡片才能保证所抽出的卡片上的数之乘积可被12整除？ 10．有13个箱子，现在往里面装苹果，要求每个箱子里装的苹果都是奇数个，无论这些苹果怎么放，总能找到4个箱子的苹果个数是一样的，问：最多有多少个苹果？ 11．把165本日记本分给六（1）班学生，如果其中至少有1人分到5本日记本，那么这个班最多有多少人？ 12．7个小朋友乘6只小船游玩，至少要有多少个小朋友坐在同一只小船里，为什么？ 13．一个口袋里分别有4个红球，7个黄球，8个黑球，为保证取出的球中有6个球颜色相同，则至少要取多少个小球？ 14．求证：对于任意的8个自然数，一定能从中找到6个数a，b，c，d，e，f，使得是105的倍数。 15．有5名同学参加科技比赛，团体总分为426分，则总有一名同学的得分不低于多少分？（得分为整数） 16．有红、黄、蓝、黑四种小球各若干个，每个人可以从中任意摸出两个．那么，需要多少人同时摸球，才能保证至少有2人摸的小球颜色相同？ 17．某班的小图书库，有诗歌、童话、小人书三类课外书，如果每位同学最多可以借阅两种不同类型的书．至少有多少位同学来借书，才一定有两位同学借阅的书的类型相同． 18．六（1）班有45名同学，把他们分成6个学习小组。不管怎么分，总有一个学习小组至少有8人，为什么？ 19．一个玻璃瓶里一共装有44个弹珠，其中：白色的2个，红色的3个，绿色的4个，蓝色的5个，黄色的6个，棕色的7个，黑色的8个，紫色的9个，如果要求每次从中取出1个弹珠，从而得到2个相同颜色的弹珠，请问最少需要取几次？ 20．“六一”儿童节，李老师拿133个小礼物发给班里的所有学生，如果至少有一名学生拿到了4个小礼物，那么，李老师班里最多有多少名学生？ 21．20道复习题，小明在两周内做完，每天至少做一道题。证明：小明一定在连续的若干天内恰好做了7道题目。 22．把5双手套（手套分左、右手）放进暗箱里，要保证取出的手套中至少有1双，至少要取出几只手套？ 23．52名同学答2道题，规定答对一题得3分，不答得0分，答错一题扣2分，至少有几名同学的成绩相同？ 24．把9条金鱼任意放在8个鱼缸里面，请你说明至少有一个鱼缸放有两条或两条以上金鱼。 25．1只口袋里装有10个黄球和10个红球（这些球除颜色不同外其它都相同）。小明1次从袋子中摸出3个球。他至少摸几次，才能保证有2次摸出的球相同？ 26．一次数学考试，六（2）班最高分是98分，最低分是76分，每人的得分都是整数，并且班上一定至少有3名学生得分相同，六（2）班至少有多少名学生？ 27．在一只口袋中有红色与黄色球各4只，现有4个小朋友，每人从口袋中任意取出2个小球，请你证明：必有两个小朋友，他们取出的两个球的颜色完全一样。 28．从13个连续的自然数中，一定可以找到两个数，它们的差是12的倍数。任意取多少个连续的自然数，才能保证至少有两个自然数的差是7的倍数？ 29．一组中的8名同学一共投进63个球，一定有一名同学至少投进几个球？ 30．一把钥匙只能开一把锁，现有8把钥匙和8把相配的锁，最多要试验几次能保证全部的钥匙和锁相匹配？ 31．证明：在任意的6个人中必有3个人，他们或者相互认识，或者相互不认识。 32．同学们到图书馆借书，每人最多借5本，最少借1本。 （1）至少有几名同学去借书，就会有两名同学借书的本数一样多？ （2）如果有11名同学去借书，至少有几名同学借书的本数一样多？ 33．一副扑克牌54张，无论怎么抽，问至少抽多少张，一定会有4张牌点数相同？（不考虑大、小王） 34．操场上有20名同学在跳绳，这些同学是六年级3个班的，至少有多少名同学是同一个班的？ 35．7个苹果放进2个抽屉，苹果最多的一个抽屉里至少有几个苹果？ 36．六（1）班45名同学分成6个组玩“老鹰捉小鸡”游戏，总有一个组至少有多少人？ 37．图书角有A、B、C、D四类书，六（1）班有42名学生，每名学生最多可借两本不同类型的书，最少借一本，至少有几名学生所借的书的类型完全相同？ 38．篮子里有苹果、梨、桃和桔子，现有81个小朋友，如果每个小朋友都从中任意拿两个水果，那么至少有多少个小朋友拿的水果是相同的？ 39．从1到2006中，至少要取出多少个奇数，才能保证其中必定存在两个数，他们的和为2008？ 40．袋子里有同样大小的红、白、黄、蓝颜色的球各5个，至少取出多少个球，可以保证取到两个颜色相同的球？ 41．从扑克牌中取出两张王牌，在剩下的52张中任意抽出5张，那么至少有3张是同花色．你认为这个说法对吗?你的理由是什么? 42．桌子上有5个黑球、6个白球、7个红球，闭上眼睛取多少个球才能保证三种球都取到？ 43．学校开设了合唱、舞蹈、书法、美术四个兴趣社团．六（2）班58名同学每人可以任选两个兴趣社团参加，至少有多少名同学选择的兴趣社团是一样的？ 参考答案： 1．13÷2＝6（个）……1（个） 6＋1＝7（个） 2．16个 【分析】要保证摸出的球每种颜色都有，则考虑最不利的情况，即拿出了其中3种颜色的全部球，在这种情况下，再拿一个球必能出现全部颜色的球。 【详解】3×5＝15（个） 15＋ 1＝16（个） 答：至少要摸出16个球。 【点睛】本题考查的是最不利原则，首先要找到不符合要求的最大数量，然后加上1，得到符合要求的最低数量。 3．9人 【分析】对于其中任何3人，都有一个题目的答案互不相同，有可能是第一题不一样，也有可能是第二题不一样，同样也可能是第三题、第四题不一样，需要考虑到每一种情况。 【详解】设总人数为A，再由分析可设第一题筛选取出的人数为，第二题筛选的人数为，第三题筛选取的人数为，第四题筛选的人数为。如果不能满足题目要求，则：至少是3，即3个人只有两种答案。由于是人做第四题后筛选取出的人数，则由抽屉原则知， （两种答案）中至少放有个苹果（即）。＝＝3，则A3至少为4，即4人只有两种答案。由于是人做第三题后筛选的人数，则由抽屉原则知，将个苹果放久三个抽屉（三种答案），那么必然有两个抽屉（两种答案）中至少放有个苹果（即）。＝＝4，则至少为5，即5人只有两种答案。同理，有＝＝5则至少为7，即做完第一道题必然有7个人只有两种答案；则有＝＝7.则至少为10，即当有10人参加考试时无法满足题目的要求。考虑9名学生参加考试，令每人答题情况如下表所示（汉字表示题号，数字表示学生）。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 一 A A A B B B C C C 二 A B C A B C A B C 三 A B C B C A C A B 四 A B C C A B B C A 答：参加考试的学生最多有9人。 【点睛】本题考查的是抽屉原理，题目并未直接给出抽屉数和苹果数是多少，需要自己进行构造。 4．9名 【分析】根据题意，写出得分的几种情况：①都答对的，得6分；②都答错的，得0分；③答对一道，另一道答错，得3分；④答对一道，另一道不答，得4分；⑤两道都不答，得2分；⑥一道不答，另一道答错，得1分；共有6种情况，然后把它看作6个抽屉，把50名同学看作50个元素，再根据抽屉原理解答即可。 【详解】50÷6＝8（名）……2（名）； 8＋1＝9（名）； 【点睛】本题考查了筛选与枚举以及抽屉原理的综合应用，关键是求出有几种得分；至少数＝商＋1（在有余数的情况下）。 5．每个小朋友可以任意选择两件，选择情况有：2个白兔、2个熊猫、2个长颈鹿、白兔和熊猫、白兔和长颈鹿、熊猫和长颈鹿，一共有6种拿法；最差情况是6个小朋友选择的玩具各不相同，分别是上面的6种情况；此时只要有一个要朋友再任意选择两个玩具，就能保证有两人选的玩具是相同的； 6+1=7（个）； 所以，在任意7个小朋友中总有两个小朋友的玩具相同． 【详解】已知共有三种玩具，每个小朋友任意选择两件相同的玩具有3种情况；选择两件不同的玩具一共有3种不同的情况，所以一共有6种不同的拿法，最差情况是6个小朋友选择的玩具各不相同，此时只要有一个要朋友再任意选择两个玩具，就能保证有两人选的玩具是相同的，所以在任意7个小朋友中总有两个小朋友的玩具相同；据此解答． 6．40张 【分析】4种花色的牌都有，可以先把其它3种花色的牌全部取完，这是不符合要求的最大数量，再加上1，即可求出符合要求的最低数量。 【详解】（张） （张） 答：至少要抽出40张牌。 【点睛】本题考查的是最不利原则，不符合要求的最大数量加1就是符合要求的最小数量。 7．10次 【分析】3、5、8进行组合会有9组不同的两位数，假设前9次出现的都是不同的两位数，那么第10次组成的数字一定和前9次的数字中的一个相等。 【详解】因为可以组成的数字为：35、38、53、58、85、83、33、55、88共9组两位数，假设前9次抽到的数字都不相同，那么至少组合10次一定会出现两个相同的两位数。 【点睛】解决这类有多种可能的题目，需要先根据题意把所有可能按顺序列出，再解答问题。 8．3个 【分析】先列出所有可能的两组电影组合，再用抽屉原理将7个小朋友分配。 【详解】每个小朋友的观影方式有3种：《哈利·波特》和《驯龙高手》、《哈利·波特》和《功夫熊猫》、《驯龙高手》和《功夫熊猫》，相当于3个抽屉。 将7个小朋友看成苹果，根据平均分配的思想：7÷3＝2（个）……1（个），根据抽屉原理：2＋1＝3（个）。 答：至少有3个小朋友选的电影组合相同。 【点睛】本题考查抽屉原理。 9．68 【分析】因为12＝3×4，若要保证抽出的数的乘积能被12整除，只须保证这个乘积是3和4的公倍数即可；在100个数中，3的倍数有100÷3＝33个，其余100－33＝67个数不含有因数3，在最不利的情况下，如果先抽到的数正好是这67个，此时，只要再从含因数3的33个数中任意取一个数，就可以满足条件，据此解答。 【详解】由分析得：12＝3×4 所以要保证抽出的数的乘积能被12整除，只须保证这个乘积是3和4的公倍数； 100÷3＝33（个） 100－33＝67（个） 67＋1＝68（张） 答：至少要随意抽出68张卡片才能保证所抽出的卡片上的数之乘积可被12整除 【点睛】本题主要考查了抽屉原理解决实际问题的灵活运用，关键是要知道保证抽出的数的乘积能被12整除，这个数必须是3和4的公倍数。 10．55个 【详解】把箱子分成3组，每组4个，共12个，另外还剩下一个单独的箱子，每组4个箱子里分别放入1、3、5、7个苹果，为使苹果数最多，则第13个箱子里也放入7个苹果，所以最多共有(1+3+5+7)×3+7=55个苹果． 11．41人 【分析】要使得人数最多，则只需计算只有1人分到5本日记本。 【详解】5-1=4（本） 165-1=164（本） 164÷4=41（人） 答：这个班最多有41人。 【点睛】1人分到5本日记本，其余人分到4本即可得出结果。 12．2个 【分析】把6只船看做6个抽屉，考虑最差情况：7个小朋友，最差情况是：每只船上分的人相等，7÷6＝1（人）……1（人）；那剩下1人，随便分给哪一只船，都会使得一只船分得1＋1＝2人，据此解答。 【详解】7÷6＝1（人）……1（人）； 1＋1＝2（人）； 答：至少要2个小朋友坐在同一只小船里。 【点睛】抽屉原理问题的重点是建立抽屉，关键是在考虑最差情况的基础上得出均分数（商）；然后根据：至少数＝商＋1（在有余数的情况下）求解。 13．15个 【分析】考虑最“坏”的情况，先取出4个红球，5个黄球，5个黑球，这样再取一个，不论取出的是黄球还是黑球，将有6个球颜色相同。 【详解】（个） 答：至少要取15个小球。 【点睛】本题考查的是最不利原则，不符合要求的最大数量加上去，得到符合要求的最小数量。 14．见详解 【分析】105分解质因数，可以写成，如果可以从这8个数中取出6个数，且有两个数的差是3的倍数，两个数的差是5的倍数，两个数的差是7的倍数，就可以得到105的倍数。 【详解】证明： ，对于任意的8个自然数，必可选出2个数，使它们的差是7的倍数； 在剩下的6个数中，又可选出2个数，使它们的差是5的倍数； 在剩下的4个数中，又可选出2个数，使它们的差是3的倍数； 所以一定能从中找到6个数a，b，c，d，e，f，使得 是105的倍数。 【点睛】本题不仅考查了抽屉原理，而且考查了同余的性质，若a、b除以c的余数相等，那么a、b的差是c的倍数。 15．86 【分析】本着尽量平均分配的原则是本题的关键思路。 【详解】426÷5＝85（分）……1（分） 85＋1＝86（分） 答：总有一名同学的得分不低于86分。 【点睛】此类“至少”题型只要进行除法计算，再将商加上1就可以得到结果。 16．11人 【分析】“每个人可以从中任意摸出两个”．每人摸到两个球的颜色可能是2红，2黄，2蓝，2黑，1红1黄，1红1蓝，1红1黑，1黄1蓝，1黄1黑，1蓝1黑，共10种情况下，只要再有一人摸一次，不论摸到的是什么颜色的2个球，至少有2人摸的小球颜色相同．据此解答． 【详解】解：每人摸到两个球颜色可能是： 2红，2黄，2蓝，2黑，1红1黄，1红1蓝，1红1黑，1黄1蓝，1黄1黑，1蓝1黑，共10种情况． 所以至少有2人摸的小球颜色相同的人数是：10+1=11（人）． 答：需要11人同时摸球，至少有2人摸的小球颜色相同． 17．7位 【分析】首先把诗歌、童话、小人书三类课外书任意两本排列，一共有（诗歌，童话），（童话，小人书），（诗歌，小人书）三种情况；任意借1本，又有3种情况；一共是6种情况，看做6个抽屉，只要学生数比抽屉1就可以使同学来借阅时就一定会有两位同学借阅图书的种类相同． 【详解】一共有（诗歌，童话），（童话，小人书），（诗歌，小人书）三种情况；任意借1本，又有3种情况；一共是6种情况，构造6个抽屉，6+1=7（位）， 答：至少要7位学生借阅才能保证其中一定有2个人所借阅的图书属于同一种类． 18．每个组会分得7名学生，还剩3名，不管怎么分，总有一个组至少分到8名学生。 【分析】把6个学习小组看作6个抽屉；45名学生看作45个元素，最差情况是：等分的话，45÷6＝7（名）……3（名），每个组会分得7名学生，还剩3名，不管怎么分，总有一个组至少分到8名学生；据此解答。 【详解】45÷6＝7（名）……3（名） 7＋1＝8（名） 答：根据以上计算和分析可知不管怎么分，总有一个学习小组至少有8人。 【点睛】抽屉原理问题的重点是建立抽屉，关键是在考虑最差情况的基础上得出均分数（商）；然后根据：至少数＝商＋1（在有余数的情况下）。 19．9次 【分析】总共有8种颜色的弹珠，要取出2个相同颜色的弹珠，最倒霉的情况就是前面8次取出的弹珠颜色都不一样，每种颜色各一个，这样第9次，不论取什么，一定可以保证有2个相同颜色的弹珠。 【详解】（次） 答：最少需要取9次。 【点睛】本题考查的是抽屉问题，求解此类问题，就要按照最不利于事件发生的情况考虑问题。 20．44名 【分析】从最不利的情况考虑：只有一名学生拿到了4个小礼物，其他学生每人拿到了3个小礼物，那么小礼物的总个数减1刚好是3的倍数，此时学生的总人数＝（礼物总个数－1）÷3，据此解答。 【详解】（133－1）÷3 ＝132÷3 ＝44（名） 答：李老师班里最多有44名学生。 【点睛】本题主要考查鸽巢原理的应用，从最不利情况考虑问题是解答题目的关键。 21．见详解 【分析】把从第一天开始，到第n天完成的题目数量表示出来，然后确定抽屉数和苹果数，按照抽屉原理求解。 【详解】证明： 设小明第1天做了 a1 道题，前2天共做了 a2 道题，前3天共做了 a3 道题，……，前14天共做了 a14 道题； 显然 a14＝20 ，而 a1 ~ a13 都小于20，考虑 a1， a2， a3，…， a14 及 a1+7 ， a2+7 ， a3+7 ， …， a14+7 这28个数，它们都不超过27； 根据抽屉原理，这28个数中必有两个数相等，由于 a1 ， a2 ， a3 ，…， a14 互不相等， a1+7 ， a2+7 ， a3+7 ，…， a14+7 也互不相等，因而这两个相等的数只能一个在前一组，另一个在后一组中，即有： aj＝ai+7 ，所以 aj－ai＝7 ； 这表明从第 i＋1 天到第 j 天，小明恰好做了7道题。 【点睛】把20道题分给14天，每天至少1道，那么每天各分1道题，这样用去了14道题，还余下6道题，余下的6道题可以看成一个整体，加在某一天，也可以拆分成几个数，加在其中的几天，无论怎样分配，都可以满足连续的若干天内恰好做了7道题目。 22．6只 【分析】考虑最不利的情况，取出的5只手套要么都是左手，要么都是右手，此时是不符合要求的最大数量，但只要再取1个，一定是满足要求的。 【详解】先取出5个左手的手套或5个右手的手套，此时不符合要求； 5＋1＝6（只） 答：至少要取出6只手套。 【点睛】本题考查的是抽屉原理，要求符合要求的最小数量，可以先求出不符合要求的最大数量。 23．9名 【解析】略 24．见详解 【分析】现在每个鱼缸放一条，用了8条，余下的一条，不论放在哪一个鱼缸中，都可以保证至少有一个鱼缸放有两条金鱼。 【详解】证明： 8个鱼缸相当于是抽屉数，根据抽屉原理： （条） 所以至少有一个鱼缸放有两条或两条以上金鱼。 【点睛】本题考查的是抽屉原理，题目直接给出了抽屉数和苹果数，利用公式直接计算即可。 25．5次 【分析】小明1次从袋子中摸出3个球，可能是3黄、3红、2黄1红或1黄2红，共4种可能，从最不利的情况考虑，如果前4次各摸出1种可能，那么第5次无论摸出的是哪种情况，都能保证有2次摸出的球相同，据此解答。 【详解】4＋1＝5（次） 答：他至少摸5次，才能保证有2次摸出的球相同。 【点睛】本题主要考查鸽巢原理，找出摸出三种球的所有可能性是解答题目的关键。 26．47名 【分析】从76到98，一共有（个）整数，要使人数最少且一定至少有3名学生得分相同，考虑最不利的情况，每个分数都有2名学生，则再多1名学生，必定保证有3名学生的得分相同，所以这个班至少有（名）学生。 【详解】 （个） （名） 答：六（2）班至少有47名学生。 【点睛】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，关键是从最差情况考虑。 27．证明过程详见解析 【分析】小朋友从口袋中取出的两个球的颜色的组成只有以下3种可能：红红、黄黄、红黄，把这3种情况看作3个“抽屉”，把4位小朋友看作4只“苹果”，根据抽屉原理求解。 【详解】证明： 取出的两个球的颜色可能是红红、黄黄、红黄，3种可能； （个） 所以必有两个小朋友，他们取出的两个球的颜色完全一样。 【点睛】本题考查的是抽屉原理，取出的小球的搭配方式是抽屉数。 28．8个 【分析】因为余数相同的两数之差一定能被除数整除，此题可以先找出除以7的余数的所有情况分别为：0、1、2、3、4、5、6，这样就可以把它们看做7个抽屉，利用抽屉原理即可解决问题。 【详解】自然数除以7的余数为：0、1、2、3、4、5、6，因此7就把自然数分成了7类， 即：除以7余0、1、2、3、4、5、6，因此，可以把它看成是7个抽屉， 至少要有8个数，才能必然有一个抽屉里有两个数，而这两个数除以7的余数相同，也就是差是7的倍数， 答：根据上述分析，至少任意取8个连续的自然数，就能保证其中必有两个数，它们的差是7的倍数。 29．8个 【分析】本着尽量平均分配的原则是本题的关键思路。 【详解】63÷8＝7（个）……7（个） 7＋1＝8（个） 答：一定有一名同学至少投进8个球。 【点睛】此类“至少”题型只要进行除法计算，再将商加上1就可以得到结果。 30．28次 【分析】从最不利的情况考虑，用8把钥匙去试第一把锁，最不利的情况是实验了7次，前6次都没有打开，第7次无论打开与否，都能确定这把锁匹配的钥匙；以此类推，第二把锁最多实验6次，第三把锁最多实验5次，……最后一把锁最多实验1次，据此用加法求出总次数。 【详解】7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝28（次） 答：最多要试验28次能保证全部的钥匙和锁匹配。 31．证明过程详见解析 【分析】把这6个人看作6个点，每两点之间连一条线段，两人相互认识的话将线段涂红色，两人不认识的话将线段涂上蓝色，同色三角形表示相互认识或相互不认识，证明存在这样的三角形即可。 【详解】证明： 从这6个点中随意选取一点A，从A点引出的5条线段，根据抽屉原理，必有3条的颜色相同； 不妨设有3条线段为红色，它们另外一个端点分别为B、C 、D，那么这三点中只要有两点比如说 B、C之间的线段是红色，那么A、 B、 C3点组成红色三角形； 如果B、 C、 D三点之间的线段都不是红色，那么都是蓝色，这样B 、 C 、 D3点组成蓝色三角形，也符合条件； 综上所述，任意的6个人中必有3个人，他们或者相互认识，或者相互不认识，结论成立。 【点睛】本题考查的是比较复杂的抽屉原理的问题，关键在于如何与抽屉原理结合起来，这里借助了数形结合的思想。 32．（1）6名 （2）3名 【解析】略 33．40张 【分析】“一定”是关键词，考虑运气最差的情况，54张牌中有四种花色的A到K，每种花色有13张，在运气最差的情况下，先将一种花色的牌全部摸完，再将一种花色的牌全部抽完，只有2张牌的点数是相同的，继续运气差，又摸了13张剩下的花色，又3张牌的点数是一样的，最后无论在剩下的花色种随意抽一张牌，正好可以保证4张牌的点数是相同的。 【详解】13＋13＋13＋1＝40（张） 答：至少抽40张，一定会有4张牌点数相同。 【点睛】这题最重要的是考虑最差的情况，最好的情况就是一下子4张正好是点数相同的牌，最差的情况是怎么样都摸不到相同的点数的牌。 34．7名 【分析】把3个班看作3个抽屉；20名同学看作20个元素，最差情况是：等分的话，20÷3＝6（名）……2（名），每个班会分得6名，还剩2名，不管怎么分，总有一个班至少分到6＋1＝7名；据此解答。 【详解】20÷3＝6（名）……2（名） 6＋1＝7（名） 答：至少有7名同学是同一个班的。 【点睛】抽屉原理问题的重点是建立抽屉，关键是在考虑最差情况的基础上得出均分数（商）；然后根据：至少数＝商＋1（在有余数的情况下）。 35．4个 【分析】为使“最多的…至少……”，应尽量平均分配：7÷2＝3（个）……1（个），余下的一个苹果分配到平均分配后的任意一个抽屉中，使其最多：3＋1＝4（个）。 【详解】7÷2＝3（个）……1（个） 3＋1＝4（个） 答：苹果最多的一个抽屉里至少有4个苹果。 【点睛】在此类抽屉问题中，至少数＝物体数除以抽屉数的商＋1（有余数的情况下）。 36．8人 【分析】因为是每组至少有几人，所以考虑最差的情况，把45个人平均分6组，那么还剩3人需要分配，分给3个组，所以总有一个组最少要有8人。 【详解】45÷6＝7（人）……3（人） 7＋1＝8（人） 答：总有一个组至少有8人。 【点睛】本题的关键是根据抽屉原理，在考虑最差情况的基础上得出平均数，然后根据至少数＝平均数＋1（在有余数的情况下）。 37．5名 【分析】因为每名学生最多可借两本不同类型的书，最少借一本，所以借书的情况有10种∶A、B、C、D、、、、、、。把这10种情况看作10个抽屉，（名）……2（名），把42名学生看作42个苹果，根据鸽巢原理，每个抽屉里放4个苹果，还剩2个，这2个无论放在哪个抽屉里，总有一个抽屉里至少有个苹果，即至少有5名学生所借的书的类型完全相同。 【详解】（种） （名）……2（名） （名） 答：至少有5名学生所借的书的类型完全相同。 【点睛】本题考查了抽屉原理，抽屉原理的解答思路，准确地建立抽屉和确定元素的总个数，是解题关键。 38．9个 【详解】首先应弄清不同的水果搭配有多少种．两个水果是相同的有4种，两个水果不同有6种：苹果和梨、苹果和桃、苹果和桔子、梨和桃、梨和桔子、桃和桔子．所以不同的水果搭配共有4＋6＝10（种）．将这10种搭配作为10个“抽屉”． 81÷10=8……1（个）． 根据抽屉原理2，至少有8＋1＝9（个）小朋友拿的水果相同． 39．503个奇数 【详解】从1到2006中总共有2006÷2=1003个奇数，3+2005=2008，5+2003=2008到1003+1005=2008，和为2008的奇数对有1003÷2=501对……1个．最坏的情况是一直取不到符合条件的奇数对，一直到不成对的全部取完，即每对只取一个；因此，第501+1+1=503个奇数一定能在之前取到的奇数中找到与其之和为2008的对应奇数． 答：至少要取出503个奇数才能保证其中必定存在两个数，他们的和为2008． 40．5个 【分析】从最坏的情况考虑，假如前四次摸到四种颜色，那么再摸一次无论是什么颜色都能保证有两个颜色相同的球。 【详解】袋子里有4种颜色的球，只要摸出的球比它们的颜色种数多1，就能保证有两个球同色。 4＋1＝5（个） 答：至少取出5个球，可以保证取到两个颜色相同的球。 【点睛】此类题此题主要考查了鸽巢原理的运用，要从最坏的情况考虑。 41．这种说法不对，理由是：        5÷4=1……1        1+1=2（张） 所以是至少有2张是同花色的． 【详解】略 42．14个 【分析】此题中求至少取多少个球，即为“最不利原则”问题。解决此类问题，从最坏情况出发考虑问题。最坏的情况就是先把白球和红球全都取出来了，但黑球还没有取到。此时共取出：7＋6＝13（个）。那么下一次再取出一个球必定保证三种球都能取到。所以总共需取出13＋1＝14（个）球才能保证三种球都取到。 【详解】7＋6＝13（个） 13＋1＝14（个） 答：闭上眼睛取14个球才能保证三种球都取到。 【点睛】根据抽屉原理中的“最不利原则”进行分析是完成本题的关键。 43．10名 【详解】从四个兴趣社团中任选两个兴趣社团共有6种选择方法   58÷6＝9（名）……4（名）   9 ＋1＝10（名） 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$