专题02 空间向量的数量积（重点突围）-【学霸满分】2022-2023学年高二数学下学期重难点专题提优训练（苏教版2019选择性必修第二册）

专题02 空间向量的数量积 目录 ☆【题型一】空间向量的概念 1 ☆【题型二】空间向量的线性运算 2 ☆【题型三】向量共线的判定及应用：线线平行 5 ☆【题型四】向量共线的判定及应用：三点共线 7 ☆【题型五】向量共线的判定及应用：线面平行 8 ☆【题型一】空间向量的夹角 【例题】如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，求向量分别与向量，，，，的夹角． 【变式训练】 1．在正四面体ABCD中，与的夹角等于(　　) A．30° B．60° C．150° D．120° 2．在正四面体A－BCD中，点E，F分别是AC，AD的中点，则与的夹角为(　　) A．30° B．60° C．120° D．150° 3．如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，向量与向量的夹角为(　　) A．60° B．150° C．90° D．120° ☆【题型二】空间向量的数量积的运算 【例题】如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F分别是AB，AD的中点，计算： (1)·；(2)·；(3)·；(4)·. 【变式训练】 1．已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AB1的中心，F为A1D1的中点，试计算： (1)·； (2)·. 2．已知e1，e2为单位向量，且e1⊥e2，若a＝2e1＋3e2，b＝ke1－4e2，a⊥b，则实数k的值为(　　) A．－6 B．6 C．3 D．－3 ☆【题型三】空间向量的平行 【例题】对于空间任意两个非零向量a，b，“a∥b”是“〈a，b〉＝0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【变式训练】 1．对于空间任意两个非零向量，“”是“为钝角”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 2．若，是空间两个非零向量，则 （1）当时，______； （2）当时，______． ☆【题型四】空间向量的垂直 【例题】如图，为平面外两点，点在平面上的射影分别为点为平面内的向量． 求证：． 【变式训练】 1．在空间四边形ABCD中，AB⊥CD, AC⊥BD，求证：AD⊥BC. 2．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点，求证：A1O⊥平面GBD. 3．已知|a|＝3，|b|＝4，m＝a＋b，n＝a＋λb，〈a，b〉＝135°，m⊥n，则λ＝________. ☆【题型五】空间向量的模 【例题】已知均为单位向量，它们的夹角为60°，那么__________． 【变式训练】 1．如图，已知在平行四边形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠D＝60°，PA⊥平面ABCD，且PA＝6，则PC＝________. 2．平行六面体(底面为平行四边形的四棱柱)ABCD－A1B1C1D1的所有棱长都为1，且∠A1AD＝∠A1AB＝60°，∠DAB＝45°，则BD1等于(　　) A.－1 B.－1 C. D.－ ☆【题型六】空间向量夹角的余弦值 【例题】已知空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝，则cos〈，〉的值为(　　) A. B. C．－ D．0 【变式训练】 1．已知|a|＝4，|b|＝3，a·b＝－12，则a与b的夹角〈a, b〉＝ 　. 2．已知|a|＝4, |b|＝3， a·b＝12，求a与b的夹角〈a, b〉． 3．已知向量a, b满足(a＋2b)·(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，则a与b的夹角为 　. 4．已知a＋3b与7a－5b垂直，且a－4b与7a－2b垂直，则〈a，b〉＝________. ☆【题型七】空间向量在平面上的投影向量 【例题】如图，在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，M为棱CC1上任意一点． 试确定向量在平面ABC上的投影向量，并求·． 【变式训练】 1．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，设AD＝AA1＝1，AB＝2，P是C1D1的中点． 试确定向量在平面BCC1上的投影向量，并求·． 2．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1(即A1A⊥平面ABC)中，AC＝AB＝AA1＝，BC＝2AE＝2，求·. ☆【题型八】空间向量在直线上的投影向量 【例题】如图，在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，M为棱CC1上任意一点． 试确定向量在直线BC上的投影向量，并求·. 【变式训练】 1．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，设AD＝AA1＝1，AB＝2，P是C1D1的中点． 试确定向量在直线B1C1上的投影向量，并求·. 2．如图，在三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，CB⊥AB,