精品解析：陕西省西安市2024-2025学年高一上学期1月期末质量监测数学试题

高一数学期末质量监测考试 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数的图象是一条连续不断的曲线，且，，，，，则在下列区间中，一定包含零点的区间是（ ） A. B. C. D. 3. 已知角的终边经过点，则的值可能为（ ） A. B. C. D. 4. 若幂函数是偶函数，则（ ） A. -2 B. 3 C. 1 D. 1或3 5. 已知正数，满足，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 6. 星等是衡量天体光度量.为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯在公元前二世纪首先提出了星等这个概念，例如：2等星的星等值为2.已知两个天体的星等值，和它们对应的亮度，满足关系式，则（ ） A. 2等星的亮度是7等星亮度的100倍 B. 7等星的亮度是2等星亮度的100倍 C. 2等星的亮度是7等星亮度的10倍 D. 7等星的亮度是2等星亮度的10倍 7. 将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再将所得的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A B. C. D. 8. 若，，，则（ ） A B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若一个扇形的弧长为，面积为，则（ ） A. 该扇形的圆心角为 B. 该扇形的半径为14 C. 该扇形圆心角为 D. 该扇形的半径为7 10. 关于的不等式的解集为的充分不必要条件有（ ） A. B. C. D. 11. 已知，，函数，，若，，且函数的最大值为，则（ ） A. B. C. 当时， D. 曲线关于点对称 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则________，________. 13. 已知函数（，且）在上单调递增，则取值范围为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 14. 已知函数. （1）求的定义域； （2）求方程的解集. 15. 已知是第四象限角，且. （1）求的值； （2）求的值. 16. 已知函数. （1）求的单调递减区间； （2）用“五点法”作出在一个周期内的简图的过程如下，请先补全表格，然后在下图的坐标系中作出在一个周期内的简图. 列表： 画图： 17. 已知函数. （1）若，求的值； （2）若，判断的单调性并用定义法加以证明； （3）若，求不等式的解集. 18. 设定义在上的函数和定义在上的函数，对任意的，存在，使得（为非零常数）恒成立，则称与为异自变量定值函数组合，其中叫作这两个函数的恒定比数值． （1）若函数，，，，判断与是否是恒定比数值为5的异自变量定值函数组合，并说明理由； （2）若函数，，，，与是恒定比数值为4的异自变量定值函数组合，求的取值范围； （3）若函数，，，，且与是恒定比数值为的异自变量定值函数组合，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一数学期末质量监测考试 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用交集运算即可. 【详解】由， 得：， 故选：D. 2. 已知函数的图象是一条连续不断的曲线，且，，，，，则在下列区间中，一定包含零点的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用零点存在定理可得结论. 【详解】因为的图象是一条连续不断的曲线， 且，，，， 所以，由零点存在性定理可知一定包含零点的区间是． 故选：C. 3. 已知角的终边经过点，则的值可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数的定义可得角，结合选项分析判断即可. 【详解】因为角的终边经过点， 可知角为第四象限角，且， 可得角，结合选项可知. 故选：A. 4. 若幂函数是偶函数，则（ ） A. -2 B. 3 C. 1 D. 1或3 【答案】C 【解析】 【分析】根据幂函数的定义得到方程，求出或，结合函数奇偶性排除，得到答案. 【详解】因为是幂函数，所以，解得或. 当时，是偶函数，符合题意； 当时，是奇函数，不符合题意. 故选：C 5. 已知正数，满足，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用基本不等式求解. 【详解】因为正数，满足， 所以， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为， 故选：D 6. 星等是衡量天体光度的量.为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯在公元前二世纪首先提出了星等这个概念，例如：2等星的星等值为2.已知两个天体的星等值，和它们对应的亮度，满足关系式，则（ ） A. 2等星的亮度是7等星亮度的100倍 B. 7等星的亮度是2等星亮度的100倍 C. 2等星的亮度是7等星亮度的10倍 D. 7等星的亮度是2等星亮度的10倍 【答案】A 【解析】 【分析】设2等星的亮度是x，7等星亮度是y，由题中所给信息结合对数运算性质可得答案. 【详解】设2等星的亮度是x，7等星亮度是y，则，即2等星的亮度是7等星亮度的100倍. 故选：A 7. 将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再将所得的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将化简得，再根据三角函数图象变化得到答案. 【详解】， 将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得， 再将所得的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象， 则， 故选：B. 8. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用对数函数单调性和正切函数单调性即可比较大小. 【详解】∵对数函数在上单调递增，，即； 同理，对数函数在上单调递增，，即； ∵函数上单调递增，且，，即. 综上，. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若一个扇形的弧长为，面积为，则（ ） A. 该扇形的圆心角为 B. 该扇形的半径为14 C. 该扇形的圆心角为 D. 该扇形的半径为7 【答案】BC 【解析】 【分析】由扇形的面积和弧长公式代入求解即可. 【详解】设扇形的半径为R， 因为扇形的弧长为，扇形的面积， 得，得，B正确； 则扇形的圆心角，C正确. 故选：BC. 10. 关于的不等式的解集为的充分不必要条件有（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】先求充要条件，再利用充分不必要条件是充要条件的真子集，来作判断即可. 【详解】由关于的不等式的解集为的充要条件为，解得， 由，得，，又由于， 所以，是关于的不等式的解集为的充分不必要条件，故AC正确， 而选项B是充要条件，选项D是必要不充分条件，故不符合题意； 故选：AC. 11. 已知，，函数，，若，，且函数的最大值为，则（ ） A. B. C. 当时， D. 曲线关于点对称 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据函数的最大值，确定的值，再由，得的值，判断A，B；从而确定函数的解析式，由余弦函数的图象性质判断C，D. 【详解】根据题意，， 则， 其最大值为，由，得， 又，即， 由，得（舍去）或，A错误，B正确； 由于 ， 当时，，显然， 则，故C正确； 由， 所以曲线关于点对称，D正确. 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：根据辅助角公式，函数的最大值，确定的值，从而进一步确定函数解析式. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则________，________. 【答案】 ① ②. 【解析】 【分析】根据两角差的正切公式，即可求解；利用诱导公式以及同角三角函数基本关系式，即可求解. 【详解】； . 故答案为：； 13. 已知函数（，且）在上单调递增，则的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数单调性结合指数函数单调性列式求解即可. 【详解】因为与的单调性相同， 可知与单调性相同， 若函数在上单调递增，则，解得， 所以的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 14. 已知函数. （1）求的定义域； （2）求方程的解集. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据对数的真数大于0求解即可； （2）根据对数的运算法则求解即可. 【小问1详解】 由，得，所以函数的定义域为； 【小问2详解】 ， 所以，整理得，解得（舍）或， 所以方程的解集为. 15. 已知是第四象限角，且. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据同角三角函数基本关系式以及二倍角公式求解即可； （2）先利用二倍角余弦公式求得,再利用两角差的余弦公式展开，将的值代入求解即可. 【小问1详解】 ∵，且是第四象限角， ∴， ∴； 【小问2详解】 ∵， ∴ . 16. 已知函数. （1）求的单调递减区间； （2）用“五点法”作出在一个周期内的简图的过程如下，请先补全表格，然后在下图的坐标系中作出在一个周期内的简图. 列表： 画图： 【答案】（1）. （2）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）利用余弦函数的单调性可得单调递减区间； （2）填写表格，画出函数图像得到答案. 【小问1详解】 令，，，， ，， 即单调递减区间为. 【小问2详解】 0 17. 已知函数. （1）若，求的值； （2）若，判断的单调性并用定义法加以证明； （3）若，求不等式的解集. 【答案】（1）； （2）在R上单调递增，证明过程见解析； （3） 【解析】 【分析】（1）根据得到方程，求出； （2）由得到不等式，求出，化简得到，定义法判断函数单调性步骤，取点，作差，变形判号，下结论； （3）根据求出，从而变形得到，根据单调性求出解集. 【小问1详解】 ，解得； 【小问2详解】 在R上单调递增，证明过程如下： 由题意得，故， 又且，解得， 的定义域为R，任取，且， 则， 因为在R上单调递增，，所以， 又，故， 即，在R上单调递增， 【小问3详解】 由题意得，解得， 故，由得， 即，化简得，解得， 不等式的解集为. 18. 设定义在上的函数和定义在上的函数，对任意的，存在，使得（为非零常数）恒成立，则称与为异自变量定值函数组合，其中叫作这两个函数的恒定比数值． （1）若函数，，，，判断与是否是恒定比数值为5的异自变量定值函数组合，并说明理由； （2）若函数，，，，与是恒定比数值为4的异自变量定值函数组合，求的取值范围； （3）若函数，，，，且与是恒定比数值为的异自变量定值函数组合，求的取值范围． 【答案】（1）与是恒定比数值为5的异自变量定值函数组合，理由见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）分别求出与在给定的自变量的范围内的值域，再利用异自变量定值函数组合的定义进行判断； （2）判断出的单调性，求出在上的值域，结合异自变量定值函数组合的定义，得出的取值范围，根据正弦型函数的性质求出的取值范围即可； （3）分别求出，的值域，再根据与是恒定比数值为的异自变量定值函数组合，根据，需要进行分类讨论． 【小问1详解】 与是恒定比数值为5的异自变量定值函数组合，理由如下： 是增函数，所以函数在上单调递增， ， 则的取值范围是， ，， 则的取值范围为， 若与是恒定比数值为5的异自变量定值函数组合， 则对任意的，存在，使得， 根据与的取值范围分别是，， 因此，对于的取值范围内的所有的值，都可以找到一个的值，使其满足， 故与是恒定比数值为5的异自变量定值函数组合； 【小问2详解】 都是增函数， 所以在上为增函数， ， 因此的取值范围是， 若与是恒定比数值为4异自变量定值函数组合， 则有， 由于的取值范围是， 所以的值域为， 为了使等式符合定义要求，的值域也必须包含于， 由于的值域为， 因此满足：， 解得； 【小问3详解】 在上， ， 当时，， 当时，， 因此的值域为， ，在上， ， ， ， 因此的值域为， 若与是恒定比数值为的异自变量定值函数组合， ， 为了使等式符合定义要求， 的值域也必须包含， 当时，满足，解得：； 当时，满足，解得：； 综上的取值范围为： 【点睛】关键点点睛：函数值域的确定及根据给定条件求解参数的取值范围，通过分析异自变量定值函数组合的定义，把问题转化成两个集合之间的包含关系，列出不等式组进行求解，涉及参数的时候需要分类讨论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$