精品解析：北京市燕山地区2024—2025学年上学期八年级数学期末质量监测

燕山地区2024—2025学年第一学期八年级期末考试 数学试卷 2025年1月 考生须知 1．本试卷共6页，共三道大题，28道小题．满分100分．考试时间120分钟． 2．在试卷和答题纸上准确填写学校名称、班级、姓名和考号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题纸上，在试卷上作答无效． 4．在答题纸上，选择题、画图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，请将本试卷和答题纸一并交回． 一、选择题（本题共16分，每小题2分） 下列各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的知识，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的概念，是解题的关键． 【详解】解：A、沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，故符合题意； B、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，故不符合题意； C、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，故不符合题意； D、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，故不符合题意； 故选：A． 2. 用科学记数法记为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法表示数，解题的关键是掌握科学记数法的表示方法．科学记数法的表现形式为，其中，为整数，的值与原数变为时小数点移动的数位相同，当原数的绝对值时，为正整数，当原数的绝对值时，为负整数，据此即可求解． 【详解】解：， 故选：B． 3. 如图，工人师傅在安装木制门框时，为防止变形，常常钉上两条斜拉的木条，这样做的数学依据是（ ） A. 两点确定一条直线 B. 两点之间，线段最短 C. 三角形具有稳定性 D. 三角形的任意两边之和大于第三边 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形具有稳定性进行求解即可． 【详解】解：工人师傅在安装木制门框时，为防止变形，常常钉上两条斜拉的木条，这样做的数学依据是三角形具有稳定性， 故选C． 【点睛】本题主要考查了三角形的稳定性，熟知三角形具有稳定性是解题的关键． 4. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了构成三角形的条件，熟练掌握三角形三边之间的关系是解题的关键：三角形两边之和大于第三边，两边只差小于第三边． 注意，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，据此逐项判断即可． 【详解】解：A．∵， ∴不能够成三角形，故选项不符合题意； B．∵， ∴不能够成三角形，故选项不符合题意； C．∵， ∴不能够成三角形，故选项不符合题意； D．∵， ∴能构成三角形，故选项符合题意； 故选：D． 5. 如图，和是对应角．在中，是最长边，在中，是最长边，，则线段的长度及的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的对应边相等，对应角相等，即可求解． 【详解】解：∵和是对应角． ∴， 故选：C． 6. 下列计算中，运算正确的个数是（ ） ① ② ③ ④ ⑤ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方与积的乘方、同底数幂相乘，根据幂的乘方与积的乘方、同底数幂相乘的运算法则逐项分析即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：①，计算正确，符合题意； ②，计算错误，不符合题意； ③，计算错误，不符合题意； ④，计算正确，符合题意； ⑤，计算正确，符合题意； 综上所述，正确的①④⑤，共3个， 故选：C． 7. 如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点F，作射线交边于点G，若，，则点G到线段的最短距离是（ ） A B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理的知识，掌握了以上知识是解题的关键； 本题根据角平分线的性质定理“角平分线上的点到角的两边的距离相等”根据，，即可得到答案； 【详解】解：由作图得平分， ∵，即， ∴点G到线段的最短距离等于的长， 即点G到的距离为1， 故选：A 8. 如图，在中，D，E分别是的中点，点F在上，且．若，则是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的面积主要利用了三角形中线把三角形分成两个面积相等的三角形，理论依据是等底等高的三角形的面积相等，需熟记． 根据，，求得，根据三角形中线把三角形分成两个面积相等的三角形可得，从而求出，再根据计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵D是的中点， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴， 即为， 故选：C． 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 分解因式：___________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了提公因式法分解因式，正确提取公因式是解题关键．直接提取公因式分解因式得出答案． 【详解】解： 故答案为：． 10. 方程的解为___________. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法和步骤是解题的关键． 先去分母，转化为解一元一次方程，注意要检验是否有增根． 【详解】解： ， 解得：， 经检验：是原方程的解， 所以，原方程的解为， 故答案为：． 11. 正二十边形的外角和为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多边形的外角和，根据多边形的外角和为即可得解． 【详解】解：正二十边形的外角和为， 故答案为：． 12. 我国陆地面积约是，平均每平方千米的陆地上，一年从太阳得到的能量约相当于燃烧煤所产生的能量，求在我国陆地上，一年内从太阳得到的能量约相当于燃烧______吨煤所产生的能量． 【答案】 【解析】 【分析】根据每平方千米的土地上，一年从太阳得到的能量相当于燃烧1.3×105吨煤所产生的能量乘以我国陆地面积，计算即可得到所求的结果． 【详解】根据题意得：（）×（1.3×105）＝． 故答案为： 【点睛】此题考查了整式的混合运算，是一道应用题，弄清题意是解本题的关键． 13. 如图，点是线段的中点，．请你添加一个条件，使．你添加的条件是___________________．（要求：不再添加辅助线，只需填一个答案即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】由已知条件可知：，，再添加，根据SAS判定． 【详解】解：添加条件：； 证明：∵点是线段的中点， ∴． 在和中， ， ∴（SAS）． 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题是开放性题目，考查了全等三角形的判定；添加条件不唯一；熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 14. 右图中的四边形均为长方形或正方形，根据图形的面积关系，写出一个正确的等式：______． 【答案】=（答案不唯一） 【解析】 【分析】分别用不同方法计算题目中阴影部分的面积即可得出答案． 【详解】解：图中阴影面积分别表示为和， ∴=． 故答案为：=（答案不唯一） 【点睛】本题考查了用几何方法证明单项式乘以多项式法则，解题关键是根据图形特点用不同方式表示其面积． 15. 如图，在的正方形网格中有四个格点，，，，以其中一个点为原点，网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则原点可能是___________． 【答案】点 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系的知识，解题的关键是根据题意，其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，根据平面直角坐标系的性质，找到坐标原点，即可． 【详解】解：其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称， 如图所示：点和点关于轴对称， ∴当原点为点时，其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称， 故答案为：点． 16. 如图，在中，，，，分别是，，上的点，且，，，则的度数是 __________．（用含的代数式表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，根据已知条件可推出，从而可知，根据得到，由即可得到答案． 【详解】解：∵， ， 在和中， ， ， ， ∵ ， ， ∴ ， 故答案为：． 三、解答题（本题共68分，第17题6分，第18-23题每题5分，第24-26每题6分，第27、28题7分）． 17. 因式分解： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查因式分解的知识，解题的关键是掌握，，进行因式分解，即可． （1）先提公因数，得到，再根据，进行因式分解，即可； （2）先提公因数，得到，再根据，进行因式分解，即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 18. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式的运算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键； 根据分式计算法则计算即可求解； 【详解】解： 19. 如图，AC和BD相交于点O，OA＝OC，OB＝OD．求证：AB＝CD． 【答案】证明见解析． 【解析】 【分析】由条件OA=OC，OB=OD及对顶角∠AOB=∠BOD，可以证明△AOB≌△COD，根据全等三角形的性质就可以得出结论． 【详解】证明：在△AOB和△COD中 ∵， ∴△AOB≌△COD（SAS）， ∴AB=CD． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，在证明三角形全等的书写过程中，对应顶点要写在对应的位置上． 20. 解分式方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题关键． 先去分母化为整式方程，再进行去括号合并，最终进行检验即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 经检验是原方程的解， ∴原方程的解是． 21. 如图，是的高，是的角平分线．，． （1）画出的角平分线； （2）求的度数． 【答案】（1）作图见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的画法，角平分线的定义和直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键． （1）根据角平分线的性质作图即可； （2）根据角平分线的定义得出，再根据直角三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 解：画出的角平分线，如图所示， 【小问2详解】 解：是的高， ， ， ， 是的角平分线， ， ， ． ∴在中，． 22. 如图，在中，，，垂直平分，垂足为E，交于点D，连接． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析； （2）3． 【解析】 【分析】（1）由，，得出，根据垂直平分线性质，得出，，进而得出，即可证明； （2）根据含30度角的直角三角形的性质得出，即可得出． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴， ∵垂直平分， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定是解题的关键． 23. 已知，求代数式的值． 【答案】，2 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算的法则，整体代入法求代数式的值，是解题关键． 先计算括号里的分式，再与括号外的约分相乘，化简，再将代入化简结果求值即可． 【详解】解： 当时，原式． 24. 下面是小东设计的“作△ABC中BC边上的高线”的尺规作图过程． 已知：△ABC． 求作：△ABC中BC边上的高线AD． 作法：如图， ①以点B为圆心，BA的长为半径作弧，以点C为圆心，CA的长为半径作弧，两弧在BC下方交于点E； ②连接AE交BC于点D． 所以线段AD是△ABC中BC边上的高线． 根据小东设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明． 证明：∵ =BA， =CA， ∴点B，C分别在线段AE垂直平分线上（ ）（填推理的依据）． ∴BC垂直平分线段AE． ∴线段AD是△ABC中BC边上的高线． 【答案】（1）作图见解析；（2）AB；EC；到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上. 【解析】 【分析】（1）根据要求画出图形即可； （2）根据线段的垂直平分线的判定即可解决问题. 【详解】（1）图形如图所示： （2）理由：连接BE，EC． ∵AB=BE，EC=CA， ∴点B，点C分别在线段AE的垂直平分线上（到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上）， ∴直线BC垂直平分线段AE， ∴线段AD是△ABC中BC边上的高线． 故答案为BE，EC，到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上． 【点睛】本题考查线段的垂直平分线的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识． 25. 列方程解应用题． 为贯彻落实健康第一的指导思想，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯．某校第一批为各班用400元购进跳绳，接着又用450元购进第二批跳绳，已知第二批跳绳数是第一批跳绳数的1.5倍，且第二批每根跳绳进价比第一批的进价少5元，求第二批跳绳每根的进价是多少． 【答案】第二批跳绳每根的进价是15元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用． 关键是根据等量关系：第二批进的数量第一批进的数量列方程． 设第一批体育用品每件的进价是x元，则第一批进的数量是：件，第二批进的数量是：件，再根据等量关系：第二批进的数量第一批进的数量可得方程． 【详解】解：设第二批跳绳每根的进价是x元． 根据题意，得． 解之，得． 经检验，是所列方程的解，并且符合实际问题的意义． 答：第二批跳绳每根的进价是15元． 26. 课堂上有这样一个分式的计算题：，甲、乙两位同学完成的过程分别如下： 甲同学： 第一步 第二步 第三步 第四步 乙同学： 第一步 第二步 第三步 第四步 老师发现这两位同学的解答都有错误． 请你从甲、乙两位同学中，选择一位同学的解答过程，帮助他分析错因，并加以改正． （1）我选择___________同学的解答过程进行分析．（填“甲”或“乙”） 该同学的解答从第___________步开始出现错误，错误的原因是___________________； （2）请重新写出完成此题的正确解答过程． 解： 【答案】（1）答案不唯一，见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查分式的混合运算， （1）根据分式的混合运算顺序和运算法则即可判断； （2）根据分式的混合运算顺序和运算法则重新计算可得． 【小问1详解】 解：选甲：一，理由合理即可，如：第一个分式的变形不符合分式的基本性质，分子漏乘； 选乙：二，理由合理即可，如：与等式的性质混淆了，丢掉了分母； 【小问2详解】 27. 已知：是等边三角形，是直线上一动点，连接，在线段的右侧作射线且使，作点关于射线的对称点，连接，． （1）当点在线段上运动时， ①依题意将图1补全； ②请用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明； （2）如图2，当点在直线上运动时，请直接写出，，之间的数量关系，不需证明． 【答案】（1）①见解析；②，证明见解析 （2）或或 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，轴对称的性质，理解题意，进行分类讨论，作出相应图形，综合运用这些知识点是解题关键． （1）①根据题意，作出图形即可；②根据轴对称的性质可得：垂直平分，得出，，确定是等边三角形，利用等边三角形的性质及各角之间的数量关系可得，证明，得到，结合图中线段间的数量关系即可证明； （2）数量关系有三种，可分三种情况讨论：①当点在线段上时，，②当点在点的左侧时，，③当点在点右侧时，，根据等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质证明即可． 小问1详解】 解：①补全图1如 下： ②，证明如下： 点关于射线的对称点为， 垂直平分， ， 又， ， 是等边三角形， ，， 又是等边三角形， ，． ，即． 在和中， ， ， ， 即； 【小问2详解】 解：或或； ①当点在线段上时，，证明过程为（1）； ②当点在点的左侧时，，如下图所示，证明如下： 由（1）得，是等边三角形， ，， 又是等边三角形， ，， ，即， 在和中， ， ， ， 即； ③当点点右侧时，，如图所示，证明如下： 由（1）得，是等边三角形， ，， 又是等边三角形， ，， ，即， 在和中， ， ， ． 28. 阅读下面材料： 小聪这学期学习了轴对称的知识，知道了像角、等腰三角形、正方形、圆等图形都是轴对称图形．类比这一特性，小聪发现像，，等代数式，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变．于是他把这样的式子命名为交换对称式． 他还发现像，等交换对称式都可以用，表示． 例如：，，于是小聪把和称为基本交换对称式． 请根据以上材料解决下列问题： （1）代数式①，②，③，④中，属于交换对称式的是___________（填序号）； （2）已知． ①___________（用含，的代数式表示）； ②若，，求交换对称式的值； ③若，求交换对称式的最小值． 【答案】（1）①④ （2）①；②；③ 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算和代入求值，分式的加减运算，解题的关键是正确理解“交换对称式”，熟练掌握完全平方公式有助于理解“基本交换对称式”． （1）任意交换两个字母的位置判断值是否不变即可； （2）①先根据得到，即可得到答案；②先将通分，再根据“像，等交换对称式都可以用，表示．例如：”计算，最后将，代入求值即可；③先化简，再将代入求出原式，然后求解计算即可． 【小问1详解】 解：①任意交换两个字母的位置后变为，值不变，是交换对称式； ②任意交换两个字母的位置后变为，值可能改变，不是交换对称式； ③任意交换两个字母的位置后变为，值可能改变，不是交换对称式； ④任意交换两个字母值的结果都等于，是交换对称式； 故答案为：①④； 【小问2详解】 解：①∵，， ∴， ∴，； 故答案为； ②解：，则，， ∴； ③解；，则， 即 ， 又∵， ∴， ∴的最小值是4； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 燕山地区2024—2025学年第一学期八年级期末考试 数学试卷 2025年1月 考生须知 1．本试卷共6页，共三道大题，28道小题．满分100分．考试时间120分钟． 2．在试卷和答题纸上准确填写学校名称、班级、姓名和考号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题纸上，在试卷上作答无效． 4．在答题纸上，选择题、画图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，请将本试卷和答题纸一并交回． 一、选择题（本题共16分，每小题2分） 下列各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 用科学记数法记为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，工人师傅在安装木制门框时，为防止变形，常常钉上两条斜拉的木条，这样做的数学依据是（ ） A. 两点确定一条直线 B. 两点之间，线段最短 C. 三角形具有稳定性 D. 三角形的任意两边之和大于第三边 4. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 5. 如图，和是对应角．在中，是最长边，在中，是最长边，，则线段的长度及的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 下列计算中，运算正确的个数是（ ） ① ② ③ ④ ⑤ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7. 如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点F，作射线交边于点G，若，，则点G到线段的最短距离是（ ） A. B. 3 C. 4 D. 5 8. 如图，在中，D，E分别是的中点，点F在上，且．若，则是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 分解因式：___________． 10. 方程的解为___________. 11. 正二十边形的外角和为______． 12. 我国陆地面积约是，平均每平方千米的陆地上，一年从太阳得到的能量约相当于燃烧煤所产生的能量，求在我国陆地上，一年内从太阳得到的能量约相当于燃烧______吨煤所产生的能量． 13. 如图，点是线段的中点，．请你添加一个条件，使．你添加的条件是___________________．（要求：不再添加辅助线，只需填一个答案即可） 14. 右图中的四边形均为长方形或正方形，根据图形的面积关系，写出一个正确的等式：______． 15. 如图，在的正方形网格中有四个格点，，，，以其中一个点为原点，网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则原点可能是___________． 16. 如图，在中，，，，分别是，，上的点，且，，，则的度数是 __________．（用含的代数式表示） 三、解答题（本题共68分，第17题6分，第18-23题每题5分，第24-26每题6分，第27、28题7分）． 17 因式分解： （1） （2） 18. 计算： 19. 如图，AC和BD相交于点O，OA＝OC，OB＝OD．求证：AB＝CD． 20. 解分式方程：． 21. 如图，是的高，是的角平分线．，． （1）画出的角平分线； （2）求度数． 22. 如图，在中，，，垂直平分，垂足为E，交于点D，连接． （1）求证：； （2）若，求的长． 23. 已知，求代数式的值． 24. 下面是小东设计的“作△ABC中BC边上的高线”的尺规作图过程． 已知：△ABC． 求作：△ABC中BC边上的高线AD． 作法：如图， ①以点B为圆心，BA的长为半径作弧，以点C为圆心，CA的长为半径作弧，两弧在BC下方交于点E； ②连接AE交BC于点D． 所以线段AD是△ABC中BC边上的高线． 根据小东设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明． 证明：∵ =BA， =CA， ∴点B，C分别在线段AE的垂直平分线上（ ）（填推理的依据）． ∴BC垂直平分线段AE． ∴线段AD是△ABC中BC边上高线． 25. 列方程解应用题． 为贯彻落实健康第一的指导思想，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯．某校第一批为各班用400元购进跳绳，接着又用450元购进第二批跳绳，已知第二批跳绳数是第一批跳绳数的1.5倍，且第二批每根跳绳进价比第一批的进价少5元，求第二批跳绳每根的进价是多少． 26. 课堂上有这样一个分式的计算题：，甲、乙两位同学完成的过程分别如下： 甲同学： 第一步 第二步 第三步 第四步 乙同学： 第一步 第二步 第三步 第四步 老师发现这两位同学的解答都有错误． 请你从甲、乙两位同学中，选择一位同学的解答过程，帮助他分析错因，并加以改正． （1）我选择___________同学的解答过程进行分析．（填“甲”或“乙”） 该同学解答从第___________步开始出现错误，错误的原因是___________________； （2）请重新写出完成此题的正确解答过程． 解： 27. 已知：是等边三角形，是直线上一动点，连接，在线段的右侧作射线且使，作点关于射线的对称点，连接，． （1）当点在线段上运动时， ①依题意将图1补全； ②请用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明； （2）如图2，当点在直线上运动时，请直接写出，，之间的数量关系，不需证明． 28. 阅读下面材料： 小聪这学期学习了轴对称的知识，知道了像角、等腰三角形、正方形、圆等图形都是轴对称图形．类比这一特性，小聪发现像，，等代数式，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变．于是他把这样的式子命名为交换对称式． 他还发现像，等交换对称式都可以用，表示． 例如：，，于是小聪把和称为基本交换对称式． 请根据以上材料解决下列问题： （1）代数式①，②，③，④中，属于交换对称式的是___________（填序号）； （2）已知． ①___________（用含，的代数式表示）； ②若，，求交换对称式值； ③若，求交换对称式的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $